utn álgebra y geometría analítica

28/02/2008

Álgebra y Geometría Analítica Unidad 1

MATRICES Definición: una matriz es un arreglo rectangular de símbolos o números encerrados entre corchetes. Los números del arreglo se denominan elementos y están ubicados en “p” filas y “q” columnas (Antón, 47) Ejemplos:

[ ]j1

pq2p1p

q22221

q11211

a

a....aa.............................

a.....aa

a.....aa

A 001

B fedcba

A =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Matriz cuadrada; una matriz es cuadrada si tiene igual número de filas que de columnas. Ejemplos:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ihgfedcba

B 1001

A

Matriz nula:

Es aquella en que aij=0 para todo i,j . Se simboliza: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0000

O

Matriz diagonal: una matriz cuadrada es diagonal si verifica que aij = 0 para todo i ≠ j.

Ejemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

i001

B 000020001

A

Matriz identidad: es aquella matriz cuadrada que verifica que: ⎩⎨⎧

≠=

jisijisi

aij 01

Ejemplo: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

I

Matriz transpuesta: si A es cualquier matriz mxn, entonces la transpuesta de A, denotada At, se define como la matriz nxm que se obtiene al intercambiar las filas y la columnas de A. Es decir, la primera fila de A es la 1º columna de At, la segunda fila de A es la 2º columna de At, y así sucesivamente. (Antón, 57). O sea que (At)ij =(A)ji.

Prof A. Schilardi 2008

1


Ejemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4231

A 4321 tA

Propiedades:

a) (At)t = A b) (α.A)t = α.At (α escalar) c) si A y B son matrices pxq: (A+B)t = At + Bt d) Si A y B son matrices de orden pxq y qxr respectivamente, entonces: (A.B)t = Bt. At

Matriz simétrica: una matriz cuadrada A es simétrica si A = At (Antón,97)

Ejemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

0332

A

Matriz antisimétrica: una matriz cuadrada A se denomina antisimétrica si At = -A (Antón, 102)

Ejemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0110

A

Matriz triangular: Una matriz cuadrada en la que todos los elementos arriba de la diagonal principal son cero se denomina triangular inferior, y una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero se denomina triangular superior. Una matriz que es triangular inferior y superior se denomina triangular. (Antón, 95)

Ejemplo: inferiorr triangulaes 05-4032001

B superior r triangulaes 100200921

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=A

Traza de una matriz: se denomina traza de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal y

se escribe tr(A) = ∑ =

n

iiia

1

Propiedades: o tr(A+B) = tr(A) + tr(B) o tr(kA) = k. tr(A) o tr(At) = tr(A) o tr(A.B) = tr(B.A)

Operaciones con matrices


2


Suma: sean A y B matices del mismo orden, entonces la suma A+B es la matriz obtenida al sumar los elementos correspondientes de B con los de A . O sea: (A+B)ij = (Aij)+(B)ij = aij + bij Ejemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4564

A 08-45-

B 4321

BA

Propiedades:

a) A + B = B +A b) A+(B+C) = (A+B)+C c) A+O=A d) A+(-A) = O

Producto por un escalar: Si A es una matriz y c un escalar, el producto c.A es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c. O sea: (c.A)ij = c.(A)ij = c.aij Propiedades:

a) c(A+B) = cA+cB con c escalar y A y B matrices del mismo orden b) (c+d)A = cA+dA con c y d escalares c) (c.d)A = c.(d.A)=(d.c)A con c y d escalares

Producto de matrices: Si A es una matriz pxq y B es una matriz qxr, entonces el producto A.B es la matriz pxr cuyos elementos se determinan así: “para el elemento ij de A.B multiplicar entre sí los elementos correspondientes de la fila i de A y la columna j de B y luego sumar los productos.

Ejemplo: =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10.47.39.46.38.45.310.27.19.26.12.81.5

A.B 1098765

B 4321

A

En forma general:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

pr2p1p

r11211

qr3q2q1q

r1131211

pq3p2p1p

q1131211

ccc

ccc

bbbb

bbbb.

aaaa

aaaa

L

LLLL

L

L

LLLLL

L

L

LLLLL

L

donde: c11 = a11.b11 + a12.b21+….+a1q.bq1c21 = a21.b11 + a22.b21 +……+ a2q.bq1……………………………………….

Cij = ai1.b1j + ai2.b2j +……..+ aiq.bqj = con bkj.aq

1kik∑

=

r j 1y p i 1 ≤≤≤≤


3


Propiedades:

a) (A.B).C = A.(B.C) b) A(B+C) = A.B+A.C c) (A+B).C = A.C + B.C

Comentario: por la condición que deben cumplir las matrices A y B para que su producto esté definido, podemos decir que en algunos casos aunque A.B esté definido no necesariamente B.A lo estará. Además, aunque ambos productos estén definidos, no siempre el resultado de multiplicar A.B es igual que el resultado de B.A. Por lo tanto podemos decir que “ el producto de matrices no verifica la propiedad conmutativa”. O sea: A.B ≠ B.A Potencia de una matriz: si k es un entero y A una matriz cuadrada : 4434421

vecesk

k AAAAA ..........=

Operaciones elementales Existen sólo tres operaciones elementales:

intercambiar dos filas (o columnas) entre sí. Multiplicar una fila (o columna) por un escalar distinto de cero. Sumar a una fila (o columna) un múltiplo de otra fila (o columna)

Matrices elementales Son aquellas matrices que se obtienen mediante una sola operación elemental sobre la matriz identidad.

Ejemplo:

3231

2FF

3

F3·F

2(-2)F

1

010100001

E 100010301

E 20

01E

↔+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

Sea A una matriz mxn y E una matriz elemental de mxm, la multiplicación por izquierda de A por E realiza la misma operación elemental en las filas de A que la realizada en la identidad para obtener E. Si la operación se hace por derecha, se opera sobre las columnas. Matrices equivalentes


4


Definición: Una matriz B es equivalente por filas a A si existe una secuencia finita E1, E2, E3........Ek de matrices elementales tales que: B = Ek, Ek-1, ......E1.A Matrices escalonadas Una matriz está escalonada por filas si satisface:

Todas las filas que tienen sólo ceros están en la parte inferior de la matriz Si un renglón no consta completamente de ceros, entonces el primer elemento distinto de cero de la fila

es un uno ( uno principal). En dos filas consecutivas cualesquiera que no conste completamente de ceros, el uno principal del

renglón aparece más a la derecha que el uno principal del renglón anterior.

Ejemplo: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010241

B 000100431

A

Matriz escalonada reducida: son las matrices escalonadas que tienen ceros por encima y por debajo del uno principal.

Ejemplo: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

A

Una matriz A puede llevarse a escalonada o escalonada reducida utilizando operaciones elementales. De esta manera se obtiene la forma escalonada o escalonada reducida equivalente de A. (Método de Gauss-Jordan) Rango de una matriz: es la cantidad de filas distintas de cero de la forma escalonada equivalente de una matriz. Inversa de una matriz Sea A una matriz cuadrada de orden mxm, una matriz C de orden mxm es la inversa de A si: A.C = C.A =I La escribimos: C = A-1

Ejemplo: IC.AA.C 2153

C 3152

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=A

Propiedad Si una matriz tiene inversa, ésta es única. Demostración: sea A , C y D matrices de orden mxm, y sean C y D dos inversas de A.


5


A.C=I D(A.C)=DI (D.A).C = D I.C = D C = D luego la inversa es única

Las matrices que tienen inversa se las llama invertibles o no singulares. Propiedades : Si A y B son matrices invertibles de mxm:

a) A.B es inversible ⇒ (A.B)-1 = B-1.A-1 Demostración:

(A.B).(B-1.A-1)= =A.(B.B-1).A-1 = = I luego B-1A-1 es la inversa de A.B

b) escalark con Ak1)A.k( 11 −− =

c)(A-1)-1=A d) (Am)-1 = (A-1)m e) (At)-1 = (A-1)t f) I-1 = I

Cálculo de la inversa Para encontrar una matriz X=A-1 tal que A.X = I, debemos ampliar la matriz A con la identidad y trabajar de la siguiente manera:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

21105301

1031015-2

IA 3152

M

M

M

MMA


6


Alumno: Curso: fecha: EVALUACIÓN

Si A es una matriz que se obtiene a partir de I5 (identidad de orden 5) permutando las dos primeras filas y luego multiplicando la última fila por (-3) entonces el rango de A es: 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 5 ( ) NRAC ( )

Si A2 = I, entonces A.(A+B) es igual a: AB-I ( ) 2I+AB ( ) AB + I ( ) I+B ( ) NRAC ( )

Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F )

Si A es una matriz de orden nxn, entonces A es inversible Si A es una matriz simétrica, entonces A es diagonal Cualquiera sea la matriz A, la matriz A.At es simétrica Toda matriz antisimétrica admite matriz inversa La suma de matrices diagonales inversibles es una matriz diagonal inversible Si A.B = 0, entonces A = 0 ó B = 0 Si A es una matriz diagonal, entonces A es simétrica Si A = 0 ó B= 0, entonces A.B = 0 La traza de la matriz ( 2I + 0) es igual a 6 Toda matriz equivalente por filas a la matriz 3.I admite inversa La suma de matrices diagonales inversibles, es una matriz diagonal inversible.


7


DETERMINANTES A cada matriz cuadrada es posible asociarle un número real llamado determinante. O sea, a cada matriz A de orden nxn, es posible asociar un escalar det(A). Producto elemental : un producto elemental de una matriz A de orden nxn se define como cualquier producto de m elementos de A donde todos los factores pertenecen a filas y columnas distintas.

2112

22112221

1211

.a elemental producto

.a elemental producto

a

aaaaa

A

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Signo de un producto elemental: Una permutación del conjunto de enteros {1,2,3....,n} es un arreglo de éstos en algún orden sin omisiones ni repeticiones. (Antón, 108) Inversión: ocurre una inversión en una permutación, siempre que un entero mayor precede a un menor. Permutación Cantidad de inversiones 1) 1,2,3 0 2) 1,3,2 1 3) 3,1,2 2 Se dice que una permutación es impar si el número total de inversiones es impar. En caso contrario, la permutación es par. Un producto elemental con signo de A, será el producto multiplicado por (+1) si {j

nnjjj aaa .....21 21 1;j2;...jn}

es una permutación par, o estará multiplicado por (-1) si {j1;j2;...jn}es una permutación impar. Definición de determinante Sea A una matriz cuadrada. La función determinante (det(A) o ⏐A ⏐) se define como la suma de todos los productos elementales con signo de A.

Ejemplo: 211222112221

1211 ..)det( aaaaaaaa

A −==

Propiedades

a) det(At) = det(A) b) si A es una matriz triangular, el det(A) es el producto de los elementos de la diagonal. c) Si A tiene una fila o columna completa de ceros, entonces det(A) = 0


1


d) Si A es una matriz que tiene dos filas o columnas idénticas, entonces det(A) = 0 e) Si A’ es la matriz que se obtiene de multiplicar a una sola fila o columna de A por una constante k,

entonces det(A’) = k det(A) f) Si A’ es la matriz que se obtiene de intercambiar dos filas o columnas de A, entonces det(A’) = -

det(A) g) Si A’ es la matriz que se obtiene de sumarle a una fila o columna de A un múltiplo de otra, entonces

det(A’)=det(A) h) Si A y B son matrices cuadradas de igual orden, entonces det(A.B)=det(A).det(B) i) A es inversible ⇔ det(A) ≠ 0

Demostración:

⇒) 0)det( inversible esA ?

≠ ⇒ A

A es invertible ⇒ A.A-1 = I ⇒ Det(A.A-1) = det(I) ⇒ det(A).det(A-1) = 1 ⇒ det(A) ≠ 0

⇐ ) inversibleesAA ⇒≠?

0)det(

Ek.Ek-1.......E1.A = R ⇒ ⇒ det (Ek).det(Ek-1) .......det(E1) .det(A) = det(R) ⇒ ⇒ det (R ) ≠ 0 ⇒ R no tiene ninguna fila de ceros ⇒ R = I ⇒ A es equivalente por filas a I ⇒ A es inversible

j) Si A es invertible : )det(

1)det( 1

AA =−

Demostración: Si A es invertible A.A-1 = I

det(A.A-1) det(I) det(A).det(A-1) = 1

det(A-1) = )det(

1A

Cálculo de determinantes de matrices de mxm Menor complementario : Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor complementario del elemento aij (se anota Mij) se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar la i-ésima fila y la j-ésima columna de A. El número (-1)i+j Mij se denota Cij y se denomina cofactor del elemento aij.


2


Desarrollo por cofactores El determinante de una matriz cuadrada A se puede calcular como:

det(A) = a1jC1j+a2jC2j+......+anjCnj det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + .....+ ain

Matriz adjunta: Si A es cualquier matriz cuadrada y Cij es el cofactor de aij, entonces la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnn

n

ccc

ccc

K

KKKK

K

21

11211

se denomina matriz de cofactores de A. A la transpuesta de esta matriz se la

denomina adjunta de A y se escribe Adj(A). Cálculo de la inversa

Se A es una matriz invertible: )(.)det(

11 AAdjA

A =−


3


Alumno: Curso: fecha: Evaluación En el siguiente ejercicio una sola es la respuesta correcta. Márquela con una cruz:

Si :a igual es cba

2f2e2dihg

entonces 5=ihgfedcba

10 ( ) -10 ( ) -5 ( ) 5 ( ) NRAC ( )

Sean C y D matrices de 3x3. Completar las siguientes expresiones para que resulten proposiciones verdaderas. Det( C-2Ct)= ............................ Det ((-DC) = ............................

Det( 3C-1) =............................ Det(2(CD)-1) = ............................ Det (5(DC)t)= ............................


4


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal con n incógnitas tiene la forma : a1x1+a2x2+.....+anxn donde los ai son números reales y a los xi se los denomina incógnitas o variables. Un sistema de ecuaciones lineales con “n” ecuaciones y “p” incógnitas tiene la forma:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++

=++++

npnpnnn

pp

pp

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

........................................................................

........

........

332211

22323222121

11313212111

El conjunto de todos los valores que puede tomar x1,x2,x3,.....,xn es el conjunto solución S. Ejemplo:

i) S={(2;0)} ⎩⎨⎧

=−=+

22

21

21

xxxx

ii) S = ∅ ⎩⎨⎧

=+=+

12

21

21

xxxx

iii) S tiene infinitos elementos

⎩⎨⎧

−=−−=+

22

21

21

xxxx

Tiene solución

No tiene solución

determinado

COMPATIBLE

INCOMPATIBLE

indeterminado

SEL


1

Forma matricial

i) matriz ampliada o aumentada (A’) 22

.11

11

2

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− x

x⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 211

211M

M

Matriz de términos independientes

Matriz de incógnitas Matriz de

coeficientes A.X = B

Sistemas equivalentes: Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Dos matrices ampliadas equivalentes corresponden a sistemas de ecuaciones lineales equivalentes. Sistemas de ecuaciones homogéneos: Un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando la matriz de términos independientes es la matriz nula. En forma matricial: A .X = 0

“todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo siempre es compatible”. “Si un sistema homogéneo es compatible determinado, entonces S = { 0nx1 } (solución trivial).

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema de ecuaciones lineales es COMPATIBLE si la matriz de coeficientes y la matriz ampliada tienen igual rango. A . X = B es compatible ⇔ ρ(A) = ρ(A’)

Si un sistema de ecuaciones lineales es compatible: a) Si ρ(A) = ρ(A’) = n (nº de incógnitas) ⇒ el sistema es DETERMINADO. b) Si ρ(A) = ρ(A’) < n (nº de incógnitas) ⇒ el sistema es INDETERMINADO. Método de eliminación Gaussiana Nos permite encontrar el conjunto solución de un sistema buscando un sistema equivalente cuya matriz aumentada sea ESCALONADA. (Antón, 29)


2


Método de Gauss-Jordan Nos permite encontrar el conjunto solución de un sistema buscando un sistema equivalente cuya matriz aumentada sea ESCALONADA REDUCIDA. (Antón, 35) Teorema: Si A es una matriz inversible de nxn, entonces para cada matriz B de orden nx1, el sistema A . X = B tiene exactamente una sola solución y esta es : X = A-1. B Demostración A.X=B ⇒ A-1.( AX) = A-1.B ⇒I.X = A-1B ⇒ X = A-1.B


3


Alumno: Curso: fecha: Evaluación En los siguientes enunciados una sola es la respuesta correcta. Márquela con una cruz.

Si la matriz A de orden n es equivalente por filas a In, entonces el sistema A X=0 Es compatible ( ) es compatible determinado ( ) es compatible indeterminado ( ) tiene solución S = { X∈ Rn / X = A-1 } ( ) NRAC ( )

Si la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, A, es de orden 3x5 entonces el número máximo de variables libres es:

3 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 4 ( ) NRAC ( )

El sistema es compatible determinado si: ⎩⎨⎧

=+−=−+−132 432

4321

xxxtxxxx

t = 0 ( ) t no existe ( ) t = -1 ( ) t ∈ R ( ) NRAC ( ) Si A es una matriz inversible de orden nxn, X es de orden nx1, y B es de nx1, entonces la

ecuación matricial A.X = B admite solución: X = B-1.A ( ) X = A-1B no admite solución ( )

X = I ( ) NRAC ( )


4


VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES Los vectores en R2 se pueden representar como: w v = (x1;x2) v v = x1 i + x2 j x2 v = x1 x0 + x2 y0 x1 v y w son representaciones del mismo vector

módulo o norma euclidiana: es la longitud del vector. Es decir que : 22

21 xxv +=

Si P1(x1;y1) y P2(x2;y2) son dos puntos del plano, el vector 21PP = ( x2-x1;y2-y1) y la distancia entre P1 y

P2 es la norma del vector 21PP Producto por un escalar: Siendo α un número real, definimos el producto α v = α(x1;x2) = (αx1 ; αx2). Suma de vectores u= (u1;u2) v = (v1;v2) u + v = (u1+v1 ; u2+v2 ) Propiedades

u,v ∈ R2 : u + v = v + u u,v,w ∈ R2 : u + (v+w) = (u+v) +w 0 = ( 0;0) elemento neutro: u+0 = u

Prof A. Schilardi 2008 1


Vectores en R3

u

u u = (u1 ; u2 ; u3) 2

322

21 uuuu ++=

Vectores unitarios : un vector es unitario si su norma es 1. Si 1=v entonces v es un versor. Los versores cuya dirección es la de los ejes cartesianos se denominan versores fundamentales. ¿Cómo obtener un versor a partir de un vector?

un versor es av entonces av =

Demostración

un versor es av luego 1.11

=== aa

vaa

v

distancia euclidiana entre vectores: la distancia entre dos vectores u y v se define como:

vuvud −=),( Producto escalar (o producto punto) Si u y v son dos vectores en R2 o R3 y θ es el ángulo entre u y v, entonces el producto punto o escalar se define como (Antón, 164)

⎩⎨⎧

==

≠≠•

00000cos.vou

vyuvuvu

θ

( )

332211

233

222

211

2

222

22

vuvuvuvuque)uv()uv()uv(uv

uvvu21

2

demostrarcomo

cosvu

cosvu2vuPQ

++=•

−+−+−=−

−−+=θ

θ−+=

uvPQ −=

v

Q p



Propiedades:

o u • v = v • u o u •(v+w) = u • v + u • w o α (u • v) = (αu) • v α escalar

Ángulo entre vectores: vuvu

.cos •

=θ

Ángulos directores Sean i, j, k vectores unitarios a lo largo de los ejes positivos de x,y,z de un sistema de coordenadas rectangulares de un espacio tridimensional. Si v=(a,b,c) es un vector diferente de cero, entonces los ángulos a, b, g entre v y los vectores i, j, k, respectivamente, se denominan ángulos directores de v. A los números cos(a), cos (b), cos(g), se los denomina cosenos directores de v. Propiedades: sea v = (a,b,c) un vector de R3, y a, b, g sus ángulos directores, entonces:

a) cos( a) = va

b) cos2(a) + cos2(b) + cos2(g) = 1 Producto vectorial o producto cruz Si u(u1;u2;u3) y v(v1;v2;v3) son vectores de R3 entonces u × v es un vector definido por: u × v = (u2v3-u3v2 ; u3v1 – u1v3 ; u1v2 – u2v1) que en notación de determinantes es:

321

321uzyx

vvvuuvu =×



Propiedades:

u × v = -(v × u) u ×(v+w) = u ×v + u ×w k.(u ×v) = ku × v = u × kv k escalar u × 0 = 0 u × u = 0 2222 )( vuvuvu •−=×

Interpretación geométrica

θ

θ

θ

θ

senvuvu

vu

vuvuvu

sen

.

)cos1(.

)cos.(

2

222

2222

=×

−=

−=×

43421

v

u h

vusenvuhbA ×=== θ.

Producto mixto: Si u , v , w son vectores de un espacio tridimensional, entonces u• ( v × w) se denomina producto mixto y se calcula como :

321

321

321

)(wwwvvvuuu

wvu =×•

positivo) (siempre )wv(uV

cosu.wvhlog).parale(supV

cosuuproyh

logparaleerfsupwv

wv

×•=

α×==

α==

=×

×

α

h w

v

u Propiedad:

o (u × v ) • w = u • (v × w)



RECTAS EN R3 (Grossman, 204)

);;.();;(

.);;(OP

OP

321000

000

00

0

vvvzyxOP

vzyx

PPOP

vPP

λ

λ

λ

+=

+=

+=

=

R

v

P0(x0;y0;z0)

P(x,y,z)

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

+++=+=

30

20

10

302010

321000

);;();;();;();;(

vzzvyyvxx

vzvyvxzyxvvvzyxOP

λλλ

λλλλ

Ecuaciones simétricas:

3

0

2

0

1

0

vzz

vyy

vxx

−=

−=

−=

λ

λ

λ

3

0

2

0

1

0

vzz

vyy

vxx −

=−

=−



PLANOS EN R3

uvOPOP

uvPP

PPOPOP

210

210

00

λλ

λλ

++=

+=

+=

u

P(x;y;z) P0(x0;y0;z0)

v

ecuación vectorial del plano

Ecuación general (Grosssman, 208)

[ ]

0)nznynx(znynxn

0nzznnyynnxxn

0n)zz(n)yy(n)xx(

0)n;n;n()zz;yy;xx(

0)n;n;n()z;y;x()z;y;x(

0nPPnPPPP

n normal vector n)n;n;n(

z0y0x0zyx

z0zy0yx0x

z0y0x0

zyx000

zyx000

000

zyx

=++−++

=−+−+−

=−+−+−

=•−−−

=•−

=•→⊥→π∈

π⊥→=

π P(x;y;z)

P0(x0;y0;z0)

n(nx;ny;nz)

Ecuación general del plano



ESPACIOS VECTORIALES Definición: Sea V un conjunto en el cual se definen las operaciones de adición y multiplicación por un escalar. Se dice que el conjunto V con estas operaciones es un ESPACIO VECTORIAL si satisface:

A1) x∈ V , y∈ V : (x+y) ∈ V A2) (x+y)+z = x+(y+z) para todo x,y,z ∈ V A3) existe un e ∈ V tal que : x+e = e+x = x A4) para cada x∈ V existe un – x∈ V tal que : x+(-x) = e A5) x+y = y+x para todo x,y ∈ V A6) x∈ V, α∈ R entonces : α.x ∈ V A7) α, β ∈ R y x∈ V entonces : (α + β)x = αx + βx A8) α ∈ R y x,y ∈ V entonces: α(x+y) = αx + αy A9) α, β ∈ R , x ∈ V entonces : (α.β) x = α( βx) A10) x ∈ V entonces : 1.x = x

Propiedades:

P1) con 0∈ R y u ∈ V (espacio vectorial) 0 .0?=u

Demostración: 0.u = (0+0) u = 0.u + 0.u ⇒ 0.u = 0.u + 0.u ⇒ 0.u + (-0.u) = 0.u + 0.u + (-0.u) ⇒ 0 = 0.u

P2) (-1).u u ∈ V (espacio vectorial) u−=?

Demostración: 0 = 0.u = (1+ (-1)).u = u+(-1). u ⇒ 0 = u+(-1)u ⇒ 0+(-u) = u+(-1) u + (-u) ⇒ -u = (-1)u

P3) con 0∈ V (espacio vectorial) y k ∈ R 00.?

=kDemostración: k.0= k(u+(-u) ) = k.u + k.(-u) = ku + (-ku) = 0 ⇒ k.0 = 0 SUBESPACIOS VECTORIALES Definición: “un subconjunto S ≠ ∅ de un espacio vectorial V es subespacio de V si S es espacio vectorial por sí solo, bajo las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V”.



Teorema (condición necesaria y suficiente para la existencia de subespacios) “V es espacio vectorial y S es subconjunto de V, distinto del conjunto vacío. Entonces S es subespacio de V sí y solo sí:

S es cerrado para la adición de vectores. S es cerrado para el producto por un escalar

Demostración

⇒ ) S es subespacio se verifican las dos condiciones enunciadas. ?⇒

Si S es subespacio de V entonces es espacio vectorial por sí mismo. Por lo tanto, como las dos condiciones corresponden a dos de los axiomas de espacio vectorial, está demostrado.

⇐ ) se verifican las dos condiciones S es subespacio vectorial. ?⇒

Por hipótesis es un subconjunto de un espacio vectorial y muestra las mismas propiedades de V. (axiomas A2,A5,A7, A8,A9) . Además los axiomas A1 y A6 corresponden a las dos condiciones, por lo tanto faltaría demostrar que se verifican los axiomas del elemento neutro y del opuesto. Por ser cerrado para el producto por un escalar : k.u ∈ S con k ∈ R y u ∈ S

- Si k = 0 entonces 0.u ∈ S entonces 0.u = 0 ∈ S . - Si k = -1 entonces -1.u ∈ S entonces -1.u = -u ∈ S

Propiedad: “ sea S un subespacio de V entonces S contiene al vector nulo” Combinación lineal Sea un espacio vectorial V . Sean v1,v2,.....,vn vectores de V y λ1, λ2,...., λn escalares. Se dice que la expresión λ1v1 + λ2 v2 + ......+ λn vn es una combinación lineal de los vectores de V. (Antón, 270) Propiedad: Si v1,v2,.....,vn son vectores de un espacio vectorial V, entonces el conjunto W de todas las combinaciones lineales de v1,v2,.....,vn es un subespacio de V. Demostración:



α1, α2, ....., αn ∈ R y β1, β2,...., βn ∈ R α1v1 + α2v2 + .....+ αn vn es una combinación lineal de v1,v2,.....,vn β1 v1 + β2 v2 +.... + βnvn es otra combinación lineal de v1,v2,.....,vn entonces : (α1+β1) v1 + (α2 +β2) v2 + .....+ (αn + βn) vn es una combinación lineal de v1,v2,.....,vnLuego es cerrado para la suma.

k∈ R y α1v1 + α2v2 + .....+ αn vn es una combinación lineal de v1,v2,.....,vn

k( α1v1 + α2v2 + .....+ αn vn ) = (k.α1)v1 + (k.α2 )v2 + .....+ (k.αn) vn combinación lineal de v1,v2,.....,vn. Entonces es cerrado para el producto por un escalar.

Como W es cerrado para la suma y el producto por un escalar, entonces es subespacio de V.

Espacio generado Sea S = { v1,v2,.....,vn } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V. Entonces el conjunto W de todas las combinaciones lineales de los vectores de S se denomina espacio generado por v1,v2,.....,vn , y se dice que los vectores v1,v2,.....,vn generan a W. (Antón, 272) Independencia lineal Sea S = { v1,v2,.....,vn } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V. Entonces la ecuación λ1v1 + λ2 v2 + ......+ λn vn = 0 tiene al menos una solución que es : λ1 , λ2 ,....... ,λn = 0. Si ésta es la UNICA solución entonces S es un conjunto linealmente independiente. Si existen otras soluciones entonces S es linealmente dependiente. (Antón, 277) Teorema 1 Un conjunto S con dos o mas vectores es linealmente dependiente si y sólo sí al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los demás vectores de S. (Antón, 279) Demostración

⇒ ) S es linealmente dependiente un vector es C.L de los demás. ?⇒

Si S es linealmente dependiente entonces λ1v1 + λ2 v2 + ......+ λn vn = 0 con λi ≠ 0 Supongamos que λ1 ≠ 0 entonces λ1v1 = - λ2 v2 - ......- λn vn

nn vvvv1

31

32

1

21 ........

λλ

λλ

λλ

−−−−

=



Luego v1 es combinación lineal de los demás.

⇐ ) un vector es C.L de los demás S es linealmente dependiente ?⇒

supongamos que v1 es combinación lineal de los demás, entonces

v1 = λ2 v2 + λ3 v3 +......+ λn vn

v1 - λ2 v2 - λ3 v3 -......- λn vn = 0 ⇒ λ1 = 1 entonces S es linealmente dependiente. Teorema 2 a) Sea S = { v1,v2,.....,vr } un conjunto de vectores de Rn con r > n, entonces S es linealmente dependiente b) ningún conjunto con menos de n vectores generan a Rn. Demostración de a) Supongamos v1=( v11, v12,......, v1n ) v2 = (v21, v22 , ....., v2n) ..................................... vr = (vr1, vr2, ......., vrn) λ1v1 + λ2 v2 + ......+ λr vr = 0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=λ++λ+λ

=λ++λ+λ=λ++λ+λ

0v.........vv....................................................0v.........vv0v.........vv

nrrn22n11

2rr222121

1rr212111

Entonces existen soluciones no triviales, luego S es linealmente dependiente como queríamos demostrar. Teorema 3 Todo vector no nulo de un espacio vectorial constituye un conjunto linealmente independiente. Demostración: Sea V un espacio vectorial y u ∈ V con u ≠ 0 Para que { u } cumpla la definición de L.I debemos demostrar que : α.u = 0 ⇒ α = 0



α.u = 0 ⇒ α = 0 ò u = 0 Entonces : α = 0, luego {u} es L.I Teorema 4 El vector nulo de cualquier espacio vectorial es un conjunto linealmente dependiente. Demostración Para cualquier α ∈ R, α ≠ 0 se verifica que : α.0 = 0 luego {0} es L.D Teorema 5 Todo conjunto al que pertenezca el vector nulo es linealmente dependiente. Demostración A = { u1, u2 , .....,un } con uj = 0 Se verifica que: λ1v1 + λ2 v2 +.. ..+ λj vj +.....+ λn vn = 0 0v1 + 0 v2 +.. ..+ λj vj +.....+ 0 vn = 0 con λj ≠ 0 Por lo que no necesariamente λj es cero entonces A es linealmente dependiente. Base y dimensión Sea V un espacio vectorial y B = { v1,v2,.....,vr } un conjunto finito de vectores de V. Se dice que B es una base de V si: (Antón, 290)

B es un conjunto linealmente independiente B genera al espacio vectorial V

Dimensión Sea V un espacio vectorial y B una base que consta de “n” vectores, decimos que V tiene dimensión n. Se anota dim (V). Además, por definición el espacio vectorial {0} tiene dimensión cero. (Antón, 298) Decimos que V tiene dimensión finita si hay un conjunto finito de vectores que formen una base, sino se dice que V tiene dimensión infinita. Coordenadas



Si B = { v1,v2,.....,vn } es una base de un espacio vectorial V, entonces cada vector de V se puede expresar de modo único como combinación lineal de los vectores de B. O sea: v = λ1v1 + λ2 v2 +.....+ λn vn

donde λ1 , λ2 ,....... ,λn son únicos. A los escalares se los denomina coordenadas del vector en la base B. Podemos nombrar las coordenadas de un vector como los elementos de una matriz de nx1 tal que:

[ ] esta matriz es la matriz de coordenadas de v respecto a B

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

Bv

λ

λλ

M2

1

Teorema Para una base, las coordenadas de un vector son únicas. Demostración Sea V un espacio vectorial y B = { v1,v2,.....,vn } una base de V. Entonces existen λ1 , λ2 ,....... ,λn escalares tales que λ1v1 + λ2 v2 +....+ λn vn = u ∈ V supongamos que existe otra: α1v1 + α2 v2 +.. ...+ αn vn = u ∈ V (λ1-α1) v1 + (λ2- α2) v2 +....+ (λn - αn ) vn = 0 Entonces λ1-α1 = 0 → λ1 = α1

λ2- α2 = 0 → λ2 = α2 λn - αn = 0 → λn = αn Luego los escalares son únicos. Cambio de base Si se cambia la base de un espacio vectorial de una base inicial B = { u1,u2,.....,un } a una nueva base B’= { u’1,u’2,.....,u’n } entonces la matriz de coordenadas inicial [v]B está relacionada con [v]B’ por medio de la ecuación

[v]B’ = P. [v]B Donde las columnas de P son las coordenadas de los vectores de B con respecto a la base B’ [ ] [ ] [ ][ ''2'1 ......... BnBB uuuP MMM= ] matriz de transición de B → B’ (Antón, 401)



Alumno: Curso: fecha: Evaluación:

1) En los siguientes enunciados una sola es la respuesta correcta. Márquela con una cruz. El volumen de la caja determinada por los vectores (1;4;0) , (1, 3, 3) y (0,1,-2) es igual a

10 ( ) 0 ( ) -1 ( ) 1 ( ) NRAC ( ) la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,-1,3) y (1,0,-1) es

(x,y,z)=(2,-1,3) + k(1,0,-1) , k ∈R ( ) 431

12

−−

=+=−− zyx ( )

311 −

==−zyx (

) (x,y,z)= (1,0,-1) + k(2,-1,3) ( ) NRAC ( )

si en R3 se considera el conjunto de vectores S={u;v;w} entonces se puede asegurar que: S es una base de R3 ( ) S es linealmente independiente ( ) S genera a R3 ( ) NRAC ( ) Sea S={(t;-t ; r ; s) ∈R4} el espacio solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo,

entonces una base de S es: {(1;-1;0;0) ;(0;0;1;0) ; (0;0;0;1)} ( ) {(1;-1;0;0);(0;0;1;1)} ( ) {(1;-1;1;1)} ( ) NRAC ( ) La matriz de cambio de base o de pasaje de la base {(-1;0);(0;1) } a la base canónica es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

1001

P ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=10

01P ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0110

P ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

P

NRAC ( )

2) Completar las siguientes proposiciones: o La norma de un vector perteneciente a la circunferencia de radio 1 en R2 es ................... o El ángulo entre el eje y y la recta (x,y,z)=(1,2,-1) + k(2,3,0) , k ∈R es ........... o el valor de h para que los vectores (2,3,1),(h, -6,-2) y (1,-1,0) sean coplanares es............. o la ecuación del plano paralelo a z = 3 que pasa por el origen es........................... o la distancia entre los puntos (1,-1,0) y (2,-2,3) es................................. o un vector ortogonal al plano determinado por los vectores (-1,1,2) y(3,1,0) es.............. o un ejemplo de conjunto de vectores linealmente dependientes en R3 es .................. o el vector de coordenadas de v = (1;-2) en la base {(0;-1);(2;0) } es.........



o una base del subespacio S = { (x;y;z) ∈ R3 / y = 0} es ................ o la norma euclidiana del vector u=(1;0;-1;-4) de R4 es........... o un ejemplo de un conjunto generador de R3 y que no sea base de R3 es.............. o la dimensión del espacio generado por {(1;0;2);(1;0;0);(0;1;0)} es..............................

3) Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−+=−+=−+

3

2

1

0333 022

02

πππ

zyxzyx

zyx

3.1) interpretar geométricamente el conjunto solución. 3.2) Hallar la ecuación de una recta ortogonal al plano π3 y que pase por el origen. 3.3)3 determinar un punto que pertenezca al plano π2. 3.4) determinar un plano paralelo no coincidente al plano π1.


ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR Producto interior (Antón,339) Definición: “un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función que asocia a cada par de vectores u y v de V, un número real < u; v > de forma que los siguientes axiomas se cumplen para los vectores u,v,w en V y escalares k.

o A1 ) < u; v > = < v; u > o A2 ) = < u; w > + < v ; w > o A3) < k.u; v > = k. < u; v > o A4 ) < u; u > donde < u; u > = 0 ⇔ u = 0 0≥

Propiedades

< 0; u > = < u; 0 > = 0 Demostración: < 0; u > = < 0 + 0; u > = < 0; u > +< 0; u > ⇒ 0 = < 0; u >

< u; v + w > = < u; v > + < v ; w > Demostración < u; v + w > = < v + w ; u> = < v; u > + < w ; u > = < u; v > + < u; w >

 = k < u; v > Demostración: = < k.v ; u > = k. < v ; u > = k. Desigualdad de Cauchy-Schwarz Sean u,v dos vectores de un espacio vectorial real con producto interior, entonces:

vuvu .; ≤>< (Antón, 354) Otras expresiones equivalentes:

222

2

;

;.,;

vuvu

vvuuvu

><

><>≤<><


1

Norma o longitud Sean u un vector de un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma o longitud de un vector u se define como:

21

; >=< uuu Propiedades (Antón, 355)

0≥u

00 =⇔= uu

ukuk .. =

vuvu +≤+ desigualdad triangular Distancia entre dos vectores Sean u,v dos vectores de un espacio vectorial con producto interior, entonces la distancia entre u y v se define como: vuvud −=);( Propiedades

• 0)v;u(d ≥• vu0)v;u(d =⇔=• );();( uvdvud =• desigualdad triangular );();();( wvdwudvud +≤

Ángulo entre vectores

vuvu

.;cos ><

=θ Vectores ortogonales En un espacio vectorial con producto interior dos vectores u y v son ortogonales si = 0


2

Teorema de Pitágoras generalizado Si u y v son dos vectores ortogonales en un espacio vectorial con producto interior entonces

222 vuvu +=+ Demostración:

222 vuv;vu;vv;uu;uvu;vvu;uvu;vuvu +>=<+><+><+>>=<+<+>+>=<++=<+ Bases ortonormales Un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interior se denomina conjunto ortogonal si todas las parejas de vectores distintos en el conjunto son ortogonales. Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma uno se denomina conjunto ortonormal. Si este conjunto es base de un espacio vectorial, se denomina base ortonormal. Teorema Todo conjunto ortogonal de vectores al que no pertenece el vector nulo es linealmente independiente. Demostración Sea W = { v1;v2;....;vn} un conjunto ortogonal con vi ≠ 0 Suponga que: w = λ1 v1 + λ2 v2 + .... + λn vn = 0 (1) hagamos: < w ; vi > = < 0; vi > = 0 entonces: < w; vi > = λ1 < v1 ; vi > + λ2 < v2; vi > + .... + λn < vn ; vi > = 0 (2) como W es ortogonal: <vj ; vi > = 0 ⇔ i ≠ j entonces por (2) se reduce a: λi < vi ; vi > = 0 Por hipótesis: vi ≠ 0 ⇒ λi = 0 como i es arbitrario: λ1 = λ2 = .......= λn = 0 luego W es linealmente independiente. Matriz ortogonal Se dice que Q es una matriz ortogonal si los vectores columna de Q forman una conjunto ortonormal de Rn (con el producto euclideano).


3


Teorema Si Q es una matriz ortogonal, entonces Q es invertible y además: Q-1 = Qt. Propiedades

la inversa de una matriz ortogonal es ortogonal el producto de matrices ortogonales es ortogonal si Q es ortogonal, entonces det(Q) = 1 ó det(Q) = -1


4

Alumno: Curso: fecha: Evaluación 1) En los siguientes enunciados una sola es la respuesta correcta. Márquela con una cruz.

o Sean los vectores u=(u1;u2) y v=(v1;v2) en R2 . La función definida por: = 4u1v1-3u2v2 : No es producto interior porque no verifica el axioma de simetría ( ) No es producto interior porque no verifica el axioma de homogeneidad ( ) No es producto interior porque no verifica el axioma de positividad ( ) Es producto interior ( ) NRAC ( )


5


TRANSFORMACIONES LINEALES Definición: Si T: V→ W es una función de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación lineal de V en W si para todos los vectores u,v de V y todos los escalares λ se cumple :

T (u + v) = T(u) + T(v) T (λu) = λ T(u)

Nota: en el caso en que V = W se dice que T es un operador lineal sobre V.(Antón, 447) Expresión matricial: Sea T: R2 → R3 tal que T(x1;x2) = (x2 ; x1 ; x1+x2) se puede escribir como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

21

1

2

2

1 .110110

xx

T matrices como o xx

xxxx

xx

T

T(u) = A.u Teorema Si T es una transformación lineal de Rn en Rm, entonces existe una matriz A de mxn tal que T(x) = A.x Además, siendo B = { e1;e2;.....;en) una base de Rn, el j-ésimo vector columna de A está dado por: aj = T(ej) con j = 1,2,...,n. Demostración: Si x ∈ Rn ⇒ x = (x1;x2;......,xn) x = x1 e1 + x2 e2 + .....+ xn en T(x) = x1 T(e1) + x2 T(e2 ) + .....+ xn T (en)



[ ] xA

x

xx

aaaxT

n

n .)( 2

1

21 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

MLMM

Propiedades: (Antón, 453) Si T: V → W es una transformación lineal, entonces:

o T( 0v ) = 0w Demostración: T(0) = T (0.v)=0.T(v) = 0 o T(-v) = - T(v) para todo v de V Demostración: T(-v) = T((-1).v) = (-1).T(v) = -T(v) o T(v-w) = T(v) – T(w) para todo v,w de V. Demostración: T(v-w) = T(v+(-1)w) = T(v) + T((-1)w) = T(v) + (-1)T(w) = T(v) – T(w) Núcleo de una transformación lineal Sea T: V → W una transformación lineal , el núcleo de T (ker(T)) es el conjunto que consta de todos los elementos de V que se transforman en el cero de W. O sea que:

Imagen o Recorrido de una transformación lineal Sea T: V → W una transformación lineal, la imagen de T (Im(T)) es el conjunto de todos los vectores de W que son imagen de por lo menos un vector de V. O sea que:

Ker(T) = N(T) = {x∈ V ; T(x) = A.x = 0w }

Im(T) = {w∈ W ; w = T(v) para algún v de V }



Teorema: Si T: V → W una transformación lineal entonces:

1) El ker(T) es un subespacio de V. 2) El Im(T) es un subespacio de W.

Demostración de 1) Sean v1,v2 vectores del núcleo de V y k un escalar: - T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0 ⇒ v1 + v2 ∈ ker(T) - T(kv1) = k T(v1) = k.0 = 0 ⇒ k.v1 ∈ Ker(T) Luego ker (T) es subespacio de V. Demostración de 2): Sea w1 y w2 elementos de Im(T) y k un escalar. Existe un v1 ∈ V tal que T(v1) = w1 y v2 ∈ V tal que T(v2) = w2. Busquemos v1 + v2 = a ∈ V ⇒ T(a) ∈ Im(T) pero T(a) = T(v1 + v2) = T(v1) +T( v2 ) = w1 + w2 ⇒ w1 + w2 ∈ Im(T) También existe un b = kv1 ∈ V ⇒ T(b) ∈ Im(T) T(b) = T(k.v1) = k T(v1) = k.w1 ∈ Im(T) Luego Im(T) es subespacio de W. Nulidad de una transformación lineal Sea T: V → W una transformación lineal, la dimensión del núcleo de T se denomina nulidad de la transformación lineal. Teorema : Sea T: V → W una transformación lineal cuyo ker(T) = {0}. Si v1;v2;.....;vn son elementos linealmente independientes de V, entonces T( v1) ;T(v2) ;.....; T(vn) son elementos linealmente independientes de W. Demostración: Sean λ1; λ2;....; λn escalares tales que: λ1 T(v1)+ λ2 T(v2) + .... + T(vn) λn = 0 T(λ1.v1) + T( λ2v2) + .... + T( λnvn) = 0 T(λ1.v1 + λ2v2 + .... + λnvn) = 0 Como v1;v2;.....;vn son linealmente independientes entonces λ1v1 + λ2 v2 + ..... + λn vn = 0 cuando λ1 = λ2 =.... = λn = 0 Luego T( v1) ;T(v2) ;.....; T(vn) son linealmente independientes



Teorema de la dimensión Sea T: V → W una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión “n” en un espacio vectorial W entonces: O lo que es lo mismo Dim (ker(T)) + dim(Im(T)) = n Nul(T) +rango (T) = n Teorema: Sea T: V → W una transformación lineal, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes

a) T es inyectiva b) Ker(T) = {0} c) Nulidad(T) = 0 d) Im(T) = V

Demostración a)⇔ b)

a) ⇒ b) T es inyectiva ker(T) ={0} ?⇒

v ∈ Ker(T) ⇒ T(v) = 0 y T(0) = 0 ⇒ v = 0 luego ker(T) = {0}

b) ⇒ a) ker(T) = {0} T es inyectiva ?⇒

Tomemos v ≠ w dos vectores de V entonces v-w ≠ 0 (1) Debemos demostrar que no es cierto que T(v) = T(w). Si lo fuera: T(v) – T(w) = 0 ⇒ T(v-w) = 0 ⇒ v-w ∈ ker(T) o sea que v-w = 0 ⇒ v = w !!!! Luego T es inyectiva. Matrices de la transformación lineal Suponga que T: V → W una transformación lineal . Si se eligen B y B’ para V y W respectivamente, entonces para todo x en V, la matriz de coordenadas [x]B es un vector de Rn y la matriz de coordenadas [T(v)]B’ es un vector de Rm

x T T(x) ∈ W

[x]B [T(v)]B’ A



Matrices semejantes (Antón, 498) Sean A y B dos matrices cuadradas, entonces se dice:

“B es semejante a A si existe una matriz inversible P tal que B = P-1. A. P

Propiedades: Si A y B son semejantes entonces:

• A y B tienen el mismo determinante • A y B tienen el mismo rango • An y Bn son semejantes con n∈ Z+



Alumno: Curso: fecha: Evaluación: 1) En los siguientes enunciados una sola es la respuesta correcta. Márquela con una cruz.

o La dimensión del núcleo de la transformación lineal matricial definida por es: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2012

A

no existe ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) NRAC ( ) o Si A es una matriz de 5x2, entonces por el teorema de la dimensión se puede asegurar que:

La nulidad de A es como mínimo 1 ( ) La nulidad de A es 5 ( ) El rango de la transformación lineal es 0 ( ) el rango de la transformación es 2 ( ) NRAC ( )

o La matriz asociada a la transformación lineal T:R3 → R2 / T(x;y;z) = (x; y; -z) es :

) ( NRAC ) ( 1-0

1001

A ) ( 001110

A

) ( 1-10001

A ) (110001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=A

2) Completar las siguientes proposiciones:

El núcleo del operador lineal identidad I:V→ V es ....................... La imagen de la transformación lineal matricial T: R2 → R3 T(x;y) = (x;0;0) es.................. La imagen del operador lineal identidad I:V→ V es ....................... Si T:Rn → Rn es un operador lineal de matriz asociada con determinante no nulo, entonces la dimensión

del núcleo es ....... y la dimensión de la imagen es ........ 3) Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

La imagen de la transformación lineal nula 0: V → W es W ( ) Si T(0) = 0 entonces T es una transformación lineal ( ) Si A es la matriz de 2x4 de la transformación lineal matricial T y el rango de T es 2, entonces la nulidad

de T es 2. ( ) Si T:R3 → R2 / T(x;y;z) = (x+2 ; z-y ) es una transformación lineal. ( ) Si A es la matriz de 3x5 de la transformación lineal matricial T, entonces la nulidad de T es un número

entero mayor o igual que 3 y menor o igual que 5. ( ) Él núcleo del operador lineal identidad en R3 es R3 ( )



VALORES Y VECTORES PROPIOS Supongamos una transformación lineal T: V→ V y queremos hallar un v ∈ V tal que T(v) // v. O sea T(v) = λ.v ( ⊗) con λ escalar. Si 0≠λ satisface (⊗) decimos que λ es un valor propio, valor característico o eigenvalor de T y al vector v se lo llama vector propio, vector característico o eigenvector correspondiente al valor propio λ. Definición: Si A es una matriz mxn entonces un vector x diferente de cero en Rn se denomina vector propio de A si A.x es un múltiplo escalar de x. Es decir: A.x = λ.x para algún escalar λ. El escalar λ se denomina valor propio de A y se dice que x es un vector propio de A correspondiente a λ. (Antón, 415)

Det(A- λ.I) = 0

Para calcularlos: A.x = λ x ⇒ Ax - λ.x = 0 ⇒ (A- λ.I) x = 0

Ecuación característica

Los vectores propios de A correspondientes a un valor propio λ, son los vectores x distintos de cero del espacio solución de (A- λ.I) x = 0 Multiplicidad geométrica Suponga que λ es un valor propio de A, entonces la multiplicidad geométrica de λ es la dimensión del espacio característico que le corresponde . Multiplicidad algebraica La cantidad de veces que aparece (λ - λ0) en el polinomio característico es la multiplicidad algebraica de λ0 Teorema:

multiplicidad geométrica ≤ multiplicidad algebraica Si λ es un valor propio de A, entonces


1


Teorema: Si A y B son matrices semejantes de nxn, entonces tienen la misma ecuación característica y por lo tanto los mismos valores propios. Demostración: Si A y B son semejantes ⇒ B = P-1 .A .P ⇒ B - λ I = P-1 .A .P - λ I

det(B - λ I) = det ( P-1 .A .P - λ I ) = det ( P-1 .A .P - P-1 λ I.P ) = det( P-1 (A- λ I ).P) = det (P-1 ) det (A- λ I ) det (P) = det (A- λ I ) ⇒ det(B - λ I) = det (A- λ I )

Propiedades

Si λ es valor propio de A, entonces k.λ es valor propio de k.A con k∈ R. Demostración: Si λ es valor propio de A ⇒ A.x = λ.x ⇒ k.(A.x) = k. (λ.x) ⇒ (k.A).x = (k. λ).x

⇒ k. λ es valor propio de k.A

Si λ es valor propio de una matriz A no singular, entonces λ-1 es valor propio de A-1 Demostración : Si λ es valor propio de A ⇒ A.x = λ.x ⇒ A-1 A.x = A-1λ.x ⇒ I.x = λ.(A-1.x) ⇒

λ-1.x = A-1.x ⇒ λ-1 es valor propio de A-1

Si λ es valor propio de A, entonces λ4 es valor propio de A4

Demostración : Si λ es valor propio de A ⇒ A.x = λ.x

Por otro lado: A4x = A3.(A.x) = A3 (λ.x) = A2A (λ.x) = λ A2 (A.x) = λ A2 λ.x = λ2 A2 x = λ2 A.A x = λ2 A. λx = λ3 A.x = λ4.x ⇒ A4.x = λ4.x ⇒ λ4 es valor propio de A4

Si λ es valor propio de una matriz A y esta es no singular, entonces λ es no nulo. Demostración: Si λ es valor propio de A ⇒ det (A-λI) = 0 Pero si λ = 0 entonces det (A) = 0 !!!!!!

Si λ es valor propio de A, entonces (λ-k) es valor propio de A-k.I con k ∈ R

Demostración: Si λ es valor propio de A ⇒ A.x = λ.x Además: (A-k.I).x = A.x – k.Ix = λ.x -kx = (λ-k) .x ⇒ (A-k.I).x = (λ-k) .x ⇒ (λ-k) es valor propio de A-k.I


2


El determinante de una matriz es el producto de sus valores propios y la traza de dicha matriz es la suma de sus valores propios.

Diagonalización Una matriz Anxn es diagonalizable si existe una matriz D (diagonal) que sea semejante a A. O sea:

Anxn es diagonalizable ⇔ D = P-1 A P Teorema: Una matriz Anxn es diagonalizable ⇔ tiene n vectores propios linealmente independientes y además D tiene la forma:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

D

λ

λλ

L

LLLLL

L

L

000

000000

2

1

corolario: Si Anxn tiene n valores propios distintos, entonces es diagonalizable. Diagonalización ortogonal Se dice que una matriz A nxn es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q tal que:

Qt. A .Q = D Teorema: Sea Anxn entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) A es diagonalizable ortogonalmente b) A tiene un conjunto de n vectores propios ortonormales


3


Diagonalización de matrices simétricas Si A es una matriz simétrica , entonces todos sus valores propios son reales y la multiplicidad geométrica coincide con la algebraica para cada valor propio. O sea que:

Toda matriz simétrica es diagonalizable Propiedad: Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos de una matriz simétrica son ortogonales.


4


Alumno: Curso: fecha: Evaluación 1) En los siguientes enunciados una sola es la respuesta correcta. Márquela con una cruz.

o La matriz A de 4x4 es diagonalizable si Admite matriz inversa ( ) tiene rango menor que 4 ( ) tiene 4 vectores propios linealmente independientes ( ) la multiplicidad geométrica del valor propio λ1 es 2 y de λ2 es 2 ( ) NRAC ( )

o La matriz A de 3x3 es diagonalizable ortogonalmente si Tiene un valor propio de multiplicidad algebraica 2 ( ) es simétrica ( ) Tiene dos espacios característicos distintos ( ) La Multiplicidad geométrica del valor propio λ1 es 1 y de λ2 es 1 ( ) NRAC ( )

o Si A es una matriz de 3x3, det(A) = 10 y dos de sus vectores propios son λ1 = 2 y λ2 = 10, entonces los valores propios de –A son:

) (10;2;21 ) (10;2;

21

−−− -2 ; -2 ; -10 ( )

0 ; 2; 10 ( ) NRAC ( ) 2) Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

Si 2 es un valor propio de 3.A entonces 1,5 es un valor propio de A-1 ( ) Si la matriz A 2x2 tiene autovalores 2 y 3 es diagonalizable ( ) Si la matriz A es simétrica entonces los autovectores correspondientes a autovalores diferentes son

ortogonales. ( ) Sea A inversible. Si 1 es autovalor de la matriz 2 A, entonces 0,5 es autovalor de A-1 ( )


5

FORMAS CUADRÁTICAS Una forma cuadrática de 2 variables se define como una expresión del tipo: ax2 + bxy + cy2 o :

[ ] Axxyx

c2b

2ba

yx t=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Forma matricial

Una forma cuadrática se denomina definida positiva si xt A.x > 0 para todo x ≠ 0 y una matriz simétrica A. Se denomina matriz positiva definida si xt A x es una forma cuadrática definida positiva. Si xt A x ≥ 0 para todo x ≠ 0 ⇒ A y la forma cuadrática es semidefinida positiva Si xt A x < 0 para todo x ≠ 0 ⇒ A y la forma cuadrática es definida negativa Si xt A x ≤ 0 para todo x ≠ 0 ⇒ A y la forma cuadrática es semidefinida negativa Si xt A x tiene valores positivos y negativos ⇒ A y la forma cuadrática es indefinida Propiedades: Una matriz A simétrica es:

Definida positiva ⇔ sus valores propios son positivos Semidefinida positiva ⇔ sus valores propios son no negativos Definida negativa ⇔ sus valores propios son negativos Semidefinida negativa ⇔ sus valores propios son no positivos

Cónicas Las cónicas son las representaciones gráficas de ecuaciones cuadráticas en x e y. De la forma:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey +f = 0 forma cuadrática asociada


1


Una cónica no degenerada está en posición normal si se puede expresar de la siguiente manera

(y-k)2 = 2p(x-h) representa una parábola

1)()(2

2

2

2

=−

+−

bky

ahx representa una elipse

1)()(2

2

2

2

=−

−−

bky

ahx representa una hipérbola

PARÁBOLA Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de una recta fija ( directriz) y de un punto fijo (foco) no situado sobre dicha recta.

P( semiparámetro)

M

F(2p ;0)

P(x;y)

D

Ecuación cartesiana de la parábola que abraza al eje x con vértice en el (0;0)

y2 = 2 p x

Ecuación de la directriz D: x = -2p entonces x +

2p = 0

2)

2( 22 pxypxPMPF +=+−⇒=

trabajando la expresión obtenemos:

22

4422

222

22 pxpxyppxx ++=++−

simplificando y sumando nos queda:

x2 = 2 p y

x2 = -2py


2


Si el vértice de la parábola no coincide con (0;0) :

V(h;k) (x-h)2 = ± 2p(y-k)

(y-k)2 = ± 2p(x – h) Desarrollando estas ecuaciones: (y-k)2 = 2p(x-h) ⇒ y2 -2px – 2ky + k2 + 2ph = 0 Si llamamos a -2p = d -2k = e

y2 + dx +ey +f = 0 k2 +2ph = f obtenemos la ecuación general


3


HIPÉRBOLA Se denomina hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de la distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante igual a “2 a” c > a aPFPF 221 =−

22

2

221

)(

)(

yyxPF

ycxPF

++=

+−=

por lo tanto nos queda: aycxycx 2)()( 2222 =++−+− 2222 )(2)( ycxaycx +++=+− Elevando al cuadrado y desarrollando los cuadrados :

[ ]

cartesianaecuación 1

y 0b llamamos 0)()(

222(2

)()(444

2

)(442)()(442

2

2

2

2

222222222222

22222222222

2222222422222224222

222222

222

22222222222222

=−

=−⇒=−−

−==−−+−−

+++=++⇒+++=++

++−=+⇒++=−−

+++

++++=++−⇒++++++=++−

by

ax

baaxbyabaxbacyaacxaca

yacaxcaxaaxcacxycxcxaaxcacx

cuadradoalelevamosycxaaxcycxaaxc

ycxcx

ycxaaycxcxycxycxaaycxcx

a = semieje real b = semieje imaginario c = semidistancia focal

si el centro de la hipérbola está en C(h;k) : 1)()(2

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

P(x;y)

2c

F2 F1

2b

2a

Ecuación general de la hipérbola ax2 + cy2 +dx +ey +f = 0


4


ELIPSE Se denomina elipse al lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante igual a “2 a”.

F2

a > c aPFPF 221 =+

22

2

221

)(

)(

ycxPF

ycxPF

++=

+−=

aycxycx 2)()( 2222 =++++− trabajando de manera similar que en la hipérbola: a2b2-x2b2-a2y2 = 0 ⇒ ecuación cartesiana a = semieje mayor b = semieje menor c = semidistancia focal

ac excentricidad

Si el centro de la elipse no coincide con (0;0): 1)()(2

2

2

2

=−

+−

bky

ahx ecuación cartesiana

Ecuación general

2b

2c

F1

2a

12 =+ba 2

22 yx

Ecuación general de la elipse b2x2 +a2 y2 –a2b2 = 0

ax2 + cy2 + dx + ey +f = 0


5


Forma matricial Todas las cónicas tienen como ecuación general: ax2 + bxy +cy2 +dx +ey +f = 0 Forma cuadrática

[ ] [ ] 0fyx

edyx

c2b

2ba

yxK

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

321 el vector está en coordenadas de la base

canónica

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

Si la cónica está rotada ( no está en posición normal) b ≠ 0 entonces podemos girar los ejes para que en un nuevos sistema de ejes x’-y’ se encuentre en posición normal. Esto se hace así:

1. encontrar Q que diagonalice ortogonalmente a la forma cuadrática ( con los vectores propios) 2. asegurarse que esta transformación sea una rotación (det(Q) = 1)

3. cambiar las coordenadas del vector x = Q.x’ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡''

yx

Qyx

y encontrar la ecuación en el nuevo sistema x’-y’ sustituyendo: xtAx + kx + f = 0 ⇒ (Qx’)t A (Qx’) + k (Qx’) + f = 0 ⇒ (x’)t ( Qt. A .Q).x’ + (kQ) x’ + f = 0 como Q diagonaliza ortogonalmente a A entonces:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

00

..λ

λQAQt

4. Volvemos a escribir : [ ] que es : [ ] [ ] 0''

''

00

''2

1 =+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡f

yx

Qedyx

yxλ

λ

λ1 x’2 + λ2 y’2 +d’x’ +e’y’ +f = 0 No contiene el producto cruzado

Teorema de los ejes principales en R2

Sea ax2 + bxy +cy2+dx +ey +f = 0 la ecuación de la cónica y sea xt A x = ax2 + bxy +cy2 su forma cuadrática asociada., los ejes coordenados se pueden girar de modo que la ecuación de la cónica en el nuevo sistema de coordenadas sea de la forma: λ1 x’2 + λ2 y’2 +d’x’ +e’y’ +f = 0 donde λ1 y λ2 son los valores


6

propios de A. La rotación se puede efectuar mediante la sustitución x = Q x’ ( cambio de variable) donde Q diagonaliza ortogonalmente a xt A x y det(Q) = 1. Clasificación de las cónicas según sus valores propios:

• λ1. λ2 > 0 elipse • λ1. λ2 = 0 parábola • λ1. λ2 < 0 hipérbola

SUPERFICIES CUÁDRICAS Podemos aplicar lo visto a ecuaciones cuádricas con 3 variables para estudiar superficies cuádricas. Una ecuación de la forma ax2 + by2 + cz2 + dxy +e xz +f yz +g x + hy +iz +j = 0 (1) donde no todos los coeficientes a,b,c,d,....,j son cero se denomina ecuación cuádrica. A la expresión ax2 + by2 + cz2 + dxy +e xz +f yz se la denomina forma cuadrática asociada La expresión de (1) en forma matricial es:

[ ] [ ] 0

22

22

22=+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

jzyx

ihgzyx

cfe

fbd

eda

zyx

Teorema de los ejes principales en R3

Sea ax2 + by2 + cz2 + dxy +e xz +f yz +g x + hy +iz +j = 0 la ecuación de una cuádrica. Sea xt A x = ax2 + by2 + cz2 + dxy +e xz +f yz su forma cuadrática asociada. Los ejes de coordenadas se pueden girar de tal modo que la ecuación de la cuádrica en el sistema de coordenadas x’-y’-z’ sea de la forma : λ1 x’2 + λ2 y’2 + λ3

z’2 +g’ x’ +h’ y’ + i’z’ +j = 0 donde λ1; λ2 ; λ3 son los valores propios de A, la rotación se puede efectuar con la sustitución x = Q.x’ donde Q es la matriz que diagonaliza ortogonalmente a xt. A. X y det(Q) = 1


7


ELIPSOIDE

1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=++

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=−+

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=−−


8


PARABOLOIDE ELÍPTICO

cz2by

ax

2

2

2

2

=+

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

0)(c cz2by

ax

2

2

2

2

>=−


9


Alumno: Curso: fecha: Evaluación 1) Completar: a) Dada la ecuación de la cónica 3x2 +10 xy + 3y2 –16 = 0

Los autovalores de la matriz de la forma cuadrática son .............. Conociendo los autovalores de la matriz, la cónica es una ..................... La matriz P que diagonaliza ortogonalmente a la forma cuadrática es..................... La ecuación de la cónica referida al sistema rotado es.......................... El ángulo de rotación es .............................

2) En los incisos siguientes una sola es la respuesta correcta. Márquela con una cruz

La matriz es: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

300020001

Indefinida ( ) semidefinida positiva ( ) definida positiva ( ) NRAC ( )

La ecuación x2 + y = 4-x representa: Una elipse trasladada ( ) una hipérbola con eje real paralelo al eje x ( ) una parábola con directriz x = -1/4 ( ) NRAC ( )

la ecuación x2 + y2 + z2 = 4 representa: una elipse trasladada ( ) un elipsoide ( ) un hiperboloide ( ) NRAC ( )

la ecuación 25 x2 +9y2 +150 x – 18 y +9 = 0 representa: una elipse de distancia focal igual a 4 ( ) una elipse de semieje mayor igual a 25 ( ) una hipérbola de semieje real igual a 5 ( ) NRAC ( )


10

utn álgebra y geometría analítica

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