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MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS

DERIVADAS

Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”

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1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Definición : Sea f una función definida en un intervalo

a,bDom (f) . Se llama tasa devariación media de f en dicho intervalo al cociente

𝑇𝑉𝑀(𝑓) =𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎

Definición: Sea f una función definida en un entorno de un punto x = a de su dominio. Decimos que f es derivable en dicho punto si existe y es finito:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

En tal caso, a este límite se le llama tasa de variación media o derivada de la función en el

Punto x=a. Se escribe:

𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

Al cociente 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎 se le llama cociente incremental.

Nota: Sin más que hacer el cambio de variable h = x - a, podemos obtener una definición equivalente y que fue la primera que apareció históricamente:

𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎= lim

ℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

Ambas definiciones son válidas y dependerá del caso la idoneidad de emplear una u otra.

Definición : La der ivada de la función f (x) en e l punto x=a es e lva lor del l ímite, s i ex iste , de un cociente incremental cuando e l incremento de la var iab le t iende a cero :

𝑓′(𝑎) = limℎ→0

∆𝑦

ℎ= lim

ℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ


DERIVADAS


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Ejemplo : Ha l la r l a der ivada de la f unc ión f (x ) = 3x 2 en e l punto x = 2 .

Ca lcu la r l a de r ivada de la f unc ión f (x ) = x 2 + 4x − 5 en x = 1 .

2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Cuando h0 , e l punto Q t iende a confundirse con e l P . Entonces la recta secante t iende a ser la recta tangente a la func ión f (x ) en P , y por tanto e l ángulo α t iende a ser β.

𝑡𝑎𝑔 𝛽 = limℎ→0

∆𝑦

ℎ= 𝑓′(𝑎)

La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto es igua l a la der ivada de la func ión en ese pun to .m t = f ' (a)

Ejemplos :

Dada la parábo la f(x) = x 2 , ha l l a r l os puntos en los que la

r ec ta tangente es para le la a l a b i sec t r i z de l p r imer

cuadrante .

La b i sec t r i z de l p r imer cuadrante t i ene como ecuac ión y = x ,

por tanto su pend iente es m= 1 .

Como las dos rec tas son para le las tendrán la misma

pend iente , as í que: f ' (a) = 1 .

Po rque la pend iente de l a tangente a l a curva es igua l a l a

de r ivada en e l punto x = a .

;


DERIVADAS


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Se recomienda el visionado de estos dos videos en donde se explica en movimiento la derivada, solo tienen que pegar, en el navegador, las URL siguientes:

https://youtu.be/rjmWmouaHjw https://youtu.be/KNRGrypBPmE

3. DERIVADAS LATERALES

Definición : Una función es derivable en un punto s i , y só lo s i , es der ivable por la izquierda y por la derecha en d icho punto y las der ivadas latera les co inciden.

∃ 𝒇′(𝒂) 𝒇′(𝒂−) = 𝒇′(𝒂+)

Derivada por la izquierda Der ivada por la derecha

En las funciones defin idas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos frontera (puntos de separación) de los distintos trozos . Ejemplos:

1.-Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|. Definimos, primero, f(x):

P u e s t o q u e l a s d e r i v a d a s l a t e r a l e s e n x = 0 s o n d i s t i n t a s , l a f u n c i ó n n o e s d e r i v a b l e e n d i c h o p u n t o . L a s d e r i v a d a s l a t e r a l e s n o c o i n c i d e n e n l o s p i c o s n i e n l o s p u n t o s a n g u l o s o s d e l a s f u n c i o n e s . P o r t a n t o e n e s o s p u n t o s n o e x i s t e l a d e r i v a d a .

2.-Idem para la función:

No es derivable en x = 0.

Definición: Se dice que una función es derivable en un intervalo cuando lo es en todos sus puntos, entendiendo derivadas laterales en los extremos cerrados del intervalo si es que el intervalo es cerrado.


DERIVADAS


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4.REGLAS DE DERIVACIÓN

Der ivada de una constante

f(x)=k f ’(x)=0

Der ivada de x

f(x)=x f ’(x)=1

Der ivada de l a func ión l i neal

f(x)=a·x+b f ’(x)=a

Der ivada de un monomio

f(x)=k·xn f’(x)=k·n·xn-1

Si u y v son a su vez funciones podemos general i zar las demás reglas de

derivación así :

Der ivada de una suma

f(x)=uv f ’(x)=u’ v’

Der ivada de una constante por una función

f(x)=k·u f ’(x)=k ·u’

Der ivada de un producto (dos o más funciones)

f(x)=u·v f ’(x)=u’·v+u·v’

Der ivada de un coc iente

𝒇(𝒙) =𝒖

𝒗 → 𝒇′(𝒙) =

𝒖′ · 𝒗 − 𝒖 · 𝒗′

𝒗𝟐

Der ivada de una potenc ia

f(x)=un f’(x)=n·un-1·u’

Der ivada de una cte . ent re una func ión

𝒇(𝒙) =𝒌

𝒗 → 𝒇′(𝒙) =

−𝒌 · 𝒗′

𝒗𝟐

Der ivada de una ra íz cuadrada

𝒇(𝒙) = √𝒖 → 𝒇′(𝒙) =𝒖′

𝟐√𝒖

Der ivada de una ra íz n-és ima

𝒇(𝒙) = √𝑢𝑎𝑛 → 𝒇′(𝒙) =

𝑎 · 𝑢′

𝑛 · √𝑢𝑛−𝑎𝑛

Der ivada de l a func ión exponencia l

f(x)=au f’(x)=Lna·au·u’

Der ivada de l a func ión exponencia l de base e

f(x)=eu f’(x)= eu·u’

Der ivada de un logari tmo

𝒇(𝒙) = log𝑎 𝑢 → 𝒇′(𝒙) =𝒖′

𝒖 · 𝑳𝒏𝒂=

𝒖′

𝒖· 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒆

Der ivada de l seno y coseno

f(x)=sen (u) f’(x)= u’·cos (u)

f(x)=cos (u) f’(x)=-u’·sen (u)

Der ivada de l a tangente

𝒇(𝒙) = tg(𝑢) → 𝒇′(𝒙) =𝒖′

𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒖)= 𝒖′ · 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒖)

= 𝒖′ · (𝟏 + 𝒕𝒈𝟐(𝒖))

Der ivada de l a cotangente

(𝒙) = 𝐜𝐨𝐭𝐠(𝒖) → 𝒇′(𝒙) = −𝒖′

𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒖)= 𝒖′ · 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒖)

= −𝒖′ · (𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐(𝒖))

Der ivada de l a secante

𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐜(𝒖) → 𝒇′(𝒙) =𝒖′ · 𝒔𝒆𝒏(𝒖)

𝒄𝒐𝒔𝟐(𝒖)= 𝒖′ · 𝒔𝒆𝒄 (𝒖) · 𝒕𝒈 (𝒖)

Der ivada de l a cosecante

𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 (𝒖) → 𝒇′(𝒙) = −𝒖′ · 𝒄𝒐𝒔(𝒖)

𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒖)= −𝒖′ · 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄(𝒖) · 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒖)

Der ivada de l a rco -seno

𝒇(𝒙) = 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧(𝒖) → 𝒇′(𝒙) =𝒖′

√𝟏 − 𝒖𝟐

Der ivada de l a rco -coseno

𝒇(𝒙) = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝒖) → 𝒇′(𝒙) = −𝒖′

√𝟏 − 𝒖𝟐

Der ivada de l a rco - tangente

𝒇(𝒙) = 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐠(𝒖) → 𝒇′(𝒙) =𝒖′

𝟏 + 𝒖𝟐

Der ivada de l a rco -cotangente

𝒇(𝒙) = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐭𝐠(𝒖) → 𝒇′(𝒙) = −𝒖′

𝟏 + 𝒖𝟐

Der ivada de l a rco -secante

𝒇(𝒙) = 𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐜(𝒖) → 𝒇′(𝒙) =𝒖′

𝒖 · √𝟏 − 𝒖𝟐

Der ivada de l a rco -cosecante

𝒇(𝒙) = 𝐚𝐫𝐜 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜(𝒖) → 𝒇′(𝒙) = −𝒖′

𝒖 · √𝟏 − 𝒖𝟐

Der ivada de l a func ión potenc ia l -exponencia l

f(x)=uv f ’(x)=v·u v - 1 ·u’+uv ·Lnu·v ’ Regla de la cadena

(g◦f)’(x)=g’[f(x)]·f’(x)


DERIVADAS


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Nota: Además de las derivadas de funciones elementales y de las reglas de derivación,es bastante importante que tengamos en cuenta algunas de las propiedades de loslogaritmos que pasamos a recordar a continuación, ya que, al transformar productos ydivisiones en sumas y restas, además de potencias en productos, facilitan bastante elcálculo de derivadas logarítmicas aplicando las propiedades antes de derivar. Pasamos a recordarlas:

log𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇒ 𝑎𝑐 = 𝑏; ln 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑒𝑏 = 𝑎

I) log𝑎(𝑥 · 𝑦) = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 ; 𝐼𝐼) log𝑎 (𝑥

𝑦) = log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 ; 𝐼𝐼𝐼) log𝑎 𝑥𝑦 = y · log𝑎 𝑥

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

A menudo, existen funciones que no se ajustan a ninguna de las derivadas defunciones elementales y deben ser llevadas a cabo con otros métodos no elementales.Este es el caso de funciones como, por ejemplo, f (x ) = xsenx, a la que no se le puede aplicar la fórmulade la potencia (el exponente no es constante) ni la de la exponencial (la base no esconstante). Para derivar este tipo de funciones y otras en las que se pueda aplicar, vamosa ver un procedimiento llamado derivación logarítmica:

1. Consideremos una función del tipo y = f(x)g(x). 2. Si tomamos logaritmo neperiano en ambos miembros nos quedará la igualdad:

ln y = ln [f(x)g(x)] 3. Aplicando ahora las propiedades de los logaritmos, se transforma en:

ln y = g(x)·lnf(x) 4. Si ahora derivamos ambos miembros queda:

𝑦′

𝑦= 𝑔′(𝑥) · 𝑙𝑛𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ·

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)

5. Con lo que, basta despejar:

𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) · [𝑔′(𝑥) · 𝑙𝑛𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ·𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)]

Como es lógico, no tiene ningún sentido memorizar esta última fórmula y, en losejemplos concretos podemos proceder como en el caso general que acabamos de ver. Ejemplo: y=xsenx

Lny=lnx s e n x ; lny=senx· lnx; y ’/y=c osx· lnx+senx·1/x; y ’=x s e n x · [ c osx· lnx+senx·1/x]

DERIVADAS SUCESIVAS. DERIVADA N-ÉSIMA

S i der ivamos la der ivada de una func ión, f ’ (x ) , derivada pr imera , obtenemos una nueva func ión que se l lama d erivada segunda, f ' ' (x ) . S i vo lvemos a der ivar obtenemos la der ivada terc era, f ' ' ' ( x ) . S i der ivamos otra vez obtenemos la c uarta der ivada f I V y as í suces ivamente obtendr íamos la der ivada n-ésima f ’ n (x ) .

Ca l cu la l as de r ivadas 1ª , 2ª , 3ª y 4ª de:

; ;


DERIVADAS


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En a lgunos casos, podemos encontrar una fórmula genera l para cua lquiera de las der ivadas suces ivas (y para todas e l las ) . Es ta fórmula rec ibe e l nombre de der ivada enés ima, f ' n (x ) .

Ca l cu l a l a de r i vada enés ima de:

; ; ; …

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Funciones implícitas : Una correspondencia o una función está def in ida en forma impl íci ta cuando no aparece despejada la “ y” s ino que la relac ión entre x e y v iene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero .

Para hallar la derivada en forma implícitanoes necesar io despejar y . Basta derivar miembro a miembro , utilizando las reglas de la derivación y teniendo presente que x'=1 . En general y '≠1 . Por lo que omiti remos x ' y dejaremos y' . Ejemplos:

a) 6x-2y=0 6-2y’=0; y’=3

b) x2+y2-7=0 2x+2yy’=0; y’=-𝒙

𝒚

Cuando las funciones son más compleja s , del t ipo F x +Fy =0, vamos a ut i l i zar

una regla para faci l i tar e l cá lcu lo: 𝒚′ =−𝑭′𝒙

𝑭′𝒚

Ejemplo:


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5. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Sea f (x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la var iable independiente, es el producto f ' (x) · h. Se representa por dy .

dy=f ’ (x) ·h ; dy=f’ (x) ·dx

𝒇′(𝒙) = 𝒕𝒈 𝜶 =𝑸𝑹

𝑷𝑹=

𝑸𝑹

𝒉

La d i ferencia l en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente , correspondiente a un incremento de la var iable.

Ejemplos : Ca l cu la r l a d i f erenc ia l de l as f unc iones:

f(x)=3x 2+5x-6; d f(x)=(6x+5)dx f (x)=e t g x ; d f(x)=(1+tg 2 x)·e t g x ·dx

Ejemplo : Ca l cu la r e l inc remento de l á rea de l cuadrado de 2 m de lado , cuando aumentamos 1mm su lado .

S = x 2 dS = 2x dx (S )= 2 ·2 · 0 .001 = 0.004 m 2

6. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD

Proposición 1: Si f(x) es derivable en el punto x = a, entonces () es continua en x = a.

Consecuencia 1: Si una función f(x) no es continua en un punto x=a, entonces () no puede ser derivable en dicho punto. Nota: El recíproco de la proposición 1 no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porqué ser derivable.

Definición: Se dice que una función f tiene un punto anguloso en x = a si f escontinua en x = a y no derivable, siendo derivable por la izquierda y por la derecha endicho punto, es decir, si es continua y existen las derivadas laterales pero no coinciden.

Gráficamente, un punto anguloso es aquel en el que las tangentes “saltan” de laizquierda a la derecha del punto. Por el contrario, las funciones derivables son“redondeadas” y sus tangentes no dan “saltos”.

E jemplos : Es tud ia r l a cont inu idad y der ivab i l i dad de las

f unc iones:

1 . - En p r imer lugar es tud iamos la

cont inu idad en x=0 .


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La func ión no es cont inua , por tanto tampoco es de r ivab le .

2 . -

En p r imer lugar es tud iamos la cont inu idad en x = 0 .

La func ión es cont inua , po r tanto podemos es tud ia r l a der ivab i l i dad .

Como no co inc iden las de r ivadas l a te ra les no es de r ivab le en x = 0 .

3.- f(x) = x 2 ,es tud ia r la der ivab i l i dad en x = 0 .

La func ión es cont inua en x= 0 , po r tanto podemos es tud ia r l a

de r ivab i l i dad .

En x=0 la f unc ión es cont inua y der ivab le .


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APLICACIONES DE LA DERIVADA

1.REGLA DE L'HÔPITAL

Proposic ión : Sean f (x ) y g(x) f unc iones der ivab les en un entorno de x=a , t a les

que 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) presenta una indeterm inac ión

𝟎

𝟎 o b ien

∞

∞, s i ex is te 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂

𝒇′(𝒙)

𝒈′(𝒙) , es te

l ím i te co inc ide con 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙).

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂

𝒇′(𝒙)

𝒈′(𝒙)= 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂

𝒇′′(𝒙)

𝒈′′(𝒙)=…

Para ap l icar la reg la de L 'HÔPIT AL ha y que tener un l ím i te de la f o rm a 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) ,

donde a puede ser un número o in f in i to , y aparecer las inde term inac iones : 𝟎

𝟎 y

∞

∞

Ejemplos

1. ; ;

2. ; ;

3 . ; ;

4. ;

1.1. Indeterminación:- En la indeterminac ión in f in ito – in f in ito (∞ -∞) , s i son f racc iones , se ponen a común denominador .

;

1.2. Indeterminación: 0· La indeterminac ión cero por in f in i to , se t rans forma de l s igu iente modo:

http://www.vitutor.com/di/re/r7.html


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;

;

1.3. Indeterminaciones: 00; 0; 1

En las indeterminac iones 00 ,0y 1 se rea l i za en pr imer lugar las s igu ientes

operac iones:

S i L imu v ; Hacemos A=uv; lnA=lnu v ; lnA=vlnu; A=e v l n u

Ejemplos

; ;

; ;

; ;


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2. PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la der ivada de la función en d icho punto .

La recta tangente a una curva en un punto es aquel la que pasa por e l punto ( x 0 , f (x 0 ) ) y cuya pendiente es igual a f ' (x 0 ) .

y-f (x 0 )=f (x 0 ) · (x -x0 )

E jemplo : Ha l l a r l a ecuac ión de la r ec ta tangente a l a parábo la y = x 2 - 5x + 6

para le la a l a rec ta 3x + y -2 =0 .

Sea e l punto de tangenc ia (a , f (a) ) m = −3

f ' (a ) = 2a – 52a − 5 = −3a = 1

P(1 , 2 )y − 2= -3 (x − 1 )y = -3x + 5

3. PENDIENTE DE LA RECTA NORMAL

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendicu lares entre s í . Es decir , es la opuesta de la inversa de la der ivada de la función en d icho punto.

𝒎𝒏 = −𝟏

𝒎𝒕= −

𝟏

𝒇′(𝒙𝟎)

La recta normal a una curva en un punto es aquel la que pasa por e l punto (x 0 , f (x 0 ) ) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f ' (a) .

𝒚 − 𝒇(𝒙𝟎) = −𝟏

𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎)

Ejemplo : Hal lar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y =

x 2 + x + 1 parale la a la b isect r iz de l primer cuadrante .

Sea e l punto de tangenc ia (a , b ) m = 1 ; f ' (a ) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangenc ia: (0 , 1 )

Recta tangente : m=1; y − 1 = 1(x -0) y = x +1

Recta normal : m= -1 ; P(0 , 1 ) ; y − 1 = −1(x -0) y = −x + 1


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4. ESTUDIO DE LAS FUNCIONES

4.1.Monotonía y extremos relativos

Función estrictamente creciente

Función creciente

Función estrictamente decreciente

Función decreciente

MONOTONÍA:

Proposición: Sea una función f(x) derivable en x = a,entonces:

a) Si f ’(a )> 0 f es creciente en x = a.

b) Si f ‘(a) < 0 f es decreciente en x = a.

Nota: En general, el recíproco de la proposición anterior, no es cierto, es decir, notodas las funciones derivables en un punto y crecientes (o decrecientes) en el puntotienen porqué tener derivada positiva (o negativa). Lo único que podemos asegurar es que si una función es derivable y creciente (decreciente), entonces f ‘ (a) ≥ 0 (f ‘ (a) ≤ 0). *Ver un contraejemplo: f(x)=x3 en x=0

Análogamente se obtiene un resultado para intervalos, entonces:

a) Si f ’(x) > 0, x(a,b) f es creciente en el intervalos (a,b).

b) Si f ‘(x) < 0,x(a,b) f es decreciente en el intervalo (a,b).

A partir de esta proposición, el estudio de la monotonía de una función derivable enun dominio se puede realizar estudiando el signo de su función derivada en dichodominio. *Ver un ejemplo en: f(x)=x3-3x2.


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4.2. Extremos relativos o locales

Definición: a) Se dice que una función f(x) alcanza un máximo relativo en un punto (a, f(a)), si

existe un entorno (a-, a+) del punto x=a tal que f(x)<f(a), x(a-, a+)-{a}. b) Se dice que una función f(x) alcanza un mínimo relativo en un punto (a, f(a)), si

existe un entorno (a-, a+) del punto x=a tal que f(x)>f(a), x(a-, a+)-{a}.

Proposición: (Condición necesaria de extremo relativo) Sea una función f(x) derivable en un punto x = a. Si f tiene, en dicho punto x=a, un extremo relativo, entonces f‘(a)=0.

Nota: La condición anterior no es suficiente, es decir, puede darse que una funcióncon derivada nula en un punto no tenga extremo relativo en dicho punto. Comocontraejemplo nos sirve el ejemplo f(x)=x3.

Proposición:Sea una función f(x) dos veces derivable en x=a, siendo f ‘(a)=0 y f ‘’(a)≠0, entonces:

a) Si f ‘’(a) < 0 f(x) presenta en (a,f(a)) un máximo relativo.

b) Si f ‘’(a) > 0 f(x) presenta en (a,f(a)) un mínimo relativo.

Ejemplo: f(x)=x3 -3x2. Nota:Si f ‘(a)=0 y f ‘’(a)=0 pero la primera derivada no nula en x=a en de orden par, el criterio sigue siendo válido con el signo de dicha derivada. Otra forma de establecer si un extremo es máximo o mínimo relativo es estudiar sumonotonía a la izquierda y derecha del punto en cuestión. Nota: Al igual que la monotonía, se puede observar la estrecha relación entre el estudio analítico y el gráfico ya que, como se puede observar, las rectas tangentes en puntos en los que la función es derivable son horizontales, es decir, de pendiente nula, cosa que no es de extrañar puesto que la pendiente es la derivada.

Nota: Hay que tener en cuenta que hay puntos (singulares) en los que una función no es derivable. Así que si queremos ver si un punto “singular” es o no un extremo, hemos de actuar de forma distinta (sin usar la derivada). Lo más habitual es evaluar la función en

puntos genéricos de la forma a -y a + y ver lo que ocurre con sus imágenes.


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Ejemplo:Cálculo de máximos y mínimos .Estudiar los máximos y mínimos de:f(x)

= x3 − 3x + 2

Para ha l la r sus ext remos loca les , segu i remos los s igu ientes pasos:

1. Hal lamos la der ivada pr imera y ca lcu lamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0x = −1 x = 1.

2. Real izamos la 2ª der ivada, y calcu lamos el s igno que to man en

el la los ceros de der ivada pr imera y s i :

f ' '(x) > 0 Tenemos un mínimo.f ' '(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f ' ' (1) = 6 M ín imo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos

relat ivos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mín imo(−1, 0)

4.3. Extremos absolutos

Definición: Sea f(x) una función definida en un dominio D. Decimos que f(x) tiene en (a, f(a))

a) Un Máximo absoluto si f(x) < f(a) xD.

b) Un Mínimo absoluto si f(x) > f(a) xD.

Nota: Los extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos. Todos los extremos

absolutos son automáticamente extremos relativos

Nótese que los conceptos de extremos relativos y absolutos son similares perodistintos. Mientras que el extremo relativo se centra en lo que ocurre “alrededor” del puntoen un entorno cerca de él, los extremos absolutos abarcan un dominio mayor. Enresumen, los extremos relativos son los mayores (menores) de los valores que toma lafunción cerca de ellos mientras que los absolutos son los mayores (o menores) de todo eldominio estudiado.


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5. CURVATURA:CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN

Definición:

a) Se dice que una función f(x) es convexa en (a, f(a)) si existe un entorno del punto(a -

,a+ ) en el que la recta tangente a la curva estásituada por debajo de la gráfica de la

función (). Es convexa en un intervalo si lo es en todos sus puntos. b) Se dice que una función f(x) es cóncava en (a, f(a)) si existe un entorno del punto(a -

,a+ ) en el que la recta tangente a la curva estásituada porencima de la gráfica de la

función ().Es cóncava en un intervalo si lo es en todos sus puntos.

Nota:Hemos tomado el criterio que el valle() tiene forma convexa y la montaña ()forma cóncava.

Proposición: (Curvatura) Sea f una función dos veces derivable en x=a, entonces:

a) Si f ‘’(a) > 0 f(x) es convexa () en x=a. Es convexa en un intervalo si lo es en todos sus puntos

b) Si f ‘’(a) < 0 f(x) es cóncava () en x=a. Es cóncava en un intervalo si lo es en todos sus puntos.

Nota: En general, el recíproco de la proposición anterior, no escierto, es decir, no todas las funciones dos veces derivables en unpunto y convexas (o cóncavas) en el punto tienen porqué tenerderivada segunda positiva (o negativa). Lo único que podemosasegurar es que si una función es dos veces derivable y convexa (cóncava), entonces f ‘’(a) ≥ 0 (f ‘’(a) ≤ 0). Contraejemplo: f(x)=x4

El estudio de la curvatura de una función dos veces derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su derivada segunda en dicho dominio. Ejemplo: Estudio de los i ntervalos de concavidad y convexidad

f(x) = x3 − 3x + 2

Para estudiar la concav idad y la convex idad, e fectuaremos los s igu ientes pasos : 1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. f ' ' ( x )=6x; 6x = 0; x = 0. 2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese). 3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

S i f ' ' ( x ) > 0 es c onvexa.S i f ' ' ( x ) < 0 es c óncava. Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo. f''(−1) = 6(−1) < 0 Cóncava.

Del intervalo (0, ∞) tomamos x =1, por ejemplo. f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.

4 . Esc r ib imos los intervalos :Convexidad : (0 , ∞ )Conc av idad : (− ∞ , 0)


DERIVADAS


16

Ejemplo:Calcular los intervalos de concavidad y convexidad de:𝒇(𝒙) =𝒙𝟑

(𝒙−𝟏)𝟐 Domin io : (x -1 ) 2 =0x=1; D(f)= -{1}

; ;x=0

Convexa (): (0,1) U (1,) ;Cóncava () : (-,0)

5.1. PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN

Definición: Se dice que una función tienen un punto de inflexión en (a,f (a)) si la función cambia de curvatura en x=a es decir, si pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. No es cóncava n i

convexa. Geométricamente, en un punto de inflexión, la recta tangente pasade estar por debajo de la gráfica a estar por encima o viceversa.

Proposición: Sea una función f(x) tres veces derivable en x=a.

Si f ‘’(a)=0 y f ‘’’(a)≠0 f(x) tiene un punto de inflexión en (a, f(a)).

Nota:En la situación de la proposición anterior, si f’’(a)=0 y f‘’’(a)=0 pero la primera derivada no nula en x=a es de orden impar, el criterio sigue siendo válido con el signo de dicha derivada.

Ejemplo:Calcular los puntos de inflexión de:f(x) = x3 − 3x + 2

Para ha l lar los puntos de inf lex ión, seguiremos los s igu ientes pasos: 1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces: f''(x) = 6x = 0; x = 0. 2. Real i zamos la der ivada tercera , y ca lculamos e l s igno que toman en

e l la los ceros de der ivada segunda y s i : f ' ' ' ( x ) ≠ 0 Tenemos un punto de inf lex ión.

f ' ' ' ( x ) = 6 Será un punto de inf lex ión. 3. Calcu lamos la imagen (en la func ión) de l punto de inf lex ión .

f (0 ) = (0 ) 3 − 3 (0) + 2 = 2 Punto de inf lex ión: (0 , 2 )


DERIVADAS


17

6. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

Definición: Optimizar una función consiste en determinar susmáximos y/o mínimos absolutos de dicha función en un dominio concreto.

Para ello lospasos recomendados son los siguientes:

1º) Comprender bien el enunciado del problema y extraer la información necesaria paraescribir la expresión algebraica de la función a optimizar y su dominio. Es bastantefrecuente que la función de una variable pueda expresarse a partir de una función de dosvariables y de unas restricciones (condiciones). 2º) Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en elcasode que haya más de una variable. 3º) Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable. 4º) Determinar los extremos relativos a los que se refiera el problema (máximos y/omínimos), derivando la función y se iguala a cero(aplicando lo visto anteriormente) para hallar los extremos locales. 5º) Comprobar el resultado obtenido, si es el máximo o el mínimo solicitado, evaluando todos los candidatos extraídos. Ejemplo: De todos los tr iángulos isósceles de 12 m de

per ímetro, hal lar los lados del que tome área máxima.

La func ión que tenemos que max imizar es e l á rea de l

t r iángu lo:

Re lac ionamos las var iab les: 2 x + 2 y = 12 ; x = 6 − y

Sust i tu imos en la func ión:

Der ivamos, igua lamos a cero y ca lcu lamos las ra íces .

Rea l i zamos la 2ª de r i vada y sus t i tu imos por 2 , ya que la so luc ión y = 0

la descar tamos porque no hay un t r iángu lo cuyo lado sea cero .

Por lo que queda probado que en y=2 hay un máx imo. La base (2y) mide 4m y los lados ob l i cuos (x) también miden 4 m, por

lo que e l t r iángu lo de á rea máx ima ser ía un t r iángu loequ i lá tero .


DERIVADAS


18

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

1.Ca lcu la r l os in te rva los de c rec im iento y decrec im iento de l as f unc iones

s igu ientes :

1. f(x)=4+15x+6x 2 -x 3 ; 2. f(x)=3x 4 -20x 3 -6x 2+60x-83. f(x)=x·Lnx

4. ; 5. ;6. ;

2 .Ca l cu la r lo s máx imos y mín imos de las f unc iones s igu ientes :

1. f(x)=x 4 -8x 2 +3 ; 2. f(x)e x · (2x 2 +x-8)3 . f(x)=x+Ln(x 2 -1) ; 4. f(x)=sen 2x

3 .Ha l l a r l o s in te rva los de concav idad y convex idad , y lo s puntos de in f l ex ión de las

f unc iones:

1. ; 2. ; 3.

4 .La co t i zac ión de las ses iones de una de terminada soc iedad , supon iendo que la

Bo l sa func iona todos los d ías de un mes de 30 d ías , r esponde a l a s igu iente l ey :

C = 0 .01x 3 − 0 .45x 2 + 2 .43x + 300

1 . Determinar l as cot i zac iones , máx ima y mín ima, as í como los d ía s en que

ocurr i e ron , en d ías d i s t in tos de l pr imero y de l ú l t imo .

2. Determinar l o s pe r íodos de t i empo en e l que las acc iones sub ie ron o ba jaron.

5 .Supongamos que e l r end imiento r en % de un a lumno en un examen de una ho ra

v iene dado por :

r = 300t (1−t).Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1 . ¿En qué momentos aumenta o d i sminuye e l r end imiento?

2 . ¿En qué momentos e l r end imiento es nu lo?

3 . ¿Cuándo se ob t iene e l mayor rend imiento y cuá l es?

6 .Ob tener l a ecuac ión de la tangente a l a g rá f i ca de f (x ) = 2x 3 − 6x 2 + 4 en su

punto de in f l ex ión .

7 .Determinar a , b y c para que la f unc ión f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c tenga un máx imo

para x=−4, un mín imo , para x=0 y tome e l va lo r 1 para x=1.

8 .Determinar e l va lo r de a , b , c y d para que la f unc ión f (x ) = a x 3 + bx 2 + cx + d

tenga un máx imo en (0 , 4 ) y un mín imo en (2 , 0 ) .

9 .Determinar a , b , c , d y e , de modo que la curva f (x ) = ax 4 + bx 3 + c x 2 + dx + e ,

tenga un punto c r í t i co en (1 , 3 ) y un pun to de in f l ex ión con tangente de ecuac ión y

= 2x en (0 , 0 ) .

10 . La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en

(2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

11 .Dada la función:

Ca lcu la a , b y c , de modo que f (x ) tenga en (2 , −1) un ex t remo loca l y que la curva

pase po r e l o r igen de coordenadas .

12 .Ha l l a r a y b para qué la f unc ión: f(x) =a· ln x +bx 2 +x tenga ex t remos en los

puntos x 1 = 1 y x 2 = 2 . Para esos va lores de a y b , ¿qué t ipo de ex t remos t i enen la

f unc ión en 1 y en 2?


DERIVADAS


19

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

1.Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

1.f(x)=4+15x+6x 2-x3; f ’ (x)=15+12x -3x 2 ; 15+12x-3x 2=0; x=-1,x=5

; ;

2. f(x)=3x4-20x3-6x2+60x-8

f ’ (x)=12x 3 -60x 3 -12x+60; 12(x 3 -5x 2 -x+5)=0; x=1; x=5

;

3.f(x)=x·Lnx; x>0; D=(0,)

f’(x)=Lnx+1; Lnx+1=0; Lnx=-1; x=e-1

; ;

4. ; x2+x-2=0; x=-2 , x=1; D= -{-2 ,1} ;

;

Sin soluc iones en

;

5. ; ;

; ;

6. ;

; ;


DERIVADAS


20

2.Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

1.

;

2.

;

;

;

3. ;

;

;

4. f(x)=sen 2x ; f ’ (x)=2cos 2x; 2cos 2x=0; x 1=/4 +k; x 2=3/4 +k

f ’ ’ (x)= -4sen 2x

;

;


DERIVADAS


21

3.Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las

funciones:

1.

;

;

;

2.

; ;

;

3.

;

;


DERIVADAS


22

4.La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300

4.1. Determinar l as co t i zac iones , máx ima y mín ima, as í como los d ías en que

ocurr i e ron , en d ías d i s t in tos de l pr imero y de l ú l t imo .

;

;

4 .2 .Determinar los per íodos de t iempo en e l que las acc iones sub ieron o

ba ja ron.

De l 1 a l 3 , y de l 27 a l 30 las acc iones sub ieron, y de l 3 a l 27 ba ja ron.

5.Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene

dado por:

r = 300t (1−t); Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1. ¿En qué momentos aumenta o d isminuye e l rend im iento?

r = 300 t − 300 t²; r′ = 300 − 600 t; 300 − 600 t = 0 t = ½

;

2. ¿En qué momentos e l rend im iento es nu lo?

300 t (1−t) = 0 t = 0 t = 1

El rendimiento es nulo al empezar ( t = 0) y al acabar e l examen (t = 1) .

3. ¿Cuándo se obt iene e l mayor rend imiento y cuá l es?

r″ (t) = − 600 ;r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75

Rendimiento máximo: (½, 75)

6.Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x 2 + 4 en su punto de

inflexión.

f′(x) = 6x 2− 12x; f′′(x) = 12x − 121; 2 x − 12 = 0; x = 1

f′′′(x) = 12; f′′′(1) ≠ 0; f(1) = 0;Punto de inflexión: (1, 0)

f′(1) = 6 − 12= − 6 = m; y − 0 = −6(x − 1); y = −6x + 6

7.Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para

x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.

f (x) =x 3 + ax 2 + bx + c f ′ (x) = 3x 2 + 2ax + b

1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0; 0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48

0 = 0 − 0 + b; b = 0 ; a = 6 b = 0 c = −6


DERIVADAS


23

8.Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga

un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

f (x) = ax 3 +bx 2 +cx +d; f ′ (x) = 3ax 2 + 2bx + c

f(0) = 4 d = 4; f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0; f′(0) = 0 c = 0; f′(2) =0 12a + 4b + c = 0

a = 1; b = −3 ; c = 0; d = 4

9.Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx3 + c x2 + dx + e, tenga

un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0,

0).

f ′ (x) = 4ax 3 + 3 bx 2 + 2cx + d; f ′ ′ (x) = 12ax 2 + 6bx + 2c

f(1) = 3a + b + c + d = 3; f(0) = 0;e = 0; f′(1) = 0; 4a + 3 b + 2c + d = 0; f′(0) = 2;d = 2;

f ′ ′ (0) = 0 ; 2c = 0;c=0 .a = −5 ; b = 6; c = 0; d = 2; e = 0

10.La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto

de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

f(x)=x3+ax2+bx+c; f’(x)=3x2+2ax+b; f’’(x)=6x+2a; f(3)=0; 27+9a+3b+c=0

; ;

a=-2; b=-262/63; c=9/7

11.Dada la función:

Calcu la a, b y c , de modo que f(x) tenga en (2, −1) un ext remo loca l y que la

curva pase por e l o r igen de coordenadas.

;

;

;

12.Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los

puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la

función en 1 y en 2?

f’(1)=0; a+2b+1=0; ; f’(2)=0; a/2+4b+1=0; a=-2/3; b=-1/6


DERIVADAS


24

APLICACIONES FÍSICAS DE LA DERIVADA

VELOCIDAD MEDIA

La ve loc idad media es e l coc iente entre e l espacio recorr ido (Δe) y e l

t iempo t ranscurr ido (Δt) .

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

La ve loc idad instantánea es e l l ími te de la veloc idad media cuando Δt

t iende a cero , es dec ir , la der ivada del espacio respecto al t iempo.

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

La ace lerac ión instantánea es la der ivada de la ve loc idad respecto a l

t iempo.

Por tanto , la ace lerac ión es la der ivada segunda del espacio respecto a l

t iempo.

E l espac io recor r ido por un móv i l v iene dado por l a f unc ión e ( t ) = 3 t² - t +1 . E l

espac io se mide en metros y e l t i empo en segundos .

Hal lar la ecuación de la veloc idad. v(t )= e′ (t ) = 6t -1

Ha l lar la ve loc idad en e l instante t = 0 .v(0)= -16 · 0 − 1 = −1 m/s

Hal lar la ecuación de la ace lerac ión . a(t) = v ′ (t ) = e ′ ′ ( t ) = 6 m/s 2

derivada de una función en un punto - espacio de fernando · pdf fileconsecuencia 1: si...

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