Relación Geométrica de la pendiente de una

recta tangente a una curva en un punto y la

derivada de ésta.

Prof. Gonzalo Medina Ramírez

Saltillo Coahuila, México

2010

Introducción Una alternativa que permite cambiar la forma en que enseñamos la materia de matemáticas es incorporar las nuevas tecnologías. Los alumnos actuales requieren tener recursos que les permitan explorar de manera dinámica los conceptos de matemáticas, ya que ellos conviven en un entorno tecnológico que les es muy natural. El Autograph es un software que permite explorar conceptos fundamentales de matemáticas de manera interactiva. La gran variedad de herramientas que ofrece Autograph permiten manipular de manera sencilla una gran variedad de parámetros, permitiendo al alumno observar, explorar, analizar y en algún momento conjeturar. Autograph es una alternativa que permite la manipulación de expresiones algebraicas de manera amena y natural, pues vincula herramientas de la fuente Arial de Microsoft Office y la versatilidad de Excel para el análisis de datos. Este programa se puede incorporar a los curso de matemáticas ofreciendo una nueva alternativa a la enseñanza significativa de las matemáticas.

Descripción Uno de los tópicos más analizados y comentados en el nivel bachillerato es tema el de Derivada. Es recurrente en los cursos de cálculo diferencial enfocarnos en el dominio de técnicas de derivación por parte de los alumnos, descuidando ideas fundamentales de este concepto. En la siguiente actividad pretendemos dar a conocer la relación geométrica que existe entre el conjunto de pendientes de las rectas tangentes a una curva con la gráfica de la derivada de la misma. La idea central de la actividad radica en explorar la pendiente de las rectas tangentes a una curva f(x) en un punto por parte de los alumnos. Esta actividad fue aplicada al grupo que cursa la materia de cálculo de 4º semestre de bachillerato en Liceo Alberto del Canto A. C. en Saltillo, Coahuila, México. Trece es el número de alumnos que conforma el grupo, los cuales se integraron en grupo de 2 a 3 personas, cada grupo contaba con una laptop, la instalación de Autograph y una hoja de trabajo. A continuación anexamos la hoja de trabajo, así mismo los resultados arrojados por parte de los alumnos y sus conclusiones.

Actividad 1

Tema: Relación geométrica de la pendiente de una recta tangente a una curva

en un punto y la derivada de ésta.

Objetivo: Que el alumno logre apreciar el concepto de derivada desde una

perspectiva geométrica.

Iniciemos graficando la función f(x)=-x2+2 en Autograph.

1. Para graficar utiliza la pestaña de ecuación e introduce la ecuación de la forma y=-x2+2 y pulsa enter. 2. Selecciona la curva con botón izquierdo y después con botón derecho introducir

punto sobre curva en x=1. 3. Con botón izquierdo selecciona el punto y verifica que se mueva de manera libre sobre

la curva. 4. Selecciona el punto y con botón derecho, asigna la opción de tangente. 5. Observa la barra que aparece en la parte inferior de la venta y completa la siguiente

tabla. (Recuerda que la pendiente se localiza en la ecuación de la recta de la forma y=mx+b).

x y m

6. Abre la pestaña de Datos y selecciona la opción de introducir conjunto de datos y

coloca las columnas de x y de m al final pulsa aceptar. 7. Encuentra la derivada de y=-x2+2

8. Modifica los intervalos de la ventana usando la pestaña de ejes y modificar configurar ejes x entre -6 y 6 y para y entre -14 y 14.

9. Grafica la derivada teniendo presente el punto uno ¿Qué observas entre los puntos y la derivada?

¿Qué puedes concluir sobre esto?

Extensión Repite el ejercicio con la función y=x3

Resultados

Los alumnos fueron conducidos bajo las instrucciones establecidas en la hoja de trabajo. Lo anterior favoreció el trabajo colaborativo, manteniendo el interés por parte de los alumnos en el Autograph. Al completar la tabla que relacionaba el valor de x con la pendiente de la recta tangente en el punto x y después graficar dicha relación; los alumnos utilizaron la opción de derivada de una función y fue grata la sorpresa al ver que los alumnos apreciaban que los puntos graficados eran contenidos en la grafica de la derivada. El equipo formado por Jessica Y Felipe fue el que supuso que si graficábamos todas pendientes de las tangentes se formaba la gráfica de la derivada y los demás equipos avalaron dicha conjetura.

Conclusiones

� Los alumnos se muestran más interesados en temas relacionados que implementan el uso de tecnologías.

� El Autograph ofrece un entorno que motiva al alumno a explorar de manera sencilla los aspectos geométricos del Cálculo.

� Los alumnos tienen la facilidad casi natural de usar software como es el Autograph para apoyarse en el estudio del Cálculo.

� Los alumnos logran un aprendizaje significativo de la relación geométrica que existe entre la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto y la derivada de ésta.

Profesor Gonzalo Medina Ramírez e-mail gonzalov666@hotmail.com

Saltillo, Coahuila, México Mayo 2010