XVIII Olimpiada del Cono Sur, 2007

Examen Selectivo, Argentina1

Dıa 1

1. En cada casilla de un tablero de 1×2007 se escribe un 0 o un 1 de modo que la suma delos numeros de 90 casillas consecutivas sea siempre igual a 65. Determinar los valoresposibles de la suma de los 2007 numeros escritos en el tablero.

2. Alex y Beto juegan al siguiente juego. Primero se sortea un numero entero n mayor que1, y a partir de entonces, eligen alternadamente enteros positivos. Comienza Alex, que

debe elegir un numero menor que n pero mayor o igual quen

2. Luego, en cada turno, si

el ultimo numero elegido (por el oponente) fue k entonces el siguiente debe ser menor

que k pero mayor o igual quek

2. El ganador es el que elige el 1.

Para cada valor inicial n, determinar cual de los dos jugadores tiene estrategia ganadoray describir dicha estrategia.

3. Hallar todas las ternas de primos positivos distintos (p, q, r) tales que

q + r

p,

r + 2p

q,

p + 3q

r

sean numeros enteros.

Dıa 2

4. Sea n un numero entero mayor o igual que 4. Alrededor de una circunferencia hay ntarjetas cada una de las cuales tiene escrito un 1 o un −1 pero del lado que no se ve.Martın debe determinar el producto de los n numeros escritos en las tarjetas. Para ellopuede preguntar cuanto vale el producto de los numeros de tres tarjetas cualesquiera,a su eleccion. Determinar para cada n el numero mınimo de preguntas que necesitaMartın para conocer con certeza el producto de los n numeros.

5. Dado un triangulo equilatero ABC sea M un punto del lado BC, con M 6= B y M 6= C.Se considera el punto N tal que el triangulo BMN sea equilatero y A y N esten endistintos semiplanos respecto de BC. Sean P , Q y R los puntos medios de AB, BN yCM respectivamente. Demostrar que el triangulo PQR es equilatero.

1enunciados tomados de la pagina http://www.oma.org.ar

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6. Un programa de computadora genera una sucesion de numeros naturales con la siguienteregla: el primer numero es un entero mayor que 1 y lo elige Matıas; a partir de entonces,el programa factoriza en primos el ultimo numero generado y el nuevo numero generadoes 1 mas la suma de cada primo de la factorizacion multiplicado por el exponente que lecorresponde. Por ejemplo, si el numero de Matıas es 80, la computadora halla 80 = 24 ·51

y genera 14 = 1 + 2 · 4 + 5 · 1. El siguiente numero generado es 10, pues 14 = 21 · 71 y10 = 1 + 2 · 1 + 7 · 1.

Demostrar que cualquiera sea el numero inicial de Matıas (mayor que 1), en algun mo-mento la sucesion de los numeros generados se hace periodica (tiene un ciclo de valoresque se repiten indefinidamente), y hallar los posibles ciclos de acuerdo a la eleccioninicial de Matıas.

http://selectivos-peru.blogspot.com

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