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Puntos de una gráfica.
. x
Punto máximo
0
Función creciente Función decreciente
Punto de inflexión
Funció
n crec
iente
Punto mínimo
Máximos y Mínimos
Métodos para encontrar estos puntos:
Máximos y mínimos• Criterio de la primera derivada.• Criterio de la segunda derivada.
Punto de inflexión• Criterio de la segunda derivada.
Sentido de la concavidad• Criterio de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente• Criterio de la primera derivada.
INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA
La 1ª derivada tiene 4 interpretaciones:
1. Interpretación Geométrica.
Punto tangente
2. Interpretación Trigonométrica.
3. Interpretación Matemática.
4. Interpretación a la Física.
Máximos y Mínimos
• Criterio de la primera derivada.
1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1a derivada.3. Se iguala a cero la 1ª derivada y se obtiene sus raíces o puntos críticos.
mínimo
.máximo
4. Para cada raíz o punto crítico se considerará un valor menor y otro mayor que se sustituirán en la 1ª derivada. Si los resultados cambian de + a – existirá un máximo.
Si los resultados cambian de – a + existirá un mínimo.
5. Se obtienen las coordenadas de los puntos máximos y mínimos, sustituyendo cada raíz o punto crítico en la función original.
..+.. .-
+-
• Criterio de la segunda derivada.
1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1a y 2ª derivada.3. Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces o puntos
críticos. 4. Cada raíz o punto crítico se sustituye en la 2ª derivada y si el resultado es
positivo (+) existirá un mínimo, si el resultado es negativo (-) existirá un máximo y si da cero entonces no existirá ni máximo ni mínimo.
. .máximo - . .mínimo +
Punto de Inflexión
• Criterio de la segunda derivada.
1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1a y 2ª derivada.3. Se iguala la 2ª derivada con cero y se determinan las raíces o puntos
críticos. 4. Se considerará para cada raíz o punto crítico, un valor menor y otro mayor
que se sustituirán en la 2ª derivada, si los resultados cambian de signo de + a - ó – a + se dice que existe un punto de inflexión, si no hay cambio de signo, entonces no existirá un punto de inflexión.
5. Se obtienen los puntos de inflexión, al sustituir cada raíz o punto crítico en la función original.
.Punto de inflexión
Sentido de la concavidad
• Criterio de la segunda derivada.
1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1a y 2ª derivada.3. Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan sus raíces o puntos
críticos. 4. Por separado y para cada raíz se considerará un valor menor y un valor
mayor, si el resultado es positivo se dice que la función es cóncava y si es negativo se tiene una función convexa o cóncava hacia abajo.
(-) (+)
Función Creciente y Decreciente
• Criterio de la primera derivada.
1. Se obtiene la función2. Se obtiene la 1ª derivada.3. Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces o puntos
críticos.
4. Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor menor y otro mayor de forma independiente. Si el resultado es negativo se dice que la función es decreciente, si el resultado es positivo se dice que la función es creciente. Si el resultado es cero, la función no tiene creciente y decreciente.
.Punto de inflexión
máximo
mínimo
Creciente
Creciente
Decreciente
Ejemplo:
Se desea construir una caja de cartón de base rectangular sin tapa a partir de una hoja de 30 x20 cm. De tal manera que su volumen sea máximo y las dimensiones mínimas.
20 20-2x
x
x
30
x x30-2x
Como sólo tenemos la variable , es función .
• Método ó Criterio de la 1era derivada para calcular los máximos y mínimos.
Se obtiene la función Paso 1
Paso 2
Paso 3
Se determina la 1ª derivada
Se iguala a cero y se determinan las raíces ó puntos críticos.
Se resuelve por fórmula general
Raíces ó Puntos críticos
Paso 4 Identificar el punto máximo y mínimo.
V. menor V. mayor
Se sustituye los valores en la 1ª derivada
V. menor
V. mayor
.. .
-
mín
imo
+signos
Existe un mínimo
.. .V. menor V. mayor
Se sustituye los valores en la 1ª derivada
V. menor
V. mayor
signos+ - Existe un máximo
. . .
Paso 5 Obtención de las coordenadas. Se obtienen sustituyendo cada raíz o punto crítico en la función original.
Para el punto mínimo
Para el punto máximo
• Método ó Criterio de la 2ª derivada para calcular los máximos y mínimos.
Paso 1 Se obtiene la 1ª derivada
Paso 2 Se determinan la 1ª y 2ª derivada
Paso 3 Se iguala a cero la 1ª derivada y se determinan sus raíces ó puntos críticos.
Se resuelve por fórmula general
Raíces ó Puntos críticos
Paso 4 Se sustituye cada raíz en la 2ª derivada.
Mínimo
Máximo
Paso 5 Obtención de las coordenadas de los puntos máximos y mínimos, sustituyendo las raíces ó puntos críticos en la función original.
Para el punto mínimo
Para el punto máximo
• Punto de Inflexión
Método de la 2ª derivada
Paso 1 Se obtiene la función
Paso 2 Se obtiene la 1a y 2ª derivada.
Paso 3 Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan las raíces o puntos críticos.
Paso 4 Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor menor y un valor mayor que se sustituirán en la 2ª derivada.
V. menor V. mayor
Se sustituye los valores en la 2ª derivada
Signos cambian de – a + Existe punto de Inflexión.
Como hay cambio de signo, entonces existe punto de inflexión, es decir, cambió en el sentido de la curva.
.Curva Punto de inflexión
Paso 5 Cálculo de las coordenadas del punto de Inflexión. Se obtienen sustituyendo la raíz ó punto crítico en la función original.
Para se sustituye en la función original.
• Sentido de la Concavidad
Método ó Criterio de la 2ª derivada
Paso 1 Se obtiene la función
Paso 2 Se obtiene la 1a y 2ª derivada.
Paso 3 Se iguala a cero la 2ª derivada y se determinan sus raíces o puntos críticos.
Raíz ó Punto Crítico
Paso 4 Para cada raíz o punto crítico, se considerará un valor mayor y otro menor de manera independiente.
V. menor V. mayor
Se sustituye los valores en la 2ª derivada
Función Convexa
Función Cóncava
. ..
.
• Función Creciente y Decreciente
Se obtiene la función Paso 1
Paso 2
Paso 3
Se determina la 1ª derivada
Se iguala a cero y se determinan las raíces ó puntos críticos.
Se resuelve por fórmula general
Raíces ó Puntos críticos
Paso 4 Para cada raíz ó punto crítico de manera independiente, se considerará un valor menor y otro mayor que se sustituirán en la 1ª derivada.
V. menor V. mayor
Función Decreciente
Función Creciente
V. menor V. mayor
Función Decreciente
Función Creciente
Resultados
Punto Máximo Pmax=(3.92,1056.31)
Punto Mínimo Pmin=(12.74,-315.56)
Punto Inflexión PInf=(8.33,-34.68)
.
.
..
Gráfica
Decreciente Creciente
P. Inflexió
n(8.33
, -34
.68)
Pmax=(3.92, 1056.31)
Creciente ( , 3.92]Decreciente [3.92, 12.74]
Pmin=(12.74, -315.56)
Creciente
DecrecienteCrecie
nte
Creciente
Convexa ( , 8.33]Cóncava [8.33, )
Creciente [12.74, )
Como resultado final se obtiene la caja con las dimensiones siguientes: