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7/30/2019 Resistencia de Materiales Columnas 6 Ppt

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Resistencia de Materiales

______________________________________________________________________________Universidad de los Andes

Facultad de IngenieraEscuela de Ingeniera Mecnica

Tema 6 - Columnas

Tema 6

Columnas


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Consideraciones iniciales

Tema 6 - Columnas

Seccin 1 - Consideraciones iniciales

Una columna es un elemento sometido a compresin, el cual es lo

suficientemente delgado respecto a su longitud para que bajo la accin de

una carga gradualmente creciente se rompa por flexin lateral o pandeo

ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por

aplastamiento. En esto se diferencia de un elemento corto sometido a

compresin, el cual, aunque este cargado excntricamente, experimentauna flexin lateral despreciable.

Aunque no existe un lmite perfectamente definido entre elemento

corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresin es una

columna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensin menor de

la seccin transversal.

Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias.

En algunos casos, los elementos cortos sometidos a compresin se

consideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas.______________________________________________________________________________

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Estabi l idad de estru cturas

Consideremos el montaje que se muestra en la figura. El mismo

esta integrado por dos barras de longitud L/2, apoyadas por articulaciones

que le permiten rotar en sus extremos, siendo solidarias entre s mediante

un pasador.



Luego, si se mueve dicho pasador

un poco hacia un lado, provocando una

pequea inclinacin q en las barras y

luego se aplica una carga axial P que

mantenga dicha deformacin, tenemos que

la fuerza perturbadora en la direccinhorizontal puede plantearse de la forma::

qtan2 PF raperturbado


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La fuerza restauradora, que sera en este caso la reaccin del

resorte, sera:

Como el ngulo q es muy pequeo, es vlida la aproximacin

tgqsinqq. Entonces, si la fuerza restauradora fuese mayor que la

perturbadora, tendramos:

En esta situacin, las barras volveran a su posicin inicial; a esto

se denomina equilibro estable. Si sucediese lo contrario:

De modo que el mecanismo se deformara hasta una posicin de

equilibrio entre las fuerzas. A esto se llama equilibrio inestable.

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4

LKP r

qsin2

LKF rrarestaurado

4

LKP r


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Si ambas fuerzas fuesen iguales, entonces:

La carga axial crtica (Pcri) representa el estado del mecanismo

con el cual ste se mantiene en equilibrio, pues de variar ligeramente dichacarga las barras del mecanismo no sufriran nign desplazamiento, es decir:

el mecanismo no se movera.

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4

LKP rcri


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Carga crtica en columnas

articuladas

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Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas

Consideremos una viga articulada en sus extremos mediante

rtulas que permiten la flexin en todas las direcciones, tal como se muestra

en la figura. Si aplicamos una fuerza horizontal Hen un punto medio de la

viga se producir una deflexin, a la que denominaremos d.



Supondremos que la

deflexin des lo suficientemente

pequea como para que la

proyeccin de la longitud de la

columna sobre un eje vertical seaprcticamente la misma, estando

flexada la viga.


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Puede observarse que en

la seccin transversal que sufre la

mayor deflexin, el momento flectores:

La fuerza Pcri es la carga

necesaria para mantener la viga

flexada sin empuje lateral alguno.Un incremento de esta carga,

implica a su vez un aumento de la

deflexin dy viceversa.

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Supongamos ahora que aadimos una carga axial cntrica a

compresin P y la hacemos aumentar desde cero, al mismo tiempo quedisminuimos la carga H, de modo que se mantenga constante la deflexin

dconstante.



d criPM (6.2.1)


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Si para el caso anterior designamos como xal eje vertical (sobreel que se proyecta la longitud de la viga) e yal eje horizontal (sobre el cual

se producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de la

forma:



El signo (-) se debe a que la deflexin

producida es negativa (segn la orientacin el eje y),

y el momento flector es positivo.

Recordemos la ecuacin de la elstica para

vigas de seccin transversal constante:

yPxM cri )( (6.2.2)

IE

xM

dx

yd

)(2

2

(6.2.3)


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Luego, sustituyendo M(x) de la ecuacin 6.2.2 en la ecuacin

6.2.3, se obtiene:

La solucin general de esta ecuacin es:

Podemos obtener los valores de las constantes C1 y C2

aplicando las condiciones de frontera. Cuando x=0 y=0, de modo que

C2=0. Al plantear la segunda condicin (x=Ly=0) queda:

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(6.2.4)IE

yP

dx

yd cri

2

2

(6.2.5)

xIE

PCx

IE

PCy cricri cossin 21

(6.2.6)

L

IE

PC crisin0 1


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La solucin de la ecuacin anterior sirve para hallar el valor dePcri, pues debe cumplirse:

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(6.2.7)

nLIE

Pcri

Donde n=1,2,3.

En la figura pueden

verse distintas formas en que

puede pandearse la columnautilizando distintos valores de

n.


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Para efectos de diseo, siempre trabajaremos con n=1. De modo

que la carga crtica queda expresada de la forma:

A esta expresin se le conoce como la carga crtica de Euler para

columnas articuladas.

2

2

LIEPcri

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(6.2.8)


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Relac in de esb eltez, esfuerzo c rtic oEl momento de inercia (I) puede expresarse de la forma:

Donde A es el rea de la seccin transversal y r es una

propiedad de rea denominada radio de giro. Si sutituimos esta ecuacin en

la expresin 6.2.8, obtenemos:

Donde la proporcin L/r se conoce como relacin de esbeltez de

la columna. Mas adelante observaremos cmo este parmetro sirve para

clasificar un elemento cargado axialmente a compresin como una columna

corta, larga intermedia.

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2rAI (6.2.9)

2

2

)/( rL

AEPcri

(6.2.10)


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Si en la expresin 6.2.10 enviamos el trmino Aa dividir hacia el

lado izquierdo, obtenemos:

Mediante esta ecuacin se puede determinar el esfuerzo crtico

(scri) en una columna, el cual indica el esfuerzo normal con el cual la

misma comienza a pandearse. Obsrvese que los trminos variables en

esta expresin son la relacin de esbeltez (L/r) y el esfuerzo crtico en

cuestin. De modo que podemos construir una grfica que nos indique

cmo vara dicho esfuerzo en funcin de la relacin de esbeltez encolumnas. Como el mdulo de elasticidad (E) vara para cada material,

tendremos distintas curvas para diferentes materiales.

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cricri

rL

E

A

Ps

2

2

)/((6.2.11)


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Por ejemplo, en se presentan en la figura las curvas del acero

estructural y del aluminio. Es importante observar que para cada materialexiste una esbeltez que se corresponde con su esfuerzo de fluencia, como

se seala en las curvas. A la derecha de estos puntos, puede observarse

que el esfuerzo crtico disminuye a medida que aumenta la relacin de

esbeltez (en otras palabras, se requiere menor carga para que se produzca

el pandeo en la columna). A la izquierda de estos puntos, la grfica no tiene

sentido prctico.

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Columnas con varios

tipos de soporte

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Seccin 3 - Columnas con varios tipos de soporte

En la deduccin de la ecuacin de Euler, se utiliz como base para

el desarrollo de las ecuaciones una columna soportada mediante

articulaciones en sus extremos, de manera que la deflexin fuese nula en

los mismos. Dependiendo de los apoyos a los que se sujete una columna,dichas condiciones de extremo pueden variar, alterando a su vez el

desarrollo de las ecuaciones. Con el objeto de compensar esto, se utiliza en

la ecuacin de Euler una longitud denominada Longitud efectiva (Le), la

cual representa la distancia entre dos puntos de la columna en los cuales el

momento flector es nulo, y se puede determinar mediante la relacin:

Donde K es el factor de correccin de longitud efectiva y est

tabulado para distintas condiciones de apoyo de columnas.______________________________________________________________________________

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LKLe (6.3.1)


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De manera que la ecuacin del esfuerzo crtico en una columna

quedara planteada de la forma:

Los valores de Kpara las condiciones de apoyo ms comunes se

ilustran en la figura.

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Seccin 3 Columnas con varios tipos de soporte



2

2

2

2

)/()/( rLK

E

rL

E

e

cri

s (6.3.2)


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La ecuacin de Euler se obtiene a partir de la hiptesis de que la

carga (P) siempre se aplica en el centroide de la seccin transversal de la

columna, y que sta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga).

Esta situacin es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas

no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de

aplicacin de la carga.

Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que

comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente despus

de la aplicacin de la carga.

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Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica



Columnas sometidas a cargaexcntrica


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Consideremos entonces una columna sometida a una carga

ejercida con una pequea excentricidad e respecto al centroide de laseccin transversal, como se muestra.

Podemos plantear una expresin para determinar el momento

flector en cualquier seccin transversal:

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)( yePM cri (6.4.1)


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Al plantear la ecuacin de la elstica de la viga, queda:

La solucin general de esta ecuacin es:

Al plantear los lmites de frontera, se obtiene que cuando x=0

y=e, de modo que C2=e . Luego, cuando x=L

y=e, de modo que:

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IE

yeP

IE

xM

dx

yd cri

)()(2

2

(6.4.2)

exIE

PCx

IE

PCy

cossin 21 (6.4.3)

2tan1

L

IE

PeC (6.4.4)


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Finalmente, la ecuacin 6.4.3 queda de la forma:

La deflexin mxima en la viga ocurre cuando x=0,5L. Siintroducimos este valor en la ecuacin, obtenemos:

En esta ecuacin puede observarse que y=0 cuando e=0. Sinembargo, si la excentricidad e es muy pequea, y el trmino dentro de la

funcin trigonomtrica la hiciese tender a infinito, y tendra un valor no

nulo.

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1cossin

2tan x

IE

Px

IE

PL

IE

Pey (6.4.5)

2secmax

L

IE

Pey (6.4.6)


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Entonces, como sec(x)cuando x/2, podemos plantear:

Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crtica:

Ntese que ste es el mismo resultado arrojado para el caso de

carga excntrica (ec. 6.2.8). Es preciso recordar que en caso de trabajarcon condiciones de apoyo distintas, se debe trabajar con la longitud efectiva

(Le) en vez de la longitud nominal (L) de la columna.

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22

L

IE

Pcri (6.4.7)

(6.4.8)2

2

L

IEPcri


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Podemos entonces plantear la ecuacin del esfuerzo mximo en la

seccin de mayor deflexin de la viga:

Recordando que I=Ar2, podemos reescribir esta ecuacin de la

forma:

A esta ecuacin se le conoce como la frmula de la secante, y sirve

para determinar el valor del esfuerzo mximo producido tanto por flexin

como por compresin que se produce en la viga. Debe cumplirse: PPcri.

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I

cL

IE

PeP

A

P

I

cyP

A

P

2sec

)( maxmaxs (6.4.9)

r

L

AE

P

r

ce

A

P

2sec1

2maxs (6.4.10)


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Mediante ensayos mecnicos realizados en columnas se ha

demostrado que la carga crtica sealada por las ecuaciones de Euler y de

la secante puede ser superior a la carga crtica real necesaria para pandear

la columna, como muestra el grfico.

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Seccin 5 - Columnas largas, cortas e intermedias



Columnas largas, cortas

e intermedias


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De la grfica anterior pueden verse con claridad tres zonas que, en

funcin de la relacin de esbeltez, permiten clasificar las columnas en tres

grupos:

Columnas Cortas. A este grupo pertenecen elementos cargados

axialmente a compresin con relaciones de esbeltez muy pequeas, en los

que no se produce pandeo y la falla ocurre cuando smax sy.

Columnas Intermedias. Cuando en los elementos cargados

comienza a presentarse el fenmeno de pandeo al stos experimentar

esfuerzos menores a sy. La ecuacin de Euler no se aproxima

satisfactoriamente al comportamiento de la columna, requiriendo esta zona

de ecuaciones experimentales complejas para predecir con cierta precisin

el valor del esfuerzo crtico (con el cual comienza el pandeo en la columna).

Columnas Largas. Referida a aquellos elementos con grandes

relaciones de esbeltez. La ecuacin de Euler describe con precisin

aceptable el comportamiento de estas columnas.

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En la figura que se muestran algunas tendencias que pueden

usarse para determinar el esfuerzo crtico en columnas intermedias. Nteseque la dificultad en el uso de estos criterios radica en determinar con

exactitud los lmites de la relacin de esbeltez en los cuales son vlidos.

Frmula de Gordon-Rankine:

Aproximacin lineal:

Aproximacin parablica:

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)/(22 rLk ecri ss

)/(1 11

rLk ecri

s

s

2

33 )/( rLk ecri ss


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Como se mencion anteriormente, el uso de la frmula de Euler

para el diseo es completamente vlido si la columna a tratar es

perfectamente recta, hechas de un material completamente homogneo, en

las que los puntos de aplicacin de la carga son perfectamente conocidos.

En realidad, esto no ocurre as. Para compensar todas

imperfecciones que tienen las columnas reales, se utilizan cdigos de

diseo, los cuales son productos de ensayos mecnicos que se llevan a

cabo simulando condiciones reales de construccin y trabajo de elementos

sometidos a cargas axiales de compresin.

A continuacin mostraremos algunos ejemplos de cdigos de

diseo para columnas hechas de distintos materiales.

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Seccin 6 - Diseo de columnas sometidas a carga axial cntrica



Diseo de columnas bajo cargaaxial cntrica


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Columnas de acero

Las columnas de acero estructural se disean con base enfrmulas propuestas por el Structural Stability Research Council(SSRC). A

dichas formulas se le ha aplicado factores de seguridad convenientes, y el

American Institute of Steel Construction (AISC) las ha adoptado como

especificaciones para la industria de construccin. Para columnas largas, se

utiliza la ecuacin de Euler con un factor de seguridad de 12/23:

para

Donde el valor mnimo de relacin de esbeltez efectiva vlido para

la relacin viene dado por:

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Seccin 6 - Diseo de columnas bajo carga axial cntrica



)/(23

12 2

rKL

Eperm

s 200

r

LK

r

LK

c

yc

E

r

LK

s

2

(6.6.1)

(6.6.2)


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En columnas con relaciones de esbeltez menores se usa un ajusteparablico, con un factor de seguridad dictado por una compleja relacin:

para

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3

3

2

2

)/(

)/(

8

1

)/(

)/(

8

3

3

5)/(

)/(1

cc

cperm

rKL

rKL

rKL

rKLrKL

rKL

scr

LK

r

LK

(6.6.3)


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Columnas de alumin io

La Aluminium Association especifica el diseo de columnas dealuminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un

juego especfico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleacin

comn de aluminio (2014-T6) se usa:

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ksiperm 28s 120

r

LK

(6.6.4)para

ksirKLperm )/(23,07,30 s 5512

r

LK(6.6.5)para

2)/(

54000

rKL

ksiperm s

r

LK55 (6.6.6)para


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Columnas de madera

Las Aluminium Association especifica el diseo de columnas dealuminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un

juego especfico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleacin

comn de aluminio (2014-T6) se usa:

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ksiperm 20,1s 110

d

LK

(6.6.7)para

ksidKL

perm

2

0,26

/

3

1120,1s 2611

d

LK(6.6.8)para

2)/(

5400

dKL

ksiperm s 5026

d

LK(6.6.9)para


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Seccin 7 - Diseo de columnas sometidas a carga axial excntrica



Diseo de columnas bajo cargaaxial excntrica

Existen varias formas de tratar casos donde la carga en la columna

es excntrica. Trataremos en esta ocasin los mtodos ms comunes: el

mtodo del esfuerzo admisible y el mtodo de interaccin.

Mtodo del esfuerzo adm is ib le. En este caso, se comparan del

esfuerzo mximo producido en la viga y el esfuerzo admisible dictado por la

ecuacin de Euler. El esfuerzo mximo vendra dado por:

I

cM

A

P maxs (6.7.1)


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El esfuerzo admisible segn la ecuacin de Euler:

Y debe cumplirse:

Mtodo de In teracc in . Se llama as pues en l se observancmo interactan las tensiones producidas por la carga de compresin y por

el momento flector ejercidos en la viga.

2

2

)/( rL

Eadm

s (6.7.2)

admss max(6.7.3)


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Facultad de Ingeniera

En este caso, la condicin que debe cumplirse es:

Donde [sadm]axial y [sadm]flexin se calculan a partir de cdigos de

diseo estipulados para carga axial y carga excntrica respectivamente.

Note que a diferencia del caso anterior, los esfuerzos producidos por carga

axial y flexin se comparan por separado con el esfuerzo crtico para cadacaso. Segn el mtodo anterior se comparan ambos esfuerzos respecto al

esfuerzo admisible proporcionado por la ecuacin de Euler.

1

flexinadmaxialadm

I

cM

A

P

ss

(6.7.4)

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