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el blog de mate de aida: Límites y continuidad. M I pág. 1
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
xc significa que x toma valores cada vez más próximos a c. Se lee “x tiende a c”.
Por ejemplo: 0; 1,9; 0,5; 1,4; 0,8; 1,1; 0,95; 1,01; 0,999; … Es una secuencia de números cada vez más
próximos a 1. Escribimos x1.
x c significa que x toma valores cada vez más próximos a c, pero menores que c. Se lee “x tiende a c
por la izquierda”.
Por ejemplo, la secuencia: 0; 0,5; 0,8; 0,95; 0,99; … Está formada por números menores que 1 y cada vez
más próximos a 1. Escribimos x1 .
x c significa que x toma valores cada vez más próximos a c, pero mayores que c. Se lee “x tiende a c
por la derecha”.
Por ejemplo, la secuencia: 2; 1,5; 1,1; 1,01; 1,001; … Escribiremos x1 .
Si x c , entonces x toma valores variables. Como consecuencia la función f(x) también toma valores
variables. El comportamiento de f(x) cuando x c , se expresa así:
)(xflimcx
(límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda)
)(xflimcx
Cuando x c , f(x) toma valores cada vez más grandes, llegando a superar
cualquier valor, por grande que sea.
Ejemplo: 2
1
1)(
xxf
x 0 0,9 0,99 …
f(x) 1 100 10000 …
)(1
xflimx
)(xflimcx
Cuando x c , f(x) toma valores cada vez “más negativos”.
Ejemplo: 1
1)(
xxf
x 0 0,9 0,99 …
f(x) -1 -10 -100 …
)(1
xflimx
Lxflimcx
)( Cuando xc, f(x) toma valores cada vez más próximos al número L.
Ejemplo: 5)( 2 xxf
x 0 0,9 0,99 …
f(x) 5 5,81 5,9801 …
6)(1
xflimx
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)(xflimcx
(límite de f(x) cuando x tiende a c por la derecha)
El significado es similar al del )(xflimcx
y los comportamientos que pueden darse son idénticos a los
que hemos visto para x c .
)(xflimcx
(límite de f(x) cuando x tiende a c)
Es el comportamiento de la función cuando x se aproxima a c, sin importar si es por la derecha o por la
izquierda.
Si Lxflimxflimcxcx
)()( , decimos que Lxflimcx
)( .
Análogamente, cuando los dos límites laterales son + ó -.
Si los dos límites laterales no toman el mismo valor, se dice que no existe el )(xflimcx
.
LÍMITES EN EL INFINITO
Para expresar que x toma valores cada vez más grandes, ponemos x+. Se lee “x tiende a más
infinito”.
Por ejemplo, si x toma los valores 10, 100, 1000, 10000, …, decimos que x+.
)(xflimx
(límite de f(x) cuando x tiende a más-infinito)
)(xflimx
Cuando x+, los valores de f(x) crecen cada vez más.
)(xflimx
Cuando x+, los valores de f(x) son cada vez más “negativos”.
Lxflimx
)( Cuando x+, los valores de f(x) son cada vez más próximos a un número L.
Ejemplo: 5
32)(
2
2
x
xxf
x 10 100 1000 …
f(x) 1,876 1,9987 1,99999987 …
2)(
xflimx
existenoxflimx
)( Cuando x+, los valores de f(x) ni crecen ni decrecen indefinidamente,
ni se acercan cada vez más a ningún número.
Ejemplo: Las funciones trigonométricas presentan este comportamiento.
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)(xflimx
(límite de f(x) cuando x tiende a menos-infinito)
El significado es similar al del )(xflimx
y los comportamientos que pueden darse son idénticos a los
que hemos visto para x+.
LÍMITES: CASOS POSIBLES
Límites infinitos cuando x tiende a un número finito 0x :
)(lim0
xfxx
)(lim0
xfxx
)(lim0
xfxx
)(lim0
xfxx
)(lim0
xfxx
)(lim0
xfxx
Límites finitos en el infinito:
Lxf
x
)(lim
Lxf
x
)(lim
Límites infinitos en el infinito:
)(lim xfx
)(lim xfx
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)(lim xfx
)(lim xfx
OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES
Sean f y g dos funciones tales que existan )(xflimax
y )(xglimax
y c un número real, (a puede ser un
valor real o ), entonces:
PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES
)()())(( xglimxflimxgflimaxaxax
Suma Adición
)())(( xflimxflimaxax
Opuesta
)()())(( xglimxflimxgflimaxaxax
Diferencia
)()·())(·( xglimxflimxgflimaxaxax
Producto Multiplicación
)(
1))(
1(
xflimx
flim
ax
ax
Inversa
)(
)())((
xglim
xflimx
g
flim
ax
ax
ax
Cociente
)(·))(·( xglimcxgclimaxax
Producto por un
número
Multiplicación por un número
cclimax
Constante
)(·)( xflimgxfglimaxax
Compuesta Composición
axlimax
Identidad
)()( )()(xglim
ax
xg
ax
axxflimxflim
Potencia Potenciación
Estas relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones definidas con números reales o
las definidas al añadir los elementos + y -. En caso contrario no es posible obtener el límite del
primer miembro a partir de los límites del segundo.
Cuando esto ocurre se dice que el cálculo del límite no está determinado o es indeterminado. Esta
expresión, no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación directa de
los teoremas tal y como están enunciados es imposible. Los casos de indeterminación son los siguientes:
Racionales Exponenciales
k/0, /, 0·, -, 0/0 1 , 0 , 00
Si al calcular un límite se presenta alguno de estos casos, conviene transformar la expresión de la
función en otra equivalente a la que sí puedan aplicarse los teoremas de los límites.
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CÁLCULO DE LÍMITES
A través de las correspondientes gráficas, resulta fácil comprender los límites más sencillos:
FUNCIÓN CONSTANTE: f(x)=K
KK
xx
0
lim ; KKx
lim ; KKx
lim
FUNCIÓN IDENTIDAD: f(x)=x
00
lim xxxx
;
xxlim ;
x
xlim
FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE NATURAL nxxf )( , n є N, n ≥ 2
nn
xxxx 0
0
lim
;
n
xxlim
nn
xxxx 0
0
lim
;
n
xxlim ;
n
xxlim
FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO n
nx
xxf
1)( , - n є Z , n ≥ 2
nnxx xx0
11lim
0
(con 00 x ); 01
lim nx x
;
nx x
1lim
0
nnxx xx0
11lim
0
(con 00 x ); 01
lim nx x
;
nx x
1lim
0;
n
x x
1lim
0
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FUNCIÓN EXPONENCIAL xaxf )( , a > 0, a ≠ 1
xaxf )( , a > 1
0
0
limxx
xxaa
;
x
xalim ; 0lim
x
xa
xaxf )( , 0 < a < 1
0
0
limxx
xxaa
; 0lim
x
xa ;
x
xalim
FUNCIÓN LOGARÍTMICA xxf alog)( , a > 0, a ≠ 1
xxf alog)( , a > 1
0logloglim0
xx aaxx
(con 00 x );
xax
loglim ;
xax
loglim0
xxf alog)( , 0 < a < 1
0logloglim0
xx aaxx
(con 00 x );
xax
loglim ;
xax
loglim0
Cálculo de límites de una función en un punto
1. El límite de una constante, en cualquier punto, es ella misma:
kklimax
2. El límite de una función polinómica, f(x)=P(x), cuando xa, coincide con P(a).
)()( aPxPlimax
Ejemplo:
1512852·3253 2323
2
xxlim
x
3. El límite de un cociente de polinomios, f(x)=P(x)/Q(x), cuando xa, coincide P(a)/Q(a) si P(a)0 y
Q(a)0.
)(
)(
)(
)(
aQ
aP
xQ
xPlim
ax
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Ejemplo:
2
3
1lim
1lim
1
1lim
1
2
1
2
1
x
xx
x
xx
x
x
x
4. Indeterminación 0
0
a) La indeterminación 0/0 de funciones racionales desaparece descomponiendo en factores el
numerador y el denominador y simplificando.
b) La indeterminación 0/0 de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función
por la expresión radical conjugada.
Ejemplo:
21lim
1
11lim
1
1lim 2
12
22
12
4
1
x
x
xx
x
x
xxx
5. Indeterminación k/0
El caso k/0, k0, no suele tomarse como indeterminado ya que el límite, si existe, es siempre + ó -.
Se calculan los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite + ó -; en caso contrario no
existe el límite.
Ejemplo:
límiteelexisteNo
x
xIND
K
x
x
x
x
0
1
1
1lim
0
1
1
1lim
)(01
1lim
1
1
1
6. La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo
la diferencia a una única expresión.
7. La indeterminación 0· se resuelve transformándolas en las de tipo 0/0.
Ejemplos:
3
1
3
44
2
443
23)(
0
0
12167
652
2
32
2
323
23
3
xx
xxlim
xxx
xxxlimIND
xxx
xxxlim
xxx
352
95
352
3535)(
0
0
2
35
22
2
222
22
22
2
2 xxx
xlim
xxx
xxlimIND
xx
xlim
xxx
3
1
12
4
35
2
352
22)(
0
0
352
4
222222
2
2
xx
xlim
xxx
xxlimIND
xxx
xlim
xxx
iteelexisteNo
x
xlim
x
xlim
INDK
x
xlim
x
x
xlím
0
6
2
2
0
6
2
2
)(02
22
2
2
22
2
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1
411)(
0
0
1
4·1)(·0
1
4·1
1
2
1
2
1 x
xxxlimIND
x
xxlimIND
x
xxlim
xxx
6411
xxlimx
Cálculo de límites en el infinito
1. El límite de un polinomio cuando x es ó - según que el signo del coeficiente del término de
mayor grado sea positivo o negativo.
Ejemplos:
a)
35lim 2 xxx
b)
123lim 2 xxx
c)
32lim 34 xxx
d) 18lim 3
xx
no existe
2. Indeterminación
La indeterminación
desaparece dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x.
Podemos dar la siguiente regla para hallar límites (x+) de funciones racionales:
...
...
)(
)(
n
m
bx
ax
xQ
xP
)(gra)(gra
)(gra)(gra0
)(gra)(gra
)()(
)(
xQdedoxPdedosib
a
xQdedoxPdedosi
xQdedoxPdedosi
INDxQ
xPlimx
También podemos resolverlos tomando únicamente los términos de mayor grado tanto del
numerador como del denominador.
n
m
xn
m
x bx
axlim
bx
axlim
...
...
Ejemplos
41
1
114
lim)(1
14lim
2
2
2
2
x
xxINDx
xx
xx
3710
1253lim
2
23
xx
xxx
x
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310
25lim
2
x
x
x
3. La indeterminación -
(a) La indeterminación - de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función
por la expresión radical conjugada.
(b) La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la
diferencia a una única expresión.
Ejemplo:
2
3
2 2
4
2
3
x
x
x
xlimx
4. La indeterminación 0· se resuelve transformándola en una del tipo
.
5. Límites cuando x-
Se calculará el límite cuando x de la expresión que resulte de cambiar x por –x en la función.
Ejemplo:
35lim3·5lim35lim 222 xxxxxxxxx
Ejemplos:
33)(
53
35 22 xlim
x
xlimIND
x
xxlim
xxx
01
)(3
3
2
3
2
xlim
x
xlimIND
x
xlim
xxx
2
3
2
3)(
62
1532
2
2
2
x
xlimIND
x
xxlim
xx
1)(3
)(·03·1 22
2
x
xlim
x
xlimIND
x
xxlimINDxx
xlim
xxxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx
xxx 254
454lim
254
254254lim254lim
2
22
2
222
4
5
4
5lim
22
5lim
24
5lim
2
x
x
xx
x
xx
x
xxx
El número “e”
Sea
x
xxf
11)( . ¿Cuál es el límite de esta función cuando x ?
Calcularemos algunos términos:
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X 100,00 1000 1000000 10000000
f(x) 2,70481… 2,71692… 2,71828047… 2,71828169…
Aunque cada término calculado es mayor que los anteriores, el crecimiento es tan lento que es
razonable pensar que es convergente.
Su límite es un número irracional y se le nombra con la letra e:
e=2,71828…
La expresión del paréntesis tiende a 1 y el exponente tiende a .
El número “e” aparece siempre que tengamos una indeterminación del tipo 1 .
Si 1)(
xflimax
y
)(xglimax
, entonces: )(·1)(
)()(xgxflim
xg
ax
axexflim
, tanto si a es un número real
como si es .
Ejemplo: 0123
533
6
23
321
23
532
2 222
2
eeee
x
xlim x
xlim
xxlim
x
xxlim
x
x
xxx
Ejemplo:
6
6131
22
0
00131 eeexlim x
xlimx
xlim
xx
xx
ASÍNTOTAS
Si lim ( )x a
f x
, aR, la recta x=a, es una asíntota vertical. Para determinar si f(x) tiende a más
o menos inifinito, en x = a, habría que calcular los límites laterales y así determinamos la posición de
la curva respecto a la asíntota. En las funciones racionales se busca en los valores de x que son
raíces del denominador.
Si bxflimx
)( , bR, la recta y = b es una asíntota horizontal.
Cálculo de asíntotas oblicuas:
Por ser una asíntota oblícua tendrá por ecuación y = mx + n, donde “m” indica la pendiente de la recta y
“n” la ordenada en el origen. (m 0 y m , n ).
Los valores de “m” y “n” se obtienen calculando los siguientes límites:
x
xflimmx
)(
y mxxflimn
x
)(
Para estudiar la posición de la gráfica respecto de las asíntotas oblicuas y horizontales calculamos
los límites cuando x de la diferencia entre la función y la asíntota. Si el resultado es positivo,
la función está encima de la asíntota, y si es negativo, está debajo.
Si una función tiene una asíntota horizontal, entonces no tiene asíntota oblicua.
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Ejemplos:
La asíntota vertical de la función 2
)(
x
xxf es la recta x=2
0
2
2
0
2
2)(
0
2
2
2
2
2
x
xlim
x
xlim
INDx
xlim
x
x
x
La asíntota horizontal de la función x
xxf
2
13)(
es la recta
2
3y
2
3
2
13
x
xlimx
2
3
2
13
x
xlimx
Posición de la gráfica respecto de la asíntota:
0
2
1
2
3
2
13
xlim
x
xlim
xx La gráfica está debajo
0
2
1
2
3
2
13
xlim
x
xlim
xx La gráfica está encima
La asíntota oblicua de la función 23
683)(
2
x
xxxf es la recta y=x-2
123
68323
683
2
2
2
xx
xxlim
x
x
xx
limmxx
223
66
23
683 2
x
xlimx
x
xxlimn
xx
Posición de la gráfica respecto de la asíntota:
0
23
2)2(
23
683 2
xlimx
x
xxlim
xx La gráfica está debajo
0
23
2)2(
23
683 2
xlimx
x
xxlim
xx La gráfica está encima
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Observaciones prácticas acerca de las asíntotas horizontales y verticales:
- Las funciones polinómicas tienen ramas infinitas, pero no tienen asíntotas horizontales y tampoco
verticales.
- Las fracciones algebraicas tienen asíntota horizontal si el numerador y el denominador tienen el
mismo grado. En ese caso, es la misma asíntota por la izquierda que por la derecha.
- Las fracciones algebraicas tienen tantas asíntotas verticales como raíces tenga el denominador, salvo
que el numerador tenga alguna de esas raíces; en tal caso conviene, previamente, simplificar la
fracción.
- Las expresiones con radicales pueden tener dos asíntotas horizontales.
- En general, las asíntotas verticales son propias de expresiones que «se hacen infinitas» para valores
finitos de x.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Continuidad de una función en un punto:
La idea intuitiva de continuidad implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos que rompan
la gráfica de la misma.
Una función y = f(x) es continua en un punto x = a si se cumplen las tres condiciones siguientes:
a) La función está definida en x = a; es decir, existe f(a).
b) Existe el límite de la función f(x) en x = a.
c) Los dos valores anteriores coinciden, es decir, )()( afxflimax
.
Si una función no es continua en un punto x = a, se dice que es discontinua en dicho punto.
Algunas razones por las que una función puede ser discontinua en un punto son las siguientes:
La continuidad o discontinuidad de una función en un punto exige estar definida la función en él. Por
ejemplo, la función f(x) = 1/x no es continua no discontinua en x = 0 ya que no está definida. (Sin
embargo, vamos a hablar de discontinuidad en ese punto).
Si nos restringimos a los valores que toma una función a la derecha del punto x = a o a la izquierda, se
habla de continuidad por la derecha o continuidad por la izquierda.
Discontinuidades
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el
valor de la función en el mismo o no está definida.
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él, se llama
verdadero valor de la función en el mismo.
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Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y
son distintos. El valor
)()( xflimxflimaxax
se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.
Ejemplos:
13
11
1
)(
2
xsi
xsix
x
xf
¿Qué sucede en x=1?
a)
21lim
1
11lim
1
1lim
11
2
1
x
x
xx
x
x
xxx; luego existe 2)(lim
1
xf
x.
b) f(1) = 3; luego la función está definida en x = 1.
c) Los dos valores anteriores no coinciden.
Por tanto, la función tiene una discontinuidad evitable en x = 1. Para que la función fuera
continua en x = 1, debería ser f(1) = 2. Podemos redefinir la función dando a la función el valor 2 en x =1.
¿Qué valor debemos dar a la función 3
65)(
2
x
xxxf en x = 3 para que sea continua?
La función no está definida en x = 3. Veamos cuál es el límite de la función en x = 3:
12lim
3
23lim)(lim
333
x
x
xxxf
xxx Para que la función fuera continua en x = 3,
debería ser f(3) = 1.
Consideremos la función signo de x definida por:
01
00
01
)(
xsi
xsi
xsi
xsig
¿Qué sucede en x = 0?
a) 1)(lim0
xsigx
y 1)(lim0
xsigx
. Los límites laterales no coinciden. Luego la función tiene
una discontinuidad inevitable en el punto x = 0 de salto 2.
Funciones continuas
Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos y cada uno de los puntos del intervalo.
Se dice que una función es continua cuando lo es en todos y cada uno de los puntos de su dominio de
definición.
Las operaciones con funciones continuas en x=a dan como resultado otra función continua en él,
siempre que tenga sentido la operación. Entonces: todas las funciones elementales (polinómicas,
racionales, exponenciales y trigonométricas) son continuas en todos los puntos donde están definidas.
Las funciones definidas a trozos serán continuas si en los puntos de unión lo son, y cada función es
continua en su trozo correspondiente.