Matem

áticas Académicas

3.º ESOJ. A

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Matemáticas Académicas 3.º ESO

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Matemáticas orientadas a las enseñanzas

académicas

José Alcalde AparicioAna Amelivia Andérica

Jonathan González SantanaSantiago Jiménez Herranz

3.º ESO

5 Ecuaciones

Sumario

1 El lenguaje de las ecuaciones

2

3

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¿Recuerdas qué son las ecuaciones? ¿Cuántas solucio-nes puede tener una ecuación? ¿Tienen siempre solu-ción?

¿Por qué necesitamos saber resolver ecuaciones?

¿Identificas situaciones cotidianas en las que aparezcan ecuaciones?

DescubreLa palabra ecuación viene del latín aequatio, que signifi ca nivelación, igualación. Comparte raíz con palabras como equilibrio, ecuador o ecuánime. Se trata, por lo tanto, de una igualdad en la que la can­tidad que tenemos a la izquierda (primer miembro) del signo igual es idéntica a la cantidad situada a su derecha (segundo miembro).

Esta es una de las cosas más bellas que encontra­remos en matemáticas: que en mitad de todos los cálculos, simplificaciones y operaciones que hace­mos siempre permanece el signo igual.

Todo cuanto hacemos en una ecuación se hace pro­tegiendo esta igualdad. Basta, por lo tanto, con hacer un alto en cualquier punto del camino que recorre­mos al resolver una ecuación y contemplar. Observar si nuestros pasos siguen respetando al signo igual. ¡Nuestra creatividad se somete a un rigor que la hace aún mejor!

Después de ver el ejemplo planteado al principio, ¿te atreves a crear tu propio truco para sorpren-der a tus familiares y amigos? Juega con los núme­ros y parámetros que quieras (número de pie, año de nacimiento, altura…). Tan solo tienes que encontrar la relación entre los números que tú puedes controlar y el que piensa tu «víctima» para convertirte en «adi­vino».

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80 UNIDAD 5

 El lenguaje de las ecuacionesLa resolución de ecuaciones es algo relativamente sencillo, pues se trata de un proceso bastante mecánico. En matemáticas es fundamental expresar con pro­piedad todo aquello que estamos escribiendo, no solo saber hacer operaciones. Por eso, en lugar de comenzar por aprender a resolver distintos tipos de ecua­ciones, vamos a empezar por aprender a nombrar variables y a traducir palabras al lenguaje algebraico.

Como punto de inicio vamos a definir algunos conceptos:

 Actividades  1. ¿Tiene solución x x+ = − +2 10? Si es así, ¿es única? Justifica tu respuesta.

Observa esta ecuación:

El número que cumple la igualdad es x = −1, que es la solución de la ecuación.

Teniendo en cuenta las soluciones de una ecuación, se clasifican de la siguiente forma:

Primer miembro 2 x + 3 = 1 Segundo miembroIncógnita

Las matemáticas son un lenguaje que, como tal, sirve para describir todo lo que nos rodea. Por ello te puede resultar muy útil aprender a usarlo bien.

FíjateEl grado de una ecuación es el máximo exponente al que está elevada la incógnita tras desa-rrollar las operaciones posibles en cada miembro. Una ecuación de grado n tiene, como máximo, n soluciones. Por ejemplo:

x x+ = −3 5 2 7 grado 1.x x x( )( )− + = −3 1 2 4 3 grado 2.

Hay casos particulares en los que esa solución es múltiple. Por ejemplo:

x+ =3 02( )

tiene una solución doble:x = −3

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Una incógnita es una variable de estas expresiones cuyo valor no conoce­mos y tratamos de encontrar.

Resolver una ecuación consiste en encontrar qué valor, o valores, hacen que la incógnita, o incógnitas, cumplan la igualdad. Ese valor, o valores, es la solución.

Ejemplos  { x + =2 3 1 → La solución es x = −1, es única. Se trata de una ecuación compa­tible determinada.

{ x x+ = −5 3 → No existe ningún número que, al sumarle cinco unidades, dé la misma cantidad que si le restamos tres unidades. Esta ecuación no tiene solución. Por lo tanto, es una ecuación incompatible.

{ x x+ = + −2 5 2 10 5 → Observa que 2x es el mismo número en ambos miem­bros. Y si se le suma 5 (primer miembro) es lo mismo si se le suma 10 y se le resta 5 (segundo miembro). Esta ecuación es válida para cualquier número, por lo que tiene infinitas soluciones. Es una ecuación compatible indeterminada.

ECUACIÓN

COMPATIBLE. Tiene solución.

INCOMPATIBLE. No tiene solución.

DETERMINADA. Un número finito de soluciones.

INDETERMINADA. Un número infinito de soluciones.

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81UNIDAD 5

 El lenguaje de las ecuaciones1.1. Traducción al lenguaje de las ecuacionesA la hora de resolver un problema, tanto en las matemáticas como en la vida real, es necesario saber relacionar la información que tenemos para poder llegar a una solución. Aunque ya conoces cómo funciona el lenguaje algebraico, va­mos a recordar algunos aspectos antes de avanzar en esta unidad.

Puedes calcular cuánto ahorras en re bajas ayudándote de una ecuación.

FíjateAl escribir una ecuación, no ol-vides que lo que en un enuncia-do aparece como «un número es…» se traduce a «x = …».

 Actividades  2. Relaciona en tu cuaderno cada uno de los siguientes enunciados con su ecuación correspondiente:

a) El cuadrado de un número es el doble de otro más 1. I. xy

2 12

+ =

b) El doble de un número más 1 es la mitad del otro. II. x y2 3 3= +

c) El doble del primer número es el triple del segundo más 3. III. x y2 1 2+ =

3. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a) 15 disminuido en x unidades da 8.

b) Si se añaden cuatro unidades a un número se obtiene 20.

c) Dos séptimas partes de un número equivalen al doble de otro.

Al traducir un enunciado a una ecuación es útil dar valores a las incógni­tas, mentalmente o tomando notas. De esa manera se puede comprobar que lo escrito concuerda con lo leído.

Ejemplos 

El doble de un número o dos veces un número es 56.

{ «El doble» se traduce como 2x, no como 2+x o 2x .

{ La ecuación quedaría así: 2 56=x .

La quinta parte de un número es 10.

{ «La quinta parte» se traduce como 5

x, y no

1

5x o 5−x .

{ La ecuación resultante es 5

10=x

.

Dos números x e y tales que el primero es el doble del segundo.

{ Se escribe 2=x y, y no 2 =x y.

{ ¿Por qué? Fíjate bien en lo que lees: si el primero es el doble del segundo, entonces el primero es mayor que el segundo. Por lo tanto, habrá que multi­plicar por 2 al segundo para que sea tan grande como el primero.

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82 UNIDAD 5

1.2. Ecuaciones equivalentesPara resolver ecuaciones haremos uso del concepto de ecuación equivalente.

Del mismo modo, si los dos miembros de una ecuación se multiplican o se divi­den por el mismo número, la ecuación resultante es equivalente. Entonces:

De esa forma, encontraremos ecuaciones más sencillas en las que la solución se verá fácilmente.

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta el mismo número, la ecuación resultante es equivalente. Por lo tanto:

Paso a paso  Buscamos ecuaciones equivalentes más sencillas para resolver la ecuación:

3x − 5 = −4 − 2x

1. Pasamos los términos con incógnita a un miembro y los que no la tienen (independientes) al otro:

3 2 4 5

3 2 4 5

− − = − − −

+ = − +

x xx x( ) ( )

2. Operamos: 5 1=x

3. Despejamos la x: 1

5=x

 Actividades  4. Escribe una ecuación equivalente a cada una de las siguientes:

a) x x+ = −2 5 7 3 b) x x x− + =3 5 52 c) x x x+ = +2 6 4 82

x + a = bx = b – a

a x = b bx = —— a

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Un término que está sumando en un miembro pasa restando al otro.

Un término que está restando en un miembro pasa sumando al otro.

Un término que multiplica en un miembro pasa al otro dividiendo (sin cambiar el signo).

Un término que divide en un miembro pasa al otro multiplicando (sin cambiar el signo).

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83UNIDAD 5

Para resolver este tipo de ecuaciones hemos de pasar nuestra incógnita a un miembro y todos los términos independientes al otro.

2.1.  Resolución de ecuaciones de primer grado sin fracciones

Para resolver estas ecuaciones tan solo tenemos que seguir un proceso sistemá­tico que nos permitirá reducir al mínimo los posibles errores.

2 Ecuaciones de primer gradoFíjateComprobar la solución o solu-ciones de una ecuación te ayu-dará a descubrir si hay algún error en el desarrollo.

Hazlo tantas veces como sea necesario. Así podrás identifi-car los puntos en los que po-ner más atención.

¡Recuerda hacerlo!

Paso a paso  Resolvemos la siguiente ecuación de primer grado:

x x x( ) ( ) ( )3 3 1 1 6 10+ − − = +

1. Eliminamos los paréntesis, si los hay: 9 3 1 6 60x x x+ − + = +

2. Pasamos todos los términos con x a un lado: 9 6 60 3 1x x x− − = − −

3. Operamos: 2 56x =

4. Despejamos la x: 56

228

x

x

=

=

5. Comprobamos la solución: ( ) ( ) ( )⋅ + − − = +

⋅ − = ⋅

− =

=

3 3 28 1 28 1 6 28 10

3 85 27 6 38

255 27 228

228 228

Tu turno  1. Resuelve la siguiente ecuación: x x x x x( ) ( ) ( )− + + = + − − −3 2 7 2 4 3 2 5

¿Es =1

2x la solución?

 Actividades  5.  Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 6 8 0x x− − − =

b) 7 60 3x x= +

c) 4 1 7 6 5 6x x x( ) ( ) ( )− − − = +

d) x x− + − =5 2 1 1 5( ) ( )

e) 6 2 3 1 2 1 1x x x( )− + − − =−

f) 3 2 7 2 4 3 2 5x x x x x( ) ( ) ( )− + + = + − − −

6.  En los siguientes problemas determina cuál es la incógnita, escribe la ecuación, resuélvela y comprueba.

a) La edad de Lucas es tres veces la de su hijo. Si tiene 45 años, ¿cuántos años tiene su hijo?

b) Si a un número se le suma 2 y se multiplica el resultado por 3 da 27. ¿Cuál es el número?

FíjateUna ecuación de primer grado puede tener:

Una única solución

Ecuación compatible determinada

Infinitas soluciones

Ecuación compatible indeterminada

Ninguna solución

Ecuación incompatible

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84 UNIDAD 5

2.2. Ecuaciones de primer grado con fraccionesEl proceso para resolver estas ecuaciones con fracciones es muy sencillo, por lo que podemos enfrentarnos a este reto sin miedo. Fíjate

El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números es el menor de los múltiplos que tie-nen en común.

Muchas veces en una ecua-ción con fracciones tendemos a poner como denominador común al producto de los de-nominadores. Aunque no sea incorrecto hacerlo así, nos pue- de complicar mucho los cálcu-los (tendríamos números ma-yores) y confundirnos en la simplificación.

Tu turno  2. Resuelve la siguiente ecuación siguiendo los pasos que acabamos de ver:

++−

=+x x x3 1

2

1

6

7 4

4

En el paso 3 tendremos la siguiente ecuación equivalente:

− − = − − − =36 4 42 24 12 4 10 8x x x x

Solución:  = −4

5x

Paso a paso  Resolvemos esta ecuación:

x x x( )3 1

20

2 3

5

4 2

155

−−

+=

+−

1. Si la ecuación tiene una suma o resta de fracciones, hallamos el mínimo común múltiplo de sus denominadores, dividimos cada miembro por ese nú­mero y agrupamos cada miembro en una sola fracción:

x x x( ) ( ) ( )− − ⋅ +=

+ − ⋅3 3 1 12 2 3

60

4 4 2 60 5

60

2. Quitamos los denominadores y eliminamos los paréntesis si los hay:

9 3 24 72 16 8 300x x x− − − = + −

3. Pasamos todos los términos con incógnita a un lado y operamos:

9 24 16 8 300 3 72

31 217

x x xx

− − = − + +

− =−

4. Despejamos la x: 217

317

x

x

=

=

5. Comprobamos la solución:

( )⋅ − −+

= ⋅ + −

− = −

− = −− =−

3 7 1

20

2 7 3

5

4 7 2

155

20

20

20

5

30

155

1 4 2 53 3

Herramientas TICVeamos cómo resolver una ecua ción con GeoGebra.

Selecciona en el menú la vista CAS (Computación Algebraica Simbólica) e introduce la si-guiente ecuación:

x− 12−

x+ 13

= 0

Haz clic en el botón «Resuelve (x=)» y obtendrás la solución.

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85UNIDAD 5

 Te proponemos un reto  1. Sudoecu. Para resolver el sudoku que te proponemos necesitas unos nú-

meros de referencia del 1 al 9, que son las soluciones de las ecuaciones que encontrarás a continuación. Rellena las casillas con sus correspon-dientes soluciones y luego resuélvelo.

a) A1: x− = −9 14

b) A2: x( )− + =−4 6 40

c) A4: x x− = −4 7 5 2

d) A6: x− =3 7 20

e) A9: 41

45+ =x

f) B4: x x− = +5 3 2 12

g) B9: x =6 24

h) C3: x

+ =2

3

3

4

71

12

i) C7: x x− + =−6 2 36

j) D1: x x− − =− −2 13 3 5

k) D5: x− − =−2 5 11

l) D8: x− + =4 132 108

m) D9: x x+ = +3 4 18

n) E4: x

=4

6 9

o) E6: x− =−

54 3

p) F1: x x− =4 2 18

q) F2: x x− = +7 6 6 3

r) F5: x x+ = +5 2 2 5

s) F9: x x+ =5 50 30

t) G3: x x( )− − =8 2 3 9

u) G7: x( )− − =−6 3 2 4 18

v) H1: x x= −30 150 45

w) H6: x− =3 2 16

x) I1: x( )+ =2 8 22

y) I4: x( )+ =6 3 24

z) I6: x x+ = −9 4 6 5

Hitos matemáticosEl sudoku se basa en los cua-drados mágicos (serie de nú-meros en un cuadrado en el que la suma de los números por filas, columnas y diagona-les principales es la misma).Estos se empleaban en la cul-tura egipcia para predecir el futuro.

En 1776, Leonhard Euler estu-dió los cuadrados latinos: cua-drados cuyos elementos son números enteros (1, 2, …, n) y se repiten n veces en el cuadrado. De ahí que se le atribuya el ori-gen de los sudokus.

 Actividades  7.  Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x x−

−+=

1

2

1

310

b) x x x+−

−=

−+

7

2

7

6

7

127

c) x x−+

−=

1

2

3 1

3

1

3

d) x x x

−+=

+−

+1

1

5

4

5

3

2

e) x

x+

= +3

35

f) x x−

+− +

=3

3

1

73

1 2 3 4 5 6 7 8 9

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86 UNIDAD 5

Como el grado de la ecuación es 2, tendremos, a lo sumo, dos soluciones distintas (podremos tener una solución doble, pero este caso lo estudiaremos más ade­lante).

3.1. Resolución por el método gráficoUn polinomio de grado 2 corresponde a una parábola. La ecuación de segundo grado nos da los puntos de corte de esa parábola con el eje OX. Por esto iguala­mos el polinomio que queda en el miembro de la izquierda a 0 (el eje OX corres­ponde a y = 0).

 Ecuaciones de segundo gradoFíjateSeguro que conoces situacio-nes de tu vida cotidiana en las que puedes encontrar funcio-nes parabólicas.

Elabora una lista de, al menos, diez aplicaciones de las pará-bolas.

El número de soluciones de la ecuación depende del número de puntos en los que la parábola corta el eje OX:

Ejemplos  La función 5 62y x x= − + corta el eje OX en los puntos x = 2 y x = 3. Así, la ecuación 5 6 02x x− + = tie­ne dos so luciones distintas: 2 y 3.

La función 4 42= + +y x x toca el eje OX en el punto x = −2. La solu­ción de la ecuación 4 4 02x x+ + = es −2 (doble).

La función 12y x x= + + no corta el eje OX en ningún punto. Por lo tan­to, la ecuación 1 02x x+ + = no tie­ne solución.

y

x1

1

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5

y

x–4–5

1

2

3

4

5

6

7

–3 –2 –1

y

x

1

2

3

4

5

6

7

–3 –2 –1 1 2

x1

c

y

xx2

x1 = x2

c

y

x

c

y

x

Una ecuación de segundo grado es aquella que, después de ser reduci­da, tiene la forma de un polinomio de grado dos. Una ecuación de este tipo puede escribirse siempre de la siguiente forma:

02ax bx c+ + =

donde a es distinto de cero, y b y c son números.

Los puntos de corte de la gráfica con el eje OX son las soluciones de la ecuación de segundo grado.

Si la gráfica corta en dos puntos el eje OX, hay dos soluciones distintas.

Si la gráfica toca el eje OX en un solo punto, hay una solución doble.

Si la gráfica no corta el eje OX, no existe solución.

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87UNIDAD 5

3.2.  Ecuaciones de segundo grado completas (a, b, c ≠ 0)

 Ecuaciones de segundo grado

Solo tenemos que sustituir en esta fórmula los valores de los coeficientes a, b y c y obtendremos las soluciones.

Ejemplos 

{ 5 6 02x x− + = → En esta ecuación, a = 1, b = −5 y c = 6. Por lo tanto, el discrimi nante es el siguiente:

= − − ⋅ ⋅ = − = >5 4 1 6 25 24 1 02( ) La ecuación tiene dos soluciones dis­tintas.

{ 4 4 02x x− + = → El discriminante es el siguiente:

= − − ⋅ ⋅ = − =4 4 1 4 16 16 02( ) La ecuación tiene una solución doble.

{ 4 02x x+ + = → El discriminante es el siguiente:

= − ⋅ ⋅ = − = − <1 4 1 4 1 16 15 02 La ecuación no tiene solución.

FíjateObserva la siguiente parábola:

2y ax bx c= + +

Calculamos su discriminante:

= b2 − 4ac

Si > 0, la parábola corta en dos puntos el eje OX.

Si = 0, la parábola corta en un punto el eje OX.

Si < 0, la parábola no corta el eje OX.

 Actividades  8. Con la ayuda del discriminante, indica cómo van a ser las soluciones de las

siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) x x+ − =2 3 02 b) x x− + =2 1 02 c) x x+ + =3 5 02

Al radicando = −42b ac se lo conoce como discriminante. Dependien­do de su valor, encontramos estas situaciones:

Si > 0, la ecuación tiene dos soluciones distintas.

Si = 0, la ecuación tiene dos soluciones iguales (solución doble).

Si < 0, la ecuación no tiene solución (pues la raíz cuadrada de un núme­ro negativo no existe).

Las dos soluciones de la ecuación se obtienen mediante esta fórmula:

4

2

4

2

4

2

2 1

2

2

2x b b ac

a

x b b aca

x b b aca

=− ± −

==− + −

=− − −

4

2

4

2

4

2

2 1

2

2

2x b b ac

a

x b b aca

x b b aca

=− ± −

==− + −

=− − −

Herramientas TICResuelve con GeoGebra la pri-mera ecuación del ejemplo. Comprueba que las solucio-nes son 2 y 3.

Encuentra las soluciones del resto de las ecuaciones.

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88 UNIDAD 5

 Actividades  9.  Escribe una ecuación de segundo grado en cada caso que cumpla las

condiciones indicadas:

a) Que tenga dos soluciones iguales o solución doble.

b) Que tenga dos soluciones distintas.

c) Que no tenga solución.

10.  Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) x x− + =3 4 1 02

b) x x+ + =2 1 02

c) x x− + =5 4 1 02

d) x x− + − =5 6 02

e) x x− + =6 9 02

f) x x+ − =2 15 02

Paso a paso  Veamos cómo resolver una ecuación de segundo grado completa:

x x x( )( )3 1 3− + = −

1. Escribimos la ecuación en la forma 02ax bx c+ + = ; para eso desarrollamos la ecuación y pasamos todo al primer miembro:

2 3 3

6 0

2

2

x x x

x x

− − = −

− − =

2. Identificamos los valores de los coeficientes a, b y c teniendo cuidado de no confundir los signos: a = 1, b = −1, c = −6.

3. Sustituimos estos valores en la fórmula de resolución de la ecuación de se­gundo grado:

x ( ) ( ) ( )=− − ± − − ⋅ ⋅ −

⋅

1 1 4 1 6

2 1

2

4. Operamos: 1 1 24

2

1 25

2

1 5

2

1 5

2

6

23

1 5

2

4

22

1

2

xx

x=± +

=±

=±

==+

= =

=−

=−

=−

1 1 24

2

1 25

2

1 5

2

1 5

2

6

23

1 5

2

4

22

1

2

xx

x=± +

=±

=±

==+

= =

=−

=−

=−

5. Comprobamos las soluciones:

x

x

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

= → − + = − ⋅ = =

= − → − − − + = − − − ⋅ − = + =

3 3 3 3 1 3 3 0 4 0 0 0

2 2 3 2 1 3 2 5 1 3 2 5 51

2

x

x

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

= → − + = − ⋅ = =

= − → − − − + = − − − ⋅ − = + =

3 3 3 3 1 3 3 0 4 0 0 0

2 2 3 2 1 3 2 5 1 3 2 5 51

2

x

x

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

= → − + = − ⋅ = =

= − → − − − + = − − − ⋅ − = + =

3 3 3 3 1 3 3 0 4 0 0 0

2 2 3 2 1 3 2 5 1 3 2 5 51

2

x

x

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

= → − + = − ⋅ = =

= − → − − − + = − − − ⋅ − = + =

3 3 3 3 1 3 3 0 4 0 0 0

2 2 3 2 1 3 2 5 1 3 2 5 51

2

x

x

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

= → − + = − ⋅ = =

= − → − − − + = − − − ⋅ − = + =

3 3 3 3 1 3 3 0 4 0 0 0

2 2 3 2 1 3 2 5 1 3 2 5 51

2

x

x

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

= → − + = − ⋅ = =

= − → − − − + = − − − ⋅ − = + =

3 3 3 3 1 3 3 0 4 0 0 0

2 2 3 2 1 3 2 5 1 3 2 5 51

2

Tu turno  3. Resuelve ahora una ecuación en la que no tengamos los coeficientes a, b

y c tan claros. Por ejemplo: 2 3 1 2x x x( )− + = − .

Solución: = =31

21 2x x;

FíjateToma siempre los valores de a, b y c teniendo en cuenta que obedecen a la siguiente expre- sión:

02ax bx c+ + =

¡Vigila los signos!

FíjatePara resolver una ecuación de grado mayor que uno es conveniente dejar el segundo miembro a cero. Por ejemplo:

2 3 1 2x x+ = −

La ecuación equivalente más idónea para resolver sería esta:

2 3 1 0

2 2 0

2

2

x x

x x

+ − + =

+ + =

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89UNIDAD 5

3.3. Ecuaciones de segundo grado incompletasSon aquellas ecuaciones en las que no hay ningún término con x (b = 0) o no hay término independiente (c = 0). Estas ecuaciones pueden resolverse aplicando la fórmula, pero existe una forma más sencilla.

Ecuaciones de segundo grado con b = 0

Paso a paso  Resolvemos la ecuación x2 18 02− = .

1. Despejamos y hacemos la raíz: 2 1818

29 3

3

32 2 1

2

x x xx

x= = = =±

=

=− 2 18

18

29 3

3

32 2 1

2

x x xx

x= = = =±

=

=− 2 18

18

29 3

3

32 2 1

2

x x xx

x= = = =±

=

=− 2 18

18

29 3

3

32 2 1

2

x x xx

x= = = =±

=

=−2. Comprobamos las soluciones:

xx ( )= → ⋅ − = ⋅ − = − == − → − − = ⋅ − = − =

3 2 3 18 2 9 18 18 18 03 2 3 18 2 9 18 18 18 0

12

22

Ecuaciones de segundo grado con c = 0

a x2 + c = 0

a x2 + b x = 0Paso a paso  Resolvemos la ecuación x x6 02+ = .

1. Extraemos el factor común (la x): 6 0x x( )+ =

2. Obtenemos las dos soluciones: 0

6 0 61

2

x

x x

=

+ = =−

0

6 0 61

2

x

x x

=

+ = =−

3. Comprobamos las soluciones:

xx

( )( ) ( )

= → + ⋅ == − → − + − = − =

0 0 6 0 06 6 6 6 36 36 0

12

22

En este caso despejamos la x y calculamos la raíz.

02 2 2ax c ax c x ca

x ca

+ = =− =− =± − 02 2 2ax c ax c x ca

x ca

+ = =− =− =± − 02 2 2ax c ax c x ca

x ca

+ = =− =− =± − 02 2 2ax c ax c x ca

x ca

+ = =− =− =± −

Así, este tipo de ecuaciones solo tendrán solución cuando c y a tengan signos distintos. De esa forma el cociente

ca

− será positivo y existirá la raíz cuadrada.

Al no tener término independiente, extraemos como factor común la x:

0 02ax bx x ax b( )+ = + = 0 02ax bx x ax b( )+ = + =

Si el producto de dos números es 0, hay dos posibilidades: o bien el pri­mero de ellos es 0, o bien lo es el segundo. Por lo tanto, las dos soluciones de esta ecuación son las siguientes:

x ax bx

ax b x ba

( )+ =

=

+ = =−

0

0

0

1

2

x ax bx

ax b x ba

( )+ =

=

+ = =−

0

0

0

1

2

x ax bx

ax b x ba

( )+ =

=

+ = =−

0

0

0

1

2

Herramientas TICUsa la aplicación on-line Wol-framAlpha para resolver la ecua-ción 3x2 − 75 = 0. En la imagen se muestra la solución que nos proporciona el programa.

Observa las soluciones y los cortes de la gráfica con el eje X. ¿Cuánto habría que subir la grá-fica para que solo cortara el eje de abscisas en un punto? ¿Y en ninguno? ¿Sabrías escribir la ecuación de esas parábolas?

FíjateObtener el factor común en una expresión es encontrar el elemento común que multipli-ca a todos sus sumandos:

3 6 3 22x x x x( )+ = +

x ax bx

ax b x ba

( )+ =

=

+ = =−

0

0

0

1

2

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90 UNIDAD 5

Ecuaciones de segundo grado con b = c = 0

a x2 = 0

 Actividades  11.  Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) x − =25 02

b) x − =3 12 02

c) x + =4 02

d) x− + =16 02

e) x − =5 5 02

f) x − =25 4 02

12.  Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. Comprueba tus resultados con la aplicación WolframAlpha.

a) x x+ = 02

b) x x− − =3 6 02

c) x x+ =3 7 02

d) x x− + =4 5 02

e) x x− =5 10 02

f) x x− − =4 02

13. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) x =2 02 b) x =4

502 c) x− =

3

802

Paso a paso  Resolvemos la ecuación x5 02− = .

1. Despejamos la x.− = =

−x x5 0

0

52 2

− = =

−x x5 0

0

52 2

2. Al dividir 0 entre cualquier número obtenemos 0. Por lo tanto:

=−

=x x0

502 2

=

−=x x0

502 2

3. Como la raíz de 0 es 0, tenemos:

= =x x0 02 = =x x0 02

donde x = 0 es una solución doble.

Solo tendremos que despejar la x, lo que da lugar a una solución doble x = 0.

= = = =ax xa

x x00

0 02 2 2 = = = =ax xa

x x00

0 02 2 2 = = = =ax xa

x x00

0 02 2 2 = = = =ax xa

x x00

0 02 2 2

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91UNIDAD 5

3.. Ecuaciones polinómicas factorizadasA veces podemos encontrarnos ecuaciones con alguno de sus miembros facto­rizado. Por ejemplo, − + =x x( ) ( )1 3 0 .

Podemos resolverlas sin necesidad de operar y aplicar la fórmula.

Las soluciones de la ecuación del ejemplo son −3 y 1, pues hacen que el valor del polinomio sea 0.

Paso a paso  En el caso anterior, x x( )( )1 3 0− + = :

1. Igualamos a 0 cada uno de los factores: − =

+ =

xx

1 0

3 0

2. Despejamos la incógnita: =

=−

x

x

1

31

2

3. Comprobamos: = → − + = ⋅ =

= − → − − − + =− ⋅ =

1 1 1 1 3 0 4 0

3 3 1 3 3 4 0 01

2

x

x

( ) ( )

( ) ( )

 Actividades  14.  Relaciona cada una de las ecuaciones factorizadas con su expresión

corres pondiente en la forma + + =ax bx c 02 :

a) − − =( ) ( )x x3 2 0 I. − + =x x2 1 02

b) − + =( ) ( )x x6 1 0 II. − =x 4 02

c) − − =( ) ( )x x1 1 0 III. − + =x x5 6 02

d) − + =( ) ( )x x2 2 0 IV. − + =x x7 6 02

e) − − =( ) ( )x x6 1 0 V. − − =x x5 6 02

15. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) + + =( ) ( )x x1 7 0

b) + =( )x x2 9 0

c) − − + =( ) ( )x x3 5 2 0

Fíjate¿Te suena de algo la factoriza-ción de polinomios? Es una for-ma de escribir un polinomio co mo producto de polinomios irreducibles que hallábamos calculando sus raíces.

Las raíces de un polinomio coinciden con las soluciones de la ecuación resultante de igualar ese polinomio a 0.

FíjateEn una ecuación de la forma

+ + =x bx c 02

si las soluciones son x1 y x2, te-nemos lo siguiente:

1 2

1 2

x x bx x c+ = −⋅ =

Así, resulta fácil buscar las solu-ciones sin utilizar la fórmula de ecuaciones de segundo grado.

Por ejemplo, si − − =x x 6 02 :

x xx x

1 16

1 2

1 2

( )+ =− − =⋅ = −

Por lo tanto:=−=

xx

23

1

2

Observa:

+ − = − −2 3 62( ) ( )x x x x

Cuando en una ecuación de segundo grado el segundo miembro es 0 y el primer miembro es el producto de binomios, las soluciones serán los nú­meros que den el valor de 0 a cada uno de los binomios.

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92 UNIDAD 5

Hitos matemáticosEl creador de esta regla, Paolo Ruffini, fue profesor de Mate-máticas y rector en la Universi-dad de Módena.Investiga más sobre él. ¿En qué época vivió? ¿Por qué se le re- cuerda?

Si la ecuación está dada en la forma P(x) = 0, podemos factorizarla por la regla de Ruffini y resolver las ecuaciones de grado inferior que nos quedan. Hay un caso particular que estudiaremos más adelante: las ecuaciones bicuadradas.

4.1.  Ecuaciones de grado superior a 2 por la regla de Ruffini

4 Ecuaciones de grado superior a 2

FíjateEn la regla de Ruffini buscamos una raíz entera entre los diviso-res del término independiente. Lo más sencillo es buscar el va- lor numérico del polinomio para esos divisores (P (1), P (−1), …) y ver si este valor es 0.

 Actividades  16.  Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x x x+ − − =3 3 03 2

b) x x x+ + + =6 12 8 03 2

c) x x x− − + =2 8 4 03 2

d) x x x x− − − =16 20 04 3 2

e) x x x x− − + − =6 11 96 80 04 3 2

f) x x x− + − =2 5 5 2 04 3

Paso a paso  Resolvemos x x x x x x2 2 0 1 2 1 2 03 2 3 2+ − − = + − − = x x x x x x2 2 0 1 2 1 2 03 2 3 2+ − − = + − − = .

1. Factorizamos el polinomio del primer miembro aplicando la regla de Ruffini:

1 2 1 21

1 3 2

1 3 21

2

− −

− − −

1 3 20

1 21 0

2. Expresamos la ecuación en forma factorizada:

− + + =x x x( ) ( ) ( )1 1 2 0

3. Igualamos cada factor a 0 y obtenemos así las soluciones:

− = = + = =− + = =−x x x x x x; ;1 0 1 1 0 1 2 0 2

4. Comprobamos las soluciones:

P

P

P

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= + ⋅ − − = + − − =

− = − + ⋅ − − − − = − + + − =

− = − + ⋅ − − − − = − + + − =

1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0

1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0

2 2 2 2 2 2 8 8 2 2 0

3 2

3 2

3 2

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93UNIDAD 5

4.2. Ecuaciones bicuadradasSon ecuaciones de la forma + + =ax bx c 04 2 , es decir, ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar.

4 Ecuaciones de grado superior a 2

 Actividades  17.  Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones con

alguna herramienta TIC:

a) x x− − =5 36 04 2

b) x x− + =4 3 04 2

c) x − =16 04

d) x x+ − =20 04 2

FíjateSi, por ejemplo, obtuviésemos las soluciones t1 = 9 y t2 = −4, resolveríamos así:

== =

=− =−

=−= − =

=− − =

tx

x

tx

x

99 3

9 3

44

4

11

2

23

4

=

= =

=− =−

=−= − =

=− − =

tx

x

tx

x

99 3

9 3

44

4

11

2

23

4

== =

=− =−

=−= − =

=− − =

tx

x

tx

x

99 3

9 3

44

4

11

2

23

4

== =

=− =−

=−= − =

=− − =

tx

x

tx

x

99 3

9 3

44

4

11

2

23

4

El símbolo indica que no existe solución real.Las soluciones serían las si-guientes:

x1 = 3 y x2 = −3

Paso a paso  Resolvemos x x13 36 04 2− + = .

1. Hacemos el cambio de variable =x t2 :

− + =t t13 36 02

2. Resolvemos la ecuación + + =at bt c 02 .

tt

t

( ) ( )=− − ± − − ⋅ ⋅

⋅=

± −=

±=

±=

+=

=−

=

13 13 4 1 36

2 1

13 169 144

2

13 25

2

13 5

2

13 5

29

13 5

24

2 1

2

tt

t

( ) ( )=− − ± − − ⋅ ⋅

⋅=

± −=

±=

±=

+=

=−

=

13 13 4 1 36

2 1

13 169 144

2

13 25

2

13 5

2

13 5

29

13 5

24

2 1

2

3. Deshacemos el cambio de variable. Estas dos soluciones posibles pasan a ser cuatro, teniendo en cuenta que:

= =±x t x t2 = =±x t x t2

==

=−=

=

=−t

x

xt

x

x;9

3

34

2

211

22

3

4 =

=

=−=

=

=−t

x

xt

x

x;9

3

34

2

211

22

3

4 =

=

=−=

=

=−t

x

xt

x

x;9

3

34

2

211

22

3

4

4. Comprobamos las soluciones:

x

x

x

x

( ) ( )

( ) ( )

= → − ⋅ + = − ⋅ + = − + = − =

=− → − − ⋅ − + = − ⋅ + = − + = − =

= → − ⋅ + = − + = − =

=− → − − ⋅ − + = − ⋅ + = − =

3 3 13 3 36 81 13 9 36 81 117 36 117 117 0

3 3 13 3 36 81 13 9 36 81 117 36 117 117 0

2 2 13 2 36 16 52 36 52 52 0

2 2 13 2 36 16 13 4 36 52 52 0

14 2

24 2

34 2

44 2

Estas ecuaciones se resuelven haciendo un cambio de variable =x t2 , para así reducirlas a una ecuación de segundo grado + + =at bt c 02 .

Tras resolverla habrá que deshacer el cambio de variable: =±x t .

Si <t 0 , no existe t y se descartarían esas soluciones para la ecuación.

Herramientas TICUtiliza alguna herramienta TIC de resolución de proble-mas para resolver la ecuación x4 − 5x2 + 6 = 0. Puedes usar GeoGebra o WolframAlpha, con las que ya has trabajado, o cualquier otra que tú co-nozcas.

Observa la representación gráfica y relaciónala con las soluciones.

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94 UNIDAD 5

En la vida tenemos que aprender a afrontar los problemas que se nos presentan en lugar de huir de ellos. En muchas de estas ocasiones, las matemáticas nos proporcionan una estructura de razonamiento que nos facilita las cosas.

5 Resolución de problemas

 Estrategia de resolución de problemas  Te proponemos un método para resolver problemas. Estamos seguros de que te va a ayudar mucho a la hora de abordarlos.

Vamos a plantear la resolución de un problema como un juego.

1. META

3. TABLERO

2. FICHAS

4. ESTRATEGIA

1.1. Antes de comenzar a leer el enuncia­ do de un problema ve al final de dicho enunciado. ¿Qué te piden?

1.2. Si se trata de una ecuación o de un sistema de ecuaciones, identifica cuá­les son las incógnitas.

3.1. ¿Qué te hace falta para llegar a la so­ lución?

3.2. ¿Puedo relacionarlo con lo que tengo?

2.1. Comienza a leer el enunciado.

2.2. Anota todos los datos que te dan.

2.3. Si te cuesta interpretarlo, intenta dibujarlo.

2.4. Si no lo ves claro, vuelve a leer el enunciado.

2.5. Traduce el enunciado al lenguaje de las ecua ciones.

4.1. Escribe las relaciones que puedas establecer entre las fichas que tienes y el tablero.

4.2. Plantea ecuaciones (si procede) o redacta el modo de abordar tu problema.

4.3. Comienza la resolución.

4.4. Comprueba tus soluciones. No solo numéri­camente, sino también contextualmente. Por ejemplo, ¿tendría sentido obtener una edad de −4 años?

4.5. ¡Inténtalo tantas veces como lo necesites!

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95UNIDAD 5

5.1. Problemas de ecuaciones de primer gradoTrabajaremos con el siguiente enunciado:

Una herencia de 12 000 € se reparte entre tres hermanos, de modo que el me-diano recibe 2 000 € más que el mayor y que el menor recibe el triple de lo que reciben los otros dos juntos. ¿Cuánto dinero le tocará a cada her- mano?

5 Resolución de problemas

¿Tú también te estás preguntando qué es lo que habrá hecho el mayor para recibir semejante trato discrimi­ natorio?

Paso a paso  1. Meta. Calcular el dinero que recibe cada hermano. En principio tendríamos

tres incógnitas: la cantidad que recibe cada uno de ellos.

2. Fichas. El mediano recibe 2 000 € más que el mayor y el menor tres veces la cantidad que reciben los otros dos.

3. Tablero. Si definimos como incógnita, x, la cantidad que recibió el mayor, podemos relacionar las otras dos cantidades con esta. Además, las tres canti­dades suman 12 000 €.

4. Estrategia

{ El mayor recibe x euros.

{ El mediano, 2 000 € más: x + 2 000.

{ El menor recibe + +[ ]x x( )3 2000 .

{ Por lo tanto, si entre los tres se reparten los 12 000 €:

+ + + + + =[ ]x x x x( ) ( )2000 3 2000 12000

{ Resolvemos la ecuación:

– Quitamos los paréntesis:+ + + + =

+ + + =

x x xx x

( )2000 3 2 2000 12000

2 2000 6 6000 12000

– Agrupamos las x y operamos:+ = − −

=x x

x2 6 12000 2000 6000

8 4000

– Despejamos la incógnita: = =x 4000

8500

– Entonces el mayor recibirá: x = 500 €

– El mediano recibirá: + =x 2000 2500 €

– Por último, el menor recibirá:

3 2000 3 500 2500 3 3000 9000[ ]x x( ) ( )+ + = + = ⋅ = €

{ Comprobamos: 500 + 2 500 + 9 000 = 12 000. Es correcto.

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96 UNIDAD 5

 Actividades  18.  Un amigo gasta las cinco séptimas partes del dinero que tiene ahorra-

do en videojuegos, y los tres cuartos del resto en celebrar su cumpleaños. Después de esto le quedan 10 €. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado? ¿Cuánto gasta en videojuegos? ¿Y en celebrar su cumpleaños?

19.  El perímetro de un rectángulo mide 45 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que la base mide 9 m más que la altura.

20.  En un concurso realizado en clase, la profesora reparte puntos extra entre tres alumnas. La primera recibe la tercera parte más cuatro puntos, la segunda un sexto del resto y la tercera recibe cinco puntos. ¿Cuántos puntos se han repartido? ¿Cuántos recibe cada una?

21. Calcula la edad de una persona sabiendo que si al triple de la edad le quito 2 y divido este resultado entre 5 me da la mitad de la edad más 2.

22. En un curso de tercero de ESO hay el doble número de alumnas que de alumnos y la mitad de profesores (entre hombres y mujeres) que de estu-diantes. Si en total hay 36 personas, ¿cuál será el número de alumnos, el de alumnas y el de profesores?

23. María tiene 16 años más que Pedro y dentro de cuatro años tendrá el do-ble. ¿Qué edad tiene cada uno?

24. La cabeza de una trucha corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg y 600 g. ¿Cuánto pesa el pez?

25. Al preguntarle a Pitágoras por cuántas personas estudiaban con él, dio la siguiente respuesta: «La mitad de mis alumnos estudia Matemáticas, la cuarta parte estudia Física, una séptima guarda silencio y, además de es-tos, hay tres mujeres». ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?

Tu turno  4. Halla dos números consecutivos tales que la suma de la tercera parte del

mayor y la quinta parte del menor sea igual que si a la mitad del menor le sumamos 1.Resolvamos el problema ayudándonos de nuestra estrategia. Te damos al­gunas pistas:

1. Meta. Hallar dos números consecutivos, es decir, dos números enteros cuya diferencia es 1. Tendremos una incógnita: x será el número menor y x + 1, el mayor.

2. Fichas.

3. Tablero. Plantearemos una ecuación con las coordenadas que se nos dan.

4. Estrategia.

Solución: los números son 20 y 21.

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97UNIDAD 5

5.2. Problemas de ecuaciones de segundo gradoTrabajaremos con este enunciado:

La diferencia entre la base y la altura de un rectángulo es de 2 m. Si sa bemos que el área mide 48 m2, ¿cuánto medirán la base y la altura?

x − 2 48 m2

x

Este tipo de problemas puede ayu­darnos a decorar nuestra casa.

FíjateSiempre que resolvamos una ecuación de segundo grado te- nemos que ver si sus dos solu-ciones tienen sentido.

Tu turno  5. Calcula dos números pares consecutivos cuyo producto es 624.

Uno de los números pares será 2 x. Solución: 24 y 26 o −24 y −26.

 Actividades  26.  Halla las dimensiones de una mesa de superfi-

cie 48 dm2 y base la tercera parte de su altura.

27.  Dentro de once años, la edad de Alejandra será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace trece años. ¿Qué edad tiene Alejandra ahora?

28.  Halla el número que, sumado al cuadrado de su quinta parte, nos da 6.

29. Un número es cinco veces más grande que otro. Si su producto es 320, ¿qué números son?

Paso a paso  1. Meta. Calcular las dimensiones de un rectángulo: dos incógnitas.

2. Fichas. La base y la altura están relacionadas entre sí: la base es 2 m mayor. Además, nos dan el valor de su producto (área), que es 48 m2.

3. Tablero. Si definimos como incógnita la medida de la base, x, podríamos re­lacionarlo con la altura (x − 2) a través de la expresión del área: − =x x( )2 48.

4. Estrategia. Resolvamos la ecuación planteada:

1. Quitamos los paréntesis y ordenamos: − = − − =x x x x2 48 2 48 02 2 − = − − =x x x x2 48 2 48 02 2

2. Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:

4

2

2 2 4 1 48

2 1

2 4 192

2

2 196

2

2 14

2

2 14

28

2 14

26

2 2

1

2

x b b aca

x

x

( ) ( ) ( )=− ± −

=− − ± − − ⋅ −

⋅=

± +=

=±

=±

==

+=

=−

=−

3. Como una dimensión no puede ser negativa (−6 m no tiene sentido como medida de longitud), solo existe una solución: x = 8 m. Si la base mide 8 m, entonces la altura medirá 8 − 2 = 6 m.

4. Comprobamos la solución: 8 8 8 2 8 6 48x ( )= → − = ⋅ =

5. La base del rectángulo mide 8 m y la altura, 6 m.

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98 UNIDAD 5

Actividades finales e) La mitad de un número más 8 es 24.

f) Disminuye en 6 el triple de un número para obtener 18.

Ecuaciones de primer grado4. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x x− =− +30 9 7 21

b) x x− + =− −4 30 3 10

c) x x x( )− − = −3 2 6 2

d) x x( )+ = +2 2 4 3 12

e) x x( ) ( )− =− −2 2 4

f) x x( )− = −2 1 3 2 15

5.   Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x

x− = −52

3 16

b) x

x+−

=12

23

c) x x

x−

+−= −

7

4

1

35

d) x x− = −

4

13

6

5

2

5

6

e) x

xx

( )− − =− +5

85 20

2 18

6

f) x x x x−

−−

=−

−+3

5

3

2

3

3

3

2

g) + =+3

2

2

3

1 3

2

x x x

6. Halla un número tal que su triple menos 5 sea igual a su doble más 2.

7. Unas gafas con su funda valen 30 €. Las ga-fas cuestan 20 € más que la funda. ¿Cuánto vale cada cosa?

El lenguaje de las ecuaciones1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes

expresiones:

a) La mitad de un número menos su triple es 0.

b) El cuádruple de un número más una cuarta parte de este da 16.

c) Los años que tendrá Marta dentro de quince años son dos veces los que tiene ahora.

d) Los años que tenía Silvia hace siete años son la mitad de los que tiene ahora.

e) Dos números enteros consecutivos suman 15.

f) Dos números pares consecutivos se diferen-cian en seis unidades.

2.   Escribe un enunciado para las siguientes expresiones algebraicas:

a) x− =3 5 2

b) x− =2

54 4

c) x x( )− = −5 3 1

d) x x( )+ =1 0

e) x x+ − =27

53 1

f) x x x− =70

1002

3. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a) La suma de tres números consecutivos es 53 veces la diferencia entre el segundo y el pri-mero.

b) Si aumentamos en 4 el triple de un número obtenemos 49.

c) La base es el doble de la altura.

d) La altura de un rectángulo es tres quintos de su base.

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99UNIDAD 5

d) x x x x( )− + = −2 1 3 42 2

e) x x x( )− + = −3 2 4 2 12

f) x − =6 302

13. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números enteros consecutivos. ¿Cuánto miden sus lados?

14. Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm2. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado original?

Ecuaciones de grado superior a 215.   Resuelve aplicando la regla de Ruffini:

a) x x x+ − − =3 3 03 2

b) x x x+ + + =2 2 1 03 2

c) x x x− + =6 8 03 2

d) x x x ( )− + + − =2 5 5 2 04 3

e) x x x− + =13 36 05 3

16. Halla las soluciones de estas ecuaciones de la manera más simple posible:

a) x x x( )( )+ + =1 2 02 2

b) x x( ) ( )− + =3 3 02 2

c) x( )− =1 02 2

d) x − =1 04

17.   Resuelve estas ecuaciones bicuadradas:

a) x x− + =2 1 04 2

b) x x+ =2 04 2

c) x x− + =25 144 04 2

d) x4 − 13x2 + 36 = 0

Ecuaciones de segundo grado8.   Halla las soluciones de las siguientes ecua-

ciones:

a) x x+ − =3 4 02

b) x x− − =2 5 7 02

c) x x+ + =16 64 02

d) x x+ + =9 1 02

e) x x+ =50 3 52 2

f) x x x− + =− −27 180 3 202

9. A partir del discriminante de las siguientes ecuaciones, analiza cuántas soluciones tendrán:

a) x x− + =5 25 02

b) x x− + =14 49 02

c) x x− − =4 3 3 02

10. ¿Cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones?

a) x = 1212

b) x x− =5 7 02

c) x − =9 16 02

11. Resuelve las ecuaciones sin operar el produc-to de los binomios:

a) x( )− =5 02

b) x x( )( )− − =3 8 0

c) x x( )( )− + =2 1 4 0

d) x x( )− =1 0

12. Opera y resuelve:

a) x x( )− + = −3 1 2 52

b) x x− = +3 6 22 2

c) x x x x− = +4 3 2 72 2

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100 UNIDAD 5

Actividades finales 25. Un estudiante dona parte de sus ahorros a

tres ONG y les entrega, respectivamente, un ter-cio, un cuarto y un quinto de lo que tenía. Si aún le quedan 26 €, ¿cuánto dinero había ahorrado?

26. Para delimitar una finca de 750 m2, rectan-gular, se han utilizado 110 m de valla. Calcula las dimensiones de la finca.

27.   El perímetro de un rectángulo mide 100 m y el área, 600 m2. Calcula sus dimensiones.

28.   Halla los dos números cuya suma es 78 y su producto, 1296.

29. Un ladrón perseguido por un policía corre a una velocidad de 5 m/s. Si el policía corre a 10 m/s y se encuentra a 100 m del ladrón, ¿cuánto tiem-po tardará en alcanzarlo?

30.   Se tiene un lote de baldosas cuadradas. Si se forma con ellas un cuadrado de x baldosas por lado sobran 27, y si se toman x + 1 baldo-sas por lado faltan 40. ¿Cuántas baldosas hay en el lote?

31.   Dentro de once años el doble de la edad de Miguel será igual al cuadrado de la edad que tenía hace trece años. ¿Qué edad tiene Miguel ahora?

32. Calcula el área de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en 3 cm se cuadriplica su área.

33. De un tablero de 1 200 cm2 se cortan dos pie-zas cuadradas, una de ellas con 5 cm más de lado que la otra. Si la superficie total de las tiras de madera que sobran es 83 cm2, ¿cuánto miden los lados de las piezas cuadradas cortadas?

18. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x x x− + =5 6 03 2

b) x x x− − + =2 19 20 03 2

c) x x x x x− − + + − =10 10 9 9 05 4 3 2

19. Escribe en forma desarrollada una ecuación de grado 3 cuya única solución sea x = 2.

20. Opera y resuelve:

a) x x x x( )− = + +6 1 32 2 3

b) x x x x( )− + + =5 3 1 27 182 2

c) x x x x( )− = −3 6 2 2 12 2

Resolución de problemas

21. Para comprar unas zapatillas y un móvil he-mos gastado 300 €. ¿Cuánto nos costaron las za-patillas si pagamos por ellas 20 € menos que por el móvil?

22.   En una familia la suma de las edades de los cuatro hijos es 28 años. ¿Cuál es la edad de cada uno si el mayor tiene cuatro años más que el segundo, el segundo dos años más que el tercero, y este cuatro más que el pequeño?

23.   Añadiendo 5 unidades al doble de un nú-mero más los tres cuartos de este número da por resultado el doble de ese número más 2. ¿De qué cifra hablamos?

24.   Una madre tiene 45 años y su hijo, 11. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la madre será el triple de la edad del hijo?

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101UNIDAD 5

42. En una tienda de móviles hacen un pedido anual de 60 nuevos dispositivos y al final del año se vende la mitad del total. Si al cabo de tres años hay 65 móviles, ¿cuántos dispositivos había en un principio?

Tres hermanos recogen una cierta cantidad de naranjas. Ya por la tarde terminan agotados por el calor y se van a descansar, dejando todas las naranjas juntas en un saco. Uno de ellos se des-pierta durante la noche y decide comerse su par-te. Coge la tercera parte de las naranjas, se las come y se vuelve a dormir. Un rato después se despierta otro hermano y decide también co-merse su parte. Va al saco, coge la tercera parte, se las come y se vuelve a dormir. El tercer herma-no hace lo mismo un poco después. Si cuando se despertaron por la mañana los tres hermanos quedaban en el saco ocho naranjas, ¿cuántas ha-bían recogido?

43. Seis amigos desean pasar sus vacaciones jun-tos y deciden, por parejas, utilizar diferentes me-dios de transporte. Sabemos que Alberto no utiliza el coche, pues acompaña a Marta, que no va en avión. Natalia viaja en avión. Si Manuela no acom-paña a Eduardo ni hace uso del avión, ¿en qué medio de transporte llegará a su destino Fran?

44. Una empresaria invierte en su negocio de energías renovables una gran cantidad de dinero. Cada año gasta 100 millones de euros y gana una tercera parte de lo que le queda. Si al cabo de tres años ha doblado su fortuna, ¿de cuánto dinero disponía inicialmente?

Síntesis34.   Escribe un enunciado que plantee una

ecuación para las siguientes soluciones:

a) 10 años.

b) 7 amigos.

c) 6 libros.

d) 3 tabletas.

35. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) x x x x( )− + − =2 2 9 52 3 2

b) x x x x( )− − = −3 2 39 32 2

c) x x x x x x( )− − = − −4 3 9 2 2 82 3 2 2

36.   La nota media conseguida en una clase de 20 estudiantes ha sido 6. Ocho estudiantes han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. ¿Cuál es la nota media de los estudiantes aprobados?

37.   Tenemos cuatro perros: un caniche, un mas tín, un bulldog y un pitbull. El pitbull come más que el caniche; el bulldog come más que el cani-che y menos que el mastín, pero este come más que el pitbull. ¿Con cuál de los cuatro perros gastaremos menos dinero en comida?

38. Distribuye 2000 € entre dos personas de for-ma que una de ellas se lleve el 25 % de lo que se lleva la otra.

39. Para una fiesta de final de curso se han com-prado 340 helados. De chocolate hay el triple que de vainilla, mientras que de nata hay el doble que de vainilla menos 20. ¿Cuántos helados se han comprado de cada sabor?

40. En el aula de 3.o A de un colegio hay el do-ble de estudiantes que en la de 3.o B. Si nueve estudiantes del aula A pasaran al aula B, ha-bría en esta el doble de alumnos de los que que-daban en aquella. ¿Cuántos estudiantes hay en cada aula?

41. Cuando llegan los meses de verano, Alfonso gasta todos los días la mitad de lo que tiene más 1 €. Si se queda sin nada al tercer día, ¿cuánto di-nero tenía?

¿Ha mejorado tu habilidad para resolver ecuacio-nes?

¿Has encontrado momentos de dificultad? ¿Cuá-les?

Escribe en tu cuaderno tres aspectos de tu pro-ceso de aprendizaje que te han gustado y quieres repetir en próximas unidades. ¿Cuáles crees que deberías mejorar?

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102 UNIDAD 5

Actividades PISA  

Cine on-lineUna página web de descarga de películas on-line da la opción de ha-cerse socio para tener un precio reducido en sus películas. La cuota anual de socio es de 10 €. El precio de las películas para los socios es inferior al precio para los no socios, tal y como se muestra en el si-guiente anuncio:

1. El año pasado, Tomás era socio de la web. Gastó un total de 52,50 €, incluida la cuota de socio. ¿Cuánto habría gastado Tomás si no hubiese sido socio y hubiese comprado el mismo número de películas?

2. ¿Cuál es el número mínimo de películas que tiene que descargar un socio para cubrir el coste de su cuota?

Oferta de empleoEn Zedland dos diarios quieren contratar vendedores. Los siguientes anuncios muestran cómo pagan a sus ven-dedores.

Cine on-line

Al preguntarnos por cuántas películas tiene que descargar Antonio para cubrir el coste de su cuota, lo que nos pide el problema es calcular a partir de qué pelí­cula descargada es rentable para Anto­nio haberse hecho socio.

Oferta de empleo

Para hallar el número de periódicos que vendió esa se­mana Cristina, ten en cuenta si el dinero que ha gana­do supera el que habría ganado en el caso de vender 240 ejemplares. Si el dinero que gana es mayor que esa cantidad, tendrás que considerar el beneficio del resto de periódicos vendidos.

1. Como media, Federico vende 350 ejemplares de La Estrella de Zedland cada semana. ¿Cuánto gana cada semana de acuerdo con este promedio?

2. Cristina vende El Diario de Zedland. Una semana ganó 74 zeds. ¿Cuántos periódicos vendió esa semana? Unid

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103UNIDAD 5

Autoevaluación  

5. La edad de Santiago y la de su hija Elsa suman 48 años. Si dentro de ocho años la edad del padre será el triple de la de la hija, ¿cuántos años tienen actualmente?

6. Halla las soluciones de estas ecuaciones:

a) x x+ =−9 62

b) x + =4 02

c) x x+ =3 6 02

7. Plantea y resuelve una ecuación con la que obten-gas dos números enteros consecutivos tales que su producto sea 72.

8. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x − =81 04

b) x x x− − =4 4 3 03 2

c) x x x( )( )+ − =2 5 02

d) x x− + =2 1 04 2

9. Si el lado de un cuadrado aumenta en 1 cm, su área lo hace en 11 cm2. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado original?

10. A un curso de interpretación teatral asisten 63 per-sonas. Si hay cuatro mujeres por cada tres hom-bres, ¿cuántas mujeres y cuántos hombres están participando en la actividad?

1. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes ex- presiones:

a) El doble de un número más su mitad es 30.

b) Encuentra un número tal que al sumarle 8 ob-tenemos su triple.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x x x( )− + + =6 5 2 5

b) x x

x− = +2

5 3

4

3

3. Resuelve:

a) x x x+

+−

= −−5

4

3

33

1

2

b) − − = +x

xx4

53

7

3

2

5 3

4

6

4. Resuelve las siguientes ecuaciones por el método gráfico:

a) b)

Ahora que has llegado al final de la unidad, te proponemos que elabores tu propio mapa mental. Recuerda reflejar en él los términos clave de la unidad y organizarlos alrededor del tema principal.

Al lado te proponemos algunas palabras y ecuaciones clave que deberías incluir. Aña­de tú el resto.

Método gráfico

Sin solución

Regla de RuffiniEcuaciones de 2.o grado

Dos soluciones distintas

Ecuaciones con grado superior a 2

Solución doble

Incompletas

Método algebraicoEcuaciones de 1.er grado

Resolución de problemas

Mapa mental  

y

x

1234

–1 1 2

y

x

2468

2 4 6 8

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