distribuciÓn geomÉtrica

• En esta distribución interesa conocer la probabilidad respecto a la cantidad de intentos que se realizan hasta obtener el primer «éxito».

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD GEOMÉTRICA ALEATORIA

• Como área de aplicación podemos citar situaciones donde los ingenieros intentan determinar la «eficacia» de un sistema de conmutación telefónica durante períodos ocupados.

1DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD GEOMÉTRICA ALEATORIA

• Siendo x la variable aleatoria de interés, definida como el número de intentos requeridos para lograr el primer éxito, por lo que los valores que puede tomar la variable aleatoria X son 1, 2, 3, ... , n, excepto 0. En este caso se cumple que (X = x) si y sólo si los primeros (x – 1) ensayos son fracasos (q) y el x-ésimo ensayo es éxito (p), por lo que:

PROPOSICIÓN

Media o valor esperado:

Varianza:


𝑃 (𝑋=𝑥 ) ¿ (1−𝑝)𝑥− 1𝑝𝑃 𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜

𝑃 𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒 é 𝑥𝑖𝑡𝑜𝐸 𝑙𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

DESCRIPCIÓN DE LA FÓRMULA

x123

x…

Distribución de

probabilidad


Ejemplo 1:• Se lanza al aire una moneda

8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, ¿Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila?.


Datos:x: 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez un águila.p: Probabilidad de éxito q: Probabilidad de fracaso

DESARROLLO DEL EJEMPLO 1

𝑃 (𝑋=𝑥 ) ¿ (𝑞)𝑥−1𝑝

𝑃 (𝑋=8 )=( 13 )8− 1

∗ 23=3.0483∗10−3


Ejemplo 2:• Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello

deciden tener hijos hasta el nacimiento de una hija. Calcular el número esperado de hijos (entre varones y hembras) que tendrá el matrimonio. Calcular la probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres hijos o más.



Datos:p: Probabilidad de que tengan una niña = x: Número de hijos varones antes de nacer una niña = k

𝑃 (𝑋=𝑘)=(1− 12 )𝑘− 1

∗ 12= 12𝑘

𝑷 ( 𝑿=𝒙 ) ¿(𝟏−𝒑)𝒙 −𝟏𝒑


La probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres o más hijos, es la de que tenga 2 o más hijos varones (la niña está del tercer lugar en adelante), es decir:


DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA ALEATORIA

• Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto el cual contiene algunos elementos considerados «éxitos» y los restantes son considerados «fracasos».

• Aplicaciones:• Pruebas electrónicas• Control de calidad• En problemas de muestreos de declaraciones de

impuestos sobre ingresos.

9DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA ALEATORIA

• Si X es el número de éxitos (E) en una muestra completamente aleatoria de tamaño n extraída de la población compuesta de M éxitos y (N-M) fallas, entonces la distribución de probabilidad de X llamada distribución hipergeométrica, es:

𝑷 ( 𝑿=𝒙 )=𝒉 (𝒙 ;𝒏 ,𝑴 ,𝑵 )=(𝑴𝒙 )(𝑵 − 𝑴

𝒏 − 𝒙 )(𝑵𝒏 )

PROPOSICIÓN

Media: Varianza:


N

n

M

x n - xN - M

«éxitos» en la muestra

«éxitos»

«fracasos en la muestra»

«Fracasos»

«muestra»

DESCRIPCIÓN DE LA FÓRMULA

𝑷 ( 𝑿=𝒙 )=(𝑴𝒙 )(𝑵 − 𝑴

𝒏 − 𝒙 )(𝑵𝒏 )


• Una caja contiene 6 canicas azules y 4 rojas. Se realiza un experimento en el que se toma una canica en forma aleatoria y se observa de que color es, pero la que se extrae no se devuelve a la caja.

a) Calcular la probabilidad de que, después de cinco intentos de este experimento, se hayan tomado 3 canicas azules.

EJEMPLO 1


N: Número total de bolas.M: Número de bolas azules.n: Número de bolas extraídas.x: Número de bolas azules que podemos tomar durante el experimento.


Datos necesarios N:10 ; M:6 ; n:5 ; x:3

𝑃 (𝑋=3 )=(𝑴𝒙 )(𝑵 −𝑴

𝒏− 𝒙 )(𝑵𝒏 )

=(63)(10−65−3 )

(105 )=

(63)(42 )(105 )

=( 6 !3 !∗3 ! )( 4 !

2 !∗2! )( 10 !5 !∗5 ! )

=1021


• De 50 edificios en un parque industrial, 12 no cumplen el código eléctrico. Si se seleccionan al azar aleatoriamente diez edificios para inspeccionarlos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de diez no cumplan el código?

b) Calcular la media y varianza de x.

EJEMPLO 2


N: Número total de edificios.M: Número de edificios que no cumplen el código eléctrico.n: Número de edificios a inspeccionar.x: Número de edificios de la muestra que no cumplen el código eléctrico.


Datos necesarios N:50 ; M:12 ; n:10 ; x:3Literal a:


𝑃 (𝑋=3 )=(𝑴𝒙 )(𝑵 −𝑴

𝒏− 𝒙 )(𝑵𝒏 )

=(123 )(50−1210−3 )

(5010 )=

(123 )(387 )(5010 )

=( 12 !3 !∗9 ! )( 38 !

7 !∗31! )( 50 !10 !∗40 !)

𝑃 (𝑋=3 )=0.2703

𝝁=𝒏𝑴𝑵

=10∗1250

=2.4

Literal b: (Media)

Literal c: (Varianza)

𝝈𝟐=𝒏𝑴𝑵 (𝟏−𝑴𝑵 )( 𝑵−𝒏𝑵−𝟏 )=10∗1250 (1− 1250 )( 50−1050−1 )=1.4889


distribuciÓn geomÉtrica

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