INSTITUTO TECNOLOGICO de Tlalnepantla. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELCTRICA Y ELCTRONICA. MATERIA: ANLISIS DE CIRCUITOS ELCTRICOS II UNIDAD: III TEMA: REDES DE DOS PUERTOS. TRABAJO: REDES DE DOS PUERTOS. REALIZO: ANONIMO CARRERA: Ing. ELCTRICA. SEMESTRE: 5. lunes, 04 de junio de 2001 1. REDES DE DOS PUERTOS Considrese la red de dos puertos. Convencionalmente se supone que I1 e I2 flu-yen hacia la red como se indica. Las variables son V1, V2, I1 e V2. En la red de dos puertos hay dos variables independientes y dos dependientes, y se puede elegir un conjunto de dos variables inde-pendientes entre los seis conjuntos posibles: (V1, V2), (Ir, `2), (I1, I2), (I1, V2), (V1, I1) y (V2, I2). Tambin se supondr que los elementos son lineales. En la tabla 181 se resumen las posibilidades entre las variables independientes (de entrada) y las variables dependientes asociadas. En la misma tabla se identifican tambin los nombres de los seis conjuntos de parmetros asociados del circuito. En el caso de transformadas fasorales o de Laplace con el circuito de la figura 181, se tienen las conocidas ecuaciones de impedancia donde las variables de salida son V1 y V2 como sigue: Tabla 181 Modelos de seis parmetros del circuito Variables Variables independientes dependientes Parmetros (entradas) (salidas) del circuito I1 , I2 V1, V2 Impedancia Z V1 ,V2 I1 , I2 Admitancia Y V1 , I2 I1 , V2 Hbrido g I1 , V2 V1 , I2 Hbrido h 1

V2 , I2 V1 , I1 Transmisi6n T V1 , I1 V2 , I2 Transmision inversa T V1 = Z11I1 +Z12I2 (189) V2 =Z21I1 +Z22 I2 (1810) Las ecuaciones para las admitancias son I1 = Y11 V1 +Y22 V2 (1811) I2= Y21 V1 + Y22 V2 (1812) Si se prefiere, es adecuado utilizar las letras minsculas z y y para los coeficientes de las ecuacio-nes 189 a 1812. En la tabla 182 se resumen las ecuaciones para los seis conjuntos de parmetros de dos puertos. Cuando los elementos son lineales y no hay fuentes ni amplificadores operacionales dentro de la red de dos puertos, se puede demostrar, mediante el teorema de reciprocidad, que Z12 = Z21 y Y21 = Y12 En la figura 187 aparece un posible arreglo de un circuito pasivo como circuito 1. Planteando las dos ecuaciones de malla para esta figura pueden obtenerse fcilmente las ecuacio-nes 189 y 1810. Por tanto, el circuito de la figura 187 puede representar los parmetros de impe-dancia. Un posible arreglo de los parmetros de admitancia en forma de circuito FI aparece en la figura 188.

2

Examinando la ecuaci6n 189 se observa que Z11 puede medirse para obtener V1 Z11 = l2 = 0 I1 Por supuesto, I2 = 0 implica que las terminales de salida estn en circuito abierto. Por ello, los pa-rmetros Z suelen llamarse impedancias de circuito abierto. Los parmetros Y pueden medirse para determinar que l1 Y12 = V1 = 0 v2

3

En general, los parmetros de admitancia se llaman parmetros de admitancia de corto-circuito. Ejemplo 183 Determinar los parmetros de admitancia e impedancia de la red 1 que aparece en la figura 189.

Solucin: Los parmetros de admitancia utilizan las terminales de salida en cortocircuito y l1 Y11= V2 = 0 V1 Entonces, los dos resistores de 8 Q estn en paralelo y 171 = 281t. Por tanto, 1 Y11 = s 28 Para Y12, l1 Y12 = V1 = 0 V2 as que se cortocircuitan las terminales de entrada. Se obtiene as el circuito que aparece en la figu-ra 1810.

4

Luego, en forma matricial se tiene I = YV o

Ahora se calcularn los parmetros de impedancia. Se tiene

Las terminales de salida estn en circuito abierto, como en el circuito de la figura 189. Entonces, Z11= 24 + 8 = 32 De igual modo, Z22 = 16 Q y Z12 = 8 . Entonces, en forma matricial se tiene V = ZI o sea V1 32 8 I1 =

5

V2 8 16 I2 Los mtodos generales para determinar los parmetros Z y Y se resumen en las tablas 183 y 184, respectivamente. Tabla 183 Mtodo para obtener los parmetros Z de un circuito Paso La Para calcular Z11 y Z21, conectar una fuente de corriente V1 a las terminales de entrada y poner en cortocircuito las terminales de salida. Paso IB Calcular I1 y V2 y despus Z11 = V1/I1 y Z21 =V2/I1 Paso IIA Para determinar Z22 y Z12, conectar una fuente de corriente V2 en las terminales de salida y poner en cortocircuito las terminales de entrada. Paso lIB Calcular I2 y V1 y luego Z22 = V2/I2 y Z12 =V1/I2 Nota: Z12 = Z21 solo si no hay fuentes dependientes ni amplificadores operacionales dentro de la red de dos puertos. Tabla 184 Mtodo para obtener los parmetros Y de un circuito Paso JA Para determinar Y11 y Y21, conectar una fuente de voltaje I1 a las terminales de entrada y poner las terminales de salida en circuito abierto. Paso IB Calcular V1 e I2 y luego Y11 =I1/V1 y Y21 =I2/V1 Paso IIA Para determinar Y22 y Y12, conectar una fuente de voltaje V2 a las terminales de salida y poner las terminales de entrada en circuito abierto. Paso lIB Calcular I1 y V2 y luego Y22 =I2 /V2 y Y12 = I1 / V2. Nota: Y12 = Y21 solo si no hay fuentes dependientes ni amplificadores operacionales dentro de la red de dos puertos.

6

1.1 PARAMETROS Z y Y PARA UN CIRCUITO CON 186 FUENTES DEPENDIENTES Cuando un circuito incluye una fuente dependiente, es fcil utilizar los mtodos de las tablas 183 o 184 para determinar los parmetros Z o Y. Cuando en el circuito hay una fuente dependiente, Z21= Z12 y Y12 = Y21.

Solucin: Los parmetros Z se determinan con el mtodo de la tabla 183. Se conecta una fuente de voltaje ~`1 y se abre el circuito en las terminales de salida, como aparece en la figura 1812a.

La LKC en el nodo a conduce a I1 mV2 I = 0 (1813) La LKV en torno al lazo exterior es V1= 4I~ + 5I (1814) Adems, V2 = 3I, o sea I=V2/3 ; sustituyendo esto en la ecuacin 1813, se obtiene

Sustituyendo 1= 172/3 y la ecuacin 1815 en la 1814, 7

Para obtener Z22 y Z12, se conecta una fuente de voltaje ~2 a las terminales de salida y se abre el circuito en las terminales de entrada, como se muestra en la figura 1812b. Pueden plantearse dos ecuaciones de malla con la direccin supuesta de la corriente, que son

Adems, 14 = mV2, que sustituida en la ecuacin 1818, da

Sustituyendo 14 = mV2 en la ecuacin 1817, se obtiene

Ntese que Z21 _ Z12, dado que existe una fuente dependiente en el circuito. 1.2 PARAMETROS HBRIDOS Y DE TRANSMISIN Las ecuaciones de los parmetros hbridos de dos puertos se basan en 171 e `2 como variables de sa-lida, de modo que 8

Estos parmetros se emplean mucho en modelos de circuitos con transistores. El modelo de cir-cuito hbrido aparece en la figura 1813.

Las ecuaciones de los parmetros hbridos inversos son

I1 = g11V1 + g12I2 (1822) V2= g21V1 + g22I2 (1823) Los parmetros hbridos e hbridos inversos incluyen tanto los parmetros de impedancia como los de admitancia, de ah su nombre de hbrido. Los parmetros h11, h12, h21 y h22 represen-tan, respectivamente, la impedancia de entrada en cortocircuito, la ganancia inversa de voltaje en circuito abierto, la ganancia directa de corriente en cortocircuito y la admitancia de salida en cir-cuito abierto. Los parmetros g11, g12, g21 y g22 representan la admitancia de transferencia en cor-tocircuito, la ganancia directa de corriente en circuito abierto, la ganancia directa de voltaje en circuito abierto y la impedancia de salida en cortocircuito, respectivamente. Los parmetros de transmisin se expresan como sigue:

9

Los parmetros de transmisin se utilizan para describir la transmisin por cable, por fibra y por lnea. Los parmetros A, B, C y D representan, respectivamente, la razn de voltajes en circuito abierto, la impedancia de transferencia negativa en cortocircuito, la admitancia de transferencia en circuito abierto y la razn de corriente negativa en cortocircuito. Los parmetros de transmi-sin suelen llamarse parmetros ABCD. En este libro, el inters se centrar en los parmetros h-bridos y de transmisin, dado que se utilizan extensamente. Ejemplo 185 a) Determinar los parmetros h del circuito T de la figura 1815 en trminos de R1, R2 y R3. b) Evaluar los parmetros cuando R1 = 1, R2 =4 y R3 = 6.

Solucin a) Primero, se calculan h11 y h21 cortocircuitando las terminales de salida y conectando una fuen-te de corriente de entrada I1, como se ve en la figura 1816a. Por tanto,

Entonces, usando el principio del divisor de corriente,

10

El siguiente paso es redibujar el circuito con I1= O y conectar la fuente de voltaje V2 como se ve en la figura 1816b. Entonces se puede determinar h12 a partir del principio del divisor de volta-je, como sigue:

Por ltimo, se determina h22 a partir de la figura 1816b como sigue: Una propiedad de un circuito pasivo (sin fuentes entre los dos puertos) es que h12 = h21. (b) Cuando R1= 1, R2= 4 y R= 6,

1.3 RELACIONES ENTRE PARAMETROS DE DOS PUERTOS Si existen todos los parmetros bipuerto en un circuito, es posible relacionar un conjunto de parmetros con otro, dado que las variables V1, I1, V2 e I2 estn interrelacionadas por los parme-tros. Se examinar primero la relacin entre los parmetros Z y Y . La ecuacin matricial de los parmetros Z es V = ZI, o sea

Asimismo, la ecuacin de los parmetros Y es 1 = YV, o bien

Sustituyendo 1 de la ecuacin 1829 en la 1828, se obtiene

11

As, se puede obtener la matriz Z invirtiendo la matriz Y. Por supuesto, de igual modo puede ob-tenerse la matriz Y si se invierte una matriz Z conocida. Es posible que un bipuerto tenga una matriz Y o una matriz Z, pero no ambas. En otras palabras, en algunas redes pueden no existir Z'oY'. Si se tiene una matriz Y conocida, la matriz Z se determina calculando el determinante AY de la matriz Y y la adjunta de la matriz Y, que se define como sigue: donde AY= Y11Y22

Las relaciones de conversin de dos puertos para los parmetros Z, Y, h, g y T aparecen en la tabla 185. Ejemplo 186 Determinar los parmetros Yy h si 12

Solucin Primero se determinarn los parmetros Y calculando el determinante como sigue:

Despus, de la tabla 185, se obtiene

Los parmetros h se obtienen de la tabla 185,

1.4 INTERCONEXIONES REDES DE DOS PUERTOS. En muchos circuitos es comn que haya varias redes de dos puertos interconectadas en paralelo o en cascada. La conexi6n en paralelo de dos puertos, que se muestra en la figura 1817, exige que ~ sea igual para cada uno de ellos.

13

De igual modo, en el puerto de salida, V2 es el voltaje de salida de ambas redes. La ecuacin matricial que define a la red Na es

Por tanto, los parmetros Yen la red formada por dos redes de dos puertos en paralelo se describen mediante la ecuacin matricial

Por tanto, para determinar los parmetros Y de la red total se suman los parmetros Y de cada red. En general, la matriz de los parmetros Y de la conexin en paralelo es igual a la suma de las matrices de los parmetros Y de cada una de las redes de dos puertos.

En la figura 1818 se muestra la interconexin en serie de dos redes de dos puertos. Se em-plearn los parmetros Z para describir cada red y su combinacin en serie. Las dos redes se des- criben mediante las ecuaciones matriciales Por tanto, los parmetros Z de la red total son iguales a la suma de los parmetros Z de las dos redes. Cuando la salida de una red se conecta al puerto de entrada de la red siguiente, como aparece en la figura 1819, se 14

dice que las redes estn en cascada. Puesto que las variables de salida de la pri-mera red se convierten en las variables de entrada de la segunda, se utilizan los parmetros de transmisin.

La primera red de dos puertos, Na, se representa por la ecuacin matricial

As, los parmetros de transmisi6n de la red total se calculan multiplicando las matrices, obser-vando el orden pertinente. Todos los clculos precedentes para redes interconectadas presuponen que la interconexi6n no altera la naturaleza de los dos puertos en las subredes individuales. Ejemplo 187 En la red T de la figura 1820, a) determinar los parmetros Z, Yy Ty b) determinar los parme-tros resultantes despus de conectar dos bipuertos en paralelo y en cascada. Ambas redes son idnticas a la de la figura 181.

15

Solucin Primero, se calculan los parmetros Z de la red T. Examinando la red, se ve que

1 Por tanto (1815)

16