Problemas Matemáticas PAU – Hoja 6 - Álgebra – Geometría - Análisis – tusclasesdeapoyo.com

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1. Obtener la ecuación en forma general del plano que pasa por el punto (0, 3, 2) y es paralelo a las dos rectas siguientes:

1

3: 1

1 2x y

r z+= = +

− y

2

5:

2 3 0

x zr

x y z

− = + − =

(PAU Canarias – General – Junio 2010)

2. Dada la recta

3 3:

2 2

x yr

x z

+ =

+ =

Y el plano π: x-3y-2z=0:

a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas.

b) Determinar el ángulo que forman recta y plano. (PAU Canarias – Específica – Junio 2010)

3. a) Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro m:

3

2 4 1

2 2

mx y z m

x z

x y z

− + = + = − + = −

b) Resolverlo para m = 0. (PAU Canarias – General – Junio 2010)

4. Dadas las rectas:

24

31 1 5

: y :2 3 2 3

3

x t

x y zr s y t

z t

= − −

− + = = = +− =

a) Estudiar la posición relativa de ambas rectas.

b) Hallar la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a r y s. (PAU Canarias – Específica – Junio 2010)

5. Resolver la ecuación A · X = Bt + 2 I, siendo:

3 1 2 1 1 0, e

4 3 4 2 0 1A B I

− − = = = − −

(PAU Canarias – Específica – Septiembre 2010)

6. Resolver la ecuación matricial A·X = A + B, explicando las operaciones efectuadas, siendo

1 0 2

2 1 0

1 1 1

A

− = − −

y 2 0 2

1 3 1

1 1 0

B

= −

(PAU Canarias – General – Junio 2010)

7. Dadas las funciones f(x)= x2 – 6x y g(x)= 2x – x

2 :

a) Representar el recinto delimitado por sus gráficas, indicando vértices y puntos de corte con los ejes.

b) Calcular el área de dicho recinto. (PAU Canarias – Específica – Junio 2010)

8. Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar operarios y comprar máquinas. El dueño de la

fábrica ha estimado que si compra “y” máquinas y contrata “x” operarios, el número de unidades de producto que puede fabricar viene

dado por la función P = 105x2y. Cada máquina le supone una inversión de 2000 € y cada contrato de un operario le cuesta 1600 €. Si el

empresario sólo dispone de un presupuesto de 12.000 € para este fin, determina el número de operarios que debe contratar y el

número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción. (PAU Canarias – Específica – Septiembre 2010)

9. Dado el sistema:

2 1

2 2

3 4

x y z

x y z m

x y mz

+ − = − − + = − + =

a) Discutirlo según los valores de m.

b) Resolverlo para m = 0. (PAU Canarias – Específica – Septiembre 2010)

10. Dadas las siguientes rectas:

: ( , , ) ( 8, 4,5) ( 2,1, 2)

4 3 8:

4 5 60

r x y z

y xs

z x

λ= − − + − −− =

− =

a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas.

b) Hallar la ecuación de la recta paralela a s que pasa por el punto (1, 0, – 1).