regla de la cadena
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La regla de la potencia es un caso especial de la regla de la cadena para diferenciar funciones compuestas.TRANSCRIPT
REGLA DE LA CADENA
Una potencia se puede escribir como una función compuesta. Si f ( x )=xᶰ y u=g (x), entonces f (u )=f (g ( x ) )=〔 g(x )〕 ᶰ . La regla de la potencia es un caso especial de la rgla de la cadena para diferenciar funciones compuestas.
REGA DE LA CADENA
Si y=f (u) es una función diferenciable de u y u=g (x) es una función diferenciable de x, entonces
( dydx )❑
=( dydu ) .( dudy )= f (g ( x ) ) . g (x)
DEMOSTRACION DE LA REGLA DE LA POTENCIA PARA FUNCIONES
Como se señaló previamente, una potencia de una función puede escribirse como y=uᶰ , en donde n es un entero y u=g ( x ) .Puesto que dydu
=nu ᶰ ‾ ¹ y dudy
= g(x ) , por la regla de la cadena puede verse que
dydx
=dydu.dudx
=nuᶰ ‾ 1 g(x )
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Las derivadas de las funciones trigonométricas compuestas con una función diferenciable g , se obtiene como otra consecuencia directa de la regla de la cadena. Por ejemplo
si y=senu , en donde u=g (x) , entonces dydu
=cosu .Por lo tanto,
implica que
dydx
=dydu.dudx
=cosudydx
O, en forma equivalente,
ddxsen〔u〕=cos〔u〕 d
dx〔u〕
EJEMPLO
Diferenciar y=(9 x3+1 )2 sen5x
Solución primero se utiliza la regla del producto,
dydx
=¿¿
Y en seguida la regla de la potencia
dydx
=¿¿
dydx
=(9 x3+1 )2(453cos5 x+54 x2 sen5 x+5cos5 x)
EJEMPLO 2
Derivar (o diferenciar) y=tan (6 x2+1)
SOLUCION
dydx
=se c2 (6x2+1 ) · ddx
(6 x2+1 )=12xsec ² (6 x2+1)
Ejemplo :
Obtener dydx para las exresiones indicadas:
1.- x5+x2 y3− y6+7=0
d
dx (x5 )+ ddx
(x2 y3 )− ddx
( y6 )+ ddx
(7 )= ddx
(0 ) , ddy
( y6) · dydx
5 x4+x2 ddx
( y3 )+ ddxy ³ ( x2 )−6 y5 dy
dx+0=0
5 x4+x2 (3 y2 ) dydx
+2 xy ³−6 y5 dydx
=0
dydx
(3 x2 y2−6 y5 )=−5 x4−2xy ³ , dydx=−5 x4−2xy ³3 x2 y2−6 y ⁵