1

Capítulo 6

Diseño de Compensadores en el Dominio de la Frecuencia

2

Compensación en el Dominio de la FrecuenciaLa Compensación en el dominio de la frecuencia se puedever como:

• Añadir ganancia a bajas frecuencias mejora el desempeño en estado estable.

• Añadir ángulo de fase a la frecuencia deseada del margen de fasemejora la desempeño transitorio.

• La frecuencia del margen de fase aproxima al ancho de banda delazo cerrado . El añadir ángulo de fase se puede usar para

diseñar un ancho de banda deseado y/o margen de fase.

3

Estructura del Compensador Atraso & Adelanto

atraso) o adelanto Diseño( de ParámetroIntegral alProporcionón Compensaci a Aproxima 1

DerivativaalProporcionón Compensaci 0to)lfa_adelanAdelanto(a deón Compensaci 1

a_atraso)Atraso(alf deón Compensaci 1Katraso) o (Kadelantor compensado del ganancia

)1()1()(

ττταααα

αττ

⇒+⇒>>

+⇒=⇒<⇒>

=

++

=

c

c

Kdonde

ssKsD

4

Elementos Claves de la técnica de diseño

• Trasladar especificaciones al ancho de banda de lazocerrado y/o especificaciones del margen de fase.

• Control del ancho de banda seleccionando la frecuenciade ganancia de cruce a 0 dB, como la “frecuencia de cruce”.

• Control del margen de fase seleccionando el ángulo defase correcto en el cruce.

5

Aproximación Asintótica de la Respuesta en Frecuencia en Lazo Cerrado

C jR j H j

GH jGH j

CR

jH j

GH j

G j GH j

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

ωω ω

ωω

ωω

ω

ω ω

=+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≅ >>

≅ <<

11

1

1

1 for

for

El ancho de banda de lazo cerrado es aproximadamentea la frecuencia de cruce de la ganancia de lazo abierto, |GH(jωgc)|=1 (0 dB) El cual es también la Frecuencia del margen de fase.

6

Factor de Amortiguamiento Vs. Margen de Fase

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Exact RelationApproximation:PM/100

Aproximación clave:

Margen de Fase ~

100*factor de amortiguamiento

Aproximación clave:

Margen de Fase ~

100*factor de amortiguamiento

22

1

412

2tan

Fase deMargen

ςς

ς

++−

=

−

7

PO % Vs.Margen de Fase

0 10 20 30 40 50 60 70 800

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Nota:

Márgenes de Fase desde 40 a60 grados

Corresponde a

PO % desde 30 a 10 %.

Nota:

Márgenes de Fase desde 40 a60 grados

Corresponde a

PO % desde 30 a 10 %.

8

Ancho de Banda Normalizado Vs.Factor de Amortiguamiento

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6Nota:

1) Sistema bien amortiguado:

Ancho de Banda ~ Frecuencia Natural

2) Sistema Sobreamortiguado:

Ancho de Banda ~ 0.5*Frecuencia Natural

Nota:

1) Sistema bien amortiguado:

Ancho de Banda ~ Frecuencia Natural

2) Sistema Sobreamortiguado:

Ancho de Banda ~ 0.5*Frecuencia Natural

9

Lazo Cerrado: Transitorio y Respuesta en Frecuencia

T s C sR s s s

n

n n

( ) ( )( )

= =+ +

ωςω ω

2

2 22

( )M T j n

n n

= =− +

( )ω ω

ω ω ς ω ω

2

2 2 2 2 2 24

10

Pico de Resonancia y Ancho de Banda

M p =−

1

2 1 2ς ξ

ω ω ςp n= −1 2 2

( )ω ω ς ς ςBW n= − + − +1 2 4 4 22 4 2

11

Lazo Cerrado - Pico de Resonancia Vs. P.O.%

12

Ancho de Banda Normalizado Vs. Factor de Amortiguamiento

13

Adelanto de Fase

0

90

0

-90

∠ G(j )ω

ωm

G (j ) c ω dB

1τ

1ατ

∠ +(1 j τ)ω

20 log α

1τ

1ατ

ω

ωατj+∠

11

14

Máximo Incremento de Fase para Compensación de Adelanto

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90Máximo Incremento de fase vs. alfa

Máx

imo

adel

anto

de

fase

(gra

dos)

alfa

Código en MATLAB:

alfa=0:0.01:1;» phi_max=(180/pi)*asin((1-alfa)./(1+alfa));» plot(alfa,phi_max)» grid,title('MáximoIncremento de Fase vs alfa')» ylabel(‘Máximo Adelanto de Fase (grados)')» xlabel(‘alfa')

Código en MATLAB:

alfa=0:0.01:1;» phi_max=(180/pi)*asin((1-alfa)./(1+alfa));» plot(alfa,phi_max)» grid,title('MáximoIncremento de Fase vs alfa')» ylabel(‘Máximo Adelanto de Fase (grados)')» xlabel(‘alfa')

15

Adelanto de Fase

16

…

Planta

17

Pasos de Diseño1. Determine la ganancia de lazo abierto para satisfacer

requerimientos de error.2. Usando esta ganancia evalúe el margen de fase del sistema

sin compensar.3. Determine el adelanto de fase necesario (φL) que debe ser

añadido al sistema.

4. Dondeφd: Margen de fase deseadoφa: Margen de fase actual

εφφφ +−= adL

ooo 14/60/40,12/40/20,5/20 =⇒=⇒=⇒ εεε decadadBdecadadBdecadadB

ε = reducción desconocida en φ dependiente de la pendiente de la curvade ganancia que cruza 0 dB.

18

…4. Determine α a partir de:

Por lo tanto determine la frecuencia donde la curva de magnitud del sistema sin compensar es igual a

Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce por 0 dB y ωmaxsimultáneamente, debido a que la red de compensación proporciona una ganancia de

dB⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−α1log10

maxen log101log10 ωα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

zp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+−=

+−= −

αφ

φφα

ααφ 1tan290 o

sin1sin1 i.e.

11sin 1

LL

LL

19

…

5. Utilice:

para evaluar τ, por lo tanto determine las frecuencias de codo de la red de adelanto a partir de:

6. Para mantener las especificaciones de error, inserte un amplificador con ganancia:

( )pzzp 1010max10max loglog21log ó 1

−=== ωατ

ω

α1

ατω

τω 11 == polocero L

20

Ejemplo 1

Especificaciones:Tiempo de Establecimiento (±2%), Ts≤ 4sPorcentanje de Sobreimpulos, PO% ≤ 20%

Y(s)

21

Ejemplo 1 – Adelanto de Fase

-20

-10

0

10

20

30

Mag

nitu

de (d

B)

100

101

-181

-180.5

-180

-179.5

-179

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

22

Ejemplo 1 ....

23

Ejemplo 1 ....

24

Ejemplo 1 ....

25

Ejemplo 2

Especificaciones:Error en estado estable para una rampa < 5%Margen de fase del sistema de al menos 45º

Un sistema de control realimentado tiene la siguiente ganancia de lazo abierto:

( ) ( )2+=

ssKsGol

26

Ejemplo 2 – Adelanto de Fase

-50-40-30-20-10

01020304050

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

27

Ejemplo 2 ....

28

Ejemplo 2 ....

29

Ejemplo 2 ....

30

Ejemplo 2 ....

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

31

Atraso de Fase

90

0

-90ωm

-20 dB/dec(pendiente)

1

ατ

1

τ

∠ +(1 j τ)ω

-20 log α

1

ατ

1

τ

ω

∠+

1

1 j ατω

φm

∠ G (j )c ω

G (j ) c ω dB

32

Atraso de Fase

33

Pasos de Diseño

1. Determine la ganancia de lazo abierto para satisfacer requerimientos de error.

2. Usando esta ganancia evalúe el margen de ganancia y margen de fase del sistema sin compensar.

3. Si las especificaciones del margen de ganancia y fase no se satisfacen, determine la frecuencia donde el ángulo de fase de la ganancia de lazo abierto es -180º + el margen de fase requerido φd, donde φd es el margen de fase especificado + 5º ó 12º, seleccione esto como la nueva frecuencia ajustada de la ganancia de cruce ωcn.

34

…4. Seleccione esta frecuencia de codo como:

(el cero de la red de atraso esta localizado ~ una década por debajo de la nueva frecuencia ajustada de la ganancia de cruce.)

5. Determine la atenuación necesaria para llevar la magnitud a 0 dB a la nueva frecuencia de cruce. Observe que esta atenuación es -20loga, por lo tanto la otra frecuencia de codo se determina a partir de:

(i.e. el polo de la red de atraso)

110 τωω == cn

cero

ατω 1

=polo

35

Ejemplo 3

Especificaciones:Error en estado estable para una rampa < 5%Margen de fase del sistema de al menos 45º

Se realizará el ejemplo 2 con un compensador de atraso de fase.Un sistema de control realimentado tiene la siguiente ganancia de lazo abierto:

( ) ( )2+=

ssKsGol

36

Ejemplo 3 – Atraso de Fase

-50-40-30-20-10

01020304050

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

37

Ejemplo 3 ....

38

Ejemplo 3 ....

39

Ejemplo 3 ....

40

Ejemplo 3 ....

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5

41

Ejemplo 4

Especificaciones:Constante de velocidad del sistema (Kv) = 20Factor de amortiguamiento ζ = 0.707

( )( )210+

=ss

KsGol

Un sistema de control realimentado tiene la siguiente ganancia de lazo abierto:

42

Ejemplo 4 – Atraso de Fase

-150

-100

-50

0

50

100M

agni

tude

(dB)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = 1.2e-014 dB (at 10 rad/sec) , Pm = 0 deg (at 10 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

43

Ejemplo 4 ....

44

Ejemplo 4 ....

45

Ejemplo 4 ....

46

Ejemplo 4 ....

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5