Diferencial Total y Regla de la Cadena

PROBLEMA 1 :El radio de un cono circular recto se mide y es de 5 cm con un error posible de y la altura se mide y es de 12 cm con un error posible de . ¿Cuál es error máximo posible en los valores de el volumen y del área lateral del cono?

0.2cm0,3cm

• Las medidas de una caja rectangular cerrada son longitud , anchura , altura con un error de cm en cada medición. ¿Cuál es el error máximo posible en el valor calculado y el área de la caja?

5cm 3cm3,5cm 1

12

PROBLEMA 2 :

• ¿Qué es el incremento y diferencial de una función real de variable real?

• ¿Cómo se definirá el incremento y diferencial de una función ?( , )z f x y

• Sabiendo que :

y

¿Se podrá definir las siguientes derivadas: ?

* 2, :( , ) ( , ) , ( , )

x y D R Ru v x x u v y y u v

,f fu v

𝑓 :𝐷⊂𝑅2→𝑅¿

• Y si las variables e estuvieran definidas como sigue :

¿Como se podrá definir la siguiente derivada : ?

x y

*, :( ) , ( )

x y D R Rt x x t y y t

dfdt

A CONTINUACIÓN TRATE DE RESOLVER LO SIGUIENTES EJERCICIOS

• Hallar el incremento y diferencial total de :

• Hallar el valor aproximado :

• Hallar si , y :

2 2( , ) xf x y xe y

2 1/2[2(5.02) (2.01)( 0.99) (0.99) ]

dFdt

2( , ) 2 3F x y x xy 2( ) 7x t t y sent

LOGRO DE LA SESIÓN

• Al término de la sesión, el estudiante aproxima mediante las derivadas parciales el incremento de una función con el diferencial total, verificando sus resultados aproximados con una calculadora, asimismo obtiene la derivada de una función compuesta, aplicando las definiciones y teoremas, con precisión en el cálculo.

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE

• Si es un punto de la gráfica de entonces y se identifica a la derivada de como . Con las notaciones dadas se definen el incremento de la función y de la variable como sigue:

así como la diferencial de :

( , )x y f

( ) ( )x dx y f x x f x

' '( )y f xx

'( )d y f x dx

f( )y f x

y

DEFINICIÓN DE INCREMENTO Y DIFERENCIAL TOTAL

• De manera similar se usa una terminología para una función de dos variables, . Es decir son los incrementos en y , y el incremento en está dado por

( , )z f x y ,x y xy z

( , ) ( , ).z f x x y y f x y

DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL TOTAL

• si y son los incrementos en y en , entonces, las diferenciales de las variables independientes y son :

y la diferencial total de la variable dependiente es :

( , )z f x y ,x y x yx y

,d x x d y y z

( , ) ( , )x yz zd z dx dy f x y dx f x y dyx y

NOTA :

• La definición anterior se puede extender a una función de tres o más variables. Por ejemplo , si , entonces , y la diferencial total de es :

( , , , )w f x y z u d x x, ,d y y d z z d u u w

w w w wd w dx dy dz dux y z u

DEFINICIÓN DE DIFERENCIABILIDAD

Una función dada por es diferenciable en si puede expresarse en la forma

donde cuando . La función es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R

f ( , )z f x y 0 0( , )x y z

0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y

1 2, 0 ( , ) (0,0)x y f

Teorema : condición suficiente para la diferenciabilidad :

Si es una función de e , para la que son continuas en una región abierta R, entonces es diferenciable en R.f x y ,x yf f

f

INTERPRETACIÓN DE DIFERENCIABILIDAD• El teorema anterior nos dice que se puede elegir

suficientemente cerca de para hacer que las cantidades sean insignificantes. En otras palabras, para pequeños, se puede usar la aproximación :

( , )x x y y ( , )x y

1 2,x y ,x y

z dz

REGLA DE LA CADENA : DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

• Sea , donde es una función diferenciable de . Si las variables es tan definidas como sigue y así como las derivadas parciales de primer orden

y , existen , entonces existen y están dadas por :

f ,x y( , )w f x y( , )x g s t ( , )y h s t

, ,x s x t y s y t ,w s w t

;w w x w y w w x w yt x t y t s x s y s

wx

wy

xt

xs

yt

ys

w

y

x

s

t

t

s

REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

• Sea , donde es una función diferenciable de . Si las variables es tan definidas como sigue y , donde g y h , son funciones derivables de , entonces es una función diferenciable de y

( , )w f x y f ,x y( )x g t ( )y h t

t wt

w w x w yt x t y t

w

y

x t

t

AHORA RESOLVER LO SIGUIENTES EJERCICIOS

• Hallar el incremento y diferencial total de :

• Hallar el valor aproximado :

• Hallar si , y :

2 2( , ) xf x y xe y

2 1/2[2(5.02) (2.01)( 0.99) (0.99) ]

dFdt

2( , ) 2 3F x y x xy 2( ) 7x t t y sent

BIBLIOGRAFÍA

1. Larson-Hostetler “Cálculo “ 515.15 LARS

2. Stewart, James. “Cálculo multivariable” 515 STEW/M 2002