repaso de álgebra básica
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Por: Fís. Orville Heloín Trujillo Narváez Rivera. Sociedad Mexicana de Física, filiación 4080.
[email protected] WhatsApp: 612 155 32 57
FB: Orville Tn Rivera.
Ecuaciones e igualdades: Caso Subibaja.
Variables semejantes: Análisis dimensional.
Aquí se contienen los temas y ejemplos estudiados durante las 3 horas
de sesión presencial el día 21 de junio de 2014 en las instalaciones de la UABCS.
Éstos fueron seleccionados por que son los principales artilugios matemáticos utilizados
al momento de estudiar fenómenos naturales en Física.
Propiedades de la suma y la multiplicación: Herramientas para resolver sistemas de ecuaciones.
Factorización: Pensar más, trabajar menos.
Ejemplo de ejercicio nacional: Misión Espacial.
EC UAC I O N ES E I G UAL DAD ES : C A S O S UB I BA JA .
Es común comparar igualdades y
ecuaciones con balanzas, y un
caso particular de las balanzas son
los “sube y baja”.
En ellos interviene un eje y un
brazo de palanca que a su vez está
formado por una fuerza aplicada
a cierta distancia del eje.
En nuestra analogía, el eje
representa al signo de igual que.
Para mantener en equilibrio a
nuestra balanza, es necesario que
lo que los brazos de palanca en
ambos lados del eje, sean
equivalentes.
Se le llama torca al giro que
produce un fuerza aplicada a
cierta distancia de un punto
fijo llamado eje.
EC UAC I O N ES E I G UAL DAD ES : C A S O S UB I BA JA .
Al resolver un ejercicio debemos
identificar las variables que intervienen
y los valores que conocemos de ellas.
Los diagramas de cuerpo libre se
utilizan para representar de forma
aislada a las variables que
intervienen en los fenómenos
estudiados.
Una vez que identificamos a
nuestras variables, procedemos a
plantear la relación matemática
que mantienen durante el
fenómeno: fórmula. No se acostumbra el uso de herramientas
electrónicas durante el examen teórico,
por lo que se deben repasar los números
primos para reducir las fracciones a su
mínima expresión.
Para estudiar un fenómeno
iniciamos identificando las
variables que creemos relevantes
para su explicación.
Hacemos uso de las leyes
algebraicas de la suma y la
multiplicación para modificar la
fórmula a nuestra conveniencia.
VA R I A B L E S S E M E J A N T E S : A N Á L I S I S D I M E N S I O N A L .
El análisis dimensional es una herramienta
conceptual que nos permite mejorar la
comprensión de los fenómenos en los que
intervienen diversas cantidades físicas. Los
profesores de matemáticas suelen reducirlo a
“no se pueden mezclar peras con manzanas”.
Recuperando el ejercicio del subibaja,
tenemos que al despejar la variable
desconocida 𝑟1, ésta nos queda igual a
𝑟2(𝑚2
𝑚1)
Casi por obviedad sabemos que, por
tratarse de una variable que expresa
distancia, sus unidades deben ser
metros, ¿pero físicamente cómo lo
justificamos?
Para hacer un análisis dimensional, se
ordenan entre corchetes las unidades
fundamentales de cada variable.
De ser necesario, las unidades se
expresarán con los inversos
multiplicativos y el tratamiento se
hará por las leyes de los exponentes.
P R O P I E D A D E S D E L A S U M A Y L A M U L T I P L I C A C I Ó N : H E R R A M I E N T A S P A R A R E S O L V E R S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S .
Los radicales pueden considerarse
como un caso especial de los
exponentes por lo que sus leyes tienen
la misma estructura matemática.
Para reducir un
resultado a partir de
las leyes de los
radicales, se inicia
separando en
factores el valor
contenido.
Dependiendo del
grado de la raíz
(cuadrada, cúbica,
quinta, etc) se
buscarán factores de
ese mismo grado
con el fin de
sacarlos del radical
El Idéntico en la adición es el número tal que si se
suma a otro número, el valor de la operación es el
mismo que valor del número inicial. Por lo que el
Idéntico en la suma es el 0.
Esta ley nos facilita realizar despejes
de variables que inicialmente estaban
en el lado derecho de la fórmula.
Leyes de los radicales:
P R O P I E D A D E S D E L A S U M A Y L A M U L T I P L I C A C I Ó N : H E R R A M I E N T A S P A R A R E S O L V E R S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S .
El Idéntico en la multiplicación es el número tal que
si se multiplica por otro número, el valor de la
operación es el mismo que valor del número inicial.
Por lo que el Idéntico en la multiplicación es el 1.
Las leyes asociativas de la suma y
de la multiplicación nos dicen que
el resultado no se afecta por cómo
agrupes los números al sumar o al
multiplicar.
Las leyes conmutativas de la suma
y de la multiplicación nos dicen
que el resultado no se afecta si
intercambias el orden de los
elementos al sumar o multiplicar.
Este es uno de los 3 casos especiales de un
Idéntico en las identidades trigonométricas
Pitagóricas.
Podemos hacer uso
del Idéntico
multiplicativo para
eliminar los radicales
que estén en el
denominador.
P R O P I E D A D E S D E L A S U M A Y L A M U L T I P L I C A C I Ó N : H E R R A M I E N T A S P A R A R E S O L V E R S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S .
Otra forma de eliminar
denominadores para
evitar trabajar con
fracciones es
multiplicar ambos
lados de la igualdad
por cada uno de los
denominadores
presentes en la
ecuación. Preferentemente se
escribirá el resultado
en la mínima expresión
fraccionaria, al menos
que de forma explícita
se pida el resultado
decimal o porcentual.
Se considera que una fracción está en
su mínima expresión cuando el
resultado está conformado por algún
número primo, en este caso el 53.
P R O P I E D A D E S D E L A S U M A Y L A M U L T I P L I C A C I Ó N : H E R R A M I E N T A S P A R A R E S O L V E R S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S .
Para reducir una
fracción compuesta,
iniciaremos del menor
cociente hacia el
cociente principal.
En la división de fracciones se hace
uso de la herramienta Mnemotécnica
“Regla de la tortilla”, es decir, se
multiplican extremos por extremos y
medios por medios.
FA C T O R I Z A C I Ó N : P E N S A R M Á S, T R A BA JA R M E N O S.
Existen distintos
procedimientos para
resolver un ejercicio en
matemáticas, mismos
que llevados con la
lógica adecuada nos
darán resultados
correctos. Sin
embargo, unos serán
más cortos que otros.
Para ello es importante
tener presente la
factorización por
productos notables.
E J E M P L O D E E J E R C I C I O NA C I O NA L : M I S I Ó N E S PAC I A L .
Supongamos que eres comandante de una pequeña sonda espacial que se encuentra
girando uniformemente en órbita circular en torno a uno de los grandes planetas,
completando una revolución en 3 horas. Se sabe que el diámetro del planeta es de unos
140,000 m y la altura de la sonda sobre la superficie es de sólo unos cuantos kilómetros.
Puedes considerar que 𝐺 = 7𝑥10−11𝑁𝑚2𝐾𝑔−2 y 𝜋 = 3.14
Desde la Tierra te piden estimar:
• La gravedad en la superficie del planeta.
• La masa del planeta.
Para cumplir tu misión puedes comenzar por calcular la velocidad de la sonda.
E J E M P L O D E E J E R C I C I O NA C I O NA L : M I S I Ó N E S PAC I A L .
Para resolver este
ejercicio, hacemos uso
de la fuerza de
gravedad en la forma
de Ley de Gravitación
Universal y de la fuerza
centrípeta.
Constantes identificadas.
Se igualan la fuerza centrípeta y la gravitatoria ya
que la sonda está en un caso de equilibrio similar al
de la Luna.
La masa del planeta queda
determinada por la velocidad
de la sonda, el radio del
planeta y la constante universal
de la gravedad.
El análisis dimensional nos
aclara las unidades
fundamentales de las fuerzas
en Newton (N).
E J E M P L O D E E J E R C I C I O NA C I O NA L : M I S I Ó N E S PAC I A L .
Expresamos la circunferencia
en términos del diámetro.
Empleamos a las variables
angulares para definir la
velocidad lineal.
Con lo anterior se calcula fácilmente el resultado.
Pueden enviar su procedimiento a los datos que aparecen
al final de este documento para su revisión. Saludos.
Por: Fís. Orville Heloín Trujillo Narváez Rivera. Sociedad Mexicana de Física, filiación 4080.
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FB: Orville Tn Rivera.
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