CEROS DE FUNCIONESMTODO DE PUNTO FIJO"

Mg. Patricia E. Alvarez Rodriguez

Universidad Privada Antenor Orrego

Trujillo Agosto del 2012

Mtodo de Punto Fijo

ProblemaSea

f (x) = 0 encontrar x cero

Mtodo de Punto Fijo

Cmo se realiza?Transformar

f (x) = 0 x = g(x)

Mtodo de Punto Fijo

Proceso iterativoValor inicial x0Primera iteracin x1 = g(x0)Segunda iteracin x2 = g(x1)Tercera iteracin x3 = g(x2)......i-esima iteracin xi = g(xi1)(i + 1)-esima iteracin xi+1 = g(xi)

Mtodo de Punto Fijo

EjemploEncuentre una solucin de la ecuacin

f (x) = 2x2 x 5

con x0 = 2.

Solucin:

Caso 1.x = g(x) = 2x2 5

La sucesin x0, x1, x2, ... diverge.Caso 2.

x = g(x) =

x + 5

2La sucesin x0, x1, x2, ... converge.

Mtodo de Punto Fijo

EjemploEncuentre una solucin de la ecuacin

f (x) = 2x2 x 5

con x0 = 2.

Solucin:

Caso 1.x = g(x) = 2x2 5

La sucesin x0, x1, x2, ... diverge.

Caso 2.

x = g(x) =

x + 5

2La sucesin x0, x1, x2, ... converge.

Mtodo de Punto Fijo

EjemploEncuentre una solucin de la ecuacin

f (x) = 2x2 x 5

con x0 = 2.

Solucin:

Caso 1.x = g(x) = 2x2 5

La sucesin x0, x1, x2, ... diverge.Caso 2.

x = g(x) =

x + 5

2La sucesin x0, x1, x2, ... converge.

Mtodo de Punto Fijo

Criterio de convergenciaPara determinar si la sucesin x0, x1, x2, ... esta convergiendo odivergiendo a una raz x , cuyo valor se desconoce, puedecalcularse en el proceso iterativo la sucesinf (x0), f (x1), f (x2), ... si dicha sucesin tiende a cero, el procesoconverge a x , y dicho proceso se continuar hasta que|f (xi)| < 1. Si f (x0), f (x1), f (x2), ... no tiende a cero, la sucesinx0, x1, x2, ... diverge a x y el proceso deber detenerse y elegirun nuevo g(x).

Mtodo de Punto Fijo

EjemploEncuentre una aproximacin a una raz real de la ecuacincos x 3x = 0 con x0 = pi8 .

Solucin:

Caso 1.x = g(x) = cos x 2x

La sucesin x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = pi8 y tomamos otro g(x).Caso 2.

x = g(x) =cos x

3La sucesin x0, x1, x2, ... converge.

Mtodo de Punto Fijo

EjemploEncuentre una aproximacin a una raz real de la ecuacincos x 3x = 0 con x0 = pi8 .

Solucin:

Caso 1.x = g(x) = cos x 2x

La sucesin x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = pi8 y tomamos otro g(x).

Caso 2.x = g(x) =

cos x3

La sucesin x0, x1, x2, ... converge.

Mtodo de Punto Fijo

EjemploEncuentre una aproximacin a una raz real de la ecuacincos x 3x = 0 con x0 = pi8 .

Solucin:

Caso 1.x = g(x) = cos x 2x

La sucesin x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = pi8 y tomamos otro g(x).Caso 2.

x = g(x) =cos x

3La sucesin x0, x1, x2, ... converge.

Mtodo de Punto Fijo

Criterio de convergenciaTeorema|xi+1 xi | <

TeoremaSi g C[a,b] y g(x) [a,b], x [a,b] entonces g tieneun punto fijo en [a,b]. Si adems, g(x) existe en (a,b) y|g(x)| < k < 1, x (a,b) entonces g tiene un punto fijonico en [a,b].

Mtodo de Punto Fijo

Criterio de convergenciaTeorema|xi+1 xi | < TeoremaSi g C[a,b] y g(x) [a,b], x [a,b] entonces g tieneun punto fijo en [a,b]. Si adems, g(x) existe en (a,b) y|g(x)| < k < 1, x (a,b) entonces g tiene un punto fijonico en [a,b].

Mtodo de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raz de la ecuacin f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y = 103 aplicado a|xi+1 xi | < .

Solucin: Analizando los siguientes casosCaso 1.

x = g(x) =20

x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x 20

Caso 3.

x = g(x) =x3 2x2 + 20

10

Mtodo de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raz de la ecuacin f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y = 103 aplicado a|xi+1 xi | < .Solucin: Analizando los siguientes casos

Caso 1.x = g(x) =

20x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x 20

Caso 3.

x = g(x) =x3 2x2 + 20

10

Mtodo de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raz de la ecuacin f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y = 103 aplicado a|xi+1 xi | < .Solucin: Analizando los siguientes casos

Caso 1.x = g(x) =

20x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x 20

Caso 3.

x = g(x) =x3 2x2 + 20

10

Mtodo de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raz de la ecuacin f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y = 103 aplicado a|xi+1 xi | < .Solucin: Analizando los siguientes casos

Caso 1.x = g(x) =

20x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x 20

Caso 3.

x = g(x) =x3 2x2 + 20

10

Mtodo de Punto Fijo

Ejemplo

Calcule una raz de la ecuacin f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y = 103 aplicado a|xi+1 xi | < .Solucin: Analizando los siguientes casos

Caso 1.x = g(x) =

20x2 + 2x + 10

Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x 20

Caso 3.

x = g(x) =x3 2x2 + 20

10

PREGUNTAS?