Capitulo 1:

TRIGONOMETRA

1.1. TRIGONOMETRIA PLANA Se dice que a los antiguos egipcios se les plante el siguiente problema: cmo medir, calcular o estimar la distancia de un barco a un punto determinado de la playa? Mandar un bote con una cuerda lo suficientemente larga no parece ser una buena solucin: y si el barco es un barco de guerra enemigo que se apresta a atacar el puerto? Conocer la distancia a que se encuentra podra tener como objetivo el poder lanzarle algn objeto contundente.

Figura 1.1 Existen otros problemas similares, mas cotidianos: cmo calcular o medir la altura de un rbol? Tal como antes, uno podra intentar subir hasta la punta del rbol con una huincha lo suficientemente larga. Pero el mtodo tampoco parece muy bueno: aparte de lo trabajoso que es, hay el claro peligro de romper la ltima rama y precipitarse hasta el suelo.

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Figura 1.2

Ms interesante y difcil an parece ser el problema de calcular la altura de un cerro, haciendo mediciones desde su base.

Figura 1.3

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Una solucin ingeniosa de todos estos problemas queda ya insinuada en los dibujos que se han presentado: no es difcil medir en el terreno los ngulos indicados, medir la distancia que es accesible, hacer un dibujo a escala en un papel y medir con una regla la distancia a escala que se busca. Solo se necesita multiplicar por el factor de escala para obtener la distancia buscada. Esta solucin tiene, al menos, tres desventajas: lentitud del procedimiento precisin precaria, sobretodo si las escalas a tomar son muy grandes: all el simple grosor del trazado del lpiz con que se hace el dibujo influye en el resultado final dificultades manuales en realizar el dibujo en un papel. Por otro lado la solucin obtenida dibujando a escala tiene una hiptesis oculta que es necesario esclarecer y discutir:

Figura 1.4 Si T V 5T w V w , entonces se supone que tambin T F 5T w F w con el mismo factor de escala 5 . Esta hiptesis es correcta pues los tringulos ?T VF y ?T w V w F w son semejantes ya que , por construccin, tienen todos sus ngulos iguales: Teorema de Thales! Dividiendo las igualdades anteriores resulta:TF TV

5T w F w 5T w Vw

T w Fw T w Vw

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Es decir, las razones entre los lados del tringulo no dependen de la escala. Slo depender de los ngulos y " . Si llamamos: 3 " TF TV

entonces bastar con conocer el nmero 3 " para resolver nuestro problema. En efecto, la longitud T F (buscada) ser 3 " multiplicada por T V (medida) : T F 3 " T V . El problema se solucionara si pudiramos fabricar listas de esas razones para una gama bastante amplia de ngulos y " . Tales listas existen y se llaman Tablas Trigonomtricas. Sin embargo, tales Tablas ya pertenecen a la Historia: el desarrollo de las calculadoras de bolsillo proporcionan con un solo toque los nmeros que se han estado buscando en las Tablas. Cmo hacer estas listas es un problema cuya solucin ms completa exige un cierto desarrollo del clculo infinitesimal. Sin embargo, en principio se pueden hacer con un despliegue de mucha paciencia, midiendo con acuciosidad los ngulos y los trazos en cuestin. 1.2. DEFINICIONES BSICAS (para ngulos agudos) Histricamente surgen las siguientes razones, convencionales, definidas para un tringulo rectngulo:

Figura 1.5 =/8 + : es el seno del ngulo , -9= - es el coseno del ngulo , >1 + : es la tangente del ngulo -

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Se definen tambin los inversos multiplicativos de las funciones anteriores: , -9=/- + : es la cosecante de , =/- - es la secante de -9>1 + : es la cotangente de Las funciones coseno, cotangente y cosecante se denominan tambin cofunciones de las funciones seno, tangente y secante respectivamente. Es necesario destacar que estas definiciones, tal como han sido hechas, solo tienen sentido si el ngulo es agudo: en un tringulo rectngulo los ngulos, salvo el recto, deben ser agudos. Veremos ms adelante la forma de extenderlas a ngulos cualquiera. EJEMPLOS 1. Si tomamos %& , entonces el ?ABC de la figura 1.5 es isceles y por lo tanto + - . Luego , +# - # #+# +# y por lo tanto: " =/8 %& + # , -9= %& >1 %& ,

+ ,

+ -

"

" #

2. Si tomamos '! , entonces el ?ABC resulta ser la mitad de un tringulo equiltero:

Figura 1.6 De aqui se obtiene:

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=/8 '! # -9= $! -9= '! " =/8 $! # >1 '! $ -9> $! =/- '! # -9=/- $!

$

3. Ser una mera casualidad que las co-funciones de un ngulo sean precisamente las funciones del ngulo complementario? Desde luego que no: basta hacer un dibujo para darse cuenta que el ngulo complementario se encuentra precisamente en el vertice opuesto y la afirmacin resulta directamente de las definiciones:

Figura 1.7 En efecto =/8*! - -9= -9=*! , , >1*! + -9>1 =/-*! + -9=/- TEOREMA 1 En un ?ABC (con ngulos agudos) vale: + , 1. =/8 =/8" =/8 # #< , donde < es el radio de la circunferencia circunscrita. (Teorema de los senos) 2. +# , # - # #,- -9= Teorema de los cosenos o Teorema general de Pitgoras). Por simple cambio de nombre de lados y ngulos, valen tambin : , # - # +# #+- -9= " - # +# , # #+, -9= #+ ,

=/8

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DEMOSTRACIN

Figura1.8 En ?ADC se tiene: =/8 2, En ?DBC se tiene: =/8 " 2+ + , Luego 2- , =/8 + =/8 " , de donde =/8 =/8" . De modo , totalmente anlogo : =/8" =/8 # . Por otro lado , llamando O al centro de la circunferencia circunscrita y prolongando la recta AO , se obtiene el punto C' . Por el correspondiente Teorema de Thales, el ?ABC' es rectngulo en el vrtice B y el ngulo tAC'B es nuevamente el mismo # . Por lo tanto =/8 # #< , es decir =/8 # #< lo que completa la demostracin del Teorema de los senos. # En ?DBC se tiene: +# 2- ; # por el Teorema usual de Pitgoras # En ?ADC se tiene : 2- , # :# . Por otro lado: -9= : , es decir: , : ,-9= y por lo tanto: ; - : - ,-9= . Reemplazando en la primera igualdad se obtiene finalmente: +# , # , # -9=# - , -9= # , # , # -9=# - # #,- -9= , # -9=# , # - # #,- -9=

Con este teorema podemos resolver los tres problemas que planteamos al principio:

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El problema del barco: usando el Teorema de los senos en el EG EF tringulo ?ABC de la Figura 1.1 se tiene: =/8 " =/8")!" , es decir:=/8 " EG =/8")!" EF . La distancia AB se encuentra en la playa y se puede medir. De modo entonces que nuestra razn entre lados : 3 " =/8 " result ser =/8")!"

El problema del rbol resulta ms sencillo: en la Figura 1.2 el lado AB del tringulo se puede medir , pues est sobre el suelo, entonces la altura BC del rbol se calcula con la definicin de la tangente: >1 FG , es decir FG EF >1 EF El problema de la altura del cerro es un poco ms complicada, pero igual es elemental: en el ?OO'B de la Figura 1.3 podemos aplicar el SF SS w Teorema de los senos: =/8 " =/8")!") Por otro lado, en el ?OAB, 2 que es rectngulo en A, se tiene: SF =/8 # , por lo tanto, la altura 2 buscada se expresa: =/8 " =/8 # 2 SF=/8 # SS w =/8")!" donde la distancia SSw es medible sobre la base del cerro.

1.3. ALGUNAS EXTENSIONES Nuestras consideraciones anteriores tienen una limitacin muy molesta, no solo terica sino completamente prctica: debemos atenernos a ngulos agudos. En particular, los teoremas del seno y el coseno han sido demostrados bajo esa restriccin, sin la cual nuestras definiciones de las funciones trigonomtricas no tienen sentido. Que ocurre si nuestros tringulos no son acutngulos? Para ver la necesidad de extender estas nociones a tringulos cualesquiera, supongamos que hay un faro en lo alto de un acantilado y que se desea calcular la distancia de un barco que navega a cierta distancia:

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Figura 1.9 En el tringulo ?ABC podr medirse la altura del faro AC pero tendr necesariamente un ngulo obtuso en " . DEFINICIN Consideremos los ngulos dibujados en un sistema de referencia formado por una recta fija y una semirecta que gira en torno al origen en un sentido u otro. La semirecta podr girar arbitrariamente en sentido positivo (contrario a los punteros del reloj) o negativo (el sentido de los punteros del reloj) lo que permite considerar ngulos mayores que 3609 o ngulos negativos.

Figura 1.10

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Si dibujamos el crculo unitario, es decir, el crculo de radio 1 centrado en el origen, entonces las semirecta cortar al crculo en un nico punto de coordenadas B C. Se define entonces: =/8 ) C -9= ) B Es claro que, si el ngulo ) es agudo y positivo: ! ) *!9 , entonces las nuevas definiciones coinciden con las antiguas, es decir, estas nuevas definiciones extienden las nociones de seno y coseno a ngulos cualesquiera. Las dems funciones trigonomtricas se definen: >1 ) =/8 ) -9= )

-9> )

" >1 )

=/- )

" -9= )

-9=/-

" =/8 )

A estas alturas es conveniente introducir otra medida de los ngulos: la razn entre la longitud del arco medido sobre la circunferencia y su radio, en sentido positivo o negativo. Como la longitud de la circunferencia completa es #1< entonces 3609 corresponder a #1< #1 en la nueva < unidad. Esta unidad se llama radin , de modo que, por ejemplo, el ngulo 1 recto tendr una medida de # radianes. Una de las ventajas de esta forma de medir los ngulos es que ella es a-dimensional , no depende de las unidades de medida, puesto que se obtiene por una razn entre longitudes. Resulta muy sencillo demostrar que los teoremas del seno y el coseno se pueden extender a tringulos cualquiera. Lo dejaremos como ejercicio. Finalmente indiquemos que muchas veces surge la necesidad de conocer aquellos ngulos cuyo seno es un cierto nmero conocido. Es claro que habr, en general, una infinidad de tales ngulos puesto que, con la extensin que hemos introducido, nuestras funciones trigonomtricas tienen caracter peridico, es decir, repiten sus valores cuando el ngulo se desplaza en una cantidad apropiada. Se denomina arco-seno de un nmero B a aquellos ngulos cuyo seno es B Generalmente se buscan ngulos agudos o, al menos, entre 0 y 180 grados. En las calculadoras de bolsillo es ste tipo de ngulos el que aparece como arco-seno , denotado tambin =38" . Lo mismo puede decirse de los ngulos cuyo coseno es B , denominados arco-coseno ./ x y , anlogamente, arco-tangente de B . Ms adelante discutiremos estos conceptos con mayor detalle. Una posibilidad de construir una tabla trigonomtrica, sera poder calcular senos y cosenos de ngulos pequeos y poder establecer las

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funciones trigonomtricas de sus sumas. El siguiente teorema permite llevar a cabo este mtodo. TEOREMA 2 Sean y " ngulos cualesquiera. Entonces: (a) -9= " -9= -9=" =/8 =/8" , =/8 " =/8 -9=" -9= =/8" >1>1" - >1 " ">1 >1" DEMOSTRACIN. Haremos la demostracin para ngulos agudos por mayor claridad del dibujo. Se invita al lector a extender esta demostracin para cualquier tipo de ngulos.

Figura 1.11 Los tringulos ?BOP y ?AOD son claramente congruentes, pues ambos contienen el ngulo " en su vrtice O. Por lo tanto las longitudes de las cuerdas BP y AD son iguales. Para calcular estas longitudes en trminos de las coordenadas de los puntos respectivos, usamos el teorerma de Pitgoras (restringido):

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La distancia PQ ser : B ?# C @# En nuestro caso las coordenadas del punto B son -9= " =/8 " , mientras que las del punto A son -9= =/8 y las de D : -9= " =/8 " -9= " =/8" Finalmente las coordenadas de P son simplemente 1,0). Aplicando la frmula anterior a la igualdad FT EH, resulta: -9= " "# =/8# " -9= -9=" # =/8 =/8" # de donde, elevando al cuadrado y utilizando la identidad bsica =/8# ) -9=# ) " (ver problemas 1.4) se obtiene: # #-9= " # #-9=-9=" #=/8=/8" de donde se sigue directamente la frmula (a) Para demostrar (b) se puede usar la identidad : =/8) -9= 1 ) # y aplicar la frmula ya demostrada. Finalmente para demostrar la frmula (c) basta poner: " =/8 -9=" -9= =/8" >1 " =/8" -9= -9="=/8 =/8" -9= y dividir el numerador y el denominador por el factor -9= -9=" COROLARIOS: 1. =/8 # #=/8 -9= # -9=# # -9=# " " #=/8#

Figura 1.12

$ =/8 "-9= (signo segn cuadrante en que est # #

4. -9= "-9= (signo segn cuadrante en que est # #

#

) )

#

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Para demostrar estos corolarios basta aplicar el teorema anterior con " y proceder de modo inverso para las frmulas del ngulo medio. Con estos resultados podemos, en principio, calcular las funciones trigonomtricas para, prcticamente , cualquier ngulo. En efecto, puesto que, por ejemplo, =/8 $!9 " y -9= $!9 #$ entonces: # =/8 "&9 "-9= $! # -9= "&9 "-9= $! # =/8 ( & -9= ( &9 99

9

" #$ # " #$ # " #$ " # # $ #

9 "-9= "& # 9 "-9= "& #

"

#

" #

De este modo, con suficiente paciencia, podemos calcular senos y cosenos de ngulos tan pequeos como sea necesario. Enseguida podemos sumarlos apropiadamente y obtener as las funciones trigonomtricas que necesitamos. No podemos ocultar el hecho de que existen otros mtodos ms prcticos, pero esos mtodos requieren clculo infinitesimal. En ese sentido, es interesante hacerse la pregunta: cmo calculan estas funciones trigonomtricas las calculadoras electrnicas? qu precisin pueden asegurar?

1.4. PROBLEMAS 1. Demuestre los teoremas del seno y del coseno para tringulos cualquiera. Para esto demuestre previamente que, si es un ngulo obtuso, entonces =/81 =/8 -9= 1 -9= 2. Sea ) un ngulo cualquiera. Demuestre: =/8# ) -9=# ) " =/8) 1 -9=) # -9=) 1 =/8) # =/8 ) =/8) (el seno es una funcin impar)

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-9= ) -9=) (el coseno es una funcin par) =/8) #1 =/8) -9=) #1 -9=) (seno y coseno son funciones peridicas) 3 Calcule al rea de un tringulo en trminos de sus lados y ngulos 4. Sobre una colina hay una torre : cmo calculara Ud. su altura observndola desde el valle? 5. Desde la cspide de un faro de altura 2 situado sobre un acantilado se mide el ngulo que forma la visual hacia el barco respecto de la vertical y desde la base se mide el ngulo " que forma la visual hacia el barco respecto de la vertical.(Ver Figura 1.9) A qu distancia se encuentra el barco? Haga el clculo para el caso: 2 ()7 )(* 9 " *"(9 6. Desde un helicptero que pasa justo al medio de dos iglesias separadas por una distancia . que el piloto conoce, se mide el ngulo que subtienden las iglesias. Calcule la altura a que vuela el helicptero. Una vez obtenida una buena frmula, pngale estos nmeros: &'9 . #&!7 7. Qu ocurre en el problema anterior si el helicptero no pasa justo al medio de las iglesias? Debe hacer nuevas mediciones?. Discuta la situacin segn diversos casos. 8. Una escala de 3[m] de largo est apoyada sobre la pared de un edificio. Si su base est a 1.3[m] del edificio qu ngulo forma la escalera con el piso? Qu ocurre si el edificio es la torre de Pisa? 9. Justo frente a la ventana de mi departamento, al otro lado de la calle, se eleva un edificio nuevo en construccin. Por razones personales deseo calcular su altura: mido desde mi ventana el ngulo que forma la visual hacia la punta del edificio con la horizontal : 39 Despus bajo hasta la puerta de calle de mi departamento y hago la misma medicin: 59 . Como estos datos no son suficientes, mido con una lienza la altura a que sencuentra mi ventana: son 8 metros. Qu altura tena el edificio? a que distancia del mo se encontraba?

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10. Se entiende por resolver un tringulo, el obtener frmulas explcitas o valores numricos de los distintos elementos de un tringulo, en funcin de otros elementos dados: resolver un ?ABC dados: un lado y dos ngulos dos lados y el ngulo comprendido entre ellos dos lados y el ngulo opuesto al mayor los tres lados 11. La paralaje de la estrella proxima centaurii (la ms cercana conocida) es de 0,765 segundos de arco. Si la distancia de la Tierra al sol es de, aproximadamente, 150 millones de kilmetros, cul ser la distancia de esta estrella a nuestro sistema solar? Calclela tambin en aos-luz, suponiendo que la luz viaja a 300.000 kilmetros por segundo. 12. La torre de Pisa tiene una inclinacin aproximada de 89 respecto a la vertical. Calcular la altura de la torre, si un observador que se encuentra a 29 metros de distancia v la cspide con un ngulo de elevacin de 38.59 Le faltan datos? Cules? 13. El palo central de una tienda de campaa de forma de un cono circular tiene una altura de 6 metros y su parte superior est sostenida por cuerda de 12 metros de largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. A qu distancia estn las estacas del pi del mstil? Cul es la inclinacin de los cables con la tierra? 14. El terreno ocupado por un granero es de 2(m] por 1$[m] y la inclinacin de las alas del techo es de 359 Hallar la longitud de las vigas y el rea del techo completo, siendo la proyeccin horizontal de la cornisa de 45[cm] 15. Desde lo alto de una roca de 150 pies de altura los ngulos de depresin de dos botes situados al sur del observador son de 159 y 759 Determinar la distancia que hay entre ellos. 16. Dos vias frreas se cortan en un ngulo de 269 "'w . Del punto de interseccin parten dos trenes simultneamente, una por cada va. Una viaja a 20 millas por hora. A qu velocidad debe viajar la otra para que al cabo de tres horas la distancia entre ellas sea de 30 millas? Discuta el realismo de este problema.

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17. Obtenga una frmula explcita y exacta para el seno de un ngulo menor que un grado sexagesimal, usando la frmula del ngulo medio para el ngulo de 459 18. Demuestre las identidades (indicando el conjunto de excepciones): " >1# B =/- # B -9=# B "-9># B " " ! -9=# " -9=# " -9= #-9= #" 2 -9= $B % -9=$ B $-9= B ">1 # "=/8 ">1 -9= #

1.5 LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS COMO FUNCIONES DE VARIABLE REAL Qu significa medir un ngulo? A nuestro entender significa poder asociarle unvocamente un nmero real. Con nuestro sistema de asociar a cada ngulo, positivo o negativo, la longitud del arco de un crculo de radio unitario que recorre la semirecta que define el ngulo, tenemos un buen mtodo para medir ngulos. La unidad de medida ser en este caso el radin. Si cambiamos de unidad de medida, el nmero real asociado ser otro. Recprocamente, para cada nmero real nos gustara poder definir un ngulo con esa medida. Aqu tropezamos con una dificultad matemtica no trivial: poder definir en buena forma la longitud de una curva en el plano y poder calcular dicha longitud. Es que cualquier curva plana tiene longitud? Cules curvas tienen longitud y cuales no? En nuestro caso la cosa no es tan complicada: solo tenemos que poder calcular la longitud de un arco de circunferencia, cuya existencia damos por sentada. Aceptando esto, podemos asociar a cada nmero real, positivo o negativo, un ngulo (positivo si se mide la longitud del arco recorrido en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativo cuando se recorre el arco al revs). Pero a cada ngulo podemos asociar las funciones trigonomtricas, de modo que, combinando ambos procedimientos, podemos definir las funciones trigonomtricas como funciones reales de variable real:

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Figura 1.13 Sea B un nmero real, si llamamos )B al ngulo asociado medido en radianes, entonces podemos definir las funciones reales: =/8B =/8)B -9=B -9=)B >1B >1)B />- Podemos bosquejar sus grficas:

Figura 1.14 Se observa que todas estas funciones son peridicas, es decir, repiten sus mismos valores cada cierta distancia fija. En general, una funcin real 0 se llama peridica si existe un nmero 3 ! tal que 0 B 3 0 B aB El menor nmero positivo 3 que realiza esta igualdad se llama perodo.

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Figura 1.15 Por amplitud se entiende la mitad de la diferencia entre el mayor y el menor valor posible. Por diferencia de fase se entiende el desplazamiento a izquierda o derecha respecto a una posicin considerada de referencia ("fase cero"). Veamos esto mediante algunos ejemplos: EJEMPLOS 1. 0 B =/8 B perodo #1 amplitud " diferencia de fase ! # 0 B $-9=B 1 : perodo #1 % amplitud $ diferencia de fase 1 % ( B debedesplazarse 1 hacia la izquierda para quedar en la fase cero) %1 3. 0 B #=/8$B " perodo #$ amplitud # diferencia de fase " $ Notar que, para obtener la diferencia de fase en este caso se ha planteado la ecuacin: $B " ! : B " o sea, B debe desplazarse " a la derecha $ $ para quedar en la fase cero.

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Figura 1.16 Todas las funciones anteriores suelen recibir el nombre de sinusoides, es decir, parecidas al seno. Consideremos ahora la funcin seno restringida al intervalo 1 1 : # # se observa que esta funcin es biyectiva y por lo tanto posee una inversa, llamada arco-seno: + R #!9 6981 S )

Figura 1.28 Entonces: # %!9 + *!9 $!9 '!9 , *!9 $&9 "#&9 Por lo tanto, la distancia ser:

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-9= - !& !&( !)(!)#!(( !#' luego - (% '(9 %%)!w %%)! millas marinas (una milla marina es aproximadamente un minuto de arco sobre la esfera terrestre. Como 1 kilmetro corresponde a 1,852 millas marinas, la distancia ser de, aproximadamente, 8.297 Km. Por otro lado =/8 - =/8 (%'(9 !*' y por lo tanto =/8 !)'!'% !&( $% *)9 I !*' Anlogamente, resulta " $$ #'9 I El problema de Coln Partimos de un punto dado A con un rumbo de salida dado y recorremos una distancia - siguiendo un arco de crculo mximo: cules son las coordenadas (latitud y longitud) del punto B de llegada? Nuevamente podemos tomar como tercer vrtice el polo Norte. Esta vez los datos son (ver Figura 1.27): el ngulo (rumbo de salida) el lado b : 909 latitud de A (se tomar el signo si A se encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si est en el Sur) el lado - (medido en millas marinas nos dar el ngulo en minutos) El lado + lo podemos calcular directamente de la ley de los cosenos: -9= + -9= , -9= - =/8 , =/8 - -9= La latitud del punto B ser 909 + o + *!9 segn + resulte ser menor o mayor que 909 . Si + es menor que 909 significa que el punto de llagada B se encuentra en el hemisferio norte. Usando la ley de los senos, se tiene: =/8 # =/8 - =/8 =/8 + La longitud de B ser igual a la longitud de A ms (o menos) el ngulo # , segn sin el rumbo tomado fu Este u Oeste. Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos de Valparaso (339 6+> S , 729 6981 O) con rumbo de salida 459 O y recorremos 200 millas marinas. dnde nos encontramos?

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Figura 1.29 En este caso : %&9 - #!!w $ $$9 , *!9 $$9 "#$9 -9= + !&%!** !)%!!'!(" !&! Luego + ""* *#9 y por lo tanto la latitud de B ser 29,99 R =/8 # !!'!(" !)(

!!&

luego # # )#9 y por lo tanto la longitud del punto B ser de 74,829 O.

1.8.

PROBLEMAS

1. El rumbo inicial de un barco que parte desde Nueva York (409 %#w R (%9 "!w O ) es de $!9 "!w R I Localizar el punto M del recorrido que sea el ms cercano al polo Norte y calcular las distancias desde M al polo y a Nueva York.

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2. Un barco parte de San Francisco (379 %)w R "##9 #%w S) con un rumbo inicial de 409 $!w WS. Calcule la distancia hasta el cruce con el Ecuador. Cul ser la longitud en ese punto? Localice adems el punto en que se encuentra el barco despus de recorrer 340 millas marinas. 3. Un aeroplano sale de Honolul (219 ")w R "&(9 w S) con rumbo inicial de 409 %$ R I Encuentre el punto ms cercano al polo Norte de su trayectoria y calcule la latitud en que se encuentra cuando la longitud es de 749 S 4. Un barco parte de Valparaso (339 W (#9 S con un rumbo inicial de 329 WS Qu distancia se puede recorrer de modo que el error cometido en el clculo de la latitud usando Trigonometra Plana sea menor o igual a un grado sexagesimal? Use el Polo Sur como tercer vrtice. (Indicacin: use el mtodo de ensayo y error) 5. Un barco que navega en la polinesia francesa (159 W "%!9 S necesita ser guiado a Valparaso (339 W (#9 S : calcule el rumbo de salida. Calcule este rumbo como si la tierra fuese plana (use el polo sur como tercer vrtice): adnde ira a parar en Chile si se usa ese rumbo errneo? 6. Un barco parte de un punto A (209 R !9 6981) con rumbo 309 R I y recorre 3000 millas marinas alcanzando el punto B. Calcule latitud y longitud de B Si el capitn no sabe trigonometra esfrica y aplica plana, encuentre los valores de latitud y longitud calculados de este modo errneo. La (falsa) posicin calculada por este capitn se encuentra ms al Sur o ms al Norte, ms al Oeste o ms al Este de la verdadera? Cul es el error total cometido? (es decir, la distancia en millas entre la posicin falsa y la verdadera? 7. Un barco parte de Valparaso con la intencin de llegar a Isla de Pascua (279 W "!*9 S pero parte con un rumbo levemente equivocado de 869 SS . Calcule la distncia mnima a Isla de Pascua por la que pasa el barco. Cul debi ser el rumbo (de salida) correcto?

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8. Dos barcos A y B parten desde un mismo punto a las 12:00 hrs. y se alejan uno de otro segn un ngulo de 79 . Si el barco A se desplaza en lnea recta a 8 nudos y B a 6 nudos, A qu distancia estar uno de otro a las 16:00 hrs.? Use Trigonometra Plana y Esfrica y calcule el error cometido. Estudie cmo aumenta el error a medida que los barcos se alejan. (1 nudo 1 milla marina por hora 1.852 Km/hora ) 9. Dos submarinos zarpan desde un mismo punto y al mismo tiempo en rumbos que difieren en un ngulo . Uno navega con un a velocidad de 25 nudos y el otro a 23 nudos. Tres horas despus de partir distan entre si 10 millas. cul es el ngulo comprendido entre sus cursos? (Haga un anlisis como en el problema anterior). Que puede Ud. concluir ?

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Capitulo 2:

GEOMETRA ANALTICA

2.1 INTRODUCCIN. Supongamos que se necesita construir un camino que una un cierto punto dado con el borde de una baha. El camino debe tener una cierta direccin y, por supuesto, debe ser recto para ahorrar costos. cmo calcular la distancia del punto al borde de la baha? Si el borde de la baha es aproximadamente una lnea recta, tendremos un tpico problema de trigonometra plana, ya discutido en el captulo anterior. Pero si el borde de la baha es curvo, nuestra trigonometra no nos d la solucin.

Figura 2.1 Un problema de este tipo tal vez se podra resolver si se pudiera describir la curva de la baha usando relaciones numricas. La Geometra Analtica nace con el objeto de resolver problemas geomtricos mediante el uso de las herramientas del lgebra y del anlisis. La aplicacin del clculo a la geometra para el estudio de las propiedades de las figuras y la solucin de los problemas que de ellas se derivan, fu empleado por los matemticos desde los tiempos ms remotos, pero slo para determinar longitudes, reas y volmenes. Arqumedes hizo uso de razonamientos muy ingeniosos que relacionaban las figuras geomtricas con operaciones numricas, llegando a desarrollar elementos precursores

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del clculo infinitesimal. Pero solo con el desarrollo del lgebra se abre la posibilidad de relacionar de modo eficaz la geometra con el lgebra. La bsqueda sistemtica de las relaciones entre la geometra y el lgebra se atribuye a Descartes, quien comparte con Fermat la fama de ser los creadores de la Geometra Analtica. Descartes plantea en primer lugar el problema inverso: si a cada nmero real asociamos un trazo (estos nmeros reales debern ser positivos y ser la longitud del trazo lo que representar al nmero), cual ser el trazo que representa el producto de dos nmeros? Es claro que si consideramos un rectngulo de lados iguales a los trazos dados tendremos que el producto de los trazos ser el rea del rectngulo. Pero eso no es lo que quiere Descartes. l busca un trazo cuya longitud sea igual al producto de las longitudes de los trazos dados. Lo que l busca es una representacin geomtrica de la operacin algebraica de multiplicacin de dos nmeros. Por otro lado, la operacin suma (y resta) es muy fcil de representar geomtricamente: basta colocar un trazo a continuacin del otro ( o en sentido contrario). Cmo hacerlo con el producto? Ser posible obtener geomtricamente otras operaciones de tipo algebraico, como por ejemplo la extraccin de raiz cuadrada? Descartes resuelve estos problemas: para el caso del producto, es preciso elegir una unidad: un cierto trazo ser elegido como unidad de medida.

Figura 2.2 La unidad es el trazo AB y se desea multiplicar el trazo BC con el trazo BD: basta trazar la paralela a AD por C y se obtiene el punto E. El trazo BE ser el producto de BC con BD. En efecto, por el teorema de Thales: FI FH FH y por lo tanto: FI FH FG FG EF "

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Para obtener la raiz cuadrada de un trazo dado, la construccin es igualmente elemental. Supongamos que queremos construir un trazo que sea la raiz cuadrada del trazo BD: prolongamos el trazo BD hacia la izquierda de modo que AB sea nuestra unidad.

Figura 2.3 Enseguida tomamos el punto medio C del trazo AD y trazamos una circunferencia de centro en C y radio CA. Finalmemte levantamos la perpendicular en B y determinamos su interseccin con la circunferencia: el trazo BE ser la raiz cuadrada de BD. En efecto, el tringulo ADE es rectngulo en E y usando tres veces el teorema de Pitgoras, se obtiene: EI # IH# EH# EF FH# " FH# Pero IH# FI # FH# , y sustituyendo arriba: EI # FI # FH# " FH# " #FH FH# luego: EI # FI # " #FH. Pero AE# EF # FI # " FI # Por lo tanto: " FI # FI # " #FH luego: FI # FH es decir FI FH De este modo Descartes le asignaba un significado geomtrico a una operacin algebraica. Por el otro lado, Fermat comenzaba con una ecuacin algebraica y derivaba de ella propiedades de tipo geomtrico. De esta manera, los trabajos de Descartes y Fermat tomaron en conjunto los dos problemas bsicos complementarios de la geometra analtica: (i) dado un lugar geomtrico definido por ciertas condiciones, hallar su ecuacin algebraica.

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(ii) dada una ecuacin algebraica, hallar el lugar geomtrico que representa. 2.2. EL PLANO AFN SOBRE # Si consideramos un plano, desde un punto de vista intuitivo, entonces podemos asignarle a cada punto del plano una pareja de nmeros reales. Para esto basta tomar dos rectas orientadas, no paralelas, y establecer en cada una de ellas una escala de medida que permita asignar a cada punto de estas rectas un nmero real. El cero debe estar en la interseccin de las rectas, las cuales se llamarn ejes. Entonces, por cada punto del plano podemos trazar paralelas a estos ejes determinando as puntos en cada eje y por lo tanto nmeros reales.

Figura 2.4 El punto P de la Figura 2.4 determina la pareja de nmeros reales B C. Recprocamente, a cada pareja de nmeros reales corresponder de este modo un punto en el plano. Es claro que estas parejas de nmeros reales depender de la eleccin de los ejes. Esto incluye no solo su ubicacin y el ngulo en que se cortan, sino tambin la escala de medida que se ha elegido en cada una de ellas. En todo caso, una vez fijados los ejes, tenemos una correspondencia biunvoca entre los puntos del plano y las parejas de reales. Los distintos objetos geomtricos en el plano, tales como rectas, circunferencias y otras curvas ms interesantes como las cnicas, podrn ser, en principio, descritos mediante relaciones algebraicas entre los nmeros B e C asociados. Es lo que hicieron Descartes y Fermat para abordar numerosos problemas geomtricos muy

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difciles de resolver de otro modo. Pero Fermat y Descartes trabajaron en la primera mitad del siglo 17 y hubo que esperar dos siglos ms hasta que matemticos como William Hamilton y Hermann Grassmann crearan un lgebra, no de los nmeros reales B e C, sino de los mismos pares ordenados: el lgebra Lineal. Cabe comentar que esta misma lgebra puede ser extendida a tros de nmeros, lo que proporciona una buena base para estudiar la geometra del espacio y, finalmente, puede generalizarse a dimensiones mayores. La estructura algebraica que se define, para estos fines, sobre el conjunto de pares ordenados es la siguiente: DEFINICIN. Sobre el conjunto # B C B C definimos: 3 + , - . + - , . 33 -+ , -+ -, , - Estas operaciones satisfacen las siguientes 4 reglas bsicas (axiomas) Si A,B # " 3 "E E 33 " E " E 333 E F E " F 3@ " E E " E El conjunto # provisto de estas dos operaciones y dado que (trivialmente) se satisfacen los cuatro axiomas anteriores, se llama un espacio vectorial sobre y sus elementos se llamarn vectores. Los coeficientes reales que multiplican a los vectores se denominan en este contexto escalares. Estos vectores pueden ser visualizados como flechas en el plano que parten de un origen comn S ! !. La suma se realiza segn la diagonal del paralelgramo que forman las flechas y el producto del vector C con el escalar - acorta o alarga la flecha y la invierte si es negativa:

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Figura 2.5 En efecto, el tringulo ?ODA es obviamente congruente al ?BEF (ver Figura 2.5) por lo tanto la primera componente del vector A se agrega a la primera componente del vector B para formar la suma A+B. Lo mismo ocurre con la segunda componente. Del mismo modo, el tringulo ?GOC es semejante al ?HOK, por lo tanto las longitudes de sus lados son proporcionales. No est dems recordar que el nombre mismo de vector proviene de la fsica y significa el que porta o sostiene refirindose a las fuerzas. La representacin de las fuerzas mediante flechas tiene ese origen y su suma corresponde a la composicin de las fuerzas, que resulta ser la diagonal del paralelgramo formado por sus componentes. Estas flechas las haremos actuar sobre un plano cualquiera M del siguiente modo: a cada par de puntos T U Q asociamos un nico y bien definido vector E # aqul que tiene la misma direccin, sentido y tamao que la flecha que une T con U Vamos a denotar a este vector por E T U Es muy fcil verificar que se satisfacen las siguientes tres reglas bsicas (axiomas): I. T T ! ! ! MM T U UV T V MMM aT Q a E # bx U Q tal que T U E En general, un conjunto provisto de esta asociacin que satisface estos tres axiomas, se llama un plano afn sobre # . De esta manera, tenemos por un lado las flechas que parten de un punto comn ("flechas en el carcaj") cuyo estudio es materia del lgebra lineal y

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por otro lado tenemos a las flechas operando libremente en el plano, lo que constituye nuestra geometra ("geometra afn").

Figura 2.6 Sea ahora O un punto cualquiera del plano M : O M y consideremos dos vectores no nulos de # que no sean colineales: , Es interesante e " e# # observar que cualquier otro vector (+ , se puede representar en la forma: + , " con , " /" /# En efecto, si B" C" y B# C# , entonces se plantea el e" e# sistema de ecuaciones para y " : + B" " B# , C" " C # de donde # B+C# ,BB# " C# C" donde la condicin B" C# C" B# ! se deriva de la hiptesis de que los vectores y no son colineales. En efecto, la condicin e" e# C B" C# C" B# ! , es decir, B" C" es, precisamente la condicin de B# # colinealidad de los vectores:

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Figura 2.7 De modo completamente anlogo se puede calcular el escalar " : "+C1 ,B1 B# C" C# B"

El tro: S se llama un sistema de coordenadas del plano M. /" / # Si P es un punto cualquiera en el plano M, es decir, si P M, entonces el vector OP se podr representar, segn lo que acabamos de ver, del modo siguiente: OP = B C B C /" /# Estos escalares B C se llaman las coordenadas del punto P y es costumbre denotar este hecho por : P(B C). El sistema de coordenadas ms sencillo (y tambin el ms usado) es aquel donde se toman los vectores especiales: /" " ! y /# ! " En este caso la descomposicin de un vector cualquiera B C # es muy sencilla: B C B C /" /# La coordenada B se llama abcisa mientras que la coordenada C se llama ordenada. Este ser el sistema de coordenadas que usaremos en lo sucesivo. Si ahora tomamos dos puntos cualquiera en el plano : T + , y Q(c,d) usando el axioma II , podemos calcular el vector PQ que los une:

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T U SU ST - . + , - + . , Es decir, con este sistema de coordenadas resulta simplemente la diferencia de coordenadas. Del mismo modo podemos calcular la distancia que hay entre dos puntos de M de coordenadas dadas:

Figura 2.8 Aplicando el teorema de Pitgoras: .T + , U- . - +# . ,#

Esta distancia entre los puntos T y U se interpreta tambin como la longitud o norma del vector T U que los une y se denota por: ||T U || . En general tendremos entonces que la norma del vector B C # ser mB Cm B# C#

2.3 LA RECTA EN EL PLANO AFN Supongamos que tenemos un punto A en el plano y una direccin caracterizada por un vector : cmo caracterizar los puntos que se @ encuentran sobre la recta L que pasa por A y tiene la direccin ? @

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Figura 2.9 Si O es un punto en el plano, tomado como origen, entonces: T P ST SE - - @ (1)

Esta expresin se llama ecuacin vectorial de la recta. Si llamamos B C a las coordenadas del punto P , + , a las coordenadas del punto A y si el vector es @ @" @# , entonces la ecuacin (1) queda: B C + , - @" @# + -@" , - @# lo que constituye el sistema: B + - @" C , - @#

(2)

Esta ecuacin (2) se conoce como ecuacin paramtrica de la recta L, con - como parmetro. El significado de esta ecuacin es: para cada valor del parmetro - se tendrn las coordenadas B e C de un punto sobre la recta L. En esta ecuacin podemos eliminar el parmetro -, multiplicando la primera ecuacin por @# y la segunda por @" y restando: @" C @# B @# + @" , ! (3)

Esta es una relacin lineal entre las coordenadas del punto T B C que est en la recta L. si @" ! , entonces @# ! pues el vector ! ! no determina ninguna direccin. Cul es la direccin del vector ! @# ? Si hemos tomado como sistema de coordenadas: /" " ! y /# ! ", la direccin ser la misma que el vector /# ! ". En este caso se puede despejar la coordenada B B @# +@" , @#

53

Se trata entonces de una recta vertical que pasa por el punto de coordenadas ( @# +@", , 0) @#

Figura 2.10 si @" 0 , entonces podemos despejar la coordenada C : C@# @" B

@# @" +

,

(4)

Ntese que el coeficiente @# de B no es otra cosa que la tangente del @" ngulo que forma las recta L con el eje OX, es decir, el eje que contiene al vector /" y se llama la pendiente de la recta.

Figura 2.11 La ecuacin (4) se acostumbra a escribir en la forma C 7B 8 donde 7 corresponde a la pendiente y 8 es la altura del corte de la recta con el eje OY o sea el eje que contiene al vector /# Segn hemos visto, las coordenadas de los puntos que estn sobre una recta estn en una relacin lineal. ser cierto el recproco? Es decir, si +B ,C - !

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estarn los puntos T B C sobre una recta? La respuesta es evidentemente positiva, pues: si , ! la recta con vector @ ! " y que pasa por el punto E + ! satisface la ecuacin. si , ! , la recta con vector @ , + y que pasa por el punto E! - satisface la ecuacin planteada. , Es claro que dos rectas: C 7B 8 y C 7w B 8w sern paralelas si sus pendientes son iguales: 7 7w . Cabe preguntarse que condicin debe cumplirse para que las rectas sean perpendiculares?

Figura 2.12 Recordando que la pendiente de la recta es la tangente del ngulo que forma con el eje OX, tenemos: 7w >1) 1 # es decir : 77w " (5)=/8) 1 # -9=) 1 #

-9= ) =/8 )

" >1 )

" 7

Pero esto es vlido solo si acaso 7 ! . Si 7 ! entonces la recta L ser horizontal (paralela al eje OX ) por lo tanto la perpendicular L' deber ser paralela al eje OY, es decir, vertical. La condicin (5) puede ser interpretada tambin para este caso si consideramos que una recta vertical tiene "pendiente infinita". Este resultado lo podemos usar para calcular la distancia de un punto T de coordenadas , " , es decir, T " a una recta L de ecuacin +B ,C - !. Supongamos primero que a 0 y que b 0 . Entonces la recta L tendr la ecuacin: C + B - La distancia de P a L ser , ,

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la distancia de P al pi Q de la perpendicular a L trazada desde P. Trazamos entonces por T una recta L' perpendicular a L : Pw , , C + B 8 y por pasar por T " " + 8 de donde 8 , " + Intersectamos la recta Pw con P y obtenemos el punto Q: C +B , , , , C +B " + Por lo tanto: # B , +,"#++# , C+,+# " ,+# ,#

Estas seran entonces las coordenadas de Q. Luego, la distancia . entre P y Q ser: ,# +," +- # +# ,#

"

+, +# " ,- # +# , #

lo que, despus de unos arreglos algebraicos elementales nos d: .+," -# +# ,#

l+," -l +# , #

(6)

Una vez obtenida esta frmula, es fcil ver que tambin es vlida para el caso en que + ! o , ! En efecto, si + !, la recta L es una recta horizontal a la altura - y la distancia de T " ser simplemente la , diferencia de coordenadas l" - l l" - l , que es lo que , , proporciona la frmula. Del mismo modo, si , ! entonces la recta L es vertical y la diferencia de coordenadas ser: | + l l + l Es curiosa la estructura de la frmula (6) : se ha sustitudo el par " por el par B C en la ecuacin de la recta. Si el punto P est sobre la recta, entonces debe satisfacer su ecuacin y la distancia ser cero. La condicin (5) de perpendicularidad de dos rectas nos permite encontrar la condicin de perpendicularidad de dos vectores, definida como la condicin de las rectas perpendiculares que son soportadas por los correspondientes vectores. Recordemos que la pendiente de la recta C soportada por el vector @" B" C" es 7" B" y anlogamente la " C pendiente de la recta soportada por @2 B2 C# es 7# B# . Esto es si # acaso las rectas no son verticales. Luego, los vectores @" y @# sern C C perpendiculares si acaso 7" 7# B" B# " es decir: " #

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B" B# C" C# !

(

Esta condicin es tambin vlida si acaso alguna de las rectas es vertical, es decir , si : B" ! o si B# ! En efecto, si por ejemplo B" ! , entonces la condicin (7) nos indica que C# ! (pues C" no puede ser cero) , por lo tanto la otra recta es horizontal. La condicin (7) de perpendicularidad induce a definir el producto interno de los vectores @" y @# que se acostumbra a denotar: @" @# : @" @# B" C" B# C# B" B# C" C# )

Es decir, dos vectores sern perpendiculares (tambin se dice ortogonales) si su producto interno es cero. Recordando la definicin de norma de un vector, se tiene: ||@|| ||B C|| B# C# B C B C @ @ * Recordando ahora la interpretacin de la norma de un vector como su longitud, podemos definir el concepto de ngulo entre dos vectores:

Figura 2.13 Por el teorema del coseno: m@" @# m# m@" m# m@# m# #m@" m m@# m-9= ) Pero, usando las observaciones anteriores, el lado izquierdo de esta igualdad es: m@" @# m# B" C" B# C# B" C" B# C# B" B# C" C# B" B# C" C# B" B# # C" C## # # B# B# #B" B# C" C# #C" C# ||@" ||# ||@# ||# #@" @# " #

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Por lo tanto, la igualdad anterior se reduce a: ||@" ||# ||@# ||# #@" @# m@" m# m@# m# #m@" m m@# m-9= ) de donde, simplificando y despejando el coseno, se tiene finalmente: -9= ) @" @# ||@" || ||@# ||

(10)

EJEMPLOS 1. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos de coordenadas dadas: A( " #) y B(", #) Sea C 7B 8 la ecuacin de la recta buscada. Como debe pasar por los dos puntos, se tiene: # 7 " 8 # 7" 8 lo que nos d un sistema de ecuaciones para las incgnitas 7 y 8 En este caso su solucin es: 8 ! 7 # 2. Encontrar la ecuacin de una recta perpendicular a P C #B " que pasa por el punto T # " La ecuacin tendr la forma C " B 8 y por pasar por P, se tiene: " " # 8 , de donde # # 8 # Luego la recta buscada tendr por ecuacin: C "B # # 3. Calcular la distancia del punto T " # a la recta P C B # Aqu secillamente usamos la frmula (6) : " . l"##l # "" 4. Una lancha que avanza a 20 O72 debe cruza un ro cuya corriente es de 5 O72 . Qu direccin debe llevar la lancha para cruzar perpendicularmente el ro? En este caso hay que modelar las velocidades mediante vectores: la suma vectorial de las velocidades debe ser perpendicular al ro:

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Figura 2.14 Llamemos + , al vector velocidad de la lancha. El vector velocidad del ro ser: & ! Por lo tanto, segn la eleccin de nuestro sistema de coordenadas se deber tener: + , & ! " ! ! luego: + & , " ! + & ! , luego + & Por otro lado ||+ ,|| #! , es decir, #& , # #! , de donde , #!# #& $(& . Finalmente, usando la frmula (10): $(& , -9= ) ||+,!"|| ||+,|| #! !*')# +,|| ||!" Luego ) "%9 &

2.4.

PROBLEMAS

1. Calcule la distancia entre dos puntos del plano afn cuyas coordenadas son: T " # U% # T " # U$ # 2. Encontrar las coordenadas del punto de interseccin de las rectas: P" C B " P# C #B " # 3. Encontrar la ecuacin de las recta que tiene pendiente 7 # y pasa por el punto T " $

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4 Encontrar la ecuacin de las recta que tiene pendiente 7 " y pasa por el punto T de interseccin de P" C # y P# que pasa por T $ ( y U$ " 5. Encontrar las ecuaciones de la recta P tal que: a) pasa por T # & y es paralela a 'B $C % ! b) pasa por T # $ y es perpendicular a #B $C " ! c) es perpendicular a $B #C " ! y pasa por la interseccin de esta misma recta con el eje de las x 6. Hay una acequia que forma una pendiente de " con un camino y se # desea construir otra acequia paralela a la primera y que pase a una distancia de 12[m] de la interseccin de la primera acequia con el camino. Suponiendo que todas son rectas cul es la ecuacin de las acequias? (Indicacin: elija un sistema de coordenadas adecuado) 7. Calcule la distancia del punto T $ " a la recta L: C $B " 8. Determine la distancia entre las rectas : #B C ( ! %B #C & ! son estas rectas paralelas? 9. Sea ?ABC : A(-1,2) , B(2,5) , C(3,-1). Calcule el rea de este tringulo. 10. Encuentre la recta cuyos puntos equidistan de las rectas: $B %C ' ! "#B &C * ! 11. Decida si acaso los vectores son ortogonales o no: a) " $ y $ " b) # " y " % 12. Sean ? @ # . Demuestre que las tres afirmaciones siguientes son equivalentes: (1) ? y @ son ortogonales (2) ||? @|| ||? @|| (3) ||? @||# ||?||# ||@||#

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13. Demuestre la llamada "desigualdad de Cauchy-Schwartz" : l? @l ||?|| ||@|| donde ? @ son vectores de # 14. Descomponer el vector (3,1) en direccin ? # $ y @ " " 15. Un barco se v sometido a la fuerza del viento de 50 Kg en direccin 409 R I . Calcule las componentes de esta fuerza sobre el lado Norte y Este del barco. 16. Una bandera sobre una lancha en movimiento forma un ngulo de 459 respecto de la direccin en que se mueve la lancha, en cambio, una bandera clavada en tierra firme forma un ngulo de 309 respecto de la misma direccin: (a) si la velocidad de la lancha es de 10 Km/h , calcule la velocidad del viento. (b) Encuentre la velocidad aparente del viento para un observador en el bote. 17. Sea ?ABC isceles donde AC y BC son los lados iguales. Sea P un punto cualquiera sobre el lado AB. Demuestre que la suma de las distancias desde P a los lados AC y BC es constante. 18. Sea ?ABC equiltero, P un punto cualquiera dentro del tringulo. Demuestre que la suma de las distancias a los tres lados es constante, es decir, no depende de la posicin del punto. Intente dos demostraciones: una usando geometra analtica y otra usando solo geometra euclideana clsica. 19. Cmo cambian las cordenadas de un punto P en el plano cuando cambia el sistema de coordenadas de S /" /# a S w %" %# ? 20. Encuentre las coordenadas de los puntos del plano cuya distancia a la recta $B %C & ! es el doble de la distancia a la recta : %B $C '

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21. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de interseccin de : (B (C #% y B C ! y que forman con los ejes coordenados: un tringulo de rea ( " & un tringulo de permetro 12 22. Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias de cualquier punto del plano a dos vrtices opuestos de un rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de sus distancias a los otros dos vrtices.

2.5.

LAS SECCIONES CNICAS

Supongamos que tenemos una recta fija L9 en el espacio y otra recta L que corta a L9 en un punto O y forma un ngulo agudo con L9 Si se hace rotar la recta L en torno a L9 , manteniendo fijo el punto O, se forma una figura en el espacio llamada cono circular recto. La recta L9 se llama eje del cono y el punto O se llama vrtice del cono. Se entiende por secciones cnicas , o simplemente: cnicas, aquellas curvas que se forman al intersectar un cono circular recto con un plano que no pasa por su vrtice. Segn sea el ngulo ) con que el plano corta al cono se obtienen los tres tipos bsicos de cnicas: elipses () > ), parbolas () = ) e hiprbolas ()< ):

Figura 2.15

62

Es interesante notar que ya el gemetra griego Apolonio ( siglo III A.C.) encontr las propiedades bsicas de las cnicas. Fu l quien puso los nombres de elipse, parbola e hiprbola y ha llegado hasta nosotros en una obra denominada justamente "sobre las secciones cnicas" compuesta de 8 libros, la mitad de los cuales slo se ha conservado en una traduccin al rabe. 2.5.1 LA CIRCUNFERENCIA Cuando el ngulo ) es recto, es decir el plano corta perpendicularmente al eje del cono, entonces la elipse resultante se llama circunferencia. Si llamamos C al punto de interseccin del plano con el eje del cono , entonces es claro que todos los tringulos ?OCP que se forman tomando un punto P cualquiera de la curva, son congruentes:

Figura 2.16 En efecto, todos ellos tienen el ngulo recto, el ngulo y el lado OC en comn. Por lo tanto, la distancia del punto P al punto C es constante. Esta distancia se llama radio y el punto C se llama centro de la circunferencia. Si llamamos < al radio de la circunferencia, entonces una ecuacin vectoria6 de la circunferencia sera simplemente: llT G ll < (1) Si tomamos un sistema de coordenadas S /" /# , usando los vectores especiales /" " ! /# ! " , entonces la ecuacin anterior toma la forma: llT G ll llST SG ll llB + C ,ll

63

B +# C ,# < donde las coordenadas de P son B C y las de C son + , Elevando al cuadrado, se obtiene la ecuacin clsica en coordenadas: B +# C ,# 1 1 #

#

) #

6

83

2.9.1.

LA PARBOLA

La parbola es un caso lmite entre la elipse y la hiprbola: se produce cuando el ngulo ) con que el plano corta al cono coincide con el ngulo del cono: ) . En este caso hay solamente una esfera tangente al manto del cono y al plano que lo corta:

Figura 2.37 Tomando un punto P cualquiera sobre la parbola podemos trazar una recta que lo una con el vrtice del cono: esta recta cortar a la circunferencia tangente de la esfera con el cono en un punto M.

Figura 2.38

84

La interseccin del plano C que contiene a esta circunferencia con el plano que determina la parbola es la recta llamada tambin directriz. Trazando la perpendicular desde el punto P al plano C se determina el punto P' y trazando la perpendicular desde P a la directriz se determina el punto Q. En el tetraedro PP'MQ se tiene que el ngulo PMP' es 9 1 mientras que el ngulo PQP' es tambin 9 1 ) , pues # # )

Figura 2.39TT Luego, se tiene que T Q =/8 9 y tambin T T =/8 9 Por lo tanto TU T Q T U . Pero T Q T J , pues son ambas tangentes a la esfera. El resultado es que los puntos de la parbola estn a la misma distancia del foco que de la directriz: T J T U Podemos entonces obtener una descripcin analtica sencilla usando un sistema de coordenadas apropiado:w w

Figura 2.40 Con las notaciones empleadas en la Figura 2.40, se tiene:

85

T U B : T J : B# C# cuadrado y simplificando, se tiene: C# %:B que es la ecuacin clsica de la parbola.

, de donde, elevando al

"

2.9.2. LOS CONOS QUE GENERAN UNA PARBOLA DADA En este caso, la excentricidad geomtrica, definida por la razn T U es TJ igual a 1. Por lo tanto, procediendo como en el caso de la elipse y la hiprbola, se puede tomar un cono cualquiera y trazar un plano paralelo al manto del cono. Solo es necesario calcular la altura por donde debe pasar dicho plano.

Figura 2.41 La distancia EF en la Figura 2.41 corresponde a la distancia entre el foco y el vrtice de la parbola, es decir : en la frmula (1). En el tringulo : IJ ?CEF se tiene: GI =/8 es decir, GI =/8 . En el tringulo ?ACE se tiene : GI =/8 de donde la distancia desde el vrtice del EI cono la punto por donde debe pasar el plano es: EI : =/8#

(2)

86

El radio de la esfera inscrita tambin es fcil de calcular: es decir: < : -9>

< :

>1 1 , # (3)

2.10.

LA ECUACIN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones que definen los tres tipos de cnicas en el plano afin son ecuaciones de segundo grado en ambas variables. Cabe preguntarse si, recprocamente, toda ecuacin de segundo grado representa algn tipo de cnica. La respuesta, como veremos enseguida, es afirmativa, siempre y cuando se acepten como cnicas los llamados casos degenerados. Estos casos pueden clasificarse en cuatro tipos: 3 El vaco, como en el caso: B# C# " ! 33 Un solo punto, como en el caso: B +# C ,# ! 333 Dos rectas que se cortan, como en el caso: B# C# ! 3@ Dos rectas paralelas o coincidentes, como en los casos: B# B " ! dos rectas verticales) ; C# C " ! dos rectas horizontales) ; B# #B " ! una sola recta vertical) Consideremos la ecuacin de segundo grado: EB# FBC GC# HB IC J ! (1)

Vamos a demostrar que: Si F # %EG !, entonces (1) representa una elipse Si F # %EG ! , entonces (1) representa una parbola Si F # %EG ! entonces (1) representa una hiprbola aceptando los casos degenerados. Para llevar la ecuacin (1) a una forma apropiada, donde se pueda reconocer el tipo de cnica, es preciso examinar como cambia esta ecuacin con un cambio de coordenadas. Hay dos tipos de cambio de coordenadas, suponiendo que conservamos la perpendicularidad de los ejes: traslacin de ejes y rotacin de ejes. I. Traslacin de ejes. Sea T B C un punto cualquiera en un sistema ortogonal de coordenadas y traslademos el origen y los ejes paralelamente

87

sumando una constante 2 a las abcisas y una constante 5 a las ordenadas. Vamos a llamar Bw Cw a las nuevas coordenadas. Se tendr por lo tanto B Bw 2 C Cw 5

(2)

Figura 2.42 II. Rotacin de ejes. Sea ) el ngulo en que se rotan los ejes. Tomemos T B C un punto en el plano y llamemos T Bw Cw al mismo punto pero en las nuevas coordenadas. Llamando < y 9 a las nuevas coordenadas pero polares, se tiene: Bw