Slide 1 of 6Repaso de Mathematica

Elaborada por:

Miguel Ángel Serrano

Slide 2 of 6 Integrales y Ajustes de Datos

A continuación presentare el desarrollo de los ejercicios que se hicieron durante el labora-

torio. El repaso va dirigido al ajuste de datos experimentales y la resolución de integrales

encontradas en magnetostática. También se presenta la elaboración de gráficos que nos

ayudaran en la parte del análisis de datos similares a los que se tomaran en el laboratorio.

Objetivos

Familiarizar al estudiante con distintos comandos utilizados en el ajuste de datos, y el como

analizarlos.

Solución de integrales de la formas mas eficiente utilizando Mathematica.

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Slide 3 of 6Ajuste de Datos:

Ejercicio 1:

La guía nos presenta un conjunto de datos a los cuales les haremos un ajuste polinómico. Se hara un ajuste lineal y uno cuadrático, posterior-

mente graficaremos los datos y los ajustes para observar cual se ajusta mejor.

El comando ultilizado para los ajustes polinómicos es llamado Fit que nos pide como argumento los datos por ajustar, el orden del polinomio y

la variable con respecto a la que haremos el ajuste.

El orden del polinomio se da de la siguiente manera {1,x,x^2.....x^n} donde el 1 significa que tendra terminos constantes, el x que tendra

terminos lineales etc.

datos1 = 882, 4<, 83.5, 5<, 84.3, 5.8<, 85.2, 6.7<, 86, 8.3<<;

Almacenaremos los ajustes en funciones ya que luego las usaremos para ser graficadas.

f1Ax_E = Fit@datos1, 81, x<, xD

1.61094 + 1.03549 x

f2Ax_E = Fit@datos1, 81, x, x^2<, xD

4.08363 − 0.381475 x + 0.177877 x2

El siguiente paso es hacer una grafica con los dos ajustes y los datos. Recordemos que el comando para graficar funciones en 2D es Plot que toma como

argumento la funcion que graficara y los limites de la variable. Para graficar un conjunto de datos se usa el comando ListPlot que solo toma como argumento

el conjunto de datos a graficar.

OBSERVACIÓN#1: Es importante pero no necesario que nosotros se hagan las gráficas con distintos colores, de esta manera es mas sencillo hacer la compara-

ción. Esto se consigue agregando el comando PlotStyle Ø “Color Deseado” al comando Plot o List Plot. En Help/Documentation Center pueden encontrar una

lista de colores que Mathematica tiene.

OBSERVACIÓN#2: Debido a que nosotros estamos analizando sistemas físicos no podemos dejar los ejes sin nombre ES NECESARIO hacerlo. Supongamos

que en este caso nosotros graficamos posición vs. tiempo (x vs. t). Los datos que tenemos entonces son de la forma {t,x}. La manera de introducir el nombre de

los ejes a las gráficas es con el comando AxesLabelØ{“Nombre del eje ‘x’”,”Nombre del eje ‘y’”}. Ademas no olvidemos que es absolutamente necesario

colocar en que unidades estamos graficando, en este caso asumiremos que estamos graficando posición en centimetros, y tiempo en segundos

Almacenaremos las gráficas en una variable para luego mostrarlas todas mediante el comando Show.

GE1 = ListPlot@datos1, PlotStyle → Green, AxesLabel → 8"tHsL", "xHcmL"<D;

GE2 = Plot@f1@xD, 8x, 0, 7<, PlotStyle → Red, AxesLabel → 8"tHsL", "xHcmL"<D;

GE3 = Plot@f2@xD, 8x, 0, 7<, PlotStyle → Blue, AxesLabel → 8"tHsL", "xHcmL"<D;

Show@GE1, GE2, GE3D

3 4 5 6

tHsL

5

6

7

8

xHcmL

Se observa que el ajuste polinómico es mejor para estos datos.

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Ejercicio#2

Al estar estudiando fenómenos físicos nosotros muchas veces ya sabemos que comportamiento deberia de tener el conjunto de datos que medimos, por lo cual

no es necesario que los ajustemos polinomicamente.

Cuando ya tenemos una funcion a la cual se deberia de ajustar el conjunto de datos, nosotros haremos uso del comando FindFit que toma como argumentos

el conjunto de datos, la función a la cual nos ajustaremos, las constantes que deben de ser encontradas, la variable que estamos ajustando.

datos2 = 882, 1.07<, 84, 1.88<, 86, 2.26<, 812, 2.78<, 818, 2.97<, 824, 2.99<<;

Recordemos que los caracteres especiales se escriben de la manera Tecla ESC Equivalente Tecla ESC. Como ejemplo el nuestro Tecla ESC a Tecla ESC

genera la letra griega a. En su defecto, pueden buscar los caracteres en el asistente básico de matematica, que se abre en la pestaña Palettes/Basic Math

Assistant.

FindFit@datos2, 83 − 3 Exp@− α xD<, 8α<, xD

8α → 0.233784<

α = 0.233784;

Ahora usaremos el comando Manipulate para hacer algo similar al ejercicio pasado, con la diferencia de que almacenaremos los gráficos individuales y el gráfico

conjunto.

Ge1 = ListPlot@datos2, PlotStyle → Blue, AxesLabel → 8"xHmesesL", "yHpulg.L"<D;

Ge2 = Plot@3 − 3 Exp@− α xD, 8x, 0, 24<, PlotStyle → Orange, AxesLabel → 8"xHmesesL", "yHpulg.L"<D;

Ge3 = Show@Ge1, Ge2D;

Manipulate@Gráfica, 8Gráfica, 8Ge1 → "Gráfica 1", Ge2 → "Gráfica 2", Ge3 → "Gráfica 3"<<D

Gráfica Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3

5 10 15 20

xHmesesL

1.5

2.0

2.5

3.0

yHpulg.L

De esta manera pueden navegar entre los tres gráficos al cambiar de pestaña.

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Slide 5 of 6Integrales:

Para realizar integrales en Mathematica tenemos dos maneras de hacerla, a pesar de que la guía nos dice que hagamos las integrales a tráves del

uso del asistente básico (Palettes/Other/Basic Math Input), haremos las integrales tambien con el comando Integrate que pide como

argumento la funcion a integrar, y la variable con respecto a la cual integraremos (los limites si la integral es definida).

Ejercicio#3

Se nos proporciona una integral que resolveremos por los dos metodos. Al correr el programa pueden notar que el método 2 se tarda menos tiempo, esto es

porque le dividimos el trabajo a Mathematica en partes, en vez de ponerla a trabajarlo todo en un solo comando.

Método 1:

Debemos tener cuidado al ingresar distintas letras en Mathematica, algunas ya estan reservadas como es el caso de la letra I, esta letra es leida por el programa

como el numero complejo i, por ello nosotros nombraremos a las corrientes I1. No sabemos toda la información del problema, sin embargo si sabemos que esas

constantes son reales, de esta manera la computadora efectuara la integral de una manera más rápida debido a que no tiene que resolver el caso mas general.

Haremos esto con el comando Assuming. Ademas de que le pediremos a Mathematica que nos de la respuesta de manera simplificada usando FullSimplify.

B1Az_E = FullSimplifyBAssumingBI1 ∈ Reals && ρ ∈ Reals && L1 ∈ Reals && L1 ∈ Reals ,

µ I1 ρ

4 π

‡−L1

L2 1

Iρ2

+ z2M

3

2

â zFF

ConditionalExpressionB

I1 µ

L1

L12

+ρ2

+

L2

L22

+ρ2

4 π ρ

, ρ ≠ 0 && L1 + L2 > 0 && L1 < 0F

Se resolvio la integral de manera sarisfactoria con la excepción de las conidiciones que pudieron ser puestas antes de resolver la integral, esto depende de la

naturaleza del problema. Desde luego podemos asumir que estas condiciones son lógicas, nos quieren decir que la longitud del circuito es mayor que cero

(seria imposible tener una longitud negativa) que L1 es negativa (esto debido a la geometrá del problema L1 es dirección z negativa), y que r sea distinto de cero

(es el parametro que nos dice donde estamos midiendo el campo, osea cualquier punto en un plano f-z exceptuando el origen, donde se situa la corriente).

Método 2:

Lo que se pretende es facilitarle el trabajo a Mathematica dividiendole el trabajo, a pesar de que se puede evaluar los limites dentro de la integral, haremos una

funcion en la cual almacenaremos el resultado de la integral para luego evaluar los limites de integración. En este caso no seria muy necesario, pero cuando nos

encontramos con integrales multiples es muy efectivo.

b1Az_E = Assuming@I1 ∈ Reals && ρ ∈ Reals && L1 ∈ Reals && L1 ∈ Reals ,

µ I1 ρ ê H4 π L Integrate@1 ê Hρ ^2 + z^2L ^ H3 ê 2L, zDD;

FullSimplify@b1@L2D − b1@−L1DD

I1 µ

L1

L12

+ρ2

+

L2

L22

+ρ2

4 π ρ

Esta es la misma respuesta del método 1, ademas de ser la respuesta esperada, como sale en el libro de texto.

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Ejercicio#4

Observemos que en la primera integral se nos presenta dos maneras de hacerla, se resolveran ambas por métodos distintos.

Método 1:

B2 = FullSimplifyB

AssumingBL ∈ Reals && µ ∈ Reals && a ∈ Reals && zp ∈ Reals && Ha > 0 »» a < 0L && L > 0, ‡0

L µ I1 a^2 n

2 Ia2

+ Hzp − zoL2M3ê2

â zoFF

1

2

I1 n

L

a2

+ HL − zpL2

+ zp −

1

a2

+ HL − zpL2

+

1

a2

+ zp2

µ

Método 2:

b2Az_E = Assuming@L ∈ Reals && µ ∈ Reals && a ∈ Reals && zp ∈ Reals && Ha > 0 »» a < 0L && L > 0,

µ I1 a^2 n ê 2 Integrate@1 ê Ha^2 + z^2L ^ H3 ê 2L, zDD;

FullSimplify@b2@L − zpD − b2@−zpDD

1

2

I1 n

L − zp

a2

+ HL − zpL2

+

zp

a2

+ zp2

µ

De nuevo los dos métodos son equivalentes y concuerdan con la respuesta del Wangsness.

La ultima integral tiene un vector en el numerador pero eso no sera ningun poblema. Si huebiera algun tipo de operación vectorial como Laplacianos seria

necesario definir el sistema coordenado.

AssumingBx ∈ Reals && y ∈ Reals && z ∈ Reals & k ∈ Reals && µ ∈ Reals,

µ k ê H4 πL ‡−∞

∞

‡−∞

∞

8z, 0, x< ê Hx^2 + y^2 + z^2L ^ H3 ê 2L â x â yF

:ConditionalExpressionBk z µ

2 z2

, ReAz2E > 0F, 0, 0>

Que es equivalente a la respuesta del libro.

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