respuesta en frecuencia

CAPÍTULO 7 RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN AMPLIFICADOR.7.1 Introducción En los capítulos 2 y 3 se han estudiado los transistores BJT y JFET como amplificadores, sin considerar la zona de trabajo de estos en función de la frecuencia. En este capítulo se realizará el estudio del comportamiento de los amplificadores en función de la frecuencia. Todo amplificador debe tener dos frecuencias de corte, una frecuencia de corte en alto (wH) y una frecuencia de corte en bajo (wL), por consiguiente un ancho de banda (Bw). La zona de trabajo del amplificador estará restringida por dicho ancho de banda (Bw).7.2 Modelos de los transistores para el análisis de frecuencia.Los modelos que vamos a utilizar son los que se presentaron en el capítulo 2 y 3 incluyendo el efecto de las capacitancias internas. 7.2.1 El modelo a utilizar para AC del transistor BJT NPN o PNP será el mismo para ambos transistores, figura 7.1.

La resistencia rb es un dato dado por el fabricante con un valor típico de 100Ω.rπ= (β+1)re, ro se considera infinita, a menos que se indique lo contrario.

(7.1)

(7.2)

(7.3)

VA: voltaje de Early, dato dado por el fabricante.La capacitancia cµ tiene un valor típico de 2pF y la capacitancia se c se calcula a partir de:

(7.4)

dada por el fabricante.7.2.2 El modelo a utilizar para el transistor JFET CANAL N O CANAL P será el mismo para ambos transistores, figura 7.2.

(7.5)

(7.6)

(7.7)

(7.8)VA: voltaje de Early, dato dado por el fabricante.La capacitancia cgd tiene un valor típico de 2pF y la capacitancia se cgs se calcula a partir de:

(7.9)

dada por el fabricante.7.3 Respuesta en frecuencia del amplificador.

gmv-

+

v

e

cb

=c

e

bcr

cµ

ro

rb

Q

Figura 7.1

s

g d

-

+

vgs gmvgs

s

g

d

CgsroJ

Figura 7.2

104

cgd

Todo amplificador debe tener una respuesta en función de la frecuencia. Esto se muestra en la figura7.3.

En la figura 7.3:

ABM = : Ganancia en la banda media.

Esta ganancia tiene un valor constante dentro del ancho de banda BW.

BW = wH - wL: Ancho de banda.wH: Frecuencia de corte en alto, depende de las capacitancias internas o parásitas del transistor.

wL: Frecuencia de corte en bajo, depende de las capacitancias externas al transistor.

Banda media o banda de paso: Es donde la magnitud de la ganancia se puede considerar constante además, esta ganancia no depende de la frecuencia, en otras palabras el efecto de las capacitancias internas y externas del transistor es considerado despreciable.

A altas frecuencias la ganancia cae debido al efecto de las capacitancias internas del dispositivo, mientras a bajas frecuencias los capacitores de acople y desacople ya no actúan como cortocircuito y por tanto la ganancia del amplificador se ve disminuida.Los limites de la banda media o banda de paso están determinados por wL y wH

(figura 7.3). Estas dos frecuencias son aquellas en las cuales la ganancia cae 3dB por debajo del valor de la ganancia en la banda media.

7.3.1 La ganancia como función de s donde s = jw.La ganancia de un amplificador como función de la frecuencia compleja (s) puede ser expresada de la siguiente manera.

(7.10)En la ecuación (7.10) FL(s) expresa la dependencia de la ganancia en función de la frecuencia en la banda de baja frecuencia y FH(s) su dependencia en la banda de alta frecuencia. Si w >> wL entonces FL(s) tiende a 1, de igual manera para w << wH(s) la función FH(s) tiende a 1. Por tanto puede escribirse que:

(7.11) La ecuación (7.11) es válida siempre que

De lo anterior se deduce que la ganancia en la banda de baja frecuencia es:

(7.12)La ganancia en la banda de alta frecuencia es:

(7.13)Los cálculos para la ganancia en la banda media se realizan considerando que los capacitores de acople y desacople se comportan como perfectos cortocircuitos a la vez, las capacitancias internas del transistor son tomadas como circuitos abiertos. La ganancia en la banda de baja frecuencia AL(s) es determinada a partir del análisis del circuito equivalente tomando en cuenta los capacitores de acople y desacople pero, asumiendo que las capacitancias internas del transistor son circuitos abiertos perfectos. Para la ganancia en la banda de alta frecuencia

0 wL wH

ABM

w

|H(jw)|dB

BW

Banda media

Figura 7.3

105

AH(s) es determinada tomando en cuenta las capacitancias internas del transistor pero, considerando los capacitores externos de acople y desacople como perfectos cortocircuitos.

7.3.1.1 Respuesta a bajas frecuencias.La función FL(s) que expresa la respuesta a baja frecuencia del amplificador posee la forma general:

(7.14)Donde: Representan los valores de los ceros de baja frecuencia.

Representan los valores de los polos a baja frecuencia.En la ecuación (7.14) puede observarse que si s tiende a infinito entonces FL(s) tiende a 1. En muchos casos los ceros poseen frecuencias tan bajas (mucho menores que wL) que poseen poca importancia en la determinación de wL. Además, por lo general, uno de los polos, por ejemplo wp1, posee una frecuencia mucho mayor que la de todos los otros polos. Entonces si w se aproxima a la banda media, FL(s) puede escribirse como:

(7.15)

La ecuación (7.15) no es más que una función de transferencia paso alto de primer orden. En este caso la respuesta de baja frecuencia del amplificador es dominada por el polo y la frecuencia inferior de -3dB es aproximadamente igual a wp1.

(7.16)Lo expresado anteriormente se conoce como aproximación por polo dominante y es válida cuando exista polo dominante, si

no existe tal polo debe entonces encontrarse la respuesta completa de

para determinar wL. Se dice que estamos en presencia de un polo dominante de baja frecuencia cuando el polo de frecuencia mas alta supera al polo o cero mas cercano en al menos 3 octavas (un factor 8). Si no existe polo dominante de baja frecuencia, puede encontrarse una formula aproximada para determinar wL en función de los polos y ceros existentes en el circuito. Por ejemplo consideremos el caso de una función de transferencia con dos ceros y dos polos.

(7.17)

Sustituyendo y tomando la magnitud cuadrada de la función, tenemos:

(7.18)Dado que los puntos de -3dB son los puntos de potencia media entonces w =wL

cuando y por tanto:

(7.19)

(7.20)Ya que wL generalmente es mucho mayor que las frecuencias de todos los polos y ceros, entonces podemos despreciar los

términos que contienen y despejar

wL para obtener:

106

(7.21)La expresión (7.21) puede extenderse para una función con cualquier número de polos y ceros. En la misma puede observarse que si Entonces la expresión (7.21) se reduce a la expresión (7.16), .

7.3.1.2 Respuesta a altas frecuencias.

La función FH(s) puede ser expresada de la forma general de la siguiente forma:

(7.22)Donde: Representan los valores de los ceros de alta frecuencia.

Representan los valores de los polos a alta frecuencia.Se puede notar en la ecuación (7.22) que si s tiende a 0 entonces FH(s) tiende a 1.En la mayoría de los casos los ceros son infinitos o poseen frecuencias tan altas que tienen poca influencia en la determinación de la frecuencia superior de -3dB (wH).Si uno de los polos de alta frecuencia posee un valor mucho menor que el de los otros polos, wp1 por ejemplo, entonces la respuesta en alta frecuencia del amplificador será dominada por este polo y FH(s) puede aproximarse como:

(7.23)

La ecuación (7.23) no es más que la función de transferencia de una red pasa bajo de primer orden.En los casos en que exista un polo dominante de alta frecuencia, la determinación de wH se simplifica a

(7.24)Se dice que estamos en presencia de un polo dominante de alta frecuencia cuando el polo de más baja frecuencia se encuentra al menos 3 octavas por debajo del polo o cero más cercano. Si no existe polo dominante entonces wH puede determinarse a partir de . De la misma forma que para bajas frecuencias puede derivarse una formula aproximada para wH en términos de los polos y ceros de alta frecuencia.

(7.25)

En la ecuación (7.25) si: Entonces, la

ecuación (7.25) se reduce a la ecuación (7.24), .7.3.1.3 Utilización de las constantes de tiempo de cortocircuito y circuito abierto para la determinación aproximada de wL y wH.Cuando los polos y ceros de la función de transferencia pueden ser determinados fácilmente, puede utilizarse los métodos anteriores para determinar wL y wH. Sin embargo, en la mayoría de los casos no es muy fácil determinar los polos y ceros. En tales situaciones pueden obtenerse valores aproximados para wL y wH mediante la utilización del método que se describe a continuación.Inicialmente consideremos la respuesta en alta frecuencia. La función FH(s) de la ecuación (7.22) pude rescribirse como:

107

(7.26)

En la ecuación (7.26) los coeficientes a y b están relacionados con los ceros y polos de alta frecuencia, respectivamente. Específicamente, b1 esta dado por:

(7.27)

El valor de b1 puede obtenerse a partir del circuito equivalente para alta frecuencia, tomando en cuenta las capacitancias presentes una a la vez, mientras las otras son consideradas circuitos abiertos.El proceso consiste en encontrar el valor de la impedancia de Thévenin vista por el capacitor que multiplicado por el valor de la capacitancia respectiva permite obtener la constante de tiempo determinada por cada capacitor. Luego el proceso es repetitivo para todas y cada una de las capacitancias presentes en el circuito.Lo anterior permite obtener la contribución de cada capacitancia en la posición de las singularidades del circuito.El Valor de b1 se encuentra sumando todas las constantes de tiempo individuales llamadas constantes de tiempo de circuito abierto.

(7.28)

Donde NH representa el número de capacitores presentes en el circuito equivalente para alta frecuencia.De la ecuación (7.27) puede observarse que si uno de los polos es dominante, es decir … Entonces:

(7.29)

wH será entonces aproximadamente igual a wp1, por lo tanto:

(7.30)

Debe señalarse que en aquellos circuitos con cierto nivel de complejidad no puede saberse a simple vista o averiguarse fácilmente si existe o no un polo dominante, no obstante la ecuación (7.29) generalmente produce muy buenos resultados aun cuando no existe un polo dominante.Las constantes de tiempo de cortocircuito se utilizan para determinar la frecuencia inferior de -3dB, wL. A continuación veremos como las mismas nos permiten obtener de manera muy aproximada el valor de FL.La expresión FL(s) de la ecuación (7.14) puede expresarse de forma alternativa como:

(7.31)

En la ecuación (7.31) los coeficientes d y e están relacionados con los ceros y polos de baja frecuencia, respectivamente. Específicamente e1 esta dado por:

El valor de e1 puede obtenerse analizando el circuito equivalente para baja frecuencia, considerando los distintos capacitores que conforman el circuito, uno a la vez, mientras los restantes son reemplazados por corto circuitos. El proceso consiste en encontrar la impedancia equivalente de thévenin vista por el capacitor en cuestión, luego el proceso se repite para todos los capacitores existentes en el circuito equivalente de baja frecuencia. El valor de e1 se encuentra mediante la suma de los inversos de las constantes de tiempo de cortocircuito.

108

(7.32)En la ecuación anterior NL representa el número de capacitores presentes para baja frecuencia.El valor puede ser utilizado para obtener wL siempre y cuando no existan ceros dominantes y si además existe un polo dominante. Si existe un polo dominante, por ejemplo wp1, con una frecuencia mucho mayor que la del resto de los polos existentes entonces: recordemos que en el caso en que existe un polo dominante wL es aproximadamente igual a la frecuencia del polo dominante, significa entonces que en ese caso:

(7.33)

El método de las constantes de tiempo de cortocircuito provee una buena aproximación para el valor de wL aun en el caso en que no exista un polo dominante, sin embargo debe aclararse que si tal polo existe el resultado de la aproximación será mucho más cercano al valor real o verdadero.

7.4 EJEMPLOS

Ejemplo # 1.Para el circuito mostrado en la figura 7.4, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: IDSS = 12mA; VGS(off) = -4V; Cgs = 12pF; Cgd=2pF.

Solución:a.- Análisis DCEl circuito para DC queda de la siguiente forma, figura 7.4.1.

VG = 0V (7.34)VS = ISxRS = IDRs (7.35)VGS = VG-VS = -IDxRS (7.36)

(7.37)

Sustituyendo (7.36) en (7.37) se obtiene:

(7.38)

Por tanto:

Introduciendo valores: (7.39)

Solucionando la ecuación (6.39):

Entonces: ID1 = 4.6mA e ID2 = 31.89mA

vO-

+

Figura 7.4

C310uF

C22.2uF

VDD20V

1kHz

vi-1/1V

C11uF

RL1kΩ

RG10MΩ

RD2.2kΩ

RS330Ω

VDD20V

RG10MΩ

RD2.2kΩ

RS330Ω

IG

IS

ID

VDS

+

-

Figura 7.4.1

109

De estos dos valores solamente uno de ellos es válido, ya que el otro valor está fuera de los parámetros del transistor; en este caso fuera del valor de IDss. Entonces, el valor para la corriente es ID1 = 4.6mA.

Conociendo la corriente ID se calcula VGS de la ecuación (7.36).VGS = -IDxRs = -4.6mAx330Ω = -1.52VPara calcular VDS se aplica un LKV en la malla exterior que involucre VDS.

(7.40)Despejando VDS:

(7.41)Introduciendo valores en la ecuación (6.41) se obtiene:

El punto de operación es:ID = 4.6mA y VDS = 8.36V. Para saber si el transistor funcionará como amplificador se verifica la siguiente condición.

(7.42)

Con VDS =8.36V cumple la condición, entonces, el transistor se comporta como un amplificador.b.- Análisis AC.Dibujando el circuito para AC considerando los capacitores de acople y desacople como cortocircuitos, sin sustituir el modelo del transistor para AC, resulta el circuito de la figura 7.4.2.

Sustituyendo el modelo del transistor para AC considerando las capacitancias internas del transistor como circuito

abierto, en el circuito anterior, figura 7.4.2 resulta el circuito de la figura 7.4.3.

Calculando los parámetros para AC:

(7.43)Sustituyendo valores en (6.43):

Calculando las variables solicitadas.

a) (7.44)

(7.45) Donde:

(7.46)Sustituyendo (7.46) en (7.45) se obtiene:

(7.47)

Sustituyendo valores en (7.47):

b) (7.48)

Para el cálculo de wH dibujaremos el circuito equivalente. Este circuito equivalente es el mismo que utilizamos para calcular ABM agregando las capacitancias internas del transistor. Este circuito se muestra en la figura 7.4.4.

vO

-

+

1kHz

Vi

-1/1VRL1kΩ

RG

10MΩ

RD2.2kΩ

Figura 7.4.2

gmvgsvgs

-

+

-

+

vO1kHz

vi-1/1V

RL

1kΩRG 10MΩ

RD2.2kΩ

Figura 7.4.3

vo

+

-

+

-

Vgs

gmVgs

Cgs

Cgd

1kHz

Vi-1/1V

RL1kΩ

RG

10MΩ

RD2.2kΩ

Figura 7.4.4

110

(7.49)

(7.50)Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.4 se deja la capacitancia Cgs y se abre la capacitancia Cgd y a partir de este circuito (figura 7.4.5) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cgs.

ya que vi es una fuente independiente al apagarla es un cortocircuito en paralelo a 10MΩ.

(7.51) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.4 se deja la capacitancia Cgd y se abre la capacitancia Cgs y a partir de este circuito (figura 6.4.6) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cgd, Además se apaga vi.

De la ecuación (7.49) se obtiene:

Por lo tanto de (6.48):

c) (7.52)

Para el cálculo de wL dibujaremos el circuito equivalente, para esto se considera las capacitancias internas del transistor como circuito abierto y se toma en cuenta el efecto de los capacitores de acople y desacople (C1, C2 y C3). Este circuito se muestra en la figura 7.4.7.

(7.53)

(7.54)Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.7 se deja el capacitor C1 y se cortocircuita C2 y C3, y a partir de este circuito (figura 7.4.8) se calcula la resistencia de thévenin vista por C1.

(7.55)

(7.56)

(7.57) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.7 se deja el capacitor C2 y se cortocircuita C1 y C3, y a partir de este circuito (figura 7.4.9) se

Vgs

-

+

Cgs

1kHz

Vi-1/1V

RG1kHz

Vi-1/1V

10MΩ

Figura 7.4.5

gmVgs

Vgs

-

+

-

+

Vo

Cgd

RL’RG10MΩ

Figura 7.4.6

gmvgs

vgs

-

+

vo

-

+

C310uF

2.2uF1uF

1kHz

vi

-1/1V

RS330

RL

1kΩRG10MΩ

RD

2.2kΩ

Figura 6.4.7

gmvgs

vgs-

+

vo

-

+

C1

1uF

1kHz

vi

-1/1V

RS330Ω

RL1kΩ

RG

10MΩ

RD2.2kΩ

Figura 7.4.8

111

C1 C2

calcula la resistencia de thévenin vista por C2.

Ya que la fuente de corriente se comporta como un circuito abierto al apagar vi.

(7.58)

(7.59) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.7 se deja el capacitor C3 y se cortocircuita C1 y C2, y a partir de este circuito (figura 7.4.10) se calcula la resistencia de thévenin vista por C3.

(7.60)Para calcular se abre las terminales de C3 y se coloca una fuente de prueba y

la (7.61)

Esto se muestra en la figura 7.4.11.

Del circuito anterior se deduce:

(7.62)

(7.63)Sustituyendo la ecuación (7.63) en la ecuación (7.62) se obtiene:

(7.64)

Entonces:


Entonces:


De la ecuación (6.52):

El resultado final se muestra en la figura 7.4.12.

+

-vo

+

-vgs

gmvgs1kHzvi

-1/1V

RS330Ω

RL

1kΩRG10MΩ

RD

2.2kΩ

2.2uF

Figura 7.4.9

+

-vo

+

-vg

s gmvgs

C310uF

1kHz

vi

-1/1V

RS330Ω

RL

1kΩRG10MΩ

RD

2.2kΩ

Figura 7.4.10

ip

+

-vO+

-vgs gmvgs

+

-vp

RL1kΩ

RS330Ω

RD

2.2kΩ

i

Figura 7.4.11

0 130.16Hz 115.75MHz

ABM=2.56

f

|H(jw)|dB

BW

Banda media

Figura 7.4.12

112

C2

Ejemplo # 2.Para el circuito mostrado en la figura 7.5, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: IDSS = 12mA; VGS(off) = -4V; Cgs = 12pF; Cgd=2pF.

Solución: a.- Análisis DC

(7.66)

(7.67)

Despejando VGS se obtiene:

(7.68)

Por tanto:

(7.69)Sustituyendo valores:


El punto de operación para el transistor J es:

Para que el transistor funcione como amplificador debe cumplir con la siguiente condición.

Ya que, cumple con la condición anterior el transistor funciona como amplificador.b.- Análisis AC.Dibujando el circuito para AC se considera los capacitores de acople y desacople como cortocircuitos, sin sustituir el modelo del transistor para AC, resulta el circuito de la figura 7.5.1.

Sustituyendo el modelo del transistor para AC considerando las capacitancias internas del transistor como circuito abierto, en el circuito anterior, figura 7.5.1 resulta el circuito de la figura 7.5.2.




a) (7.72)

(7.73)

-

+vo

+C4=∞VEE

-5V

1kHzVi

-500m/500mV

20V

C2

6.8uF

+

C310uF

RE

860Ω

Ri

100kΩ

RD2.2kΩ

RG10MΩ

RL10kΩ

C11uF

1kHz Rs330Ω

VDD

Figura 7.5

vo

-

+

1kHzVi

-1/1VRi

100kΩRL

10kΩ

RG1MΩ

RD

3.3kΩ

1kHz

-1/1V

Figura 7.5.1

+

-vo

+

VgsgmVgs

1kHz

-1/1V

100kΩ

RD

2.2kΩRG10MΩ

RL10k

1kHz

Vi

-1/1V Ri

10kΩ

-

Figura 7.5.2

113

Donde:

(7.74)

Por tanto sustituyendo (7.74) en (7.73) se obtiene:

(7.75)Sustituyendo valore en (7.75):

b) (7.76)


(7.77)

(7.78)Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.5.3 se deja la capacitancia Cgs y se abre la capacitancia Cgd y a partir de este circuito (figura 7.5.4) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cgs.

(7.79)De (6.78):

(7.80)Para calcular la constante de tiempo de la ecuación (7.80) en el circuito de la figura 7.5.3 se deja la capacitancia Cgd y se abre la capacitancia Cgs y a partir de este circuito (figura 7.5.5) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cgd, Además se apaga vi.

Para calcular se abre las terminales de Cgd y se coloca una fuente de prueba y la es:

(7.81)

El circuito para calcular la ecuación (7.81) se muestra en la figura 7.5.6.

Del la figura 7.5.6 se deduce:

gmVgs

Vgs

+

vo-

+

- Cgs

Cgd

1kHz

Vi

-1/1VRi

100kΩ

RD2.2kΩRG

10MΩ

RL

10kΩ1kHz

-1/1V

Figura 7.5.3

Ri

RG Cgs

Figura 6.5.4

+

-

vgsgmvgs

RL’

CgdRi

RG

Figura 7.5.5

+

-vgs

gmvgs

+ -vp

ip

RL’RG

Ri

io

Figura 7.5.6

114

(7.82) (7.83)

Donde (7.84)Sustituyendo (7.83) en la ecuación (7.82) se obtiene:

(7.85) Entonces:


Entonces de la ecuación (6.80) se obtiene:

Por tanto de la ecuación (7.77) se obtiene

Para el cálculo de FH se utiliza la ecuación (7.76):

Nota: Otra forma de calcular wH es usando el teorema de Miller.Este teorema se explica a continuación.

Teorema de Miller.

Cuando un FET es conectado en la configuración fuente común, la capacitancia Cgd aparece como un elemento natural que retroalimenta la señal de salida (en el drenador) hacia la

entrada (en la compuerta). Este efecto ocasionado por Cgd complica el análisis, sin embargo, afortunadamente existe un teorema de circuitos que nos permite reemplazar el elemento de retroalimentación (Cgd en este caso) en dos elementos conectados a tierra.Este reemplazo no solamente simplifica el análisis sino que también vuelve más claro el efecto que Cgd tiene sobre la respuesta a alta frecuencia del amplificador. Este teorema de circuitos se conoce como Teorema de Miller. Para ilustrar el teorema consideremos la situación de la figura 7.5.7, en la que se tiene un nodo 1 y un nodo 2 referidos a tierra de una red particular, entre los cuales se encuentra conectada una admitancia Y, además los nodos 1 y 2 pueden estar conectados mediante otros componentes a otros nodos de la red.

El teorema de miller brinda los medios para reemplazar Y por dos admitancias: Y1 entre el nodo 1 y tierra, y Y2 entre el nodo 2 y tierra.El teorema de miller es aplicable siempre y cuando se conozca o pueda conocerse, la relación de voltajes entre el nodo 1 y el nodo 2 denotado por K, en donde:

(7.87)

Si se conoce K los valores de Y1 y Y2 pueden ser determinados a partir de: (7.88)

(7.89)

Calculando WH por Miller.

YI1 I2

I2

I1Y2Y1

1 21 2

Figura 7.5.7

115

Aplicando Miller en la figura 7.5.8resulta la figura 7.5.9.

De la figura 6.5.9:

(7.90)

(7.91)





(7.96)


Calculando wH:

(7.97)



c) (7.98)

Para el cálculo de w L dibujaremos el circuito equivalente, para esto se considera las capacitancias internas del transistor como circuito abierto y se toma en cuenta el efecto de los capacitores de acople y desacople (C1, C2 y C3). Este circuito se muestra en la figura 7.5.10.

(7.99)


gmvgsCgs

CgdRi

100k

2.2kΩRG10MΩ

RL

10kΩ

100kΩ

RD

Figura 7.5.8

vgs

gmvgsCgd2Cgd1Cgs

Ri’ RL’

Figura 7.5.9

gmvgs

vgs-

+

Ri

+

C3

C2C1

RS

RL

RG

RD

+Figura 7.5.10

116







Para calcular se abre las terminales de C3 y se coloca una fuente de prueba y la es:

(7.105)

El circuito para calcular la ecuación (7.105) se muestra en la figura 7.5.14.

De la figura 7.5.14.

(7.106)

(7.107)Sustituyendo (7.107) (7.106) se obtiene:

(7.108)

Entonces:


Entonces de (7.104) se obtiene:


gmvgs

vgs-

+

Ri C1

RS

RL

RG

RD

Figura 7.5.11

gmvgs

vgs-

+

C2Ri

RS

RLRG

RD

Figura 7.5.12

gmvgs

vgs-

+

C3

Ri

RS

RLRGRD

Figura 7.5.13

gmvgs

vgs-

+

ip vp

+

-

Ri

RS

RLRGRD

i

Figura 7.5.14

117



Ejemplo # 3.Para el circuito mostrado en la figura 7.6, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: β = 100 y rb = 100Ω.Cπ = 33pF y Cµ=2.7pF.

Solución:a.- Análisis DC

(7.110)

(7.111)

(7.112)

(7.113)

El punto de operación para el transistor es:VCE= 6.4V e IE = 1.75mAEl transistor está funcionando en la zona activa.b.- Análisis AC.Dibujando el circuito para AC, sin sustituir el modelo del transistor para AC, resulta el circuito de la figura 7.6.1.

Sustituyendo el modelo del transistor para AC, en el circuito de la figura 7.6.1, resulta el circuito mostrado en la figura 7.6.2.


(7.114) (7.115)


(7.116)

a) (7.117)

(7.118)

(7.119)

0 111.76Hz 57.44MHz

ABM=6.91

f

|H(jw)|dB

BW

Banda media

Figura 7.5.15

vo-

++

-VCE

Ri1kΩ

4.7uF

10uF

12V

1kHz

Vi

-1/1V

1uF RL18kΩ

RE1kΩ

RC

2.2kΩ

R2

3.9kΩ

R115kΩ

1kHz

-1/1V

C1

Figura 7.6

+

1kHz

vi-1/1V Q

RS

1kΩRL10kΩ

RTH3.1kΩ

RC

2.2kΩ

vO

-

Figura 7.6.1

vπ

-

+vO

gmvπ -

RL

1kHzvi

-1/1V

RCrπ

rb

RB

+

Ri

vi’

Figura 7.6.2

118

(7.120)Donde


b) (7.122)


(7.123)

(7.124)Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.6.3 se deja la capacitancia Cπ y se abre la capacitancia Cµ y a partir de este circuito (figura 7.4.4) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cπ.

(7.125)De la ecuación (7.124):

(7.126)Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.6.3 se deja la capacitancia Cµ y se abre la capacitancia Cπ y a partir de este circuito (figura 7.6.5) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cµ, Además se apaga vi.

Para calcular se abre las terminales de Cµ y se coloca una fuente de prueba y la es:

(7.127)

Para calcular esta resistencia se utiliza el circuito de la figura 7.6.6.

De la figura 7.6.6 de deduce:

(7.128) (7.129)

Donde:

(7.130)Sustituyendo vπ en la ecuación (7.130) se obtiene:

-

+

vπ

gmvπ

Cµ

Cπ

rb

RTH

RCrπ

RL

Ri

Figura 7.6.3

rπ

rb

Cπ

Ri

RTH

Figura 7.6.4

gmvπvπ-

+

rb

rπ

Cµ

RL’Ri RTH

Figura 7.6.5

ip

vp -+

gmvπvπ-

+

rb

RTH RL’Ri

rπ

iO

Figura 7.6.6

119

(7.131)

Entonces:

Sustituyendo valores:


Calculando wH de la ecuación (6.123):

Por lo tanto de la ecuación (7.122):

Calculando WH por Miller.

Aplicando Miller a la figura 7.6.3 se obtiene la figura 7.6.7

(7.132)

(7.133)

(7.134)

(7.135)

Sustituyendo valores en (6.135)

(7.136)

Sustituyendo valores en (6.136)






c) (7.140)


gmvπ

vπ

Cµ2Cµ1

Ri’Cπ

RL’

Figura 7.6.7

120

(7.141)

(7.142)Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura7.6.8 se deja el capacitor C1 y se cortocircuita C2 y C3, y a partir de este circuito (figura 7.6.9) se calcula la resistencia de thévenin vista por C1.






(7.145) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura7.6.8 se deja el capacitor C3 y se cortocircuita C1 y C2, y a partir de este circuito (figura 7.6.11) se calcula la resistencia de thévenin vista por C3.

Para calcular se abre las terminales de C3 y se coloca una fuente de prueba y la es:

(7.146)

Para realizar el cálculo de la ecuación (7.146) se utiliza el circuito de la figura 7.6.12.

gmvπ

vπ

+

-

rb

RTH

RC

rπ

RL

RE

Ri C1 C2

+

C3

+

Figura 7.6.8

gmvπ

vπ

+

-

rb

RTH

RC

rπ

RL

RE

Ri C1

Figura 7.6.9

-

+

vπgmvπ

C2

rb

RTH

RC

rπ

RL

RE

Ri

Figura 7.6.10

-

+

vπgmvπ

C3

rb

RTH

RC

rπ

RL

RE

Ri

Figura 7.6.11

121

El circuito de la figura 7.6.12 se puede redibujar, figura 7.6.13.

(7.147)

(7.148)

(7.149)

(7.150)

(7.151)

(7.152)

Sustituyendo (6.153), (6.151) y (6.150) en (7.149) se obtiene:



De (7.140) resulta:


Ejemplo #4.Para el circuito mostrado en la figura 7.7, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb = 0Ω, Cπ1 = 15pF, Cµ1=2pF, Cπ2 = 33pF y Cµ2=2.7pF.

Solución: a.- Análisis DC Circuito para DC, figura 7.7.1.

-

+

vπgmvπ

+

-vpip

rb

RTH

RC

rπ

RL

RE

Ri

Figura 7.6.12

ipvp

-

+

gmvπ

vπ

+

-

i

ib

RC

Ri`

RL

RE

Figura 7.6.13

0 1,177.58Hz 612.75kHz

ABM=75.65

f

|H(jw)|dB

BW

Banda media

Figura 7.6.14

vo-

+

C310uF

RL10kΩ

RE2

1.8kΩ

Q2

VCC12V

1kHz

vi

-1/1V

RS

1kΩC21uFC1

10uFR2

1kΩ

R1

1kΩ

RE15.3kΩ

RC

2.2kΩ

Q1

Figura 7.7

122

Aplicando Thévenin entre la base de Q1 y el punto común en la figura 7.7.1.

(7.1

53)

(7.154)

(7.155)

Sustituyendo en la ecuación

(7.155) se obtiene:

(7.156)

(7.157)


Aplicando LKV en malla que involucra VCE1 y con un valor de IB2 despreciable se obtiene:

(7.158)Con I = IE1 resulta:


El punto de operación para Q1 es: VCE1 = 4.5V e IE1 = 1mA. El transistor está funcionando en la zona activa, comportándose como un amplificador. Para la segunda etapa se obtiene:

(7.160)

(7.161)

(7.162)Entonces: VCE2 = -2.2V. El punto de operación para Q2 es: VCE2 = -2.2V e IE2 = 0.833mA. El transistor está funcionando en la zona activa, comportándose como un amplificador.b.- Análisis AC.Dibujando el circuito para AC, sin sustituir el modelo del transistor para AC, resulta el circuito de la figura7.7.2.

Sustituyendo el modelo del transistor para AC, en el circuito anterior, figura 7.7.2 resulta el circuito de la figura 7.7.3.

Q2

12V

Q1RL

10kΩ

RE21.8kΩ

R2

1kΩ

R11kΩ

RE1

5.3kΩ

RC

2.2kΩ

IE1

IE2+

-

V1

IB2

I

Figura 7.7.1

+

-vo

Q2

1kHz

vi

-1/1V

Q1 RL10kΩ

RS

1kΩ

RE1

5.3kΩ

RC2.2kΩ

Figura 7.7.2

123

VCC


(7.163)

(7.164)



(7.167)

(7.168)


a) (7.169)

Para el cálculo de la ecuación (7.169) se puede realizar calculando las ganancias por etapas y el producto de estas ganancias es la ganancia esperada, ecuación (7.170).

(7.170)

(7.171)

(7.172)

Sustituyendo la ecuación (7.172) en (7.171) se obtiene:

(7.173)Sustituyendo en la ecuación (7.173) y dividiendo numerador y denominador por este mismo factor se obtiene:

(7.174)


(7.175)

(7.176)

Sustituyendo (7.176) en (7.175) se obtiene:

(7.177)Sustituyendo en la ecuación (7.177) y dividiendo numerador y denominador por este mismo factor se obtiene:

(7.178)


-

+

vovπ2

-

+ rπ2

gm2Vπ2

+

-vO1

gm1vπ1

+

-

vπ1

RS

RL

rb

1kHzvi

-1/1V

RE1

RCrπ1

rb

+

-vi’

Figura 6.7.3

124

(7.179)


Sustituyendo valores en la ecuación (7.169) se obtiene:

b) (7.181)

Para el cálculo de wH dibujaremos el circuito equivalente. Este circuito equivalente es el mismo que utilizamos para calcular ABM agregando las capacitancias internas de los transistores. Este circuito se muestra en la figura 7.7.4.

(7.182)

(7.183)Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.4 se deja la capacitancia Cπ1 y se abren las

capacitancias Cπ2 , Cµ1 y Cµ2 y a partir de este circuito (figura 7.7.5) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cπ1.



(7.185) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.4 se deja la capacitancia Cµ1 y se abre la capacitancia Cπ1, Cπ2 y Cµ2 y a partir de este circuito (figura 7.7.6) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cµ1, Además se apaga vi.



(7.187)

Figura 7.7.4

+ +

- -vπ2

vπ1 RC

rπ2 Cπ2RL

1kHzvi

-1/1V

Rs

Cπ1

RE1

rπ1

rb

1kHz

-1/1V

gm2vπ2gm1vπ1

Rs Cπ1

re1RE1

Figura 7.7.5

gm1vπ1Cµ1

RC

rb

rπ2

125

rb Cµ2Cµ1

Figura 7.7.6

Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.4 se deja la capacitancia Cπ2 y se abren las capacitancias Cπ1 , Cµ1 y Cµ2 y a partir de este circuito (figura 7.7.7) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cπ2.



(7.189) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.4 se deja la capacitancia Cµ2 y se abre la capacitancia Cπ1, Cπ2 y Cµ1 y a partir de este circuito (figura 7.7.8) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cµ2, Además se apaga vi.

(7.190)Para calcular se abre las terminales de Cµ2 y se coloca una fuente de prueba y la es:

(7.191)

El circuito para realizar el cálculo de la ecuación (7.191) se muestra en la figura 7.7.9.

(7.192)

(7.193)

(7.194) Donde:

(7.195) Sustituyendo (7.194) en la ecuación (7.193) se obtiene:

Entonces:




Por lo tanto de (7.181) se obtiene:

c) (7.197)

RC Cπ2

rb

rπ2

Figura 7.7.7

RLgm2vπ2RC

rb

rπ2

+

-

+

vπ2

Figura 7.7.8

+

-

vπ2RLgm2vπ2Ri’

+ -vp

ip

io

Figura 7.7.9

126

Cµ2


(7.198)


(7.200)De la ecuación (7.199) resulta:


(7.202)Introduciendo valores en (7.202):



(7.204)Introduciendo valores en (7.204):




gm2vπ2gm1vπ1

+ +

- -

vπ2vπ1

C2

C3

C1

RE2RTH

RC rπ2 RL

RsRE1

rπ1

rb

Figura 7.7.10

gm2vπ2gm1vπ1

+ +

- -

vπ2vπ1

C1

RE2RTH

RCrπ2 RL

RsRE1

rπ1

rb

Figura 7.7.11

gm2vπ2gm1vπ1

+ +

- -

vπ2vπ1

C2 RE2RTH

RC rπ2RL

RsRE1

rπ1

rb

Figura 7.7.12

vπ1 vπ2

--

++

gm1vπ1 gm2vπ2

C3RE2RTH

RC rπ2 RL

RsRE1

rπ1

rb

Figura 7.7.13

127

rb

rb

rb

rb


PROBLEMAS

7.1 Para el circuito mostrado en la figura P7.1, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: IDSS = 10mA; VGS(off) = -2.5V; Cgs = 10pF; Cgd=2pF.

7.2 Para el circuito mostrado en la figura P7.2, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: IDSS = 10mA; VGS(off) = -2.5V; Cgs = 10pF; Cgd=2pF.

7.3 Para el circuito mostrado en la figura P7.3, calcule: a) ABM b) FH c) FL

Datos: IDSS = 10mA; VGS(off) = -2.5V; Cgs = 10pF; Cgd=2pF.

7.4 Para el circuito mostrado en la figura P7.4, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb = 100Ω, Cπ = 15pF, Cµ=2pF.

7.5 Para el circuito mostrado en la figura P7.5, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb =100Ω, Cπ = 15pF, Cµ=2pF.

7.6 Para el circuito mostrado en la figura P7.6, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb = 0Ω, Cπ = 15pF, Cµ=2pF.

0 573.44Hz 106.29kHz

ABM=506.23

f

|H(jw)|dB

BW

Banda media

Figura 7.7.14

+

-vo

Ri

100kΩ

Rs

330Ω

RD1.8kΩ

RG10MΩ

RL18kΩ

C11uF

1kHz

vi-1/1V

20V

C22.2uF

C310uF

1kHz

-1/1V

Figura P7.1

vo

+

-

-5V

C4=∞

C1

1uF1kHz

vi-500m/500mV

20V C3

6.8uF

C210uF

RE2.2kΩ

R2

2.2kΩ

R12.2kΩ

Ri

100kΩ

Rs330Ω

RD2.2kΩ

RG

10MΩ

RL10kΩ

1kHz

-500m/500mV

Figura P7.2

-

+vo

Ri

10kΩ

RS1.2kΩ

RG11MΩ

RG21MΩ RL

1.2kΩ

C2

1uF

18V

C11uF

1kHz

vi-1/1V

1kHz

-1/1V

Figura P7.3

-

+vo

Ri

1kΩ

C32.2uF

C210uF

12V

1kHz

vi-1/1V

C11uF RL2.2kΩ

RE

5.6kΩ

RC2.2kΩ

R21kΩ

R1

1kΩ

1kHz

-1/1V

Figura P7.4

+

-vo

Ri

1kΩ

RL2.2kΩ

C22.2uF

12V

1kHz

vi-1/1V

C1

1uF

RE5.6kΩ

R21kΩ

R11kΩ

1kHz

-1/1V

Figura P7.5

128

VDD

VDD

7.7 Para el circuito mostrado en la figura p7.7, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb = 0Ω, Cπ1 = 15pF, Cµ1=2pF, Cπ2 = 33pF y Cµ2=2.7pF.

7.8 Para el circuito mostrado en la figura P7.8, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb =0Ω, Cπ1 = 10pF, Cµ1=2pF, Cπ2 = 33pF y Cµ2=2.5pF.

12V

RL2.2kΩ

C32.2uF

1kHzvi

-1/1V

C11uFC2

10uF

Q1 Ri1kΩ

R2

1kΩ

R1

1kΩ

RE

5.6kΩ

RC2.2kΩ

1kHz

-1/1V

Q1 vo

+

-

Figura p7.6

+

-vo

Ri

1kΩ

Q1

Q2

C410uF

C1

1uF

1kHz

vi

-1/1V

12V

C2

10uF

C32.2uF

RL

2.2kΩ

RE5.6kΩ

RC2.2kΩ

R32.2kΩ

R21kΩ

R1

1kΩ

Q1

Q2

1kHz

-1/1V

Figura P7.7

vo-

+

C36.8uF

RL8.2kΩ

RE2

1.8kΩ

Q2

VCC12V

1kHz

vi

-1/1V

RS

1kΩC21uFC1

100uFR2

1kΩ

R1

1kΩ

RE15.3kΩ

RC

2.2kΩ

Q1

Figura P7.8

129

respuesta en frecuencia

Documents