r-25 prueba 1 analisis sistema
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8/16/2019 r-25 PRUEBA 1 Analisis Sistema
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U niversidad de Tarapacá scuela de Ingeniería léctrica y lectrónica
Solución Primera Prueba de Análisis de Sistemas
Primer Semestre de 2012
A) Conceptos
1.- En las dos primeras tabla se indican tipos de sistemas conforme a diferentes criterios. En la tercera tablase señalan características asociadas a ciertos sistemas específicos. Coloque el o los números de los tipos
que correspondan en la columna en blanco N.
N Característica de los Sistema Físicos o Propiedades Asociadas a ellos7-6 Las propiedades de sus elementos no dependen de coordenadas espaciales y las señales están
disponibles sólo en algunos instantes.
2-8 No cumplen el principio de superposición y se representan por ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales
4-8 Las propiedades de sus elementos dependen del tiempo y de las coordenadas espaciales
1-7 Cumplen el principio de superposición y las propiedades de sus elementos no dependen de las
coordenadas espaciales.
4-5 Las señales están disponibles en todo instante y las características de sus elementos dependen del
tiempo
1-3
5-7
Cumplen el principio de superposición, las características de sus elementos no dependen del
tiempo, se representan por ecuaciones diferenciales ordinarias y las señales están disponibles entodo instante.
2.- En la tabla de la izquierda se indican diversas propiedades, transformaciones o métodos relacionados consistemas. En la tabla de la derecha se nombran diversos conceptos (entidades). Indique en la columna en
blanco los números de las propiedades que posee y/o las transformaciones o métodos que es posible
aplicar a la entidad señalada (pueden ser varias).
N Propiedades, Transformación o Método Nº Respuestas Entidades
1 Espectro de Frecuencia Contínuo 2-3-4-5-7 Señal Diente de Sierra
2 Serie de Fourier 3-7 Fasor3 Método Fasorial 1-4-6 Pulso Rectangular
4 Transformada de Laplace 3-7 Versor (fasor rotatorio)
5 Espectro de Frecuencia Discreto 3-4-5-7 Excitación Senoidal
6 Transformada de Fourier 1-4-6 Función Aperiódica Acotada
7 Frecuencia 3-4-5-7 Suma de 2 Senoides
Tipo de Sistema Tipo de Sistema
1 Lineal 5 De tiempo Contínuo
2 No Lineal 6 De tiempo Discreto
3 De Parámetros Invariantes en el tiempo 7 De Parámetros Concentrados
4 De Parámetros Variables en el tiempo 8 De Parámetros Distribuidos
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3.- Obtenga la transformada directa de Laplace de la función periódica siguiente sin usar la tabla detransformadas de funciones gráficas:
Solución: El primer periodo de f (t ) es la función f 1(t ) que se muestra arriba a la derecha, la que se puededescomponer en una suma de las 4 funciones siguientes:
Es decir: 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d f t f t f t f t f t = + + + , donde:3
( ) ( ),a A
f t t u t T
=
( ) ( )3 3 2 2 3
( ) , ( ) , ( )3 3 3 3
b c d
A T T A T T A f t t u t f t t u t f t t T u t T
T T T
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − = − − − = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Como: { } { } { } { } { }1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d F s f t f t f t f t f t = = + + +ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ , tendremos, aplicando las propiedadesde linealidad y traslación en el tiempo:
2
3 31 2 2 2 2
3 1 3 1 3 1 3 1( )
T T s s
Ts A A A AF s e e e
T s T s T s T s
− −−= − − + ,
2
3 31 2
3 1( ) 1
T T s s
Ts AF s e e e
T s
− −−⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Aplicando la propiedad de funciones periódicas:( ) 1
1( ) ( )
1Ts
F s F se−
=−
, tendremos finalmente:
( )
2
3 3
2
3 1( )
1
T T s s
Ts
Ts
A e e eF s
T s e
− −−
−
− − +=
− ,ó:
( )
2
3 3
2
3 (1 )(1 )( )
1
T T s s
Ts
A e eF s
T s e
− −
−
− −=
−
4.- Obtenga la transformada inversa de Laplace de las siguiente función:
7
2 2
10( )
3 ( 4)
se
F ss s
−⋅=
+
Solución: Por simplicidad, dejaremos pendiente el factor constante 10/3 y el término e-7s (translación en
el tiempo en –7 seg.) que recuperaremos al final, así queda la función simplificada F a(s), siguiente:
2 2
1( )
( 4)aF s
s s=
+
T/3 2T/3 T t
(t )
A
.................
1(t )
A
0 T/3 2T/3 T t
a(t )
A
0 T/3
b(t )
T/3 2T/3
− A
c(t )
2T/3 T
− A
d (t )
T 4T/3 t
A
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Esta función tiene una raíz doble en s = 0 y un par de raíces complejas conjugadas (imaginarias) en:
s = j2 y en s =− j2, luego, la descomposición en fracciones parciales será de la forma:
( )2 212 11 1 22 2 2 21
( ) 4( 4) 4
a
K K C s C F s s s
s s s s s
+= = + + × +
+ +
( ) ( ) ( )2 2 212 11 1 21 4 4K s K s s C s C s= + + + + + , ordenando:
( ) ( )3 211 1 12 2 11 121 4 4K C s K C s K s K = + + + + + , igualando coeficientes de igual potencia de s:
0
12 12
1
11 11
2
12 2 2 12 2
3
11 1 1 11 1
14 1 (a)
4
4 0 0 (b)
10, , con (a)
4
0, , con (b) 0
s K K
s K K
s K C C K C
s K C C K C
⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒ =
⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −
⇒ + = ⇒ = − ⇒ =
Luego:
( )2 21 1
( )
4 4 4a
F s
s s
= −
+
, ó:
( )2 21 1 1 2
( )4 2 4
aF s
s s
⎡ ⎤⎢ ⎥= −
+⎢ ⎥⎣ ⎦
, luego:
1 1( ) 2 ( )
4 2a f t t sen t u t
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
Recuperando la constante10
3 e incorporando la traslación de – 7 seg., es decir
10( ) ( 7)
3a f t f t = − ⇒
( )10 1
( ) 7 2( 7) ( 7)12 2
f t t sen t u t ⎡ ⎤
= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
5.- Utilizando la Transformada de Laplace, resuelva la ecuación diferencial siguiente para encontrar la
función y(t ), con las condiciones iniciales indicadas:2
23 , con (0) 0, e (0) 0
d y y sen t y y
dt + = = =
Solución: Aplicando ℒ{} a la ec. diferencial: { }2
23
d y y sen t
dt
⎧ ⎫⇒ + = ⇒⎨ ⎬
⎩ ⎭ℒ ℒ
( )( )
2 2
2 2 2
3 31
3 9s Y s Y s Y s s
s s+ = ⇒ + = ⇒
+ +( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )2 22 22 23
1 91 91 9
A BY s s s
s ss s= = + × + +
+ ++ +( )
( ) ( )2 23 9 1s A s B= + + + , ordenando: 23 9s A B A B⇒ = + + +( ) , de donde:1 0s A B B A⇒ + = ⇒ = −
0 3 39 3 9 3 ,8 8
s A B A A A B⇒ + = ⇒ − = ⇒ = = − , luego:
2 2
3 1 1 3
8 1 8 9Y s
s s= − ⇒
+ +( )
3 13
8 8 y t sent sen t u t
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠( ) ( )