determina extremos absolutos determina puntos críticos determina los intervalos en los que una...

Determina extremos absolutos

Determina puntos críticos

Determina los intervalos en los que una función es creciente o decreciente.

Determina puntos de extremos locales

Determina extremos locales

Determina los intervalos en los que la gráfica de una función es cóncava hacia arriba o cóncava

hacia abajo.


En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función f con dominio [1; 8].

Determina los puntos en los que f alcanza su máximo y mínimo valor (en ese orden).

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

f

(a) 5 y 1 (b) 4 y 1 (c) 5 y 7

Respuesta correcta

Demuestras que sabes determinar los puntos en los que una función alcanza su máximo y mínimo valor. Ahora puedes conocer la definición de estos conceptos.

Respuesta incorrecta

Observa que los puntos entre 4 y 6 tienen imágenes mayores que la imagen de 4. Vuelve a intentarlo.


Observa que los puntos cercanos a 1 tienen imágenes menores que la imagen de 7. Vuelve a intentarlo.

Extremos absolutos de una función

Definición. Suponga que f es una función y que c Dom(f).

(a) Se dice que c es un punto de máximo absoluto de f, si para cada x Dom(f) se cumple que f(x) ≤ f(c). En este caso se dice que f(c) es el máximo absoluto de f.

(b) Se dice c es un punto de mínimo absoluto de f, si para cada x Dom(f) se cumple que f(c) ≤ f(x). En este caso se dice que f(c) es el mínimo absoluto de f.


En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función f con dominio [1; 8]. Determina los puntos c del dominio de f para los cuales f(c) es el máximo (o mínimo) valor de f en un intervalo abierto que contiene a c.

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

f(a) Máximo en 2 y 4

Mínimo en 3 y 7

(b) Máximo en 2 y 5 Mínimo en 3 y 7

(c) Máximo en 2 y 5 Mínimo en 3 y 4


Observa que los puntos que están cerca de 4 y a su derecha tienen imágenes mayores que la de 4. Vuelve a intentarlo.

Respuesta correcta

Demuestras que tienes la noción de lo que son los puntos de máximo y mínimo local ... Ahora puedes conocer la definición de estos conceptos.


Observa que los puntos que están cerca de 4 y a su izquierda tienen imágenes menores que la de 4. Vuelve a intentarlo.

Extremos locales de una función

Definición. Suponga que f es una función y que c Dom(f).

(a) Se dice que c es un punto de máximo local de f, si existe un intervalo abierto a;b contenido en el Dom(f) y que contiene a c tal que para cada x a;b se cumple que f(x) ≤ f(c). En este caso se dice que f(c) es un máximo local de f.

(b) Se dice que c es un punto de mínimo local de f, si existe un intervalo abierto a;b contenido en el Dom(f) y que contiene a c tal que para cada x a;b se cumple que f(c) ≤ f(x). En este caso se dice que f(c) es un mínimo local de f.

(c) Se dice que c es un punto de extremo local de f, si lo es de máximo o mínimo local de f.

Determina puntos críticos

En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función f con dominio [1; 8]. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

fSi c es un punto de extremo local de f, entonces f ´(c) = 0.

(a)

Si c es un punto de extremo local de f, entonces no existe f ´(c).

(b)

Si c es un punto de extremo local de f, entonces f ´(c) = 0 o no existe f ´(c).

(c)


Observa que 3 es un punto de mínimo local, pero no existe f ´(3) . Vuelve a intentarlo.


Observa que 2 es un punto de máximo local, y si existe f ´(2) que es cero . Vuelve a intentarlo.

Respuesta correcta

Demuestras que tienes la capacidad de entender el concepto de punto crítico ... Ahora puedes conocer su definición.

Puntos críticos de una funciónDefinición. Suponga que f es una función y que x0 Dom(f) tal que existe un intervalo abierto a;b tal que x0 a;b Dom(f). Se dice que x0 es un punto crítico de f, si f ´(x0) = 0 o si no existe f ´(x0).

Por ejemplo, en la figura adjunta, los puntos críticosde f son:2, 4 y 7 , pues ahí la derivada es cero.3, 5 y 6, pues ahí la derivada no existe.

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

f

Determina los puntos de extremos locales

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

f Usando la figura adjunta determine los signos de la derivada a los lados de cada punto crítico y luego determine el valor de verdad de cada una de las afirmaciones siguientes:

En cada punto crítico la derivada cambia de signo.

(1)

En cada punto de extremo local la derivada cambia de signo.

(2)

En cada punto de mínimo local la derivada cambia de signo de menos a mas.

(3)

En cada punto de máximo local la derivada cambia de signo de mas a menos.

(4)(a) FVVV (b) VVFF

Respuesta correcta

Demuestras que tienes la capacidad de establecer la relación entre un punto de máximo o mínimo local y el cambio de signo de la derivada ... Ahora puedes conocer el teorema que relaciona esos dos hechos.


Observa que 4 es un punto crítico y que la derivada no cambia de signo a los costados de 4. Vuelve a intentarlo.

Criterio de la Primera derivada

Suponga que x0 es un punto crítico de f en el cual f es continua.

(a) Si f´ cambia de signo de positiva a negativa en x0, entonces x0 es un punto de máximo local de f.

(b) Si f´ cambia de signo de negativa a positiva en x0, entonces x0 es un punto de mínimo local de f.

Determina los intervalos en los que una función es creciente o decreciente.

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

fA partir de la figura adjunta determina:

(1) Los intervalos en los que f es creciente.

(2) Los intervalos en los que fés positiva.

a) (1) f es creciente en <1;2>, <3;5>, <7;8> (2) fés positiva en <1;2>, <3;4>,<4;5>,<7;8>

b) (1) f es creciente en <2;3>, <5;7> (2) fés positiva en <2;3>, <5;6>,<6;7>

c) (1) f es creciente en <1;2>, <3;5>, <7;8> (2) fés positiva en <2;3>, <5;6>, <6;7>


Observa que f es decreciente en <2;3>, <5;6> y en <6;7> Vuelve a intentarlo.


Observa que f´ es negativa en <2;3>, <5;6>,<6;7>. Vuelve a intentarlo.

Respuesta correcta

Demuestras que tienes la capacidad de determinar los intervalos abiertos en los que una función es creciente y aquellos en los que su derivada es positiva. Si observas con atención, te darás cuenta que los intervalos obtenidos en cada caso son los mismos. Ésto no es casualidad, sino que obedece a una propiedad que más adelante la estableceremos.

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5


(a) Los intervalos en los que f es decreciente.

(b) Los intervalos en los que fés negativa.

a) (1) f es decreciente en <2;3>, <5;7> (2) fés negativa en <1;2>, <3;4>,<4;5>,<7;8>

b) (1) f es decreciente en <2;3>, <5;7> (2) fés negativa en <2;3>, <5;6>, <6;7>

c) (1) f es decreciente en <1;2>, <3;5>, <7;8> (2) fés negativa en <2;3>, <5;6>, <6;7>


Observa que f´ es positiva en <1;2>, <3;4>, <4;5> y en <7;8>. Vuelve a intentarlo.

Respuesta correcta

Demuestras que tienes la capacidad de determinar los intervalos abiertos en los que una función es decreciente y aquellos en los que su derivada es negativa. Si observas con atención, te darás cuenta que los intervalos obtenidos en cada caso son los mismos. Ésto no es casualidad, sino que obedece a una propiedad que más adelante la estableceremos.


Observa que f es creciente en <1;2>, <3;5> y en <7;8>. Vuelve a intentarlo.

Teorema

Suponga que f es una función y que I es un intervalo abierto contenido en el dominio de f.

(a) Si para cada xI, f ´(x) > 0, entonces f es creciente en I.

(b) Si para cada xI, f ´(x) < 0, entonces f es decreciente en I.

Determina los intervalos en los que la gráfica de una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5


(1) Los intervalos en los que la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes.

(2) Los intervalos en los que f´es creciente.

a)(1) <4;5>, <6;8>(2) <4;5>, <6;8>

b) (1) <4;5>, <6;8> (2) <1;3>, <3;4>, <5;6>

c) (1) <1;3>, <3;4>, <5;6> (2) <4;5>, <6;8>

Respuesta correcta

Demuestras que tienes la capacidad de determinar los intervalos abiertos en los que la gráfica de una función está por encima de sus rectas tangentes y los intervalos en los que la derivada es creciente.


Observa que en <1;3>, <3;4> y en <5;6> la derivada de f va disminuyendo. Vuelve a intentarlo.


Observa que en <1;3>, <3;4> y en <5;6> la gráfica de f está por debajo de sus rectas tangentes. Vuelve a intentarlo.

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5


(1) Los intervalos en los que la gráfica de f está por debajo sus rectas tangentes.

(2) Los intervalos en los que f´es decreciente.

a)(1) <4;5>, <6;8>(2) <1;3>, <3;4>, <5;6>

b) (1) <1;3>, <3;4>, <5;6> (2) <1;3>, <3;4>, <5;6>

c) (1) <1;3>, <3;4>, <5;6> (2) <4;5>, <6;8>


Observa que en <4;5> y en <6;8> la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes. Vuelve a intentarlo.

Respuesta correcta

Demuestras que tienes la capacidad de determinar los intervalos abiertos en los que la gráfica de una función está por debajo de sus rectas tangentes y los intervalos en los que la derivada es decreciente.


Observa que en <4;5> y en <6;8> la derivada de f es creciente. Vuelve a intentarlo.

Concavidad de la gráfica de una función.Suponga que f es una función y que I es un intervalo abierto contenido en su dominio.

Se dice que la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I, si en dicho intervalo, la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes.

Se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I, si en dicho intervalo, la gráfica de f está por debajo de sus rectas tangentes.

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

f

determina extremos absolutos determina puntos críticos determina los intervalos en los que una...

Documents