Autores:

Luis Jiménez C.I: 26.187.565

Beatriz Jiménez C.I: 24.354.999

Jorfran Díaz C.I: 14.649.415

Sección:

1if04

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO

‟LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA”

(Tutorial)

Relaciones:

Relaciones binarias………….4

Relaciones vacías…………....5

Domino y rango de una

relación……………………....6

Representación cartesiana…...8

Relación inversa……………..9

Composición de relaciones….10

Relaciones en conjunto……...15

Relaciones de equivalencia….23

Funciones:

Funciones inyectivas……..28

Funciones sobreyectivas….29

Funciones biyectivas……..30

Una relación surge cuando un elemento A se relaciona con unelemento B, es decir, que se trata de la correspondencia que existeentre dos conjuntos. Por ejemplo, 1 es menor que 3 (1<3).Entonces la relación entre los dos conjuntos es el símbolo menorque (<).

Una relación entre dos conjuntos X e Y es un subconjunto delproducto cartesiano X × Y.

Sean dos conjuntos A y B, una relación de A en B es un

subconjunto de R del producto cartesiano A×B, pero en este caso

pueden existir varios elementos dentro del conjunto A, y otros

elementos dentro del conjunto B, ejemplo mediante la

Representación Sagital:

R

R es una relacion de A B

A en B ⟺ R ⊂ A × B.1

2

3

4

2

4

6

8

Cuando se plantea representar una relación vacía entre dos

conjuntos. La relación se representa así:

Sean: A={1,2,3,4} y B={2,4,6,8} R

A B

R = { }

1

2

3

4

Sea R una relación de X en Y. el dominio es:

𝐝𝐨𝐦(𝐑) = {x ∈ X / (x, y) ∈ R, para algún y ∈ Y}

Sea R una relación de X en Y. el rango es:

rang 𝐑 = {y ∈ Y / (x, y) ∈ R, para algún x ∈ X}

Sean A{1,2,3,4) y B{2,4,6,8} hallar el rango y el

dominio de la relación.

R

A B

R = {(1,2);(1,4);(3,8);(4,6)}

dom(R) = {1,3,4} rang(R) = {2,4,8,6}

La Representación Cartesiana es una de las más utilizadas

para representar las relaciones binarias.

Y

X = {a, b, c, d } 4

Y = {1, 2, 3, 4} 3

R = {(a,4);(c,2);(d,3)} 2

1

X

0 a b c d

La relación inversa es el resultado de una relación

representada de forma contraria:

R R−1

X Y Y X

x R y ⟺ y R−1 x

R= {(a,1), (b,4), c,2), (c,3)} R−1= {(1,a), (2,c), (3,c), (4,b)}

a

b

c

1

2

3

4

1

2

3

4

a

b

c

La composición de relaciones consiste en combinar

nuevas relaciones para formar otras relaciones.

R S

X Y Z

aRb bSc

S°R

a(S°R)c

a

b

c

X Y Z

Sean: R S

X = {1,2,3}

Y = {a, b, c, d}

Z = {10,20,30}

Buscar: X Z

S°R={(1,10),(2,20),(3,30)} S°R

1

2

3

a

b

c

d

10

20

30

1

2

3

10

20

30

Sean X = {3, 5, 7}, Y = {1, 3, 11, 17}, R ⊂ X×Y la relación

Hallar x R y ⟺ x + y < 15

a) dom (R)

b) rang (R) X + Y < 15

c) cartesiana 3 1 =

e) R−1 5 3 =

7 11 =

R = {(3,1), (3,3), (3,11),

(5,1), (5,3), (7,1), (7,3)} menores que 15

dom (R) = {3,5,7} rang(R) = {1,3,11}

4

6

14

6

88

10

R = {(3,1), (3,3), (3,11), (5,1), (5,3), (7,1), (7,3)}

Y

Representación cartesiana:

11

3

1

X

3 5 7

Representación sagital para obtener R−1

R = {(3,1), (3,3), (3,11), (5,1), (5,3) , (7,1), (7,3)}

R−1= {(1,3), (1,5), (1,7), (3,3), (3,5), (3,7), (11,3)}

X Y Y X

R R−1

3

5

7

1

3

11

17

1

3

11

17

3

5

7

Las relaciones en conjunto son las relaciones en que los

elementos del conjunto de partida coincide con el conjunto de

llegada, es decir, cuando los elementos del conjunto A son iguales

a los del conjunto B. por ejemplo:

R

A B

Los elementos (2, 3 y 4) son un

Subconjunto de A y B, ya que estos

tres elementos se encuentran tanto

en A como en B formando así las

relaciones en conjunto

1

2

3

4

5

2

3

4

Dentro de una relación en un conjunto X se establece que:

1) R Es reflexiva si y solo si. ∀x, x R x

2) R Es simétrica si y solo si. x R y ⟺ y R x

3) R Es antisimétrica si y solo si. x R y ˄ y R x ⟺ x = y

4) R Es transitiva si y solo si. x R y ˄ y R z ⟺ x R z

Representación sagital de las relaciones antes definidas:

Reflexiva Simétrica

Si y solo si cada Si y solo si para cada flecha

vértice tiene un lazo. que une dos vértices distintos

existe otra en sentido contrario.

Antisimetrica Transitiva

Si y solo si ningún Si y solo si para cada par de

par de vértices distintos flechas consecutivas existe

tiene camino de ida y vuelta. una tercera flecha que une el

vértice inicial de la primera

flecha con el vértice final de

la segunda flecha.

Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación:

R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} A

A

Es reflexiva debido a que los

Todos los elementos de A

terminan en donde empiezan.

1 2

3 4

Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación:

R = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}

A

Es simétrica debido a que

los elementos (1 , 2) y (3, 4)

tienen una flecha de ida

y otra flecha de regreso

1 2

3 4

Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación:

R = {(1,2), (2,3), (3,4),(4,1)}

A

Es antisimetrica debido a

que la relación entre dos

elementos solamente tiene

una sola flecha de ida.

1 2

4 3

Si A = {1, 2, 3} y R es la relación:

R = {(1,2), (3,3), (1,3)}

Es transitiva debido a

que el elemento 1 esta

relacionado con el 2

y con el 3.

1 2

3

Una relación es equivalente si es una relación que es reflexiva,

simétrica y transitiva. Normalmente una relación equivalente se

representa con el símbolo ~.

A ~ B : esto significa que A es equivalente a B.

Esta nueva notación se reformula la definición de equivalencia:

1) R Es reflexiva: ∀ x X, x ~ x

2) R Es simétrica : x ~ y ⟹ y ~ x

3) R Es transitiva : x ~ y ˄ y ~ z ⟹ x ~ z

Sea A = {1,2,3,4} demostrar A ~ A A

R = {(1,1),(2,2),(3,3),

(1,2),(2,3),(1,3),(2,1),(3,2) (3,1)}

El siguiente conjunto

demuestra que es

reflexivo, simétrico y

transitivo por lo que

significa: A ~ A

1 2

3

Una función del conjunto X en un conjunto Y es un regla que

asigna a cada elemento de X un único elemento de Y.

f

A B

Aquí se plantea que y es la imagen de x mediante f, y que x es

una pre-imagen de y.

y = f(x)x

Sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una

triada (f, X, Y), donde f es la relación que existe entre X e Y.

x f y ˄ x f z ⟹ y = z

f : X → Y

Para indicar que (F,X,Y) es una función de X en Y se escribe así:

Y = f(x)

Si X = {a, b, c, d} y Y = {1, 2, 3}, entonces la siguiente relación

es una función de X en Y.

f = {(a,2),(b,1),(c,2),(d,3)}

f

X Y

f(a) = 2 f(b) = 1 f(c) = 2 f(d) = 3

a

b

c

d

1

2

3

Una función f: X → Y es inyectiva cuando satisface la siguiente

condición

f(x1) = f(x2) ⟹ x1 = x2f

Una función es inyectiva si cada X Y

cada elemento de X tiene un solo

valor de Y, por lo que, en el conjunto

X no pueden haber elementos que

tengan dos o mas relaciones.

f(a)= 2 f(b)= 3 f(c)= 4

a

b

c

1

2

3

4

Una función f: X → Y es sobreyectiva si:

Rang(f) = Y

f

X Y

Una función es sobreyectiva

cuando todos los elementos de

Y son una imagen de un valor de X.

f(a)= 1 f(b)= 2 f(c)= 2 f(d)= 3

a

b

c

d

1

2

3

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la

vez.

Simplemente cada elemento f

de X esta relacionado con un X Y

elemento de Y.

f(a)= 2 f(b)= 1 f(c)=3

a

b

c

1

2

3

Sea A= {-2,-1,0,1,2} y B= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} hallar:

f: A → B

f(x)= x2 f

A B

*Que sea una

función general*

-2

-1

0

1

2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4