Álgebra 201 sel. sec

49 lgebra

: Al finalizar el presente captulo, Ud. estar en capacidad de :

- Aplicar las leyes de exponentes referidas a la potenciacin y radicacinen los diferentes campos numricos ; ; y

Las leyes exponencial son verdadesmatemticas que siempre se cumplen. Se aplicaconstantemente en los clculos matemticos, nospermite abreviar las operacin .

La operacin que da origen a la teora deexponentes es la potenciacin.

Potenciacin.Es la operacin que consiste en repetir un nmerodenominado base, tantas veces como factor, comolo indica otro nmero que es el exponente, alresultado de esto se denomina potencia

a = pnbase

potencia

exponente

Representacin

Exponentes Bsicos

I. Exponente Naturaln

"n" veces A . A . A . ...... . AA

; n

Ejemplos:

1. 44 veces

3 3 . 3 . 3 . 3 81

LEYES DE EXPONENTES

2. 66 v e c e s

2 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 6 4

3. nn veces

n n . n . n . n ......... . n

4.8

8 veces

1 1 1 1 1 1. . . . ............ .2 2 2 2 2 2

5 77 veces

7 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7

6. 77 veces

3 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3

II. Exponente Negativo

aa1xx

; x 0

a ax yy x

; x 0 ; y 0 ,

porque : noesta definido0

Ejemplos:

1. 1122

2.2 2 2

22 3 33 2 2

50

Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustn de Antares

lgebra

III. Exponente Nulo o Cero

0x 1 ; x 0

porque : 00 = nmero indeterminado

Ejemplo :

1. 03xy 1 2.0

3y2x 15

Leyes de Exponentes:

I. Producto de Potencias de igual Base: eneste caso se pone la misma base y losexponentes se suman:

a b a bx . x x

Ejemplos:

1) 3 4 3 4 72 . 2 2 2 2) 5 4 7 5 4 7 29 .9 .9 9 9

II. Cociente de Potencias de Igual Base: eneste caso se pone la misma base y losexponentes se restan:

aa b

bx xx

; x 0

porque:0 nmero indet er minado0 :

Ejemplos :

1.8

8 4 44

2 2 22

2.6

6 ( 5) 15

2 2 22

III. Producto de Potencias de BasesDiferentes: en este caso ambas quedanelevados al mismo exponente:

a a ax . y (x . y)

Ejemplos:

1. 3 3 32 . 4 (2 . 4)2. 4 4 43.5 3 . 5

IV. Cociente de Potencias de BasesDiferentes: en este caso los trminos de lafraccin queda afectado a la misma potencia:

aa

ax x

yy ; y 0

porque :Nmero = Noestadefinido

0

1. 2

33

34 4=2

2.33

38 8=

22

V. Potencia de Potencia: en este caso semultiplican los exponentes, se efectuan laspotencias de arriba hacia abajo

cba a . b . cx = x

Observacin: yyx xa aEjemplos:

1. 243 3.4.2 24x = x = x2. -5 -3 -5-3 15x = x = x

A BB A A.B= = xAs mismo : x x

51


lgebra

RadicacinEs la operacin que consiste en hallar unaexpresin llamada raz (r), de modo tal que secumple que al ser elevada esta a un nmerollamado ndice (n) nos reproduzca otraexpresin llamada radicando (a)

n: es el smbolo radical

"n": es el ndice; n n 2a b"a" : es el radicando"b" : es la raz ensima

Se cumplen

a = b

Exponente Fraccionario

Todo nmero elevado a un exponentefraccionario puede escribirse como un radical viceversa

ab b ax = x

Ejemplos:

1. 3 223x x 2. 3 5

53x x

Leyes de Radicales

I. Producto de Radicales Homogneos:En este caso se coloca el mismo indicey dentro de la raz el producto de lostrminos:

a a ax . y x . y

Ejemplos: 1. 3 3 334 . 5 4.5 20

2. 5 5 5 51 5 1 5 5. .2 3 2 3 6

II. Cociente de Radicales Homogneos:Se coloca el mismo indice y dentro delradical el cociente de los trminos:

a

aa

x x=yy

III. P o t e n c i a d e u n R a d i c a l : Se multiplicael exponente con el exponente delradicando manteniendo el mis mo ndice:

ca ab b.cx = xIV. Raz de Raz: Se multiplican los ndices

de los radicandos.

a b c a.b.cx = x Observa:

a bb ax x

Ejemplos:

1. 3.2.44 243 x = x = x

2. 34 3 4 1210 = 10 = 10

Ecuaciones ExponencialesSe llaman ecuaciones exponenciales aaquellas donde la incgnita se encuentra enel exponente. Se estudiarn solo los casos queson factibles de resolverlos utilizando losconceptos anteriores.

Se presentan los siguientes casos:

1. Bases iguales :

Si yxN N x y

Observacin: N 0 N 1

Ejemplo: Resolver: x 1 x 29 27

Buscando bases iguales tenemos:

2x 2 3x 63 3 Luego: 2x 2 3x 6 x 4

2. Formas Anlogas :

Si M NM N M N

52


lgebra

Observacin:1 1M M2 4

Ejemplo(1) resuelva: 55 x 3x 36Resolucin

Buscando formas anlogas: 5 35 2xx 6 5 65xx 6

5x 65x 6

Ejemplo(2) resuelva: x 7 x 73 5

Resolucin

x 7 0 x 7

3. Propiedadad:

Sinx nx n x n

Ejemplo: Halle "x" , si:

3xx 3 3x 3

01. Simplificar:16 2

82 . 16

802. Efectuar:

2 2 2 22 2 2 2 03. Reducir:

20 15 17 180 0 0 03 4 5 32 3 4 2R 1 2 3 4

04. Calcular: R en:

32 33 44 11 2 R 30

a) 1 b) 2 c) 3d) 2 176 e) No se puede.

05. Simplificar:n 3 n 1

n 13 3V

3.3

a) n3 1 b) 24 c) n1 3d) n 13 1 e) 18

06. Calcular el valor de:

1

3 3 221 2 1C 2 0,2

2 9 3

a) 8 b) 6 c) 1/8d) 1/6 e) 1

07. Resolver:6 9 42 9 8. .

3 4 27

08. Calcular:a 2 a 2b

a 2 b 22 . 48 . 16

09. Reducir:

42 / 3 5 / 4 064 . 16 . 2 . 310. Calcular:

n 2 n 1

n 1

2 2T2 2

PRCTICA DIRIGIDA N 1

53


lgebra

Diaria

01. Simplificar:8 veces

6 veces

x.x..........xIx.x .........x

a) 2x b) 3/2 c) 4/3

d)34x e) x

02. Reducir:

3 4 5

43

2 x 2 x 2C2

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

03. Reducir:3 4

3 215 . 6A

9 . 4 .125

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

04. Reducir:10 veces

2 2 2 n 2

"20 n" veces

x .x .......x .xVx. x. x ............x

a) x b) 2x c) 3x

d) 4x e) 1

05. Calcular:

n 2 n 1

n 1

2 2T2 2

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

Semanal

06. Resolver:1 2 31 1 1L

2 3 3

a) 16 b) 17 c) -17d) -16 e) 9

07. Reducir:

13 22 2 1A 3 3 27 5

a) 11 b) 13 c) 14d) 17 e) 82

08. Calcular:00 3 02 2 25D 3 5 5

a) 25 b) 33 c) 35d) 42 e) 20

09. Simplificar:

67

1 2A .333

a) 1 b) 3 c)13

d)19 e)

23

10. Calcular:

16 2

82 . 16R

8

a) 1 b) 2 c) 4d) 1/2 e) 1/4

54 lgebra

206. Resolver la ecuacin:

3 2x x 2 6 x9 27 81

Rpta: ...............................................................

07. Considerando : a 0 . Calcular el valor de"x" en:

3 4x 1 2x 1 2 3xa . a . a 1

Rpta: ...............................................................


x 3 x 1 x 2 x x2 2 2 2 50

Rpta: ...............................................................

09. De la siguiente ecuacin:

3a b a b3x 3x 27x

Obtener el valor de:

2 22aM

a b

Rpta: ...............................................................

10. Resolver la ecuacin: x 1xx 256

Dar el valor de:

2 2M x 2 x 1 Rpta: ...............................................................

01. Reducir:5 6 2

10 6 7

5 15 48 35M =2 6 10 49

Rpta: ...............................................................

02. Si: x123

, Calcule:

1 12x x x3 2P 4 8 16 Rpta: ...............................................................

03. Si:x 4 x 2

x5 5A

5

yy 5 y 3

y3 3B

3

Calcular:AS 36B

Rpta: ...............................................................

04. Hallar el exponente final de x en:

"b " vecesbc aa bc ac ac ac

cb3a

x x x x .....xP

x

Rpta: ...............................................................

05. Reducir:8

4

x. x. xA

x. x

Rpta: ...............................................................

LEYES DE EXPONENTES - ECUACIONES EXPONENCIALES

55


lgebra

Semanal

06. Resolver:

5 x 2x 3 x 216 8 32

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

07. Considerando que: a 0 . Calcular el valorde "x" en:

3 4x 2 2 x 2x 1a . a . a 1

a) 1/8 b) 2/3 c) 1/6d) 2 e) 5


x 2 x 1 x3 3 3 99

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

09. De la siguiente ecuacin:

3m n m n5x 5x 125x

Hallar el valor de:2 2m nM2m

a) 2 b) 1 c)13

d) 3 e) 81


3x 1x 128

Dar como respuesta el valor de:

2E x x 1

Diaria

01. Reducir:4 3 3

2 210 30 42P

54 250 60 70

a) 20 b) 84 c) 12d) 30 e) 90

02. Si: -x 13 = 2

Calcule: 1 1 1x x x2 3 2P 9 27 81 a) 20 b) 21 c) 22d) 26 e) 6

03. Calcular:

n 4 n

n 3

2 2 2R

2 2

a)78 b)

718 c)

92

d) 8 e)152

04. Hallar el exponente final de x en:

" 2n" veces2m mn 2n m m m

m4n mn

x x x x .....xM

x x

a) n b) m c) m/nd) mn e) 5mn

05. Reducir:30

54 43

35 4 3 2

x . x . xE

x . x . x

a) x7 b) x5 c) x34d) x11 e) x10

56 lgebra

3 GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS(GRADO DE UN MONOMIO)Al finalizar el tema Ud. estar en la capacidad de :

El grado es una caracterstica de las expresionesalgebraicas, esta relacionado con los exponentes,que posee la expresin e indica el nmero devalores que debe tener la incgnita.

El grado es absoluto si se refiere a todas lasvariables, y es relativo si se refiere a una de lasvariables.

Grados en un monomioA. Grado Absoluto (G. A.): Se obtiene al

sumar los exponentes de las variables.

B. Grado relativo (G. R.): El grado relativo auna variable es el exponente de dicha variable.

Ejemplo Para el Monomio:

4 5 8F(x; y) a x y

Determine: a) El grado relativo de xb) El grado relativo de yc) El grado absoluto de F

Solucin: a) G. R. (x) = 5b) G. R. (y) = 8c) G. A. (F) = 5 + 8 = 13

Grados en un polinomioa) Grado absoluto : Esta dado por el mayor

grado de sus trminos.

b) Grado relativo : El grado relativo a unavariable es el mayor exponente de dichavariable.

* Definir el grado de una expresin algebraica y su importancia* Identificar el grado absoluto y relativo en un monomio,con respecto a sus variable.

Ejemplo Para el polinomio:

6 7 3 5P(x;y) 6x y 3x y 2xy

Determine: a) El grado relativo de x b) El grado relativo de y c) El grado absoluto del polinomio

Solucin:

a) G. R. (x) = 7(Es el exponente mayor de lavariable "x" en uno de sustrminos)

b) G. R. (y) = 5(Es el exponente mayor de lavariable "y" en uno de sustrminos)

c) G. A. (P) = 10(Es el mayor grado absolutode uno de sus trminos)

Clculo de grados en operaciones

1. En la adicin y sustraccin se conserva elgrado del mayor.

Ejemplo:

Si P(x) es de grado : a

Si Q(x) es de grado : b tal que: a > b

Grado P(x) Q(x) a

57


lgebra

2. En la multiplicacin los grados se suman.

Ejemplo :

4 5 7 4 5x x y 7 x y x y 2 Resolucin :

Grado : 6 + 9 = 15

3. En la divisin los grados se restan.

Ejemplo :8 3 3 7

4 3 3 3xy x y xx z y x y

Resolucin :

Grado: 9 6 = 3

4. En la potenciacin el grado queda multiplicadopor el exponente.

Ejemplo : 103 2 6 9x y x y z Resolucin :

Grado : 9 . 10 = 90

5. En la radicacin el grado queda dividido porel ndice del radical.

Ejemplo : 7 3 6 123 xy 2x y 7x

Resolucin :

Grado: 12 43

Polinomios Especiales

1. Polinomio Homogneo: es aquelpolinomio en el cual todos sus trminostienen el mismo grado.

Ejemplo: Dado el polinomio:

5 3 4 4 6 2P x;y 6x y 3x y 6x y Monomio de grado:

6 + 2 = 8

Monomio de grado:4 + 4 = 8

Monomio de grado:5 + 3 = 8

Atencin!

En el ejemplo dado, el polinomio es de grado8, tambin se suele decir que el grado dehomogeneidad del polinomio es 8.

El polinomio P(x;y) es homogneo degrado 8

2. Polinomio Ordenado: un polinomio esordenado respecto a una variable, si losexponentes de ella van aumentando(ascendente) o disminuyendo (descendente)


4 3 2 5 8P x;y x y 2x y 3xy i. Es ordenado respecto a la variable "x" en

forma descendenteii. Es ordenado respecto a la variable "y" en

forma ascendente.

Atencin!

Para que un polinomio est ordenado nonecesariamente los exponentes de lasvariables del polinomio aumentan odisminuyen en forma consecutiva

3. Polinomio Completo: un polinomio escompleto respecto a una variable si tienentodos sus exponentes desde el mayor enforma sucesiva hasta el exponente cero.


3 2 2P x;y x 3xy 4x y 5 En primer lugar ordenamos el polinomio conrespecto a la variable "x" , obteniendose:

58


lgebra

3 2 2P x;y x 4xy 3xy 5 En segundo lugar observamos que elpolinomio es completo respecto a la variable"x"

Observacin:

En todo polinomio completo de una solavariable se cumple que el nmero de trminoses igual al grado del polinomio aumentado enla unidad.

Nmero determinos = Grado del polinomio + 1

Ejemplos: Dado los polinomios:

* P(x)= 2x 7x 2 ; tiene :2 + 1 = 3 trminos

* Q(x)= 4 3 28x 3x x 6x 9 ; tiene:

4 + 1 = 5 trminos.

4. Polinomios Idnticos: dos polinomiosreducidos son idnticos si los coeficientes desus trminos semejantes son iguales.

Ejemplo:

2 2ax bx c mx nx p identidad

Debe cumplirse que:

a m ; b n ; c p

Atencin!

Dos o ms polinomios son idnticos si tienenel mismo valor numrico para cualquier valornumrico asignado a sus variables.

Ejemplo: (x + 3) (x + 6) = 2x 9x 18

Se cumple para cualquier valor de "x" ,verifcalo.

5. Polinomio idnticamente nulo: unpolinomio reducido es idnticamente nulo, sitodos sus coeficientes son iguales a cero.

Ejemplo: 2ax bx c 0

Debe cumplirse que:

a 0 ; b 0 ; c 0 Adems un polinomio es idnticamente nulo,si para cualquier valor asignado a susvariables obtendremos cero,

Atencin!

En un polinomio idnticamente nulo su gradono est definido por ser cada uno de suscoeficientes iguales a cero, o sea puede serde la forma:

i. 4 3 20x 0x 0x 0x 0 0 ii. 3 20x 0x 0x 0 0 ; etc , etc

59


lgebra

01. Si el grado absoluto del monomio

2a 1 a 2 ax;yM 5 .x .y es igual a :16. Hallarsu coeficiente

a) 25 b) 125 c) 625d) 325 e) 475

02. Calcular a + b si el monomio:

3a b a 3bx;yM 10x .y

tiene : G.A. = 20 y GR(x) = 11

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

03. En el polinomio

6n4 3n 4n 6 3 2x;yP 15x .y x .y 8 x y ; se cumple: GR(y) = 24

Hallar el GR(x)

a) 18 b) 24 c) 36d) 48 e) 52

04. Sea el polinomio:

a 5 a 6 a 8xP 3ax 5ax 2ax ; un polinomiode grado 17.

Seale la suma de sus coeficientes:

a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 90

05. Indicar el GR(y) en el polinomio homogneo:

2n 6 5 n 2 9 nx;yP 8x 3x . y 5y

a) 10 b) 8 c) 9d) 7 e) 4

06. El siguiente es un polinomio ordenado ycompleto de grado 3:

a b a bxP x 4x 7x 5 Hallar: 2 2a b

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

07. Si los polinomios:

2xP 2A B x Cx B 2xQ 8x 5x 4

son idnticos. Hallar: A + B + C

a) - 4 b) -3 c) -5d) -6 e) -8

08. Sabiendo que: xx 1A y

2 2xB x x 1

Hallar: A B 2 a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 8

09. Sea:

90 88 2xP 3x 27x 3x 4x

Hallar: P(3)

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 18

10. Sea : F(x) un polinomio lineal donde:

F(2) = 5 ; F(1) = 4

Hallar: F (7)

a) 5 b) 10 c) 20d) 25 e) 30

PR CTICA DIRIGIDA N 3

60


lgebra

Diaria

01. Hallar el valor de "n" para que el grado

absoluto del monomio 5n 4 25x y sea : 40a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

02. Calcular a + b si el monomio:

2a b b 2ax;yM 2x .y

tiene : G.A. = 18 y GR(x) = 10

a) 6 b) 7 c) 8d) 5 e) 9

03. En el polinomio

73 2k 3k 5k k 2kx;yP 7x .y 3x .y 9 x y se cumple: GR(y) = 28

Hallar el GR(x)

a) 7 b) 4 c) 28d) 9 e) 16

04. Sea :

m m 1 m 2xQ 2mx 4mx 6mx

un polinomio de quinto grado.

Seale la suma de sus coeficientes:

a) 50 b) 40 c) 35d) 60 e) 72

05. Indicar el GR(y) en el polinomio homogneo:

3n 8 3n 4 n 1 20 nx;yP 3x 7x y y

a) 4 b) 8 c) 17d) 20 e) 15

Semanal

06. El siguiente es un polinomio ordenado ycompleto de grado 3:

m n m nxP 2x 5x 3x 6 Hallar: 2 2m n

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

07. Si los polinomios:

2xP 3A B x Cx B 2xQ 7x 9x 2

son idnticos. Hallar: A + B + C

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

08. Sabiendo que:

x 1f x2 2g x x x 1

Calcular: 3f g a) 4 b) 5 c) 3d) 7 e) 2

09. Sea: 50 49 2xP 2x 4x 5x 2x

Hallar: P(2)

a) 6 b) 9 c) 15d) 8 e) 16

10. Sea : R(x) un polinomio lineal donde:

R(-3) = 8 ; R(-2) = 6

Hallar: R(-4)

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16

61 lgebra

4Donde: coef (M) = 11 ; G.A. (M) = 23

Rpta:.............................................................

07. Si se tiene el polinomio:

a b 3 c 4 a b 1 c 8 a b 2 c 6(x;y)P 2x y 5x y x y

,sabiendo que: GR (x) = 15 ; GR (y) = 13

Hallar el grado absoluto de P(x;y)

Rpta:.............................................................

08. Hallar la suma de los coeficientes delpolinomio homogneo:

n 3 2n 1 n 10 2 a b(x;y)P x y (a b)x y (n 1)x y

Rpta: .............................................................

09. Dado la siguiente identidad:

3 2 2x 2x 1 (x 1) Ax B(x 1) Calcular:

2 2 3 3A B A BE2 2

Rpta: .............................................................

10. Si el polinomio

5 2(x)P 3 a x b 2 x c 7 x se anula para cualquier valor de sus variables.

Hallar: (a + b + c)2

Rpta: .............................................................

01. Sea el polinomio:

(x)f x(x 5) 3(x 3) 8

Calcular:

f( 7 1) f( 15 1)Mf( 11 1)

Rpta: ...............................................................

02. Sea: 2P(x) (m 1)x mx m 1 Adems: P(2) 4 . Calcular el valor de m.

Rpta:

03. Siendo: 2F(z 1) 3z 7z 9

Determine: F (x)

Rpta: .............................................................

04. Si: 2f x 1 x 1 Calcular:

f 1 f 0M

f 1

05. Sabiendo que: n 1P(x;y) (5x 3y) 5n Es tal que la suma de coeficientes es igual altrmino independiente aumentado en 1024.Hallar n

Rpta:

06. Calcular: GR(y) en el monomio:2a 3b a bM(x;y) (a 3b)x y

..

NOTACIN POLINMICA - GRADOS DE POLINOMIOS

62


lgebra

Diaria

01. Sea el polinomio: (x)P x(x 6) 4(x 1) 5

Calcular:

P( 5 1) P( 3 1)MP( 2 1)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

02. Si: 2P(x) (m 1)x 2mx m 2 Si: P(2) 4 . Calcular el valor de m.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

03. Siendo: 2F(z 2) 2z 3z 1

Calcular: F (x)

a) x2 5x + 5 d) x2 5x + 9b) x2 5x e) 22x 11x 15 c) 5x 5

04. Si: 2f x 2 x 2

Calcular:

f 3 f 0

Rf 1

a) -2 b) -1 c) 2d) 0 e) 1

05. Sabiendo que:

n 1P x;y 7x 4y 2n Es tal que la suma de sus coeficientes es igualal trmino independiente aumentando en 81.Calcular: n

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Semanal

06. Hallar el coeficiente en:

2 3a 4b 4a 3bM(x;y) ab x y

Si su G.A.(M) = 49 ; GR(x) = 23

a) 100 b) 60 c) 20d) 50 e) 32

07. En el polinomio

m 1 n m 2 n 1 m 1 n 3 m 4 n 2(x;y)P x y 3x y x y 2x y

GA (P) = 20 ; GR (y) = 16. Hallar el GR(x)

a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

08. Indicar el valor de " " y " " para que elsiguiente polinomio sea homogneo:

2 2 1 3(x;y)P x y 5x y xy

Dar como respuesta : a + b

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

09. Dada la siguiente identidad:3 2 2x 2x 1 (x 1) mx n(x 1)

Calcular: 2 3m + n

a) 1 b) 2 c) 0d) 1 e) 2

10. Si el polinomio:

5 3(x)P (3 b)x (a 4)x (7 c)x

Se anula para cualquier valor de sus variables.Calcular: a + b + c

a) 5 b) 6 c) 8d) 9 e) 12

63 lgebra

PRODUCTOS NOTABLES I5Una vez que Ud. haya entendido, repasado y practicado este tema estar en lacapacidad de:

* Efectuar y desarrollar con fluidez los distintos casos a estudiar.* Reconocer las identidades para luego emplearlos en el captulo de factorizacin.* Utilizar artificios que hacen posible el desarrollo de sus habilidades.

3. Efectuar: 2(3x+2)

2 2 2(3 x + 2 ) = (3 x ) + 2 (3 x ) (2 ) + 2

IMPORTANTE: Observe que en los desarrollosde:

2a b = 2 2a 2ab b 2a b = 2 2a 2ab b El trmino central (doble producto) es positivosi la base es el binomio suma y negativo si es elbinomio diferencia

Es importante aclarar que:

2 2a - b = b - a

Ud. lo puede comprobar desarrollando en ambosmiembros, ms adelante veremos que se cumpletambin para cualquier potencia par.

Corolario: Identidades de Legendre

Son dos igualdades que resultan de combinar2 2(a b) y (a b) a travs de la suma o diferencia.

* Primera identidad de Legendre:

2 2 2 2(a + b) + (a - b) = 2(a + b )

* Segunda identidad de Legendre:

2 2(a b) (a b) 4ab

Comentario: Este captulo es considerado comola "mdula espinal del lgebra" ya que sirve desoporte para otros temas estratgicos, tales como:Factorizacin, Fracciones, Radicacin,Ecuaciones, Inecuaciones, Logaritmos, etc.

Los productos notables son multiplicacionesconocidas cuyo desarrollo se puede recordarfcilmente, sin necesidad de efectuar la operacin:

I. Binomio al cuadrado

2 2 2(a + b) = (a + b)(a + b) = a + 2ab + b

2 2 2(a - b) = (a - b )(a - b ) = a - 2ab + b

Al desarrollo de un binomio al cuadrado sedenomina trinomio cuadrado perfecto. Encada caso, el primero y el ltimo trmino sonlos cuadrados de a y b, respectivamente y eltrmino central o medio es el doble delproducto de dichos nmeros.

Ejemplo(1) efectuar: 2(x 3)

2 2 2

2

(x + 3) = x +2(x)(3) + 3

=x + 6x + 9

Ejemplo(1) efectuar: 2(a 5)

2 2 2

2(a - 5) = a - 2(a)(5) + 5

= a -10a + 25

64


lgebra

Ejemplos aplicativos:

1. 2 2 2 2(x + 5) + ( x - 5 ) = 2(x + 5 )

2 2= 2(x + 25) = 2x +50 (Se ha aplicado la 1ra. identidad)

2. 2 2(m+3) - (m-3) = 4 (m) (3) = 12 m

[Se ha aplicado la 2da identidad]

3. 2 2 2 2(2x +1) + (2x -1) = 2[(2x) +1 ]

2 2= 2 [4x +1] = 8x +2

II. Suma por diferencia

2 2a b a b a b Diferencia de

cuadrados

Ejemplos:

* 2 2 2(x 5)(x 5) x 5 x 25* 2 2 2(a + 3)(a - 3) = a - 3 = a - 9

* 2 2 2(2x + 7)(2x - 7) = (2x) - 7 = 4x - 49

* 2 2( 3 + 5)( 3 -5) = ( 3) -5 =3-25= -22

III. Identidad de Steven: Producto de unbinomio con un trmino en comn

2( x +a ) ( x+ b ) = x + (a + b ) x + a . bTrmino

Suma de los

Productos decomn al

trminos

los trminoscuadrado independientes

independientes

Ejemplo (1) efecte: E = (x + 2) ( x + 3)

Resolucin:

Primer trmino: x . x = 2xCoeficiente del 2do trmino: 2 + 3 = 5

ltimo trmino:(2) (3) = 6

Finalmente: 2E x 5x 6

Ejemplo (2) efecte: F = (y + 5) (y - 8)

Resolucin:

F = 2y + (+ 5 -8)y + (+5)(-8)

2 F = y - 3y - 40

IV. Trinomio al cuadrado:

Forma desarrollada

2 2 2 2(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc

Forma abreviada:

2 2 2 2(a + b + c) = a + b + c + 2(ab + ac + bc)

Observa, el desarrollo presenta en sus tresprimeros trminos la suma de los cuadradosde los tres trminos que conforman el trinomioy luego van los dobles productos que sepueden formar con los tres trminos tomadosde dos en dos.

Ejemplo(1) Efecta 2(a b 7)

2 2 2(a+b+7) =a +b + 49+2(a)(b)+2(a)(7)+2(b)(7)

2 2= a + b + 49 + 2ab +14a +14b

Ejemplo(2) Efecta 2(m + 2n + 3p)

2(m 2n 3p)

2 2 2= m + 4n + 9p + 4m n + 6m p + 12np

65


lgebra

V. Binomio al cubo:

* Forma desarrollada:

3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b Forma abreviada:

3 3 3(a b) a b 3ab(a b)

* Forma desarrollada:3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b

Forma abreviada:

3 3 3(a b) a b 3ab a b En el primero de ellos, la base es el binomiosuma, su desarrollo es "El cubo del primertrmino de la base, ms el triple del cuadradodel primero por el segundo, ms el triple delprimero por el cuadrado del segundo y ms elcubo del segundo".

Ntese que en este desarrollo todos lostrminos del desarrollo son positivos.

En el segundo de ellos la base es el binomiodiferencia, los trminos del desarrollo son losmismos, solo que varan los signos en formaalternada.

Teniendo la siguiente secuencia: + - + -

Divisin Algebraica

Dados dos polinomios D(x) y d(x), donde el gradode D(x) es mayor o igual que el de d(x).

La divisin denotada por D(x) d(x) D(x)d(x) ,

es la operacin algebraica que consiste en hallarotros dos nicos polinomios q(x) y r(x), tal que:

D(x) d(x) . q(x) + r x (Identidad fundamental de la divisin)

de donde: D(x) : polinomio dividendo d(x) : polinomio divisor q(x) : polinomio cociente r(x) : polinomio residuo

Clases de Divisin

Divisin exacta: es cuando r(x) 0

Luego: D(x) d(x) . q(x)

Divisin inexacta: es cuando r(x) 0

Luego: D(x) d(x) . q(x) r(x)

A) Ley de signos: El cociente de signosiguales es siempre positivo, y el de signosdiferentes es negativo. As:

( + ) : ( + ) = +

( - ) : ( - ) = +

( + ) : ( - ) = -

( - ) : ( + ) = -

B) Ley de Exponentes: Para dividirpotencias de igual base, se coloca la basecomn y como exponente la diferenciade los exponentes del dividendo y divisor.

mm n

na = a ; donde a 0a

Ejemplo:10

10 - 5 5

5

x= x = x

x

Casos que presentan:

A) Divisin de monomios: Para dividirmonomios primero se dividen los coeficientesde acuerdo a la ley de signos, luego las partesliterales de acuerdo a la ley de exponentes.

66


lgebra

Ejemplos Efecta:

a)5 3

32 2

9x y = - 3x y-3x y

b)3 8 7

3 32 5 4

-14a b c =7ab c-2a b c

B) Divisin de un polinomio entre unmonomio: (Ley distributiva de la divisin).Se divide cada uno de los trminos delpolinomio entre el monomio dado.

Ejemplo Efecta:

6 5 7 9 5 4

4 318x a - 9x a + 27x a

3x a

Resolucin:

=6 5 7 9 5 4

4 3 4 3 4 318x a 9x a 27x a- +3x a 3x a 3x a

= 2 2 3 66x a - 3x a + 9xa

C) Divisin entre polinomios

Mtodo Clsico: Para dividir polinomiosse debe tener en cuenta las siguientes reglas:

1ero- Se completan y ordenan los polinomioscon respecto a una sola letra o variable (enforma descendente), en caso falte uno o mstrminos, estos se completan con ceros.

2do . Se divide el primer trmino del dividendoentre el primero del divisor obteniendose elprimero del cociente. Luego este se multiplicapor cada uno de los trminos del divisor y elresultado se resta del dividendo

3ero. Se baja el siguiente trmino deldividendo y se repite el paso anterior tantasveces hasta que el resto sea a lo ms de ungrado menos que el grado del divisor (restode grado mximo) o en todo caso si la divisines exacta, el resto ser un polinomioidenticamente nulo.

Ejemplo Efecta:

3 2(3x 8x 4x 8) (3x 2)

Resolucin:

Verificando, se observa que el dividendo estdesordenado, luego, ordenando el dividen-do, se tendr:

Observa: Que al multiplicar el trmino halla-do como cociente por el divisor, el resultadopasa al lado del dividendo con signo cambia-do.

Ejemplo: 2 3 2x (3x + 2) = 3x + 2x

Pasa al dividendo como: 3 2-3x - 2x

Propiedades

a) El grado del cociente es igual a la diferenciade los grados del dividendo y divisorrespectivamente.

Gdo(q) = Gdo(D) Gdo(d)

En el ejemplo anterior:Gdo(D) 3 ; Gdo(d) 1

Gdo(q) = 3 - 1 = 2 Correcto!

b) El trmino independiente (T. I) del dividendoestar determinado por el producto de lostrminos independientes del divisor y elcociente ms el trmino independiente delresto.

T.I.(D) = T.I.(d) T.I.(q) + T.I.(r)

En el ejemplo anterior:

T.I.(D) = 7 ; T.I.(d) = 2T.I.(q) = 4 ; T.I.(r) = -1

7 = (2) (4) - 1 Correcto!

c) El grado mximo del residuo ser una unidadmenos que el grado del divisor. En el ejemplo:el residuo es de grado cero y este es de gradomximo por que el divisor es de grado 1.

67


lgebra

Mtodo de Horner: se recomiendaemplearlo para dividir polinomios que sean degrado dos o ms tendiendo en cuenta paraello las siguientes reglas:

1ero.Se completan y ordenan los polinomiosdividendo y divisor con respecto a una solaletra o variable (llamada letra ordenatriz).

En el caso que existan dos o ms variablesse asume a una de ellas como tal y las demsharn el papel de nmeros o constantes.

2do Se distribuyen en forma horizontal loscoeficientes del dividendo y en forma verticallos coeficientes del divisor, todos cambiamosde signo a excepcin del primero.

3ero Se divide el primer coeficiente deldividendo entre el primero del divisorobtenindose el primero del cociente. Luegoeste se multiplica por cada uno de loscoeficientes del divisor que han cambiado designo y el resultado se coloca en la segundafila corriendose un lugar hacia la derecha.

4to Se reduce la siguiente columna, y serepite el paso anterior tantas veces hasta quela ltima operacin efectuada caiga debajodel ltimo coeficiente del dividendo. Llegadoeste momento se reducen las columnas quefalten separando respectivamente loscoeficientes del cociente y el resto.

5to El nmero de columnas que se separanpara el resto lo determina el grado del divisor,contndose de derecha a izquierda y lasdems le pertenecen al cociente.

D I V I D E N D O

C O C I E N T E resto

cambiande

signo

Veamos la aplicacin de este mtodo en elsiguiente ejemplo:

Dividir por el mtodo de Horner:4 3 2

212x -14x +15x - 6x + 4

4x - 2x +1

Resolucin:

Despus de verificar que los polinomios estanordenados y completos, procedemos de lasiguiente manera:

4 12 -14 15 -6 42 6 -3-1 3

Entonces:

4 12 -14 15 -6 42 6 -3-1 -4 2

3 - 2 2 0 2 4 -2

El primer coeficientes del cocientese obtiene al dividir: 12 4 = 3

se observan en la segunda columna que:

- 14 + 6 = - 8 4 = - 2 (segundo coeficiente en la tercera

columna)

15 - 3 - 4 = 8 4 = 2 (tercer coeficiente del cociente)

de donde:2q(x) = 3x - 2x + 2

r(x) = 0x + 2 = 2

Mtodo de Rufinni: Se emplea (se sugiereemplearlo) para dividir polinomios entre divisoresbinomios de la forma: ax b cualquier otraexpresin transformable a ella.

Pasos a seguir:

1 Se verifica si el polinomio dividendo estcompleto y ordenado. En caso falte uno o mstrminos estos se completarn con ceros.

2 En caso existan dos o ms variables, seasume a una de ellas como tal y las demshacen el papel de nmeros o constantes.

68


lgebra

3 Se distribuyen en forma horizontal loscoeficientes del dividendo; en forma paralelaa este paso se iguala el divisor a cero, sedespeja la variable y est se coloca en elngulo inferior izquierdo del grfico.

4 Se baja el primer coeficiente del dividendo,siendo este el primero del cociente. Luego estevalor se multiplica por el valor despejado dela variable y el resultado se coloca debajo dela siguiente columna.

5 Se reduce la siguiente columna y se repite elpaso anterior, tantas veces, hasta que la ltimaoperacin efectuada caiga debajo del ltimocoeficiente del dividendo.

6 Se reduce la columna y el resultado ser elvalor delresto, y este siempre ser un valornumrico.

7 Slo si el primero coeficiente del divisor esdiferente de la unidad, se dividen loscoeficientes obtenidos por el cociente entreel coeficiente del divisor.

Esquema grfico:

0ax bb

xa

Coeficiente de D(x)

+ + + + + .. ++

Coeficiente de q(x) Resto

aVerdadero coeficiente de q(x)

NOTA: En el esquema de Ruffini, el resto obtenidosiempre es una constante.

01. Simplificar:

2 2M x 1 (x 2) 2x(x 3) 02. Simplificar:

2 2

2 25a 3b 5a 3b 4ab

M2a b 2a b

03. Efectuar:

3M (7 7 5 5)(7 7 5 5) 2

04. Simplificar:

2 4M (x 1)(x 1)(x 1)(x 1) 1

05. Resolver:

(x 7)(x 9) (x 6)(x 10)P(x 4)(x 5) (x 3)(x 6)

06. Reducir:

2F x 9 x 8 x 10 3

07. Simplificar:3 3

2(x 1) (x 1)E

3x 1

08. Si: a b 2ab 3

Hallar : 3 3M a b

09. Hallar: x + y ; si : 3 3x y 28

adems: xy (x + y) = 12

10. Simplificar:

2 2E (x 5)(x 5x 25) (x 2)(x 2x 4)


69


lgebra

Diaria

01. Simplificar:

2 2M (x 2) (x 3) 2x(x 5)

a) 6 b) 7 c) 8d) 10 e) 13

02. Simplificar:

2 22

2a 3b 2a b 2 a b a bM

a

a) 19 b) 14 c) 11d) 10 e) 21

03. Efectuar:

M (4 2 3)(4 2 3) 4

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 10

04. Simplificar:

2 4 8E (x 2)(x 2)(x 4)(x 16) x

a) 8 b) 2 c) 16d) 256 e) N. A.

05. Efectuar:

(x 8)(x 2) (x 3)(x 7)P(x 10)(x 1) (x 9)(x 2)

a) 8/7 b) 1/4 c) 5/8d) 5/6 e) 4/7

Semanal

06. Reducir:

2R x 8 x 10 x 6 5

a) 3 b) -4 c) 5d) 7 e) 9

07. Simplificar:

3 3

2(x 2) (x 2)N

3x 4

a) 1 b) 4 c) 6d) 1/4 e) 1/6

08. Si:

a b 4ab 3

Hallar : 3 3a b

a) 36 b) 30 c) 28d) 12 e) 64

09. Hallar: a + b ; tal que: 3 3a b 6

adems: ab (a + b) = 7

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 9

10. Simplificar:

2 2P (x 3)(x 3x 9) (x 2)(x 2x 4)

a) 19 b) 20 c) 25d) 35 e) 42

70 lgebra

601. Sabiendo que:

a b 6 7 2

ab 3 7 4

calcular:2 2a bE

5

Rpta.: ..........................................................

02. Calcular:

8 1632M 1 (3)(5)(17)(2 1)(2 1)

Rpta.: ..........................................................

03. Sea: m2 + 2m = 13

Calcular:

(m 5)(m 6)(m 3)(m 4)E2

Rpta.: ..........................................................

04. Si: ab = 1 y3 3a b 1a b

Calcular : 2 2E a b

Rpta.: ..........................................................

05. Si:1x 4x

Calcular:3

31R x

x

Rpta.: ..........................................................

06. Si la divisin es exacta:

4 3 2

26x 13x 4x mx n

3x 5x 1

Hallar: m + n

Rpta.: ..........................................................

07. Calcular: (A - B), si la divisin:

4 3 2

212x 12x 13x Ax B

2x 3x 5

deja como resto: 4x + 5

Rpta.: ..........................................................

08. Hallar "a" si la divisin:

4 3 2x 2x 3x 2x ax 3

es exacta.

Rpta.: ..........................................................

09. Hallar el resto en:

3 23x 2 3x 2x 9x 3

Rpta.: ..........................................................

10. Sabiendo que la suma de los coeficientes delcociente es : 10

3 28x 4x 6ax 152x 1

Hallar: "a"

Rpta.: ..........................................................

PRODUCTOS NOTABLES - DIVISIN ALGEBRAICA

71


lgebra

Semanal

06. Determinar el valor de "p" para que la divisin

4 3 2

22x x 3x 10x p

x x 2

sea exactaa

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

07. Si la siguiente divisin:

4 3 2

22x 7x 16x Ax B

2x 3x 4

deja como resto: 13x + 3. Determine :AB

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 1/3

08. Si la divisin :

3 24x 3x nx 10x 5

es exacta. Hallar "n"

a) 113 b) 2 c) -7d) -117 e) 77

09. Hallar el residuo en:

4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2x 2

a) 0 b) 2 c) 2 2d) 3 2 e) 4 2

10. Indique la suma de los coeficientes delcociente:

4 3 23x 5x x x 23x 1

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Diaria

0 1 . Sabiendo que:

a b 8 7 2

ab 4 7 5

calcular:2 2a bE

2

a) 6 b) 12 c) 7

d) 2 7 e) 0

02. Dar el valor ms simple de:

2 4 8 1616T 26(5 1)(5 1)(5 1)(5 1) 1

a) 5 b) 10 c) 25d) 5 e) 15

03. Si: a2 + 3a = 7

Calcular:(a 6)(a 5)(a 3)(a 2)Q

3

a) 5 b) 8 c) 9d) 11 e) 12

04. Si: xy = 1 y3 3x y 3x y

Calcular: 2 2x y

a) 8 b) 5 c) 4d) 7 e) 6

05. Si:1x 5x

Calcular:3

31x

x

a) 70 b) 90 c) 80d) 95 e) N.A.

72 lgebra

7Al finalizar el presente tema Ud. estar en la capacidad de:* Reconocer los diferentes casos de cocientes notables* Obtener en forma directa el desarrollo de un cociente notable* Emplear frmulas y tcnicas para calcular un trmino cualquiera en el desarrollo

de un cociente notable

Ciciente notable es aquel cociente que sepueden obtener en forma directa sin necesidadde efectuar la operacin de divisin.

Son de la forma:m mx ax a

Donde:

* "x" y "a" son los trminos del divisor.* m , m 2 (m: Nmeros de trminos)

Segn la combinacin de signos se puedenanalizar 4 casos, dando en cada caso ya seaentero completo.

m mx a q x R(x) 0x a

m mx a R(x)q x R x 0x a x a

COCIENTES NOTABLES I

m mx ax a

m mx ax a

m mx ax a

m mx ax a

m 1 m 2 m 3 2 m 1x x a x a ... a ; m

mm 1 m 2 m 3 2 m 1 2ax x a x a ... a ; m

x a

m 1 m 2 m 3 2 m 1x x a x a ... am Impar

mm 1 m 2 m 3 2 m 1 2ax x a x a ... a ;

x am par

m 1 m 2 m 3 2 m 1x x a x a ... am par

mm 1 m 2 m 3 2 m 1 2ax x a x a ... a ;

x am Impar

mm k k 1

k 1x a

mmm k k 1

k 1

2ax ax a

m k 1 m k k 1k 1

1 x a

mm k 1 m k k 1k 1

2a1 x ax a

m k 1 m k k 1k 1

1 x a

mm k 1 m k k 1k 1

2a1 x ax a

73


lgebra

Adems:k-1 m-k

kt = ( ) x a

kt = trmino de lugar k contado del trmino final

Ejemplo explicativo:

153 102

3 2x +ade :

x +a.

Calcular: a) Nmero de trminos del C.N. b) Hallar: el 23 44t y t

Resolucin

a) Nmero de trminos del C.N. :

153 102= =51 trminos3 2

b) 51-233 22 84 4423 23t =+ x a t =+ x a 51-44 433 2 21 8644 44t =+ x a t =- x a

Desarrollar los siguientes cocientes notables:

01.5 5x aEx a

5 5m nFm n

02.6 6a bRa b

6 6x yTx y

03.12 16

3 4a bKa b

24 48

6 12x yLx y

04. Si el cociente: ;n 5n-18

2 9

x -y es notable.x -y

Hallar el valor de "n"

05. Hallar el valor de "m" para que el cociente seanotable:

16 m 18m 20m 1 2m

x yx y

06. Cul debe ser el valor de "n" para que lasiguiente expresin sea un cociente notable?

2n n 20

2 3x y

x y

07. Calcular el nmero de trminos siguientecociente notable:

5 n 65n 3n 1 n 2

x yx y

08. El cociente:4n 12 4n 3

n 8 n 9x yx y

; es notable .

Hallar el nmero de trminos.

Frmula del trmino general

Para la divisin :m mx ax a

El tmino de lugar "k" del cociente q(x) vienedado por:

m - k k - 1kt = ( ) x a

signo

Donde: x : es el 1er trmino del divisor a : 2do trmino del divisor m : nmero de trminos del cociente

Regla para determinar el signo

a) Si: d(x) = x - a ; todos los trminos del C.N.son positivos

b) Si d(x) = x + a ; se tiene

i) Trminos de lugar impar son positivosii) Trminos de lugar par son negativos


74


lgebra

Diaria

01. Desarrollar el siguiente cociente notable :4 4m nE

m n

02. Desarrollar el siguiente cociente notable :5 5x yRx y

03. Desarrollar el siguiente cociente notable:12 18

2 3a bQa b

04. Si el cociente es notabledetermine "a":6a 24 2a

3 2x y

x y

a) 1 b) 8 c) 5d)10 e) 15

05. Hallar el valor de "m" para que el cociente:15m+50 15m-10

m+1 m-2

x - yx - y , sea notable

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 6

Semanal

06. Hallar el valor de "k" para que el cociente seanotable:

k 1 2k 10

2n 2np y

p y

a) 5 b) 8 c) 11d) 18 e) 21

07. Calcular "m" en el siguiente cocientenotable :

2m 3 3m 3

2m 1 3m 5x yx y

a) -1 b) 1 c) 3d) 5 e) 6

08. Desarrollar el siguiente cociente notable:4n-1 2n+4

2n-5 n-1

x - zx - z

a) 2 b) 3 c) 10d) 5 e) 7

09. Hallar el cociente notable del siguientedesarrollo:

636 33 30 3x +x +x +....+x +x +1

a)39

3x 1x 1

b)

37x 1x 1

c)39x 1x 1

d)

2x 1x 1

e)36x 1x 1

10. Hallar el C.N. que di origen al siguientedesarrollo:

10n 8n 6n 4n 2nx + x + x + x +x + 1

a)13n 2xx 2

b)10nx 2x 2

c)12n 1xx 1

d)12n 1

2nxx 1

e)12n

2nx 1x 1

09. Hallar el cociente notable de los siguientesdesarrollos:

F = 14 12 10 4 2x x x ... x x 1

G = 39 36 33 6 3x x x ... x x 1

10. Cul es el cociente notable que di origen alos siguientes desarrollos:

T = 6n 4n 2nx x x 1

12m 10m 8m 6m 4m 2mW x x x x x x 1

75 lgebra

8 TEOREMA DEL RESTO COCIENTES NOTABLES01. Calcular el residuo al dividir:

15 12 9 6 3

3x 15x 12x 9x 6x 3

x 1

Rpta.:

02. Calcular el resto de la divisin:

2 52 2 25 2

2(x 4x 5) (x 4x 3) (x 2)

(x 2)

Rpta.:

03. Determine el resto al dividir:

2(x 2)(x 1)(x 3)(x 4) 5

x 2x 7

Rpta.:

04. Calcular el resto al dividir:

10 5 5

2( 4) ( 8) ( 2)( 6)

8 8x x x x x

x x

Rpta.:

05. Obtener el valor de m, luego de dividir:6 3 2mx (4m 3)x m(x 1) 2

x 1

, sabiendoque el resto es 8

Rpta.:

06. Hallar el nmero de trminos del cocientenotable:

4n 12 4n 3

n 8 n 9x y

x y

Rpta.:

07. Hallar n n Z , en el cociente notable:29n 12 2n

3 2x y

x y

Rpta.:

08. Hallar el trmino de lugar 14 del desarrollo de:

31 31x yx y

Rpta.:

09. Dado el cociente notable:

96 72

8 6P mP m

Calcular el trmino de lugar 11.

Rpta.:

10. Calcular: a + b; sabiendo que el t17 del

cociente notable:a b

5 7x yx y

es: 115 112x y

Rpta.:

76


lgebra

Semanal

06. Si:5n 3 5n 30

n 1 n 2x y

x y

Es un cociente notable. Indicar el nmero detrminos en su desarrollo.

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

07. Hallar "n" n en el cociente notable24n 16 3n

2 3x y

x y

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

08. Hallar el trmino de lugar 15 en el desarrollode :

21 21x yx y

a) 6 14x y b) 3 8x y c) 9 6x y

d) 4 9x y e) 10 2x y

09. Dado el cociente notable:12 20

3 5x ax a

Calcular el trmino de lugar 3.

a) xa10 b) x3a c) x2a4d) xa e) x3a10

10. Calcular: "m + n" , sabiendo que el 17t delcociente notable:

m n

5 7x yx y

es : 115 112x . y

a) 470 b) 480 c) 400d) 950 e) 380

Diaria

01. Hallar el resto de:60 45 30 15 5

53x 5x 3x 2x x 7

x 1

a) 3 b) 5 c) 2d) 6 e) 19

02. Al dividir:

2 39 2 41

2(x 5x 7) 3(x 5x 5) (x 1)(x 4) 7

x 5x 6

Se obtiene como resto:

a) 6 b) 7 c) 1d) 4 e) 9

03. Calcule el resto de la siguiente divisin:

2(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)

x 5x 5

a) 1 b) 1 c) 2d) 3 e) 5

04. Calcular el resto al dividir:

40 20 20

2(x 2) x (x 4) (x 1)(x 3)

x 4x 2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05. Obtener el valor de "k" luego de dividir:

24 2x 5k 2 x k x 1 1x 1

;

sabiendo que el resto es : 7

a) 3 b) 4 c) 9d) 6 e) 7

77 lgebra

9 FACTORIZACIN1. Conceptos Previos.

a) Polinomios sobre un conjuntonumrico: un polinomio est definido sobreun conjunto numrico cuando sus coeficientesestn en dicho conjunto numrico.

Ejemplos:

f(x) = 3 25x 3x 4x 9 est definido en g(x) = 4 3 27x 5 x 3x 5 est definido en

b) Polinomios irreductible (o primo)sobre un conjunto numrico: es aquelpolinomio que no acepta transformaciones omultiplicacin indicada de dos o mspolinomios no constantes, pertenecientes adicho conjunto numrico.

Todo polinomio primo presenta como nicosdivisores a el mismo y a cualquier constanteno nula.

Ejemplo:

f(x) = x + 3

g(x , y) = x + y - 5

En cualquiera de los dos casos anteriores noes posible transformarlos a una multiplicacinde polinomios no constantes, por lo tanto, f(x)y g(x , y) son primos en o .

Postulado.

Todo polinomio de la forma (ax + b) esirreductible en cualquier conjunto numrico.

Veamos ahora los siguientes casos:

* f(x) = 2x 25 no es primo en , ya que:

= x 5 x 5

*g(x) = 2x 7 es primo en ; ya que :

22x 7

x 7 x 7

c) Factor algebraico o divisoralgebraico: Un polinomio no constante, esfactor algebraico de otro polinomio, cuando lodivide exactamente, es decir si f(x) es un factorde g(x) es divisible por f(x).

Ejemplo:

*a + 5 es factor de 2a 7a 10 , ya que2a 7a 10 a 2 es exacta

a 5

*x - 3 no es factor de 3x 7, ya que3x 7x 3

no es exacta.

2. FactorizacinLa factorizacin es un proceso detransformaciones sucesivas de un polinomioen una multiplicacin indicada de polinomiosprimos, denominados factores primos, dentrode un conjunto numrico.

Veamos: 4f x x 9 *Factorizacin en el conjunto

22 2 2 2primo en

f x x 3 x 3 x 3

existen 2 factores primos en

78


lgebra

*Factorizacin en el conjunto , tenemos:

2 2

22 2

2

primo en

f x x 3 x 3

x 3 x 3

x 3 x 3 x 3

Observaciones:

1. Generalmente el conjunto en el que seha de trabajar es el delos RACIONALES( ) salvo se indique lo contrario.

2. El nmero de factores primos, como lohemos visto anteriormente depende delconjunto numrico en el que se trabaje.En el conjunto numrico de los racionales,el nmeros de factores primos se calculacontando los factores basales (quefiguran como bases y que contengan alas variables, denominados tambinfactores algebraicos). As por ejemplo:

f(x) = 2x 3 x 5 tiene 2 factores primos

g(h) = h(h + 1) 2h 2 3h 3tiene 4 factores primos.

p(x ; y) = 3 42 2x y x 2y x 3y tiene 4 factores primos.

3. Si se cambia de signo a un nmero parde factores, la expresin no se altera.Sea:

F(x) = (x - 4) (2 - x) (x + 3) (5 - x)

Si se cambia de signo al factor (2 - x) y(5 - x), se tendr.

F(x) = (x - 4) (2 - x) (x + 3) (x - 5)

4. Sea: a b y c

Donde: a , b y c son primos entre s:

# factores 1 1 1

Ejemplo

Determinar el nmero de factores de x2 y2

Resolucin

Desagregando a la expresin en cada uno desus factores, se tendr:

2 2x y2

2

2

2

2 2

1xyxy

x

y

x y

x y

x y

Como se observar existen 9 factores, loscuales se obtendrn directamente, a travsde la relacin anteriormente mostrada.

# factores = (2 + 1) (2 + 1) = 9

De donde se debe tener en cuenta que:

# factores algebraicos 1 1 1 1

ya que aqu se descarta al 1 porque es unpolinomio de grado cero.

3. Factorizacin por el Mtodo delFactor Comn.

Se recomienda utilizar este mtodo cuandotodos los trminos del polinomio tienen uno oms factores comunes. Estos factores puedenser monomios o polinomios.

79


lgebra

a) Factor Comn Monomio

Cuando los trminos de un polinomio tienenuno o varios factores numricos o literales queaparecen en todos ellos, se dice que talesfactores forman un factor comn. As, por

ejemplo, el polinomio 23x 12x tiene losfactores 3 y x comunes a los dos trminos,formndose as el monomio "3x" como factorcomn.Los polinomios que tienen un factor comnpueden factorizarse como una aplicacin dela propiedad distributiva, as:

23x 12x 3x . x 3x . 4

3x x 4

Factor comn monomio

El Factor Comn Monomio sobre los enteros,se determina fcilmente hallando el M.C.D delos coeficientes de todos los trminos delpolinomio dado, el cual ser el coeficiente delfactor comn y escribiendo a continuacin del las variables comunes con el menorexponente con que aparecen en el polinomio..

Luego, se divide cada uno de los trminos delpolinomio entre el monomio comn. Losresultados se escriben dentro de un signo deagrupacin. O sea parntesis, corchetes ollaves.

Ejemplo 1: Factorizar : 3 26x 15xResolucin:

1 Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 6y 15. As:

6 - 15 32 - 5 M.C.D 6 y 15 3

2 El menor exponente con que aparece la

variable "x" es 2, osea x por lo tanto, el

factor comn es: 23x

Luego:

3 2Dividimos 6x 3x 2x 2 2Dividimos 15x 3x 5

3 2 26x 15x 3x Factor comn monomio

3 2 26x 15x 3x 2x 5 Ejemplo 2 Factorizar: 2 2 2 22x y 6xy 8x y

Resolucin:

1 Hallamos el M.C.D de los coeficientes2 ; 6 y 8.

As:

2 6 8 21 3 4

M.C.D 2 ; 6 y 8 2 2 El menor exponente con que aparece la

variable "x" es 1 y el menor exponente conque aparece la variable "y" es 1.

Por lo tanto, el factor comn es : 2xy

2

2

2 2

Dividimos 2x y 2xy x

Dividimos 6x y 2xy 3y

Dividimos 8x y 2xy 4xy

2 2 2 22x y 6xy 8x y 2xy x 3y 4xy b) Factor Comn Polinomio

En el caso de que el polinomio tenga un factorcomn polinomio de dos o ms trminos parafactorizarlo se procede en la misma formacomo en el caso anterior, osea aplicando lapropiedad distributiva.

ab ac a b c

80


lgebra

Ejemplo 1

Factorizar: 5a (x - y) + 10b2 (x - y)

Resolucin:

1 Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 5y 10.

As:

5 10 51 5

M.C.D. 5 y 10 5

2 El menor exponente del polinomio comn(x - y) es 1.

Luego:

Factor comn monomio

Dividimos 5a x y 5 x y a

25a x y 10b x y 5 x y

2 2Dividimos10b x y 5 x y 2b 2 25a x y 10b x y 5 x y a 2b

4. Factorizacin por Agrupacin de trminos

Se agrupan los trminos de 2 en 2 en 3 en3, etc. de acuerdo con el nmero exacto degrupos que se puedan formar de modo queresulte un factor comn polinomio. Luego seprocede a factorizar, segn la regla del casoanterior.

Ejemplo 1.

Factorizar: 2x 2x cx 2c

Resolucin

Agrupamos el primero con el segundo y el tercerocon el cuarto.

2 2x 2 x cx 2c x 2 x cx 2c Sacamos factor comn x

Sacamos factor comn c

x x 2 c x 2

Sacamos factor comn "(x - 2)"

= (x - 2) (x + c)

2x 2x cx 2x x 2 x c

Ejemplo 2

Factorizar: 2yz + 7y - 2z - 7

Resolucin:

Agrupamos el primero con el tercero y el segundocon el cuarto, obtenemos:

Sacamos factor comn 2z

Sacamos factor comn 7

2yx 7y 2x 7 2yz 2z 7y 7

2z y 1 7 y 1

Sacamos factor comn "(y - 1)"

= (y - 1) (2z + 7)

2yx 7y 2z 7 y 1 2z 7

81


lgebra

5. Factorizacin por el criterio deidentidades

Consiste en aplicar los productos notables enforma inversa

a) Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P)

22 2A 2AB B A B Todo trinomio cuadrado perfecto setransforma en binomio al cuadrado.

Ejemplo:

2 3 6 3 2

Binomio alcuadrado2 3 23(4x) (5y )2(4x) 5y

16x 40xy 25y (4x 5y )

b) Diferencia de Cuadrados:

2 2A B (A B)(A B)

Ejemplo(1) factorizar: 4 2x 4b

Resolucin:

Se tiene : 2 22 2 2x 2b x 2b x 2b Ejemplo(2) factorizar: 2 2 6x 2xy y z

Resolucin:

Se escribe as la expresin :

22 3x y z 3 3x y z x y z c) Suma o Diferencia de Cubos

3 3 2 2A B (A B)(A AB B )

Ejemplo factorizar : 327x 8 Resolucin:

3 3 2(3x) 2 (3x 2)(9x 6x 4)

6. Criterio del aspa simple: se aplicapara factorizar polinomios de la forma

P(x;y) = 2n n n 2nAx Bx y Cy

Para ello debemos indicar lo siguiente:

Se adecua la expresin a la forma indicadaanteriormente, luego se descomponeconvenientemente los trminos extremosincluyendo signos.

Se efecta el producto en aspa y se suman losresultados, si ste coincide con el trminocentral de la expresin, se concluye que losfactores sern las sumas horizontales, as.

Ax + Bx y + Cy2n n n 2n

Dx FyEx Gy

n nn n

EFx y +

DGx y

n n

n n

Bx yn n

Son factores primos:n n n n(Dx Fy ) (Ex Gy )

Ejemplo(1) factorizar:

6a + 5ab - 4b2 2

3a 4b2a - b

8ab +- 3ab

5ab

Son factores primos.

(3a + 4b) (2a - b)

Ejemplo(2) factorizar:

x - x y - 6y8 4 4 8

x - 3yx 2y

4 44 4

-3x y + 2x y

4 44 4

- x y4 4

Son factores primos:

4 4 4 4( x 3y ) ( x 2y )

82


lgebra

7. Mtodo del Aspa Doble: Se empleapara factorizar polinomios de 6 trminos, cuyaforma general es:

2 21 42 3 5 6

P x;y Ax Bxy Cy Dx Ey F

Donde x, y: son las variables

Procedimiento:

1. Se ordena el polinomio de acuerdo a laforma general, defaltar algun trmino secompleta con ceros

2. Se trazan dos aspas simples entre el 1er,2do , 3er trmino y 3er, 5to y 6to trmino.

3. Aspa de comprobacin entre 1er, 4to y6to trmino

5. Se verifican las aspas, simples y el aspagrande.

6. Se toman los factores en forma horizontalEjemplo: Factorizar:

20x + 22 xy + 6y - 33x - 17y + 72 2

5x 3y - 74x 2y - 1

P(x;y) =

la expresin factorizada es:

P(x;y) = (5x + 3y - 7) (4x + 2y - 1)

08. Mtodo de los divisoresbinomicos: este mtodo se aplica parafactorizar polinomios de cualquier grado, queadmiten factores de primer grado.

* Valor crtico de un polinomio (V.C.):Son todos los valores que puede tomar lavariable de un polinomio y reemplazando enel polinomio hacen que su valor numrico seaigual a cero.

Ejemplo: 3 2P x x 6x 3x 10 Resolucin:

Para: x = 1 P(1) = 231 6 1 3 1 10 P(1) = 0

Como: P(1) = 0 1 es un valor crtico de un polinomio

* Determinacin de los valores crticosde un polinomio

1. Cuando el primer coeficiente es la unidad,se toman todos los divisores del trminoindependiente con su doble signo.

Ejemplo: 3 2P x x 6x 3x 10 V.C. 1 , 2 , 5 , 10

2. Cuando el primer coeficiente es diferentea la unidad, adems de lo anterior, setoman los valores fraccionarios que seobtienen de dividir los divisores deltrmino independiente entre los divisoresdel primer coeficiente.

Ejemplo: 3 2P x 5x 5x 2

Divisores de :2 1 , 2V.CDivisoresde:5 1 , 5

V.C =1 21, 2 , ,5 5

Procedimiento para factorizar:

i). Se halla, por lo menos un valor crtico delpolinomio, calculando as un factor.

ii). El otro factor se determina por RUFINNI, elpolinomio a factorizar entre el divisor obtenido

iii). Se calcula tantos valores crticos como seanecesario.

iv) Para obtener los dems factores se divide porRuffini cada valor crtico, en forma sucesiva,hasta obtener un cociente de segundo gradoque nos permita aplicar aspa simple.

v) Cuando los trminos del polinomio sonpositivos slo se prueban valores negativos.

83


lgebra

01. Factorizar cada uno de los polinomios:

I. 2 2 2M p a p b p c II. 10 5 7 8 11 9P 5a b 10a b 25a b III. E 3xy 3my 3xn 3mn

02. Factorizar e indicar un factor:

F x; a a x 1 b 1 x cx c a) x + a + b + c b) x + 1c) a + b + c d) a - b - ce) a + b - c

03. Indique un factor de:

3 2 2 3P a;b a 2a b 4ab 8b a) 2 2a b b) 2 2a 2b c) a + bd) a + 2b e) a + 4b

04. Factorizar: 2 2M 4x 20xy 25y a) 22x 8y b) 22x 5yc) 24x 3yd) 22 24x 3y e) 222x 5

05. Factorizar: 2 2E m 1 49y

e indicar un factor primo

a) m + 2 - 7y b) m + 1 - 7y

c) 2m 7y d) 2m 8e) 2m 7

06. Factorice e indique un factor primo.3E x 27

a) 2x 2x 9 b) 2x 3x 9 c) 2x 3x 18 d) 2x 2x 9 e) x + 3

07. Factorizar: 2P x 6x x 1 Dar como respuesta la suma de los factoresprimos.

a) 6x b) 7x c) 5xd) 5x + 1 e) 5x - 2

08. Factorizar: 4 2Q x x 10x 9 Indicar un factor primo.

a) x + 9 b) x - 9 c) 2x 3d) 5x + 1 e) 5x - 2

09. Factorizar: 2 2P x;y 3x xy 10y Indicar un factor primo.

Ejemplo factorizar: P(x) = 3 2x 4x x 6

Divisores de : 6 1 ; 2 ; 3 ; 6 V.C. Para : x = 1

3 2P 1 1 4 1 1 6 P(1) = 0

x 1 x 1 es factor del polinomio.Luego por Ruffini:

1 4 1 -6

x = 1 1 5 6

1 5 6 0

cociente

2x 5x 6x 3x 2

Seguimos factorizando:

2x 5x 6 x 3 x 2 3 2x 4x x 6 x 1 x 3 x 2


84


lgebra

Diaria

01. Factorizar cada uno de los polinomios

I. 3 3 3M x y x z x w II. 9 7 10 6 11 5P 4x y 8x y 16x y III. 2 2 2 2E m x m y n x n y

02. Factorizar e indica un factor::

E m x 2 n x 2 p 2 x e indica un factor

a) mnp b) p + n c) x - 4d) x + 2 e) m - n + p

03. Factorice e Indicar un factor primo

2 2 2 2F x;y x y 2xy 3x y 6xy Indicar un factor primo

a) x + 1 b) x + 3 c) y + 1d) y + 2 e) y + 3

04. Factorizar: 2 2H x;y 16x 24xy 9y a) 24x 3y b) 22x 5yc) 24x 3yd) 24x y e) 22x 3y

05. Factorizar: 2 2R x;y x 4 y 2 Indicar la suma de los factores primos:

a) 2x + 2y + 4 b) 2x + 6c) 2x d) 2x - 4e) 2x - 8

a) 3x + 2y b) 3x - 5y c) 2 23x yd) x - 5y e) 2x - 5y

10. Factorice e indique un factor primo:

Semanal

06. Luego de factorizar: 3 3Q 27x 8y Indicar el factor primo de mayor suma decoeficientes

a) 23x 5y b) 2 273x 2yc) 3x - 2y

d) 3x + 2y e) 2 29x 6xy 4y

07. Factorizar: 2P x 2x 11x 5 Dar como respuesta la suma de sus factoresprimos

a) 4x - 3 b) 4x - 2c) 3x - 6d) 3x e) 3x + 2

08. Factorizar: 2 2M x;y 4x 27xy 18y Indicar un factor primo.

a) x - 6y b) 2x 9 c) 2x 12d) 2x 1 e) 2x 4

09. Factorizar: 4 2R x x 13x 36 Indicar un factor primo

a) x - 3 d) 2x 9b) 2x 12 e) 2x 4c) 2x 1

10. Factorice e indique un factor primo:

22 2 2C(x) x 6 3x x 6 10x a) x + 2 b) 2x - 1 c) 6x + a

d) 3x + a e) 2x x 6

22 2P x 2x 3x 14 2x 3x 45 a) 2x - 1 b) 2x - 3 c) 2x + 5d) 2x + 1 e) 2x + 3

85 lgebra

1006. Factorizar:

3 2(x)P x 2x 5x 6

Indicar la suma de coeficientes de los factoresprimos.

Rpta : .......................................................

07. Simplificar:

2ax bx ay byE

a ab

Rpta : .......................................................

08. Efectuar lo siguiente:

2 4 3

5 2 2x 2x 35 x yP

x y x 10x 25

Rpta : .......................................................

09. Reducir:2

2a 1 a 1 2aEa 1 a 1 a 1

Rpta : .......................................................

10. Reducir:

2 2

2 2x x 2 x 7x 12Fx 2x 3 x 6x 9

Rpta : .......................................................

01. Factorice e indique uno de los factores:

3 3 2 2(x;y)M x y x y xy

Rpta : .......................................................

02. Factorize y seale un factor primo:2 2P x y x(y z) y(x z)

Rpta : .......................................................

03. Factorizar: 2F (a b 3) 5a 5b 21 Indicar el producto de los trminosindependientes de sus factores.

Rpta : .......................................................

04. Factorizar:

(x)M (x 1)(x 2)(x 2)(x 5) 13 Indicar el nmero de factores.

Rpta : .......................................................

05. Factorizar:

2 2(x;y)P 6x 7xy 2y 13x 7y 5

Indicar un factor primo

Rpta : .......................................................

FACTORIZACIN FRACCIONES ALGEBRAICAS

86


lgebra

Diaria

01. Indicar uno de los factores:

3 3 2 2M a b a b ab

a) a2 2b b) a b c) 2abd) a4 + b4 e) a + b

02. Sealar un factor primo:

2 2F m n m(m p) n(m p)

a) m + p b) m n + p c) 2mnd) n + p d) m + n + p

03. Factorizar:

2 2 2F(x) (x x 1) 16(x x) 23

Sealar que factor no pertenece a F(x).

a) x 3 b) x 1 c) x + 4d) x + 2 e) x + 1

04. Factorizar:

N(x) (x 2)(x 3)(x 2)(x 1) 3

Indicar el trmino independiente de un factorprimo obtenido.

a) 5 b) 2 c) 5d) 4 e) 7

05. Factorizar:

2 2P(x;y) 5x 16xy 3y 11x 5y 2

Indicar un factor primo

a) x + 3y + 1 b) x y + 1 c) x + 3y + 2d) 2x + y + 5 e) 5x + y + 6

Semanal

06. Factorizar: 3 2(x)P x 5x 2x 24

Indicar el nmero de sus factores primos.

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

07. Simplificar:

2ac bc ad bdE

a ab

Indicar su numerador.

a) c + b b) a c) bd) a + b e) c + d

08. Efectuar lo siguiente:

2 3 2

4 2x 3x 2 x yP

x y x 4x 3

a)x(x 2)y(x 1)

b)

y(x 1)x(y 5)

c)

y(x 2)x(x 3)

d)5x3 e)

xy

09. Reducir:

21 4 3(a 1) 10P

a 1 a 1 a 1

a) 212

a 1 b) 24

a 1 c) 28

a 1d) 4 e) 8

10. Reducir:

2 2

2 2a 5a 6 a a 20Ea a 2 a 3a 4

a)2

a 1 b)3

a 3 c)a 2a 1

d) 3 e) 2

87 lgebra

11 RADICACIN ALGEBRAICA IAl finalizar el presente tema Ud. estar en la capacidad de:

Establecer las propiedades fundamentales de la radicacin en el conjunto delos nmeros reales

Simplificar y reducir radicales, operar expresiones irracionales, sean estasnumricas o literales

Extraer raz cuadrada a polinomios.Radiacin, es la operacin que consiste en hallara una expresin llamada raz, de modo que secumpla que al ser elevada esta a un nmerollamado ndice nos reproduzca la cantidaddenominada subradical o radicando.

n na r a = r

Donde: n = ndice (N natural mayor que 1)

a = cantidad subradical o radicando

r = raz

= smbolo radical

As : 33 8 2 2 8

Leyes de signos

impar1) N positivo = raiz positiva

impar2) Nnegativo = raiz negativa

par3) Npositivo = raiz

par4) Nnegativo = no tiene ningn valor real y se llama raz imaginaria

Ejemplos :

* 5 32 2 * 9 3

* 3 343 7 * 25 5

* 25 es un nmero imaginario porque no existe un nmero real "x" alguno, tal que : 2x 25

Clasificacin de los Radicales

a. Radicales Homogneos: son aquellosradicales que se caracterizan por tener elmismo ndice. Es importante tener en cuentalas operaciones de multiplicacin o divisinentre radicales homogneos.

Ejemplo :

3 x ; 3 ab ; 3 2x z radicales homogneos

b. Radicales Semejantes: son aquellos quese carecterizan por tener el mismo ndice yadems el mismo radicando. Es importantetener en cuenta que las operaciones de adicino sustraccin slo se pueden efectuar entreradicales semejantes.

*4 4 412 x ; 5 x ; x

4 radicales homogneos

* 3 3 33 ab 7 ab = 4 ab

88


lgebra

Leyes de los Radicales (recordar)

a) Raz de un producto:

n nn ab a . b

donde: n y a; b

b) Raz de una fraccin:

nn

naa

b b

b 0 n ; a;b

c) Potencia de una raz :

mn n ma a

n nrm mr

IMPORTANTE

a a; r

d) Raz de raz :

mnm n a a donde : m; n

De aqu se deduce el siguiente artificio :

n mm n a a

Observa: al permutar el orden de losndices la igualdad no se altera.

Al extraer un factor en un radical, cadaexponente se descompone (si es posible) enel producto de otras dos una de las cualestiene por exponente el mayor mltiplo delndice contenido en el exponente inicial y seextrae el factor del radical con un exponenteigual al cociente de dividir dicho exponenteentre el ndice.

Ejemplos :

a) 4 8 3 2 34x y z x y z

b) 3 4 8 3 3 6 2 2 23 316x y 2 .2.x .x.y .y 2xy 2xy

2 23 3 4 2 2c) 243a b = 3 .3a ab b3 3

2 2= .3 ab 3ab = 6ab 3ab3

d) 33 327a (b 2c) 3a b 2c

IMPORTANTE: si hay nmeros dentro dela raz se descompone en sus factores primos,y se extrae el factor que tiene como exponentea un mltiplo del ndice de la raz.

Al introducir un factor en un radical seeleva el factor a introducir a una potencia igualal ndice.

Ejemplos :

a) 3 33 32 5 5.2 40

32 2 2 23 37 5

3

2 2b) x y 2xy = x y 2xy3 3

16x y=27

Operaciones con radicales

1. Suma y Resta: si los radicales no sonsemejantes la operacin se deja indicada; silo fueran, se separa al radical como factorcomn de todos los trminos y se opera conlos coeficientes.

Ejemplo 1 :

Efectuar : 3 38 a 4 a 2 a 5 a

89


lgebra

Resolucin 312 a 3 a

Ejemplo 2 :

Efectuar : 5 5 53 x y x 2z x

Resolucin 5 x 3 y 2z

2. Multiplicacin y Divisin: si se tratade radicales homogneos; se toma la raz delmismo ndice al producto o divisin deradicandos. Si tienen diferente ndice seprocede previamente a la homogenizacin.

Ejemplo 1 :

Efectuar : 23 35x y. 2xy

Resolucin :

2 3 23 3(5x y)(2xy) 10x y

Ejemplo 2 :

Efectuar : 3m 2 5 2 23m 3mx . y . x y

Resolucin :

2 5 2 2 4 73m 3mx y x y x y

Ejemplo 3 : Efectuar 3 63 . 2 . 3

Resolucin:

Homogenizando ndices se tendr:

3.2 62.3 61.3 1.2 3 26 6

6 3 2 6

3 . 2 . 3 = 3 . 2 . 3

= 3 .2 .3 = 324

3. Potencia de un radical: basta conelevar la cantidad subradical o radicando alexponente al cual est elevado el radical.

m n mn a aEjemplos :

1.7

6 65 5 7 356a (a ) a

2.5

2 3 2 3 5 10 157 7 7x y (x y ) x y

4. Raz de un radical: En estos casos, seescribe la misma cantidad subradical afectadade un solo radical, cuyo ndice ser igual alproducto de los ndices de los radicales.

m n m na a

Ejemplo 1

Hallar la raz sptima de: 3 2x

Resolucin

Se pide: 7 3 7.3 212 2 2x x x

Ejemplo 2 Efecte : 3 5 4x

Resolucin

3 5 3.5 154 4 4x x x

Ejemplo 3

Efecte: 5 6 52 a b

90


lgebra

Resolucin

5 6 5.6.2 605 5 52a b 2a b 2a b

5. Raz cuadrada de Polinomios

Para extraer la raz cuadrada a un polinomio,debe tenerse en cuenta las siguientes reglas:

1) El polinomio debe ser de grado par.2) Se completa y ordena el polinomio con

respecto a una sola letra o variable, encaso falte uno o ms trminos estos secompletarn con cero.

3) Se agrupan los trminos del polinomio dedos en dos, a partir del ltimo trmino.

4) Se extrae la raz cuadrada al primertrmino del polinomio, que ser el primerode la raz, luego este se eleva al cuadradoy el resultado se resta del polinomio.

5) Se "bajan" los dos trminos siguientes delpolinomio, seguidamente se baja y duplicala raz encontrada, luego dividimos losprimeros trminos de los bajados entre elprimer valor duplicado y el cocienteencontrado ser el segundo trmino de laraz, y con su propio signo se adiciona y ala vez se multiplica por el valor duplicadode la raz, para luego el resultado restarlodel polinomio.

6) Se baja el siguiente grupo de dos trminosy se repite el paso anterior, tantas veceshasta que el resto sea a lo ms de ungrado menos que el grado de la raz, o entodo caso si la raz es exacta, el resto serun polinomio idnticamente nulo.

Ejemplo 1

Encontrar la raz cuadrada de:4 3 2x 6x x 32x 18

Resolucin

Verificando, el polinomio est ordenado ycompleto, luego procedemos de la siguientemanera:

4 3 2 2

4 2

3 2 2

3 2

2

2

x 6x x 32x 18 x 3x 5

x (2x 3x)3x

6x x (2x 6x 5)( 5)

6x 9x

10x 32x 18

10x 30x 252x 7

Luego raz: 2x 3x 5

resto: -2x - 7

6. Radical Doble: se denomina radical dobleaquella que presenta la siguiente formageneral:

nA B+-

Ejemplo: 5 24 ; 11 120

Transformacin de radicalesdobles a radicales simples: todoradical doble se puede descomponer en lasuma o diferencia de dos radicales simples,bajo la siguiente frmula:

A C A CA B2 2

donde: 2C A B

Nota:2A B (Debe ser un cuadrado perfecto)

Ejemplo transformar el radical doble a

radicales simples: 3 8

91


lgebra

Resolucin:3 C 3 C3 8

2 2 ;

donde: 2C 3 8 1 C 1 entonces:

3 1 3 13 8 2 12 2

Observacin: Estos radicales dobles se puedenresolver dndole la forma de binomio procediendola forma general:

2a b 2 ab a b a b a b donde : S = a + b (suma)

P = a . b (producto)

Ejemplos:

1. Transformar el radical doble a radicales

simples: 5 2 6

Resolucin: 6 = 3.2 y 5 = 3 + 2 ; entonces:

5 2 6 3 2

2. Transformar los radicales dobles a simples:

) 5 + 24 = 5 + 4.6

= 3 + 2 + 2 3.2 = 3 + 2

a

b) 7 - 40 = 7 - 4.10

= 5 + 2 - 2 5.2 = 5 - 2

2) 28 + 5 12 = 28 - 5 4.3

= 25 + 3 + 2 25.3 = 5 + 3

c

RacionalizacinLa racionalizacin, es la operacin mediantela cual se transforma una expresin cuyodenominador es irracional en otra equivalente perocon denominador racional. Para esto se multiplican

ambos trminos de la fraccin por una expresinllamada factor racionalizante.Factor racionalizante (F.R.): es la expresinirracional que multiplicada por el denominadorirracional lo convierte en una expresin racional

a) Racionalizacin de denominadoresmonomios: Si el denominador es de la formam nb el factor racionalizante es m m nb . Enestos casos el factor racionalizante esconocido tambin como el conjugado deldenominador.

Ejemplo:m mm n m n

m m mn n m n

a a b a b.bb b b

b) Racionalizacin de denominadoresbinomios: Cuando una fraccin presenta undenominador binomio, el factor racionalizantees en general un polinomio cuya formadepender del binomio original

Denominador binomio de la forma:

a b

Denominador: a b F.R. a b

Denominador: a b F.R a b

Ejemplos:

* a b ca a b c.

b cb c b c b c

* a b ca a b c.

b cb c b c b c

Denominador binomio de la forma:3 3a b

Cuando los denominadores son binomioscuyos radicales resultan ser de ndice treslos factores racionalizantes se obtienenas:

Si denominador: 3 3a b

92


lgebra

06. Hallar: B - A, en:

11 2 30 9 2 18 A B a) 39 b) - 38 c) 38d) 68 e) 52

07. Efectuar:

2F 8 2 12 13 2 42 7 a) 2 b) 4 c) 8d) - 2 e) 6

08. Racionalizar y reducir:1 3A 5

3 2 5 2

a) - 3 b) 2 3 c) 3

d) 7 3 e) 0

09. Efectuar:1 1 1 1M

8 6 6 2 2 2 2

a) - 2 b) 2 c) -1d) 1 e) 0

10. Al racionalizar: 2 344xy

2x y

se obtiene: 4 pm nx y ; m,n,p .Dar la suma de las cifras signficativas de :p mn ; m 1

a) 4 b) 7c) 11 d) 5e) dos son correctas

01. Calcular:

50 72 18E8 2

a) 6/5 b) 10/3 c) 1d) 8/3 e) 3/5

02. Efectuar:

43 32I = 2 8 - 8 + 4 -2 2

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 2 e) 2 2

03. Reducir:3 3 37 2 2 6 3

3 3 3

a b . a b . a bM =a b

a) 4 5a b b) 2ab c) 3 2a b

d) 6 7a b e) 2ab

04. Efectuar:

4 4W 11 2 18 1 2 1 2 a) 3 b) 2 c) 4d) -2 e) 2 2

05. Efectuar:

R = 5 + 2 6 + 9 + 2 14 - 10 + 2 21

a) -1 b) 2 2 c) 3 2

d) 2 e) 0

3 32 23F.R. : a ab b

Si denominador: 3 3a b

3 32 23F.R.: a ab b

Ejemplo:

3 3 3

3 3 3 3 3 3 3

16 20 252 2 .4 5 4 5 16 20 25

3 3 33 33 3

2 16 20 25

4 . 5

3 3 32 16 20 259


93


lgebra

Semanal

0 6 . Hallar: B - A, en:

15 - 2 54 + 8 + 2 12 = A + B

a) 18 b) 37 c) 83d) 61 e) N.A.

07. Efectuar:

2M 12 + 2 35 - 8 + 2 15 - 7a) - 3 b) 3 c) 2d) - 7 e) 9

08. Racionalizar y reducir:

1 2 6A = + -22+ 2 6 - 2

a) - 1 b) 0 c) - 2d) 2 e) 1

09. Efectuar:

2 3 1F = - -5 - 3 5 + 2 3 + 2

a) 1 b) 0 c) 2d) 2 2 e) - 2

10. Racionalizar:

5 2

3P =27a b

Indicar el denominador racionalizado

a) 4 59a b b) 3 c) ab

d) 2 3a b e) 6ab

Diaria

01. Reducir la expresin:

72 8 50E =32 2

a) 2 b) 6/ c) 3/5d) 1/6 e) 3/4

02. Efectuar:

43 50I = 2 18 - 2 + 4 - - 3 22 2

a) 3 2 b) 2 c) - 2

d) - 3 2 e) 0

03. Reducir:5 5 53 4 2 3 2

5 5 10

a b . a b . a bM =a b

a) a b) 2b c) abd) a/b e) ab

04. Efectuar:

4 4T 12 2 27 1 3 1 3 a) 1 b) 4 c) 6d) 7 e) 9

05. Efectuar:

Q = 8 + 2 15 - 12- 2 27 - 32+2 135 + 3

a) 3 b) -1 c) -3d) 4 e) N.A.

94 lgebra

RADICACIN RADICALES DOBLES RACIONALIZACIN1201. Efectuar:

3 33 4 5 3K 8x 2x 4x

Rpta: ............................................................

02. Simplificar:

2 2R x x 4 x x 4

Rpta: ............................................................

03. Reducir:3 83 5 7

24

a a aPa

Rpta: ............................................................


555 10M 2 . 3 . 7Rpta: ............................................................

05. Reducir:

1 1 1F 3 2 63 2 6

Rpta: ............................................................

06. El valor de la siguiente expresin:

2 2 3 2 3M3 3 1 3 1

Rpta: ............................................................

07. Efectuar:

R 3 2 2 17 2 72 19 2 18

Rpta: ............................................................

08. Sabiendo que:

11 2 30 9 2 18 a b

Calcular: a4 + b4

Rpta: ............................................................

09. Efectuar:

1 1 1 1M8 6 6 2 2 2 2

Rpta: ............................................................

10. Racionalizar:

3 3

3F7 2

Indicar el denominador racionalizado.

95


lgebra

Diaria

01. Efectuar:

5 5 53 4 3P 2a 4a 4a

a) 16a3 b) 32a10 c) 2a2d) 4a5 e) 4a3

02. Simplificar:

2 2E x x 9 x x 9

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

03. Reducir:6 3 45 2 3

12 3

a a aP =a

a) a24 b) a12 c) a5d) a2 d) a36


77 147M 3 . 5 . 2a) 5 6 b) 2 c) 2 15

d) 30 e) 3 10

05. Reducir:

1 1 1M 2 5 102 5 10

a) 3,4 b) 3,5 c) 3,6d) 3,7 d) 3,8

Semanal

06. Reducir:

3 3 1 3 1M2 2 3 2 3

a) 2 2 b) 3 2 c) 15

d) 2 6 e) 3 5

07. Efectuar:

J 3 2 2 5 2 6 7 2 12

a) 2 b) 1 c) 1d) 3 e) 4

08. Calcular: A + B

13 2 22 14 2 33 A B

a) 5 b) 1 c) 8d) 7 e) 3

09. Reducir:

2 3 1F5 3 5 2 3 2

a) 1 b) 0 c) 2 2d) 2 e) 2

10. Racionalizar:

3

3P10 1

Indicar el denominador racionalizado

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 9

96 lgebra

13 RESOLUCIN DE ECUACIONES DE 1 GRADOAl finalizar el presente captulo, el alumno estar en la capacidad de: Determinar la resolucin de una ecuacin algebraica dentro del conjunto de los

nmeros reales. Exponer con relativa amplitud las diferencias cualitativas respecto a la resolucin

de ecuaciones polinomiales.

Se denomina ecuacin a igualdad en la quehay una o varias cantidades desconocidasllamadas "incgnitas" y que solo se verificao es verdadera para determinados valores delas incgnitas.

Las incgnitas se representan con las ltimasletras del alfabeto:

x , y , z , u , v , ..............

As: x 7 10

se observa que la igualdad se verifica solapara x = 3; en efecto si sustituimos la "x" por"3" tenemos:

(3) + 7 = 10 ; osea : 10 = 10

A una ecuacin de 1er grado tambin se lellama "ECUACIN LINEAL" cuya formageneral de representarla es:

ax + b = 0

donde:

x : es la incgnita

a y b : son los coeficientes

Su solucin viene dada por:

bx =a

Discucin de la raz solucin

Si: ba 0; b R xa es una ecuacin

"Compatible Determinada"

Si: 0a 0; b 0 x ;0

"x" admite cualquiervalor por lo tanto la ecuacin es "CompatibleIndeterminada"

Si: ba 0; b 0 x ;0 "x" no admite

ningn valor, por lo tanto la ecuacin no tienesolucin, entonces es una ecuacin"Incompatible o Absurda"

Resolucin de ecuaciones:

Se siguen los siguientes criterios:

1. Si a los miembros de una ecuacin se le sumao se le resta una cantidad determinada, laigualdad se mantiene.

2. Se puede suprimir 2 trminos idnticos quefiguren al mismo tiempo en los 2 miembrosde una ecuacin.

3. Se puede trasladar un trmino de un miembroa otro con tal que se cambie el signo, y laigualdad se mantiene.

4. Si se multiplican o dividen los dos miembrosde una ecuacin por una cantidad determinadala igualdad se mantiene.

97


lgebra

06. Resolver :

3(x 2) 2(x 2) x(1 2) 4x 8

a) 8 b) 16 c) 33d) 8 e) 25

07. Hallar "x" en cada caso:

I. 2 3x 8 2x 2x

II. x 5 3x 5x (6 x) 3

08. Resolver :

3x 1 (x 4) 2(x 3) 3(1 2x) = x 2a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

09. Hallar: "x"

2(3x 3) 4(5x 3) = x(x 3) x(x + 5)

a) 8 b) 1 c) 3d) 15 e) 4

10. Resolver :

2 2 2 2 2x a a (b c) b x c

a) ac b) bc c) 0d) a + b e) b + c

01. Resolver cada una de las ecuaciones:

I. 3(x + 2) - 5(4 - 7x) = 8II. 3x ( 2x 4) 11x 4 III. 5x + 3 (x - 1) = 4 (x - 2)IV. 3(2x 1) 5(2 x) 2(x 1) V. x 3 4(x 5) 2(1 2x) 9

02. Hallar : x

2x (x 3) 5(x 1) 7(x 3)

a) 3/4 b)193 c) 4

d) 6 e) 5/2

03. Resolver :

23x 17(x 3) 8(1 5x) 59

a) 7 b) 0 c) 2d) 3 e) 2

04. Resolver :

5(2x 1) 4(5x 2) 19 2(x 12)

a) 8/9 b) 1 c) 7/9d) 4/5 e) 1/6


I.2(2 3x) 3(3 2x) = 4(x +1) + 3(4 5x)

II. 4x - (3x + 9) = x + 2 - (2x - 1)

13PRCTICA DIRIGIDA N 13

98


lgebra

Semanal

06. Resolver :

5(x 3) 3(x 3) x(1 3) 2x 6

a) 10 b) 12 c) 16d) 17 e) 25

07. Hallar: "x", en la ecuacin:

6x (2x 1) 5x (2x 1) y encontrar:

2x12

a) 5 b) 2 c) 0d) 3 e) 1

08. Resolver en cada caso:

I. 9x (5x + 1) 2 + 8x (7x 5) + 9x = 0II. 5(x - 1) - 4(x - 2) = 3(x - 3) - 2(x - 4) + 4


I. x(x - 8) + 9x + 10 = x (x - 7) + 90

II. x(x 7) 6x 3 x(x 1) 23

10. Resolver :

2 2 2 2 2x m m (n p) n x p

a) m + n b) pm c) nm +1d) np e) m n

Diaria

01. Resolver cada una de las ecuaciones:

I) 4(x 1) 2x 3 11 II) x 1 3(x 1) 1 x III) x (2x 1) 8 (3x 3) IV) 43 2x 8(x 3) 39

02. Hallar: x

5(2x 1) 3(x 3) 3x 6

a) 2 b) 7 c) 18d) 5 e) 4

03. Resolver :

x 3 4(x 5) 2(1 2x) 9

a) 1 b) 0 c) 2/5d) 12 e) 4/7

04. Resolver:

5(x 1) 16(2x 3) 3(2x 7) x

a) 2 b) 2 c) 1d) 1 e) 4


I. 7(18 x) 6(3 5x) (7x 9) 3(2x 5) 12 II. 7(2x - 5) - (4x - 11) = 9(x - 6) + 29

99 lgebra

14 RESOLUCIN DE ECUACIONES DE 1 GRADO( CASOS DIVERSOS )Al finalizar el presente captulo, el alumno estar en la capacidad de:Despejar la variable "x"; previamente eliminando signos de coleccin.Hacer uso de la resolucin de ecuaciones con coeficientes racionales

a) 9 b) 11 c) 12d) 6 e) 8

07. Resolver:

x 2 x 3 x 4 x 52 3 4 5

a) 0 b) 2 c) 3d) 1/4 e) 2

08. Hallar "x"

( x a ) ( x 1 ) = ( x b ) ( x 2 )

a)2b a

1 a b

b)b a

1 a b

c)b aa b

d)a 2ba b e)

b aa b 1

09. Resolver "x"

2 2 2(a x) a(a 1) x a

a)2a

2b)

a 12 c)

a 1a

d)a 1

2

e)2a 1

2

10. Resolver para "x"

mx m 3mx2n n

a)m 2n

2m

b)m n

2

c)2m n

m

d)m 2n

3

e) m n

01. Hallar "x" en cada una de las siguientesecuaciones:

a) 2 ( x + 3) = 5 (x 1) 7 (x 3)b) 9x (2x 1) = 7x (3 - 5x) + (24 x)c) x [ 5 + 3x { 5x (6 + x)}] = 3d) 16x - [ 3x -(6x - 9x)] = 30 + [-(3x + 2) -(x+ 3)]


I. (8x 2) (3x + 4) = (4x + 3) (6x 1)

II. (2x + 3) (3x + 1) = 26 x x 1 26 03. Resolver:

I. ( x + 3 ) ( x 3 ) 2 ( x 13 ) = x + 16

II. (x + 6) (x - 2) + 16 = x (x + 8)


I. 2 2 2( x 2 ) x 2x ( x 2 ) II. 2 2x 2 3 x 17


I.2x x 73x5 10 4

II.x 2x8 7 15 5


I.2x 3 x 2 x 1

2 3 2

II.x 42 8 13

5

100


lgebra

Semanal

06. Hallar "x"

5x 2 3x 4 7x 52 3 4

a) 1/3 b) -12/13 c) 7/8d) -13/3 e) 7/2

07. Hallar "x"

x 1 x 2 x 3 x 42 3 4 5

a) 67/53 b) 60/31 c) 27/13d) 5/7 e) 3/7

08. Hallar "x" si:

( x + a ) ( x - 1 ) - 2a( a - 1) = 2a( x - a ) + x2

a) a b) - a c) 2a

d)a 1

a

e) a - 1

09. Resolver para "x"

2 2(x a) (x a) 4(x 3a) 4x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

10. Hallar "x"

ax a 3ax2b b

a)a 2b

2a

b)a 2b

a

c)2a b

2

d)5a b

b

e)3a b

2

Diaria

01. Hallar "x" en cada una de las siguientesecuaciones:

a) 3 ( x 2 ) + x = 2x 4

b) 7 ( x 3 ) = 9 ( x + 1 ) 38

c) 9x ( 5x + 1 ) = { 2 + 8x ( 7x 5 ) } + 9x

d) 2x 7 [ 2x + 4 3(x + 2) ] = 3x ( x 8)

02. Si al resolver la ecuacin:

( 2x + 3 ) ( 3x 5 ) = ( 6x 1 ) ( x + 2 )

Se obtiene la fraccin irreductible:ab

Hallar: a + b

a) 1 b) 3 c) 23d) 13 e) 10

03. Determine "x" en cada caso:

I. (x - 5) (x + 3) + 2 = x2 - 5x+ 3

II. ( x - 2 ) ( x + 2 ) - 3 ( x - 7 ) = x + 25


I. 2 2 2 2(x 1) (x 2) (x 3) x 6 II. 2 2 2x 1 x 2 2x 3


I.2x x 1 x3 2 4 2

II.3x 17 3 x2 4 4 2

101 lgebra

ECUACIONES CUADRTICAS15 Reconocer las ecuaciones cuadrticas 2ax bx c 0 , las cuales tienen en

su formacin caractersticas y propiedades inherentes bastante usuales en laresolucin de ecuaciones.

Aplicar los mtodos de solucin de tal manera que nos conlleve a las races de laecuacin.

Ecuaciones de segundo grado

Concepto:

Llamada tambin ecuacin cuadrtica, es aquellaecuacin polinomial que tiene 2 races y que tienela forma:

2ax bx c 0 ; a 0

Observacin: Ser ecuacin cuadrtica mnica, siendo: a =1 ; sea:

2x bx c 0

Donde: a; b; c son los coeficientesx es la incgnitaa

Una ecuacin cuadrtica se puede resolverfactorizando o aplicando la siguiente frmulageneral:

2b b 4acx2a

donde: 2b 4ac , se llama discriminante.Ejemplo:

Hallar las races de la ecuacin :21x 2x 2 0

a b c

Resolucin:

Identificando: a = 1 ; b = 2 ; c = - 2

Por frmula general:

2

1

2

(2) (2) (4)(1)(2)x

2(1)

2 12 2 2 3x

2 2

x 1 3x 1 3

x 1 3

CS. 1 3 ; 1 3

Anlisis de la Discriminante

Sea: 2ax bx c 0 2b 4ac ; (discriminante)

Si: > 0 ; las races de la ecuacin son realesy diferentes.

Si: = 0 ; las races de la ecuacin son realeso iguales (raz nica)

Si: < 0 ; las races de la ecuacin soncomplejas y conjugadas.

102


lgebra

Propiedades de las races:

Sean: "x1" y "x2" las races de la ecuacin:

2ax bx c 0; a 0

Se puede establecer las siguientespropiedades :

a) Suma de races:

1 2bx xa

b) Producto de r

Álgebra 201 sel. sec

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