Índice general - algebra.us.es · Álgebra básica. departamento de Álgebra. Índice general 1....

Álgebra Básica. Departamento de Álgebra. http://www.departamento.us.es/da

Índice general

1. Lenguaje y Matemáticas 11.1. Introducción a la lógica proposicional . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 11.2. Cuantificadores universales y existenciales . . . . . . . .. . . . . . . . . . 41.3. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61.4. Los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

2. Enteros 132.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132.2. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout . . . . . . . . . .. . . . . . . 152.3. Clases de congruencias módulo m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 222.4. Los teoremas de Fermat y Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 24

3. Polinomios 293.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 293.2. Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333.3. Factorización. Factores múltiples . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 383.4. Congruencias. Teorema chino del resto . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 403.5. Factorización enC[x] y enR[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6. Factorización enQ[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.7. Factorización enFp [x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8. Factorización efectiva enQ[x] y Fp [x]* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.9. El teorema fundamental del álgebra* . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 56

4. Conjuntos 594.1. Conjuntos. Operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 594.2. Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia. . . .. . . . . . . . . . . . 684.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

5. Grupos 795.1. Grupos: Definiciones y ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 795.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3. Orden de un elemento de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 845.4. Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 865.5. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .875.6. Subgrupos normales. Grupo cociente y grupo producto . .. . . . . . . . . 905.7. Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93


5.8. Teoremas de isomorfía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 955.9. El grupo de las permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 97

6. Anillos y cuerpos 1056.1. Anillos (I): Unidades y divisores de cero . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1056.2. Anillos (II): Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1076.3. Cuerpo de fracciones. Característica . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1106.4. Epílogo: El problema de la factorización . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 112


Capítulo 1

Lenguaje y Matemáticas

Antes de comenzar decir que supondremos que todos sabemos qué son los números(naturales, enteros, racionales y reales), y que conocemoslas propiedades elementales dela suma y el producto de números (asociativa, conmutativa, distributiva,..). La notaciónque usaremos a lo largo de estas notas será:

Los números naturales,N.

Los números enteros,Z.

Los números racionales,Q.

Los números reales,R.

El cero,0, no se considera un número natural

1.1. Introducción a la lógica proposicional

En este tema trataremos de desarrollar el uso del lenguaje enel contexto de las matemáti-cas. A lo largo del mismo, por unaproposición o sentencia lógica entenderemos unadeclaración que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo:1) Hoy es lunes.2) 3 es mayor que 7.3) He nacido en Sevilla.

En los tres ejemplos es claro (aunque el 3 sea más complicado comprobarlo) que ladeclaración correspondiente es verdadera o falsa. Ésta es la característica fundamental delas proposiciones. La siguiente declaración (paradoja) “esta frase es falsa"no puede ser niverdadera ni falsa, por tanto no la consideraremos como proposición.

Otros ejemplos de declaraciones que no son proposiciones son:1) El color azul es bonito.2) n es un número par.3) ¿Quién ha llegado?

Consideremos el conjuntoP de todas la proposiciones posibles. Este conjunto estádividido en dos partes: las proposiciones que son verdaderas y las proposiciones que sonfalsas. Lo que pretendemos ver ahora es cómo podemos combinar proposiciones paraobtener otras nuevas y, además, estudiar cómo se traduce la veracidad o falsedad de las


proposiciones combinadas en la proposición resultante. Generalmente usaremos las letrasp, q,r, ... para representar las proposiciones. Por ejemplo

p : hoy es lunes.

Negación

Dada una proposiciónp, definimos la proposición¬p (no p) como laproposición que es falsa cuandop es verdadera, y verdadera sip esfalsa.

Esta definición se puede ilustrar en sutabla de verdad

p ¬p

V FF V

Conjunción

Dadas dos proposicionesp y q, definimosp∧q (p y q) como la proposi-ción que es verdadera sólo cuando ambas,p y q, son verdaderas.

Su tabla de verdad es:p q p ∧q

V V VV F FF V FF F F

Disyunción

Dadas dos proposicionesp y q, definimos la proposiciónp ∨q (p o q)como aquélla que es verdadera cuando una o ambas proposiciones sonverdaderas.

Su tabla de verdad es:

p q p ∨q

V V VV F VF V VF F F


Implicación

Dadas dos proposicionesp y q, definimos la proposiciónp → q (p

implica q) como la proposición que es falsa cuandop es verdadera yqfalsa, y verdadera en los demás casos. Llamaremos ap la hipótesis y aq la conclusión.


p q p → q

V V VV F FF V VF F V

Ya podemos construir todo tipo de proposiciones, y sus tablas de verdad. Por ejemplo,la tabla de verdad de la proposición¬p ∨q es

p q ¬p ∨q

V V VV F FF V VF F V

Otro ejemplo algo más complicado: la tabla de verdad de(p ∧q) → r

p q r p ∧q (p ∧q) → r

V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V F VF V F F VF F V F VF F F F V

Se observa que las tablas de verdad de la implicación y del primer ejemplo coinciden.

Definición 1.1.1.Diremos que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si tienenla misma tabla de verdad.

Ejemplo 1.1.2. Los siguientes pares de proposiciones son lógicamente equivalentes:a) p ∨ (q ∧ r ), (p ∨q)∧ (p ∨ r ) (propiedad distributiva)b) p ∨ (q ∨ r ), (p ∨q)∨ r (propiedad asociativa)

Tautología

Diremos que una proposición es una tautología si los valoresde su tablade verdad son todos verdaderos.


Por ejemplop ∨¬p. La negación de una tautología se denomina contradicción. Esdecir, una contradicción es una proposición en cuya tabla deverdad sólo aparece el valorfalso. Por ejemplop ∧¬p.

Definición 1.1.3.Dadas dos proposicionesp y q definimos la proposiciónp ↔ q (p síy sólo siq) como la proposición que es verdadera cuandop y q son ambas verdaderas óambas falsas.


p q p ↔ q

V V VV F FF V FF F V

Con esta definición se puede comprobar que dos proposicionesp y q son lógicamenteequivalentes (⇔) si la proposiciónp ↔ q es una tautología.

Para terminar esta sección veamos cómo actúa la negación sobre ∨, ∧ y → . Es unfácil ejercicio comprobar que:1) ¬(p ∨q) ⇔¬p ∧¬q.

2) ¬(p ∧q) ⇔¬p ∨¬q.

Estas propiedades se conocen con el nombre de las leyes de DeMorgan. Para ver cómoactúa la negación sobre→ basta tener en cuenta quep → q ⇔¬p∨q, y aplicando las leyesde DeMorgan, tenemos que:

¬(p → q) ⇔¬(¬p ∨q) ⇔ (¬¬p)∧¬q ⇔ p ∧¬q

1.2. Cuantificadores universales y existenciales

Comenzaremos escribiendo una proposición de distintas formas. Por ejemplo, sabe-mos (lo probaremos más adelante) que:

la desigualdadn2 < 2n es cierta para todos los números naturales mayores o igualesque5.

Podemos expresar (escribir) esta proposición de distintasformas:

Para todo número naturaln, si n ≥ 5, entoncesn2 < 2n .

Para todon, si n ∈N y n ≥ 5, entoncesn2 < 2n .

(∀n)[(n ∈N∧n ≥ 5) → (n2 < 2n)].

Cada vez que hemos escrito la proposición, hemos aumentado el grado de formali-dad. En la última aparece el símbolo∀ (para todo), que denominaremos “cuantificadoruniversal". Veamos otro ejemplo:

Todos los elementos del conjuntoB son negativos.

Para todox ∈B , x < 0.


(∀x ∈ B)(x < 0).

Para todox, si x ∈B , entoncesx < 0.

(∀x)(x ∈ B → x < 0).

La forma más general para una proposición conteniendo en cuantificador universalsería como sigue. SiP (x) es una propiedad expresada en términos dex, entonces unaproposición general con el cuantificador universal sería:

(∀x)(P (x)),

que leeríamos: para todox, P (x).

Volvamos al primer ejemplo. Sabemos que la desigualdadn2 < 2n es cierta sin ≥ 5,pero no lo es si2≤ n ≤ 4. Es decir, sabemos que

Existe un número naturaln tal quen2 ≥ 2n .

Existen tal quen ∈N y n2 ≥ 2n .

(∃n)(n ∈N∧n2 ≥ 2n).

El símbolo∃ se lee como “existe” y se denomina cuantificador existencial.Otro ejemplo:

Algún elemento del conjuntoB es positivo.

Existex ∈ B , x > 0.

(∃x ∈ B)(x > 0).

Existex tal quex ∈ B y x > 0.

(∃x)(x ∈ B ∧x > 0).

Si P (x) es una propiedad expresada en términos dex, entonces una proposición gen-eral con el cuantificador existencial sería:

(∃x)(P (x)),

que leeríamos: existe unx tal queP (x).

Veamos un ejemplo con los dos cuantificadores:

Existe un elemento del conjuntoA que es menor que todos los elementos del con-juntoB .

Existex ∈ A tal quex < y para todoy ∈B.

Existex ∈ A tal que, para todoy ∈B , x < y.

(∃x ∈ A)(∀y ∈B)(x < y).


En matemáticas también usamos el símbolo∃!, que significa “existe un único". Laexpresión(∃!x)(P (x)) se lee: “existe un únicox tal queP (x)". Por ejemplo:∃!n ∈ N talquen3 = 8.

Las proposiciones con cuantificadores se niegan siguiendo las dos reglas siguientes:

¬[(∀x)(P (x))] ⇔ (∃x)(¬P (x))

¬[(∃x)(P (x))] ⇔ (∀x)(¬P (x)).

Un ejemplo con los dos cuantificadores: la negación de(∀ǫ > 0)(∃n ∈N)(1/n < ǫ) es(∃ǫ> 0)(∀n ∈N)(1/n ≥ ǫ).

1.3. Demostraciones

En esta sección veremos los cuatro tipos de demostraciones que usaremos a lo largode todo el curso.Prueba directa.

Esquema:

TeoremaSi p entoncesq.

Demostración:Supongamosp. Entonces [...], se tieneq.

Ejemplo.- Sean un número natural. Probar que sin es impar entoncesn2 es impar.Demostración: Si n es impar, es de la forman = 2k + 1. Por tanton2 = (2k + 1)2 =4k2 +4k +1 = 2(2k2 +2k)+1, es decir,n2 es impar.Prueba de una proposición lógicamente equivalente.

Consiste en sustituir la proposición a demostrar por otra que sea lógicamente equiv-alente y tratar de probar esta última. Por ejemplo, si queremos probar quep → (q ∨ r )

podemos usar que es lógicamente equivalente a(p ∧¬q) → r.

Esquema:

Teoremap → (q ∨ r ).

Demostración:Supongamosp ∧¬q. Entonces [...], se tiener.

Prueba del contrarrecíproco.Es un caso particular de la anterior. Si se quiere probarp → q, usamos que es lógica-

mente equivalente a¬q →¬p, y

Esquema:

Teoremap → q.

Demostración:Supongamos¬q. Entonces [...], se tiene¬p.


Ejemplo.- Sean un número natural. Probar que sin2 es impar entoncesn es impar.Demostración:Supongamos quen es par, es decirn = 2k. Entoncesn2 = 4k2 es par.Prueba por reducción al absurdo.

Si queremos probar quep es un teorema (es verdadero), lo que queremos ver es quep es una tautología. Por tanto¬p es una contradicción.

Esquema:

Teoremap.

Demostración:Supongamos¬p. Entonces [...] FALSO. Luego es una contradic-ción. Se tienep.

Ejemplo.- Proposición (Pitágoras).-p

2 no es racional.Demostración.-Haremos la demostración por reducción al absurdo. Supongamos que

p2

es racional, es decir,p

2 = mn

, y suponemos quem y n no tienen ningún factor común.Elevando al cuadrado tenemos2 = m2/n2, luego m2 = 2n2. Como m2 es un númeropar, se deduce (probarlo) quem es par,m = 2r. Sustituyendo tenemos4r 2 = 2n2, luego2r 2 = n2, de donde deducimos quen2, y por tanton, es un número par. Esto contradice elhecho de quem y n no tenían factores comunes.Contraejemplos.-

Supongamos que tenemos una proposición y queremos saber si es verdadera o falsa.Por ejemplo, seaP (n) una propiedad que tratamos probar que se verifica para todos losnúmeros naturalesn. Entonces:

Si P (n) es verdadera, tenemos que dar una prueba general.

Si P (n) es falsa, basta dar un valor den en el que no se verifique la propiedad.

Ejemplo.- Si nuestra propiedadP (n) es: “todo número impar es primo", basta comprobarque paran = 9 no se verifica la propiedad, luego es falsa.Prueba por inducción.-

Supongamos que tratamos de probar una propiedad (un enunciado) sobre los númerosnaturalesn ≥ n0, para unn0 dado. Si denotamos porP (n) dicha propiedad, la prueba porinducción funciona de la siguiente manera:

1) Probar queP (n0) es cierta

2) Suponer queP (n) es cierta (hipótesis de inducción)

3) Probar queP (n +1) es cierta.

El segundo paso se puede sustituir por2’) Suponer queP (k) es cierta∀k,n0 ≤ k ≤ n.

Ejemplo.- ∀n ∈N se verifica que

1+2+·· ·+n =n(n +1)

2.

Demostración:1) El resultado se verifica paran = 1, pues1= 1(1+1)

2.

2) Suponemos el resultado cierto paran, es decir,1+2+·· ·+n = n(n+1)2

.


3) Tenemos que probar que1+2+·· ·+n + (n +1) = (n+1)(n+2)2

. En efecto,

1+2+·· ·+n + (n +1)= [1+2+·· ·+n]+ (n +1) =n(n +1)

2+ (n +1) =

(n +1)(n +2)

2.

Ejemplo.- Todo número naturaln > 1 tiene un divisor primo.Demostración:1) El resultado se verifica paran = 2, pues2 es un divisor primo de2.

2’) Suponemos el resultado cierto∀k,n0 ≤ k < n.

3) Tenemos que probar quen tiene un divisor primo. Sin es primo,n es el divisor bus-cado. Sin no es primo entoncesn = r s, con 1 < r, s < n. Luegor (y s) tiene un divisorprimo.

1.4. Los números complejos

Números complejos

Un número complejoes un número de la formaa +b · i , dondea y b

son números reales ei es un símbolo que verifica la propiedadi 2 =−1.

Dado un complejo en forma binómicaz = a+b i , el número reala se denominapartereal dez, notadoR(z), mientras queb se denominaparte imaginaria dez, notadoI (z).Dos números complejos son iguales si y sólo si tienen la mismaparte real y la misma parteimaginaria.

EnC definimos las siguientes operaciones internas:

(a+b i )+ (c +d i ) = (a+c)+ (b +d) i ,

(a+b i )(c +d i ) = (ac −bd)+ (ad +bc) i ,

Proposición 1.4.1.(C,+, ·) es un cuerpo.

PRUEBA: Comprobar queC con estas dos operaciones es un cuerpo es algo tedioso.Simplemente notaremos que el elemento neutro de la suma es0 = 0+0 i y el neutro delproducto es1 = 1+0 i . Así mismo, dadoa +b i el inverso aditivo es−a + (−b) i y, si esdistinto de0, el inverso multiplicativo es precisamente

a/(a2 +b2)− (b/(a2 +b2)) i .

�

Nota1.4.2. Si consideramos los números complejos de la formaa+0 i vemos que pode-mos suponerR⊂C, identificandoa ∈R cona+0 i ∈C.

Definición 1.4.3.Dado un número complejoz = a+b i , llamaremoscomplejo conjugadodez, y lo notaremosz, al número complejoz = a−b i .


La operación de conjugación, a pesar de su inofensivo aspecto, tiene una importanciaenorme, incluso en el estudio de objetos reales. Un par de propiedades inmediatas, a partirde la definición, son las siguientes:

z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2,

de donde a su vez se deducen

−z =−z, 1/z = 1/z.

Seaz ∈C. Es fácil ver quez ∈R si y sólo siz = z.

Módulo

Seaz = a +bi ∈ C. Llamaremosmódulo de z, denotado|z|, a la raízcuadrada del número real positivoz · z = a2 +b2,

|z| =√

a2 +b2

Nota 1.4.4. La expresión del inverso multiplicativo dez resulta más sencilla usando elconjugado y el módulo:

1

z=

z

z·

1

z=

z

|z|2.

Gráficamente, podemos representarC como un plano:

1 2 3-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

z=2+3i

z=2-3i-z=-2-3i

|z|

Figura 1.1: Representación gráfica

Forma polar o módulo-argumentoTodo número complejoz se puede escribir de forma

z = |z|(a+b i ),

dondea2 +b2 = 1 y, en consecuencia, existe un único ánguloα ∈ [0,2π), llamadoargu-mento dez, tal que

z = |z|(cos(α)+sen(α) i ).


1 2 3-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

z1=-1+2i

z2=3-i

z=z1+z2=2+i

Figura 1.2: Suma de complejos

Dos números complejos, representados en forma polar, son iguales si y sólo si susmódulos y sus argumentos son iguales.

Con esta notación es fácil ver que para multiplicar dos números complejos hay quemultiplicar sus módulos y sumar sus argumentos. Para dividir, por tanto, se dividen susmódulos y se restan sus argumentos. En efecto: sean

z1 = r1(cos(α1)+ isen(α1)), z2 = r2(cos(α2)+ isen(α2)).

Entonces

z1z2 = r1r2 · [(cos(α1)+ isen(α1))(cos(α2)+ isen(α2)]

= r1r2 · [ (cos(α1)cos(α2)−sen(α1)sen(α2))+(cos(α1)sen(α2)+cos(α2)sen(α1)) i ]

= r1r2 · [cos(α1 +α2)+ isen(α1 +α2)] .

1 2 3-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

=2(cos 30 + i sen 30)√z= 3+ i

r=|z

|=2

θ=30

x=r cos(θ)

y=r sen(θ)

Figura 1.3: Forma polar

De aquí se obtiene lafórmula de De Moivre:


1 2 3-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

z1=2(cos 30 + i sen 30)

z2=3/2(cos 75 + i sen 75)

z1z2=3(cos 105 + i sen 105)

Figura 1.4: Producto

Fórmula de De Moivre

Para todo número naturaln, se tiene

(cos(α)+ isen(α))n = cos(nα)+ isen(nα).

PRUEBA: Lo probaremos por inducción. Paran = 0 se verifica, pues

(cos(α)+ isen(α))0 = 1= cos(0)+ isen(0).

Supongamos que se verifica paran, es decir,

(cos(α)+ isen(α))n = cos(nα)+ isen(nα).

Entonces,

(cos(α)+ isen(α))n+1 = (cos(α)+ isen(α))n(cos(α)+ isen(α)) =

= (cos(nα)+ isen(nα)(cos(α)+ isen(α)) = cos(n +1)α+ isen(n +1)α.

�

Forma exponencialUna variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta lafór-mula de Euler:

e iα = cos(α)+ isen(α).

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominadaforma exponencial:

z = |z|e iα.

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya quesólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar sesuman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentesenteros se tiene

zn = |z|n e i nα.


Raícesn-ésimas de un número complejoEstudiemos ahora las potencias con exponenteracional de un número complejo. Seanz = |z|e iα ∈ C y n un número natural. Considere-mosω= |ω|e iβ = n

pz = z1/n una raízn-ésima dez. Se tiene que

ωn = |ω|ne i nβ = |z|e iα = z.

Por tanto,|ω| = n

√|z| y β= (α+2kπ)/n, con k ∈Z.

De todos estos valores sólon consecutivos son distintos. Por tanto, un número complejoz tiene siempren raícesn-ésimas distintas

ωk = n√

|z|e i (α+2kπ)/n , con k = 0,1, . . . ,n −1.

Observamos que lasn raícesn-ésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argu-mentos se diferencian en2π/n cada uno del siguiente, esto es, las raícesn-ésimas seencuentran en los vértices de un polígono regular den lados inscrito en la circunferenciade centro 0 y radion

p|z|. Como ejemplo, en la siguiente figura podemos ver las raíces

sextas dez = 8(cos30+ isen30)

1 2 3

-3 -2 -1

1

2

3

-3

-2

-1

z=8(cos 30 + i sen 30)

4 5 6 7

z1= 2 (cos 5 + i sen 5)√

z2= 2 (cos 65 + i sen 65)√ 2 (cos 125 + i sen 125)=z3√

z6= 2 (cos 305 + i sen 305)√

2 (cos 185 + i sen 185)=z4√

2 (cos 245 + i sen 245)=z5√

Figura 1.5: Raíces


Capítulo 2

Enteros

2.1. Divisibilidad

Antes de comenzar el tema enunciamos una propiedad de los números enteros queusaremos más adelante:

Principio de la buena ordenación: Todo subconjunto no vacío deZ acotado inferior-mente posee un mínimo.

Desarrollamos brevemente la teoría clásica de la divisibilidad sobre los números en-teros.

Divisibilidad

Seana,b dos enteros distintos de cero. Se dirá quea divide a b si existec ∈Z tal queac = b. En este caso se escribea|b. También se dice quebesdivisible por a.

Nota2.1.1. Dos elementos especiales deZ son1 y −1. Para empezar, obviamente dividena todos los números enteros. Pero además son los únicos enteros con esta propiedad.

Supongamos quea ∈ Z es otro entero con esta propiedad. Entonces debe dividir a1,luego existeb tal queab = 1. Entonces, o biena,b son positivos o son negativos. Si sonnegativos, se pone(−a)(−b) = 1, con lo que se puede suponer que ambos son positivos.

En este caso, si fuesea ó b mayor que1 (por ejemploa), seríaa > 1 y b > 0 (luegob ≥ 1) seríaab > 1 ·b = b ≥ 1, luegoab > 1, lo que no puede ser. Así,a = b = 1, luegodesde el principioa =±1, b =±1.

La relación de divisibilidad verifica las propiedades siguientes:

1. Propiedad reflexiva:a|a. En efecto,a = 1 ·a.

2. Propiedad transitiva: Sia|b y b|c entoncesa|c. En efecto, existend ,d ′ tales queb = ad y c = bd ′, luegoc = add ′ lo que implica quea|c.


3. Sia|b y b|a entoncesa =±b. En efecto, existenc,c ′ tales queb = ac y a = bc ′. Asía = acc ′, luegoa−acc ′ = a(1−cc ′) = 0. Comoa 6= 0 por definición de divisibilidad,es1−cc ′ = 0 luegocc ′ = 1, de dondec ′ =±1 y asía =±b.

Por consiguiente, si nos restringimos a enteros positivos,la divisibilidad es una relaciónde orden parcial porque la propiedad 3) anterior es la propiedad antisimétrica:a|b y b|a=⇒ a = b.

Nota2.1.2. La divisibilidad es compatible con las operaciones aritméticas. En concreto:

1. Si a|b y a|c entoncesa|(b ± c). En efecto, existend ,d ′ ∈ Z tales queb = ad yc = ad ′. Así

b ±c = ad ±ad ′ = a(d ±d ′) ,

luegoa|(b ±c).

2. Si a|b entoncesa|bc, ∀c ∈Z. En efecto, existed ∈Z tal queb = ad . Así bc = adc,luegoa|bc.

Veamos ahora uno de los resultados más importantes de este tema:

División euclídea

Seana,b ∈Z+, b > 0; Existen unos enteros únicosq,r ∈Z tales que:

1. a = bq + r

2. 0 ≤ r < b

Al enteroq se le llama elcocientede la división y ar el resto.

PRUEBA: Vamos a probar primero la existencia. Sia < b, entonces se puede ponerq = 0 y r = a. Supongamos quea ≥ b y seaq ∈ Z tal queqb ≤ a < (q +1)b. Pongamosr = a−bq; hay que demostrar que0 ≤ r < b. Desde luego, comoa ≥ qb esa−qb = r ≥ 0.Por otro lado, comoa < (q +1)b, se tiene quer = a−qb < (q +1)b −qb = b.

Probemos ahora la unicidad. Supongamos que existenq ′,r ′ ∈ Z tales quea = q ′b +r ′,0 ≤ r < b. Si q ≥ q ′, restando obtenemos que(q −q ′)b = r ′− r < b, igualdad que sólose puede dar siq = q ′ y r = r ′. �

Nota2.1.3. Este teorema se puede demostrar usando el principio de buenaordenación. Enefecto: seaS = {a−bx | x ∈Z y a−bx ≥ 0}. S es no vacío y está acotado inferiormente,luego posee un mínimo. Sear = a −bq ≥ 0 dicho mínimo. Falta ver quer < b. En casocontrario,r = b + r ′, 0 ≤ r ′ < r. Sustituyendo se tiene quer ′ = a −b(q +1) ∈ S, en contrade serr el mínimo.

Nota 2.1.4. Podemos dar una nueva definición de divisibilidad: Seana,b dos enterosdistintos de cero. Se dirá queb divide aa si el resto de la división dea por b es cero.


Número primo

Un enterop 6= 0,±1 se llamaprimo si y sólo si es divisible únicamentepor±p y ±1.

Máximo común divisor

Dados dos enterosa,b, diremos qued > 0 esun máximo común divi-sor dea y b y denotaremosd =mcd(a,b), si se verifica:

1. d |a y d |b.

2. Sid ′ > 0 es tal qued ′|a y d ′|b entoncesd ′|d .

Si d = 1 se dice quea y b sonprimos entre sí.

Mínimo común múltiplo

Diremos quem > 0 es unmínimo común múltiplo de a y b y deno-taremosm =mcm(a,b), si se verifica:

1. a|m y b|m.

2. Sim′ > 0 es tal quea|m′ y b|m′ entoncesm|m′.

Nota2.1.5. Por el momento no tenemos asegurada la existencia del mcd ni del mcm dedos enteros, pero es fácil comprobar que, de existir, son únicos.

Veamos el caso del mcd. Supongamos qued y f son dos mcd dea y b. Por serd unmcd y verificarse quef |a, f |b, por la propiedad 2) se tiene quef |d . Cambiando el papelded y f , tenemosd | f , y por tanto la igualdad.

2.2. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout

Veamos un procedimiento, el algoritmo de Euclides, para el cálculo del máximocomún divisor.

Proposición 2.2.1.Seana,b ∈ Z+, a ≥ b, y efectuemos la división euclídeaa = qb + r .Entonces, sir = 0 es mcd(a,b) = b y si r 6= 0

mcd(a,b) =mcd(b,r ).

PRUEBA: Si r = 0 esa = qb, luego mcd(a,b) = b. Si r 6= 0, sea

d =mcd(a,b), d ′ =mcd(b,r ) ;


entoncesd |r = a −qb, luegod |d ′. Por otra parte,d ′|a = qb + r , luegod ′|d y asíd = d ′.�

Algoritmo de Euclides

Este resultado nos permite describir elAlgoritmo de Euclides: Seana,b ∈ Z+, a ≥ b, y efectuemos la división euclídeaa = qb + r. Comor < b, podemos dividirb entrer , y así sucesivamente, obteniendo:

a = qb + r 0 ≤ r < b

b = q0r + r1 0 ≤ r1 < r

r = q1r1 + r2 0 ≤ r2 < r1

r1 = q2r2 + r3 0 ≤ r3 < r2...

rn−1 = qnrn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rn

rn = qn+1rn+1 +0 rn+2 = 0

Proposición 2.2.2.Se tiene que mcd(a,b) = rn+1, es decir, el máximo común divisor dea

y b es el último resto no nulo al aplicar sucesivamente el algoritmo de división.

PRUEBA: Por la proposición anterior se tiene que:

mcd(a,b) =mcd(b,r ) =mcd(r,r1) = ·· · =mcd(rn−1,rn) =mcd(rn ,rn+1) = rn+1,

lo cual demuestra el resultado. �

Asociada al máximo común divisor está la identidad de Bézout, cuya existencia teóricaviene afirmada por el siguiente teorema:

Identidad de Bézout

Seana,b > 0 enteros y sead =mcd(a,b). Existen enterosα,β tales que

αa+βb = d

A cualquier igualdad de este tipo se le llamaidentidad de Bézout.

PRUEBA: Demostramos la existencia de manera no constructiva. Sea

S = {n ∈Z+ |n = xa+ yb, x, y ∈Z} ;

evidentementeS 6= ; porquea = 1 · a +0 ·b ∈ S. ComoS está acotado inferiormente porcero, tiene un mínimo al que llamamosn0 = αa +βb. Comod |a y d |b entoncesd |n0.Vamos a probar qued = n0, para lo que hay que demostrar quen0|a y n0|b. Vamos a


probar quen0|a, la otra relación se prueba de forma análoga. Por la divisióneuclídeapodemos escribira = qn0 + r con0≤ r < n0. Entonces,

r = a−qn0 = a−q(αa+βb) = (1−qα)a+ (−qβ)b ∈ S .

Por la minimalidad den0 tiene que serr = 0, luegon0|a.�

Nota2.2.3. Los enterosα y β que aparecen en la identidad de Bézout no son únicos. Enefecto: para cualesquieraα,β tales queαa+βb = d , es

(α−kb)a+ (β+ka)b = d , ∀k ∈Z .

La identidad de Bézout nos permite probar el siguiente teorema:

Teorema de Euclides

Seana,b,c > 0 tales quec|ab y mcd(c, a) = 1; entoncesc|b. En partic-ular, sip es primo,p|ab y p no divide aa, entoncesp|b.

PRUEBA: Evidentemente, la segunda afirmación es consecuencia de laprimera; de-mostremos ésta. Por la identidad de Bézout,1 =αa+βc. Multiplicando porb esta expre-sión, se tiene queb =αab +βcb. Comoc|ab y c|cb, c|b. �

Proposición 2.2.4.Seana,b ∈Z,

d =mcd(a,b), a′ =a

d, b′ =

b

d.

Entoncesa′,b′ son primos entre sí.

PRUEBA: Si a′ y b′ no son primos entre sí, entonces existed ′ ∈Z, 1 6= d ′, tal qued ′|a′

y d ′|b′. Luegodd ′|a′d = a, dd ′|b′d = b y dd ′ > d , lo que no es posible. �

Ahora podemos definir el mínimo común múltiplo usando el máximo común divisor.

Proposición 2.2.5.Seana,b ∈Z, d =mcd(a,b). Se verifica que mcm(a,b) = ab/d .

PRUEBA: Seanm = ab/d , a′ = a/d , b′ = b/d .

Se tiene quem = a′b = ab′, luego es múltiplo dea y b. Seam′ ∈Z múltiplo dea y b,m′ = aa′′ = bb′′. Dividiendo esta última igualdad pord obtenemosa′a′′ = b′b′′ y, por elteorema de Euclides,a′|b′′, es decir,b′′ = a′c. Sustituyendom′ = ba′c = mc, luegom esel mínimo común múltiplo dea y b. �


Teorema fundamental de la divisibilidad

Todo entero distinto de0 y ±1 se descompone en producto finito denúmeros primos. Esta descomposición es única salvo orden y productopor±1.

PRUEBA: Vamos primero a demostrar la existencia de la descomposición. Sean 6=0,±1 un entero fijo, y vamos a demostrar quen se descompone en producto de primos.Podemos suponer quen > 0 porque, si lo demostramos en este caso yn = p1 · · ·pr , en-tonces−n = (−1) ·p1 · · ·pr , lo que demuestra el resultado para los enteros negativos.

La existencia de la descomposición se prueba por inducción apartir den = 2. Elnúmeron = 2 es primo. Supongamos quen > 2 y que todos los números menores quen sedescomponen en producto finito de primos. Sin es primo hemos terminado: es productode un primo (él mismo). Si no lo es, se descompone en producton = n1n2 de dos enterospositivos estrictamente menores quen. Al aplicar an1 y n2 la hipótesis de inducción,vemos quen se descompone en producto finito de primos.

Para demostrar la unicidad (salvo orden y producto por unidades), basta considerarenteros positivosn por la misma razón que antes. Además, basta ver que no puede haberdos descomposiciones distintas de un mismo número positivoen producto de primos po-sitivos. Vamos a operar por reducción al absurdo. Supongamos que hay números queadmiten dos descomposiciones distintas en producto de primos positivos:

n = p1 · · ·pr = q1 · · ·qs .

Supongamos quer ≤ s. Tenemosp1|n = q1 · · ·qs , luegop1|qi , para algúni , con1 ≤i ≤ s, de dondep1 = qi , al serqi primo. Podemos suponeri = 1. Dividiendo porp1

se tiene quep2 · · ·pr = q2 · · ·qs . Repitiendo el razonamiento parap2, . . . , pr , llegamos a1= qr+1 · · ·qs . Luegor = s y pi = qi , i = 1, . . . ,r . �

Teorema (Euclides)

El conjunto de los primos es infinito.

PRUEBA: Supongamos que no, es decir, que el conjunto de los primos fuese finito, yseanp1, . . . , pr todos los primos. Sean = p1 · · ·pr +1. Por la factorización única,n debeser divisible por algúnpi , lo que implicaría quepi |1 y eso es imposible. �

Nota2.2.6. (Opcional) Veamos otra forma de definir el máximo común divisor y el míni-mo común múltiplo. La factorización única de un entero positivo n la escribiremos usual-mente en la forma

n =∏

p primo

pνn (p)


donde todos losνn(p) son cero salvo un número finito. La factorización se puede extendera enterosn < 0 poniendo

n = (−1)∏

p primo

pν−n (p) .

Sin embargo, la noción de número primo la reservaremos para los positivos, como hemosdicho antes.

Teorema (Existencia del máximo común divisor).–Dados dos enterosa,b > 0, existeun únicod > 0 que verifica:

1. d |a y d |b.

2. Sid ′ > 0 es tal qued ′|a y d ′|b entoncesd ′|d .

A este entero se le llama el máximo común divisor dea y b y se le denotad =mcd(a,b).

PRUEBA: Sean

a =∏

p primo

pνa (p), b =∏

p primo

pνb (p)

las descomposiciones dea y b en producto de primos. Según el enunciado queda claroque el único número que satisface las condiciones es

d =∏

p primo

pmın(νa (p),νb (p)) .

�

Teorema (Existencia del mínimo común múltiplo).–Dados dos númerosa,b > 1, existeun únicom > 0 que verifica:

1. a|m y b|m.

2. Sim′ > 0 es tal quea|m′ y b|m′ entoncesm|m′.

A este entero se le llama el mínimo común múltiplo dea y b y se le denotam =mcm(a,b).

PRUEBA: Sean

a =∏

p primo

pνa (p), b =∏

p primo

pνb (p)

las descomposiciones dea y b en producto de primos. Según el enunciado queda claroque el único número que satisface las condiciones es

m =∏

p primo

pmax(νa (p),νb (p)) =ab

mcd(a,b)

�


Congruencias

La división euclídea nos conduce inmediatamente a la nociónde congruencia de mó-dulo dado.

Congruencia

Dados enterosa,b,m 6= 0, se dirá quea es congruente conb mó-dulo m 6= 0 si a − b es divisible porm. En este caso se escribiráa ≡ b (modm).

Nota2.2.7. De la división euclídea se deduce que siempre se puede suponer positivo elmódulom de la congruencia. En efecto, sim < 0 y a ≡ b (modm) esa −b = km, luegoa − b = (−k)(−m) y por tantoa ≡ b (mod −m). Esto es lo que haremos de ahora enadelante.

Una propiedad fundamental de las congruencias es la siguiente:

Proposición 2.2.8.a ≡ b (modm) si y sólo sia y b dan el mismo resto en la divisióneuclídea porm.

PRUEBA: En efecto, sia ≡ b (modm), entoncesm|(b − a). Seana = qm + r b =q ′m + r ′,0 ≤ r,r ′ < m, entoncesa −b = (q −q ′)m + (r − r ′), igualdad que sólo es posiblecuandor ′− r = 0 ya que|r ′− r | < m. Recíprocamente, sia = qm + r , b = q ′m + r esa−b = (q −q ′)m, luegoa ≡ b (modm).

�

Se puede ver a las congruencias de módulom > 0 fijo como una relación enZ. Eneste sentido es una relación de equivalencia porque verificalas siguientes propiedades(que son consecuencia inmediata de la definición):

1. Propiedad reflexiva: Para todoa ∈Z esa ≡ a (modm).

2. Propiedad simétrica: Sia ≡ b (modm) entoncesb ≡ a (modm).

3. Propiedad transitiva: Sia ≡ b (modm) y b ≡ c (modm), entoncesa ≡ c (modm).

Las congruencias son compatibles con la adición y la multiplicación.

Proposición 2.2.9.Se verifica quea ≡ b (modm) y c ≡ d (modm) =⇒ a + c ≡ b +d (modm).

PRUEBA: Tenemos quea−b = hm y c−d = km. Sumando ambas igualdades se tieneque(a+c)− (b +d) = (h +k)m, luegoa+c ≡ b +d (modm). �


Proposición 2.2.10.Se verifica quea ≡ b (modm) y c ≡ d (modm) =⇒ ac ≡ bd (modm).

PRUEBA:Tenemos quea−b = hm y c−d = km. Basta tener en cuenta queac−bd = ac−ad +

ad −bd = a(c −d)+d(a−b) = (ak +dh)m, luegoac ≡ bd (modm).�

Las congruencias tienen algunas propiedades interesantesque las diferencian de losenteros. ¿Qué ocurre con la cancelación multiplicativa de congruencias? Es decir, se tratade ver si se verifica que

ax ≡ bx (modm) =⇒ a ≡ b (modm)

La respuesta es claramente negativa porque, por ejemplo,

2 ·2 ≡ 0 ·2 (mod4) y 2 6≡ 0 (mod 4)

En general, la propiedad cancelativa no se verifica six y m no son primos entre sí.En efecto, si1 < d = mcd(x,m), x = x′d , m = m′d , entoncesm′x ≡ 0 · x (modm) ym′ 6≡ 0(mod m) porque0< m′ < m.

Lo positivo de esta situación es que se verifica la propiedad cancelativa con multipli-cadorx si y sólo si mcd(x,m) = 1. Acabamos de ver que, si este máximo común divisor esmayor que1 nunca se verifica la propiedad cancelativa. Veamos que sí se verifica cuandoes1. Seaax ≡ bx (modm) y mcd(x,m) = 1. Por la identidad de Bézout existenα,β ∈ Z

tales queαx +βm = 1. Así, a =αax +βam, b =αbx +βbm, luego

a−b =α(ax −bx)+β(a−b)m,

que es múltiplo dem. Por tanto,a ≡ b (modm).

Veamos ahora que ocurre con la ecuaciónax = b, a,b ∈ Z. Sabemos que la ecuaciónanterior tiene solución entera si y sólo sia|b y su solución esx = b

a∈Z. En el caso de las

congruencias tenemos

Proposición 2.2.11.La ecuación en congruencias

ax ≡ b (modm)

tiene solución si y sólo sid =mcd(a,m) divide ab.

PRUEBA: Supongamos qued |b, b = dc. La identidad de Bézout nos dice qued =αa + βm, luego b = dc = αac +βmc. Como mc ≡ 0 (modm), se tiene queαac ≡b (modm), es decir,αc es solución de la ecuación.

Para la implicación contraria supongamos quex0 es una solución de la ecuación encongruencias. Es decirax0 −b = km, luegod |ax0 −km = b. �


2.3. Clases de congruencias módulo m.

Fijemos un enterom ≥ 2, y seaZm el conjunto de los enteros múltiplos dem.

Sabemos que la relación “ser congruente módulom” es una relación de equivalenciaen el conjunto de los números enterosZ. Veamos que dicha relación induce una particiónenZ en lo que llamaremos clases de congruencia módulom. Por definición, la clase decongruencia módulom de un enteroa es el conjunto{b ∈Z |a≡ b (modm) }.

Veamos cómo es la clase de congruencia de un enteroa ∈Z. Sabemos queb ∈Z estáen la clase dea si y sólo sib es congruente cona módulom, es decir,m|(b −a), luegob = a+qm. Por tanto, la clase de congruencia módulom dea es el conjunto de los enterosde la formaa+km, conk ∈Z.

Así, dadoa ∈ Z, la clase de congruencia módulom la denotaremos pora +Zm, y alconjunto de todas las clases de congruencia módulom lo denotaremos porZ/Zm.

Vamos a describir el conjuntoZ/Zm y a ver que podemos sumar y multiplicar loselementos deZ/Zm.

Proposición 2.3.1.Todo número natural es congruente módulom a uno (y sólo uno) delos enteros del conjunto{0,1,2, . . . ,m −1}.

PRUEBA: Seaa ∈N. El teorema de la división implica quea = qm+r , 0≤ r < m. Laprimera igualdad nos dice quea y r son congruentes módulom. �

Corolario 2.3.2. Todo número entero es congruente módulom a uno (y sólo uno) de losenteros del conjunto{0,1,2, . . . ,m −1}.

Así, el conjunto de las clases de congruencias módulom es

Z/Zm = {0+Zm,1+Zm, . . . , (m −1)+Zm}.

Veamos cómo se definen la suma y el producto de clases de congruencias.

Definición.- Seana+Zm,b +Zm ∈Z/Zm dos clases de congruencias.

(a+Zm)+ (b +Zm) := (a+b)+Zm

(a+Zm) · (b +Zm) := (ab)+Zm.

Proposición 2.3.3.El conjuntoZ/Zm, con las operaciones definidas anteriormente, esun anillo (abeliano).


Ejemplo 2.3.4. Supongamos quem = 10, a = 7,b = 9. Entonces

(7+Z10)+ (9+Z10)= 16+Z10,(7+Z10) · (9+Z10)= 63+Z10.

Teniendo en cuenta que7+Z10 = 17+Z10, 9+Z10 = 29+Z10, ¿que ocurre si cam-biamos el7 por 17 y el 9 por 29? No pasa nada, ya que el resultado es el mismo:(17+Z10)+ (29+Z10) = 46+Z10, pero46+Z10 = 16+Z10. Lo mismo ocurre con elproducto.

En la sección anterior probamos que las congruencias módulom eran compatibles conla suma y el producto, es decir, la suma y el producto que hemosdefinido no dependendel representante que uno elija.

Hemos visto que toda clase de congruenciaa +Zm es igual a una claser +Zm, con0 ≤ r < m. A partir de este momento siempre que trabajemos con clases decongruenciasmódulom la escribiremos usando un representanter, 0 ≤ r < m. Así, pondremos(7+Z10) · (9+Z10) = 3+Z10, ya que, por el teorema de división,63 = 6,10+ 3, luego3 escongruente con63 módulo10, es decir,3+Z10 = 63+Z10. Análogamente−11+Z10 =9+Z10.

Ejemplo 2.3.5. Como ejemplo escribimos las tablas de sumar y de multiplicarde lascongruencias módulos4 y 5.

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

× 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

× 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Teorema chino del resto

Seanm1,m2, . . . ,mn enteros, mayores que 1, primos entre sí dos a dos,a1, a2, . . . , an ∈Z. El sistema de congruencias:

x ≡ a1 (modm1)

x ≡ a2 (modm2)...

x ≡ an (modmn)

tiene solución. Además, six y x′ son dos soluciones, entoncesx ≡x′ (mod M), dondeM = m1m2 · · ·mn . Recíprocamente, six es una solu-ción y x′ ≡ x (mod M), entoncesx′ es solución.


PRUEBA: DenotemosMi = M/mi , ∀i = 1, . . . ,n. Es claro que

mcd(mi , Mi ) = 1, ∀i = 1, . . . ,n,

luego, por la identidad de Bézout, existenαi ,βi ∈Z verificando

1 =αi mi +βi Mi , i = 1, . . . ,n.

Tomemosx = a1β1M1 +a2β2M2 +·· ·+anβn Mn y comprobemos quex es solución.Para ello tendremos que comprobar quex ≡ ai (modmi ), para todoi , o, equivalente-mente, quex −ai ≡ 0 (modmi ), para todoi . Usando la identidad de Bézout correspondi-ente, tenemosai = aiαi mi +aiβi Mi . Entonces,

x −ai = a1β1M1 +·· ·+anβn Mn −aiαi mi −aiβi Mi =

= a1β1M1 +·· ·+ai−1βi−1Mi−1 +ai+1βi+1Mi+1 +·· ·+anβn Mn −aiαi mi ,

y, al ser todos los sumandos múltiplos demi , esx −ai ≡ 0 (modmi ). �

2.4. Los teoremas de Fermat y Euler

Terminamos este tema probando dos teoremas muy importantes, debidos a Fermat yEuler, así como varios criterios de divisibilidad sencillos, y probablemente conocidos.

Seanm,n enteros positivos. Recordamos que el número combinatorio(m

n

)está definido

de la forma siguiente: (m

n

)=

m!

n!(m −n)!

Lema 2.4.1.Si p es primo, entoncesp divide a(p

r

), para todo0 < r < p.

PRUEBA: Sabemos que (p

r

)=

p !

r !(p − r )!

es un entero. Como1 ≤ r ≤ p −1, p no divide ar ! ni a (p − r )!, los enterosp y r !(p − r )!

son primos entre sí. Por tantor !(p − r )! divide a(p −1)! y(

p

r

)= p

[(p −1)!

r !(p − r )!

]

es un entero múltiplo dep. �

Corolario 2.4.2. Si p es primo, entonces,∀a,b ∈Z, (a+b)p ≡ ap +bp (mod p).


Teorema 2.4.3.Si p es primo, entonces,∀a ∈Z, ap ≡ a (mod p).

PRUEBA: Basta probarlo para enteros positivos. Lo haremos por inducción. Paraa = 1

ya está. Supongamos el teorema cierto paraa. Entonces

(a+1)p ≡ ap +1p ≡ a+1(modp)

por la hipótesis de inducción. �

(Pequeño) Teorema de Fermat

Si p es primo y no divide aa ∈Z, entoncesap−1 ≡ 1 (mod p).

PRUEBA: Por el teorema anterior,ap ≡ a (mod p). Por serp y a primos entre sí, severifica la propiedad cancelativa, luegoap−1 ≡ 1 (mod p). �

Nota2.4.4. El teorema de Euler está relacionado con las congruencias invertibles módulom, esto es, los elementosa+Zm tales que existeb +Zm verificando

(a+Zm) · (b +Zm) = 1+Zm.

Los elementos que verifican esta propiedad se denominanunidadesmódulom.

Proposición 2.4.5.a+Zm es una unidad enZ/Zm si y sólo si mcd(a,m) = 1.

PRUEBA: Supongamos quea +Zm es unidad. Entonces existeb +Zm tal que(a +Zm)(b +Zm) = 1+Zm, luegoab −1 = qm, y ab −qm = 1, por tantoa y m son primosentre sí.

Recíprocamente, supongamos que mcd(a,m) = 1. Por la identidad de Bezout existenenterosr, s conr a+ sm = 1. Luego1+Zm = (r a+ sm)+Zm = (r a+Zm)+ (sm+Zm)=(a+Zm)(r +Zm). Por tantoa+Zm es una unidad. �

Corolario 2.4.6. El conjuntoZ/Zp es un cuerpo si y sólo sip es primo.

La notación estándar para el cuerpoZ/Zp esFp , aunque en estos apuntes seguiremoscon la notación de congruencias.

Corolario 2.4.7. El número de unidades deZ/Zm es igual al número de enterosa,1 ≤a < m, que son primos conm.

Definición.- Al número de enterosa,1 ≤ a < m, que son primos conm se le denota porφ(m), la funciónφ de Euler.


Teorema de Euler

Seaa+Zm una unidad enZ/Zm. Entonces

aφ(m) ≡ 1 (modm).

PRUEBA: SeaP = {u1,u2, . . . ,uφ(m)}

las unidades deZ/Zm. Sea

Q = {u1a,u2a, . . . ,uφ(m)a}

el conjunto obtenido al multiplicar los elementos deP por a. Es claro que los elementosdeQ son todos distintos y son unidades enZ/Zm. Por tanto los elementos deP y Q soncongruentes entre sí (en diferente orden), de donde

∏φ(m)

i=1ui ≡

∏φ(m)

i=1ui a (modm)

Si ponemosu =∏φ(m)

i=1ui se tieneu ≡ uaφ(m) (modm). Comou y m son primos entre

sí, se verifica la propiedad cancelativa y obtenemos

aφ(m) ≡ 1 (modm).

�

Vamos a ver por último, cómo hallarφ(m) sin necesidad de comprobar elemento aelemento de{0, ...,m −1} si son primos conm o no. Para ello no necesitamos más que lafactorización dem (en realidad, sólo el conjunto de primos que dividen am, que es algomenos preciso).

Proposición 2.4.8.La funciónφ verifica las siguientes propiedades:

1. Sip es primo, entoncesφ(p) = p −1.

2. Sip es primo, entoncesφ(pn) = pn −pn−1 = pn(1−1/p).

3. Sim y n son primos entre sí, entoncesφ(nm)=φ(n)φ(m).

4. Sin = pn1

1 pn2

2 . . . pnrr es la descomposición en factores primos den, entonces

φ(n)= n

(1−

1

p1

)(1−

1

p2

). . .

(1−

1

pr

).

PRUEBA: Los apartados primero y segundo son elementales. El primero es directo yel segundo se sigue de observar que, los únicos números menores quepn y no primos conél son precisamente los múltiplos dep menores y hay, precisamentepn−1 de éstos.


Para ver el tercer apartado, denotemosUr las unidades modr y definimos

f : Umn −→ Um ×Un g : Um ×Un −→ Umn

x 7−→ (x, x) (a,b) 7−→ x tal que x ≡ a (modm)

x ≡ b (modn)

Notemos que, dado que mcd(m,n) = 1, un entero es primo conmn si y sólo si loes conm y n a la vez. Por tantof está bien definida, y también lo estág (utilizando elTeorema chino del resto). Es sencillo ver quef y g son aplicaciones inversas la una de laotra, por lo que

φ(mn)= ♯ (Umn) = ♯ (Um ×Un) =φ(m)φ(n).

El cuarto apartado se sigue directamente del segundo y del tercero. �


Capítulo 3

Polinomios

3.1. Introducción

Seak un cuerpo (por ejemplo,Q,R,C,Fp ). Denotaremos pork[x] al conjunto de todaslas expresiones de la forma

a(x) = am xm +am−1xm−1 + . . .+a1x +a0,

con losai ∈ k. De esta manera,k[x] es el conjunto de todos lospolinomios con coefi-cientes enk. Dos polinomios son iguales si lo son coeficiente a coeficiente.

Grado

El grado, de un polinomio no nuloa(x), notado grado(a(x)), es el may-or enteron tal quean 6= 0. El polinomio cuyos coeficientes son todosnulos se llamapolinomio nulo y se denota por0. Por convención, sugrado es grado(0) =−∞.

Seaa(x) =∑n

i=0 ai xi ∈ k[x] un polinomio no nulo conan 6= 0. Llamaremostérminolíder de a(x) al términoan xn , coeficiente lídera an y término constante a a0. Unpolinomio esmónico si su coeficiente líder es1. Los polinomios se dicenconstantescuando su grado es cero, así como el polinomio nulo.

Los polinomios se pueden sumar y multiplicar, extendiendo las operaciones dek:Si a(x) =

∑ni=0

ai xi , b(x) =∑m

i=0bi xi , suponiendo sin pérdida de generalidad quem ≥ n,

podemos definir la suma como

a(x)+b(x) =n∑

i=0

(ai +bi )xi +bn+1xn+1 + . . .+bm xm .

Cuandom = n, basta quedarnos con el primer sumando de la expresión anterior.Tomando de nuevoa(x) y b(x), su producto está definido como:

d(x) = a(x)b(x) =m+n∑

l=0

dl xl , donde dl =∑

i+ j=l

ai b j .


Estando así definidas las operaciones, es claro que extienden las dek; basta tomarm = n = 0. Por otro lado, también es evidente que siempre y cuando asumamos que−∞< n y −∞+n <−∞ para cualquiern ≥ 0 (algo, todo sea dicho, nada extravagante),tenemos que

grado(a(x)+b(x)) ≤ max{grado(a(x)),grado(b(x))}, no dándose la igualdad sola-mente cuandom = n y am +bn = 0.

grado(a(x)b(x)) = grado(a(x))+grado(b(x))

Es fácil comprobar, y por ello le cedemos la tarea al lector interesado en familiarizarsecon las nociones aquí descritas, que la suma y el producto de polinomios verifican laspropiedades conmutativa, asociativa y distributiva, además de poseer elemento neutro,elemento simétrico y elemento unidad. En otras palabras,k[x] es un anillo conmutativo,como el conjunto de los números enteros. Pero esta no es la única similitud conZ.

Teorema de división

Seanf (x), g (x) ∈ k[x] dos polinomios, cong (x) 6= 0. Entonces, existendos únicos polinomiosq(x),r (x) ∈ k[x] tales que

f (x) = q(x)g (x)+ r (x)

y grado(r (x)) < grado(g (x)).

PRUEBA: La demostración es constructiva, indicando cómo se calculan cociente y restode la división euclídea.Si grado( f (x)) < grado(g (x)) tomamosq(x) = 0, r (x) = f (x), y ya hemos terminado nues-tra construcción.

Supongamos ahora que grado( f (x)) ≥ grado(g (x)) y seanaxm ,bxn los términos demayor grado def (x), g (x) respectivamente. Escribamos

f1(x) = f (x)− (a/b)xm−n g (x);

así puesf1(x) es un polinomio de grado estrictamente inferior al def (x) y escogiendoq1(x) = (a/b)xm−n , tenemos quef (x) = q1(x)g (x)+ f1(x).

Aplicando el mismo razonamiento af1(x) y así sucesivamente, logramos crear unconjunto finito de igualdades del tipo

f (x) = q1(x)g (x)+ f1(x)

f1(x) = q2(x)g (x)+ f2(x)...

...ft−1(x) = qt (x)g (x)+ ft (x),

dondegrado( f1(x)) > grado( f2(x)) > . . . > grado( ft (x))


y como vamos descendiendo al menos una unidad el grado en cadafi (x), o bienft (x) = 0

o bien es de grado inferior al deg (x), y de ahí la finitud del proceso. Poniendo

q(x) =t∑

i=1

qi (x) , r (x) = ft (x)

se tienef (x) = q(x)g (x)+ r (x).

Hemos probado la existencia. Probemos ahora la unicidad. Consideremos pues dosexpresiones paraf (x) que verifiquen las propiedades que establece el teorema de división:

f (x) = q(x)g (x)+ r (x) = q ′(x)g (x)+ r ′(x);

entoncesr (x)− r ′(x) = (q ′(x)−q(x))g (x),

con lo quer (x)− r ′(x) debe ser nulo, ya que todo múltiplo no nulo deg (x) tiene que serde grado mayor o igual que él. �

Algoritmo de división

Para calcular el cociente y el resto de la división entref (x) y g (x), degrados respectivosm y n.Si m ≥ n tome

f1(x) = f (x)− (a/b)xm−n g (x) , q1(x) = (a/b)xm−n .

Repita conf1(x) y g (x) hasta que grado( ft (x)) < grado(g (x)). El co-ciente y el resto son

q(x) = q1(x)+ . . .+qt−1(x) , r (x) = ft (x).

Si m < n, el cociente es 0 y el resto el propiof (x).

Veamos cómo funciona esto último con un ejemplo, que nos acompañará por nuestralectura de las próximas secciones.

Ejemplo 3.1.1. Seanf (x) = x5 − 12

x3 +2x2 −3x +3 y g (x) = 2x3 − 23

x2 +3x −1 dos poli-nomios deQ[x]. Si queremos calcular el cociente y el resto de la división def (x) entreg (x), tomamos en primer lugar

f1(x) = f (x)−1

2x2g (x) =

1

3x4 −2x3 +

5

2x2 −3x +3.

Como grado( f1(x)) = 4, seguimos. Sea ahora

f2(x) = f1(x)−1

6xg (x) =−

17x3

9+2x2 −

17x

6+3.

Tenemos que seguir, pues todavía no hemos bajado de grado 3, pero este será el últimopaso. Así,

f3(x) = f2(x)+17

18g (x) =

37x2

27+

37

18.


Ahora ya hemos terminado. El cociente y el resto de la división son

q(x) =1

2x2 +

1

6x −

17

18, r (x) =

37x2

27+

37

18.

Este teorema, aunque pueda parecer elemental a primera vista (y es que de hechosu prueba no es compleja), tiene numerosas aplicaciones inmediatas que lo embelleceny nos permiten relatar interesantes propiedades de los polinomios en una variable o dela estructura dek[x] como anillo. Algunas las detallaremos a continuación, y otras lasveremos más adelante en este u otros capítulos, cuando profundicemos en el estudio delos anillos de polinomios.

Corolario 3.1.2. (Teorema del resto)Sea un polinomiof (x) ∈ k[x], y sea un elementodel cuerpoa ∈ k. Entoncesf (a) es el resto de dividirf (x) por x −a.

PRUEBA: Por el teorema de división,

f (x) = (x −a)q(x)+ r (x), con grado(r (x)) < grado(x −a) = 1.

Por tanto,r (x) debe ser una constante, digamosr , luegof (a) = (a−a)q(a)+ r = r . �

Corolario 3.1.3. (Teorema de la raíz)Sea un polinomiof (x) ∈ k[x] de grado positivo.Entoncesf (x) tiene unaraíz a ∈ k (i.e., existea en k tal que f (a) = 0) si y sólo si esdivisible porx −a.

PRUEBA: En efecto, podemos escribirf (x) = q(x)(x −a)+ r conr ∈ k. Así f (a) = 0

si y sólo sir = 0, lo que equivale a que(x −a)| f (x). �

Corolario 3.1.4. (D’Alembert) Un polinomio no nulof (x) ∈ k[x] de gradon tiene a losumon raíces distintas enk.

PRUEBA: Lo probaremos por inducción enn, el grado def (x).

Si grado( f (x)) = 0, entoncesf (x) en un polinomio constante no nulo, luego no tieneraíces enk. Nuestra hipótesis de inducción es que sih(x) es polinomio no nulo de gradon −1 conr raíces distintas,r ≤ n −1.

Supongamos ahora quef (x) es un polinomio de gradon > 0 y que tiener raícesdistintasa1, . . . , ar enk. Veamos quer ≤ n.

Tenemos quef (ar ) = 0, luego por el teorema de la raízf (x) = (x − ar )g (x), congrado(g (x)) = n−1. Para cadai con1 ≤ i ≤ r−1, f (ai ) = 0 = (ai−ar )g (ai ). Comoai 6= ar ,por fuerzag (ai ) = 0. En consecuenciaa1, . . . , ar−1 son raíces deg (x) y grado(g (x)) = n−1.Por inducción,r −1 ≤ n −1, así quer ≤ n. �

Nota3.1.5. Hay que notar, por si el lector andaba despistado en la lectura, que este coro-lario no implica el aserto de que todo polinomio posee tantasraíces como su grado. Esteteorema es mucho más profundo e interesante y necesita conceptos que no veremos hastamás tarde.


3.2. Máximo común divisor

Continuan los parecidos razonables entrek[x] y Z, pues al igual que cuando mane-jamos los enteros, con el teorema de división para polinomios podemos trabajar la divisi-bilidad de polinomios, el algoritmo de Euclides y la identidad de Bézout.

Máximo común divisor

Sean dos polinomiosf (x), g (x) ∈ k[x]. Un polinomiop(x) ∈ k[x] es unmáximo común divisorde f (x) y g (x) si verifica:

1. p(x)| f (x) y p(x)|g (x)

2. Si q(x) es otro polinomio que divide af (x) y a g (x) entoncesq(x)|p(x).

Nota3.2.1. Si p(x) =mcd( f (x), g (x)), entonces, para cualquiera ∈ k\{0}, ap(x) =mcd( f (x), g (x)).Por eso cuando hablamos de un máximo común divisor, sobreentederemos que estamostomando un polinomio mónico y, en esas condiciones, sí que esúnico.

Como en los enteros, podemos calcular un máximo común divisor de dos polinomiosusando el teorema de división.

Consideremos dos polinomiosf (x), g (x) ∈ k[x]; sabemos que existenq(x),r (x) ∈ k[x]

con grado(r (x)) < grado(g (x)) tales que

f (x) = q(x)g (x)+ r (x).

Proposición 3.2.2.Con las notaciones anteriores, se tiene que

mcd( f (x), g (x)) =mcd(g (x),r (x))

PRUEBA: Supongamos que

a(x) =mcd(g (x),r (x)),b(x) =mcd( f (x), g (x)).

Como f (x) = q(x)g (x)+ r (x), a(x) no puede sino dividir af (x) y asía(x) es un divisorcomún def (x) y g (x), luego por serb(x) el máximo entre ellos,a(x)|b(x).

Análogamente, como

r (x) = f (x)−q(x)g (x),

se tiene queb(x)|r (x) y asíb(x) es un divisor común deg (x) y r (x), luegob(x)|a(x). �



Sean f (x), g (x) ∈ k[x] dos polinomios no nulos, con grado( f (x)) >grado(g (x)). Entonces, si haciendo divisiones sucesivas obtenemos

f (x) = q(x)g (x)+ r (x)

g (x) = q0(x)r (x)+ r1(x)

r (x) = q1(x)r1(x)+ r2(x)...

rn−2(x) = qn−1(x)rn−1(x)+ rn(x)

rn−1(x) = qn(x)rn(x),

este proceso es finito y, con las notaciones anteriores, mcd( f (x), g (x)) =rn(x).

PRUEBA: Consideremos la sucesión{grado(ri (x))}, que es una sucesión estrictamentedecreciente de enteros no negativos, pues el resto de la división polinómica es de menorgrado que el divisor. Como el primer elemento es grado( f (x)), la sucesión puede tenera lo más grado( f (x))+1 elementos. Por tanto, existe unn ≥ 1 tal quern+1(x) = 0. Estoprueba la finitud del proceso.

Ahora queda preguntarse si realmente obtenemos el máximo común divisor def (x) yg (x). Para la respuesta basta con aplicar el lema anterior para obtener que

mcd( f (x), g (x)) =mcd(g (x),r (x)) = . . . =mcd(rn−1(x),rn(x)) = rn(x).

�

Así pues, con este teorema hemos probado que el siguiente algoritmo es correcto:


Para hallar el máximo común divisor de dos polinomios no nulosf (x), g (x) ∈ k[x].Efectúe la divisiónf (x) = q(x)g (x)+ r (x) y tome f0(x) = f (x), g0(x) =g (x) y r0(x) = r (x). Mientrasri (x) 6= 0, repita confi+1(x) = gi (x) ygi+1(x) = ri (x).Si rn+1(x) = 0, mcd( f (x), g (x)) = rn(x), notandor−1(x) = g (x).

Como en la sección anterior, ilustremos el método de arriba con los mismos poli-nomios:

Ejemplo 3.2.3.Queremos hallar el máximo común divisor def (x) = x5− 12

x3+2x2−3x+3

y g (x) = 2x3− 23

x2+3x−1 enQ[x]. Siguiendo el algoritmo, dividimos el primero entre elsegundo, y tomamos

f0(x) = f (x) , g0(x) = g (x) , r0(x) =37x2

27+

37

18.


Comor0(x) 6= 0, dividimosg (x) entrer0(x), tomando

f1(x) = g (x) , g1(x) = r0(x) , r1(x) = 0.

La división anterior era exacta de cociente1837

(3x −1), con lo que mcd( f (x), g (x)) = r0(x),o tomando el polinomio mónico asociado,

mcd( f (x), g (x)) = x2 +3

2.

Hemos demostrado la validez del algoritmo de Euclides. Comopasaba en la primerasección, a pesar de ser un resultado aparentemente trivial,esconde algunas aplicaciones,siendo la primera de ellas la identidad de Bézout, cuyas consecuencias en algunas de lasabstrusas ecuaciones diofánticas polinómicas son de apreciar.

Identidad de Bézout

Sean f (x), g (x) ∈ k[x] dos polinomios,b(x) no nulo. Si denotamosmcd( f (x), g (x)) = d(x) entonces existen elementosa(x),b(x) ∈ k[x]

tales qued(x) = a(x) f (x)+b(x)g (x).

PRUEBA: La demostración es consecuencia de aplicar el algoritmo deEuclides alrevés.En efecto, si con la notación del teorema, llamamosrn(x) = d(x), tendremos que

rn(x) = rn−2(x)−qn−1(x)rn−1 == rn−2(x)−qn−1(x)(rn−3(x)−qn−2(x)rn−2(x)) =

...= a(x)r (x)+ b(x)g (x) == a(x) f (x)+ (b(x)− a(x)q(x))g (x).

Tomandoa(x) = a(x) y b(x) = (b(x)− a(x)q(x)), tenemos lo que queríamos. �

Ejemplo 3.2.4.Sabemos que el máximo común divisor de nuestros polinomios predilec-tos, f (x) = x5 − 1

2x3 +2x2 −3x +3 y g (x) = 2x3 − 2

3x2 +3x −1 enQ[x] esd(x) = x2 + 3

2.

¿Cuáles son los polinomiosa(x) y b(x) de la identidad de Bézout para ellos? Siguiendoel algoritmo de Euclides realizado anteriormente para ellos,

d(x) =27

37f (x)−

27

37

(1

2x2 +

1

6x −

17

18

)g (x),

luegoa(x) = 2737

y b(x) =−2737

q(x).

Como señalábamos antes, el algoritmo de Euclides tiene una importante aplicación enla resolución de ecuaciones diofánticas polinómicas

α(x) f (x)+β(x)g (x) = h(x),


dondef (x), g (x),h(x) ∈ k[x] son polinomios dados yα(x),β(x) ∈ k[x] son los polinomiosa determinar, si es posible, claro está. El siguiente teorema da condiciones suficientespara la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diofántica polinomial y unaprueba constructiva. Un caso especial del teorema es cuandolos polinomiosf (x) y g (x)

son relativamente primos, en cuyo caso la ecuación diofántica polinómica dada se puederesolver para cualquierh(x) dado.

Proposición 3.2.5.Seanf (x), g (x) ∈ k[x] dos polinomios no nulos y sead(x) =mcd( f (x), g (x)).Entonces, para cualquier polinomioh(x) ∈ k[x] divisible pord(x), existen unos únicospolinomiosα(x),β(x) ∈ k[x] tales que

α(x) f (x)+β(x)g (x) = h(x), y

grado(α(x)) < grado(g (x))−grado(d(x)).

Más aún, si

grado(h(x)) < grado( f (x))+grado(g (x))−grado(d(x)),

entoncesβ(x) verifica que

grado(β(x)) < grado( f (x))−grado(d(x)).

PRUEBA: Veamos primero la existencia.Por la identidad de Bézout sabemos que existen polinomiosa(x),b(x) ∈ k[x] tales quea(x) f (x)+b(x)g (x) = d(x). Comoh(x) es divisible pord(x), podremos escribirh(x) =h′(x)d(x), y así,a(x)h′(x) f (x)+b(x)h′(x)g (x) = h(x).De este modo los polinomiosα′(x) = a(x)h′(x), β′(x) = b(x)h′(x) verifican la ecuacióndel enunciado. No obstante, los grados de estos polinomios en general no verifican lascondiciones exigidas. Para evitar esto, si grado(α′(x)) ≥ grado(g (x))−grado(d(x)), dividi-mosα′(x) entreg (x)/d(x) y obtenemos queα′(x) = (g (x)/d(x))q(x)+α(x) con grado(α(x)) <grado(g (x))−grado(d(x)).Consideremos ahoraβ(x) =β′(x)+q(x)( f (x)/d(x)). Sustituyendo entonces,

α(x) f (x)+β(x)g (x) =α′(x) f (x)+β′(x)g (x) = h(x).

Veamos ahora la unicidad. Supongamos pues que existen otrospolinomiosα1(x),β1(x) ∈k[x] verificando las condiciones del teorema. En ese caso,

α(x)( f (x)/d(x))+β(x)(g (x)/d(x)) = h(x)/d(x)

α1(x)( f (x)/d(x))+β1(x)(g (x)/d(x)) = h(x)/d(x),

luego(α(x)−α1(x))( f (x)/d(x)) =−(β(x)−β1(x))(g (x)/d(x)).

Como los polinomiosf (x)/d(x) y g (x)/d(x) son primos entre sí, necesariamente(g (x)/d(x))|(α(x)−α1(x)). Pero el grado de(α(x) −α1(x)) es menor que el grado de(g (x)/d(x)), luegoα(x)−α1(x) = 0.

Falta probar la última parte del teorema. Supongamos que

grado(h(x)) < grado( f (x))+grado(g (x))−grado(d(x)).


Comoβ(x) = (h(x)−α(x) f (x))/g (x),

grado(β(x)) = grado(h(x)−α(x) f (x))−grado(g (x)).

Si tuviéramos que grado(h(x)) ≥ grado(α(x) f (x)) entonces ocurriría que

grado(β(x)) ≤ grado(h(x))−grado(g (x)) < grado( f (x))−grado(d(x)),

por la hipótesis adicional en el grado deh(x). En caso contrario, es decir, si grado(h(x)) <grado(α(x) f (x)), entonces

grado(β(x)) ≤ grado(α(x))+grado( f (x))−grado(g (x)) < grado( f (x))−grado(d(x)),

por la propiedad que sabemos que verifica el grado deα(x). �

Hemos conseguido pues el siguiente método para resolver ecuaciones diofánticas lin-eales en polinomios:

Ecuaciones diofánticas lineales

Para resolver una ecuación de la forma

α(x) f (x)+β(x)g (x) = h(x),

dondef (x), g (x),h(x) ∈ k[x] y grado(α(x)) < grado(g (x))−grado(d(x)).Si h(x) no es divisible por mcd( f (x), g (x)) no existe solución. En casode que sí sea divisible, aplique la identidad de Bézout af (x) y g (x) paraobtener dos polinomiosa(x),b(x) con

a(x) f (x)+b(x)g (x) = d(x).

Si grado(a(x)) < grado(g (x))−grado(h(x)), tomeα(x) = a(x)h(x)/d(x),β(x) = b(x)h(x)/d(x) y hemos terminado. En caso contrario, di-vida α(x) entre g (x)/d(x) para conseguir la expresiónα(x) =(g (x)/d(x))q(x) + r (x). Asignandoα(x) := r (x) y β(x) := β(x) +q(x)( f (x)/d(x)) hemos terminado.

Ejemplo 3.2.6.Para finalizar esta sección, reutilicemos nuestros polinomios de los ejem-plos para mostrar cómo resolver una ecuación diofántica como las que hemos visto.Sean pues de nuevof (x) = x5 − 1

2x3 +2x2 −3x +3 y g (x) = 2x3 − 2

3x2 +3x −1 enQ[x].

Puesto que el ejemplo sería de dudosa utilidad si escogiéramos un polinomioh(x) no di-visible pord(x) = x2 + 3

2, tomemos un múltiplo suyo, por ejemplo,h(x) = (2x −1)d(x) =

2x3 −x2 +3x − 32.

Del ejemplo anterior obtuvimos la identidad de Bézout

27

37f (x)−

27

37

(1

2x2 +

1

6x −

17

18

)g (x) = d(x).

Ahora, grado(a(x)) = 0 = grado(g (x))−grado(h(x)), así que debemos dividir2737

(2x −1)

entreg (x)/d(x) = 2x − 23, obteniendo como cociente y resto

q(x) =27

37, r (x) =−

9

37.


Así, los polinomios solución de la ecuación son

α(x) =−1

3, β(x) =

1

74

(−74x3 −27x2 +139x −97

)

3.3. Factorización. Factores múltiples

En nuestro recorrido en pos de obtener analogías con lo que ocurría con los enteros,vamos a ver qué elementos juegan el papel en el anillo de polinomiosk[x] de los númerosprimos, y una vez que los hayamos identificado, trabajaremosun poco con ellos y con lanoción de factorización.

Polinomio irreducible

Un polinomiop(x) ∈ k[x] es irreducible si no es una constante, y siel que podamos escribirp(x) = f (x)g (x) implica que uno de los dosfactores sea una constante.

Proposición 3.3.1.Seap(x) ∈ k[x] un polinomio irreducible. Sif (x) es un polinomio queno es divisible porp(x), entonces el máximo común divisor dep(x) y f (x) es 1.

PRUEBA: Sead(x) = mcd(p(x), f (x)). Como d(x)|p(x), existirá cierto polinomiop ′(x) de modo que podamos escribirp(x) = d(x)p ′(x). Ahora bien, por la definición deirreducibilidad, o biend(x) o bienp ′(x) es constante. Si el polinomio constante esd(x),como consideramos sólo polinomios mónicos, debe ser 1, con lo que tendríamos el resul-tado.Veamos pues qué pasa cuando el que fuera constante fuerap ′(x). En ese caso grado(d(x)) =grado(p(x)) > 0 y existiría un polinomiof ′(x) cumpliendo quef (x) = d(x) f ′(x) = p(x)( f ′(x)/p ′(x)),por lo quep(x) dividiría a f (x), que no es posible. Por consiguiented(x) no puede sernada más que 1. �

Veremos a continuación dos resultados que dejaremos sin demostrar, pues sus pruebasse pueden escribir de una manera completamente análoga a lasde sus semejantes delámbito de los enteros.

Proposición 3.3.2.Seap(x) ∈ k[x] un polinomio irreducible. Dados dos polinomiosf (x), g (x) ∈ k[x], si p(x)| f (x)g (x), entoncesp(x) divide a alguno de los dos.

Descomposición en factores irreducibles

Cualquier polinomio no constante dek[x] es irreducible o factoriza enproducto de polinomios irreducibles. Este producto es único en tantoque si tenemos dos factorizaciones def (x) en producto de polinomiosirreducibles enk[x] de la formaf (x) = p1(x) · · ·ps (x) = q1(x) · · ·qt (x)

necesariamentes = t y existe una correspondencia uno a uno entre losfactoresp1(x), . . . , ps (x) y q1(x), . . . , qt (x) donde sipi (x) se correspondeconq j (x), existe unα ∈ k \ {0} tal quepi (x) =αq j (x).


Hasta este punto, podemos aventurarnos y pronosticar que ellector puede estar intere-sado por las múltiples analogías en la naturaleza como anillos entrek[x] y Z, o puedeestar a punto de hastiarse al ver que las mismas propiedades que se comentaban para losenteros existen aquí, aumentando inútilmente (a su juicio,claro está) el número de pági-nas, o ambas cosas a la vez, una sin perjuicio de la otra. Para intentar evitar la segundaposibilidad entre otros objetivos, vamos a presentar una herramienta específica y útil delos polinomios: la derivada (formal), que coincide con el concepto usual de análisis.

Usaremos la notación habitual:f ′(x) es el polinomio que se obtiene al derivarf (x);D : k[x] → k[x] es la función que a cada polinomio le asocia su derivada,D( f (x)) = f ′(x).

Derivada de un polinomio

La derivada de un polinomiof (x) viene definida por las siguientesreglas:

1. Si f (x) = axn con a ∈ k, entoncesD(axn ) = naxn−1. (Si n = 0,D(a) = 0.)

2. Si f (x) = g (x)+h(x), entoncesD( f (x)) = D(g (x))+D(h(x)).

Proposición 3.3.3.Para cualesquiera polinomiosf (x), g (x) ∈ k[x] y para todo naturals > 1 se verifica que:

1. D( f (x)g (x)) = f (x)D(g (x))+ g (x)D( f (x)).

2. D( f (x)s ) = s f (x)s−1D( f (x)).

PRUEBA: La prueba es puramente efectiva, y no requiere mucha habilidad; basta contener la suficiente concentración como para seguir los cálculos. Por ello se la dejamos allector que quiera adquirir soltura con el manejo de las expresiones de los polinomios.�

Factores múltiples de un polinomio

Seaf (x) ∈ k[x] un polinomio.

1. Si f (x) tiene factores múltiples, entoncesf (x) y f ′(x) no son pri-mos entre sí.

2. En característica cero (k =Q,R,C), si f (x) y f ′(x) no son primosentre sí, entoncesf (x) tiene factores múltiples.

PRUEBA: Supongamos quef (x) tiene algún factor múltiple, seaf (x) = p(x)s q(x), cons > 1. Entonces

f ′(x) = p(x)s−1[sp ′(x)q(x)+p(x)q ′(x)],

luegop(x) es un factor común def (x) y f ′(x).


Seand(x) = mcd( f (x), f ′(x)), que sabemos que es de grado mayor que cero por elanterior apartado, yp(x) un factor irreducible ded(x). Veamos quep(x) es un factormúltiple def (x).En efecto, comop(x)| f (x), tenemosf (x) = p(x)g (x). Derivando esa expresión,

f ′(x) = p ′(x)g (x)+p(x)g ′(x).

Comop(x)| f ′(x), p(x) también divide al productop ′(x)g (x), y, por serp(x) irreducible,divide a uno de los factores. Ahora bien,p(x) no puede dividir ap ′(x) pues tiene gradoestrictamente mayor ya que estamos trabajando sobre un cuerpo de característica cero,luego p(x)|g (x), y g (x) = p(x)h(x), así que sustituímos y conseguimos la expresiónf (x) = p(x)2h(x). �

3.4. Congruencias. Teorema chino del resto

Compadeciéndonos del lector algo hastiado de semejanzas entreZ y k[x], y congrat-ulándonos con el que permanece admirado por las coincidencias entre las estructuras in-ternas de ambos conjuntos (actitud muy recomendable para aprender a hacer y a apreciarlas matemáticas), trabajaremos con las congruencias para polinomios, definidas igual-mente a las de los enteros y con propiedades similares (algo que suponemos que empiezaa no resultar extraño teniendo en cuenta a las secciones anteriores). De todos modos,para tranquilidad de unos y regocijo de otros, no nos extenderemos mucho en este punto;simplemente lo preciso.

Congruencia de polinomios

Seap(x) ∈ k[x] un polinomio. Dados dos polinomiosf (x), g (x) ∈ k[x],diremos quef (x) y g (x) soncongruentes módulop(x), y escribiremos

f (x) ≡ g (x) ( mod p(x)),

si p(x) divide a f (x)− g (x).

Nota 3.4.1. La relación de congruencia módulo un polinomiop(x) y tiene las mismaspropiedades que la de congruencia módulom de enteros. Por ejemplo:

La congruencia módulo un polinomio es una relación de equivalencia.

Las congruencias son compatibles con la suma.

Las congruencias son compatibles con la multiplicación.

La congruencia es una relación de equivalencia enk[x].

De la misma forma que construimos los anillosZ/Zm de las clases de congruenciasmódulom, podemos considerar el conjunto de las clases de congruencias de polinomiosdek[x] módulo un polinomiom(x), y lo denotaremos pork[x]/(m(x)).


Proposición 3.4.2.Si un polinomiom(x) tiene gradod , cualquier clase de congruenciamódulom(x) tiene un único representanter (x) de grado estrictamente menor qued .

PRUEBA: Sea un polinomiof (x) ∈ k[x]. Por el algoritmo de división tenemos que

f (x) = q(x)m(x)+ r (x) , con grado(r (x)) < grado(m(x))

y f (x) ≡ r (x)( mod m(x)). Como el resto de la división es único, es él el representantedemenor grado buscado. �

Dicho de otro modo, lo que esto prueba es que el conjunto de polinomios dek[x] degrado estrictamente menor que el dem(x) es un conjunto completo de representantes parak[x]/(m(x)).

Ejemplo 3.4.3.Seam(x) = x2+1 ∈Q[x]. Por la proposición, cada elemento deQ[x]/(m(x))

tiene un representante de grado menor o igual que 1. Como

x2 ≡−1( mod x2 +1),

multiplicando porx tenemos que

x3 ≡−x( mod x2 +1).

En general, es fácil ver por inducción enn que

x2n ≡ (−1)n( mod x2 +1) y quex2n+1 ≡ (−1)n x( mod x2 +1).

ComoQ es un cuerpo infinito, existen infinitos polinomios de grado menor o igualque 1 enQ[x], y por tantoQ[x]/(x2 +1) es un conjunto infinito.

Si utilizáramos ahoraF3 en lugar deQ, por lo anterior tendríamos que

(F3)[x]/(x2 +1) = {0,1,2, x, x +1, x +2,2x,2x +1,2x +2}.

Al igual que hicimos cuando manejamos las congruencias enZ, podemos definir sinproblema la suma y la multiplicación de clases de congruencias de polinomios como laclase definida por la suma y la multiplicación, respectivamente, de sus representantes. Esfácil comprobar que estas operaciones están bien definidas yverifican las propiedadesusuales de la suma y la multiplicación, convirtiendo ak[x]/(m(x)) en un anillo paracualquier polinomiom(x), y por ello lo dejaremos como ejercicio para quien pretendafamiliarizarse más concienzudamente con las congruenciasen anillos de polinomios.


Teorema chino del resto

Seanm1(x), . . . ,mn(x) ∈ k[x] polinomios primos entre sí dos a dos, yseana1(x), . . . , an(x) ∈ k[x] otros polinomios arbitrarios. Entonces ex-iste f (x) ∈ k[x] tal que:

f (x) ≡ a1(x) ( mod m1(x))

f (x) ≡ a2(x) ( mod m2(x))...

...f (x) ≡ an(x) ( mod mn(x))

Además, para que el polinomiof (x) ∈ k[x] sea otra solución es condi-ción necesaria y suficiente que se verifique que

f (x) ≡ f (x)( mod m1(x)m2(x) · · ·mn(x)).

PRUEBA: La demostración es, como se imaginará, estimado lector, análoga a la del teo-rema homónimo en el contexto entero.Puesto quemi (x) y m j (x) son primos entre sí, para todoi 6= j , mi (x) es primo con elproducto

li (x) = m1(x) · · ·mi−1(x)mi+1(x) · · ·mn(x).

Así pues, por la identidad de Bézout, existiránαi (x),βi (x) ∈ k[x] tales que

1 =αi (x)mi (x)+βi (x)li (x) , para cualquieri = 1, . . . ,n.

Se tiene entonces que

βi (x)li (x) ≡ 1 ( mod mi (x))

βi (x)li (x) ≡ 0 ( mod m j (x)) , para todoi 6= j

Podemos tomar como solución entonces

f (x) = a1(x)β1(x)l1(x)+a2(x)β2(x)l2(x)+ . . .+an(x)βn(x)ln (x).

Vayamos a por el segundo aserto ahora. Sif (x) ≡ f (x)( mod m1(x) · · ·mn(x)), existiráun polinomioq(x) tal quef (x)− f (x) = q(x)m1(x) · · ·mn(x). Tomando en la anterior ex-presión clases de congruencia módulomi (x), es claro quef (x) ≡ f (x)( mod mi (x)) paratodoi , y por tanto, es solución del problema.Recíprocamente, sif (x) 6≡ f (x)( mod m1(x) · · ·mn(x)), es porque existen dos polinomiosq(x),h(x), siendoh(x) no divisible porm1(x) · · ·mn(x), tales quef (x)− f (x) = q(x)m1(x) · · ·mn(x)+h(x). Como alguno de losmi (x) no puede dividir ah(x), alguna de las congruencias mó-dulo mi (x) fallará, y por tantof (x) no será solución del problema. �


Sistemas lineales de congruencias

Para resolver el sistema

f (x) ≡ ai (x)( mod mi (x)) , i = 1, . . . ,n,

siendo losmi (x) polinomios primos entre sí y losai (x) polinomios cua-lesquiera.Tome, para cadai , li (x) =

(∏nj=1 m j (x)

)/mi (x). Aplique la identidad

de Bézout a cada parejali ,mi para obtener la igualdad

1 =αi (x)mi (x)+βi (x)li (x).

Las soluciones son

f (x) = a1(x)β1(x)l1(x)+a2(x)β2(x)l2(x)+ . . .+an(x)βn (x)ln(x),

y los polinomios congruentes con él módulo∏n

j=1m j (x).

3.5. Factorización enC[x] y enR[x]

A continuación enunciaremos un resultado del que hablaremos con más detalle enla última sección. Para lo que estamos tratando aquí, su importancia es que nos dicecómo son los polinomios irreducibles sobreC. Ahora bien, su relevancia es mucho mayor,pero no adelantemos acontecimientos y centrémonos de momento en la factorización depolinomios.

Teorema fundamental del Álgebra

Todo polinomiof (x) ∈C[x] de grado positivo tiene una raíz compleja.

Corolario 3.5.1. Todo polinomiof (x) ∈C[x] de grado positivo, digamosn, tienen raícesenC, esto es, se puede escribir como

f (x) =αn∏

i=1

(x −αi ),

dondeα,αi ∈C.

PRUEBA: Por el teorema fundamental del álgebra,f (x) tiene una raízα1 enC. Portanto, por el teorema del resto podemos escribirf (x) = (x −α1) f1(x). Aplicando el mis-mo razonamiento af1(x), y así sucesivamente, se llega, después den − 1 pasos, a unaexpresión de la forma

f (x) = (x −α1) · · · (x −αn−1) fn−1(x),


dondefn−1(x) es un polinomio de primer grado. Comofn−1(x) se puede escribirfn−1(x) =αx −ααn, se tiene el resultado. �

En virtud del corolario, el problema de dilucidar si un polinomio deC[x] es irreducibleo no es tremendamente sencillo; tanto como mirar su grado, pues los únicos polinomiosirreducibles enC[x] son los de grado1. EnR[x] no ocurre así, ya que, por ejemplo, lospolinomiosx2 +1 o x3 −15x −4 no se pueden factorizar en producto de polinomios deprimer grado, aunque tampoco es que la cuestión de la factorización devenga complicada.Veamos cómo son los irreducibles en este otro anillo.

Proposición 3.5.2.Todo polinomio deR[x] de grado impar tiene una raíz enR. Todopolinomio de grado par se descompone en producto de polinomios de grados1 o 2 (loscuales son irreducibles si y sólo si sus raíces son complejasno reales).

PRUEBA: Sea f (x) ∈ R[x] un polinomio de grado positivo, digamosn. A f (x) lopodemos mirar con otros ojos, como elemento deC[x], así que aplicamos el teoremafundamental del Álgebra para saber quef (x) tienen raíces enC. Sea

f (x) = an xn +an−1xn−1 + . . .+a1x +a0 , ai ∈R, i = 0,1, . . . ,n,

y seaα= a+bi una raíz def (x). De

0 = f (α) = an(a+bi )n +an−1(a+bi )n−1 + . . .+a1(a+bi )+a0

se deduce, tomando conjugados, que

0= f (α) = f (α) = an(a−bi )n +an−1(a−bi )n−1 + . . .+a1(a−bi )+a0 .

En consecuencia, siα es una raíz def (x), también debe serloα, luego las raíces no realesde f (x) aparecen por pares de conjugadas. Sin es impar, tiene que haber una raíz quecoincida con su conjugada, es decir, que sea real. Con esto probamos el primer aserto.

En cuanto a la segunda afirmación, obramos como sigue. Siα = a +bi es una raízcompleja no real def (x), el polinomio

(x −α)(x −α) = x2 −2ax + (a2 +b2)

divide a f (x) y tiene coeficientes reales, con lo que podemos descomponer af (x) enproducto de factores de grado 2 a lo sumo. La cuestión de si estos se pueden descomponera su vez en otros de grado 1 o son irreducibles es tan simple como el hecho de que susraíces sean reales o no. �

3.6. Factorización enQ[x]

Seaf (x) ∈ k[x] un polinomio de grado2 o 3. En ese caso,f (x) es reducible si y sólosi tiene una raíz enk. En efecto, el hecho de quef (x) sea reducible es equivalente a decirque tiene un divisor que es de grado1. Si éste esax−b, entoncesb/a es una raíz def (x).

Naturalmente, lo anterior no funciona para grados mayores.Un polinomio de grado4 se puede descomponer, por ejemplo, en dos factores irreducibles de grado2, comox4+3x2+2 enQ, luego no tiene por qué tener raíces enk. Con mayor razón ocurrirá esto


en grados más altos. No obstante es bueno ver si un polinomio dado tiene o no raíces enk. Si las tiene, y es de grado mayor que1, es automáticamente reducible.

Si echamos la vista atrás al capítulo anterior, la irreducibilidad de los enteros (esto es,saber si un entero es primo o no) constituía un problema enormemente difícil hasta 2002,mientras que en la sección anterior hemos visto que cuandok = C,R, enk[x] es bastantesencillo. Dependiendo de cuáles sean nuestros intereses, las analogías que veíamos hastaahora entrek[x] y Z experimentan un vuelco. Consideremos entonces el caso dek =Q. Elproblema de saber cuándo un polinomio deQ[x] es irreducible es, en cambio, algo intrin-cado si se pretende resolver de manera realmente efectiva. Sin embargo, el problema dela localización de raíces (que, como hemos notado en el párrafo anterior, es más simple),sí se puede atacar, y es lo que haremos aquí.

Para empezar, notemos que sif (x) ∈Q[x], es igual buscar sus raíces que las dea f (x),dondea ∈ Z. En particular, podemos suponer quef (x) está en realidad enZ[x] (esto es,todos sus coeficientes son enteros). En estas condiciones tenemos el siguiente resultado,también conocido comoRegla de Ruffini:

Proposición 3.6.1.Sea el polinomio

f (x) = an xn +an−1xn−1 + . . .+a1x +a0 , ai ∈Z, i = 0,1, . . . ,n,

de gradon > 0. Supongamos quef (x) tiene una raíz racionalα= a/b con a y b primosentre sí. Entoncesa|a0 y b|an .

PRUEBA: En efecto, comoa/b es raíz def (x),

0 = f (a/b) = an(a/b)n +an−1(a/b)n−1 + . . .+a1(a/b)+a0,

luego, previa multiplicación porbn , tenemos que

0 = an an +an−1an−1b + . . .+a1abn−1 +a0bn .

Comoa divide a todos los términos salvo al último y es primo conb, debe dividir aa0. Eigualmente, comob divide a todos los términos salvo al primero y es primo cona, debedividir a a0. �

Hemos visto que intentar localizar las raíces de los polinomios enZ[x] tiene algo másde futuro, o por lo menos es más abarcable, que enQ[x], así que seguiremos reducién-donos al caso de los polinomios con coeficientes enteros, donde la factorización única delos coeficientes nos puede ser de ayuda.

Contenido de un polinomio

Dado un polinomiof (x) ∈Z[x] no nulo, se llamacontenido def (x) almáximo común divisor de sus coeficientes. Se denota porc( f ). Se diráque f (x) esprimitivo si su contenido es1.

El siguiente resultado es conocido como Lema de Gauss, como también se denominadel mismo modo a otros resultados en otros campos matemáticos. Al fin y al cabo, Gaussfue un matemático muy prolijo y no es de extrañar que varios lemas suyos hayan pasado


a la historia con el mismo nombre. De hecho, se confunde incluso con un corolario suyo,pero el que presentamos es, en este contexto, el verdadero históricamente hablando, yaparece, con otras palabras, en el Artículo 42 de su gran obraDisquisitiones Arithmeticae.(Los que entiendan el latín, que serán la mayoría, que no se preocupen, que en 1995 seeditó una traducción al español.)

Lema de Gauss

El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.

PRUEBA: Sean

f (x) = am xm +am−1xm−1 + . . .+a1x +a0 , ai ∈Z, i = 0,1, . . . ,m,

g (x) = bn xn +bn−1xn−1 + . . .+b1x +b0 , b j ∈Z, j = 0,1, . . . ,n

dos polinomios primitivos. Para probar quef (x)g (x) es primitivo basta ver que, fijadop ∈Z irreducible, existe un coeficiente def (x)g (x) que no es divisible por él.

Fijemos puesp irreducible. Seas (respt) el entero0 ≤ s ≤ m (resp.0 ≤ t ≤ n) tal quep|ai para todoi > s (resp.p|b j para todoj > t), si se da el caso, yp no divide aas (resp.a bt ). El coeficiente dexs+t en f (x)g (x) es

a0bs+t + . . .+as−1bt+1 +as bt +as+1bt−1 + . . .+as+t b0,

en el que se ve quep divide a todos los sumandos salvo aas bt . Así, p no divide a lasuma, lo que prueba el resultado. �

Corolario 3.6.2. Si f (x), g (x) ∈Q[x] son polinomios no nulos, entonces

c( f g )= c( f )c(g ).

PRUEBA: Podemos escribir

f (x) = c( f ) f ′(x), g (x) = c(g )g ′(x)

dondef ′(x) y g ′(x) son primitivos. Así

f (x)g (x) = c( f )c(g ) f ′(x)g ′(x)

y, como f ′(x)g ′(x) es primitivo por el lema de Gauss, debe ocurrir quec( f )c(g ) = c( f g ).�

El siguiente resultado es engañosamente sencillo, pero de una importancia extremacuando se trata de factorizar polinomios, como comprobaremos más adelante.

Corolario 3.6.3. Sea f (x) ∈ Z[x] un polinomio de grado positivo, digamosn, que sedescompone enQ[x] en producto de dos polinomios de grados estrictamente menoresquen. Entonces, se descompone enZ[x] en producto de dos polinomios de esos mismosgrados.


PRUEBA: Sea f (x) = f1(x)g1(x), dondef1(x), g1(x) ∈ Q[x] con grado( f1(x)) < n ygrado(g1(x)) < n. Multiplicando la anterior igualdad por un cierto elementoa ∈ Z paraquitarnos los denominadores de en medio del producto, se tendrá que

a f (x) = g (x)h(x) , g (x),h(x) ∈Z[x].

De ahí se deduce queac( f ) = c(g h) = c(g )c(h), luegoa|c(g )c(h). Por tanto, si tomamosg (x) = c(g )g ′(x), h(x) = c(h)h′(x), entonces

f (x) =c(g )c(h)

ag ′(x)h′(x),

y ésa es la descomposición buscada. �

Corolario 3.6.4. Seaf (x) ∈Z[x] un polinomio de grado positivo, digamosn, y primitivo.Entoncesf (x) es reducible enZ[x] si y sólo si lo es enQ[x].

PRUEBA: Muy, pero que muy simple; basta con releer el enunciado del corolarioanterior. �

Terminaremos la teoría de esta sección con un criterio muy general de irreducibilidadde polinomios, aunque no concluyente al no poderse aplicar atodos.

Proposición 3.6.5. (Criterio de Eisenstein)Sea un polinomio de gradon > 0

f (x) = an xn +an−1xn−1 + . . .+a1x +a0 , ai ∈Z, i = 0,1, . . . ,n.

Supongamos que existe un elemento irreduciblep ∈Z que divide a todos los coeficientes,salvo aan, y cuyo cuadradop2 no divide aa0. Entoncesf (x) es irreducible enQ[x].

PRUEBA: Se hará por reducción al absurdo. Supongamos quef (x) fuese reducibleenQ[x]. En consecuencia se descompondría enQ[x] en producto de dos polinomios degrado estrictamente inferior. Por el corolario anterior sepuede escribir

f (x) = (bs xs +bs−1xs−1 + . . .+b1x +b0)(ct xt +ct−1xt−1 + . . .+c1x +c0),

dondebi ,c j ∈Z para cualesquierai , j y s, t < n.

Por la segunda hipótesis,p debe dividir a uno de entreb0 y c0, pero no a ambos.Supongamos pues sin pérdida de generalidad quep|b0 y no divide ac0. Como p nodivide aan , no puede dividir a todos losbi . Seam el mínimo índice tal quep no dividea bm , que sabemos que es menor quen. El coeficiente del término enxm es

bmc0 +bm−1c1 + . . .+b0cm = am ,

que no es divisible porp pues todos los sumandos lo son salvo el primero. Ahora bien,queam con m < n no sea divisible porp es una contradicción, luego hemos terminadocon la prueba. �

Para terminar esta sección veremos con ejemplos un procedimiento algo elemental,pero procedimiento al fin y al cabo (ya veremos métodos más sofisticados) para descom-poner un polinomio con coeficientes enQ en producto de sus factores irreducibles.

Notemos antes los siguientes hechos:


Todo polinomiof (x) ∈Q[x] se puede escribir comod f (x) = h(x), cond ∈Z,h(x) ∈Z[x]. Por tanto, para obtener la descomposición enQ de f (x) puedo calcular la deh(x). Es decir, podemos considerar sólo polinomios con coeficientes enteros.

Seaf (x) ∈ Z[x]. Sabemos quef (x) = c( f )h(x), dondeh(x) ∈ Z[x] y es primitivo.Para obtener la descomposición enQ de f (x) puedo calcular la deh(x). Es decir,podemos considerar sólo polinomios con coeficientes enteros y primitivos.

Ejemplo 3.6.6. Consideremos el polinomiof (x) = x5 + x3 − 2x2 − 2 ∈ Z[x], primitivo.Si f (x) es reducible se podrá poner como producto de dos polinomios no constantesf (x) = g (x)h(x), cong (x),h(x) ∈ Z[x]. Como el polinomio de partida es de grado 5, lasposibilidades son:

1. grado(g (x)) = 1 y grado(h(x)) = 4


Ahora se trata de probar “manualmente"si es posible alguna de las posibilidades. Unarespuesta negativa indicaría que el polinomio de partida esirreducible.

El primer caso es el teorema de Ruffini. Sig (x) = ax + b es de grado1, entonces−b/a es una raíz def (x). Por tanto, se dará la posibilidad (1) si y sólo sif (x) tiene raícesracionales (notemos que este argumento es válido independiente del grado del polinomiode partida).

En nuestro ejemplo sabemos por Ruffini que las posibles raíces de f (x) son±1,±2.Sustituyendo enf (x) comprobamos que ninguna es raíz, luego la posibilidad 1 no seda.

Veamos pues si es posible la segunda. Si lo fuera, existiríanenterosa, b, c, d , e, f yr tales que:

x5 +x3 −2x2 −2= (ax2 +bx +c)(d x3 +ex2 + f x + r ) == ad x5 + (ae +bd)x4 + (a f +be +cd)x3 + (ar +b f +ce)x2 + (br +c f )x +cr.

Este polinomio será igual af (x) si tienen los mismos coeficientes. Por tanto, la segundaposibilidad se da si y sólo si existen unos enterosa, b, c, d , e, f y r verificando que

S :

1 = ad

0 = ae +bd

1 = a f +be +cd

−2 = ar +b f +ce

0 = br +c f

−2 = cr

Es decir, tenemos que tratar de resolver enZ el sistema de ecuaciones (no lineales)S. Lamejor forma es estudiar casos. La primera ecuación nos dice quea = d = 1 o a = d =−1.

Supongamos quea = d = 1. Si con esta elección encontramos una solución, ya tendríamoslos polinomiosg (x) y h(x) y no habría necesidad de seguir buscando. En caso contrariotendríamos que resolver el sistema cona = d =−1.

Si a = d = 1, el sistema anterior es:

S :

0 = e +b

1 = f +be +c

−2 = r +b f +ce

0 = br +c f

−2 = cr


De la última ecuación nos surgen los siguientes casos: (1)c =−1,r = 2, (2) c = 1,r =−2,(3) c =−2,r = 1 y (4) c = 2,r =−1.

Caso (1).El sistema a resolver es

S :

0 = e +b

1 = f +be −1

−2 = 2+b f −e

0 = 2b − f

Sustituyendoe =−b, f = 2b en la segunda ecuación se obtieneb2−2b+2= 0 que no tienesolución entera. Por tanto este caso es imposible.

Caso (2).El sistema a resolver es

S :

0 = e +b

1 = f +be +1

−2 = −2+b f +e

0 = −2b + f

,

que tiene como soluciónb = e = f = 0.Concluyendo, llegamos a quef (x) es reducible y su descomposición es factores irre-

ducibles esf (x) = (x2 +1)(x3 −2). Los polinomiosx2 +1 y x3 −2 son irreducibles puesno tienen raíces racionales.

Como el lector atento habrá podido observar al final no ha sidonecesario lidiar con elcaso en quea = d = −1. Esto es porque si el polinomio de partida es mónico, podemossuponer que los factores en que se descompone son también mónicos. De haber supuestoesto, habríamos obtenido los polinomios−x2 −1 y −x3 +2.

3.7. Factorización enFp[x]

El mismo procedimiento “artesanal” que hemos usado en la sección anterior parafactorizar enQ[x] se puede usar para obtener la descomposición en factores irreduciblesde polinomios con coeficientes enFp , con p primo. No obstante, esta sección tambiéncontendrá algún resultado que justifique más su existencia,y no un ejemplo solamente.

Ejemplo 3.7.1. Consideremos el polinomiof (x) = x4 + x3 + x + 2 ∈ F3[x]. Si f (x) esreducible se puede expresar como producto de dos polinomiosno constantesf (x) =g (x)h(x), cong (x),h(x) ∈ F3[x]. Como el polinomio de partida es de grado 4, las posibil-idades son:



El primer caso se resuelve, como enQ, comprobando sif (x) posee alguna raíz enF3.ComoF3 = {0,1,2} es finito, basta comprobar si algún elemento es raíz. En nuestro casof (0) = 2, f (1) = 2 y f (2) = 1, luego la primera posibilidad no se da.

Para estudiar el segundo supuesto escribamos

f (x) = (x2 +ax +b)(x2 +cx +d)


(nótese que ya estamos asumiendo que los factores serán mónicos comof (x)). Operandoe igualando coeficientes obtenemos el sistema

S :

1 = a+c

0 = b +ac +d

1 = ad +bc

2 = bd

De la cuarta ecuación, teniendo en cuenta los elementos deF3, obtenemos que o bienb = 1 y d = 2, o bienb = 2 y d = 1. Ahora bien, dado que ambos polinomios son de grado2, podríamos reordenarlos si se diera lo segundo para suponer sin pérdida de generalidadqueb = 1 y d = 2. El sistema se queda del siguiente modo:

S :

1 = a+c

0 = ac

1 = 2a+c

Su única solución esa = 0,c = 1. Por consiguiente,f (x) = (x2 +1)(x2 + x +2) es la de-scomposición en factores irreducibles buscada. (Los polinomiosx2 + 1 y x2 + x + 2 sonirreducibles al no tener raíces enF3.)

Para ilustrar la importancia del problema de factorizar sobreFp [x] de la que hablábamosantes veamos cómo podemos relacionar la irreducibilidad enQ y enFp , conp primo. Sea

f (x) = an xn + . . .+a1x +a0 ∈Z[x]

primitivo, seap un primo que no divida aan , y llamemosf (x) al polinomio

f (x) = an xn + . . .+a1x +a0 ∈ Fp [x],

siendoai = ai +Zp, 0≤ i ≤ n.

Proposición 3.7.2.Si f (x) es irreducible enFp [x], entoncesf (x) es irreducible enQ[x].

PRUEBA: Aquél que seguramente por algún despiste todavía no se hayadado cuen-ta del argumento de la prueba, que tenga en cuenta que para cualesquiera polinomiosf (x), g (x), f (x)g (x) = f (x)g (x) y que escriba el contrarrecíproco del enunciado. �

Veamos, con un ejemplo, cómo podemos usar el resultado anterior.

Ejemplo 3.7.3. Seaf (x) = x4 − x3 + x2 − x +1 ∈ Z[x]. Tomemosp = 2. Entoncesf (x) =x4 +x3 +x2 +x +1 ∈ F2. Ya quef (0)= 1 y f (1) = 1, f (x) no tiene raíces enF2.

Como en caso de ser reducible, ningún factor de la descomposición de f (x) sería degrado 1, pongamos por caso que

f (x) = (x2 +ax +b)(x2 +cx +d).

Como otras veces, operando e igualando coeficientes obtenemos el sistema

S :

1 = a+c

1 = b +ac +d

1 = ad +bc

1 = bd


La última ecuación nos dice queb = d = 1, y sustituyendo en el resto nos quedamos con

S :

{1 = a+c

1 = ac,

que no tiene solución. Por tanto,f (x) es irreducible enF2 y así, por la proposición,f (x)

es irreducible sobreQ.

Nota3.7.4. Si bien en apariencia este procedimiento simplifica los cálculos a la hora deestudiar si un polinomio es o no irreducible sobreQ, tiene un grave inconveniente. Elrecíproco de la proposición anterior es falso. Por ejemplo,el polinomio x2 + 2 es irre-ducible sobreQ, perof (x) = x2 ∈ F2[x] es reducible, o el polinomiox2−x+1, irreducibleenQ y con f (x) reducible enF3.

3.8. Factorización efectiva enQ[x] y Fp[x]*

En las últimas secciones hemos dado un largo paseo por la factorización de poli-nomios, pero quizá pecaba de demasiado teórico, o poco efectivo. El objetivo de estalección es dar dos opciones, computacionalmente efectivasy más sofisticadas que lasvistas hasta ahora, para atacar el problema de la factorización de polinomios sobre losracionales (método de los polinomios interpoladores de Lagrange) y sobre los cuerposprimos (método de Berlekamp).

El método de los polinomios interpoladores de Lagrange, como su propio nombreindica, no es más que una adaptación a nuestro contexto del clásico método de interpo-ladores lineales de Lagrange del Cálculo Numérico. En la literatura también se le conocecomo método de Kronecker.

Comencemos con el caso de un polinomiof (x) ∈ Z[x] de gradon y sead = ⌊n/2⌋.Obviamente, salvo quef (x) sea irreducible, alguno de sus factores irreducibles ha de tenergrado menor o igual qued , por lo que basta buscar los posibles factores que verifican estacondición.

Para ello fijaremosd+1 enteros distintos (normalmente lo más cerca posible de0, pormotivos de comodidad)a0, a1, . . . , ad y hallaremos

ni = f (ai ), i = 0, . . . ,d .

Ahora bien, sig (x) es un factor del tipo que busco def (x), ha de verificar quesi = g (ai )

divide alni correspondiente. Así pues, fijaremos una(d+1)-upla de divisores, de la forma

(s0, s1, . . . , sd ) , dondesi |ni , i = 0, . . . ,d .

Recordemos queg (ai ) es precisamenteg (x)(modx − ai ). En ese caso, por el teoremachino del resto,g (x) ha de ser entonces una solución al sistema

g (x) ≡ s0 ( mod x −a0)

g (x) ≡ s1 ( mod x −a1)...

...g (x) ≡ sd ( mod x −ad )


Lo que hemos escrito en otras palabras y símbolos es la imposición de queg (ai ) = si = si

( mod x −ai ) para todoi . Sabemos que este sistema tiene solución única (pues losx −ai

son primos entre sí) de grado menor o igual qued . Así pues, fijado un vector de divisores,tenemos un posible divisor def (x). Como los posibles vectores de divisores son finitos,este procedimiento nos da una lista exhaustiva de todos los posibles divisores def (x)

de grado menor o igual qued . Es más, podemos quedarnos con la mitad de vectores dedivisores, pues la única solución asociada a(−s0,−s1, . . . ,−sd ) será así el opuesto de laque verifique el sistema con(s0, s1, . . . , sd ).

Polinomios interpoladores de Lagrange

Para factorizar un polinomiof (x) ∈Z[x].Sead = ⌊n/2⌋, tomed + 1 enteros distintosai . Forme la(d + 1)-upla( f (ai )).Forme todas las posibles(d+1)-uplas(si ) formadas por divisores de losf (ai ), y resuelva el sistemag (x) ≡ si ( mod x −ai ), para todoi , y todaslas(d +1)-uplas que no se diferencien en un signo.Si f (x) es reducible, de entre las soluciones no constantes, al menos dosserán un factor def (x).

Ejemplo 3.8.1. Aprovechando que ya hemos factorizado algunos polinomios en, recu-peremos uno de ellos para aplicarle el método que acabamos dedetallar. Sea pues elpolinomio f (x) = x4+x3+x−1 ∈Z[x], primitivo. Como tiene grado 4, elegimos 5 puntoscercanos al cero para evitarnos hacer cuentas más latosas. Calculamos los valores quetoma f (x) en esos puntos:

f (−2) = 5 , f (−1) =−2 , f (0)=−1 , f (1) = 2 , f (2) = 25.

Podemos formar 768 quíntuplas distintas, de las que nos quedamos con 384, la mitad.Evidentemente no vamos a comprobar todas ellas en el reducido espacio con el que con-tamos, sin mencionar la penosa tarea para el que escribe estas líneas que supondría dichocálculo. No obstante, cualquier programa de cálculo efectuaría esos cálculos sin rechistar,y al fin y al cabo es por esa razón por la que se comenta este método aquí.

Una vez aclarado lo anterior, sigamos con el ejemplo y probemos con la quíntupla(1,−1,−1,1,5). Tenemos así el siguiente sistema de congruencias:

S :

g (x) ≡ 1 ( mod x +2)

g (x) ≡−1 ( mod x +1)

g (x) ≡−1 ( mod x)

g (x) ≡ 1 ( mod x −1)

g (x) ≡ 5 ( mod x −2)

,

que tiene como solución al polinomiox2+x−1. Si dividimosf (x) entre aquél, obtenemoscomo cocientex2+1, que se conseguía al tomar la quíntupla (5,2,1,2,5). Por consiguiente,f (x) es reducible, y como los de grado 2 que hemos obtenido son irreducibles sobreQ,hemos terminado de calcular su descomposición.Si hubiéramos seguido buscando factores, no habríamos obtenido más que los opuestosde los anteriores. Por ejemplo, la quíntupla (1,2,1,1,1) nos habría dado como resultado elpolinomio− x4

6+ x3

6+ 2x2

3− 2x

3+1, que evidentemente no es factor def (x).


El algoritmo de Berlekamp para factorizar enFp [x] data de 1967, fecha de publicacióndel artículo en donde se detallaba. Se basa en una idea sencilla, y gracias a eso y a suefectividad, ha sido desde entonces uno de los más utilizados, tanto para programar comopara servir de ejemplo de algoritmo de factorización en característica positiva. La idea dela que hablábamos se presenta en el siguiente teorema.

Teorema de Berlekamp

Seaf (x) ∈ Fp [x] de gradon, sin factores múltiples y mónico, y supong-amos que existe un polinomiog (x) tal que

f (x)|(g (x)p − g (x)

).

Entonces

f (x) =p−1∏

s=0

mcd( f (x), g (x)− s),

aunque varios de estos factores pueden ser polinomios constantes.

PRUEBA: Si hacemos memoria del no tan lejano capítulo anterior, recordaremos que enFp teníamos que

xp −x =p−1∏

s=0

(x − s),

lo cual en particular implica que

g (x)p − g (x) =p−1∏

s=0

(g (x)− s).

Hay que decir que todos estos factores son primos entre sí al diferenciarse en una con-stante.

Probemos entonces la igualdad que hemos enunciado. Por un lado, no es nada dificul-toso ver que

p−1∏

s=0

mcd( f (x), g (x)− s)| f (x),

pues todos los elementos de la izquierda dividen af (x) y como losg (x)− s son primosentre sí también lo serán los divisores comunes.

En el otro sentido, si tomamos un factor irreducible def (x), pongamosh(x), debedividir a g (x)p − g (x), luego dividirá también a alguno de losg (x)− s y, de igual modo amcd( f (x), g (x)− s).

En conclusión, los dos miembros de la igualdad se dividen mutuamente y al ser móni-cos, son iguales. �

A partir de aquí, la factorización def (x) ∈ Fp [x] queda reducida por un lado a encon-trar g (x) de grador < n tal que

f (x)|(g (x)p − g (x)),


y posteriormente a aplicar el algoritmo de Euclidesp veces. Notemos entonces que porestar en característica positiva y por el pequeño teorema deFermat,

si g (x) =n−1∑

i=0

ai xi , entoncesg p(x) =n−1∑

i=0

ai xi p .

Vamos entonces a buscar un tal polinomiog (x) (concretamente, vamos a buscar suscoeficientesa0, . . . , an−1). Dividamos así los monomiosxi p entref (x), que al tener gradon obtendremos

x0p = q0(x) f (x)+ r0(x) = q0(x) f (x)+ r00 + r10x1 + . . .+ rn−1,0xn−1

x1p = q1(x) f (x)+ r1(x) = q1(x) f (x)+ r01 + r11x1 + . . .+ rn−1,1xn−1

...

x(n−1)p = qn−1(x) f (x)+ rn−1(x) = qn−1(x) f (x)+ r0,n−1 + r1,n−1x1 + . . .+ rn−1,n−1 xn−1

Por la unicidad de la división euclídea, el resultado de dividir g p (x) entref (x) es el dadopor la expresión

g p (x) =n−1∑

i=0

ai xi p =(

n−1∑

i=0

ai qi (x)

)f (x)+

n−1∑

i=0

ai ri (x),

y por el mismo motivo, el de dividirg p (x)− g (x) entref (x) es

g p (x)− g (x) =n−1∑

i=0

ai xi p −n−1∑

i=0

ai xi =(

n−1∑

i=0

ai qi (x)

)f (x)+

n−1∑

i=0

(ai ri (x)−ai xi ).

Por consiguiente,g (x) verifica lo que queremos si y sólo si

0 =n−1∑

i=0

(ai ri (x)−ai xi ),

o escrito en forma matricial, tomando la matriz de ordenn ×n R = (ri j ), si y sólo si

(a0, . . . , an−1)t es solución del sistema(R − In)x= 0.

Así, gracias al algoritmo de Berlekamp, factorizar enFp [x] se reduce a resolver ciertossistemas de ecuaciones lineales y aplicar el algoritmo de Euclides, operaciones ambas quese pueden realizar de manera muy eficiente.


Algoritmo de Berlekamp

Para factorizar un polinomiof (x) ∈ Fp [x] de gradon.Para cadai = 0, . . . ,n −1, efectúe las divisiones dexi p entre f (x) paraobtener los restos

r (x) = r0i + r1i x1 + . . .+ rn−1,i xn−1.

Construya la matrizR = (ri j ), y plantee el sistema lineal

(R − In)x = 0.

Si el sistema no tiene solución,f (x) es irreducible. Si tiene una solu-ción (a0, . . . , an−1)t que represente a un polinomio no constante,f (x) sedescompone como

p−1∏

s=0

mcd(

f (x), (a0 − s)+a1x + . . .+an−1xn−1)

.

Ejemplo 3.8.2. Ilustremos también este método con el mismo polinomio que elanteriorejemplo, pero considerado enF3[x]. Sea asíf (x) = x4 + x3 + x + 2 ∈ F3[x]. Dividimosdeterminadas potencias dex entref (x) y obtenemos:

1 = q0(x) f (x)+ r0(x) = 0 · f (x)+1

x3 = q1(x) f (x)+ r1(x) = 0 · f (x)+x3

x6 = q1(x) f (x)+ r1(x) = q2(x) f (x)+1+x +2x2 +x3

x9 = q1(x) f (x)+ r1(x) = q3(x) f (x)+x

Los cocientes no los hemos indicado todos porque sólo nos interesan los restos para for-mar la matriz. En nuestro caso,

R =

1 0 1 0

0 0 1 1

0 0 2 0

0 1 1 0

.

El sistema lineal enF3[x] que tenemos que resolver es

0 0 1 0

0 2 1 1

0 0 1 0

0 1 1 2

x = 0,

que tiene como solución cualquier vector de la formax = (α,β,0,β)t , dondeα,β ∈ F3. Sitomamosα= 1,β= 0, obtenemos la constante 1, que obviamente cumple quef (x)|13−1 =0. Escogiendo puesα= 0,β= 1 conseguimos la descomposición

f (x) =mcd( f (x), x3+x)mcd( f (x), x3+x+1)mcd( f (x), x3+x+2)= (x2+1)(x2+x+2) ·1.


3.9. El teorema fundamental del álgebra*

El contenido de esta sección está tomado del artículoThe Fundamental Theorem ofAlgebra and Linear Algebra, de Harm Derksen, publicado en el American MathematicalMonthly 110(2003), número 7, páginas 620-623. El objetivo que perseguimos es dar unaprueba del teorema fundamental del álgebra con argumentos puramente algebraicos y ala vez asequible al lector que no tenga un conocimiento profundo de esta materia, puessolamente usa algunas nociones de álgebra lineal.

Teorema fundamental del álgebra

Todo polinomio no constante deC[x] tiene una raíz enC.

Si de algo no se puede quejar alguien que se acerque por primera vez al teorema quenos ocupa, es por falta de demostraciones. Existe una cantidad considerable de pruebasdistintas, y usando técnicas variopintas. Desde la primera, elaborada por Gauss en sutesis doctoral de 1799 (aunque con algún fallo en el rigor matemático), hasta esta queaquí expondremos, existen pruebas topológicas, usando propiedades de la curva complejaque describe un polinomio, pruebas analíticas, que utilizan el teorema de Liouville de quetoda función entera es acotada, pruebas algebraicas, basándose en la teoría de Galois entreotras herramientas, o incluso mixturas de los tres tipos anteriores.

Vayamos, sin más dilación, al desarrollo de la prueba. Para ello, definamos la propiedadPk,r (d), dondek es un cuerpo,R o C, y r = 1,2. Su enunciado es el siguiente:

Pk,r (d): Dadosr endomorfismosAi que conmuten entre todos de unk-espacio vec-torial V de dimensiónn, no divisible pord , existe un autovector no nulo que es común atodos ellos.

Para probar el teorema, bastaría con demostrar que se cumplela propiedadPC,1(2r )

para todor ∈N. Así, para cualquier polinomio (que podemos suponer mónicosin proble-ma) no constantef (x) ∈C[x], se tiene que

f (x) = xn +an−1xn−1 + . . .+a0 = det(xIn − A) , con A =

0 0 · · · 0 −a0

1 0 · · · 0 −a1...

......

......

0 0 · · · 1 −an−1

Como A representa a un endomorfismo deC y existe algúnr tal que2r no divide an,A tendría un autovector no nulo. Su autovalor asociado sería raíz de f (x), y habríamosacabado. �

Así pues, para probarPC,1(2r ) seguiremos el camino marcado a través de diversoslemas, cada uno apoyándose en los anteriores. Como en la demostración de arriba, deno-taremos porAi tanto a un endomorfismo como a su matriz asociada.

Lema 3.9.1.Si se tienePk,1(d), también se cumplePk,2(d).

PRUEBA: SeanA1 y A2 dos endomorfismos que conmutan de unk-espacio vectorialV de dimensiónn no divisible pord . Vamos a probar por inducción enn que tienen un


autovector en común. Sin = 1, cadaAi no es más que la multiplicación por una constante,y todos los vectores deV son propios, siendo trivial el aserto. Supongamos pues quetambién es cierto sidimV < n, y veámoslo paradimV = n.

ComoPk,1(d) se cumple,A1 tiene un autovalorλ ∈ k. SeanW y Z , respectivamente,el núcleo y la imagen del endomorfismoA2 −λI . ComoA1 y A2 conmutan,W y Z per-manecen fijos porA1.Supongamos queW 6= V . Entonces, comodimW +dim Z = dimV , d no dividirá a almenos alguna de las dos dimensiones, y además ambas son menores quen. Por tanto, porla hipótesis de inducción,A1 y A2 compartirán un autovector no nulo directamente enW

o enZ .Si W =V , cualquier vector propio deA1 v cumple queA2v =λv, luego también tenemosla propiedad. �

Lema 3.9.2.Si k =R, Pk,r (2) son ciertas parar = 1,2.

PRUEBA: Por el lema anterior bastaría probar quePR,1(2) es cierta, esto es, que todoendomorfismo de un espacio vectorial sobreR de dimensión impar tiene un autovector nonulo, pero eso es equivalente a que su polinomio característico f (x) = det(xI − A) tengaalguna raíz enR. Ahora bien,f (x) es un polinomio de grado impar con coeficientes reales,y ya hemos visto que siempre tiene al menos una raíz real. �

Lema 3.9.3.Todo endomorfismo de unC-espacio vectorial de dimensión impar tiene unautovector no nulo, esto es,PC,1(2) se cumple.

PRUEBA: SeaA : Cn → Cn un endomorfismo conn impar, y seaV = Hermn(C), elR-espacio vectorial de las matrices hermíticas (aquellas que A∗ = A

t = A) de ordenn×n.Consideremos los siguientes endomorfismosR-lineales deV definidos como:

L1(B) =AB +B A∗

2, L2(B) =

AB −B A∗

2i.

Ver queL1 y L2 están bien definidos y conmutan es un cálculo bien sencillo y no loescribiremos en estas líneas.

Sabemos quedimRV = n2, que es impar. Entonces, por el lema anterior,L1 y L2

comparten un autovector no nulo al cumplirsePR,2(2). SeaB ese autovector enV , cuyosvalores propios asociados seanλ y µ respectivamente. En ese caso,

(L1 + iL2)(B) = AB = (λ+µi )B,

luego cualquier columna no nula deB constituirá uno de los autovectores buscados paraA. �

Ya hemos acabado el ensamblaje de lemas previos al resultadoque nos bastaba paraprobar el teorema fundamental del álgebra. Como el lector interesado (pues ya por llegarhasta aquí ha demostrado un interés digno de mención) podrá ver, no hemos usado másque algunas propiedades básicas de espacios vectoriales y matrices, asequibles a cualquieralumno con nociones básicas de álgebra lineal y que, evidentemente, presuponemos aquí,pues no es competencia de este texto el explicar dichas nociones, sin que eso signifiqueningún menoscabo a ellas. Pero no nos alejemos del tema que nos ocupa y demostremosla proposición siguiente.


Proposición 3.9.4.Para todor ∈N se cumplePC,1(2r ).

PRUEBA: Se hará por inducción enr . Si r = 1 es el enunciado del lema anterior, asíque supongamos como hipótesis de inducción que tenemosPC,1(2l ), conl < r .Tomemos pues un endomorfismoC-lineal A : Cn → Cn, conn divisible por2r−1 pero nopor 2r . Esto lo podemos asumir, puesto que sin no fuera divisible por2r−1 estaríamosen el caso de probarPC,1(2r−1). SeaV = Antn(C) el C-espacio vectorial de las matricesantisimétricas con coeficientes complejos. Definamos dos endomorfismos deV , L1 y L2

comoL1(B) = AB −B At , L2(B) = AB At .

De nuevo, no probaremos que están bien definidos ni que conmutan entre ellos, y se lodejaremos al lector con afán de comprobación.

Notemos que2r−1 no divide adimV , que es igual an(n − 1)/2. Por tanto, por lahipótesis de inducción, existe un vector propioB común aL1 y L2. Sean sus autovaloresasociadosλ y µ, respectivamente. Así,

µB = ABAt = A(AB−λB),

es decir,(A2 −λA−µI )B = 0.

Seav un vector columna deB, y seanα y β las dos raíces complejas del polinomiox2 −λx −µ, que sí que sabemos que tiene raíces enC, porque es de grado 2. Si llamamosw = (A −βI )v y es no nulo, tenemos que(A −αI )w = 0, y hemos terminado, siendowel autovector que buscábamos. Siw = 0 eso querría decir que(A −βI )v = 0, siendov elvector propio buscado. �


Capítulo 4

Conjuntos

4.1. Conjuntos. Operaciones básicas

Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos másimportantes: el de conjunto. LaTeoría de conjuntos, desde el punto de vista axiomático,fue introducida porGeorg Cantor. Cantor nació en San Petersburgo en 1845, donde viviósus primeros once años. Desde 1869 ejerció como profesor en la universidad de Halle.Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis artículos en el Mathematische Annalenen los que desarrollaba una introducción básica a la teoría de conjuntos. Falleció en 1917.

Conjunto

Llamaremosconjunto a una colección de objetos, distintos entre sí, quecomparten una propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debeser posible discernir si un objeto arbitrario está o no en él.

Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citandotodos sus elementos entrellaves, por ejemplo

A = {1,2,3,4,5},

o de manera implícita, dando una o varias características que determinen si un objeto dadoestá o no en el conjunto, por ejemplo

A = {x | x es un número natural par},

que se leerá: “A es el conjunto formado por losx tales quex es un número natural par”.Esta última opción (la definición implícita) es obviamente imprescindible cuando el con-junto en cuestión tiene una cantidad infinita de elementos.

Los conjuntos se notarán con letras mayúsculas:A, B ,... y los elementos con minús-culas, en general. Si el elementoa pertenece al conjuntoA escribiremosa ∈ A. En casocontrario escribiremosa ∉ A.

En ocasiones hay que considerar varios conjuntos en pie de igualdad. En estos casoses frecuente denotar los distintos conjuntos con la misma letra y un subíndice que losdiferencia. Los subíndices pueden ser finitos y concretos, por ejemplo,

X1, X2, X3, X4, X5;


finitos pero en cantidad desconocida,

X1, X2, ..., Xn , donden ∈N,

o arbitrarios; un ejemplo de esto sería considerar

{Ai }i∈I ,

que se leería: la familia de conjuntosAi dondei pertenece aI . Aquí I es el conjuntode subíndices que puede o no ser finito (en los ejemplos anterioresI = {1,2,3,4,5}, I ={1,2, . . . ,n} conn ∈N y tambiénI podría ser todoN).

Ejemplo 4.1.1. 1) Para cadai = 0,1, . . . ,9, definimos los conjuntosXi como

Xi = {Españoles cuyo año de nacimiento termina eni }.

2) Para cadan ∈N, definimos el conjunto

An = {m ∈Z |m es múltiplo den}.

De esta forma se tiene una familia infinita{An}n∈N de conjuntos. En particular, sin = 5 setiene

A5 = {. . . ,−10,−5,0,5,10, . . .}.

Un conjunto que carece de elementos se denomina elconjunto vacíoy se denota por;. Un conjunto con un único elemento se denomina unitario.

Notemos que, siX = {x} es un conjunto unitario, debemos distinguir entre el conjuntoX y el elementox.

Subconjunto

Dados dos conjuntosA y B , si todo elemento deA es a su vez elementodeB diremos queA es unsubconjunto deB y lo notaremosA ⊂ B . Encaso contrario se notaráA 6⊂ B .

Definición 4.1.2.Dados dos conjuntosA y B , diremos que sonigualessi tienen los mis-mos elementos, es decir, si se verifica queA ⊂ B y B ⊂ A, y lo notaremos porA = B.

Esta definición nos lleva al procedimiento más habitual de demostración en teoría deconjuntos:la prueba por doble inclusión. Si queremos probar que dos conjuntosA y B

son iguales, lo que haremos es probar queA ⊂ B y queB ⊂ A. A lo largo de esta secciónveremos algunos ejemplos de esta técnica.

Cuando trabajamos con conjuntos concretos, siempre existeun contexto donde esosconjuntos existen. Por ejemplo, siA = {−1,1,2,3,4,5} y B = {x | x ∈N es par}, el contextodonde podemos considerarA y B es el conjunto de los números enteros,Z. En general, aeste conjunto se le denominaconjunto universal y se denota porU . De una forma algomás precisa, sin olvidar que estamos dando nociones intuitivas, podemos dar la siguientedefinición:


Conjunto universal

Conjunto universal o de referencia, que lo notaremos porU , es un con-junto del que son subconjuntos todos los posibles conjuntosque originael problema que tratamos.

A lo largo de estas notas supondremos, salvo que se especifique lo contrario, quetodos los conjuntos que usamos están contenidos enU . De esta forma, dado un conjuntoA, podemos representarlo con undiagrama de Venn.

A

U

Figura 4.1: Diagrama de Venn

Proposición 4.1.3.SeanA, B y C tres conjuntos cualesquiera. Se tienen las siguientespropiedades:

(a) A ⊂ A, ;⊂ A.

(b) Si A ⊂ B y B ⊂C , entoncesA ⊂C .

PRUEBA: La primera propiedad se sigue directamente de la definición.La demostración de (b) se sigue de la definición de subconjunto: todo elemento deA

está enB , por serA ⊂ B y, dado que es elemento deB , está enC por serB ⊂C . Así todoelemento deA está enC y hemos finalizado. �

Los subconjuntos deA distintos de; y A se denominansubconjuntos propiosde A.

Complementario

Dado un conjuntoA se define elcomplementariode A, notado porA oAc , como

A = {x | x ∈U , x ∉ A}.

DadoA ⊂U , se dan las siguientes igualdades:

;=U , U =;, A = A.

Nos detendremos solamente en la tercera de las anteriores propiedades. En efecto, pordefinición

A = {x | x ∈U , x ∉ A},

pero para unx ∈U , x ∉ A si y sólo six ∈ A, por tanto los elementos deA son precisamentelos deA.


A

U

Figura 4.2: Complementario

Cardinal de un conjunto

CuandoA es un conjunto finito, el número de elementos deA se de-nominacardinal de A y se notará♯(A).

Unión de conjuntos

Dados dos conjuntosA y B se define launión de A y B , notadoA ∪B ,como el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen almenos a uno de los dos conjuntos,A ó B , es decir

A∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈B}.

U

A B

Figura 4.3: Unión

Ejemplo 4.1.4. 1) SeanA = {a,b,c} y B = {2,5,7,c, a}, entonces

A∪B = {a,b,c,2,5,7}.

2) Si A = {x ∈Q | −2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈Q | −4 ≤ x ≤ 3}, entonces

A∪B = {x ∈Q | −4 ≤ x ≤ 7}.

3) SeanA = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}, entonces

A∪B = {Alumnos nacidos en día par o en los días impares de enero}.

Se definen de forma equivalente la unión de una cantidad finitade conjuntosA1, ..., An ,que denotaremos

A1 ∪ ...∪ An =n⋃

i=1

Ai ,


y la unión de una familia arbitrariamente grande de conjuntos {Ai }i∈I , que denotaremos

⋃

i∈I

Ai .

Propiedades de la unión

La unión de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para cua-lesquiera conjuntosA, B y C :

(a) Conmutativa:A∪B = B ∪ A.

(b) Asociativa:(A∪B)∪C = A∪ (B ∪C ).

(c) A ⊂ A∪B ,B ⊂ A∪B.

(d) ;∪ A = A.

(e) A ⊂ B si y sólo siA∪B = B.

PRUEBA: (a) Los elementos deA ∪B son los que pertenecen aA o aB que, eviden-temente, son los mismos elementos que pertenecen aB o a A, es decirA ∪B = B ∪ A. Laprueba de (b) se hace igual.(c) Seaa ∈ A. Es claro quea ∈ A ∪B pues el elementoa verifica que está enA o enB.

AnálogamenteB ⊂ A∪B.

(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos queA ⊂;∪A. Recíp-rocamente,seaa ∈;∪A. Esto quiere decir que el elementoa tiene que estar, al menos, enuno de los conjuntos; o A. Sabemos quea ∉;, luegoa ∈ A.

(e) Supongamos queA ⊂ B. Para probar queA ∪B = B basta probar queA ∪B ⊂ B , puesla otra inclusión la tenemos por (c). Seax ∈ A ∪B , entoncesx ∈ A o x ∈ B. Pero six ∈ A,

comoA ⊂ B se tiene quex ∈ B.

Recíprocamente, supongamos queA∪B = B. Entonces, por (c) tenemosA ⊂ A∪B = B.

�

Intersección de conjuntos

Dados dos conjuntosA y B se define laintersecciónde A y B , notadoA∩B , como el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecenal mismo tiempo a ambos conjuntos,A y B , es decir

A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.


A∩B = {a,c}.


U

A B

Figura 4.4: Intersección


A∩B = {x ∈Q | −2 ≤ x ≤ 3}.


A∩B = {Alumnos nacidos en los días pares de enero}.

Se definen de forma equivalente la intersección de una cantidad finita de conjuntosA1, ..., An , y la intersección de una familia arbitrariamente grande deconjuntos{Ai }i∈I ,que denotaremos, respectivamente,

A1 ∩ ...∩ An =n⋂

i=1

Ai , y⋂

i∈I

Ai .

Si A y B son dos conjuntos tales queA∩B =; se dice queA y B sondisjuntos.

Propiedades de la intersección

La intersección de conjuntos verifica las siguientes propiedades, paracualesquiera conjuntosA, B y C :

(a) Conmutativa:A∩B = B ∩ A.

(b) Asociativa:(A∩B)∩C = A∩ (B ∩C ).

(c) A∩B ⊂ A, A∩B ⊂ B.

(d) ;∩ A =;.

(e) A ⊂ B si y sólo siA∩B = A.

PRUEBA: (a) Los elementos deA ∩B son los que pertenecen aA y a B que, eviden-temente, son los mismos elementos que pertenecen aB y a A, es decirA ∩B = B ∩ A. Laprueba de (b) se hace igual.(c) Seaa ∈ A ∩B. Entoncesa ∈ A pues el elementoa verifica que está enA y en B.

AnálogamenteB ∩ A ⊂ B.

(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos queA ∩; ⊂ ;. Lainclusión contraria se tiene pues sabemos que el; es subconjunto de todos los conjuntos,en particular es;⊂;∩ A.

(e) Supongamos queA ⊂ B. Para probar queA∩B = A basta probar queA ⊂ A∩B , pues laotra inclusión la tenemos por (c). Seax ∈ A, entoncesx ∈ B puesA ⊂ B. Es decirx ∈ A∩B.


Recíprocamente, supongamos queA∩B = A. Entonces, por (c) tenemosA = A∩B ⊂ B.

�

Diferencia de conjuntos

Dados dos conjuntosA y B se define ladiferencia de A y B , notadaA \ B , como el conjunto formado por los elementos deA que no estánenB , es decir

A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Se tiene queA\B = A∩B . En efecto, seax ∈ A\B. Entoncesx ∈ A y x ∉ B , luegox ∈ A

y x ∈B , es decirx ∈ A∩B . Para demostrar la inclusión contraria basta leer la demostraciónanterior de derecha a izquierda.

U

A B

Figura 4.5: Diferencia


A \ B = {b}.


A \ B = {x ∈Q | 3 ≤ x ≤ 7}.


A \ B = {Alumnos nacidos en los días impares de enero}.

Notemos que, en general,A \ B 6= B \ A. En el apartado 1) del ejemplo anterior esA \ B = {a} y B \ A = {2,5,7}.

Diferencia simétrica de conjuntos

Dados dos conjuntosA y B se define ladiferencia simétrica de A

y B , notadaA△B , como el conjunto formado por los elementos quepertenecen a uno sólo de los conjuntosA,B , es decir

A△B = {x | x ∈ A \ B ∨ x ∈B \ A}.

Se tiene queA△B = (A∩B )∪ (A∩B) = (A \ B)∪ (B \ A).


U

A B

Figura 4.6: Diferencia simétrica


A△B = {b,2,5,7}.


A△B = {x ∈Q | −4≤ x < 2 y 3 < x ≤ 7}.

3) SeanA = {los alumnos nacidos en enero} y B = {los alumnos nacidos en día par}, en-tonces

A△B = {los alumnos nacidos en los días impares de enero y en los paresdel resto de meses}.

Veremos ahora algunas propiedades más de los conjuntos y demostraremos algunosresultados fundamentales utilizando la técnica de la dobleinclusión.

Proposición 4.1.8.SeanA ⊂ B dos conjuntos. EntoncesA∪ (B \ A) = B y A∩ (B \ A) =;.

PRUEBA: Ambas pruebas son sencillas. Veamos la primera afirmación.Seax ∈ A ∪(B \ A). Si x ∈ A esx ∈B , puesA ⊂ B. En caso contrariox ∈B \ A, es decirx ∈ B. Por tantoA∪ (B \ A) ⊂ B.

Recíprocamente, seax ∈B. Si x ∈ A, entoncesx ∈ A∪(B \ A). En caso contrario,x ∉ A,

luegox ∈ B \ A y x ∈ A∪ (B \ A). Por tantoB ⊂ A∪ (B \ A). �

Leyes distributivas - Leyes de De Morgan

Dados tres conjuntosA, B y C se verifican las siguientes igualdades:

(a) Leyes distributivas:

A∩ (B ∪C ) = (A∩B)∪ (A∩C ), A∪ (B ∩C ) = (A∪B)∩ (A∪C )

(b) Leyes de De Morgan (supongamosA,B ⊂C ):

C \ (A∪B) = (C \ A)∩ (C \ B), C \ (A∩B) = (C \ A)∪ (C \ B)

PRUEBA: Probaremos una de las leyes distributivas y una de las leyesde De Morgan;las restantes quedan como ejercicio por ser simétricas a lasprobadas. Ambos resultadosse probarán por doble inclusión.


Veamos queA∩ (B ∪C )⊂ (A∩B)∪ (A∩C ). Para ello tomemos un elemento arbitrariox ∈ A∩(B ∪C ). Esto quiere decir quex está enA y además enB ó enC . Esto implica que,bien está enA∩B , bien está enA∩C . En cualquier casox ∈ (A∩B)∪ (A∩C ).

Demostremos ahora que(A∩B)∪(A∩C ) ⊂ A∩(B ∪C ). Si consideramos un elementocualquieray ∈ (A ∩B)∪ (A ∩C ), y ha de pertencer aA ∩B o a A ∩C . Por tanto, bien estáen A y enB o enA y enC . En cualquier circunstancia ha de estar enA y al menos en unode los otros dos conjuntosB ó C . De aquíy ∈ A y ademásy ∈B ∪C .

Pasemos a probar la segunda ley de De Morgan. Veamos primeroC \ (A ∩B) ⊂ (C \

A)∪ (C \ B). Un elementox deC \ (A ∩B) ha de estar enC , pero no enA ∩B , por lo queno puede estar en al menos uno de los dos conjuntosA ó B . Así, x ha de pertenecer, bienaC \ A, bien aC \ B . En cualquier casox ∈ (C \ A)∪ (C \ B).

Si tomamos ahora un elementoz ∈ (C \ A)∪(C \B), observemos quez ha de estar, bienenC \ A, bien enC \B , por lo que debe estar enC y no estaren A o enB . Así, z ∈C , peronunca puede estar enA∩B , por lo quez ∈C \ (A∩B).

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Notemos que si en el apartado(b) del teorema anterior tomamosC =U , el conjuntouniversal, la leyes de De Morgan nos dicen que:

A∪B = A∩B , A∩B = A∪B .

A B

C

A B

C

Figura 4.7: Ley distributiva

A B

C

A B

C

Figura 4.8: Ley de De Morgan

Partes de un conjunto

Dado un conjuntoX , se define elconjunto de las partesde X , notadoP (X ), como el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntosdeX .


Ejemplo 4.1.9. Si tenemos el conjuntoX = {0,1,2,3}, entonces

P (X ) = {;, {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2}, {0,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},

{0,1,2}, {0,1,3}, {0,2,3}, {1,2,3}, X }

Teorema 4.1.10.El conjuntoP (X ) es finito si y sólo si lo esX . De hecho, en este caso,

♯ (P (X )) = 2♯(X ).

PRUEBA: En cuanto a la primera afirmación, siX es infinito, lo es obviamenteP (X ).La otra implicación viene dada por la fórmula sobre los cardinales que probaremos porinducción.

El caso♯(X ) = 0 es elemental, porque entoncesX =; y, por tantoP (X ) = {;}. Note-mos queP (X ) no es el conjunto vacío, es un conjunto unitario, cuyo único elemento esel conjunto vacío.

Supuesto cierto el resultado para todos los conjuntos que tienen, pongamos,n ele-mentos, tomemosX un conjunto den +1 elementos,x ∈ X cualquiera, y escribamos

X = X ′∪ {x},

dondeX ′ = X \ {x} tienen elementos. Entonces es claro que los subconjuntos deX son,bien subconjuntos deX ′, bien subconjuntos deX ′ a los que se ha añadidox, y que haytantos subconjuntos de un tipo como del otro. Dado que, por hipótesis de inducción,

♯(P

(X ′))= 2n

se tiene, por tanto,♯ (P (X )) = 2 · ♯(P (X ′)) = 2 ·2n = 2n+1.

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4.2. Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntosA y B , se define elproducto cartesianode A y B

como el conjunto de pares ordenados formados (por este orden) por unelemento deA y uno deB y se denota

A×B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Dado (a,b) ∈ A ×B , el elementoa ∈ A (respectivamenteb ∈ B) se suele denominarprimera (segunda) componente del par.

Ejemplo 4.2.1. SeanA = {a,b,c} y B = {b,1,2,3}. Entonces:

A×B = {(a,b), (a,1), (a,2), (a,3), (b,b), (b,1), (b,2), (b,3), (c,b), (c, 1), (c,2), (c, 3)}


También se puede definir el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos(para cantidades infinitas hay dos posibles generalizaciones y no las veremos por ahora )de la forma natural

A1 × ...× An =n∏

i=1

Ai ={(a1, ..., an) | ai ∈ Ai , parai = 1, ...,n

}.

Correspondencia

Una correspondenciaG de A en B es un subconjunto del productoA ×B . Equivalentemente se puede definir como una regla que asociaalgunos elementos deA con algunos elementos deB . Concretamente,G asociaa ∈ A conb ∈B si (a,b) ∈G.

Ejemplo 4.2.2. SeanA = {a,b,c} y B = {b,1,2,3} los conjuntos del ejemplo anterior.EntoncesG = {(a,1), (a,3), (b,b), (b,1), (b,3)} es una correspondencia deA enB .

Las correspondencias se pueden representar como sigue:

ba

c

b1

2

3

A B

Figura 4.9: Correspondencia

Es claro que la representación del ejemplo anterior es posible por trabajar con conjun-tos finitos (y con pocos elementos). Si los conjuntos son infinitos, las correspondencias(no finitas) se tienen que dar definiendo propiedades de los pares que la componen. Porejemplo, siA =Z,B =N una correspondencia esG = {(x, y) | x es par, y es impar}.

Relación

SeaA un conjunto. Unarelación R definida enA es una corresponden-cia deA en sí mismo.

Ejemplo 4.2.3. SeaA = {a,b,c}. EntoncesR = {(a, a), (a,c), (b,c)} es una relación enA.

Si el par(x, y) ∈ A×A está enR, diremos quex estáR–relacionado cony, o relaciona-do cony por R. Esto se notará frecuentementexR y (nótese que el orden es importante).


SeaR una relación enA. Entonces diremos queR es:

(a) Reflexivacuando para todox ∈ A se tiene quexRx.

(b) Simétrica cuandoxR y siempre implicayRx.

(c) Antisimétrica cuando, si tenemosxR y e yRx, entoncesx = y

necesariamente.

(d) Transitiva si tenemosxR y e yRz siempre esxRz.

Relaciones de orden y de equivalencia

Las relaciones reflexivas, simétricas y transitivas se denominan rela-ciones de equivalencia. Las relaciones reflexivas, antisimétricas y tran-sitivas se denominanrelaciones de orden.

Ejemplo 4.2.4. 1) En el conjuntoZ definimos las relaciones siguientes:

xR y ⇐⇒ x ≤ y, xSy ⇐⇒ x − y es par, xT y ⇐⇒ x divide a y

a) R es una relación de orden (de hecho, las relaciones de orden sedenominan así por seréste el ejemplo fundamental). En efecto:

Reflexiva:∀n ∈Z se tiene quen ≤ n, luegonRn.

Antisimétrica: SinRm y mRn se tiene quen ≤ m y m ≤ n, luegon = m.

Transitiva: SinRm y mRs esn ≤ m ≤ s, luegonRs.

b) S es una relación de equivalencia.

Reflexiva:∀n ∈Z se tiene quen −n = 0 es par, luegonSn.

Simétrica: sinSm esn −m par, luegom −n es par y, por tanto,mSn.

Transitiva: sinSm y mSp se tiene quen −m y m −p son pares. Sumando se tienequen −p es par, luegonSp.

c) T no es ni de orden ni de equivalencia, puesT no verifica la propiedad antisimétrica nila simétrica.

Notemos queS es de equivalencia si sustituimos la condición “x − y es par” por lacondición “x − y es múltiplo dep”, para cualquier númerop que fijemos con antelación.Esta relación se estudiará en profundidad más adelante.2) SeaA un conjunto fijo. EnP (U ) definimos la relaciónR :

∀B ,C ∈P (U ), BRC si A∩B = A∩C .

Veamos que es una relación de equivalencia.


Reflexiva:∀B ∈P (U ), A∩B = A∩B , es decirBRB.

Simétrica: siBRC , esA∩B = A∩C , luegoA∩C = A∩B y CRB.

Transitiva: siBRC y CRD se tiene queA∩B = A∩C = A∩D, luegoBRD.

3) En el conjuntoZ la relación definida por el menor estricto,xR y ⇐⇒ x < y, verificala propiedad antisimétrica ya queno existe ningún par de enterosn,m tales quenRm ymRn. La relación es también transitiva, pero no es reflexiva ni simétrica.

Clase de equivalencia

Si R es una relación de equivalencia enA, denominamosclase de equiv-alenciade un elementox ∈ A al conjunto de todos los elementos deA

relacionados conx, esto es,

x = R(x) = {y ∈ A | xR y},

donde la primera notación se usa siR se sobreentiende, y la segunda sino es así.

Ejemplo 4.2.5. Vamos a calcular las clases de equivalencia de las relaciones del ejemploanterior.1) EnZ consideramos la relación de equivalenciaS, nSm si n−m es par. Sean un númeropar. Entoncesm ∈Z está relacionado conn si m−n = 2k es par, luegom = n+2k es par.Luego todos los elementos de la clase de equivalencia den son pares. Recíprocamente,si m es par se tiene quen −m es par. Por tanto, la clase de equivalencia den, S(n), es elconjunto de todos los números pares.

Si n es impar, es fácil ver que la clase de equivalenciaS(n) es el conjunto de todos losnúmeros impares.

Notar que sin1 y n2 son ambos números pares (impares) entoncesS(n1) = S(n2). Deaquíse sigue que en este ejemplo sólo tenemos dos clases de equivalencia, por ejemploS(0) = {enteros pares} y S(1) = {enteros impares}. Nótese también queS(0)∩ S(1) = ; yqueZ= S(0)∪S(1). En el teorema siguiente se probará que estas propiedades se verificanen cualquier relación de equivalencia.2) Calcularemos las clases de equivalencia de la relación, en P (U ), definida por:∀B ,C ∈P (U ), BRC si A ∩ B = A ∩C , siendo A un conjunto fijo. Estudiaremos, primero, uncaso particular que nos servirá para entender mejor el caso general. Supongamos que elconjuntoA que fijamos tiene sólo dos elementos,A = {x, y}. Veamos que, en este caso,sólo existen 4 clases de equivalencia:R(;),R(A),R({x}) y R({y}). En efecto: seaB unconjunto cualquiera. Las posibilidades paraA∩B son

A∩B =;= A∩;, de dondeBR; y B ∈R(;).

A∩B = A = A∩ A, de dondeBRA y B ∈R(A).

A∩B = {x} = A∩ {x}, de dondeBR{x} y B ∈R({x}).

A∩B = {y} = A∩ {y}, de dondeBR{y} y B ∈R({y}).


Observemos que en este ejemplo también se tiene que las cuatro clases anteriores notienen ningún elemento en común y que la unión de todas ellas esP (U ).

Pasemos al caso general. SeaA un conjunto cualquiera. Veamos que existen tantasclases de equivalencia como subconjuntos deA, es decir tantas como♯(P (A)).

2-1) Si A1, A2 ⊂ A son distintos, entoncesR(A1) 6=R(A2). En efecto:A1 y A2 no estánrelacionados ya queA∩ A1 = A1 6= A2 = A∩ A2.

2-2) Todo conjuntoB pertenece a la clase de equivalencia de un subconjunto deA. Enefecto: basta tomarA∩B ⊂ A, entoncesA∩(A∩B) = (A∩A)∩B = A∩B , luegoB ∈R(A∩B).

Teorema 4.2.6.SeaA un conjunto,R una relación de equivalencia enA. Entonces severifican las siguientes propiedades:

(a) Todo elemento pertenece a una clase de equivalencia.

(b) Dos clases de equivalencia son disjuntas o iguales.

Esto es, la relaciónR divide completamente al conjuntoA en subconjuntos disjuntos(las clases de equivalencia).

PRUEBA: La afirmación (a) es trivial, ya queR es reflexiva. Para probar (b) supong-amos que tenemos dos clases de equivalenciaR(x) y R(y) de tal forma que existez ∈R(x)∩R(y). Tenemos que demostrar entonces queR(x) = R(y), y lo haremos por dobleinclusión. De hecho, sólo probaremos queR(x) ⊂ R(y), porque la otra inclusión es abso-lutamente simétrica.

Tomamos entoncesa ∈ R(x). Comoz ∈ R(x), tenemos queaRx y xRz, por lo queaRz. De la misma forma, comoz ∈ R(y), se verifica quezR y. Así tenemosaR y, luegoa ∈ R(y). Observemos que hemos usado tanto la propiedad simétrica como la transitivapara demostrar (b). �

Conjunto cociente

Dada una relación de equivalenciaR definida sobre un conjuntoA, elconjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia deA por R sedenominaconjunto cocientede A por R. La notación usual es

A/R = {R(x) | x ∈ A}.

Ejemplo 4.2.7. Veamos los conjuntos cocientes de los ejemplos anteriores.a) Sea la relación de equivalenciaS, enZ, dada pornSm si n −m es par. Entonces

Z/S = {S(0),S(1)}

En general, si fijamos un enterop y consideramos

xSy ⇐⇒ x − y es múltiplo dep,

se tiene que, para todox ∈Z

S(x) = {y ∈Z | x e y dan el mismo resto al dividirlos entrep},


por lo queZ/S = {S(0),S(1), ...,S(p −1)}.

b) Consideremos la relación de equivalencia, enP (U ), definida por:

∀B ,C ∈P (U ), BRC si A∩B = A∩C ,

siendoA un conjunto fijo. En este caso

P (U )/R= {R(D) | D ∈P (A)}.

4.3. Aplicaciones

Aplicación

Una aplicación f de A en B es una correspondencia donde todo ele-mento deA tiene asociado un único elemento deB . Esto es, en notaciónmatemática, una correspondenciaG es una aplicación si y sólo si severifica que

∀a ∈ A ∃!b ∈ B tal que(a,b) ∈G .

Nota4.3.1. Es habitual denotar una aplicación entreA y B de la formaf : A −→ B . Enestas condiciones, dadoa ∈ A el únicob ∈ B verificando(a,b) ∈ f se denotaf (a) y sedenomina imagen dea (por f ).

De esta notación surge la terminología, comúnmente usada, de llamar aA conjuntooriginal (o dominio) y aB conjunto imagen.

Ejemplo 4.3.2. 1) Seaf : R→R la correspondencia dada por

(a,b) ∈ f si b2 = a.

La correspondenciaf no es aplicación, pues no todos los elementos deR poseen unaimagen (sia < 0, no existeb ∈R conb2 = a.)2) Consideremos la correspondencia anterior donde la primera componente la suponemosenR+ (los números reales positivos), es decirf ⊂R+×R. En este caso, todos los elemen-tos deR+ tienen una imagen, perof no es aplicación, pues la imagen no es única. Porejemplo,(4,2) ∈ f y (4,−2) ∈ f .

3) Si consideramosf : R+ →R+, definida por

f (a) = b si b2 = a,

si es aplicación.4) La correspondencia

f : Z− {1} →Q, f (n) =n

n −1

es aplicación.5) SeaA un conjunto fijo. Definimos

f , g : P (U ) →P (U ) f (B) = A∩B , g (B) = A∪B.


Ambas son aplicaciones.6) SeaX un conjunto cualquiera. Siempre se tiene la aplicación

f : X → X , definida por f (x) = x, ∀x ∈ X ,

que llamaremos aplicaciónidentidad y notaremos por1X .

7) SeanX ,Y conjuntos cualesquiera,y0 ∈ Y un elemento fijo. Siempre se tiene la apli-cación

g : X → Y definida por g (x) = y0, ∀x ∈ X ,

que llamaremos aplicación constante.

Imagen y anti-imagen

Dada una aplicaciónf : X −→ Y y subconjuntosA ⊂ X y B ⊂ Y , defini-mos:

(a) La imagende A (o imagen directa deA), notadaf (A), como

f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A con f (x) = y} ⊂ Y ,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto imagen que sonimagen de un elemento deA. Si A = X se denotaf (X ) = im( f ) yse denominaimagen def .

(b) La anti–imagen (o contraimagen, o imagen recíproca o imageninversa) deB , notadaf −1(B), como

f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊂ X ,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto original cuyaima-gen está enB .

Nota4.3.3. En general, sif : X → Y es una aplicación,f (X ) 6= Y . Basta tomar la últimaaplicación del ejemplo anterior. Sí se verifica siempre quef −1(Y ) = X .

Ejemplo 4.3.4. 1) Consideremos la aplicación

f : Z→Z definida por f (n)= 2n,

y A = {−1,0,4,5}. Entoncesf (A) = {−2,0,8,10}, y la imagen def es im( f ) = {enteros pares}.

SeanB1 = {2,3,8,−4,−1}, B2 = {1,3}. Se tiene que

f −1(B1) = {1,4,−2}, f −1(B2) =;.

2) Sea la aplicaciónf : R→R definida por f (x) = x2,

A = [0,2]. Entoncesf (A) = [0,4], pues∀x ∈ [0,4], existep

x ∈ [0,2] tal quef (p

x) = x. Eneste caso, la imagen def es im( f ) = [0,+∞), los números reales no negativos.


Proposición 4.3.5.Seaf : X −→ Y una aplicación,A1, A2 ⊂ X y B1,B2 ⊂ Y . Se verifica:

(a) f (A1 ∪ A2) = f (A1)∪ f (A2), f (A1 ∩ A2) ⊂ f (A1)∩ f (A2).

(b) f −1(B1 ∪B2) = f −1(B1)∪ f −1(B2), f −1(B1 ∩B2) = f −1(B1)∩ f −1(B2).

(c) f ( f −1(B1)) ⊂ B1, A1 ⊂ f −1( f (A1)).

PRUEBA: Vamos a probar, por ejemplo, la segunda afirmación de (a) y laprimera de(b) y (c). Las demás son similares.

(a) Consideremosy ∈ f (A1 ∩ A2). Entonces existex ∈ A1 ∩ A2 tal quey = f (x). Portanto,y ∈ f (A1) e y ∈ f (A2), por lo que se tiene el resultado.

Es importante entender que, para afirmar que la otra inclusión no es cierta, basta condar un contraejemplo; esto es, un caso particular donde no sea cierto el enunciado. Paraello consideremosf : N−→N definida por

f (x) ={

x/2+1 si x es parx +2 si x es impar

TomamosA1 = {1,3,5}, A2 = {2,4,6}. Claramentef (A1∩A2) = f (;) =;, perof (A1)∩f (A2) = {3}.

(b) Seax un elemento def −1(B1 ∪B2). Entonces

x ∈ f −1(B1 ∪B2) ⇔ f (x) ∈ B1 ∪B2 ⇔ f (x) ∈B1 ó f (x) ∈B2 ⇔

⇔ x ∈ f −1(B1) ó x ∈ f −1(B2) ⇔ x ∈ f −1(B1)∪ f −1(B2).

(c) Probemos ahora quef ( f −1(B1)) ⊂ B1. Si y ∈ f ( f −1(B1)), es porque existex ∈f −1(B1) tal quey = f (x). Pero, al serx ∈ f −1(B1), por definición tenemos quey = f (x) ∈B1.

Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general podemos tomar lamisma aplicación que en el caso anterior y considerarB1 = {1,3,5} nuevamente. Entoncesf −1(B1) = {1,3,4,8} (por convenio, no incluimos el0 enN). Perof ( f −1(B1)) = {3,5}, porlo que hemos acabado.

Veamos queA1 ⊂ f −1( f (A1)). PongamosC = f (A1). Seax ∈ A1, luego f (x) ∈C . Estoquiere decir, por la definición de contraimagen, quex ∈ f −1(C )= f −1( f (A1)).

Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general consideramos laaplicación constantef : X → Y dada porf (x) = y0, para un elementoy0 ∈ Y fijado. SeaA

cualquier subconjunto propio deX . Entonces

f −1( f (A)) = f −1({y0}) = X 6⊂ A.

�


Sea una aplicaciónf : X −→ Y .

(a) f se diceinyectiva si dos elementos distintos deX siempre tienenimágenes distintas. Dicho de otro modo,f es inyectiva si, def (x) = f (x′), parax, x′ ∈ X , se deduce quex = x′.

(b) f se dicesobreyectiva (o sobre)si todo elemento deY es imagende algún elemento deX . O sea,f es sobre sif (X ) = im( f ) = Y .

(c) f se dicebiyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo 4.3.6. 1) Seaf : R→ R la aplicación definida porf (x) = x2. Esta aplicación noes inyectiva, puesf (x) = f (−x). Tampoco es sobreyectiva, pues im( f ) = [0,+∞) 6=R.

2) Seaf : Z→Z la aplicación definida porf (n) = 2n. Esta aplicación es inyectiva ya que,si f (n) = f (m), entonces2n = 2m, y de aquí se tiene quen = m. La aplicación no essobreyectiva pues im( f ) = {números pares} 6=Z.

3) SeaA 6= ; un conjunto fijo. Seaf : P (U ) → P (A) la aplicación definida porf (B) =A∩B. Esta aplicación no es inyectiva, pues sif (B) = f (C ), tenemos queA∩B = A∩C , yde aquí no se deduce queB = C . Basta tomar dos conjuntos distintosB ,C ⊂ A. Entoncesse verifica queA∩B =;= A∩C y B 6=C .

Veamos que esta aplicación es sobreyectiva. SeaD ∈ P (A) y pongamosB = A ∪D.

Entoncesf (B) = A∩B = A∩ (A ∪D) = (A∩ A)∪ (A∩D) =;∪D = D.

4) La aplicación identidad es biyectiva.5) Seaf : Z→ Z la aplicación definida porf (n) = n +3. Veamos que esta aplicación esbiyectiva.

Inyectiva: sif (n) = f (m) ⇒ n +3 = m +3⇒ n = m.

Sobreyectiva: sim ∈Z, tomandon = m −3 se tiene quef (n) = m.

Nota4.3.7. Así, podemos decir que:

(a) f es inyectiva si y sólo si para todoy ∈ Y f −1({y}) consta, a lo más, de un elemento.

(b) f es sobre si y sólo si para todoy ∈ Y f −1({y}) consta, a lo menos, de un elemento.

(c) f es biyectiva si y sólo si para todoy ∈ Y f −1({y}) consta, exactamente, de unelemento.

Aplicación inversa

Seaf : X −→ Y una aplicación biyectiva. Laaplicación inversade f ,notadaf −1 : Y −→ X , está definida porf −1(y) = x siendox el únicoelemento deX que verificaf (x) = y.


Ejemplo 4.3.8. 1) La aplicación inversa de la identidad es la identidad.2) Sea la aplicación

f : Z→Z definida por f (n) = n +3.

Su inversa es la aplicación

f −1 : Z→Z definida por f −1(m)= m −3.

3) Si la aplicación no es biyectiva no se puede definir la inversa. Consideremos

f : N→Z dada por f (n) = 2−n.

Si existiese la inversaf −1 : Z→N, se tendría que, por ejemplo,f −1(5) ∈N. Pero decir quef −1(5) = n ∈N es decir quef (n) = 2−n = 5, luegon =−3 ∈N.

Composición de aplicaciones

Dadas dos aplicacionesf : X −→ Y y g : Y −→ Z se define lacomposi-ción de f y g , notadag ◦ f , deX en Z como

(g ◦ f )(x) = g ( f (x)), para todox ∈ X .

Obviamenteg ◦ f es una aplicación.

Ejemplo 4.3.9. 1) Sean las aplicacionesf : Z→Q, g : Q→R definidas por

f (n) =n

2, g (x) =

√x2 +3.

La composición def y g es

g ◦ f : Z→R dada por (g ◦ f )(n) =√(n

2

)2+3,

pues

(g ◦ f )(n) = g ( f (n)) = g(n

2

)=

√(n

2

)2

+3.

2) SeaA un conjunto fijo y consideremos las aplicaciones

f , g : P (U ) →P (U ) definidas por f (B) = A∩B , g (B) = A∪B.

En este caso podemos calcular la composición def y g y la composición deg y f .Calculamosg ◦ f :

(g ◦ f )(B) = g ( f (B)) = g (A∩B) = A ∪ (A∩B) = (A∪ A)∩ (A ∪B) =U ∩ (A∪B) = A ∪B ,

luego la composición def y g es la aplicación

g ◦ f : P (U ) →P (U ), (g ◦ f )(B) = A∪B , ∀B ∈P (U ).

Por otro lado,f ◦ g :

( f ◦ g )(B) = f (g (B)) = f (A ∪B) = A∩ (A ∪B) = (A∩ A)∪ (A∩B) =;∪ (A∩B) = A∩B ,

luego la composición deg y f es

f ◦ g : P (U ) →P (U ), ( f ◦ g )(B) = A∩B , ∀B ∈P (U ).

Nótese quef ◦ g 6= g ◦ f .


Nota4.3.10. Dadas aplicaciones entre conjuntos

X1f

−→ X2g

−→ X3h−→ X4,

es elemental comprobar que(h ◦ g ) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) (asociatividad de la composición deaplicaciones).

Proposición 4.3.11.Seaf : X → Y una aplicación. Se verifica quef es biyectiva si y sólosi existe una aplicacióng : Y → X verificando

g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y .

En este caso se tiene quef −1 = g .

PRUEBA: Si f es biyectiva basta tomarg = f −1.

Recíprocamente, supongamos la existencia deg . Veamos quef es biyectiva:Inyectiva: sif (a) = f (b), aplicandog tenemosg ( f (a)) = g ( f (b)), luegoa = b por ser

g ◦ f = 1X .

Sobreyectiva: seay ∈ Y y consideremosx = g (y) ∈ X . Aplicando f tenemos quef (x) = f (g (y)) = 1Y (y) = y, luego f es sobreyectiva. �

Restricción de una aplicación

Dada una aplicaciónf : X −→ Y y un subconjuntoA ⊂ X , se define larestricción def a A como la aplicación

f|A : A −→ Y

x 7−→ f|A(x) = f (x)

Esto es,f|A actúa exactamente comof , pero sólo sobre los elementos deA. Estopone de manifiesto (o debería) lo importante que es, a la hora de definir una aplicación,determinar los conjuntos de original e imagen y no sólo cómo se calcula la imagen de unelemento.

Ejemplo 4.3.12.SeaA un conjunto fijo y consideremos la aplicaciónf : P (U ) → P (U )

definidas porf (B) = A∩B. La restricción def aP (A), f : P (A) →P (U ) es

f|P (A)(B) = f (B) = A∩B = B , ya que B ⊂ A.

Ejemplo 4.3.13.Terminamos el capítulo viendo un ejemplo que pone de manifiesto la im-portancia de, a la hora de definir una función, definir correctamente los conjuntos originale imagen de la aplicación. Consideremosf : A →B dada porf (x) = x2. Entonces:

Si A = B =R, la función anterior no es ni inyectiva ni sobreyectiva.

Si A =R y B =R+, f es sobreyectiva y no inyectiva.

Si A = [0,1] y B =R, f es inyectiva y no sobreyectiva.

Si A = B = [0,1], f es biyectiva.


Capítulo 5

Grupos

5.1. Grupos: Definiciones y ejemplos.

Operación interna y binaria

Unaoperación interna y binaria en un conjuntoA es una aplicaciónα : A× A → A.

Nota 5.1.1. En un lenguaje más coloquial, una operación interna y binaria enA es unaregla que asocia a cada par ordenado(a,b) de elementos deA otro elemento deA,α(a,b).

Normalmente, siα : A× A → A es una operación interna y binaria enA, es costumbreelegir algún símbolo (por ejemplo⋆) para notar

a⋆b :=α(a,b).

Nota 5.1.2. Para estudiar un conjuntoA con “pocos” elementos dotado de una opera-ción interna y binaria⋆, podemos trabajar con latabla de la operación. Esta tabla es uncuadro de doble entrada en el que se colocan los elementos deA en la línea horizontalde arriba y vertical de la izquierda. En cada casilla libre correspondiente al par ordenado(a,b) ∈ A × A se coloca el elementoa ⋆b. Por ejemplo, siA = {a,b} y la operación vienedeterminada pora⋆a = a, a⋆b = b, b ⋆a = b y b ⋆b = a, la tabla será:

⋆ a b

a a b

b b a

Ejemplo 5.1.3. Algunas operaciones binarias internas bien conocidas.

1. Si a0 es un elemento fijo de un conjuntoA, la aplicación(a,b) ∈ A× A 7→ a0 es unaoperación interna y binaria constante.

2. La suma y el producto usuales son operaciones internas y binarias en los conjuntosde númerosN, Z, Q, R, C y Z/Zn, así como en los polinomios con coeficientes enestos conjuntos.

3. La suma es una operación interna y binaria en el conjunto delos vectoresRn o delas matricesm ×n de números.


4. Cualquier función de dos variables realesf : R×R→R define una operación internay binaria enR.

5. Dado un número naturaln ≥ 1, consideremos el conjuntoZn = {0,1, . . . ,n −1} y enél la operación interna y binaria cuya tabla es:

⋆ 0 1 2 · · · n −2 n −1

0 0 1 2 · · · n −2 n −1

1 1 2 3 · · · n −1 0

2 2 3 4 · · · 0 1...

......

......

......

n −2 n −2 n −1 0 · · · n −4 n −3

n −1 n −1 0 1 · · · n −3 n −2

6. Dado un conjuntoX , consideremos el conjuntoAX de las aplicaciones deX en símismo. La composición de aplicaciones es una operación interna y binaria enAX .

7. Dado un conjuntoX , la unión y la intersección con operaciones internas y binariasenP (X ).

Nota 5.1.4. En lo que sigue, “operación enA"significa “operación interna y binaria enA."

Definición 5.1.5.Dada una operación⋆ sobre un conjuntoA, diremos que:

1. Esconmutativasi a⋆b = b ⋆a para todoa,b ∈ A.

2. Esasociativasi a⋆ (b ⋆c) = (a⋆b)⋆c para todoa,b,c ∈ A.

Elemento neutro

Dada una operación⋆ sobre un conjuntoA, diremos que un elementoe ∈ A eselemento neutrosi e ⋆a = a⋆e = a para todoa ∈ A.

Proposición 5.1.6.Si una operación enA tiene elemento neutro, éste es único.

PRUEBA: Sea un conjuntoA con una operación binaria⋆. Seane ∈ A un elementoneutro a la izquierda ye ′ ∈ A un elemento neutro a la derecha. Por sere elemento neutroa la izquierda se tiene

e ⋆e ′= e ′,

por sere ′ elemento neutro a la derecha se tiene

e ⋆e ′ = e.

De dondee = e ′. �


Elemento simétrico

Dado un conjuntoA dotado de una operación⋆ con un elemento neutroe, y dado un elementox ∈ A, diremos quex′ essimétricodex si x′⋆x =x ⋆x′ = e.

Proposición 5.1.7.En las condiciones de la definición anterior, se tiene lo siguiente:

1. Si la operación⋆ es asociativa,x′ es simétrico dex e y ′ es simétrico dey, entoncesy ′⋆x′ es simétrico dex ⋆ y.

2. Si la operación⋆ es asociativa, entonces el simétrico de un elemento, si existe, esúnico.

PRUEBA: Para probar 2, supongamos quex′ y x′′ son simétricos dex, entonces,usando la asociatividad,

x′′ = (x′⋆x)⋆x′′ = x′⋆ (x ⋆x′′) = x′.

�

Grupo

Un grupo es un par(G ,⋆), dondeG es un conjunto y⋆ es una operacióninterna y binaria sobreG verificando las siguentes propiedades:

1. La operación es asociativa.

2. La operación tiene elemento neutro.

3. Cada elemento deG posee un simétrico.

Si además la operación es conmutativa entonces se dice que elgrupo esabelianoo conmutativo.

Ejemplo 5.1.8. Algunos grupos bien conocidos

1. Z, Q, R, C y Z/Zn son grupos abelianos con la adición.

2. Q∗ =Q\ {0}, R∗ =R\ {0} y C∗ =C\ {0} son grupos abelianos con la multiplicación.

3. Si p es primo(Z/Zp)∗ es grupo abeliano con la multiplicación.

4. El conjuntoS A de las biyecciones deA en A es un grupo con la composición. SiA tiene más de 2 elementos,S A no es abeliano. SiA = {1, . . . ,n}, se nota indistinta-menteSn o S A.

5. El conjunto de las funciones (continuas, diferenciables,...) definidas en un abiertodeR con valores reales, con la suma“punto a punto”, es un grupo abeliano.


6. El conjunto de las matricesn×n, con elementos en un cuerpok y determinante nonulo, GL(n,k), es un grupo (no abeliano sin ≥ 2) con la multiplicación de matrices.

Nota5.1.9. Cuando usemos la notación aditiva o la multiplicativa, el elemento neutro yel simétrico dex serán notados de la siguiente forma:

elemento neutro elemento simétrico dex+ 0 −x (opuesto dex)· 1 x−1 (inverso dex)

Orden de un grupo

Sea(G ,⋆) un grupo. Definimos suorden, que notaremos por|G |, comoel cardinal del conjuntoG .

5.2. Subgrupos

Subgrupo

Sea(G ,⋆) un grupo. Un subconjunto no vacíoH deG se dice que es unsubgrupo de(G ,⋆) si (H ,⋆) es un grupo. Es decir, que efectivamente unsubgrupo es un grupo dentro de otro grupo con la misma operación.

Proposición 5.2.1.Sean(G ,⋆) un grupo yH ⊂ G un subconjunto no vacío. Las condi-ciones siguientes son equivalentes:

1. H es un subgrupo de(G ,⋆).

2. ∀x, y ∈ H , x ⋆ y ′ ∈ H .

PRUEBA: Veamos primero1 ⇒ 2. Supongamos queH es un subgrupo y seanx, y ∈ H .ComoH es subgrupo contiene los simétricos de todos sus elementos,en particulary ′ ∈ H .De nuevo comoH es subgrupo,⋆ es una operación interna, de dondex · y ′ ∈ H , comoqueríamos.

Probemos ahora2 ⇒ 1: ComoH ⊂G, los elementos deH verifican la propiedad aso-ciativa. ComoH es no vacío, seax ∈ H . Aplicando 2) obtenemos

x ⋆x′ = e ∈ H .

Si x ∈ H , aplicando de nuevo 2) parae y x, tenemos

e ⋆x′ = x′ ∈ H ,

luegoH contiene los simétricos de todos sus elementos. Seanx, y ∈ H , aplicando2) estavez parax, y ′ se tiene

x ⋆ (y ′)′ = x ⋆ y ∈ H . (5.2.1)

LuegoH es subgrupo de(G ,⋆). �


Nota 5.2.2. De ahora en adelante si escribimos el“grupo G” en lugar de el“grupo(G ,⋆)” , sobreentendemos que la operación binaria la notamos con elsímbolo⋆.

Ejemplo 5.2.3. 1. Para todo grupoG, {e} y G son subgrupos deG y se denominansubgrupos trivialesdeG.

2. Subgrupos de(Z,+): Dadon ∈Z, n ≥ 0, seaZn = {k ·n | k ∈Z}. Se tiene:

a) Zn es un subgrupo deZ.

b) Todo subgrupo deZ es de la formaZn para algúnn ≥ 0.

3. Raícesn–ésimas de la unidad dentro deC∗.

4. SiC ⊂ A, el conjunto{ f ∈ S A | f (a) = a, ∀a ∈C } es un subgrupo deS A.

Proposición 5.2.4.SeanG un grupo,{Hi | i ∈ I } una familia de subgrupos deG. Entonces∩i∈I Hi es un subgrupo deG.

PRUEBA: La intersección de subgrupos es no vacía porque el elementoneutro está entodos los subgrupos. Además,

x, y ∈⋂

i∈I

Hi ⇒ x, y ∈ Hi ∀i ∈ I ⇒ x ⋆ y ′ ∈ Hi ∀i ∈ I ⇒ x ⋆ y ′ ∈⋂

i∈I

Hi .

�

Subgrupo generado

Dado un subconjuntoA de un grupoG, llamamossubgrupo generadopor A al subgrupo deG:

⟨A⟩ =⋂

{H | H subgrupo deG y A ⊂ H}.

Proposición 5.2.5.SeanG un grupo yA ⊂ G un subconjunto, entonces⟨A⟩ es el menorsubgrupo deG que contiene aA.

PRUEBA: Es inmediato de la definición de⟨A⟩: Si H es un subgrupo que contiene aA, es evidente que⟨A⟩ ⊂ H . �

Definición 5.2.6. Se dice queA ⊂ G es unsistema de generadoresde un grupoG siG = ⟨A⟩.

Un caso particular, e importante, de sistema de generadoresde un grupo es cuandoA = {a} posee un sólo elemento. Éstos se estudian en la siguiente sección.

Proposición 5.2.7.prop SeanG un grupo yA ⊂G un subconjunto. SeaA′ = {x′ | x ∈ A}.Entonces

⟨A⟩ = {x1 ⋆x2 ⋆ · · ·⋆xn | xi ∈ A∪ A′,n ≥ 1}.


PRUEBA: Es evidente que

⟨A⟩ ⊃ {x1 ⋆x2 ⋆ · · ·⋆xn | xi ∈ A∪ A′,n ≥ 1}.

Para la otra inclusión usaremos que⟨A⟩ es el menor subgrupo que contiene aA. Secomprueba fácilmente queA ⊂ {x1⋆x2⋆· · ·⋆xn | xi ∈ A∪A′,n ≥ 1} y que{x1⋆x2⋆· · ·⋆xn |xi ∈ A∪ A′,n ≥ 1} es un subgrupo. De donde

⟨A⟩ ⊂ {x1 ⋆x2 ⋆ · · ·⋆xn | xi ∈ A∪ A′,n ≥ 1}.

�

5.3. Orden de un elemento de un grupo

Definición 5.3.1.Sea(G ,⋆) un grupo. Definimos

am =

e si m = 0

(m veces)a⋆ · · ·⋆ a si m > 0

(m veces)

a′⋆ · · ·⋆ a′ si m < 0

Si G es un grupo cuya operación se notamultiplicativamente, entonces

am =

1 si m = 0

(m veces)a · · · · · a si m > 0

(m veces)

a−1 · · · · · a−1 si m < 0

Si la notación esaditiva, entonces

ma =

0 si m = 0

(m veces)a+·· ·+ a si m > 0

(m veces)

(−a)+·· ·+ (−a) si m < 0

Definición 5.3.2.SeanG un grupo ya ∈G. Diremos que

1. a tieneorden infinito si todas las potencias dea son distintas entre sí.

2. a tieneorden finito si existen0 ≤ m < n tales quean = am .

Ejemplo 5.3.3.Obviamente todo elemento de un grupo finito ha de tener orden finito. Engrupos infinitos podemos tener tanto órdenes finitos como infinitos.

1. Seaa ∈Z, a 6= 0. Entoncesa tiene orden infinito.


2. El elemento

A =(

i 0

0 i

)∈GL(2,C)

tiene orden finito. Notemos que el grupo es, en este caso, infinito.

Nota5.3.4. Seaa ∈G . El subgrupo generado por{a} es

⟨a⟩ = ⟨{a}⟩ = {am |m ∈ Z }.

Proposición 5.3.5.SeanG un grupo ya ∈G. Consideremos el subgrupo⟨a⟩.

1. Sia es de orden infinito, entonces

a) an = e ⇔ n = 0.

b) La aplicaciónϕ : Z→⟨a⟩ dada porϕ(n) = an es biyectiva.

c) ⟨a⟩ es un grupo infinito.

2. Sia es de orden finito, entones

a) Existen > 0 tal quean = e.

b) Seam el menor entero estrictamente positivo tal queam = 1. Entonces losai ,0 ≥ i ≥ m −1 son distintos entre sí y

⟨a⟩ = {1, a, a2, . . . , am−1}.

PRUEBA: Casi todas las afirmaciones son directas.

1. Si a es de orden infinito, las propiedades a), b) y c) se prueban fácilmente.

2. Supongamos quea tiene orden finito.

a) Si a tiene orden finito existen dos enteros0 ≤ k < l tales queak = al . Sean = l −k, entonces

an = al−k = al ⋆a−k = al ⋆a′k al=ak

= ak ⋆a′k = e. (5.3.1)

b) Seam > 0 el menor tal queam = 1. Sean0 ≤ i ≤ j ≤ m −1 dos enteros talesqueai = a j , es decir, tales quea j−i = 1. Como j − i < m, debe serj − i = 0,es decir,i = j . Luego todos losai , 0≤ i ≤ m −1 son distintos.Es evidente que⟨a⟩ ⊃ {1, a, a2, . . . , am−1}. Seaan un elemento cualquiera de⟨a⟩, escribamosn = q ·m+r , 0 ≤ r ≤ m−1, la división euclídea den entrem,entonces

an = aq·m+r = aq·m ⋆ar = (am)q ⋆ar = ar . (5.3.2)

Luego⟨a⟩ ⊂ {1, a, a2, . . . , am−1}.

�

Orden de un elemento

SeanG un grupo ya ∈ G de orden finito. Elorden de a, notado poro(a), es el menor entero estrictamente positivo,m, tal queam = e.


Proposición 5.3.6.SeanG un grupo ya ∈G. Se tienen las siguientes propiedades:

1. o(a) = 1⇐⇒ a = e.

2. Sia ∈G tiene orden finito, entonceso(a) = o(a′).

3. Sia ∈G tiene orden infinito,a′ tiene orden infinito.

4. SiG es finito, todo elemento deG tiene orden finito.

5. Sio(a) = m y an = e, entoncesm |n.

PRUEBA: Los primeros cuatro apartados se obtienen inmediatamentede las defini-ciones. Para el apartado 5) basta realizar la división euclídea den entrem, obteniendon = q ·m + r , con0≤ r ≤ m −1, de donde

e = an = aq·m+r = aq·m ⋆ar = (am)q ⋆ar = ar .

Comom es el menor estrictamente positivo tal queam = e, debe serr = 0 y, por tanto,m | n. �

El siguiente resultado nos da el orden de todas las potenciasde un elemento de ordenfinito.

Proposición 5.3.7.Seaa ∈G un elemento de orden finiton. Entonces,∀m,0≤ m < n, severifica que

o(am ) =n

mcd(n,m).

PRUEBA: Sead =mcd(m,n), m = m′d , n = n′d .

En primer lugar tenemos que(am)n′ = amn′ = (an)m′ = e. Supongamos que(am)t =amt = e. Por definición de orden esn |mt , es decirmt = nk. Dividiendo pord ,

m′t = n′k =⇒ n′ | m′t .

Comom′ y n′ son primos entre sí, esn′ | t . �

5.4. Grupos cíclicos

Grupo cíclico

Se dice que un grupoG escíclicosi existea ∈G tal que

G = ⟨a⟩ = ⟨{a}⟩ = {am |m ∈ Z }.

La notación habitual para este tipo de grupos, cuando la operación es el producto, esCn (cuandoG tienen elementos) oC∞ (cuando tiene infinitos elementos).


Lema 5.4.1.SiG es un grupo cíclico entoncesG es abeliano.

Proposición 5.4.2.Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

PRUEBA: SeaH ⊂ G = ⟨a⟩ un subgrupo. Seas = min {k > 0 | ak ∈ H}. Veamos queH = ⟨as⟩ por doble inclusión.

Comoas ∈ H , entonces⟨as⟩ ⊂ H . En otro sentido, seah ∈ H . Comoh ∈ G, h = am ,para algún entero positivom. (En caso contrario razonaríamos conh′.)

Por el algoritmo de la división tenemosm = qs + r , con 0 ≤ r < s. Entoncesam =(as )q ⋆ar , de dondear ∈ H . Comos es el menor entero no nulo con esa propiedad ha deserr = 0, y am = (as )q ∈ ⟨as⟩. �

Observar que siH = ⟨as⟩ es un subgrupo deG, entoncess divide am.

Gracias a este resultado podemos estudiar con detalle todoslos subgrupos de un grupocíclico.

Proposición 5.4.3.SeaG = ⟨a⟩ un grupo cíclico finito de ordenm. Para todo divisorndem existe un único subgrupo deG de ordenn.

PRUEBA: Sead = m/n y consideremos el subgrupoH = ⟨ad ⟩. Sabemos que

|H | = o(ad ) =m

mcd(n,m)=

m

n= d .

SeaK = ⟨ar ⟩ otro subgrupo deG de ordend . Se tiene que

d = o(ar ) =m

mcd(r,m)=

m

r,

luegod = r. �

5.5. Teorema de Lagrange

Definición 5.5.1.SeanG un grupo yH ⊂G un subgrupo. SobreG definimos las relaciones∼H y H ∼ de la manera siguiente: Dadosx, y ∈G,

x ∼H y ⇔ x′⋆ y ∈ H x H ∼ y ⇔ y ⋆x′ ∈ H .

Proposición 5.5.2.En las condiciones de la definición anterior, las relaciones∼H y H ∼son relaciones de equivalencia.

PRUEBA: Se comprueba que ambas relaciones verifican las propiedades:

1. Reflexiva:∀x ∈G , x ∼ x.

2. Simétrica:∀x, y ∈G , x ∼ y ⇒ y ∼ x.

3. Transitiva:∀x, y, z ∈G , x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z.

�


Proposición 5.5.3.SeanG un grupo ya ∈G. Consideremos los conjuntos

a⋆H = {a⋆h | h ∈ H}, H ⋆a = {h ⋆a |h ∈ H}.

Se tiene:

1. a⋆H es la clase de equivalencia dea para la relación∼H .

2. H ⋆a es la clase de equivalencia dea para la relaciónH ∼.

PRUEBA: Basta probar el primer apartado, pues el segundo es análogo. Seaa ∈ G yllamemosa a su clase de equivalencia por∼H , es decir,

a = {b ∈G | a ∼H b} = {b ∈G | a′⋆b ∈ H}.

Probaremos por doble inclusión quea = a ·H . Si b ∈ a, entoncesa′⋆b ∈ H , es decir,existeh ∈ H tal quea′⋆b = h, de donde

b = a⋆h ∈ a⋆H .

Si b ∈ a⋆H , existeh ∈ H tal queb = a⋆h, de donde

a′⋆b = h ∈ H ⇒ a ∼H b.

�

Proposición 5.5.4.SiG es un grupo abeliano, entonces∼H y H ∼ coinciden.

SeanG un grupo yH un subgrupo, notaremos

G : H =G

∼H, H : G =

G

H ∼.

Nota5.5.5. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia son una particióndel conjunto total, es decir, dadas dos clases de equivalencia, o son disjuntas, o coinciden.En consecuencia, si tomamosx, y ∈ G, tenemos que, o bienx ⋆ H = y ⋆ H , o bienx ⋆

H ∩ y ⋆H =;. Análogamente se tiene que, dadosx, y ∈G, o bienH ⋆ x = H ⋆ y, o bienH ⋆x ∩H ⋆ y =;.

Ejemplo 5.5.6. Algunas relaciones de equivalencia de este tipo.

1. Sean ∈Z, n > 0. Se tiene

Z : Zn =Zn : Z= {0+Zn, . . . , (n −1)+Zn},

donde las clases anteriores son distintas entre sí.

2. Consideremos el subgrupoH ⊂GL(2,C) dado por

H ={(

λ 0

0 λ

): λ= 1,−1, i ,−i

}.

Para todoA ∈GL(2,C), A · H = H · A. Por tanto∼H=H∼, aún sin ser GL(2,C) ungrupo abeliano.


3. SeaH ⊂GL(2,C) el subgrupo

H ={(

1 0

0 1

),

(0 i

i 0

),

(−1 0

0 −1

),

(0 −i

−i 0

)}.

Sea la matriz

A =(

3 2

5 4

),

se tiene que:

A ·H ={(

3 2

5 4

),

(2i 3i

4i 5i

),

(−3 −2

−5 −4

),

(−2i −3i

−4i −5i

)}

H · A ={(

3 2

5 4

),

(5i 4i

3i 2i

),

(−3 −2

−5 −4

),

(−5i −4i

−2i −2i

)}.

ComoA ·H 6= H · A, es∼H 6=H∼.

Teorema de Lagrange

SeaG un grupo finito,H ⊂G un subgrupo. Entonces|H | divide a|G |.

PRUEBA: Consideremos la relación∼H sobreG. ComoG es finito, habrá sólo unnúmero finito de clases de equivalencia distintas. Sean éstas a1 ⋆H , . . . , ar ⋆H . ComoG

es unión disjuntas de estas clases, será

|G | = #(a1 ⋆H)+·· ·+#(ar ⋆H).

SeaH = {h1, . . . ,hn}, entoncesai ⋆ H = {ai ⋆ h1, . . . , ai ⋆ hn}, 1 ≤ i ≤ r . Veamos que#(ai ⋆ H) = |H |, 1 ≤ i ≤ r. En efecto, siai ⋆h j = ai ⋆hl se deduce que, multiplicandoa izquierda por el simétrico deai , h j = hl . Por tanto los elementos de la claseai ·H sontodos distintos. Luego|G | = r · |H |. �

Corolario 5.5.7. SeanG un grupo de orden finito yH ⊂ G un subgrupo. El número declases de equivalencia para∼H coincide con el número de clases de equivalencia paraH ∼ y es igual a|G |/|H |.

PRUEBA: La demostración del teorema de Lagrange podía haberse hecho con larelaciónH ∼. �

Definición 5.5.8.SeanG un grupo yH ⊂G un subgrupo. Se llamaíndice de H enG alnúmero de clases de equivalencia para la relación∼H (o H ∼), es decir, al número

i (G : H) =|G ||H |

.

Corolario 5.5.9. SeanG un grupo finito yH ,K ⊂ G subgrupos. Se tienen las siguientespropiedades:

1. Para cadaa ∈G se tiene queo(a) divide a|G |.


2. Si el orden deG es primo, entoncesG es cíclico y no tiene más subgrupos que lostriviales.

3. Si|H | y |K | son primos entre sí, entoncesH ∩K = {e}.

PRUEBA: Todos son consecuencias casi inmediatas del Teorema de Lagrange.

1. Seaa ∈G y consideremos el subgrupo⟨a⟩ ⊂G. Sabemos queo(a) = |⟨a⟩|. Por otrolado, el teorema de Lagrange dice que|⟨a⟩| divide a|G |.

2. Seaa ∈ G, a 6= 1. El subgrupo⟨a⟩ ⊂ G no es trivial y su orden divide al númeroprimo |G |, luego debe sero(a) = |G |. De dondeG = ⟨a⟩. Si no existea ∈G, a 6= 1,entoncesG = {1} es cíclico.

3. H ∩K es un subgrupo deH y de K , luego|H ∩K | debe dividir a|H | y a |K |, queson primos entre sí. De donde|H ∩K | = 1 y H ∩K = {e}.

�

5.6. Subgrupos normales. Grupo cociente y grupo pro-ducto

SiG es un grupo yH es un subgrupo, hemos visto en el tema anterior que los conjuntoscocientesG : H y H : G son generalmente distintos y no siempre heredan la estructura degrupo deG. Nos interesa estudiar los subgrupos para los cuales esto noocurre.

Comenzamos con un lema técnico que usaremos a lo largo de estasección.

Lema 5.6.1.SeanH1 ⊆ H2 subconjuntos de un grupoG. Entonces∀g , g ∈G, se verificaqueg ⋆H1 ⋆ g ⊆ g ⋆H2 ⋆ g .

Proposición 5.6.2.SeaH un subgrupo de un grupoG. Las condiciones siguientes sonequivalentes:

1. Las relaciones∼H y H ∼ coinciden, es decir,x ⋆H = H ⋆x para todox ∈G.

2. Para todox ∈G, se tienex ⋆H ⋆x′ ⊂ H .

3. Para todox ∈G, se tienex ⋆H ⋆x′ = H .

PRUEBA: Seguiremos el esquema1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1.

1⇒ 2 Supongamos quex ⋆H = H ⋆ x para todox ∈G . Seax ⋆h ⋆ x′ ∈ x ⋆H ⋆ x′. Comox⋆h ∈ x⋆H = H⋆x, se tiene que∃h ∈ H tal quex⋆h = h⋆x. Entoncesx⋆h⋆x′ =h⋆x ⋆x′ = h ∈ H .

2⇒ 3 Supongamos que, para todox ∈G, x⋆H ⋆x′ ⊂ H . Por el lema tenemos quex′⋆x⋆

H ⋆x′⋆x ⊂ x′⋆H ⋆x, ∀x ∈G, y por tantox ⋆H ⋆x′ = H .

3⇒ 1 Supongamos por último que para todox ∈ G se tienex ⋆ H ⋆ x′ = H . Por el lematenemos quex ⋆H = x ⋆H ⋆x′⋆x = H ⋆x.


�

Subgrupo normal

Un subgrupoH de G se dicenormal en G si satisface alguna de lascondiciones anteriores, y lo notaremosH ⊳G.

Grupo cociente

SeaH es un subgrupo normal deG, el conjunto cocienteG : H = H : G,que notaremosG/H , es un grupo con la operación inducida por la deG.

PRUEBA: El producto de clases se define de la siguiente manera:

(x ⋆H)⋆ (y ⋆H) = (x ⋆ y)⋆H ,∀x, y ∈G .

Veamos que esta operación está bien definida, es decir, no depende del representanteelegido. En efecto, seanx⋆H = x⋆H , y⋆H = y⋆H , tenemos que probar que(x⋆y)⋆H =(x ⋆ y)⋆H , o, equivalentemente, quex′⋆ y ′⋆ x ⋆ y ∈ H . Comoy ′⋆ y ∈ H , es

x′⋆ y ′⋆ y ∈ x′⋆H = x′⋆H = H ⋆ x′.

Luego, multiplicando porx a la derecha se tiene que

x′⋆ y ′⋆ x ⋆ y ∈ H .

El neutro ese ⋆H = H , y el simétrico dex ⋆H esx′⋆H . AdemásG/H será abelianosi G lo es.

�

Ejemplo 5.6.3. Algunos grupos normales y no normales.

1. {1}⊳G.

2. Todos los subgrupos de un grupo abeliano.

3. El conjunto de todas las matrices diagonales regulares esun subgrupono normaldel grupo lineal GL(n,Q).

4. El conjunto de las matrices escalaresλI , conλ ∈ Q, es un subgrupo normal delgrupo lineal GL(n,Q).

A diferencia de la operación cociente, la operación de producto de grupos es muchomás natural y sencilla.


Producto de grupos

Sean(G1,⋆1), . . . , (Gn ,⋆n) grupos. En el conjuntoG1×·· ·×Gn definimosla siguiente operación binaria:

(a1, . . . , an)⋆ (b1, . . . ,bn) = (a1 ⋆1 b1, . . . , an ⋆n bn).

(G1 ×·· ·×Gn ,⋆) es un grupo.

PRUEBA: Se verifican las propiedades de manera casi directa:

1. La operación⋆ es asociativa por serlo cada una de las operaciones⋆i , i = 1, . . . ,n.

2. Si ei es el elemento neutro del grupo(Gi ,⋆i ), coni = 1, . . . ,n, entonces(e1, . . . ,en)

es el elemento neutro de(G1 ×·· ·×Gn ,⋆).

3. El simétrico de un elemento(a1, . . . , an) ∈ G1 × ·· ·×Gn es(a′1, . . . , a′

n), donde cadaa′

ies el simétrico deai en el grupo(Gi ,⋆i ), coni = 1, . . . ,n.

�

Proposición 5.6.4.En las condiciones anteriores,(G1 ×·· ·×Gn ,⋆) es abeliano si y sólosi cada(Gi ,⋆i ), coni = 1, . . . ,n, lo es.

PRUEBA: Es inmediato. �

Proposición 5.6.5.Dados dos grupos cíclicosCn y Cm, se tiene queCn ×Cm es cíclicosi y sólo si mcd(n,m)=1

PRUEBA: Supongamos, en primer lugar,Cn = ⟨a⟩ y Cm = ⟨b⟩ siendon y m pri-mos entre sí y notaremos1 el elemento neutro en ambos grupos. Consideramos entonces(a,b) ∈Cn ×Cm . Entonces tenemos que

(a,b)r = (1,1) =⇒ ar = 1, br = 1 =⇒ n|r, m|r

y, por ser entones mcd(n,m) = 1, ha de sernm|r . Como(a,b)nm = 1 concluimos queCn ×Cm = ⟨(a,b)⟩.

En el otro sentido, supondremos que mcd(n,m) = d > 1. Entonces es sencillo com-probar que, para cualesquierar, s ∈N,

(ar ,bs

)nm/d =(an(r m/d),bm(sn/d

)= (1,1),

luego ningún elemento tiene ordennm y el grupo producto no es cíclico. �


5.7. Homomorfismos de grupos

Cuando definimos aplicaciones entre grupos, nos interesan especialmente aquéllas queconservan las operaciones. Éstas son los homomorfismos de grupos.

Sean(G ,⋆) y (S,•) dos grupos, de elementos neutroseG y eS, donde notaremos porg ′

el inverso deg si g ∈G, y por s si s ∈ S.

Homomorfismo de grupos

Un homomorfismo de gruposdeG en S es una aplicaciónf : G → S

tal quef (x ⋆ y) = f (x)• f (y)

para cualesquierax, y ∈G.

Algunos tipos especiales de homomorfismos son:

1. CuandoG = S, f se dice un endomorfismo.

2. Llamamosmonomorfismosa los homomorfismos inyectivos yepimorfismosa loshomomorfismos sobreyectivos de grupos.

3. Cuandof : G −→ S es biyectivo, se dice un isomorfismo.

4. Cuandof es un endomorfismo biyectivo deG, se dice un automorfismo deG.

Proposición 5.7.1.Si f : G −→ S es un homomorfismo, se tiene quef (eG) = eS y quef (x′) = �f (x), ∀x ∈G.

PRUEBA: Para ver la primera propiedad, tomamosg ∈G cualquiera. Entonces

f (g ) = f (eG ⋆ g ) = f (eG )• f (g )=⇒ f (eG ) = eS .

La otra propiedad se deduce inmediatamente de ésta. �

Ejemplo 5.7.2. Algunos homomorfismo de grupos sencillos.

1. La aplicación constantef : G −→ S, f (x) = eS ∀x ∈G, es un homomorfismo.

2. SeaG un grupo yx ∈ G. La aplicaciónix : G → G, ix (y) = x ⋆ y ⋆ x′ es un homo-morfismo. Ademásix es biyectiva y(ix )−1 = ix′ .

3. Si H ⊂G es un subgrupo, la inclusión deH enG es un homomorfismo inyectivo.

4. Si H ⊳G, la proyección canónicaπ : G →G/H , π(x) = x ⋆H , es un homomorfismosobreyectivo de grupos.

El conjunto de los automorfismos de un grupoG, Aut(G), es un grupo con la com-posición de aplicaciones. La aplicacióni : G 7−→Aut(G) definida pori (x) = ix , para cadax ∈G, es también un homomorfismo de grupos.


Núcleo de un homomorfismo

Sea f : G −→ S un homomorfismo de grupos. Definimos elnúcleo def , que notaremos por ker( f ), al subconjunto deG dado por

ker( f ) = {g ∈G | f (g )= eS}.

Proposición 5.7.3.Seaf : G −→ S un homomorfismo de grupos:

1. Si H ⊂ G es un subgrupo,f (H) es un subgrupo deS. En particular, la imagenIm( f ) = { f (g ) | g ∈G} es un subgrupo deS.

2. SiT ⊂ S es un subgrupo (normal),f −1(T ) es un subgrupo (normal) deG. En par-ticular, el núcleo def ,

ker( f ) = f −1 ({eS}) ,

es un subgrupo normal deG.

3. f es un monomorfismo si y sólo si ker( f ) = {eG }.

PRUEBA: Fijamosf : G −→ S y las notaciones anteriores.

1. f (H) = {s ∈ S | ∃x ∈G tal quef (x) = s}. ComoeS = f (eG ) ∈ f (H), f (H) es no vacío.Seans, t ∈ f (H), seanx, y ∈ H tales quef (x) = s y f (y) = t . Entonces

s • t = f (x)•�f (y) = f (x)• f (y ′) = f (x ⋆ y ′) ∈ f (H)

pues, por serH subgrupo,x ⋆ y ′ ∈ H .

2. La prueba de quef −1(T ) = {x ∈G | f (x) ∈T }

es un subgrupo deG es análoga a la del apartado anterior. Veamos que siT ⊳ S

entoncesf −1(T )⊳G. Basta demostrar que

x ⋆ f −1(T )⋆x′ ⊂ f −1(T ) ∀x ∈G .

Seax ⋆ y ⋆x′ ∈ x ⋆ f −1(T )⋆x′, con f (y) ∈ T . Entonces

f (x ⋆ y ⋆x′) = f (x)• f (y)•�f (x) ∈ f (x)⋆T ⋆�f (x) ⊂ T

por serT ⊳S. De dondex ⋆ y ⋆x′ ∈ f −1(T ) y f −1(T )⊳G.

3. Supongamos en primer lugar quef es inyectiva, es decir, sif (x) = f (y) entoncesx = y. Seax ∈ ker( f ), entonces

f (x) = eS = f (eG) ,

de dondex = eG y ker( f ) = {eG }.

Supongamos ahora que ker( f ) = {eG } y seanx, y ∈ G tales quef (x) = f (y), en-tonces:

f (x) = f (y) =⇒ eS = f (x)•�f (y) = f (x ⋆ y ′) =⇒=⇒ x ⋆ y ′ ∈ ker( f ) = {eG } =⇒ x ⋆ y ′ = eG =⇒ x = y.

Luego f es inyectiva.

�


5.8. Teoremas de isomorfía

Nota5.8.1. Por conveniencia, notaremos a partir de ahora la composición de homomor-fismos por simple yuxtaposición. Es un ejercicio sencillo comprobar que, si

Gf

−→ Sg

−→ X

son homomorfismos de grupos,g f : G 7−→ X también lo es.

Lema 5.8.2.Seanf : G −→ S un homomorfismo de grupos yH ⊳G tal queH ⊂ ker( f ).Existe un único homomorfismof ′ : G/H −→G ′ tal que f = f ′π, dondeπ es la proyeccióncanónica que llevax enx ⋆H .

PRUEBA: Sea la aplicación

f ′ : G/H −→ S

x ⋆H 7−→ f ′(x ⋆H) = f (x)

Veamos que está bien definida, es decir, si tomamosy ∈ G tal que y ⋆ H = x ⋆ H ,entoncesf ′(y ⋆H) = f ′(x⋆H). Por definición,f ′(y ⋆H) = f (y) y f ′(x⋆H) = f (x), luegonos preguntamos si, en estas condiciones,f (y) = f (x). Sabemos, por serH ⊳G, que

y ⋆H = x ⋆H ⇔ x′⋆ y ∈ H ⊂ ker ( f ).

De dondeeS = f (x′⋆ y) = �f (x)• f (y) y, por tanto,f (y) = f (x).Comprobemos ahora quef ′ es homomorfismo:

f ′((x ⋆H)⋆ (y ⋆H)) = f ′((x ⋆ y)⋆H) = f (x ⋆ y) = f (x)• f (y) = f ′(x ⋆H)• f ′(y ⋆H).

Falta ver que es único. Seag : G/H 7−→ S tal quef = gπ. Entonces, para todox ∈G,

f ′(x ⋆H) = f (x) = gπ(x) = g (π(x)) = g (x ⋆H).

Luego f ′ = g . �

Primer teorema de isomorfía

Seaf : G −→ S un homomorfismo de grupos. Se induce de modo naturalun isomorfismo

f : G/ker( f ) −→ Im( f )

que factorizaf = i f π, siendoπ el epimorfismo deG sobreG/ker( f ) ei la inclusión de Im( f ) enS.

PRUEBA: Basta definirf como se definióf ′ en el lema anterior.

f : G/ker( f ) −→ Im( f )

x ⋆ker( f ) 7−→ f (x ⋆ker( f )) = f (x)


De igual manera que en el lema anterior, se comprueba quef está bien definida y quees un homomorfismo.

Seax ∈G tal quef (x ⋆ker( f )) = eS, es decir, seax ⋆ker( f ) ∈ ker( f ). Entonces

eS = f (x ⋆ker( f )) = f (x) =⇒ x ∈ ker( f ) =⇒ x ⋆ker( f ) = eG ⋆ker( f ).

Luego ker( f ) = eG ⋆ker( f ) y f es inyectiva.

Por otro lado, sis ∈ Im( f ), existex ∈G tal quef (x) = s, luegof (x⋆ker( f )) = s y f essobreyectiva. �

Segundo teorema de isomorfía

Seaf : G −→ S un homomorfismo sobreyectivo de grupos. SeaJ ⊳S ypongamosH = f −1(J ). Entoncesf induce un isomorfismo deG/H enS/J .

PRUEBA: Seaπ la proyección deS enS/J , que es un homorfismo sobreyectivo. Luegola composiciónπ f es un homomorfismo sobreyectivo deG enS/J .

Seax ∈G tal queπ f (x) = eS • J , es decir,x ∈ ker (π f ). Entonces

eS • J =π f (x) =π( f (x)) = f (x)• J ⇐⇒ f (x) ∈ J ⇐⇒ x ∈ H .

Luego ker(π f ) = H y, aplicando elprimer teorema de isomorfía, se tiene un isomorfis-mo deG/H enS/J . �

Corolario 5.8.3. Si H1 y H2 son subgrupos normales deG tales queH1 ⊂ H2, se tiene:

1. H2/H1 es un subgrupo normal deG/H1.

2. (G/H1)/(H2/H1) es isomorfo aG/H2.

PRUEBA: Veamos ambos enunciados por separado.

1. Primero hemos de ver queH1⊳H2. Seax ∈ H2 ⊂G, comoH1⊳G, se tienex⋆H1 =H1 ⋆x. de dondeH1 ⊳H2.

Luego podemos considerar el cocienteH2/H1, que es un subgrupo deG/H1. Con-sideremos entonces

(x ⋆H1)⋆(y ⋆H1

)⋆

(x′⋆H1

)∈ (x ⋆H1)⋆ (H2/H1)⋆

(x′⋆H1

),

conx ∈G e y ∈ H2 arbitarios. Por serH1 ⊳G, se tiene

(x ⋆H1)⋆(y ⋆H1

)⋆

(x′⋆H1

)=

(x ⋆ y ⋆x′)⋆H1.

ComoH2 ⊳G, se tienex ⋆H2 ⋆x′ ⊂ H2. Luego(x ⋆ y ⋆x′)⋆H1 ∈ H2/H1,

de dondeH2/H1 ⊳G/H1.


2. Basta considerar el epimorfismo proyecciónπ : G −→G/H1 para concluir que(G/H1)/(H2/H1)

y G/H2 son isomorfos.

�

Tercer teorema de isomorfía

SeanG un grupo yN y H subgrupos deG. Supongamos queN ⊳G.Entonces:

1. (N ∩H)⊳H y N ⊳ (N H).

2. La inclusión deH en N H induce un isomorfismo deH/(N ∩H)

en(N H)/N .

PRUEBA: Se deja como ejercicio probar(N ∩ H)⊳ H y N ⊳ (N H). La composiciónde la inclusión deH enN H con la proyección deN H sobre(N H)/N es un epimorfismocuyo núcleo coincide conN ∩ H , de donde el resultado es una consecuencia directa delprimer teorema de isomorfía. �

5.9. El grupo de las permutaciones

Permutaciones

Consideremos el conjuntoA = {1,2, ...,n} y sea

Sn = { f : A −→ A | f biyectiva}.

El conjuntoSn se denomina conjunto depermutacionesden elemen-tos.

Ejemplo 5.9.1. SeaA = {1,2,3,4,5}. La aplicaciónf : A → A definida por

f (1) = 4, f (2)= 3, f (3) = 2, f (4) = 1, f (5)= 5

es una permutación de cinco elementos.

Proposición 5.9.2.Sn tienen! elementos.

PRUEBA: Vamos a contar el número de elementos deSn. El 1 puede transformarseen cualquier elementoa1 de {1, . . . ,n}. Esto nos dan elecciones paraa1. Una vez hechaesta elección, para evitar duplicación, el transformado del 2, a2, lo debemos elegir entrelos n −1 números distintos dea1. Esto nos dan −1 elecciones paraa2. Una vez elegidoslos transformados del1 y del 2, tenemosn −2 elecciones paraa3, n −3 elecciones paraa4, . . . , 2 elecciones paraan−1 y una paraan . Así, |Sn | = n!.


1

2

3

A A

4

5

1

2

3

4

5

f

Figura 5.1: Permutación

�

De la caracterización estudiada para las aplicaciones biyectivas se sigue que la com-posición de dos aplicaciones biyectivas es de nuevo biyectiva. Por tanto enSn podemosdefinir una operación interna, que no es más que la composición de aplicaciones.

Proposición 5.9.3.(Sn ,◦) es un grupo.

PRUEBA: Sabemos que la composición de aplicaciones es asociativa.Elemento neutro: la aplicación

1A : A −→ A

i 7−→ i

verifica que, para todoσ ∈ Sn,

σ◦1A = 1A ◦σ=σ.

Elemento simétrico: dadaσ ∈ Sn , se tiene queσ−1 ∈ Sn también, y verifica

σ◦σ−1 =σ−1 ◦σ= 1A.

�

Nota5.9.4. A partir de ahora a la permutación identidad1A la notaremos por1.

De hecho, es un grupono abeliano. Casi cualquier ejemplo no trivial deS3 sirve paraver que, en general, siσ,τ ∈ Sn, se tiene queσ◦τ 6= τ◦σ.

Nota5.9.5. Adoptaremos las siguientes notaciones indistintamente

σ◦τ=σ ·τ=στ

σ◦ ...◦σ (r veces)=σr

Es posible entender cada aplicación deSn como una reordenación del conjunto{1, ...,n}.De aquí es usual denotar los elementos deSn como una tabla con dos filas: en la primeraaparecen los números del1 al n (para saber cuál es el conjunto original) y en la segundaaparece, bajo cada original, su imagen. Por ejemplo:

σ=[

1 2 3 4 5

4 3 2 1 5

]


es la aplicación de{1,2,3,4,5} en sí mismo que envía1 en4, 2 en3, 3 en2, 4 en1 y 5 ensí mismo.

En general, siσ ∈ Sn dondeσ(1)= a1, . . . ,σ(n) = an , se escribirá

σ=[

1 2 . . . n −1 n

a1 a2 . . . an−1 an

]

entendiéndose queσ hace corresponder a cada uno de los números que están en la primerafila el que está debajo.

Para la multiplicación de permutaciones se usará el mismo convenio (de derecha aizquierda) que para la composición de aplicaciones. Por ejemplo, enS3 si

σ=[

1 2 3

2 1 3

], y τ=

[1 2 3

2 3 1

],

entonces

τ◦σ=[

1 2 3

2 3 1

]·[

1 2 3

2 1 3

]=

[1 2 3

3 2 1

].

sA

1

2

3

A A

1

2

3

t

1

2

3

t±s

Figura 5.2: Producto de permutaciones

Ejemplo 5.9.6. Los elementos deS3 son los siguientes:

1 =[

1 2 3

1 2 3

],σ2 =

[1 2 3

1 3 2

],σ3 =

[1 2 3

2 1 3

]

σ4 =[

1 2 3

2 3 1

],σ5 =

[1 2 3

3 1 2

],σ6 =

[1 2 3

3 2 1

]

y su tabla de multiplicar es:

· 1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6

1 1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6

σ2 σ2 1 σ4 σ3 σ6 σ5

σ3 σ3 σ5 1 σ6 σ2 σ4

σ4 σ4 σ6 σ2 σ5 1 σ3

σ5 σ5 σ3 σ6 1 σ4 σ2

σ6 σ6 σ4 σ5 σ3 σ2 1

Vamos ahora a dar una cierta estructura al conjunto de las permutaciones. En primerlugar nos fijaremos en un tipo muy concreto (e interesante).


Ciclo

Un ciclo de longitudr en Sn es una permutaciónσ tal que existen{a1, ..., ar } ⊂ {1, ...,n}, todos ellos distintos, verificando:

σ(a j ) = a j+1 paraj = 1, ...,r −1, y σ(ar ) = a1.

σ(i ) = i para todoi ∉ {a1, ..., ar }.

Esto es, losr elementos no fijos deσ pueden recorrerse todos yendo deoriginal a imagen, empezando por uno cualquiera.

Los ciclos de longitud2 se denominan trasposiciones.

Nota5.9.7. Un ciclo como el anterior se denotará, abreviadamente

σ= (a1 ... ar ) ,

indicando con elloσ(a j ) = a j+1 paraj = 1, ...,r −1, y σ(ar ) = a1.

Ejemplo 5.9.8. El ejemplo visto anteriormente

σ=[

1 2 3 4 5

4 3 2 1 5

]

no es un ciclo. Hay cuatro elementos no fijos enσ y no pueden recorrerse yendo deoriginal a imagen.

La permutación inversa de un ciclo es un ciclo de la misma longitud. De hecho

(a1 a2 ... ar )−1 = (ar ... a2 a1),

y, en particular,(i j )−1 = (i j ).

Nota5.9.9. Dos ciclosσ= (a1 ... ar ) y τ= (b1 ... bs ) tales que

{a1, ..., ar }∩ {b1, ...,bs } =;

verifican queσ◦τ= τ◦σ. Estos ciclos se dicen disjuntos.

Proposición 5.9.10.Toda permutación distinta de la identidad se puede descomponer enproducto de ciclos disjuntos, de manera única (salvo reordenación de los ciclos).

PRUEBA: Haremos la prueba por inducción enr , que será el número de elementosno fijos deσ. Si r = 0 no hay nada que probar, yσ= 1. Claramenter no puede ser1, porla biyectividad deσ. Y, si r = 2, entonces llamamos{i , j } a los elementos no fijos deσ ytenemos que tener, forzosamente

σ(i ) = j , σ( j ) = i =⇒ σ= (i j ).

Seaσ∈ Sn dada por

σ=[

1 2 ... n

a1 a2 ... an

]


y supongamos que tiener elementos no fijos.Comenzamos por el primer númeroi tal queai 6= i y vamos creando la siguiente lista:

i 7−→σ(i ) = ai 7−→σ2(i ) 7−→σ3(i ) 7−→ ...

Dado queσ ∈ Sn, existiráns, t ∈N (pongamoss < t) tal que

σs(i ) =σt (i )

y, componiendo con(σ−1)s obtenemos

i =σt−s (i ).

Sear el menor entero positivo tal quei =σr (i ). Entonces el ciclo de longitudr

(i σ(i ) ... σr−1(i ))

actúa, por construcción, de la misma forma queσ sobre el conjunto{i ,σ(i ), ...,σr−1(i )}.Sólo resta aplicar el mismo razonamiento (hipótesis de inducción) a la permutaciónτ,

definida por

τ( j ) ={

σ( j ) si j ∉ {i ,σ(i ), ...,σr−1(i )}

j si j ∈ {i ,σ(i ), ...,σr−1(i )}

�

Ejemplo 5.9.11.En el ejemplo anterior

σ=[

1 2 3 4 5

4 3 2 1 5

]= (1 4)(2 3).

Nota5.9.12. Si admitimos ciclos de longitud1 (con la definición obvia) podemos obteneruna descripción más precisa de la permutación. En efecto,

(1 4)(2 3)

puede ser la permutación del ejemplo anterior. Pero tambiénpuede ser

[1 2 3 4 5 6

4 3 2 1 5 6

]∈ S6.

Si queremos evitar estas confusiones, escribiremos el ejemplo del principio como

(1 4)(2 3)(5).

Llamaremos orden de una permutaciónσ, notadoo(σ), al menor enteror tal queσr = 1, es decir, al orden como elemento del grupoSn .

Podemos hallar fácilmente el orden de una permutación a partir de su descomposiciónen ciclos disjuntos.

Proposición 5.9.13.Un ciclo de longitudl enSn tiene ordenl .


PRUEBA: Si j es un elemento no fijo porC , es evidente por la definición de ciclo que

C l ( j ) = j , C s( j ) 6= j paras < l .

Como los elementos fijos porC lo son también porC l , se tiene queC l = 1, y C s 6= 1

para cualquiers < l . �

Proposición 5.9.14.Seaσ∈ Sn, con descomposición en ciclos disjuntos dada por

σ=C1 ·C2 · ... ·Cr ,

donde la longitud deCi es, pongamosli . Entonces

o(σ) =mcm(l1, ..., lr ).

PRUEBA: Dado que al componer ciclos disjuntos es irrelevante el orden tenemos que,para todos ∈N

σs =C s1 ·C

s2 · ... ·C

sr .

Como losCi actúan de forma no trivial sobre elementos distintos de{1, ...,n}, para queσs = 1 tiene que serC s

i= 1 parai = 1, ..., s. Así pues el orden deσ será el menor múltiplo

común de los órdenes de losCi .Podemos dar otro tipo de descomposición para las permutaciones deSn .

Proposición 5.9.15.Toda permutación se puede descomponer en producto de trasposi-ciones.

PRUEBA: Esta demostración es mucho más simple, dado que basta probarlo para unciclo, y esto es muy sencillo. Sólo hay que comprobar

(a1 a2 ... ar ) = (a1 ar ) ... (a1 a3) (a1 a2).

�

Nota5.9.16. La descomposición anterior, sin embargo, no es única. Por ejemplo,

(1 2 3) = (1 3)(1 2)= (3 2)(1 3).

Sin embargo, no es casual el hecho de que ambas descomposiciones consten de dostrasposiciones.

Proposición 5.9.17.Seaσ ∈ Sn una permutación. Entonces todas las posibles descom-posiciones deσ como producto de trasposiciones consta de, bien un número par, bien unnúmero impar de factores.

PRUEBA: La demostración es interesante porque sigue un camino indirecto: en lugarde trabajar con las permutaciones como objetos en sí, usaremos cómo las permutacionesactúan sobre otro objeto, en este caso un polinomio enn variables.

Consideremos el polinomio

F (x1, ..., xn) =∏

i< j

(xi −x j

)= (x1 −x2) · ... · (x1 −xn) · (x2 −x3) · ... · (xn−1 −xn).


Entonces hacemos actuarσ sobreF de la siguiente manera

σ(F ) = F(xσ(1), ..., xσ(n)

),

es decir, renombramos las variables enF siguiendo aσ. Del mismo modo tenemos

σ(F ) =∏

i< j

(xσ(i ) −xσ( j )

).

Ahora bien, notemos que una trasposición(r s) (pongamos conr < s) verifica que

(r s)(F ) =−F.

Veamos esto en la descomposición deF en factores(xi −x j ):

Si {r, s}∩ {i , j } =;, entonces(xi −x j ) no se ve afectado por(r s).

Si i < r < s = j , entonces(xi −x j ) va en(xi −xr ) y (xi −xr ) va en(xi −xs ) = (xi −x j ).

Si r < i < s = j , entonces(xi −x j ) va en(xi −xr ) y (xr −xi ) va en(xs−xi ) = (x j −xi ),con lo cual el producto de ambos factores permanece inalterado por la acción de(r s).

Si r < s = i < j , entonces(x j −xi ) va en(xr −xi ) y (xr −xi ) va en(xs−xi ) = (x j −xi ).

Por último(r s)(xr −xs ) =−(xr −xs ).

Por tanto, cada trasposición cambia de signoF al actuar sobre él. Asíσ, al ser productode trasposiciones, puede dejarF invariante o cambiarlo de signo, dependiendo de siσ seescribe como producto de una cantidad par o impar de trasposiciones, respectivamente.Pero la acción deσ sobreF es independiente de cómo se escribaσ como producto detrasposiciones, luego la cantidad de factores ha de ser siempre par o siempre impar.

�

Nota5.9.18. Una cierta forma de medir cuánto altera una permutaciónσ ∈ Sn el orden nat-ural en{1,2, ...,n} es ver el número de inversiones queσ efectúa: para cadai ∈ {1,2, ...,n}

se cuenta una inversión por cadaj > i tal queσ(i ) >σ( j ). En nuestro ejemplo anterior

σ=[

1 2 3 4 5

4 3 2 1 5

]= (1 4)(2 3).

tenemos que contar:

Tres inversiones porqueσ(1)>σ(2),σ(3),σ(4).

Dos inversiones porqueσ(2)>σ(3),σ(4).

Una inversión porqueσ(3) >σ(4).

Luego el número de inversiones deσ es6. Este concepto será útil para la definiciónde determinante, pero además está íntimamente ligado a la descomposición en productode trasposiciones.

El número de inversiones también puede contarse al revés: esto es, contar una inver-sión por cadaj > i tal queσ(i ) <σ( j ).


Proposición 5.9.19.Seaσ ∈ Sn una permutación conk inversiones. Entonces existe unadescomposición deσ en producto dek trasposiciones.

PRUEBA: Supongamos que tenemos

σ=[

1 2 ... n

a1 a2 ... an

],

y supongamos quea1 = r 6= 1. Esto quiere decir que1 aportar −1 inversiones, dado quelos elementos1, ...,r − 1, menores quer verificarán que sus anti–imágenes, pongamosx1 < ... < xr−1 son mayores que la der , que es1.

Entonces podemos darnos cuenta de que

(r σ(xr−1)) ... (r σ(x1))σ

es una permutación, cuya diferencia conr consiste en que hemosmovidor hasta situarlocomo imagen der , para lo cual hemos usador −1 trasposiciones, exactamente el númerode inversiones que aporta1 (o el que aportar si las contamos al revés). Repitiendo elproceso con la imagen de2 (y sucesivamente) llegamos a una expresión de la forma

τ1 · ...τk ·σ= 1,

donde recordemos quek es el número de inversiones deσ. De aquí se deduce fácilmenteque

σ= τ−1 · ... ·τ−1k = τ1 · ... ·τk ,

como queríamos.�


Capítulo 6

Anillos y cuerpos

6.1. Anillos (I): Unidades y divisores de cero

Anillo

Un anillo es una terna(A,+, ·) formada por un conjuntoA y dos opera-ciones internas y binarias+, · verificando:

1. El par(A,+) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro llamare-mos normalmente “cero (0)".

2. La operación binaria· es asociativa y tiene elemento neutro, quellamaremos normalmente “uno (1)".

3. La operación· esdistributivaa la derecha y a la izquierda respectode la operación+, i.e. para todosx, y, z ∈ A, se tiene(x + y) · z =x · z + y · z, x · (y + z) = x · y +x · z.

Si además la operación· es conmutativa, diremos que el anillo es con-mutativo.

Nota6.1.1. Algunas notas a la definición.

1. En general se usará la expresión “seaA un anillo", sobreentendiendo las opera-ciones. La operación· se notará normalmente por simple yuxtaposición.

2. En un anilloA se tiene0 ·x = x ·0 = 0 para todox ∈ A.

3. Si en un anilloA se tiene1 = 0, entoncesA = {0}.

4. Para todox, y ∈ A, ese tienex(−y) = (−x)y =−(x y).

5. Si A1, . . . , An son anillos, el producto cartesianoA1 ×·· ·× An posee una estructuranatural de anillo, donde las operaciones están definidas componente a componente.

Ejemplo 6.1.2. Anillos bien conocidos.


1. Z, Q, R, C son anillos conmutativos. La estructura de anillo deZ viene determinadapor la de grupo aditivo: el producto de dos enterosx y coincide con el múltiplo dey con coeficientex. Así pues, la estructura de anillo deZ no añade nada nuevoa la de grupo. Esto es falso paraQ, R y C en los que, obviamente, la estructuramultiplicativa no viene determinada por la aditiva.

2. Las congruencias módulom, Z/Zm son un anillo conmutativo con la suma y elproducto que hemos definido en el tema 2.

3. El conjuntoM (n) de las matricesn ×n sobreZ, Z/Zp, Q, R o C es un anillo, conrespecto a la adición y la multiplicación ordinaria de matrices. No es conmutativo.

4. Si A es un anillo conmutativo, el conjuntoA[x1, . . . , xn] de los polinomios ennindeterminadas con coeficientes enA es también un anillo conmutativo.

Unidad

SeaA un anillo. Unaunidad es un elemento que posee un simétricomultiplicativo (a la izquierda y a la derecha), que llamaremos inverso.El conjunto de las unidades deA es un grupo para el producto y senotaráA∗.

Cuerpo

Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto decero es una unidad, i.e.A∗ = A− {0}.

Ejemplo 6.1.3. Algunos casos sencillos de unidades.

1. Las unidades deZ son1,−1.

2. Las unidades deZ/Zn son los elementosa+Zn tales que mcd(a,n) = 1.

3. Los anillosQ, R, C son cuerpos. El anilloZ/Zn lo es si y sólo sin es primo.

4. El grupo de las unidades del anilloM (n,k) conk =Q, R ó C es GL(n,k).

Nota 6.1.4. A partir de ahora sólo trabajaremos con anillos conmutativos. Así pues, lapalabra ‘anillo’ significará siempre anillo conmutativo.

Dominio de integridad

SeaA un anillo. Un elementox ∈ A se llamará undivisor de cerosi ysólo si es distinto de cero y existey ∈ A, y 6= 0, tal quex y = 0. Un anillosin divisores de cero se llama undominio de integridad.


Un elementox ∈ A se llamaránilpotente si es distinto de cero y existe un enteron > 0

tal quexn = 0.

Nota6.1.5. En un dominio de integridad se da la propiedad cancelativa por el productode elementos no nulos:

a 6= 0, ab = ac ⇒ b = c.

lo cual hace que estos anillos sean particularmente cómodosa la hora de hacer cálculos.

Ejemplo 6.1.6. Divisores de cero y elementos nilpotentes.

1. Las unidades no son divisores de cero, ya que six es ambas cosas existiríany, z ∈ A,conz 6= 0 tales queyx = 1 y xz = 0, de donde

z = 1 · z = yxz = y ·0= 0.

Así, todo cuerpo es un dominio de integridad.

2. Z es un dominio de integridad.

3. El anilloZ/Z4 no es un dominio de integridad. El elemento2 es nilpotente enZ/Z4.

4. Todos los elementos no nulos deZ/Zn son unidades o divisores de cero, pero estono es cierto en todos los anillos (no lo es, por ejemplo, enZ o enk[x]).

6.2. Anillos (II): Ideales

El concepto equivalente a subgrupo para anillos no es, como podría esperarse, el desubanillo. En efecto, siR ⊂ A son dos anillos (con las mismas operaciones) no se puededefinir, en general, una estructura coherente de anillo en elgrupo cocienteA/R.

A mediados del siglo XIX, Dedekind buscaba una generalización de la factorizaciónúnica en primos que se tiene enZ para unos anillos denominadosanillos de enterosalgebraicos. Estos anillos, que contienen aQ y están contenidos enC, no verifican engeneral que exista una factorización única en elementos irreducibles. Por ello, Dedekindpensó sustituir la factorización tradicional, en productode elementos del anillo, por unconcepto que denomin´elementos ideales. Conviene destacar que la idea original ya latuvo Kummer algunos años antes, buscando la demostración del Teorema de Fermat.

Sin embargo, para mantener las propiedades de la divisibilidad tradicional, Dedekindpensó que sus elementos ideales debían verificar las propiedades análogas a la divisibili-dad. Esto es:

1. Si a|b y a|c, entoncesa|(b +c).

2. Si a|b, entoncesa|bc, para todoc.

El resultado de esta magnífica idea fue el concepto que hoy denominamosideal de unanillo.


Ideal

SeaA un anillo. Unideal de A es un subconjuntoI de A que verifica:

1. I es un subgrupo del grupo aditivo deA.

2. Para todoa ∈ I , x ∈ A se tienexa ∈ I .

En realidad no hace falta comprobar queI es un subgrupo aditivo. Para ver siI esideal es suficiente probar (comparar con las propiedades quebuscaba Dedekind):

1. Si a,b ∈ I , entoncesa+b ∈ I .

2. Si a ∈ I y c ∈ A, entoncesac ∈ I .

Nota6.2.1. SeaI ⊂ A un ideal deA. Se tiene:

1. Si I contiene una unidad, entoncesI = A.

2. A es un cuerpo si y sólo si sus únicos ideales son{0} y A.

3. Los ideales deZ y los subgrupos son la misma cosa, pues la estructura multiplicativaviene determinada por la aditiva. El apartado anterior prueba entonces de nuevo queZ/Zn es un anillo.

Asombrosamente, el concepto de Dedekind es precisamente elque permite dotar deestructura de anillo a los cocientes.

Anillo cociente

El grupo cocienteA/I admite una estructura canónica de anillo.

PRUEBA: En efecto, basta ver que la fórmula

(a+ I )(b + I ) = ab + I

define una operación enA/I .Si a+ I = a′+ I y b + I = b′+ I esa−a′ ∈ I , y b −b′ ∈ I . Así

ab −a′b′ = ab −ab′+ab′−a′b′ = a(b −b′)+ (a−a′)b′ ∈ I ,

lo que prueba nuestro aserto. �

Homomorfismo de anillos

SeanA,B anillos, f : A → B una aplicación. Se dirá quef es unhomo-morfismo de anillos si verifica:

1. Para cualesquierax, y ∈ A, es f (x + y) = f (x)+ f (y).

2. Para cualesquierax, y ∈ A, es f (x y) = f (x) f (y).

3. f (1) = 1.


Un homomorfismo biyectivo se llama unisomorfismoy los anillos entre los cuales sepuede establecer un isomorfismo se llaman anillos isomorfos.

Proposición 6.2.2.Seaf : A −→ B un homomorfismo de anillos. Se tienen las siguientespropiedades:

1. El conjuntoker( f ) = {a ∈ A | f (a) = 0}

es un ideal deA, y f es inyectivo si y sólo siker( f ) = {0}.

2. Siu ∈ A es una unidad, entoncesf (u) es una unidad enB . En particular cualquierhomomorfismo (de anillos) entre cuerpos es inyectivo.

3. El conjuntoim( f ) = {b ∈ B | ∃a ∈ A, f (a) = b}

es un subanillo deB (esto es, un anillo dentro deB , con las mismas operaciones).

Primer teorema de isomorfía

Seaf : A −→ B un morfismo de anillos. EntoncesA/ker( f ) es isomorfoa im( f ).

Segundo teorema de isomorfía

SeaA un anillo,I ⊂ A un ideal, yB ⊂ A un subanillo. EntoncesB + I ={b+a : b ∈B , a ∈ I } es un subanillo deA, I es un ideal deB + I , B ∩ I esun ideal deB , y existe un isomorfismo de anillos

(B + I )/I ∼= B/(B ∩ I ).

Tercer teorema de isomorfía

SeaA un anillo y seanI , J ideales deA con I ⊂ J . EntoncesJ/I es unideal deA/I y A/J es isomorfo a(A/I )/(J/I ).

Las tres demostraciones son análogas a las hechas en el tema anterior para homomor-fismos de grupos.

Hay que tener cuidado, porque no todas las propiedades de loshomomorfismos degrupos se amplían directamente a los homomorfismo de anillos.

Proposición 6.2.3.Seaf :−→B un homomorfismo de anillos.

1. SiI ⊂ A es un ideal,f (I ) no es, en general, un ideal deB .

2. SiI ⊂ A es un ideal yf es sobreyectiva,f (I ) es un ideal deB .


3. Si J ⊂ B es un ideal,f −1(J ) es un ideal deA.

PRUEBA: Un contraejemplo sencillo para el primer apartado lo da la inclusióni :

Z−→Q, dado quei (Z) no es un ideal enQ (al ser cuerpo, sólo{0} y Q lo son).En cuando al caso en quef sea sobreyectiva, tomemosb1,b2 ∈ f (I ). Entonces tenemos

a1, a2 ∈ I tales quef (ai ) = bi parai = 1,2 y, en ese caso

b1 +b2 = f (a1)+ f (a2) = f (a1 +a2) ∈ f (I ).

Notemos que no hemos usado la sobreyectividad def aún. Ahora, si tomamos uny ∈B cualquiera, tenemos que debe existirx ∈ A con f (x) = y y entonces

yb1 = f (x) f (a1) = f (xa1) ∈ f (I ).

Para demostrar la tercera propiedad, tomemosa1, a2 ∈ f −1(I ). Entoncesf (ai ) ∈ I , parai = 1,2, y

f (a1 +a2) = f (a1)+ f (a2) ∈ I ,

luegoa1 +a2 ∈ f −1(I ). Por otra parte, six ∈ A tenemos que

f (xa1) = f (x) f (a1) ∈ I ,

de dondexa1 ∈ f −1(I ) y hemos terminado.�

6.3. Cuerpo de fracciones. Característica

Terminamos el desarrollo teórico con dos conceptos importantes: el cuerpo de frac-ciones, que permite construir un cuerpo a partir de un dominio de integridad, y la carac-terística, que es un elemento crucial a la hora de clasificar cuerpos.

SeaA un dominio de integridad y llamemosA∗ = A \ {0}. Consideremos la relaciónbinaria∼ definida enA× A∗ por

(a,b) ∼ (a′,b′) ⇔ ab′ = a′b.

Es fácil verificar que∼ es una relación de equivalencia. LlamamosQ(A) al conjuntocociente(A×A′)/ ∼, y los elementos deQ(A) los notaremos comoa

b, representando así la

clase de equivalencia de(a,b).Se tienen las siguientes operaciones definidas enQ(A):

Suma:a

b+

c

d=

ad +bc

bd.

Producto:a

b·

c

d=

ac

bd.

Proposición 6.3.1.Las operaciones están bien definidas, esto es, siab′ = a′b y cd ′ = c ′d ,entonces

ad +bc

bd=

a′d ′+b′c ′

b′d ′ ,ac

bd=

a′c ′

b′d ′ .


Proposición 6.3.2.Q(A) es un cuerpo, denominado cuerpo de cocientes o fracciones deA.

Proposición 6.3.3.prop SeaA un dominio de integridad yQ(A) su cuerpo de fracciones.Se verifica:

1. La aplicaciónϕ : A → Q(A) definida porϕ(a) = a1

es un homomorfismo inyectivode anillos.

2. (Propiedad universal deQ(A)) Si K es un cuerpo cualquiera, todo homomorfismoinyectivo de anillosψ : A → K factoriza porϕ, es decir, existe un único homomor-fismo de anillosΦ : Q(A) → K que hace conmutativo el siguiente diagrama:

A K

Q(A)

?

-

�

ψ

ϕ Φ

3. SiL es un cuerpo que verifica la propiedad anterior deQ(A), entoncesL es isomorfoa Q(A).

Se tiene, por tanto, queQ(A) es el menor cuerpo que contiene a un dominio de inte-gridad isomorfo aA, salvo isomorfismo. Dicho de otro modo, todo cuerpo que contiene aun dominio isomorfo aA, contiene también a un cuerpo isomorfo aQ(A).

PRUEBA: El primer apartado es trivial. Para el segundo, definimosΦ mediante laexpresión

Φ(a

b

)=ψ(a)ψ(b)−1.

Hay que verificar queΦ está bien definida:

a

b=

a′

b′ =⇒ ab′ = a′b =⇒ ψ(a)ψ(b′) =ψ(a′)ψ(b) =⇒ ψ(a)ψ(b)−1 =ψ(a′)ψ(b′)−1

lo cual prueba que lo está. También tenemos que ver que es un homomorfismo de anillos:

Φ

(a

b+

a′

b′

)=Φ

(ab′+a′b

bb′

)=ψ(ab′+a′b)ψ(bb′)−1 =

=ψ(a)ψ(b)−1 +ψ(a′)ψ(b′)−1 =Φ(a

b

)+Φ

(a′

b′

),

y análogamente conserva el producto y el elemento unidad. Secomprueba fácilmente queΦ hace conmutativo el diagrama, y de hecho es la única definición posible para que estose cumpla, puesto que:

Φ(a

b

)=Φ

(a

1·

1

b

)=Φ

(a

1

)·Φ

(1

b

)=Φϕ(a)Φϕ(b)−1 =ψ(a)ψ(b)−1.


Veamos por último la unicidad del cuerpo de fracciones. SeaL un cuerpo verificandola propiedad universal, conϕ′ : A → L. TomandoK = Q(A), existeφ′ : L → Q(A) tal queϕ=φ′ϕ′.

Aplicando 2) aK = L y ϕ′, se tiene queϕ′ = Φϕ. De ambas, se tieneϕ = Φ′Φϕ.Pero aplicando 2) aK =Q(A) y ϕ, se tiene queΦ′Φ y la identidad hacen conmutativo elcorrespondiente diagrama; por la unicidad se tiene que

Φ′Φ= id.

Análogamente se tiene queΦΦ′ = id, luegoΦ es el isomorfismo buscado.�

Nota6.3.4. SeaK un cuerpo. Todo homomorfismo de anillosϕ deZ en K , lleva el ele-mento unidad deZ en el elemento unidad deK . Esto define unívocamente aϕ. Por tantoexiste un único homomorfismo de anillosϕ deZ enK .

Si el homomorfismoϕ deZ enK es inyectivo, se tiene queK contiene a su cuerpo defraccionesQ. En ese caso diremos queK es un cuerpo decaracterística cero.

Los cuerposQ, R y C son de característica cero, puesto que contienen aZ. Ademástodo subcuerpoK deC es de característica cero. En otro caso el homomorfismoϕ : Z→ K

no inyectivo se extiende aC, contradicción. Por tanto, todo subcuerpo deC contiene aQ.Si ϕ por el contrario no es inyectivo,ker(ϕ) es un idealZp, conp > 0. Por el primer

teorema de isomorfíaZ/Zp es isomorfo a un subanillo deK , luego no tiene divisores decero. AsíZ/Zp es un dominio de integridad, o equivalentemente un cuerpo, yademás,pes un número primo. Diremos entonces queK es un cuerpo decaracterística p. En esecaso se verifica quepx = 0, para cadax ∈ K .

El ejemplo más simple de cuerpo de característicap es, obviamente, el propioZ/Zp.De hecho, dar otro ejemplo no trivial es complejo y corresponde a los objetivos de laasignaturaEstructuras Algebraicas.

6.4. Epílogo: El problema de la factorización

Finalizamos el contenido teórico de este curso presentandoun problema ya menciona-do, que esperamos que sirva como motivación para el alumno, al que le presentaremos unproblema completamente natural pero que necesitará de más desarrollo teórico para abor-dar. Es el problema de la factorización en elementos irreducibles.

Definición 6.4.1.SeaA un anillo. Diremos quex ∈ A es unelemento irreduciblecuan-do no es una unidad y, six = ab, se tiene forzosamente quea o b son necesariamenteunidades.

Los elementos irreducibles enZ son, obviamente, los números primos, mientras quelos elementos irreducibles dek[x] son, precisamente, los polinomios irreducibles (de ahísu nombre).

Ejemplo 6.4.2. Consideremos el elementop−5 ∈ C. Vamos a formar un anillo con su

ayuda, concretamente

R =Z[p−5] =

{a+b

p−5 | a,b ∈Z

}.


Es muy sencillo comprobar que, con la suma y el producto naturales (heredados deC,por ejemplo),R es un anillo. Así mismo, podemos quedarnos con el concepto denorma,proveniente del módulo de un número complejo:

N (a+bp−5) = (a+b

p−5)(a−b

p−5) = a2 +5b2.

o, escrito en notación compleja,N (x) = x x.No es complicado de ver que la norma verifica las siguientes propiedades:

1. N : R −→N.

2. N es una aplicación multiplicativa, esto esN (x y) = N (x)N (y).

La norma puede ayudarnos a entender cómo son los elementos deun anillo de estetipo.

Proposición 6.4.3.Se verifican las siguientes propiedades:

1. x ∈ R es una unidad si y sólo siN (X ) =±1.

2. x e y son asociados si y sólox|y y N (x) = N (y).

3. SiN (x) es primo, entonces.x es irreducible.

PRUEBA: Si x ∈ R es unidad, entonces existey ∈ R tal quex y = 1, de donde

N (x y) = N (x)N (y) = N (1) = 1,

y por tanto,N (x) =±1. Al revés, siN (x) =±1 construimos explícitamente un inverso dex = a+b

p−5,

x−1 =x

N (x)∈R .

La segunda afirmación se sigue directamente de la primera (y de la definición deelementos asociados).

Ahora, siN (x) es primo yx = ab, entoncesN (x) = N (a)N (b), por lo que bienN (a),bienN (b), por ser enteros, han de ser±1 y por tanto, biena, bienb son unidad.

�

Fijémonos entonces en cómo podríamos factorizar elementosen R. Obviamente, lademostración de que existe una factorización en producto deirreducibles sigue siendoválida. En efecto, partimos dex y, si es irreducible, hemos terminado y si no es productode dos elementos de norma estrictamente menor, lo que nos permite aplicar la inducción.

Sin embargo, lo que no está tan claro es que la factorización en irreducibles sea única.Por ejemplo, podemos escribir

6 = 2 ·3 =(1+

p−5

)·(1−

p−5

).

Claramente no sonla mismafactorización porque

N (2) = 4, N (3) = 9, N(1±

p−5

)= 6,

de forma que los factores que hemos encontrado no son asociados. Aún así, bien podríahaber alguna factorización más detallada, o sea, algún irreducible p que dividiese, por


ejemplo, a2 y a 1+p−5. Perop no puede ser entero, porque2 es primo, y no puede tener

parte compleja, porque entoncesN (p) ≥ 5 luego no puede dividir a2.

Por tanto, independientemente de si2, 3 y 1±p−5 son o no irreducibles, las descom-

posiciones anteriores nos llevarán a dos factorizaciones distintas.

Dominio de factorización única

Un anillo A, sin divisores de cero, en el cual todo elemento se puededescomponer de manera única (salvo unidadaes) como producto de ir-reducibles se denomina undominio de factorización única(abreviada-mente DFU).

En general el problema de determinar si un anillo posee o no factorización única noes sencillo, aunque sabemos algunos ejemplos muy especiales.

Proposición 6.4.4.SeaA un anillo en el que todo ideal puede ser generado por un sóloelemento (estos anillos se llamandominios de ideales principaleso DIP). EntoncesAes un DFU.

PRUEBA: La demostración no es complicada, pero sí un poco larga. Lospasos sonlos siguientes:

1. Primero demostramos que, siA es un DIP, entonces toda cadena de ideales creciente

I1 ⊂ I2 ⊂ ... ⊂ In ⊂ ...

es estacionaria, esto es, existe unr ∈N tal queIr = Is para todos > n.

2. Utilizando esto, demostramos que todo elemento se descompone en factores irre-ducibles de manera finita.

3. Dados dos elementosx, y ∈ A, como existed tal que⟨x, y⟩ = ⟨d⟩, probamos que untal d esun máximo común divisor dex e y. Y probamos el Teorema de Euclides:si p es un irreducible tal quep|x y pero mcd(p, x) = 1, entoncesp|y.

4. Finalmente, probamos que el Teorema de Euclides es equivalente a la unicidad dela factorización.

�


Dominio euclídeo

SeaA un dominio tal que existe una funciónµ : A −→N∪ {0} verifican-do:

1. Para cualesquierax ∈ A, y ∈ A \ {0}, existe unos únicosq,r ∈ A

tales quea = qb + r, conµ(r ) <µ(b).

2. µ(a) = 0 ⇐⇒ a = 0.

A este procedimiento se le llamadivisión euclídea de A y, en es-tas condiciones,A se denomina undominio euclídeo(abreviadamenteDE).

Z y k[x] son DE, como hemos visto durante el curso, tomando respectivamente,µ= |·|y µ =grado+1. Pero muy pocos anillos lo son, en realidad. Por ejemplok[x, y] no lo es,como veremos ahora.

Proposición 6.4.5.Un DE es un DIP (y, por tanto, un DFU).

PRUEBA: La demostración consiste en, dado un idealI , tomard ∈ I tal que

µ(d) = mınx∈I

{µ(x) | x ∈ I

},

y probar (no es complicado) queI = ⟨d⟩.�

El anillo k[x, y] no es un DE porque no es un DIP, como se puede ver considerando⟨x, y⟩.

En la construcción de DFU, curiosamente, los DE juegan un papel destacado, graciasal resultado siguiente, con el que terminamos esta sección.

Teorema 6.4.6.SeaA un DFU. EntoncesA[x] también es un DFU.

PRUEBA: Comenzamos por definir, como hicimos en el tema 4, el contenido de unpolinomio como el mcd de sus coeficientes. A partir de aquí definimos el concepto depolinomio primitivo (exactamente igual) y probamos que

c( f g )= c( f )c(g ),

así como el Lema de Gauss (el producto de polinomios primitivos es primitivo). Conesto, dado un polinomio primitivof (x) ∈ A[x] lo factorizamos enQ(A)[x] en producto deirreducibles, cosa que podemos hacer porqueQ(A)[x] es un DE y por tanto un DFU:

f (x) = p1(x)...pr (x),

y extraemos un mcm de los denominadores que aparecen en los factores, para escribir

f (x) =1

mq1(x)...qr (x),


con m ∈ A y q1(x), ..., qr (x) irreducibles enA[x]. Ahora bien, por serf (x) primitivo setiene que ha de serm = 1, luegopi (x) = qi (x) para cadai = 1, ...,r .

Con esto aseguramos la factorización, mientras que la unicidad viene dada porque dosfactorizaciones distintas enA[x] inducen dos factorizaciones distintas enQ(A)[x], lo cuales imposible por serQ(A)[x] un DFU. �

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