regla de la cadena
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
La Regla de la Cadena
Tomado de UNIMET Prof. Antonio SyersPara el curso de cálculo Multivariable de
Marcos Sandoval
Introducción
Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t,), ambas funciones derivble, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple:
dtdx
dxdy
dtdy
Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones
Caso 1
Supongamos que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable de t y se cumple que:
dtdy
yf
dtdx
xf
dtdz
Veamos esta fórmula de manegra gráfica:
Caso 1Z =f (x,y)
x y
t t
x
y
dtd
dtd x
fdtdz
dtdx
yf
+dtdy
Si representa la temperatura en el punto (x,y) y Son las ecuaciones paramétricas de una curva C , calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva
Ejemplo42 xy3yx)y,x(T
senty;ex t
T
x
y
t
t
xT
dtdT
dtdx
yT
+dtdy
yT
xT
dt
dx
dtdy
Ejemplo
t cos xy 12 x e y3 xy 2dtdT3 2 t 4
Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0, entonces
0t))0(y),0(x(0t))0(y),0(x(0t dtdy
yf
dtdx
xf
dtdz
10cos1e0dtdz 0
0t
Caso 1 ( General)
Suponga que z es una función derivable de las n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:
dtdx
xz
...dt
dx
xz
dtdx
xz
dtdx
xz
dtdz n
n
3
3
2
2
1
1
Caso 2
Supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t) y las derivadas parciales de g y h existen . Entonces:
sy
yf
sx
xf
sz
ty
yf
tx
xf
tz
Caso 2
x y
t t
x
y
t
t
s s
s
s
sz
xf
sx
+yf
sy
tz
xf
tx
+y
f
ty
Z =f (x,y)
Supongamos que w = f(x,y,z) es una función derivable de x, y de z, donde x = g(s,t), y =h(s,t), z =k(s,t) y las derivadas parciales de g, h, k existen . Entonces
sz
zf
sy
yf
sx
xf
sw
tz
zf
ty
yf
tx
xf
tw
x y
t t
x
y
t
t
s s
s
s z
t
t
s
s
zw=f (x,y,z)
sz
zf
sy
yf
sx
xf
sw
tz
zf
ty
yf
tx
xf
tw
Ejemplo
Demuesrtre que
rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si
222
2
2
yf
xfz
r
1rz
x y
x
y
r r
r
r
Z =f (x,y)
ejemplo…
ry
yf
rx
xf
rz
senyf
cosxf
yyfx
xfz
cosryf
rsenxf
ejemplo…
2
22cos
xf
rz
22
2 senyf
sencosyf
xf
22
22cosr
yfz
222
22 senrxf
sencosryf
xf
ejemplo…
2
22
21
cosxfz
r
22
2 senyf
sencosyf
xf
Por lo tanto
22
222
2
2 1sencos
yf
xfz
rrz
22
yf
xf
Segunda derivadaLa segunda derivada de una función es análoga a la primera, es decir, depende de las mismas variables que depende la función original. Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y=h(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y) también depende de x y de y, y además x,y dependen de s y t ( esto también se cumple para fy(x,y)).
Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo…
Muestre que cualquier función de la forma )atx(g)atx(fz
Donde a es una constante, cumple con la ecuación:
2
22
2
2
x
za
t
z
Solución:Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces
)v(g)u(fz
xv
)v(gxu
)u(fx
)v(gx
)u(fxz
)v(g)u(f
)v(g)u(fxx
z
2
2
xv
dv)v(gd
xu
du)u(fd
)v(g)u(f
Calculemos ahora2
2
t
z
tv
)v(gtu
)u(ft
)v(gt
)u(ftz
)v(g)u(faa)v(ga)u(f
)v(g)u(ft
at
z
2
2
tv
dv)v(gd
tu
du)u(fd
a
)v(g)u(faa)v(ga)u(fa 2
2
222
2
2
x
za)v(g)u(fa
t
z
Ejemplo rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si
Demuestre que: 22
2
2
22
2
yf
xf
rz
r1z
r
1
r
z
senyf
cosxf
rz
Del ejemplo anterior, tenemos que
cosr
yf
rsenxfz
ejemplo…
sen
yf
cosxf
rr
z2
2
senr
fcos
rf yx
cossenyf
cosxf xx
sensen
y
fcos
x
f yy
ejemplo…
yy2
xyxx2 fsenfsencos2fcos
cosr
yf
rsenxfz
2
2
Por otra parte,
xf
rsenxf
cosr
yf
cosryf
rsen
ejemplo…
xf
cosr
cosrfrsenfrsen xyxx
xf
yf
rsen
rsenfcosrfcosr yxyy
yf
ejemplo…
Simplificando resulta,
xx22
yx2
2fsenrfrsenfcosr
z
yy22
yx fcosrfsencosr2
Así,22
2
2
22
2
yf
xf
rz
r1z
r
1
r
z
COMPRUEBELO!!
Ecuación de Laplace
Definición:Sea f una función, f:IRnIR, diferenciable, se define el LaplacianoLaplaciano de f
Y se denomina la ecuación de Laplaceecuación de Laplace a:
2
2
2
22
y
f
x
ff
0y
f
x
f0f
2
2
2
22
Ejemplo
Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace, esto es,
0y
f
x
f2
2
2
2
Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y), también satisface la ecuación de laplace.Demostración:Lo que queremos probar es que:
0y
z
x
z2
2
2
2
Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces
u v
y y
u
v
y
y
x x
x
x
Z =f (u,v)
vf
2uf
xv
vf
xu
uf
xz
xv
uvf
xu
u
f
x
z 2
2
2
2
2
xv
v
fxu
vuf
22
22
2
22
2
2
2
2
v
f4
vuf
4u
f
x
z
vf
uf
2yv
vf
yu
uf
yz
yv
uvf
yu
u
f2
y
z 2
2
2
2
2
yv
v
fyu
vuf
2
22
2
22
2
2
2
2
v
fvuf
4u
f4
y
z
Entonces,
2
2
2
2
2
2
2
2
v
f5
u
f5
y
z
x
z
0v
f
u
f5
2
2
2
2
Ecuación de Laplace para f
Derivación Implícita
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como una función de x, esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En efecto:Tenemos la ecuación 0)y,x(F
dx
)0(ddx
)y,x(dF
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular z/ x, z/ y
0dxdy
yF
xF
0dxdy
yF
dxdx
xF
0)F( FF
yFxF
dxdy
yy
x
Supongamos que queremos calcular z/ x 0)z,y,x(F
x)0(
x)z,y,x(F
0dxdz
zF
dxdy
yF
dxdx
xF
0dxdz
zF
xF
0)F( FF
zFxF
xz
zz
x
Ejercicio: Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y. Demuestre que:
0)F( F
F
zFyF
yz
zz
y
Ejemplo
Supongamos que una ecuación de la forma F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y.Calcular z/ x.Solución:Sea u=xy, v = z/y
0yxz
vF
yuF
0dxdv
vF
xu
uF
)0vF
(
vF
uF
y
vF
uF
y
xz
22