método del punto fijo
TRANSCRIPT
CEROS DE FUNCIONES“MÉTODO DE PUNTO FIJO"
Mg. Ana Laksmy Gamarra Carrasco
Universidad Privada Antenor Orrego
Agosto del 2012
Método de Punto Fijo
El método de punto fijo o sustituciones sucesivas, es uno de losprimeros métodos que se utilizaron para resolver ecuacionestrascendentes. Es un método de fácil implementación y solorequiere de un punto inicial para el proceso iterativo.
ProblemaSea
f (x) = 0 encontrar x ⇒ cero
Método de Punto Fijo
El método de punto fijo o sustituciones sucesivas, es uno de losprimeros métodos que se utilizaron para resolver ecuacionestrascendentes. Es un método de fácil implementación y solorequiere de un punto inicial para el proceso iterativo.
ProblemaSea
f (x) = 0 encontrar x ⇒ cero
Método de Punto Fijo
¿Cómo se realiza?Transformar
f (x) = 0 ⇒ x = g(x)
Método de Punto Fijo
Proceso iterativoValor inicial x0Primera iteración x1 = g(x0)Segunda iteración x2 = g(x1)Tercera iteración x3 = g(x2)......i-esima iteración xi = g(xi−1)(i + 1)-esima iteración xi+1 = g(xi)
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una solución de la ecuación
f (x) = 2x2 − x − 5
con x0 = 2.
Solución:
Caso 1.x = g(x) = 2x2 − 5
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Caso 2.
x = g(x) =
√x + 5
2La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una solución de la ecuación
f (x) = 2x2 − x − 5
con x0 = 2.
Solución:
Caso 1.x = g(x) = 2x2 − 5
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.
Caso 2.
x = g(x) =
√x + 5
2La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una solución de la ecuación
f (x) = 2x2 − x − 5
con x0 = 2.
Solución:
Caso 1.x = g(x) = 2x2 − 5
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Caso 2.
x = g(x) =
√x + 5
2La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
Criterio de convergenciaPara determinar si la sucesión x0, x1, x2, ... esta convergiendo odivergiendo a una raíz x , cuyo valor se desconoce, puedecalcularse en el proceso iterativo la sucesiónf (x0), f (x1), f (x2), ... si dicha sucesión tiende a cero, el procesoconverge a x , y dicho proceso se continuará hasta que|f (xi)| < ε1. Si f (x0), f (x1), f (x2), ... no tiende a cero, la sucesiónx0, x1, x2, ... diverge a x y el proceso deberá detenerse y elegirun nuevo g(x).
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuacióncos x − 3x = 0 con x0 = π
8 .
Solución:
Caso 1.x = g(x) = cos x − 2x
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = π
8 y tomamos otro g(x).Caso 2.
x = g(x) =cos x
3La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuacióncos x − 3x = 0 con x0 = π
8 .
Solución:
Caso 1.x = g(x) = cos x − 2x
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = π
8 y tomamos otro g(x).
Caso 2.x = g(x) =
cos x3
La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
EjemploEncuentre una aproximación a una raíz real de la ecuacióncos x − 3x = 0 con x0 = π
8 .
Solución:
Caso 1.x = g(x) = cos x − 2x
La sucesión x0, x1, x2, ... diverge.Se detiene el proceso porque f (x0), f (x1), f (x2), ..., notiende a cero. Luego se inicia un nuevo proceso conx0 = π
8 y tomamos otro g(x).Caso 2.
x = g(x) =cos x
3La sucesión x0, x1, x2, ... converge.
Método de Punto Fijo
Criterio de convergenciaTeorema|xi+1 − xi | < ε
TeoremaSi g ∈ C[a,b] y g(x) ∈ [a,b], ∀x ∈ [a,b] entonces g tieneun punto fijo en [a,b]. Si además, g′(x) existe en (a,b) y|g′(x)| < k < 1, ∀x ∈ (a,b) entonces g tiene un punto fijoúnico en [a,b].
Método de Punto Fijo
Criterio de convergenciaTeorema|xi+1 − xi | < ε
TeoremaSi g ∈ C[a,b] y g(x) ∈ [a,b], ∀x ∈ [a,b] entonces g tieneun punto fijo en [a,b]. Si además, g′(x) existe en (a,b) y|g′(x)| < k < 1, ∀x ∈ (a,b) entonces g tiene un punto fijoúnico en [a,b].
Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.
x = g(x) =20
x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
10
Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casos
Caso 1.x = g(x) =
20x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
10
Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.
x = g(x) =20
x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
10
Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.
x = g(x) =20
x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
10
Método de Punto Fijo
Ejemplo
Calcule una raíz de la ecuación f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20,empleando como valor inicial x0 = 1 y ε = 10−3 aplicado a|xi+1 − xi | < ε.
Solución: Analizando los siguientes casosCaso 1.
x = g(x) =20
x2 + 2x + 10
Caso 2.x = g(x) = x3 + 2x2 + 11x − 20
Caso 3.
x = g(x) =−x3 − 2x2 + 20
10
Método de Punto Fijo
EjercicioEncuentre la raíz real positiva de f (x) = ln x − x + 2 = 0,usando el método de punto fijo, con la tolerancia de ε = 10−4
aplicado a |xi+1 − xi | < ε.
Método de Punto Fijo
AlgorítmoPara determinar una raíz f (x) = 0 dado un valor x1razonablemente próximo a la raíz.Reordenar la ecuación en una forma equivalente: x = g(x)REPEATHacer x2 = x1Hacer x1 = g(x1)UNTIL |x1 − x2| < TOLERANCIA