8/16/2019 r-25 PRUEBA 1 Analisis Sistema

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 U niversidad de Tarapacá scuela de Ingeniería léctrica y lectrónica 

Solución Primera Prueba de Análisis de Sistemas

Primer Semestre de 2012 

A) Conceptos

1.- En las dos primeras tabla se indican tipos de sistemas conforme a diferentes criterios. En la tercera tablase señalan características asociadas a ciertos sistemas específicos. Coloque el o los números de los tipos

que correspondan en la columna en blanco N.

N Característica de los Sistema Físicos o Propiedades Asociadas a ellos7-6 Las propiedades de sus elementos no dependen de coordenadas espaciales y las señales están

disponibles sólo en algunos instantes.

2-8  No cumplen el principio de superposición y se representan por ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales

4-8 Las propiedades de sus elementos dependen del tiempo y de las coordenadas espaciales

1-7 Cumplen el principio de superposición y las propiedades de sus elementos no dependen de las

coordenadas espaciales.

4-5 Las señales están disponibles en todo instante y las características de sus elementos dependen del

tiempo

1-3

5-7

Cumplen el principio de superposición, las características de sus elementos no dependen del

tiempo, se representan por ecuaciones diferenciales ordinarias y las señales están disponibles entodo instante.

2.- En la tabla de la izquierda se indican diversas propiedades, transformaciones o métodos relacionados consistemas. En la tabla de la derecha se nombran diversos conceptos (entidades). Indique en la columna en

 blanco los números de las propiedades que posee y/o las transformaciones o métodos que es posible

aplicar a la entidad señalada (pueden ser varias).

N Propiedades, Transformación o Método Nº Respuestas Entidades

1 Espectro de Frecuencia Contínuo 2-3-4-5-7 Señal Diente de Sierra

2 Serie de Fourier 3-7 Fasor3 Método Fasorial 1-4-6 Pulso Rectangular

4 Transformada de Laplace 3-7 Versor (fasor rotatorio)

5 Espectro de Frecuencia Discreto 3-4-5-7 Excitación Senoidal

6 Transformada de Fourier 1-4-6 Función Aperiódica Acotada

7 Frecuencia 3-4-5-7 Suma de 2 Senoides

Tipo de Sistema Tipo de Sistema

1 Lineal 5 De tiempo Contínuo

2 No Lineal 6 De tiempo Discreto

3 De Parámetros Invariantes en el tiempo 7 De Parámetros Concentrados

4 De Parámetros Variables en el tiempo 8 De Parámetros Distribuidos

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3.- Obtenga la transformada directa de Laplace de la función periódica siguiente sin usar la tabla detransformadas de funciones gráficas:

Solución: El primer periodo de f  (t ) es la función f 1(t ) que se muestra arriba a la derecha, la que se puededescomponer en una suma de las 4 funciones siguientes:

Es decir: 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d   f t f t f t f t f t = + + + , donde:3

( ) ( ),a A

 f t t u t T 

=  

( ) ( )3 3 2 2 3

( ) , ( ) , ( )3 3 3 3

b c d 

 A T T A T T A f t t u t f t t u t f t t T u t T 

T T T 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − = − − − = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Como: { } { } { } { } { }1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d  F s f t f t f t f t f t  = = + + +ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ , tendremos, aplicando las propiedadesde linealidad y traslación en el tiempo:

2

3 31 2 2 2 2

3 1 3 1 3 1 3 1( )

T T s s

Ts A A A AF s e e e

T s T s T s T s

− −−= − − + ,

2

3 31 2

3 1( ) 1

T T s s

Ts AF s e e e

T s

− −−⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ 

Aplicando la propiedad de funciones periódicas:( ) 1

1( ) ( )

1Ts

F s F se−

=−

, tendremos finalmente:

( )

2

3 3

2

3 1( )

1

T T s s

Ts

Ts

 A e e eF s

T s e

− −−

−

− − +=

− ,ó:

( )

2

3 3

2

3 (1 )(1 )( )

1

T T s s

Ts

 A e eF s

T s e

− −

−

− −=

− 

4.-  Obtenga la transformada inversa de Laplace de las siguiente función:

7

2 2

10( )

3 ( 4)

se

F ss s

−⋅=

+ 

Solución: Por simplicidad, dejaremos pendiente el factor constante 10/3 y el término e-7s (translación en

el tiempo en –7 seg.) que recuperaremos al final, así queda la función simplificada F a(s), siguiente:

2 2

1( )

( 4)aF s

s s=

+ 

T/3 2T/3 T t

(t )

 A

.................

1(t )

 A

0 T/3 2T/3 T t

a(t )

 A

0 T/3

b(t )

T/3 2T/3

− A 

c(t )

2T/3 T 

− A

d (t )

T 4T/3 t

 A

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Esta función tiene una raíz doble en s = 0 y un par de raíces complejas conjugadas (imaginarias) en:

s = j2 y en s =− j2, luego, la descomposición en fracciones parciales será de la forma:

( )2 212 11 1 22 2 2 21

( ) 4( 4) 4

a

K K C s C  F s s s

s s s s s

+= = + + × +

+ + 

( ) ( )   ( )2 2 212 11 1 21 4 4K s K s s C s C s= + + + + + , ordenando:

( ) ( )3 211 1 12 2 11 121 4 4K C s K C s K s K  = + + + + + , igualando coeficientes de igual potencia de s:

0

12 12

1

11 11

2

12 2 2 12 2

3

11 1 1 11 1

14 1 (a)

4

4 0 0 (b)

10, , con (a)

4

0, , con (b) 0

s K K 

s K K 

s K C C K C  

s K C C K C  

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

 

Luego:

( )2 21 1

( )

4 4 4a

F s

s s

= −

+

, ó:

( )2 21 1 1 2

( )4 2 4

aF s

s s

⎡ ⎤⎢ ⎥= −

+⎢ ⎥⎣ ⎦

, luego:

1 1( ) 2 ( )

4 2a f t t sen t u t 

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦ 

Recuperando la constante10

3 e incorporando la traslación de – 7 seg., es decir

10( ) ( 7)

3a f t f t = − ⇒  

( )10 1

( ) 7 2( 7) ( 7)12 2

 f t t sen t u t ⎡ ⎤

= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

 

5.- Utilizando la Transformada de Laplace, resuelva la ecuación diferencial siguiente para encontrar la

función y(t ), con las condiciones iniciales indicadas:2

23 , con (0) 0, e (0) 0

d y y sen t y y

dt + = = =  

Solución: Aplicando ℒ{} a la ec. diferencial:   { }2

23

d y y sen t 

dt 

⎧ ⎫⇒ + = ⇒⎨ ⎬

⎩ ⎭ℒ ℒ  

( )( )

2 2

2 2 2

3 31

3 9s Y s Y s Y s s

s s+ = ⇒ + = ⇒

+   +( ) ( ) ( )

 ( ) ( )

  ( ) ( )2 22 22 23

1 91 91 9

 A BY s s s

s ss s= = + × + +

+ ++ +( )  

( ) ( )2 23 9 1s A s B= + + + , ordenando: 23 9s A B A B⇒ = + + +( ) , de donde:1 0s A B B A⇒ + = ⇒ = −  

0 3 39 3 9 3 ,8 8

s A B A A A B⇒ + = ⇒ − = ⇒ = = − , luego:

2 2

3 1 1 3

8 1 8 9Y s

s s= − ⇒

+ +( )

3 13

8 8 y t sent sen t u t 

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠( ) ( )