ESCUELA: CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

NOMBRES:

LA REGLA DE LA CADENA

CICLO:

Ing. Diana A. Torres G.

OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010

BIMESTRE: II Bimestre

LA REGLA DE LA CADENA

Con la reglas de derivación estudiadas hasta el momento son limitadas a expresiones sencillas.

¿Qué hacer cuando se tiene expresiones como la siguiente y = (xy = (x22 − 4) − 4)53/353/3 ?, resulta que es prácticamente imposible derivarla.

Surge la regla de la cadena que ayuda a derivar funciones compuestas

Teorema. La Regla de la Cadena Si y = f(u)y = f(u) es una función derivable de u Y u = g(x)u = g(x) es una función derivable de x

Entonces: y y = f(g(x) es una función derivable de x y

O su equivalente

.dy dy du

dx du dx

'( ( )) '( )d

f g x f g x g xdx

Ejemplo: Encontrar dy/dxdy/dx para y = (x2 + 1)3

u = x2 + 1

u’=2x

y = u3

2

2 2

2 2

.

3 .(2 )

3( 1) (2 )

6 ( 1)

dy dy du

dx du dxdy

u xdxdy

x xdxdy

x xdx

Teorema. La Regla General de las Potencias

Si y = [u(x)]y = [u(x)]n n donde u es una función derivable de x y n es un número racional entonces

o su equivalente

1( )

ndy dun u x

dx dx

1[ ] 'n ndu nu u

dx

Ejemplo: Encontrar la derivada de f(x)f(x) = (3x -2x= (3x -2x22))33

u = 3x -2x2

u’ = 3 – 4xf(x) = u3

2

2 2

'( ) .

'( ) 3 .(3 4 )

'( ) 3(3 2 ) (3 4 )

dy duf x

du dx

f x u x

f x x x x

Ejemplo: Encontrar la derivada de g(t)(t) = -7 / (2t – 3)= -7 / (2t – 3)22

g(t) = -7(2t – 3)-2 reescribir la función

u = 2t – 3

u’ = 2

1

3

3

3

'( ) 7 ( )( )( ')

' 7 ( 2)( ) (2)

'( ) 28(2 3)

28'( )

(2 3)

ng t n u u

g t u

g t t

g tt

Funciones Trigonométricas y la Regla de la Cadena

2

cos '

tan sec '

sec sec tan '

dsen u u u

dxd

u u udxd

u u u udx

2

cos '

cot csc '

csc csc tan '

du sen u u

dxd

u u udxd

u u u udx

Ejemplos:

5

2cos3y x

2( 3 )(6 )y sen x x

23u x' 6u x

(cos ) 'y u u( )6y sen u x

26 ( 3 )y x sen x

Ejemplos:

5

3( ) 4f t sen t

3( ) ( 4 )f t sen t

2'( ) 3( 4 ) 4d

f t sen t sen tdt

2'( ) 3( 4 ) (cos 4 ) 4d

f t sen t t tdt

2'( ) 3( 4 ) cos 4 4f t sen t t

2'( ) 12 4 cos 4f t sen t t

DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

La variable y esta definida implícitamente. Derivar ambos lados de la ecuación

respecto de x. Agrupar los términos en que aparezca

dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha.

Factorizar dy/dx del lado izquierdo de la ecuación

Despejar dy/dx

12

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x

3 2 2[ 5 ] [ 4]d dy y y x

dx dx

3 2 25 4d d d d dy y y x

dx dx dx dx dx

23 2 5 2 0dy dy dy

y y xdx dx dx

13

2. Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás

a la derecha

23 2 5 2dy dy dy

y y xdx dx dx

3. Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás

a la derecha

2[3 2 5] 2dy

y y xdx

14

3. Despejar dy/dx

2

2

3 2 5

dy x

dx y y

RITMOS O VELOCIDADES RELACIONADAS

En la mayoría de problemas sobre ritmos relacionados, los parámetros del problema dado casi siempre son dependientes del tiempo.

Para proceder a derivarlos, necesariamente se debe utilizar la regla de la cadena.

Ejemplo: Un obrero levanta con la ayuda de una soga, un tablón hasta lo alto de un edificio en construcción.

Supongamos que el otro extremo del tablón sigue una trayectoria perpendicular a la pared y queel obrero mueve el tablón a razón de 0.15m/s. ¿ A qué ritmo se desliza por el suelo el extremocuando está a 2.5 m de la pared?

Del teorema de Pitágoras se tiene que x2 + y2 = r2

derivamos a la expresión como función implícita tomando en cuenta que el tablón no cambia de longitud. Se tiene:

Donde:

0dx dyx ydt dt

.x

dx y dyv

dt x dt

4.33.(0.15)

2.5

0.26

x

x

v

mv s

19

Bibliografía:

Cálculo Octava Edición Larson Hostetler Edward