apuntes Álgebra lineal y geometría i 'fundación académica aula+

Aplicaciones

CIENCIAS

Geometra I MATEMTICAS

Tema 2z Aplicaciones afines.coNcEPToor apr,rcncrNAFINDqlinicin: Sean(A, Et, g) y (Az, lEz,rp) dosespacios afines sobre el mismo cuerpolli.. Llamaremos aplicacinafn o anidad a una aplicacinl A,1-+.A2,junto con una aplicacin lineal l:81--> ts"2,

queflatl= AIA--I V a,b e.A. talesEjemplo,l.' Demostrarque en el espacioafin estndar, fijamos ae A, y x es un punto cualquiera si :1"+ l1& de deA1,entoncesfx) Se usarla siguientenotacin(lacttal es cierta en el espacioafin estndarsabreel cu,erpo de dimensinn): [i-

J(x)=f(a)* itrllProposicin: Si/es una afinidade, rAi;'entonceq:fiy y-flvl n 7fD, paratodoy irr, i e iEl + Ejemplo2 Demostrarel,resultdo anterior. E iemp l o D a d oa e A, 1 . K,d e fi n i mosl a:apl i caci nf.-^---+ ,{ tal que./(x)= ydonde 3 " y= r." " . a) En R2,hallala imagendel punto(2,3)si a = (-1,2)y . : 3 b) Demostrar que/g turaaplicacin j1r1 : x; afn con aplicacin lineal asociadu c) Demostrar quefix) :4.'+rf "l :

De-finicin: Seal A -+ .A. una afinidad. Diremosqueun punto x e ii es un punto fijo de/sifx)

Ejemplo4. Demostrar que si el conjunto puntosfijos de/es no vaco,entonces un subespacio de es afin de direccin subespacio vectores el de propiosde valorpropio 1 de f

ECUACIONES DE I]NA AFINIDAD EN UN SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANOen un sistema de referencia cartesiano.

Sean (.{1, Et, Q) Y (Az, lEz,cp) dos espaciosafines sobre el mismo cuerpo K y seanlos sistemasde r ef er enc ia c a rte s i a n o s n = { t, 2 ,. , , } yR ,:{q; l r,r,...,i .} p; deA yA ,2respecti vamente. Petendemos encontrarlas ecuaciones la afinidad que transformael punto x e A cuyascoordenadas de cart-esianas el sistemade referenciaR son (x1,xz, ..., x,), de forma que la imagen de x, en lx), est expresado coordenadas en cartesianas sistema referencia.R,. del de

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Geo.metra I MATEMATICAS

la aplicacin lineal J expresada en las bases.

B : { 4 , 2 , ..., ,} y B ' : { 1 , i r, ..., l , } deE 1y JErespecti vamente. 2 Seafip)' = (d't, a'2, ..., d'^) las coordenadas cartesianas punto/(p) en el sistemade referencia del R' = { q; i 1 , 2 ,..., l ^ } . Entonceslas ecuaciones vendrin dadas oor:

f(x)=flp)^'+ M.x

+

Sean: f{' : 1,tr, Ri) -+ (Ar, Rr) la transformacin cambiode baseen A entrelos sistemas ref. R! y R1. de de R de de 4{'' , (^r, Rz) -+ (,42, i) la hansformacin cambiode baseen,{2 entrelos sistemas ref. R2y R'2.

Entonces=,,'' "f.f#,'. i

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?

Aplicaciones afnes. 3

Geometr I CTENCIAS MATEMTICAS

lt) )lx) Ejemplo T: Dadala aplicacin af^ fl '- l = l l+ l en ll I expresada el sistemade referencia ' " \y) (0/ (0 -t)\y) cartesiano X: {p; r, r}, se pide encontrarlas ecuaciones dicha aplicacinen el sistemade der ef e re n c i a R ' = ;4 , Iq 2 ] s a b i e n d oqueq:p+ r - i z, t: , + r, z: , - r. Ejemplo 8; En lR2se considera aplicacinafin que fransformael punto m: (x, y) en el punto la m' = (x', y' ) dadapor (*', y') = (4x - 3y,x). Sepide: que a) Demosfrar los puntosfijos de/son {(r,Dly = r} b) Probarque el vector al vector constante = (3,1) "tparalelo c) Sealz el punto de interseccin Ia recta que pasa por m y rn' y la rectay = x. Probar que de existeun l. tal que i : lii y que .L= 3. d) Determin4rel sistemade referencia el que !a qpliqag!n en tieng !4ssiguientes ecuaciones:t,

l'\

(t

z

I X= J x ly ' = y

ALGTJNOS TrpOSpE ApLrC+i@iirIES AFE-{is,?E:gN:i#spACrO S MrSMO ENl. Traslaciones. v = xy.

.

Toda traslacinse expresa corno ?o(x) = x + t Ejemplo I0: \4llar las eeuaciones la t##in de de vector n =.:61":i2) (expresadoen la base cannica)con los siguientes sistemas refeis_ de i: a) R = {p = (0,0); , = (1,0), , = (0,1)},eli:*iei.r espacios inicial y final. b) n '= {q = (1,1);, = (l,l), , = (-1,1)} en los espacios inicialy flrnal.

2. Proyecciones. Delinicin: Una afinidades una proyeccin sif . . : f.

Los puntosfijos de las proyecciones su propia imagen. son La aplicacin lineal asociadaa una proyeccin cumple q".ej' autovalores f serrn l. de 0 Ejemplo 11.'Demostar los resultados anteriores.

= f , y por tanto los posibles

Existentres tipos de provecciones:

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r

O La aplicacinconsiante: El nico autovalorde f es el 0, y por tanto cumplequ.f Entonces ;(x) : a paratodox e,{.

: O.

@ La aplicacinidentidad: El unico autovalorde f es el l, y por tanto cumplerye j = u. Entonces/= 1a,es dect, ;(x) = x paratodo x e A. @ Laproyeccin sobreun subespacio p + G con direccinvectoriallF: afin Se cumpleque: tGes el subespacio formadopor los autovectores autovalorI de de lFes el subespacio formadopor los autovectores autovalor0 de de E= F ' O G. El-subespacio p + G serfn los piiritos fijos del : afin Entoncesfx) = {x + F'} n {p + G} Signirtcadoseomtrico :f

{x+ y+ 2:l }

3, Simetras. Dertnicin: Una af,rnidad una simetrh sif = o. es t Si el cuerpo K de .A no es Zz, entorlces puntos frjos de las simetrasson los puntos medios los formadospor un punto x y su imagenfix). La aplicacin lineal asociadaa una proyeccin cumple qr" 7, = In y por tanto los posibles autovalores f senn y-1. de I Ej emp J: Demoshalos resultados lo,l anteriores.

.

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Aplicacionesafines. 5

CIENCIAS


Existen tres tipos de simetras: O La aplicacinidentidad: Ei nico autovalordef esel 1, yportanto cumple quej : Ie. Entonceslf=7^, es decir, lx) : r paratodo x e A. @ Simetracental de centrop: El nico autgvalorde / es el -1, y por tanto cumple que f : -Is. Entoncesfx) = {punto tal que el punto medio de x yfix) esp} = 2p - x paratodox e,A. Simificado eeomtrico:

=2p-x.

El subespacio p + G srn puntos afin los fijo+.del Entonces = {x +F} n {2p-x +G} /(x) Sisnificadoseomtrico :

que las siguientes Ejemplo /9; Dernostrar aplicaciones simetras. son Hallar p + tGy lF en b):

"'

. -l') l-r) (-t tlr)=[,

J.Io -tJ[r.J

o )lx)

:)t, '{;)(:).(;

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Aplicaciones afines. 6

CIENCIAS

Gcometra I MATEIWITICAS

E jem p l o 2 0 :H a l l a rl a s e c u a c i o n e senR del asi mefasobreel subespaci oafn{ xi y+ z= 1}con direccinvectorialF = . Ejemplo 2/: Demosfar que la composicinde dos simetras "S de centrosO y O' respectivamente, .S = 2 Od' . es una traslacinde vector n Ejemplo 22: Seanlas aplicaciones traslacinde vector il, y S, simetrade centroO. Sepide: f,*, . a) Demostrarque el nico punto frjo de la aplicacin?n, S es O + ! b) Demostrarque las anteriores aplicaciones conmutan. no Ejemplo 23: Sea"Aun espacioafin de dimensinn. Dado un subespacio p + G de dimensinfr y afin vectorial IF,de dimensinn - k, siemprees posible encontrar sistemade referencia un subespacio un cartesianoen el cual las ecuaciones la proyeccinsobreel subespacio de afin p + G con direccin v ec t o ri a l F s e a n ;(r1 , z ,...rx n )= (x b x 2,...,)tk,-xb+ b-xk+ 2 ...,-xr).S epi de: a) Encontrarcho sistema cartesiano para el eje_qpl9.qp19ll9_r: . . .. ._ b) Verificarque ambas representan mismaaplicacinrealizando cambiode base. la un

4. Homotecios. Delinicin: Definimos la ).+ 0, l ,a l a apl i caci n/ que 7 = n. tal

',;. ,e poseen nicopuntofijo; si'.+I} A, esun puntocualquiera,denominamos el Lashomotecias un y anico punto fijo, entonce a = p+:-:pfft$. A dicho valor "se l denomina centro de l! t -^ ,,, homotecia. ,'+,, Si a es el centrode la homotecia, entonces iffJ''+ "; . I

Signifi cado geomtri : co

anteriores. Ejemplo 24: Demosfrarlos resultados Ejemplo 25: Es una homotecia la aplicacin dada por afirmativo hallar su razny el cento de la homotecia.

;)[r' '(;)=[],).[;En caso

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I


CIENCIAS


Ejemplo 26: Hallar las ecuaciones la homoteciade centro a = (1,1) , y ruzn l, : 2 con los de siguientes sistemas refencia: de a) n : {p : (0,0);.",: (1,0),, = (0,1)}en los espacios inicialy final. b) '= {q: (1,1);ir: (1,1),t, = (-1,1)} en los espacios inicialy final. Eiemplo 27. EnR! se consideran homoteciah1de centro 01y raznk y la homotecia h2 centro02 la y razn) . Demostrar h1. 2esunatraslacin queel vectorde traslacin = (1- k)On que y es .

PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES AFINES O Seanl g: A1 + A2, dos aplicaciones afinestales que existeun punto p tal queflp) : S(p), y adems poseen mismaaplicacin la linealasociad 7 : ! . entonces/= g. u, Ejemplo 28: Demostrarel resultadoanterior. Ejemplo 29.' Demostrarque dadauna aplicacinlineal $: 181 JE2, un par de puntos, p Ar, + z A2,tal quelfu) = q y 7 = O e e Az, existeunanicaafinidadl Ul '; : i;::1., i:'i.

@ Sea,{1un espacio afin de imengEn n.Dadauna.ble afin.;# {po, p,, ..., p,*r} de tr, y @+ I) puntosarbitrarios A2, {qo, qi,,jr,; q,*1}, existin de nioaafinida_d quelfu) : e i: 0, l, .., n. tal Dicha afinidad tiene como lineal asociaiiar,la nica aplicacin:ge cumple ,f (pop,) = eoe , y -4pliiei6,n = ademsl(p6) q. Ejemplo Dadas bCes'afines {po:,fl;), pr : (1,1), 30: las B= pzi(rl,l)} y B' : {qo= (0,1), = (0,2),q2: (1,0));;hallar;las ecuaciones alicacin/quetfnSforma en B' en. B \ iieferenciacartesian a) El sistema'il cannico b) El sistemade referencia cartesiano inducidopor ts. @ Dadasdos afinidadesl A -+ A2, g: ,42-> \3,entonces g'of rr -+ a3, esuna afinidady su aplicacin lineal asociada f !. @ Dadauna afinidad/con aplicacin linealasociada, entonces: f, a) /es inyectiva o f .r inyectiva. b) /es sobreyectivae f .r sobreyectiva. c) /es biyectiva .+ f .r biyectiva. Ejemplo Sl. Demostrarel resultadoanterior. De.finicin: Llamaremos isomorfismoafn a una afinidadbiyectiva.Diremosque dos espacios afines son isomorfossi existeun isomorfismo entreellos.

O

Dos espacios afinesde dimensin finita sonisomorfos y slo si poseen mismadimensin. si la

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@ S il - Ii r-)A2 , e s u n a a fi n i d a d y a + Fesunsubespaci oafi ndeA l , entoncesl a+ F):l a)+ l C ' ) En particular Im(fl es un subespacio afin de dimensinrangof ;. Adems,;ftransformasubespacros afinesparalelosen subespacios y afinesparalelos, por tantopuntosalineados puntosalineados. en Ejempto 32:Dadataaplicacin /f'l =(:)-(? ' "fi' " \y) (i l (1 : -r + 2} y por {x:1 }. por {y afinesdados de rossubespacios

:Y'l,hauarlaimagen o)\y)'

@ Si b * G esun subespacio de Au,y a l.t(b + G), entoncesl1t + e; = a + f -' 1C. afin Eiempto 33: Dadala aplicacin "fi' subespacio {y:2x+ 1}. afin hallar la imageninversadet

/l'l=l:l.lt

\ y ) [ r/ (-t

t )ly )'

.t)l''],

O Si/es una aplicacin afin biyectivacon aplicacin lineal asociada entonces/-' es una aplicacin f, -r . afin con aplicacinlineal asociadaf

Eiempto 34; Hararra inversa raapricacin dadar". t(;) = de afin

[l)-[;

],)[;)

@ Una aplicacin A' I

7\

aplicacin afin si y slosi siempre A-2,ireS.una qte 21 + k+J

+ )"":1,

qu. entonces se cumple /f i4pi i=r

i^,f @,) r=l

Ejemplo 35.' Seaf una aplicacinafin y sean a, b y c puntos de A Demostrar que si g es el baricentro Iospuntosa, b y c, entonces/(') el baricentro lospuntos/(a),lb) VJk). de es de

VARIEDADES INVARIANTES Dertnicin: Dada una afinidadf.,{ -+ A de un espacioafin (A, )E)en s mismo, diremosque la variedad linealq+lF esunavariedadinvariante ouna variedaddoblepor/sil(q+F) c q + F'. Mtodo para obtenerlos subespacios invariantes: Dada una afinidadl,\ -+ A, representada matricialmente /(x)=l'(x)+U, por para calcular los subespacios invariantes realizamos siguientes los pasos : 1. PUNTOSFIJOS Planteamos /(*) = " 2. RECTAS INVARIANTES a) Calculamos autovalores los simples asociados ],i alamatriz A' . Cadaautovalor simplenos da la direccinde la rectainvariante.

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Geometrla I MATEMTICAS

3.

b) Paracadal"i resolvemos *fG). x*Q' - u) HIPERPLANOS INVARIANTES a) Calculamos autovalores de multiplicidadmayor que 2 asociados los l.i alamatriz A Cada autovalor nos da la direccirr hiperplanoinvariante. dei b) Paracadal.i resolvemosfG). x*(l' - U)

LD AtEjempto.l: Hallarlasvariedades invariantes la aplicacir de ff"l = I ' " t

\y) (_ri [r

)* lo

- tY")

t )\y)

Ejemplo37: Hallar las variedades invariantes la aplicacin dadapor las ecuaciones: de It = x t + 2 x , + x t + l /z = x z -x r+ 2 l t = x t+ 3 x t-1

Dados3 puntosalineadosrt, azy a3,de un espacioafin (,{, iE),llamaremos razn simple de \, a,2yU, y lo escribiremos como(a1a2a3),al elemento e K tal qu. ,.,"1 = )";. Sepide: 2 a) Demostrarque (a1 a2a3)estdefinido siempreque at t a2,vale0 si a, : a3y vale 1 si a2= a3.

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en b) Hallar larazn simple, R", de lospuntosa1: (7,2), a.2: (2,3)y a3: (0,1).

c) Demostrarque en la recta afin (I|! K) la razn simpie de tres puntosh, xz y x3 tales \ne x1 * x2, tt. xt, si los En particular, [i:'C, entonces puntos x2y x3 formarn viene dada por(x1 x2xr: !:x z -x t : un tringulo equilterosi y slo si (x1x2-x3) e!tr3)i

baricntricas a1en la base afin {a2, a3} de d) Demostrarque si a1+ a3y (a, p son las coordenadas (a1 at,azya3,entonces t2a3)= -+ delarectaquepasaporIJ

= -!A_I

.

.ara, si y slo si (a1a2a3)< 0. = ar al e) Demostrarque si ll.l. lR,entonces pertenece segrnento

de f) Demostrar el teorema de Melenao: Sean a6, at y Lz puntos afinmenteindependientes un por espacioafin (A, IE),y seanbo,br y b2puntos queperteecena las rectasdeterminadas a-fl2,xsn2 y y de se 1lasal respectivamente, quee5{rtlineados son diferentes ae,at y Lz.Entonces cumple que a,a, , br al (bs a1a2),(ba2ae).(b2 ai)i:,1, Deducirqueno es posiblequeb0 pertenezca segrnento as pertenezcaal segmentoa0ar . segmentoar,C, V b2pertenezcaal

de g) Demostrarel : Seanae, atv az puntosafinmenteindependientes un espacio por p e ,\ diferentede a, a1y a2,designaremos b (i =0, 1,2) \a de afin (A, 1E) dimensin ,l,;Eado por por interseccinde la rectadterminada paj con la recta determinada los otros dos puntos aa, a2 se dondeft, h + i.Entonces 6ffi-leque(b6a1a2)'(b1 ao)'(bz ar) : -l . tu ,. larazn simple. conservan h) Demostrarque las afinidades

Ejercicios

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f'Aplicacionesafines. 11 LCIENCIAS Geometrla I MATEMTICAS

Se consideraen elplanoafinordinario larectar:2x+y6 =0. Sean ademiis elpuntom=(3,2)y el vectorv : Q,1).Hallar, en la simetraoblicuade vectov, el simtricode z respecto la rectar. de [sol:(5,6)]

Z. En el plano afin ordinario cuya base afin es -B= {ee: (0,0), e1= (1,0),e2= (0,1)}, se considera la homotecia de cenho a = Q,3) y razn k : 4. Hallar la matriz de la aplicacin en coordenadas

(tbaricntricas.

o o)

+ s otlt : l- o o ll\ -e 0 4 )

J.

En el planoafin ordinario considera se labase afinB = {es= (1,0),e1= (0,1),e2= (-1,0)}. Hallar las : ecuaciones la transformacin de afin del plano tal que;l(ee) et, = f(e) = e2 y fle2) = e()./ \ lxr ' - /t\- li t'- t ' [sol: ..l= l l' ' /l \/'/ \t/ \Z'

zlf"lr - r , ..r rT)\Y)

- e\z

r

+.

Hallar punto'simbico a: (1,2,3) relacin plano el de con al x-r y + z: 1 paralelarnente recta a la dev ec to rd i re c c i o nv = (1 ,1 ,1 ). al [sol :({ ,* ,* )] = = paralelamente plano al [sot:(3,0,3)]

5. Hallar el puntosimtrico dea=,,(1,,2,3) relacinalarecta con deec u a c i x + y * z :1 .;,.,, n ,

+

+

|

Seala baseafin de n3 dadrfior B: {"0, e1,e2,e}, y seaf \a aplicacin afin con aplicacin lineal asociada Se sabequelas;coordenadas u baricnticas fles)son(-5,1,5,0),y adems de + u(v) : 2.,1 v 2, u(v 2 ):1 2 -1 3 ,u rrtr-y :t:,t,,v 3 ,onde -o : vparai :1,2,3. E ncontraramatri zdef en d l coodenadas carresianas replpffe la base.B. pertenece/algrupo "o?i. trt o 0)

', ,'

l- : 2 o - l : tr ol, ll ' 1.*o, I I 0l 15[0 0 -l 1)

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ir.*

Espacios eucldeos 7

CIENCIAS

Geometra I MATEMfiCAS

Tema 3: EsFORMAS BILINEALES

eucldeos.

Delinicin: SeaiE un espacio vectorialsobreR. Una aplicaci /: E x iE -+ IP se llama bilineal sr se n verifica que / es lineal con respecto la primeray la segunda a variables,es decir: A a) fru1* uz,v) -- ilut, v) + fru2,v) Y u1,u2,v e E b ) fi l u ,v )= )" fru ,v ) Y u ,v e I E ,V 2 e i R @ a ) fl u ,v 1 * v i 2 )= i l u ,v )+ fl u ,v ) Y u,vv2:eN b) fiu, ).v)= )" fiu,v) Y u,v e JE, / e IR V Definicin: Decirnos una formabilineal/ essimtilca,,si y) = il.y,x). que ilx, Ejemplo 1'Seanr=(xr, x), y,,=:,{yvy2),estudiarsilasaplicacionesS.E'-2 xJ,_2 -+1.-,son bilineales; casoafirmativo en esfudiar sonsimtricas: si a) ilx, y) = x, + 2xt1-,,ipy2 b) ilx, y) = xv'' c ) i l x , y )= x t* l z ' ,, l ' i , i ,, i l x ,Y )= x z + 3 ' i ' ' ,

Sea f una forma bilineal en un espaciovectoril E de tlimensin n, y seaB = {et, ez, .. , enl una base de .A IE yse an x = lx , e, = ( x 1, x 2, . . . , x n) y l=l l r e , : ( l t , ! 2 , . . . , ) d o s v e c t o r e s d e l E , e n t o n c e s=l(,

j=t

r,",,\' I=ZL *,r,(",, dG, = 11 il !'r", ",)\ n

h,

h

\ r=l

j =t

)

i =r =1

expresandoQ maticialmentetenemos que

au si endo = Q@ ,,e)

La igualdadanterior se expresade maneraabreviada @,y) = x' Ay dondeA es la matriz de la forma bilinealQ enlabase = {ey,e2,..., en} B Ejemplo 2. Demostrarel resultadoanterior

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Espacios eucldeos

2

CIENCIAS

Geometria I MATEMTICAS

un Una forma bilineal es simtricasi y slo si posee matriz simnica(estoes,A = A')

son aplicaciones bilineales,y en casoafirmativo si son Estuciiar las siguientes si Ejempio-1.' y simtricas hallar su matriz en una baseelegida: a) ilr, y): det{x, y}, donde/: x [ -+ iR. donde4 IW t lff -+ lR. b) ilx,y): xu1, ilx, y) = xt yt * xr yz * xt yt * xz yz'r xt h, donde/. IR' x R' + R

d)

Cambios de basepara aplicaciones bilineales. iV a SeaA = \o,1,,o lamaz deuna formabilinealQcon respecto la baseB: {"r, e2, ., en} y sea

B' , S ' : br y , , , ^ l a m a t' i rz d e Qc o n re s p e c to al abase= tw ru2,...,u,I, ysea P !' = G" I,,. l amafi i zdel que: B se de d B= { rt, 2 ,..., ,}al abase l = {uu2,...,n} .E ntonces cumpl e c am bio b a s e e l a b a s e l'bse Con lo que lamatiz del car,r.bio I i i : .r=I.*,1 b,= @,u)= lZ"*^-Zrr",l=\rn,rr\et,e)=lcroop, 2",,, I k,!=7 1 lrl=l l=l /=l \ i =l ) \l ) A Portantola expresin matricialdel cambiode base queda = (r:)' n rf, (-;. ,.; (n \

E jem p to 4 .' S e c o n s i d e ra l a s b aB= { rr,ez,es}yB ' = {uvu2,q}deR ' tal esQueel :2u1 ses z : u . t - tJt, t= t*u t. (l 0 _2)

* u2,

Se considera una forma bilineal /: i[t' x iR3-+ ]R cuyamatriz en la baseB esA :l 1 1 [0 1 a Haliar la matnzde la formabilinealreferida la base.B'.

0 | 0]

PRODUCTO ESCALAR: ESPACIOS EUCLDEOS De-finicin; Sea iE un espaciovectorial sobre lR, Llamaremosforma bilineal definida positiva a una forma bilineal f.M x IE -+ IR que cumple: A f r u ,u )> 0 Vz e l E . @ f iu ,u ):0 e u = 0 . producto escalara una funcinbilineal vectorialsobreR. Llamaremos Definicin: SealE un espacio que cumple: I tr x IE-+ iR. O I es simtrica @ Qest definidapositiva. . Apartirde ahora seusarlanotacin flu,v) = ) un espacio de Sea vectorial eucldeo. Entonces: l.u, r> l' s .r, u> . Ejemp to./,/' Demostrar resultado el anteri or. E jem p l o 2 P ro b a rq u e Va , ;c IR s eti ene 1 e quel ab-tbccal I a2+ 62* rz

Teorema:Sea(iE,< , >) un qgJiacib vectorialeucldeo. Entonces[ , fi : .r, r>t,2 esuna normaen IE. Ej emplo,1.J.' Demostrar resultado el anteri or. Ejempto/4: Demostrar'q*.'lii.ru."ro.es + y) v (a - v) son ortogonales y slo si il u ll = ll , ll (a si Eiemplo.15' Demostrar n todoespacio que eucldeo cumplela ley de polarizacin: se

4 : n u + u ilt - ll, -rX 'BASES ORTOGONALES Y ORTONORMA PROCESO NE.. iGIIiAU-SCHMIDT

Defrnicin: SeaE un espacio eucldeo. Diremosii,i**,, ..., en\ es lni e2> a) Conjunto ortogonalsi : 0 si t;j'. b) Conjuntoortonormalst :0 si i *j yadems1,)=| Si adems er, ..., e,} esunabasede 18, entonces llamaremos la baseortogonal(en el casoa)) o base {et, ortonormal (en el casob)). o Dado un conjunto o una base ortogonal, es posible obtenerun conjunto o una base ortonormal dividiendoa cadauno de los vectores su no[na. por Un conjuntoortogonalde n vectores un espaciode dimensinn esuna baseortogonal. en Ejemplo.l: Demostrarel resultado anterior. Ejemplo 17: SeaIE un espaciode dimensinn, y sean {u1, tt2, ..., un} un conjuntode vectores (Y'" orrogonales lE.Probar en que (u,. =iQ'":,,)' ') paratodosv, w e iE.(identidad parseva[) de i=r llull

.

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eucldeos 5

CIENCIAS


Mtodo de Gram-Schmidt para obtener bases ortonormales.

Tgoremg: En todo espacioeucldeo(8, < , >) de dimensinzexistenbases ortonormales. procesopara El obtenerlas el mtodode Gram-Schmidt. es Dicho mtodoconsiste en: S e a .B= " r,e r,-.....,e n } y r.u r,={;1,#+ , { partir de la baseI de la siguiente manera;ut=t

ll"'ll UP,ll

,#+ } unabaseortonormal construi daa

ll",ll)

ur = er *) rru ,u 3=q+)"r ur + ) "r u,

OOn Oe

/2t=:

donde 1,.u. ) '4r-1,U > '2 2 - 1 2 y U 2>

u, = n + Anru,* '.. + )"*_run_,

donde

2

=-(n'ur) .1 |t11U 1

1

_

Ejemplo 4. Demosfrarel teorema de pitgoras: Seanp, q y r tres puntosdel espacioafin eucldeo A. Si se cumple q"" . [!, fr > : 0, entonces d(p, q)' + d(p, r)2 = d(q, r)2. Definicin: Sea (A, iE, g) un espacio afin eucldeo de dimensin n. Diremos que un sistema de referencia cartesiano = {p; Itt, Itz, ..., a,} es un sistemade referenciacartesianoortonormal si los R vectores{ur, uz, . . ., u,} formanuna baseortonormalde IE.

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Geometra I

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crENcIAs MATEMTIcAS

=p Definicin: SeanJLl +F y ["2= q + Gdos subespacios afinesdeunespacioafin. Diremosquelll y aflrnes ortogonalessi iF y G son ortogonal (es decir, si IF c G' o G c IF'). es IL2son subespacios = E je rn p l o . So n o rto g o n a l e s l o ssubespacinesl L; {x + y= 2,x-z:1} afi os 5 ?

= y IL,z Q,3,-l )+

PROYECCIONES ORTOGONALES AFINES Dqfinicin: En el tema 2 se estudi un tipo especialde afinidad: las proyeccionesafines sobre un afin IL: p + G con direccinvectoriallF. La expresin dicha afinidadera: subespacio de

lx )= { x + F " } n { p + c }En estetema definiremosla proyeccin ortogonal sobre un subespacioafn a Ia proyeccinafin sobre un subespacio IL = p + G con direccinvectorialGI. Su expresin afin serpor tanto: Pr(x) = {x + Gr} fl {p + G} Sitifr cado seor&trico :

Ejemplo 6; Hallar las ecucibrires R' de la proyeccinortogonalsobreel subespacio en afin dadopor { x + y + z :l } . , Paracomprobarsi una afmidai es una proyeccinortogonalafin procedemos la siguienteforma: de proyeccinafin: que,slila a) Comprobamos _ P * ' : P tl, es de$g:gue el vector,ft{-rado por un punto genrico x y su gue la Etlzccin en larg4eryroyectamos, coincide con G')'. imagenflx) es ortogonal F,

f f ir :. Parahallar el subespacio IL = p + G donde.pryectamos afin hallamoslos puntosfrjos. Ejempto 7r Demostrar que la siguiente afl 1 "r,Tu proyeccin ortogonal afin. Halla el

proyecramos. subespacio atndonde

f(')=lll.lf ' \y) \.l i

t.2[-1

.tll'l t)\y)

De. f inic i n : e a l L :p + i F u n s u b e s p a ci oafi ndeAseaq .A .D efrni mosl adi stanci a S y deunpunto q como d(q, IL).como: a un subespacioafn IL, y 1orepresentaremos d (q ,n )= mi n { d(q,x) I x e IL}

que P1(q,: Proposicin: verifica d(q,IL)= d(q, Se

ll*"611

afin Ejemplo 8.'Hallar la distancia punto (-1, I ,0) al subespacio dadopor {x + z + 2 = 0} del Ejemplo 9: Seael espacioafin estiindariK'. Proba que la distanciadel punto g : (r, bz, ..., bn)al * hiperplano de ecuacin d1x1 42ar ... * atfrn+d:0 vienedadopor: IEI

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Espacios alines eucldeos. Isometras

3

CIENCIAS


+ arb,+ ...+a,b,+ dl d(q,IH)= la.,b,

l4;"', . *

De-finicin:SeanILr y n"2dos subespacios afines Definimosla distanciaentre dos subespacios afines como Itr y ILz,y lo representaremos d(JLr, L2), como: d$q,nd = min {d(x,y) | x e IL,y e IL2} Ejemplo10. Hallarla distancia y entreIL1= (1,0,-1)+ , tr2= (2,0,0)+

II. ISOMETRASCONCEPTO DE ISOMETRIA De-finicin; Seal .Ay-> A2 una aplicacinafin gnte dgs espacios afineseucldeos. Diremos que;f es una isometra si conserva distancias, las esto-eq,i:ai,,se cumpleque: d1(il,f(q)) = d(p, q). Proposicin;/es una isometrb,*+"i esortogonal. Ejemplo 1/. Demostrair elreuitadoanterior De-linicih: Diremos que dosespacios afineseucldeos isombrfos si xisteuna isometra ty -> oa son f. Definicin: Llamaremosdesplazamiento momiento a una isornetra un espacioafin en s mismo o de

Eiempto.l2. Demosrra, =tll.I *. /[,:l\r ,/ \",/

t3\7

un de 7.2 :.lt:l es movimientoz)rtt

ECUACION DE LOS PUNTOS FIJOS DE TIN MOVIMIENTO a Estudiamos continuacin de puntosfijos de un movimiento a partir de su expresin los analtica: que Sabemos todomovimiento del tipol(x) : xo + j (x), siendof unaaplicacin es ortogonal Al serx un punto frjo, verificaflx) =x, y obtenemos: (/- )x:x6 x :x o + /(x ) 3 x- /(x)= xo = A estaltimaecuacin llamaremos la ecuacin los puntos jos. de Dependiendo que dicha ecuacin de tengasoluciones no, nos permitedividir los movimientosen: o 1. Momientos con puntoshjos. 2. Momientos sin puntosfijos. OBTENCIN DE LA ECUACIN DE UNA ISOMETRA AFN. I.- Si la isometraafn tienepuntosJijos.

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Geometra I CIENCIAS MATEMTICAS

o

sea Sea/una isometraafin con puntosf,rjos, IL el subespacio de puntosfrjos def y seap un afin punto cualquierade IL Entonces para obtenerla ecuacinde F en el sistemade referenciacartesiano R = {O; v 2,..., e,} procedemos la siguiente de forma: a) Obtenemos la ecuacin del movimiento en el sistema de referencia cartesiano y n' : {p; b 2,..., e^}.Dichaaplicacin una aplicacin es ortogonal, viene dadaporJ . b) Obtenemos \a ecuacin del movimiento en el sistema de referencia carteslano que R : {O; .t,2, .., e,i. Si llamamos T,la aplicacin fransforma sistema referencia ' a el R de (es en el sistemade referencia.R decir, Zo(x): p + x), entonces/vendr dadapor:

J:u- ) = r ,.7.r - r ( *)2.- Si la isometraafn no tienepuntosJijos. c La isometraafin/sin puntosfijos la obtenemos componiendo isometraafin g con puntos frjos iL la con la traslacinde vector i .

III. MOVIMIENTOS EN JR,'CLASIFICACIN DE T-OS IMOVTTTIIENTOSEN iTiT. (Das,lai"elementosgeomtricosde un movimienio,cmo obtenersu ecuacin)

La clasificacin las isometias:afines lR2 la sizulente: en es de Tipo de isometra f I IIIdentidad

T!fude aplicacin f (a Rotacin -- 0) (a:0) Rotacin Rotacin Simetra recta de vectorial Simetra recta de vectorial

Autovolores 1.l 1,1 Compleios 1,-1 1,-1

Elementos geomtricos El vector de traslacin .

Puntofija R.No tiene

ruIv

Traslacin Rotacinafn Simetra afn Deslizamiento

C entrocvnzul oa.. Rectade simetra,L. Rectade simetra L. Vector de traslacini .

Centroc Rectade simelNo tiene

v

I.- Identidad

La isometraafin viene dadaporfx) : (x) : x. Su expresinanaltica es:

'[rJ=ro2.- Traslacin

r') (t o'l t ) l")

\v)

La isometra afin viene dadaporl(x) : + x, siendo : (vt, vz)el vectorde traslacin. expresin Su es: analtica

:) = [)[;).[) '(;)1;).(;

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,


CIENCIAS

Geometfa I MATEMTICAS

de Ejemplo / J: Hallar las ecuaciohes traslacinde vector i = (1,-l ).

3.- Rotanin afin de Paraobtenerlas ecuaciones la rotacinafin de ringuloapnocedeiosde la siguienteforma: que la a) Seael cenko de la rotacin c: (a, b), el cual sabemos es un punto fijo. Primeroobtenemos de expresinde la rotacin ortogonal f de centroel origen,es decir, la expresin f en el sistemade analticade f sera: . referencia ' = {c; ev e2} La expresin R -( ,\ ( cosa - sena) l.x\

/[.rJ= [r.'o ."*".i[rJ

(a, la obtenernos expresinde la rotacinconrcenro-''c-= b);la cual viene dadapor b) A continuacin = 7". j .r-'G) La expresin la rotacinafin sera de -frx) (a\ (cosa -sena) ('-") -l) l=l /l l +l I'l I" ly) [./ \sena crls'a) \y-b)

Ejemplo I 4: Encontrar la Casoespeial: Existe un central.

c de]-+ot+ri&4@de centro = (1,2)y ng:Jo ft ade rotaci*iltriotacin ite rffi$ de centro c, llamada simetra

podemos procederde de Paraobtenerlas ecuaciones la simetracentral@Fspecto al cenho "='(a,b) Glos formas: 1" forma: (x) = 2c -x Ejemplo /5.' Demostrar el resultadoanterior. 2" forma: al de las Obtenemos ecuaciones una rotacinde ngulo7rcon respecto centroc = (a, b). de Ejemplo 1: Obtenerlas ecuaciones la simeta centralde centroc = (1, -2) de ambasformas.

= (, 4;)='{,

4- Simetra afn

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CIENCIAS


ala Paraobtenerlas ecuaciones la simetraafin respecto rectaL Drocedemos: de

a) Hallamos la expresinde la simetra ortogonal / expresada la basecannica.(Para ello se en primero la expresin de dicha aplicacin expresadaen una base recuerda que obtendremos ortonormal orientadapositiva B = {ut, u2}, donde u es el vector director de la recta L, y luego hacemos cambiode basea la basecannica. un Llamemos C la matriz del cambiode base): a

,0={; -,')'[,b) Por ltimo, obtenemos expresin la simetraafinflx) = Tp .7 "T-p(x), dondep : (a, ) es un la de punto cualquierade la rectade simetra.La expresin la simetraafin sera: de

=(;) . '(;) {;

-',).'[; - ;)

Ejemplo I 7: Encontrarla expresin analticade unasimetraafin con respectoala rectax + 2y = 4

5.- Deslizamiento. como a La expresindel deslizamierio,',1'iStenemos tra,composicin una simetraafin g con respecto de de una recta con la traslacinden::vector paralelolal,eje la recta,estoes,;(x) = v + g(x).::,:ir.r,,,r....: ,.,

18: Hallar li"*iffisin analtica ESTI]DIO DE LAS (Dada la cmo saber' , ,, iiil,l l ^-

x+ 2y:4

yvector i = (4,-

s y sus elementos

los Para clasificaruna isometriaafin/(x); a +i(4, estudiamos autovalores la aplicacinf , y de poseepuntosfijos, de dondese deduceque: estudiaremos el movimiento si

Autovaloresde 1 .1 I. I11

Puntosfijos S] NO S] NO S]

IsometraIdentidad Traslacin

Simetra afnDeslizamiento Rotacin afn

1 .-1 Compleios

I.- Identidad

Trivial. 2.- Traslacin. Bastacon determinarel vector de haslacin v : (v1,v2).

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Espacos afineseucldeos.Isometras. 7 3.- Simetra afn.

CIENCIAS


CIculo del eje de simetra: Paraobtenerel eje de simetrase caldulanlos puntosfijos. t Ejempto19: Esrudiar isometra la por ta ecuacinI ') =(').(dada " \y) (0, ( 0 4.- Deslizamiento Eje de simetra: Nos basamos que si x esun punto de la recta de simeta, entonces: en o.) f ') t) \y)

r=

=f $ ) f 6 )

Vector de traslacin : Una vez calculadoel eje de simetra,si p es un punto cualquiera dicho eje, de entonces: t = p/(p)

Ejemplo Estudiar isometrad$.dada la ecuacin 20: la por ',',5.- Rotacin. Centro de la rotacin: Se ca,Iqula,n,los puntos fijos.

[;).[? 't;) a,)(;)lo)- "/)(,) r,')= l-?'1, )\Y) %I I ) ( Y"

ngulo de rotacin: Se deduce trialmente de la expresin de la matriz de la aplicacin

Ejemplo21.'Estudia i la

expresin anaririca.,l't't

IV. MOVIMIET{TOS EII R3CLASIF'ICACION DE LAS ISOMETRJAS EN ]P.3.@ados los elementos geomtricos de una isometra, ctno obtener su ecuacin)

La clasificacinde las isometras afines/(x) : x+ 7 (x) en R3 es la sig.riente: Tipo de isometra f IIdentidad Tipo de aplicacin

Autovolores

Elementosgeomtricos

Puntosfijos

tr mIV

v

Traslacin Rotacin afn Rotacin helicoidal Simetra afn

(a=0) Rotacin (a= 0) Rotacin RotacinRotacin

Simetrarespecto

1.1.1 ti 1,1,1 No tiene El vectorde traslacini . l, doscomplejos Eie aftn L Eie afin Z v nzuloa. 1, doscomplejos Eie afin Z. neulo v vector . No tiene a 1,1, -l Plano afin de simetra Planoafin

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eucldeos.Isometras. 8 respecto un plano a Deslizamiento Rotacin afn compuesta con simetra afn1.- Identidad

CIENCIAS


VI VII

a un plano Simetrarespecto a un plano Rotacincompuesta con simetra

t.t Il, dos complejos

Planode simetrar y Vector de traslacin . EjeL, ngilo a y puntoluo p.

No tiene

Puntofijo p

En estecaso/= /, estoes,/(x) = (x) = x y su expresin sera:

/lrl=lot ollrl\,) 2.- Traslacin: En estecaso{x) = i + x, siendo el vector de traslacin : (u,, y2,v3);su expresin: (0 0 t) \,)

f') (t o o)f,)

Procedemos Ia siguienteforr': de " :::. a)'Obtenemos ecuaciii#*totacin en el'sistemade referencia :{p; er, e2,q}.(para ello se la -R' recuerda que obtendrenas,'igtfi,".ppro exprisrin de dicha aplicacin-expreiad' i, una base la ortonormal orientadapositivB =:Jut, uz, uil. dondeul esetrvector director de la recta L, y luego hacemosun cambio de base a l:base cannica. Llamemosa C la matriz del cambio de baset Dicha aplicacin una apliaacin es y ortogonal, vienedadapor f:

fl t l=clo cosa '"n jc'l I " r senu cosalr) [0 ) lr)

_r,l (t o

o.)r,')

b) Obtenemos ecuacindel movimientoen el sistemade referenciacartesiano : la R {O; e1,2,e}. Para ello hacemos J(x): Tp.J.r-, (x), dondep = (a, b, c) es un punto cualquiera del eje de rotacin.La expresin la rotacinafin seria: de

f I yl=l J+clo cosa -s"nalc,l v-bl

l'.1f") (t o

o ) l,-,)

[,J [".,J[o ..no .o.o 1",-,) Jf con respectoal ejeL que pasa

Eiemplo 22: Encontrarla expresin la rotacin afin de ngulo de por el punto(2,1,3)y tienecomovectordirectora : (1,1,0)

Caso especial: Existe un tipo especialde rotacin: la rotacin de ngulo con respectoa un eje Z, llamadasimetra afn axial.

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I

Espaciosafineseucldeos.Isometras. 9 Significado seomtric : o

CIENCIAS


Ejemplo2-i: Obtener ecuaciones la simetra las de axialrespecto = (1,0,1)+ . aZ 4.- Rotacin helicoidal de ngulo a, eje L y vector de traslacin Se obtiene componiendola traslacinde vector i paralelo al eje de rotacin con la rotacin afn de nguloa yejeL. Ejemplo 24: Obtenerla expresinde la rotacinhelicoidal delejemplo22 conel vectrde traslacin (-2,-2,0).

5.- Simdrs afin deplano n

:xiioede : lo#I.4!ilo ..:: demos i),..:a,:a'..

'.t.t+,i -

,r -

+l1t:*iefprenci R' ={p; er,e2, q}.(Paraellosesn de dicha ryllcacin expresada en una base ortonorma.l orientada ffiwdin:'E = {u1, u2,4};: dbnde {ut, uz} soa los.;uectoresque generan el plano

Para ello hacemos /(x) = Tp " f "T_p(x), dondep : (a, , c) es rrn punto cualquieradel plano de simetra.La expresinde la rotacin afin seria:

Ejernplo25: Obtenerla expresinde la simetriaafin al plano.r - y + 2 = 0 Ejemplo 2: Demostrarque la composicinde dos simetras afinesno puedeseruna simetraafin. 6.- Deslizamiento deplano ny vector de traslacn i Lo obtenemos como la composicinde una simetraafin con respecto un plano con la traslacinde un a vector paraleloal plano de la simetra. Ejemplo 27: Obtener la expresindel deslizamientodel ejemplo 25 con el vector de traslacin t = (i ,1 ,3 )

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F-

Espacios alines eucldeos. Isometras.

I0

CIENCIAS


7.- Rotacin aflt de eje L y ngulo a compuesto con simetra afn de plano n perpendicular a L

Procedemos maneraanlogaque la rotacin afin, a excepcinde : de (-t En el apartado a)lamafrz de la rotacincompuesta simebiaes C con I 0 0

En el apartado el punto p (a, b, c) del ejeZ interseccin el plano es el nico punto f,rjo b) con

t; ff;::Tll ' -r)

) I

expresin La de casirotacin r|,;l=[;.l.4; .i" -,1""1.,[;-;.l ra ann r.,,",\' ) \r) (0 sena cosa) Ejemplo 28: Encontrarla expresin la rotacincompuesta simetrade ngulo f con respecto de con ale j e L q u e p a s a p o re l p u n to ,1 , 3)yti enecomo:vectordi rectoray: (2 (1,1,0)V ti enecomopunto frlo el (1,0,3). Ejemplo 29: Encontrarla expresinde la isometraque se obtiene a girar un ingulo de ! respecto (*,y,") = (1,1,1) (1,1,0)conla simetra planox + y - 4:0. + alarectadadapor del con

Caso especial: Existe un tipo ,esp,ecial simetria compuestacon rotacin: cuando el ngulo es n, de llamada simetia central. .l Sisniliadoseomtrico; ', ,': ,

Paraobtener ecuaciones la simetra las de ceritilcsn respecto puntop: (a, b, c) podemos al proceder de dosformas: I'forma:

J(x)=2p - x

='(t){l1l

2'forma: Obtenemos ecuaciones una simetracompuesta rotacinde ngulon con respectoa p. las de con siendo cualquier Z rectaquepasapor p y n el planoortogonal I quepasapor p. a Ejezplo30: Obtener ecuaciones la simetra las de centralconrespecto puntop : (1,0,1). al ESTUDIO DE LAS ISOMETRAS EN R3. (Dada Ia ecuacinde una isometra,cmo saber qu tipo esy suselementos geotntricos)

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Espaciosafineseucldeos.Isometras. 7l

CIENCIAS


iI

I

Para clasificar una isometra afin flx) : a. + f (x), estudiamoslos autovaloresde la aplicacin , y estudiaremos el movimientoposeepuntosfijos, de dondese deduceque: si

Puntoshjos Isometra Autovalores de 1,1, I SI Identidad l. 1.1 NO Traslacin 1 . 1 .-1 SI Simetra aln NO 1 . 1 ,-l Deslizamiento l. doscomoleios SI Rotacin aln l. doscompleios NO Rotacin helicoidal S1 Rotacin comDuesta con simetra afn -1. doscomoleios 1.- Identidad Trivial.

2.- Traslacin. Bastacon determinar vector dp:rhfficin = (ui., v3). el

3.- Simetra Plano de'simetra: Se

por Ej empIo .l 1: Estudiar la i somtift.u-i3$diia

4;- Deslizamiento del Plano de simetra: Nos basamos que si x esun'.pl&!o plano de simetr4 entonces: en

=l(x)=f(x)fz(x)Vector de traslacin : Una vez calculadoel plano de simetra,si p es un punto cualquierade dicho plano,entonces:

=p7GiEjemplo 32; Estudiarla isometradadapor la ecuacin

,(t)[:].[: ii]t,l

5.- Rotacin aJn

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r!

Espaciosafineseucldeos.Isometras. 72 Eje de rotacin: Sehallaal resolver ecuacin los puntosfijos. la de ngulo de rotacin: .

CIENCIAS


El cosenoriel rnguiose caicuiaaplicancio hechode que la trazade wamafriz es invariantefrentea ei cambiosde base:por tanto la trazade la matriz de f viene dadapor 7 + 2cosa.. El seno del ringulo se calcula de la siguienteforma: Sea {21, u2, u3} :una baseortonormalorientada positiva dondeu es el vector directordel eje de rotacin.Hallamos7 @) V lo descomponemos comocombinacin linealde u2y uy ] @): a u2* b 4. El signodel sen(a)es el signode .

.

Ejemplo-l-3: Estudiarlaisometradadapor la ecuacin y l=l Ol+l O O -l ll y I fl t't | | | il- | \') (0,/ f0 1 0 )\z )6.- Rotacin helicoidal

l") l') (t o o)f,)

Eje de rotacin: Nos basamos quesi x esun punto del eje de rotacin, en entonces:

i:r$)= f GtfG)Vector de traslacin v-: Una ve-z:oalculado eje de rotacin, si p es un punto cualquierade dicho e1e, el entonces:

r=F,(pjngulo de rotacin: ; ho de que la aza,ie.una matriz es invariantefrentea

dad.lti +zcosc... i.c, viene f)a,;." onubaseortonormalorientada m; 'ge-{,r1, rotacin.Hallarnos7 @) y lo descomponemos ,,itre como combinacin lineal de u2y a, 7 @) : sln* 4. El signodl'sen(a) el signode b es

Ejempto34: Estudiarlaisometradadapor lrl=l t la,ecuacin

f,) ( 2 ) ( o i o ) f,)l-rl O O -t llI I

l, ) [ o J ( - r o o ) lz )7.- Rotacin compuestacon simetra afn Punto fijo: Se calcula resolviendo sistema puntosfijos. el de Eje de rotacin: Nos basamos que si x esun p^unto eje de rotacin, en del entonces: f'(x) = x ngulo de rotacin: . El cosenodel ngulose calculaaplicandoel hechode que la trazade una matriz es invariantefrentea cambiosde base:por tanto latrazade la matriz de i viene dadapor-l + zcosa...

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eucldeos.Isometras. 13 o

CIENCIAS


EI senodel ngulose calculade Ia siguiente forma: Sea{2r1, u2,4} unabaseortonormal orientada positiva donde rz1es el vector director del eje de rotacin. Hallamos 7 @r) y lo descomponemos comocombinacin lineal de u2y W, 7 @) = a u2-r b 4. El signodel sen(a)es el signode b.

Ejemplo 3J: Estudiarla isometradadapor

r a e cu a ci n r flr l= l\' )

f ' l P\ P o - lYx ' )\2) \r

1 l.lo -o o llr l

o) lz)

erclcl()s[. Encontrarla expresinanalttca las siguientes de rotaciones: : a) De centro P = (1,0), y anguloP(ts), dondela i :i h )) dadapor it t:(h)'.',,P(im( : P(Y ) : Y imagende h est para poder y proposicin:Dadosdos subespciS Z proyectivos e Y, la condicinnecesaria suficiente esque: centroZ cnicaft sbnd:'FdP definirla proyeccin : b) dim(Q + dim(Y): dim(P(trt)):"1' :: Z O (Ambascondicionessonequivalentesa f :lE) Ejemplo J; Demostrarelesultadoanterior. Ide 2 i E je mp l oZ ; S e a n = fQ,l ,l l e Y= { x-l :0} E sposi bl edefi ni rl aproyecci ncni casobre y la imagende los puntosf0,2,lly [0'30,10] ? centro En casoafirmativohallarsu expresin Ejemplo 38: Esla proyeccin cnicah sobre)'de centroZ unahomografia?fg, si proposicin; Si l es la proyeccincnicasobre) de centroZ, entonces x ,Z se cumpleque: (x + D nY . h (x )= V (x,\l Y : c Signi.fr ado geomtrico:

{ Z o Y :a

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Geometra I

proyectivo lI El espacio el Ejemplo 39.'Demostrar resultadoantenor el Ejemplo 40. Rehacer ejemPlo37'

clnNctts vltrnwirlcts

: : y : : Z Ejemplo 4l : Entr = (ntl se consideran = {x + t 0; y 0}, = {y - z 0; x- 2r 0} Es ptriUt" definir la p.oy...itr cnicasobreI de centro7l En casoafirmativo hallar su expresiny la y de imagen lospuntos [0,1,0,0] [1'1'-1'0]'

PERSPECTIVIDADES 2' de 3, vectorialde dimensin y seaP(E) su proyectivizacin dimensin Sea De_fi.nicin; IEun espacio (.' dosrectasproyectivas, z e P(W) un punto tal que z e lu /'. Definimos la y sean ahora l. y perspectividad de centro Z de [, sobre(.' alaaplicacin construidade la siguienteforma: cnicasobre /' de centroZ, h: P(M) + P(E)' la a) Construimos proyeccin de b) Definimosh1 (. 4 /' la restriccin h a (,' ,: de de . por lo tanto la expresin una perspectividad centroZ de l. sobre!' vienedadapor:

ht,@ )=V (* , 4 a 1 ' = (x + 4 lt ' , x e t .:

Sisnificado seomtrico:

Pro-iedadesde lasnersoeiilb

j, ''

a O ft 1,es inyectiva,estoes,esuna hornogra{i (enparticular es biyectiva). --+ /' es una O Sean dos rectas (. y l.', siendoO = (. lt l'. Entoncesuna aplicacin proyectiva n .(. si perspectividad Y slosi n(O): O. -t, Ii Ejemplo 42: Si h es una perspectividad, exi$te . h? Existe y si existe,cul es su expresin? por de de Ejemplo 43:Hallarlasecuaciones la perspectividad centro[2,-i,0] entrelas rectasdadas = 0. | = x * y + z : 0, l' = -2x + z

Ejemplo 44: Demostrar que la matiz

(3 -z ol a M = l- 1 t tl asociada una proyeccincnicadefineHallar el centrode Z.

[1 -6 2) entrelas rectas l. = x +y-z=0, 1'=x-Y-z:0 una perspectividad

IV. LOS TEOREMAS DE DESARGUESY PAPPUSAulq* Acodmico FundocinBrovoMurillo 377, 2" H , 91 315 48 T7


El espacio proyectivo

1.2


TEOREMA DE DESARGUES por P Notacin:Dadosdospuntosdistintos y Q, denotaremos PQdecir a la recta que pasa por ellos (es decir. PO: V(P, O\: P +

Definicin: Diremosque: y a) Un tringulo formado por los puntosl.BC es propio si los puntosABC no estnalineados son distintos. en AA', BB' ABC y A'B'C' estn perspectivadesdeun punto Z si lastres rectas b) Dos tringulos y CC' intersecan V. Alpunto Zlo llamaremos centro de perspectiva los tringulos. de en si l s c ) D o s tri n g u l o l B C y A' B' C ' e stn enperspecti vadesdeunarecta(.ostrespuntos N: AC NA'C' M= B C N B ' C ' L=AB'a'estn sobre la recta L. Alarecta / la llamaremos,eje de perspectiva de los tringulos. Sigpifi cado geo mtric o :

talesque: ABC y ,4'B'C' en el planbproyectivo de Teorema Desarsues:Dadoslos tringulos a) Los dostringulos propios. son Z b) Estnen perspectiva dsdo:un;punto queeqidistintoa los vrticsdel tringuloIBC b) Cumplen desigualdades lasrectas;AB * A'B' BA + B'C' CA + C'A' . las entre Entonces trespuntos los M: B .C .N B ' C ' N = A C A ,C , L = AB N A' B' estn alineados. (Podemos decir por tanto: dos tringulos estn es perspectivacon respectoa un ppnto = lo estn con respecto a una recta) : Sipnificadoseomtrico

Ejemplo 4J.'Demostrarel teoremade Desargues. . Se verifica que el dual del teoremade Desargues el recprocodel teoremade Desargues. tanto es Por podemos decir que: Dos tringulos estnen perspectivacon respectoa un punto si y slo si lo estn con respectoa una recta. Ejemplo 4: Demostrarel resultadoanterior.

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Geometra I CIENCIAS MATEMATICAS

vrtices lospuntos[1,p,p'f, [q',1, q]y son que XYZ cuyos Demostrar el tringulo Ejemplo4T'a) r',11 estn en perspectivacon respectoa un punto con el triiingulo de referenciasi y slo si lr, pq r= p ' q ' r' . tambin1o con b) Probarqre si ABC esten perspectiva A'B'C' y conB'C'A' , entonces el estcon C'A'B' usando ejemploanterior

TEOREMA DE PAPPUS dadasdos Teorema(de Papoud: Sean/ y /' dos rectasdistintasen el plano proyectivoy supongamos que puntosdistintos e l, (i: 1,2,3)Y A' e !,' ( = 1,2,3).Supongamos se verificanlas A tripletasde entrerectas: desigualdades siguientes A t A 'z * A . ' t A 2 A '3 + A l '2 AtA ' z + Az A' t Entonceslos tres puntos N : A 't M : AzA't lt A4'z l t A v a ', L = A ' z (\A z A ' t alineados. estn : Significadoqeomtrico

de Ejemplo 48: Enunciarel dul del teorerna P'?ppus tambinlo con si Ejemplo49: Probarque, 1BC esten perspectiva A'B'C' y con,B'C'A', entonces Pappus. de el estcon C'A'B' usando teorema Desargues el casode que las en usando teorema,de el de Ejemplo50.'Demostrar:el.teoremaPappus dual. el AAi seanconcurrentsrr'Enunciarteorema rectas

V. LA RAZI{ DOBLEEI PARMETRO PROYECTIVO y Teorema: Dados los puntos {P1, Pz, Pt} (distintos) {0, Qz, 0r} (di!4!9$ en P' existeuna nica proyectividadlIFt-+ IFItal quefPt): Q,i:7,2,3. anterior. Ejemplo 51.'Demostrarel resultado

Defincin: Dada la recta proyectiva IPr, podemosescogerun sistemade referenciaproyectivo de un B : {ro = [1, 0], r : [0, \]; xz: [1, 1]]. En dicho sistema referencia, puntoP poseecoordenadas P homogneas : lx, yl. Entonces: el expresar puntocomoP: t , tl Siy + 0, podemos i

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Geometra I

El espacio proyectivo 14

CIENCIAS MATEMTICAS

P expresar puntocomo = [1, 0] el Siy:0, podemos afin del puntoP : fx,yl a: parmetro proyectivoo coordenada Denominaremos t: -,sry+ U

v

: c o, s i Significado geomtrico :

/:0

y 12,01. proyectivo coordenada delospuntos: afin o Ejemplo Hallarel parmetro 52: 14,21,10,31 / ".\ o o, = proyectivo -+ uso.iuda Ejempto Seaf.Fr lPrconmatriz 53: I ] . S.- P lx,yl,con parmetro a\c proyectivo l'. t, y _flP): P' = lx' , y'l conparmetro ') que/puedeserexpresada como tf = a) Demostrar

m proyectivos 0, -1 3, los def IFt-+ Pr tal quernanda puntosde parmetros b) Hallar la expresin -L, 2; | . a los puntosde parmOtros,proyectivos

LA RAZN DOBLE EWE proyectivo : {"0 : tl, 01,xr = [0, 1); xz: tl, 1]] Llamaremos fr de Definici,n: el sistema refeiencia Sea y como talesqueA, B y C son distintos, lo representaremos razn doble de cuatropuntos :!d!{lQ's proyectiva proyectivola imagende D por la transformacin B; C, D} l,A,B, C, Dl al priiinetro {A, f IPr--+IFr tal que: f(Q:x, /(B) = *' J(A): xo ? x1', vale,{.;rs, x2,x2}? Y {o, xt; xz,ln,Tc2f} Y,{Is,,x;x2,lds, d1l}? Ejempto 54: Cunto pof Notacin: Dados dos vectores U = (ro, x) y lf = (yo, yt), representaremos @uyal determinante ytl xt " l = l a o , a i , B = [bo,br], C = [co,cr],D = [do, d1],de l os cual es hay tres no D l T eor e m a : a d o s o s p u n to s l larazn doblede dichospuntosvienedadapor isuales, entonces ountos @c't Qoe ' {A, B; c, D =@cs @oa

por estoes,*r:l*o vectores, formado ambos

como a, b, c y d el parmehoproyectivo distintosde infinito de A, B, C y En particular,si representamos por: laraz6ndoblevienedada es, D (esto A=la, ll, B = [, l], C=fc,ll, D =ld,1l), entonces

B; c,, -"1 {A, : " ii_;l

anterior. Ejemplo S5. Demostrarel teorema afinesI,i,-1,-i. Ejemplo56:Hallarl,araz6ndoblede lospuntosde coordenadas

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El espacioproyectivo

15

I Geometra CIENCIAS MrATEM.LTCAS

Ejemplo 57'Probar las siguientes igualdades'

{P,Q;P,R}:o {P,Q;P,Q}:o

{ P ,Q;R ,P }:* :o { P , P ; Q, Q}

del homogneas puntoD de la rectaproyectivatal que Ejemplo 58: Hallar las coordenadas :2 sabiendo las coordenadas afinesdel, B y C son -1,2 y 0 respectivamenteque {A, E; C, D) existeuna homografial Pr -+ lPl Teorema:Seanlos puntosde Pt A, B, C, D, A', B', C' y D'. Entonces = A', flB) = B', f(C) : C' v J(D) : D' si v slosi {A, B; C, D} : {A', B' ; C', D' I lal que flA) de utilizado del corolario; Larazn doble no depende sistema referencia proyectivadadapor tu Ejemplo 59: Seaf la aplicacin de h"t1.las imgenes los -ut.i" [Z iJ, doblesse conservan. que 3,0,-7,2y comprobar lasrLzones proyectivas puntoscon coordenadas que: Ejemplo 0.'Dadoslos puntosA, B, C y D sepide demostrar B; a) {A, B; C, D) : {8, A; D, C"\ y",,{4, C, D} = {C' D; A, B} q:'Cualquier punto estsiernpreen ltima la b) Siempreesposiblereordenr razndoble,para pata expresarla qeD esten la ltimaposicin posicin. Oadla razndoble {D, C; A,8}; B,Cy D, sepide: lospuq,tpsl, Ejemplo1; Dados que: a) Demostrar = { A , B ; C ,D }' { 8, A ; C , D } 1 , { A ,B ;C ,D } { A ,B ;D ,C )= 1 {A, B; C, D} + \A, C; B, E) = | ,,,,, : 2, entonces cinco posiblesvaloresque puedetomar 1arazn ios s b) Si llamamo {A, B';ie, D}i del ord-h:sonl doble dependiendo C; {.A., B, D} = | -1L (t 1)

B; {C, A,D}: ;7/L

{ B , A ; C, D} : + lB , C; A , D) = l- +{C,A;B,D}= t_l c) Conocido B; C,D} : -3,hallar{A, C;D, B} y {C, B; A, D} ' {A, entre proyectiva que una de son d) Cules losvalores {A, B; C, D} para exista transformacin C, puntos C,A, D, Y losPuntos A, B' D? B, los

CUATERNAS Dertnicin: Diremos que los puntos,4, B, C y D forman una cuaterna armnica si se cumple que {A ,B ;C ,D }:-1. de En esecasose diceD es el cuarto armnico de C respecto A y B'

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\F

El espacio proyectivo

16


Ejemplo 2.'Encontrarel cuartoarmnicodel punto de coordenada afrni con respectoa los puntos proyectivo1 y -1. de parmetro Eiemplo -1.'Sea n : {A, B; C} un sistema de referencia proyectivo en la recta proyectiva. Demostrarque dadosdos puntos p es el cuarto armnico de P respectode A y.B si y slo si se cumpleque: {A, B; C,P} + {A, B; C, Q} :0. Ejemplo 4.'Demosharque una cuaterna puntoses armnicasi y slo si se verifica de {A, B; C, D} = {8, A; C, D} Ejemplo 5.'Demostrarque una cuaterna puntoses armnicasi y slo si se verifica de (h + t).(tt + t4):2.(t2 + bt4)

LA RAZON DOBI.E EN ]P . Seauna rectal. en lP/.Podemos elegirun sistema referencia !., E,: {xo,xr; x2} tal que: de en xo: leolxt: fe t] , ir lii;iii i

x2: les+ el ora&sg . 7 = n'1t {eo, "r} ". o Una vez halladadicha refe*-r...,.eii'-..ipunto P de f podemosexpresarlo el sistemade referenciag{, en !;t,:todo comoP : [x, y] podemosdefiiiit: O El parmetro punto P proyectivode1 O La razn'doblde cuatropuntosen I y adems todoslos resultadostcon:,respecto alarazn dobleseconservan. Ejemplo66. Dadala recta[, ='x-.:,1:*2z = 0, se pide a) Obtenerun sistema referncia para /. de b) Hallar,en dichosistema, parmetro el proyectivo puntoQ: [3,1,-1]. del c) Hallar, en dicho sistema, punto cuyo parmetro el proyectivo es 5. d) Hallarla raz6ndoblede lospuntos ],-1], [1,1,0], [3, [2,0,-l) y 10,2,1). Si ahoraposeemos dos rectas,I y l', con sus correspondientes sistemas referencia, y 80,, de B, podemosexpresar toda aplicacin proyectivaf (. -+ l.' en funcin de las coordenadas homogneas de cadapunto en los sistemas y Br, . 91, E je m p l o 7 : D a d a sa s re c tals x *y-z= 0,!.2= yl 2z:0,hal l ar 6 l ,= l aexpresi ndel ahomografi a f. h -+ (.2 tat queflfl,t,2l) = [1,0,0],1[0,1,1]):10,2,-1l,lll,0,lD : [5,-6,3].

Construccinarmnica

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Teorema; Seanp, QzYQttrespuntossobreunarecta/ Siprocedemosdelasiguienteforma: a. Elegimosun punto P arbitrarioexteriora (. y otropunto P' en \a rectaPe3 que seadistinto de Py d e Q 3 . b. Trazamos rectas las PQ PQz,p'0 y p'ez. c. DefinimosQs: PQt I P'Q, y Qs : PQzl P'Q,. d. Trazamos rectaQsQe y la intersecamos / y llamamos al ptnto obtenido. la con Qa Entoncesel punto Qaes el conjugadoarmnicode p3 respecto los puntos y a e, e, Signirtcado geomtrico ;

Ejemplo @Demostrarla construccin armnica. RELACION ENTRE LA GEOMETRA PROYECTIVA Y LA GEOMETRA AFN: I. EL PLANO PROYECTTVO

Sea el plano proyectivo P'?.Psddjli3Sdescompoiierlocomo lai uni disjunta de espaciosafines de ::': dimensin l, y 0: 2,

, 'i,:,: ".,:

r F2=Kr e' Upr',..'. ,, : '' ,

A dichadescomposicin fe deominadescomposicin se celular. La descomposicin celularmsusuales:

'

A la recta formadapor {ll{tU F1'.i;,o*aremos recta del infinito, y la representaremos como r. (solemos elegir la recta {z:-0}). Al pts,eile,ila reotadel infinito lo llamaremos punto impropio; en esecasopodemosexpresar como IF2 p2 :K?r,U ZLa igualdadanteriormotiva la siguienteafirmaciri: El plano proyecvoesla unin de un plano afin A de dimensin2 con la recta del infinito: lF,: A U Z_ Significadogeomtrico :

= 1l* , y I )|U { 1 x , t , 0U r, 0 , 0 1 , , 1 ''

Ejemplo ODada la descomposicin habitualdel planoproyectivo,hallar las coordenadas los de puntosimpropiosdefinidospor la siguientes rectas: a )3 x -y + z :0 . b) .r: Q c) y+ 22:0 Paralelismo. Definicin: Diremosque dos rectasson paralelas si se cortanen la rectadel infinito.

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FI:El espacio proyectivo 18Geometra I CIENCIAS MATEMTICAS

EjemPlo O Demostrarquelas rectas + y + 3z = 0 y 2x + 2y - 5z = 0 sooparalelas. x RELACIN ENTRE LA GEOMETRA PROYECTIVA Y LA GEOMETRA AFNI 2. EL ESPACIO PROYECTIVOD esc ontlposici on es c elu I ar es.

Todo espacio proyectivo JP' puede descomponerse como la unin disjunta de espaciosafines de dim en s i n , n - 1 , ..., 2 , 1 ,y 0 : n :]Ii L PN " U K ,^' U ... U K I U P A dichadescomposicin le denomina se descomposicin celular. Al hiperplano formado por {Bfl-t ! U Kt U P} lo llamaremoshiperplano del infinito, y lo representaremos H* (sesueleelegir {x,:0}) como A todo punto del hiperplanodel infinito lo llamaremos punto impropio. proyectivoes la unin de un plano afin A de dimensinn con el hiperplano del infinito: El espacio tp'= l\ U flParalelismo. Definicin: Diremos que dos,,sbespacios proye,tiV rog pra.Il infinito. sirse cortan en el hiperplano del

Ejemplo @ Probar que;ilos:tilnos - y + 2z + t = 0 y 6x - 2y + 4, + t : 0 son paralelosen IF3, 3x considerando como el p,lano infinito l: 0, del

COMPLEMENTO Restriccin aJn.

PROYEC;AIiI

IV RESTRIE.,CI6 APf.,:.

. S ea,e n l P ' ,u n p u n to P :l ro ,x t, ..,x n l tal quenoperteneceal hi perp' l anodel i nfi ni{to 01 H = r,= ,O por tantopertenece subespa:cio deP') (es:to xn+ 0). Podemos lo tantoexpresar punto al a/n gs, por el P = t I q,+ ,xn x4

..,* = ,x,

='t l ]. S i d .e fi n imosl asnuevasvari abl escomoX , ,podemosexpresarp=xn

se deshomogeneizacin o restriccinafin. fXr,Xz, ..., X,_t, 1]. A dichoproceso le denomina

Ejemplo @Obtener restriccin la afin de los siguientes subespacios proyectivos F2: en a ) P : [1 ,3 ,-5 ] b )L a re c ta x -y + z = 0 .

lementoproyectivo. Comp . Anlogamente, toca cudricaafin puedeser convertidaen una cudricaproyectiva,sustituyendo las se 't . Adichoproceso le denomina homogeneizacin.v '-n

variables porX: X

Ejemplo @Obtenerel complemento proyectivosde los siguientes subespacios afinesde F.-2:

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EI espacio proyectivo 19 a) P = (2,0) b) LarcctaY =x - 5.

Geometra I crENcrAs MATEMTrCAS

.r-

Eiemplo @ En el plano proyectivo real hallar la ecuacinde la rectaproyectivaque une los puntos afinesde coordenadas -1) y (l , -2). Calcularlas coordenadas (O homogneas deipunto del infinito de la rectaantenor.

Irr,i,li- .-

li'ti ii;it;:: :i r+ !:

':.':,rir.

Ejereicios1. se considera plano proyectivoreal con el sistemade referencia R = el {pr [1,0,0], p2 f0,1,01, [0,0,1],u [1,1,1]]. sea el puntoA = l0,l,ll. se traza porA wa rectavariabler q.|li cortaa pf3

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en M y a PrP2 en i/. SeaO el punto de interseccinde p3N y de p/ pasapor un punto fijo cuandor vara,y hallar dicho punto.

Demostrarqae la rectaMO [sol :[0,1,2]l

2.

Sea ! : P(R2) -+ P(R2)una transformacin proyectivadistinta de la identidad.probar que A, : 7 si y slo si existeun punto P e fg) tal que E e) * e y !21f : f.

3

Enconfrar la transformacinproyectiva que cambia el sistema de referenciaR = {pt [I,0,0], p2 p,2l0,l,}l,pi de [0,i,0],P3 [0,0,1],U[1,1,1]] al sistema referencia R'= { p! [1,0,0], t0i0,ll, (J,

[-1,2,3] ]

o 'or'ly'l=l y, ollrll lr) [o o %)1,)

l" ' ) ( - t o o ) f r )

4. Dado el sistema referencia de proyectivoR= {A,.p.,C},, encontrar transformacin la proyectivaf :

t(R2)-+ P(R2) verifica q,4+,:ei"'t = A,y !, (e,: B,Demostrar fi, : 7 . que q) q,re !

5. Encontrar transformaciniproyectiva cambiael sistema referencia = la que pz de R {p t1,0,0], U [1 ,i ;,l t]a l ,s i stemadereferenci a {p! [3,],:l ], p,2t_l ,0,21,p\11,5,01,U, [ 0,1 ,0 ],Pr ,0 ,1 ], [0 R'= [ 3, 6 ,l ]]

6. Encontrarla transfomlacin proyectivaque cmiael sistemade referencia dadopor = {P1 [1,0,0], Pz!i,O,|f,h [2,] - i,0], U de dadopor l0,Arl]al sistema referencia = {Pi [1,0,1] P'z , f-i,o,-i], p,3 f4 + Zi,l + i,-i.+,Ji], U, U,i,-Zil).

R R,

7. Encontrarlospuntosfijosdelsiguientecambiodereferencia enp((T)i): lr'l=lt[sol: [0,1,1]]

f'') (r I o) lr)o 0l l, I

l'') [r o t)1,)

8. Encontrar la transformacin proyectivaque cambia el sistemade referenciaR = {p, p2, \, U} al sistema referencia R'= {P'2,P\, (J,P!}.Calcular los puntosf,rjos las rectasfijas en el plano de y

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proyectivoreal y en el plano proyectivocomplejo.

[sol:f i\v -F

Caso real:[,0,1] y;r -l * 2 = 0. Caso complejo: 1 + i, 1] y (l [ti,

9. Dadoslos puntosI 12,1,01y [0,1,1]de p(R3),hallarra hguradual de la rectaqueunel y g. B 10. Da d a s l a s s i g u i e n te s re c ta s d e l pl anoproyecti vo,R = { = 0},{ x+ y+ z= 0} ,R = {3x-4y+ R 2= 5z : 0j, sepide: a) Dar una descomposicin celulary hallar la expresin la recta afin y el punto del infinito de de cadarectaen dichadescomposicin. b) Demostrarque las tresrectasformarrun tringulo. 11. Probar que si dos tehaedrosde P(R4) son tales que rect-as unen vrficescorrespondientes q"ue en fas un punto O, entonceslas carascorrespondientes cortan dos a dos en cuatro rectas coplanarias. se : ,'r Enunciary demostrar resultadodual. el

Ejemplo,i8. Dadaslas sigiientes ecuaciones,;d cambiode refrenciaen el plano proyectivo,se pidehallar: ,'rl :.,., : ' riir,,'r a) Hallar los pun(os, fijos (esto es, lii puntos Eue tienen Ia msma expresin en ambos sis temasde ref,rencia) b) Determinar, si,;dxisten, rectas fijCJ punto a punto (esto es, las rectas cuyos las puntos tienenIa misma:texpr'sin ambossistemas referenciaJ. en de c) DeterminarIas reGfls' $lobalmente fijs (eslo es, las rectas que poseenla mima ecuacin en ambossistemas referencia). de l x ' = Bx + 3 y + 2 ;z

l' 1Y '=3x+4v Ilz,=2x+Zzrl

2 .1 y ' = -x + z l z :_ y + z fx ' = x I 3 ' 1 Y' = ' -Y I

I

t^

-

L

t"

12. Probar que dos tetraedrosen P(R4) son tales que las rectas que unen vrtices correspondientes concunen en un punto, entonceslas caras correspondientes cortan dos a dos an se ,uufi.o aaatu, coplanarias. Enunciary demostrar recprocodel teorema. el 13. Postulado Fano:Seael cuadriltero B, C, D en el planoproyectivo.Entonces tres puntos de A, los diagonales estnen una recta. Se pide demostrar no que el poitula nano es equivalente decir que a el cuerpodel espacio vectorialasociado es22. Enunciar dualdel postulado Fano. no el de

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Ejemplo d) Supongamos tenemos que una hoja de papel en la que hay dibujadosun punto p y dos rectasque se intersecanfuera de la hoja en un punto p. Se trat de trazar,usandonicamente una regla,la recta que une el punto P con el punto e. Ejemplo .' Demostrarque si tres triangulosestnen perspectivados a dos respectode un mismo punto, entonceslas tres rectasformadaspor los puntos donde se cortan los lads de los triineulos concurrenen un punto. Enunciary demostrar teoremadual. el

.. i..ii:lir'i:'

',r:t.l;i

;iir'

:i:!i 'l

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apuntes Álgebra lineal y geometría i 'fundación académica aula+

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