r-25 prueba 1 analisis sistema

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  • 8/16/2019 r-25 PRUEBA 1 Analisis Sistema

    1/3

     U niversidad de Tarapacá scuela de Ingeniería léctrica y lectrónica 

    Solución Primera Prueba de Análisis de Sistemas

    Primer Semestre de 2012 

    A) Conceptos

    1.- En las dos primeras tabla se indican tipos de sistemas conforme a diferentes criterios. En la tercera tablase señalan características asociadas a ciertos sistemas específicos. Coloque el o los números de los tipos

    que correspondan en la columna en blanco N.

    N Característica de los Sistema Físicos o Propiedades Asociadas a ellos7-6 Las propiedades de sus elementos no dependen de coordenadas espaciales y las señales están

    disponibles sólo en algunos instantes.

    2-8  No cumplen el principio de superposición y se representan por ecuaciones diferenciales en

    derivadas parciales

    4-8 Las propiedades de sus elementos dependen del tiempo y de las coordenadas espaciales

    1-7 Cumplen el principio de superposición y las propiedades de sus elementos no dependen de las

    coordenadas espaciales.

    4-5 Las señales están disponibles en todo instante y las características de sus elementos dependen del

    tiempo

    1-3

    5-7

    Cumplen el principio de superposición, las características de sus elementos no dependen del

    tiempo, se representan por ecuaciones diferenciales ordinarias y las señales están disponibles entodo instante.

    2.- En la tabla de la izquierda se indican diversas propiedades, transformaciones o métodos relacionados consistemas. En la tabla de la derecha se nombran diversos conceptos (entidades). Indique en la columna en

     blanco los números de las propiedades que posee y/o las transformaciones o métodos que es posible

    aplicar a la entidad señalada (pueden ser varias).

    N Propiedades, Transformación o Método Nº Respuestas Entidades

    1 Espectro de Frecuencia Contínuo 2-3-4-5-7 Señal Diente de Sierra

    2 Serie de Fourier 3-7 Fasor3 Método Fasorial 1-4-6 Pulso Rectangular

    4 Transformada de Laplace 3-7 Versor (fasor rotatorio)

    5 Espectro de Frecuencia Discreto 3-4-5-7 Excitación Senoidal

    6 Transformada de Fourier 1-4-6 Función Aperiódica Acotada

    7 Frecuencia 3-4-5-7 Suma de 2 Senoides

    Tipo de Sistema Tipo de Sistema

    1 Lineal 5 De tiempo Contínuo

    2 No Lineal 6 De tiempo Discreto

    3 De Parámetros Invariantes en el tiempo 7 De Parámetros Concentrados

    4 De Parámetros Variables en el tiempo 8 De Parámetros Distribuidos

  • 8/16/2019 r-25 PRUEBA 1 Analisis Sistema

    2/3

    3.- Obtenga la transformada directa de Laplace de la función periódica siguiente sin usar la tabla detransformadas de funciones gráficas:

    Solución: El primer periodo de f  (t ) es la función f 1(t ) que se muestra arriba a la derecha, la que se puededescomponer en una suma de las 4 funciones siguientes:

    Es decir: 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d   f t f t f t f t f t = + + + , donde:3

    ( ) ( ),a A

     f t t u t T 

    =  

    ( ) ( )3 3 2 2 3

    ( ) , ( ) , ( )3 3 3 3

    b c d 

     A T T A T T A f t t u t f t t u t f t t T u t T 

    T T T 

    ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − = − − − = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

    ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

    Como: { } { } { } { } { }1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d  F s f t f t f t f t f t  = = + + +ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ , tendremos, aplicando las propiedadesde linealidad y traslación en el tiempo:

    2

    3 31 2 2 2 2

    3 1 3 1 3 1 3 1( )

    T T s s

    Ts A A A AF s e e e

    T s T s T s T s

    − −−= − − + ,

    2

    3 31 2

    3 1( ) 1

    T T s s

    Ts AF s e e e

    T s

    − −−⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟

    ⎝ ⎠ 

    Aplicando la propiedad de funciones periódicas:( ) 1

    1( ) ( )

    1Ts

    F s F se−

    =−

    , tendremos finalmente:

    ( )

    2

    3 3

    2

    3 1( )

    1

    T T s s

    Ts

    Ts

     A e e eF s

    T s e

    − −−

    − − +=

    − ,ó:

    ( )

    2

    3 3

    2

    3 (1 )(1 )( )

    1

    T T s s

    Ts

     A e eF s

    T s e

    − −

    − −=

    − 

    4.-  Obtenga la transformada inversa de Laplace de las siguiente función:

    7

    2 2

    10( )

    3 ( 4)

    se

    F ss s

    −⋅=

    Solución: Por simplicidad, dejaremos pendiente el factor constante 10/3 y el término e-7s (translación en

    el tiempo en –7 seg.) que recuperaremos al final, así queda la función simplificada F a(s), siguiente:

    2 2

    1( )

    ( 4)aF s

    s s=

    T/3 2T/3 T t

    (t )

     A

    .................

    1(t )

     A

    0 T/3 2T/3 T t

    a(t )

     A

    0 T/3

    b(t )

    T/3 2T/3

    − A 

    c(t )

    2T/3 T 

    − A

    d (t )

    T 4T/3 t

     A

  • 8/16/2019 r-25 PRUEBA 1 Analisis Sistema

    3/3

    Esta función tiene una raíz doble en s = 0 y un par de raíces complejas conjugadas (imaginarias) en:

    s = j2 y en s =− j2, luego, la descomposición en fracciones parciales será de la forma:

    ( )2 212 11 1 22 2 2 21

    ( ) 4( 4) 4

    a

    K K C s C  F s s s

    s s s s s

    += = + + × +

    + + 

    ( ) ( )   ( )2 2 212 11 1 21 4 4K s K s s C s C s= + + + + + , ordenando:

    ( ) ( )3 211 1 12 2 11 121 4 4K C s K C s K s K  = + + + + + , igualando coeficientes de igual potencia de s:

    0

    12 12

    1

    11 11

    2

    12 2 2 12 2

    3

    11 1 1 11 1

    14 1 (a)

    4

    4 0 0 (b)

    10, , con (a)

    4

    0, , con (b) 0

    s K K 

    s K K 

    s K C C K C  

    s K C C K C  

    ⇒ = ⇒ =

    ⇒ = ⇒ =

    ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

    ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

     

    Luego:

    ( )2 21 1

    ( )

    4 4 4a

    F s

    s s

    = −

    +

    , ó:

    ( )2 21 1 1 2

    ( )4 2 4

    aF s

    s s

    ⎡ ⎤⎢ ⎥= −

    +⎢ ⎥⎣ ⎦

    , luego:

    1 1( ) 2 ( )

    4 2a f t t sen t u t 

    ⎡ ⎤= −⎢ ⎥

    ⎣ ⎦ 

    Recuperando la constante10

    3 e incorporando la traslación de – 7 seg., es decir

    10( ) ( 7)

    3a f t f t = − ⇒  

    ( )10 1

    ( ) 7 2( 7) ( 7)12 2

     f t t sen t u t ⎡ ⎤

    = − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

     

    5.- Utilizando la Transformada de Laplace, resuelva la ecuación diferencial siguiente para encontrar la

    función y(t ), con las condiciones iniciales indicadas:2

    23 , con (0) 0, e (0) 0

    d y y sen t y y

    dt + = = =  

    Solución: Aplicando ℒ{} a la ec. diferencial:   { }2

    23

    d y y sen t 

    dt 

    ⎧ ⎫⇒ + = ⇒⎨ ⎬

    ⎩ ⎭ℒ ℒ  

    ( )( )

    2 2

    2 2 2

    3 31

    3 9s Y s Y s Y s s

    s s+ = ⇒ + = ⇒

    +   +( ) ( ) ( )

     ( ) ( )

      ( ) ( )2 22 22 23

    1 91 91 9

     A BY s s s

    s ss s= = + × + +

    + ++ +( )  

    ( ) ( )2 23 9 1s A s B= + + + , ordenando: 23 9s A B A B⇒ = + + +( ) , de donde:1 0s A B B A⇒ + = ⇒ = −  

    0 3 39 3 9 3 ,8 8

    s A B A A A B⇒ + = ⇒ − = ⇒ = = − , luego:

    2 2

    3 1 1 3

    8 1 8 9Y s

    s s= − ⇒

    + +( )

    3 13

    8 8 y t sent sen t u t 

    ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

    ⎝ ⎠( ) ( )