problemas – tema 5 enunciados de problemas de...

Colegio Marista “La Inmaculada” de Granada – Profesor Daniel Partal García – www.danipartal.net

Asignatura: Matemáticas Ciencias – 2ºBachillerato

Problemas – Tema 5: Enunciados de problemas de integrales

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Problemas – Tema 5

Enunciados de problemas de integrales

Hoja 11. Calcula.

a) ∫ ln2 xxdx

b) ∫ sen(x )·cos (x)dx

c) ∫x

1+5 x4dx

d) ∫1

x·ln(x )· ln [ ln(x)]dx

e) ∫ √xxdx

f) ∫x−1

√x−1dx

2. Calcula.

a) ∫ 3√ x2dx

b) ∫ √x+1x+1

dx

c) ∫ 3x2+8 x+1

x3+4 x2+xdx

d) ∫ aln2 x · ln xx

dx

e) ∫ x·√x dx

f) ∫ √x3√xdx

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Hoja 21. Calcula.

a) ∫ 4x−7x

2xdx

b) ∫ 4x−72x

2x−7xdx

c) ∫ 25ln x

x·9ln xdx

d) ∫cos (x) · esen(x)dx

e) ∫3x+1 ·cos(3x)dx

f) ∫a·cos xdx

2. Calcula.

a) ∫ senln x

(a)x

dx

b) ∫ √x+1x+1

dx

c) ∫bx db

d) ∫ ln (√e)dx

e) ∫ cos√ x√x

dx

f) ∫1

ex+e−xdx





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Hoja 31. Calcula.

a) ∫1

sen2 xdx

b) ∫1

cos2 xdx

c) ∫ tg2 x dx

d) ∫tg xcos x

dx

e) ∫ arcosen3 x

√1−x2dx

f) ∫ ln(a√ x)dx

2. Calcula.

a) ∫4 x−1

(2 x2−x+1)6dx

b) ∫7(x+ 32)5

dx

c) ∫10 x+5

x2+x+7dx

d) ∫72 xdx

e) ∫ x2+3x2+1

dx

f) ∫cos(7x )2

dx





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Hoja 41. Calcula-

a) ∫(v0+at )dt

b) ∫ 5x3+3 x2−2x+1x2

dx

c) ∫ √x+ 3√ x4√x

dx

d) ∫ √x+7x+7

dx

e) ∫1

x2+2 x+2dx

f) ∫ e2x+e3 x

exdx

2. Calcula.

a) ∫( x2+2)2dx

b) ∫(x2+5 x

√ x)dx

c) ∫22x dx

d) ∫cos (x2)dx

e) ∫2

sen2(3x )dx

f) ∫ x2(3−x2)2dx





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Hoja 51. Calcula.

a) ∫ √1+x+√1−x√1−x2

dx

b) ∫1

4+9x2dx

c) ∫(2x+3x)2dx

d) ∫5x+3

x2+4dx

e) ∫1

x ·√3x+4dx

f) ∫cotg2 xdx

2. Calcula.

a) ∫cos2 x dx

b) ∫ sen2 xdx

c) ∫7 ·cos(x )· esen xdx

d) ∫ x2

x+1dx

e) ∫ ex

ex+5dx

f) ∫(1

x2+1

x2+1)dx





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Hoja 61. Calcula.

a) ∫ √xx4dx

b) ∫1

√−x2−4x−3dx

c) ∫ ln3 xx4dx

d) ∫ln(√ x)x

dx

e) ∫1

x2+2x+10dx

f) ∫ x2

x2+1dx

2. Calcula.

a) ∫ x2

√x3+ln 7−sen π

3

dx

b) ∫4x

cos2(3x2)dx

c) ∫2x ·3x ·4xdx

d) ∫7

√1−(3x+2)2dx

e) ∫ x ·(x2+7)11dx

f) ∫7x

(x2+9)2dx





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Hoja 71. Calcula.

a) ∫1

√1−4 x2dx

b) ∫x

√1−4x2dx

c) ∫7x

√9−4x2dx

d) ∫11

√9−4x2dx

e) ∫ 3√1−3x dx

f) ∫x

3√1−3xdx

2. Calcula.

a) ∫cotg xdx

b) ∫sen x+cos x

√sen x−cos xdx

c) ∫ ex

√1−e2xdx

d) ∫ ex

1+e2xdx

e) ∫ tg xdx

f) ∫1

sen(2x)dx





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Hoja 81. Calcula.

a) ∫(7 ·5√ x2− 1

x5+6 · sen(x )−3)dx

b) ∫(cos2 x−sen2 x )dx

c) ∫(sen22x)dx

d) ∫1+2x

1+x2dx

e) ∫ √x+3√ x2

6√x5dx

f) ∫(√x+1x)dx

g) ∫(1

x2−1x+1

)dx

h) ∫tg(ln x)x

dx

2. Calcula.

a) ∫1

√1+x2dx

b) ∫tg(ln x)x

dx

c) ∫cos3 x dx

3. Calcula.

a) ∫√ex+1dx

b) ∫1

4√x−3dx

c) ∫ √ x3x+1

dx





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Hoja 9

1. a) ∫cos( 3√3x+2)dx

b) ∫√1−x2dx

2. a) ∫2 x+5

x2+x+1dx

b) ∫√ x2−1dx

3. a) ∫ 6x

62 x+6x+13dx

b) ∫1

√x · sen(√x )dx

4. a) ∫ln x

x ·√1+ ln xdx

b) ∫sen x

cos5 xdx

5. a) ∫cos x · sen5 x dx

b) ∫1

ex+4dx

6. a) ∫cos x · sen4 x dx

b) ∫arcotg x

1+x2dx





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Hoja 10

1. a) ∫tg x

cos2 xdx

b) ∫cos x

sen2 xdx

2. a) ∫3

(3x+5)2dx

b) ∫1+x1+√x

dx

3. a) ∫1

√3x+2dx

b) ∫−1

x ·√x+1dx

4. a) ∫ √1−x2

x2dx

b) ∫√9−x2dx

5. a) ∫3

(3x+5)2dx

b) ∫ x · tg2 x dx

6. a) ∫ ln(1−x1+x

)2

dx

b) ∫ ln(√x )dx





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Hoja 11

1. a) ∫ x · ln(1−x1+x

)dx

b) ∫ x · sen2 x dx

2. a) ∫ln(sen x)

sen2 xdx

b) ∫ex ·cos xdx

3. a) ∫ln(x+1)

√ x+1dx

b) ∫ sen(x )· ln(tg x)dx

4. a) ∫arcotg x dx

b) ∫arcosen xdx

5. a) ∫ x · e3xdx

b) ∫ x · earcosenx

√1−x2dx

6. a) ∫ x · ln(√1+x2)dx

b) ∫ x ·cos x dx





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Hoja 121. Calcula.

a) ∫ x2 ·cos x dx

b) ∫ x · ex dx

c) ∫x

cos2 xdx

2. Calcula.

a) ∫ x3· e−x dx

b) ∫ ln x dx

c) ∫√ x · ln xdx

3. Resuelve.

a) ∫ x2

2x2−2 x−4dx

b) ∫x

cos2 xdx

c) ∫−6 x2−5 x−5x3+x2−x−1

dx

4. Resuelve.

a) ∫4√ x1+√x

dx

b) ∫ex · sen(ax)dx

c) ∫ ln(x2)dx

5. Resuelve.

a) ∫ x·sen(x)dx

b) ∫( x+1)2 · x dx

c) ∫1

x·ln(x )dx





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Hoja 131. Resuelve.

a) ∫ x3+1x2+4

dx

b) ∫ e2x−3ex

e x+1dx

c) ∫√16−x2dx

2. Resuelve.

a) ∫ x−√xx2

dx

b) ∫cos x

sen3 xdx

c) ∫x+1

x3+x2−6 xdx

3. Resuelve.

a) ∫ x2 · ex dx

b) ∫cos x

sen3 xdx

c) ∫ f (x)dx si f (x)={1−2 x si x≤11 si x>1 }

4. Hallar la función F(x ) que cumple que tiene un mínimo en el punto (0,4) , un punto de inflexión enel punto de abscisa x=1 y que F ' ' ( x)=2

5. Hallar la función f (x) que cumple (x+1) · f ' (x )−ln (x+1)=0 y f (0)=0 .

6. Hallar la primitiva de la función f (x)=3

(x+1)2que pasa por el punto (0,1) .

7. Halla la ecuación de una función que pasa por el punto (1,−4) sabiendo que la pendiente de la recta

tangente a dicha curva en cualquier punto viene dada por f (x)=3 x2+3 .





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Hoja 141. Determina la ecuación de la curva F(x ) que verifica que F(1)=2 , F '(0)=3 yF ' '( x)=12 x+3 .

2. Determina la ecuación de la curva F(x ) que verifica que F(0)=−5 , tiene un mínimo relativo en el

punto de abscisa x=2 y F ' '( x)=6x2−12x .

3. Resuelve.

a) ∫arcosen(x )dx

b) ∫ x·arcotg(x )dx

c) ∫ x·2x ·3x dx

4. Resuelve.

a) ∫sen (√ x)

√x ·(1+cos2(√x ))dx

b) ∫ ln(1x)dx

c) ∫e√x+1 ·(x+1)−12 dx

5. Resuelve.

a) ∫1

x·(1+ln2 x)dx

b) ∫ ln(1x)dx

c) ∫ln(√ x)

√xdx

d) ∫cos x

sen x+cos xdx

e) ∫cotg3 xdx

f) ∫ x·arcotg(x+1)dx

g) ∫ x4 ·cos(2 x)dx

h) ∫ x2 · sen (3 x)dx





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Hoja 151. Resuelve.

a) ∫ [1− ln(x+1)]dx

b) ∫ e x

(e2x−1)(ex+1)dx

c) Determina la función f :(0,+∞)→ℝ tal que f ' ' (x)=1x

y su gráfica tiene tangente horizontal en el

punto P(1,1) .

2. Resuelve.

a) ∫ x3+ x2

x2+x−2dx

b) ∫(√x−2x )dx

c) Sea la función f : (0,+∞)→ℝ tal que f (x)=x (1−ln(x)) . Determina la primitiva de f (x) cuyagráfica pasa por el punto P(1,1) .

3. Resuelve.

a) ∫( x·cos(x ))dx

b) Obtener una función derivable f :ℝ→ℝ sabiendo que f (1)=−1 y que:

f ' (x)={x2−2 x si x<0ex−1 si x≥0 }

c) ∫ ln(4−x)dx

4. Resuelve.

a) Sea la función f=x·ln(x+1) definida para x>−1 . Determina su primitiva que pasa por el puntoP(1,0) .

b) ∫2−xx+1

dx

c) ∫ ex

1+√exdx

d) ∫√3+2 x−x2dx

e) ∫ cos3 x

sen4 xdx





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Hoja 161. Resuelve.

a) Sea la función f :ℝ→ℝ tal que f ' (x)=(2x+1)e−x . Determina la primitiva de f (x) cuya gráficapasa por el origen de coordenadas.

b) ∫ x2

x2−6 x+5dx

c) Sea la función f :ℝ→ℝ tal que f ' (x)=ln(x2+1) . Determina la primitiva de f (x) cuya gráficapasa por el origen de coordenadas.

2. Resuelve.

a) Sea la función f :ℝ→ℝ tal que f ' (x)=x2 ·cos x . Determina la primitiva de f (x) cuya gráficapasa por el punto (π ,0) .

b) ∫ x3−4 x−x−2

dx

c) ∫ x2−2x−x2+4 x

dx

3. Resuelve.

a) ∫x

1+√1−xdx

b) ∫(1−x2) · e−xdx

c) ∫1

x+√xdx

4. Resuelve.

a) ∫ x·sen (x)dx

b) ∫x+11+√x

dx

c) ∫ x2

2x2−2 x−4dx

d) ∫1

x2√25−9 x2dx

e) ∫1

x2√4+ x2dx





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Hoja 171. Resuelve.

a) ∫ x·cos2 x dx

b) ∫x+9

(x+1)( x−3)dx

c) ∫ ln (1−x1+x

)2

dx

2. Resuelve.

a) ∫cos3 x

b) ∫x

√1−2x2−4 xdx

c) ∫√1+sen (x)dx

3. Resuelve.

a) ∫2

√x−√2dx

b) ∫cos x1−cos x

dx

c) ∫x

axdx

4. Resuelve.

a) ∫x1−x

dx

b) ∫1

cos4 xdx

c) ∫ sen(2 x)cos(x)dx

d) ∫ 4 x3

x2+xdx

e) ∫ 4 x3

x2+x+1dx





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Hoja 181. Resuelve.

a) ∫1

1+ tg2 xdx

b) ∫1

1+cotg2 xdx

c) ∫1

cos3 x−sen3 xdx

2. Resuelve.

a) ∫√ex+1dx

b) ∫ln(1x)

xdx

c) ∫tg(√x )

√xdx

2. Resuelve.

a) ∫1

4√x−3dx

b) ∫ 3√ x−3dx

c) ∫tg(√x )

√xdx

3. Resuelve.

a) ∫ x·ln(1+ x1−x

)dx

b) ∫ln(sen x)

sen2 xdx

c) ∫ex ·cos xdx

d) ∫ sen(x )· ln(cos x)dx

e) ∫ sen4 (x) ·cos2 x dx





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Hoja 191. Resuelve.

a) ∫ex ·cos xdx

b) ∫ln(x+1)

√ x+1dx

c) ∫ln(x+2)

√ x+1dx

2. Resuelve.

a) ∫cos ( 3√3x+2)dx

b) ∫√1−x2dx

c) ∫1

√x2+1dx

3. Resuelve.

a) ∫ sen(x )· ln(tg x)dx

b) ∫ a−√x1−

3√ xdx

c) ∫ln(x+2)

√ x+1dx

4. Resuelve.

a) ∫√ x2−1dx

b) ∫2 x+5

x2+x+1dx

c) ∫a

√x+a+√x−adx

d) ∫( ln x)2dx

e) ∫ ln x dx

f) ∫ x·ln(√1+ x2)dx

g) ∫1

(2 x2+1)√1+x2dx





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Hoja 201. Resuelve.

a) ∫1

1+cos2 xdx

b) ∫arcotg( x)dx

c) ∫ e x

e2x+6ex+13dx

2. Resuelve.

a) ∫ex ·√ex+1dx

b) ∫1

√x · sen(√x )dx

c) ∫arcocos x dx

3. Resuelve.

a) ∫ln x

x·√1+ln xdx

b) ∫(√x+1x)2

dx

c) ∫3x+4

x2−9dx

4. Resuelve.

a) ∫1

ex+4dx

b) ∫−1

x·√x+1dx

c) ∫ x √1−x2dx

d) ∫ √1−x2

x2dx

e) ∫ x3 · e−x dx

f) ∫√−x2+4 x+5dx





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Hoja 21

1. Sea f (x )=∣x∣2

y g ( x)=1

1+x2. Esboza las gráficas de ambas funciones sobre los mismos ejes,

calcula los puntos de corte de ambas gráficas y calcula el área limitada por ambas gráficas.

2. Sea f (x )=x ln (x+1) definida para x>−1 . Determina la primitiva de la función cuya gráfica pasapor el punto (1,0) .

3. Usa el cambio de variable t=ln( x) para resolver ∫ 1+3 ln(x )+ ln3(x )

x [1−ln 2(x)]

dx .

4. Calcula ∫ x2 sen(2 x)dx .

5. Calcula ∫ 2 x3−3 x2

−2 x−1x2

−x−2dx .

6. Sea f (x )=12−sen( x) . Dibuja la gráfica de la función en el intervalo [0, π

2] . Obtener el área

encerrada en ese intervalo entre la gráfica de la función y el eje horizontal.

7. Realiza un boceto de la función f (x )={sen( x) si x∈[−2π , 0]

x2−2 x si x∈[0,3] } . Calcula el área encerrada por la

gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas verticales x=−1 y x=3 .

8. Calcula ∫0

1(x2

+x+1)e− x dx .

9. Sea A(c) el área encerrada por f (x )=1+ x2

x4 , el eje de abscisas, y las rectas verticales x=1 y

x=c (el área final queda en función del parámetro c ). Calcula dicha área y el valor del límitelimx→∞

A(c) .





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Hoja 221. Hallar el polinomio de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P (1,0) , que tiene portangente en el punto de abscisa x=0 la recta de ecuación y=2 x+1 , y que su integral entre 0 y 1vale 3.

2. Calcula el área limitada por f (x )=e x

(1+e x)

2, el eje OX y las rectas x=0 y x=ln(5) .

3. Calcula el área de la región limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las funciones y=x ,

y=4x2e y=9 .

4. Calcula el área limitada por la curva y=( x+1)e2 xy las rectas x=0 , x=1 e y=0 .

5. Calcula el área limitada por la función f (x )=cos (x) con el eje horizontal, en el intervalo [0, 2π] .

6. Calcula ∫1

2 −2

x3dx+∫π

2 π

(−sen (x )· e sen( x)+cos2

( x) · esen (x))dx .

7. Calcula ∫0

1 ex

e2x+3 e x

+2dx .

8. Realiza un boceto de la región limitada por la gráfica de f (x )=−x2y la recta normal a la gráfica en el

punto x=1 . Calcula el área de dicha región.

9. Sean f (x )=sen( x) y g ( x)=cos (x ) . Calcular el área de la región del plano encerrada entre las

gráficas de ambas funciones y las rectas x=π4

y x=9π

4.

10. Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de f (x )=x4+4 x3

y el eje OX .

11. De todas las primitivas de f (x )=tg (x) , encuentra la que pasa por el punto de coordenadas(0,2) .





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Hoja 231. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x )=x · cos( x) y el eje de abscisasentre x=0 y x=π .

2. Calcula.

a) ∫1

x2− x

dx

b) ∫ x · sen(2 x)dx

3. Calcula el área de cada una de las dos regiones en que divide esa curva f (x )=1−14

x2al círculo de

centro (0,0) y radio 2 .

4. Realiza un boceto del recinto del plano limitado por la curva y=−x2+2 x y por la curva

y=x2−10 x . Calcula el área de dicho recinto.

5. ∫ 4 x3

x2+x

dx

6. ∫ sen (x) · ln(cos (x ))dx

7. ∫ x · ln(√1+x2)dx

8. ∫ x2 e2 x dx





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Hoja 24

1. ∫ √1−x2

x 2 dx (ayuda: x=sen (t) )

2. ∫−1

x ·√ x+1dx (ayuda: x+1=t 2

)

3. ∫1

ex+4

dx (ayuda: e x=t )

4. ∫ √ x+3√ x2

6√ x5dx

5. ∫ x2+ x+1

x3+2 x2

− x−2dx

6. ∫ sen2(2 x )dx

7. ∫arctg (x )

1+ x2 dx

8. ∫ x · earcsen (x)

√1−x2dx

9. ∫(75√ x2

−1

x5+6 sen( x)−3)dx

10. ∫3 x+4

x2−9

dx

11. ∫1

3√1−3 xdx





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Hoja 25

1. ∫2 x+3

x (x−1)(x+1)

2. ∫7 x

( x2+9)2

dx

3. ∫(2x+3x

)2 dx

4. ∫√ x ·√x dx

5. ∫ x · ln(1+x1− x

)dx

6. ∫ x · sen2( x)dx

7. ∫ln(sen (x ))

sen2(x )dx

8. ∫1

√√x−3dx (ayuda: x=t 4

)

9. ∫x

exdx

10. ∫√e x+4dx

11. ∫√1+sen( x)dx (ayuda: 1=sen2(

x2)+cos2

(x2) , sen( x)=2 sen(

x2)cos (

x2) )


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