f(x)

XX1 X0x

x

xLínea recta

Raíz estimada

Raíz

Raíz estimada

f(x)

XX2 X0

0

0

0

X1

Raíz

Parábola

x x

Procedimiento del Metodo de Muller

Un predecesor del método de Muller, es el método de la secante, el cual obtiene raíces, estimando una proyección de una línea recta en el eje x, a través de dos valores de la función (Figura 1). El método de Muller toma un punto de vista similar, pero proyecta una parábola a través de tres puntos (Figura 2).

El método consiste en obtener los coeficientes de los tres puntos, sustituirlos en la fórmula cuadrática y obtener el punto donde la parábola intercepta el eje x. La aproximación es fácil de escribir, en forma conveniente esta sería:

f 2( x )=a( x−x2 )2+b (x−x2 )+c

Figura 1

Figura 2

Así, se busca esta parábola para intersectar los tres puntos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. Los coeficientes de la ecuación anterior se evalúan al sustituir uno de esos tres puntos para dar:

f ( x0)=a( x0−x2 )2+b( x0−x2 )+c

f ( x1 )=a( x1−x2 )2+b( x1−x2 )+c

f ( x2 )=a( x2−x2 )2+b( x2−x2)+c

La última ecuación genera que,f ( x2 )=c , de esta forma, se puede tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

f ( x0)−f (x2)=a( x0−x2)2+b( x0−x2 ) f ( x1 )−f ( x2 )=a (x1−x2 )

2+b( x1−x2)

Definiendo de esta forma:

h0=x1−x0h1=x2−x1δ0=

f ( x1 )−f (x2 )x1−x0

δ 1=f ( x2)−f ( x1 )x2−x1

Sustituyendo en el sistema:

(h0−h1)b−(h0+h1 )2a=h0 δ0+h1δ1

h1b−h12a=h1δ1

Teniendo como resultado los coeficientes:

a=δ1−δ 0h1+h0 b=ah1+δ 1 c=f ( x2 )

Hallando la raíz, se implementar la solución convencional, pero debido al error de redondeo potencial, se usará una formulación alternativa:

x3−x2=−2c

b±√b2−4 ac , despejandox3=x2+

−2cb±√b2−4ac

La gran ventaja de este método es que se pueden localizar tanto las raíces reales como las imaginarias.

Hallando el error este será:

Ea=|x3−x2x3

|⋅100%

Al ser un método de aproximación, este se realiza de forma secuencial e iterativamente, donde x1, x2, x3 reemplazan los puntos x0, x1, x2 llevando el error a un valor cercano a cero.Por medio de este método se encuentran tanto raíces reales como complejas.

Estrategias:

Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los 2 valores originales más cercanos a la nueva raíz.Si tenemos raíces reales y complejas, se usa un método secuencial.

Ej. X1, X2, X3 = X0, X1, X2

Ejemplo

f ( x )=x3−13 x−12 h = 0,1

x2 = 5 x1 = 5,5 x0 =4,5

Con un análisis previo, las raíces son –3, -1 y 4

Solución

f (4,5 )=20 ,625 f (5,5)=82 ,875 f (5)=48

Calculando

h0=5,5−4,5=1h1=5−5,5=−0,5

δ 0=82 ,875−20 ,625

5,5−4,5=62 ,25 δ 1=

48−82 ,8755−5,5

=69 ,75

Hallando los coeficientes

a=69 ,75−62 ,25−0,5+1

=15 b=15(−0,5 )+69 ,75=62 ,25 c=48

La raíz cuadrada del discriminante es:

√62 ,252−4⋅15⋅48=31 ,544Así

x3=5+−2⋅48

62 ,25+31,544=3 ,9765

Y el error estimado

Ea=|−1 ,0235x3

|⋅100%=25 ,74%

Ahora

x2 = 3,9765 x1 = 5 x0 =5,5

Haciendo uso de un programa y realizando diferentes iteraciones:

i xr Ea %0 51 3,9465 25,7402 4,0011 0,6143 4,0000 0,0264 4,0000 0,000