REPRESENTACIÓN DE

FUNCIONES

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN:

Conjunto de puntos del plano (x,y),

en los que y = f(x), es decir,

conjunto de puntos del plano en los

que la segunda coordenada es la

imagen de la primera.

ESTUDIO PREVIO

7.- CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

1.- DOMINIO DE DEFINICIÓN

2.- SIGNO DE LAS IMÁGENES

3.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

4.- PARIDAD Y SIMETRÍAS

5.- PERIODICIDAD

6.- CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y EXTREMOS

8.- RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS

1) CAMPO O DOMINIO DE DEFINICIÓN:

)x(q

)x(px / q(x) 0

n )x(p

Conjunto de números reales que tienen imagen

a) Funciones polinómicas: y = p(x) , D =

b) Funciones racionales: y = , D =

c) Funciones irracionales: y =

D = si n es impar ; D = x / p(x) 0{ }

d) Funciones logarítmicas: y = loga p(x); D = x / p(x) 0{ }

e) Funciones exponenciales, seno y coseno: D =

Si n es par

D , 2 2,( ] [ )

2) SIGNO DE LAS IMÁGENES:

El signo de las imágenes determina las zonas del plano en el que está la gráfica de la función.

y zona del plano

donde estará la

gráfica si f(x) > 0

0 a b x

zona del plano

donde estará la

gráfica si f(x) < 0

3) PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES:

Son puntos de la gráfica situados sobres los ejes de coordenadas.

Puntos:

x = 0, x = 1, x = – 1, x = 2, x = –2;

, x(x – 1) (x + 1) (x – 2) (x + 2) = 0,Si y = 0

Si x = 0,

Ejemplo: y = x5 – 5x3 + 4x

Puntos de corte con el eje de abscisas (eje OX): y = 0 y se hallan

los correspondientes valores de x.

Puntos de corte con el eje de ordenadas (eje OY): x = 0 y se halla

el correspondiente valor de y.

y = 0; corta al eje 0Y en (0,0)

(0 , 0), (1 , 0), (–1 , 0), (2 , 0) y (–2 , 0)

, x5 – 5x3 + 4x = 0

)2x)(2x)(1x)(1x( xy ,x4x5xy35

4) PARIDAD Y SIMETRÍAS:

Funciones pares: f(–x) = f(x). Simétricas respecto del eje OY.

Funciones impares: f(–x) = –f(x). Simétricas respecto del origende coordenadas (0,0).

Función Par, simétrica respecto del eje OY

f(x) = x4 – x2, es par porque f(-x) = (-x)4 – (-x)2 = x4 – x2

Función Impar, simétrica respecto del ORIGEN de coordenadas

Ejemplo: La función y = x5 – 5x3 + 4x es impar pues

f(– x) = (– x)5 – 5(– x)3 + 4(– x) = – x 5 + 5x 3 – 4x = – f(x)

Las funciones pares y las impares sólo es necesario estudiarlas

para x 0, pues por simetría se obtiene el resto de la gráfica.

5) PERIODICIDAD:Se dice que una función f(x) es periódica de periodo T si

x D, f(x+T) = f(x).

6) INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y

DECRECIMIENTO. EXTREMOS RELATIVOS:

a) Se halla f ’ (x).

b) Se estudia su signo.

c) Si en (a , b) f ’ (x) > 0 entonces f(x) es creciente en (a , b)

d) Si en (a , b) f ’ (x) < 0 entonces f(x) es decreciente en (a , b).

e) En los puntos en los que f(x) pase de decrecer a crecer hay un

mínimo.

f) En los puntos en los que f(x) pase de crecer a decrecer hay un

Máximo.

g) También se pueden hallar los extremos teniendo en cuenta

que si f ’(x0) = 0 y f ’’(x0) > 0 entonces en x0 hay mínimo y si

f ’’(x0) < 0 en x0 hay máximo.

Ejemplo: y = x5 – 5x3 + 4x

En x = 0’54 y en x = 1’64 hay mínimos.

En x = 1’64 y en x = 0’54 hay máximos.

y Crece Decrece Crece Decrece Crece

y ’ + – + – +

1’64 0’54 0’54 1’64

y ’ = 5 (x + 1’64)(x + 0’54)(x – 0’54)(x – 1’64)

y ’ = 0, x1 = – 1’64, x2 = – 0’54, x3 = 0’54, x4 = 1’64

5x4 15x2 + 4 = 0, x2 = t, x4 = t2, 5t2 15t + 4 = 0,

t1 = 2´7, t2 = 0’3, x1 = – 1’64, x2 = – 0’54, x3 = 0’54, x4 = 1’64

; y ’ = 5x4 – 15x2 + 4;

y = x5 – 5x3 + 4x . Como f(x) es impar sólo habría que estudiar

su comportamiento para x > 0

7) INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y

CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN:

a) Se halla f ’’ (x).

b) Se estudia su signo.

c) Si f ’’(x) > 0 en (a,b) entonces en (a,b) f(x) es cóncava.

d) Si f ’’(x) < 0 en (a,b) entonces en (a,b) f(x) es convexa.

e) En los puntos en los que f(x) cambia su concavidad hay puntos de inflexión.

f) Si en f ’’(x0) = 0 y f ’’’(x0) 0 entonces en x0 hay punto de inflexión.

y = x5 – 5x3 + 4x

– 1’22 0 1’22

En x1 = – 1’22, x2 = 0 y x3 = 1’22 hay puntos de inflexión.

y Convexa Cóncava Convexa Cóncava

y ’’ – + – +

y ’’ =20 x (x + 1’22)(x – 1’22)

y ’’ = 20x3 – 30x = 10x(2x2 – 3);

; y ’ = 5x4 – 15x2 + 4;

y’’ = 0, 10x(2x2 – 3) = 0,

x = 0, 2x2 – 3 = 0, 2 3x

2

3 6, x 1'22

2 2

y = x5 – 5x3 + 4x

8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS:

Asíntotas verticales: La recta x = a es una asíntota vertical si

)x(flimax

)x(flimax

)x(flimax

)x(flimax

)x(flimax

8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS:

Asíntotas horizontales: La recta y = b es una asíntota si

b)x(flimx

b)x(flimx

b)x(flimx

8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS:

Asíntotas oblicuas: y = mx + n es una asíntota si

x x

f (x)m lim ; n lim f (x) mx

x[ ]

Asíntota oblicua

cuando x tiende a –Asíntota oblicua cuando

x tiende a

8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS:

Si la gráfica de una función tiene asíntota horizontal

cuando x tiende a entonces no tiene asíntota

oblicua cuando x tiende a y viceversa.

Lo mismo ocurre cuando x tiende a – .

En las funciones racionales f(x) = , si al efectuar la división

se obtiene mx + n de cociente y R de resto, entonces

= mx + n + , es decir, y = mx + n es la asíntota oblicua.

p(x)

q(x)

p(x)

q(x)

p(x)

q(x)

R

q(x)

La función y = x5 – 5x3 + 4x no tiene asíntotas. Su

gráfica es

EJEMPLO DE ASÍNTOTAS OBLICUAS

y = , como f( x) = f(x), es par, simétrica

respecto del eje OY

2x 1

2

x x

f (x) x 1m

x xlim lim

2

2x

x 1

xlim 1

x

n f (x) mxlim

2 2

2x

x 1 x x 1 x

x 1 xlim

2x

1

x 1 xlim 0. Asíntotas y = x, y = x,

por ser par

2

x

x 1 xlim

EJEMPLO DE ASÍNTOTA OBLICUA

y = 2

2x

x 2

2

x

2x

x 2, mx

lim

2

2x

2xlim

x 22

2

x

2x2x

x 2lim

2 2

x

2x 2x 4x

x 2lim

x

4x

x 2lim 4

Asíntota y = 2x – 4

2x

f (x)x 2

Otra forma:

x

n f (x) 2xlim

82x 4

x 2