DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008

DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICASDERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

TEOREMA:TEOREMA:Si la función tiene derivada en “a”;entonces, es

continua en “a”f f

Nota: 1) El recíproco del teorema anterior, no siempre es válido, es decir, una función continua en un punto no implica que tenga derivada en el punto.

2) Una función es diferenciable en si tiene derivada en ese punto y es única.

0xx

3) Una función es diferenciable en un intervalo cerrado , si

tiene derivada en cada punto del intervalo abierto

bxa

bxa

FORMULAS DE DERIVACIONFORMULAS DE DERIVACION

Derivación es el proceso de hallar la derivación de una función diferenciable

- Derivada de la función CONSTANTE

ctec ;cxfySí )(-

Entonces, )(xf 0)(

dx

cd

- Derivada de la función POLINOMIAL

Una expresión de la forma

donde es un entero positivo y los coeficientes

son números. Se llama polinomio en x

012

21

1)( axaxaxaxaxP nn

nn

nn

n0121 ,,...,, aaaaa nnn

El grado de un polinomio es el de la mayor potencia en el polinomio.

Una expresión del tipo , con , que puede escribirse

como el cuociente de dos polinomios, se define como una función racional

en x.

)(

)(

xQ

xP0)( xQ

Si se tiene una función polinomial en que

entonces se tiene:

;0...;1 0121 aaaaa nnn

nxxfy )( y su derivada es

1)()( nn nxxfxdx

d

- Si tiene derivada entonces, , tiene

por derivada

Es decir, “la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de una función”.

- Si y tienen derivadas y si , entonces,

)()( xgxfF

,)(xf )(xf )()( xfcxg

)()( xfcxg

)(xf )(xg

)()( xgxfF

- Derivada de un producto

En general

Si )(...)()()( 321 xfxfxfxfy n

Entonces )(...)()()( 321 xfxfxfxf ndx

dy

Es decir, combinando las fórmulas anteriores podemos calcular la derivada

de cualquier función polinomial en x.

Ej: Hallar la derivada de 52723)( 245 xxxxxf

Solución:

214815)( 34 xxxxf

- Derivada de un producto

Si y y

entonces,

)(xuu )(xvv ,)()()( xvxuxf

)()()()()( xvxuxvxuxf

Ej: Hallar la derivada de )62()23()( 232 xxxxxxf

y evaluar para 2x

Solución:

)62()32()643()23()( 2322 xxxxxxxxxf

Si 4)2(2 fx

- Derivada de un cuociente

Si )(xf ,)(

)(

xv

xu 0)( xvcon

entonces, )(xf 2)(

)()()()(

xv

xvxuxuxv

Ej: Determinar la derivada de )(xf3

322

2

x

xx

Solución:

)(xf

22

2

22

2323

22

22

)3(

9123

)3(

6493124

)3(

2)32()34()3(

x

xx

x

xxxxx

x

xxxxx

)(xf

)(xf

- Si es un entero positivo, , entonces, la derivada de

es

n 0xynxxf )( 1)( nxnxf

- Si nxxfy )( n, entero positivo o negativo,

entonces,dx

dy 1)( nxnxf

Ejemplos: Derivar:

1)

612128)(

9642)(257

368

xxxxf

xxxxxf

2)

854

745

3512125)(

53112)(

xxxxf

xxxxxf

3)

4)

30308456)(

)57()66()62(7)(

)57()62()(

23

23

3

xxxxf

xxxxxf

xxxxf

52

43

833)(

23)(

xxxf

xxxxf

TEOREMA (REGLA DE LA CADENA)TEOREMA (REGLA DE LA CADENA)

Supóngase que , con , es decir, ,

y que y son derivables.

)()( ugxf )(xuu )()( xugxf g )(xu

entonces, es derivable y es válida la fórmulaf

)()()( xuugxfdx

du

du

dg

dx

df

Corolario:

Sí , entero, entonces, nxuxf )()( n 1)()( nxunxf

dx

du

Sí , con , entonces,)(ufy )(xuu dx

du

du

dy

dx

dy

En la regla de la cadena, es la variable independiente, es la variable

intermedia, e es la variable dependiente.

x u

y

La regla de la cadena, se puede extender a funciones del tipo siguiente:

Sí , con y con)(vfy )(uvv )(xuu dx

du

du

dv

dv

dy

dx

dy

Ej: Encontrar endx

dy 42 )23()( xxvfy

Solución: Nótese que si se puede escribir232 xxu 4uy

Derivando 34udu

dy , pero 232 xxu

Además, 32 xdx

du

Entonces, por la Regla de la Cadena

)32()23(4

)32(4

32

3

xxxdx

dy

xudx

dy

dx

du

du

dy

dx

dy

232 xxu, pero

Ejercicios

I) Calcular los siguientes límites

1)1x

lím2

3

x

x

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2xlím

0xlím

0hlím

hlím

1xlím

8xlím

)82(

)2(2

xx

x

x

x 55

72

332

23

h

hh

1

1

x

x

2

1

2

11

hh

8

423

x

x

2.R

6

1.R

52

1.R

4

1.

R

.R

).( 2 xyIND

).( 3 xyIND

II) Estudie la continuidad de las siguientes funciones en todo su dominio.

Redefina si es necesario.

i)

ii)

iii)

)(xf6

42

x

x

52

21

x

x,

,

)(xf2

42

x ,

, 2

2

x

x

)(xf 3

62

x

xx, Sí

, Sí

3x

5 3x

R. es continua en todo su dominio

R. es discontinua en Hay que redefinir

R. es continua en todo su dominio

f

f

f

2x

III) Obtenga la derivada de las siguientes funciones

1)x

xxy

4)(

3

2)

3)

)1()2()( 32 xxxxy

2

32)(

xxxy

R.

2

32

)4(

212

x

xx

22

2

)1(

14

xx

xxR.

32

62

xx

R.

4)52 )3()( xxy

5) )51()23()( 22 xxxy

R.

42 )3(10 xx

2

22

51

)23(5516

x

xxxx

R.