1 Manual para Docentes

Colección de Problemas Enunciados y soluciones

Olimpiada Akâ Porâ Olimpiada Nacional de Matemáticas de Educación de Jóvenes y Adultos

El libro Manual para Docentes – Colección de Problemas 1 es una obra colectiva creada en OMAPA

por el siguiente equipo:

Autores Gabriela Gómez Ingrid Wagener

Rodolfo Berganza

Diseño de Tapas Karina Palleros

¿Qué es OMAPA?

OMAPA (Olimpiadas Matemáticas Paraguayas), fue creada hace 20 años por un grupo de jóvenes y docentes, amantes de las matemáticas, y fue desarrollándose, a pulmón, hasta constituirse hoy en día en una entidad independiente, no gubernamental, sin fines de lucro, que administra principalmente voluntades. Desde su creación es miembro de la Federación Iberoamericana de Competencias Matemáticas y desde el año 2002 está asociada a AVINA. Los fines principales de OMAPA son: ayudar a los jóvenes estudiantes del Paraguay al máximo desarrollo de sus capacidades intelectuales lógico-matemáticas, y la aplicación de las mismas en la resolución de problemas (no sólo matemáticos). La promoción de las actividades relacionadas con la investigación y educación matemática, desarrollando y apoyando programas – preferentemente de alcance nacional – en el ámbito de las ciencias matemáticas, como así también en el de la cultura y la educación en general, que contribuyan a elevar la calidad de vida de los hombres y mujeres del Paraguay, promoviendo mediante el mejoramiento de su formación intelectual, el respeto de su dignidad de personas, y el desarrollo orgánico e integral de las mismas. Los objetivos de OMAPA, se enmarcan dentro de los propósitos generales de la Reforma Educativa, en el sentido de favorecer la creatividad, la innovación y la iniciativa autogestionaria, tratando de desarrollar el sentido de descubrimiento en los más jóvenes y proponiéndose como línea de acción: crear concursos, premios y diferentes formas de reconocimiento para jóvenes creativos con apoyo de campañas de promoción social.

¿Qué es la Olimpiada Nacional de Matemáticas? La Olimpiada Nacional de Matemáticas es una estrategia para estimular el interés de los alumnos por la materia. Participan voluntariamente alumnos de todo el país, atraídos por la gimnasia intelectual y supone la resolución de problemas de diversa índole y de distintos grados de dificultad, siempre de posible solución en el nivel de conocimiento que corresponde al ciclo cursado. Se realiza en varios niveles, para alumnos de distintas edades. En los problemas se intenta estimular, no tanto la cantidad de conocimientos, como el ingenio y la habilidad para utilizarlos. Los contenidos necesarios para resolver los problemas se corresponden con el currículum de matemáticas de cada nivel Para participar se necesita imaginación, creatividad, empeño y ganas de competir aprendiendo a pensar.

¿Qué es la Olimpiada Infantil de Matemática?

Es un torneo entre escolares, separados por categorías, que compiten en la resolución de problemas matemáticos. En los problemas se estimula no tanto la cantidad de conocimientos, sino el ingenio y la habilidad para utilizarlos. Participan en forma voluntaria, únicamente, alumnos y alumnas inscriptos en el sistema de educación formal nacional, desde el 3er. grado hasta el 6to. grado. Además de la Olimpiada Infantil de Matemática, se encuentra un proyecto interdisciplinario, denominado “Agua Fuente de Vida”, del cual participan las escuelas interesadas y que relaciona las matemáticas con las ciencias, tratando la problemática actual del agua y el uso adecuado de este recurso.

¿Qué es la Olimpiada de Matemáticas Akâ Porâ? La Olimpiada de Matemáticas Akâ Porâ está dirigida a los estudiantes del Programa de Educación Básica Bilingüe de Jóvenes y Adultos, específicamente a los estudiantes del 4º Ciclo, con perspectivas de ampliar la participación de los estudiantes de los otros ciclos en los años venideros. Está organizada, como todas las otras Olimpiadas que se realizan en Paraguay y en otros países del mundo; como una propuesta que presenta a los participantes y sus docentes un verdadero desafío individual y grupal. En este sentido para vencer el desafío tanto docentes como estudiantes se verán obligados a utilizar el máximo de su potencial en lo que respecta al razonamiento lógico-deductivo y al pensamiento crítico y la inventiva, en la búsqueda de estrategias para la resolución de problemas. La propuesta se ajusta a los Objetivos de la Educación Paraguaya, de la Educación Básica Bilingüe de Jóvenes y Adultos y del Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa (Idie) que abarca la acción de la Organización de Estados Iberoamericanos en el Paraguay. Esperamos que esta actividad permita a los estudiantes superarse como personas y lograr un crecimiento personal que los haga más hábiles para superar cualquier situación problemática que se les presente en la vida diaria.

A los docentes involucrados en las Olimpiadas de Matemáticas

Las soluciones del ejercitario tienen como objetivo orientar a los docentes sobre el enfoque de los problemas que se presentan en las Olimpiadas de Matemáticas, de modo que puedan asesorar a los estudiantes en el proceso de resolución de los mismos. En ese sentido, no es aconsejable mostrar muy pronto la solución de un problema al estudiante. Lo correcto es dejar que trabaje el problema, imagine estrategias de solución, invierta tiempo en la búsqueda de la misma y cuando se decide ayudarlo, darle orientaciones, pistas (nunca la solución), que le permitan seguir trabajando el mismo y luego, en última instancia, analizar con el estudiante la solución del problema. Esperamos que a los estudiantes participantes de este proyecto, les lleve un tiempo considerable la resolución de algunos de los problemas propuestos. Recomendamos a los docentes no quedarse con la solución del problema que se presenta, sino que busquen otros procesos diferentes. Al hacerlo podrán descubrir procedimientos más sencillos o más elegantes que los propuestos. La resolución de problemas es un proceso que puede resultar muy placentero pero que requiere esfuerzo mental. Cuando una cuestión planteada se puede resolver en forma inmediata, ¡tenemos un ejercicio, no un problema! María Luz Callejos, española y doctora en matemática, nos propone en su libro Un Club Matemático para la Diversidad unas pautas para la resolución de problemas, que a su vez ha adaptado del libro Aventuras Matemáticas del connotado matemático español Miguel de Guzmán. Las trascribimos a continuación y recomendamos que se las aplique en el aula porque son verdaderamente muy útiles.

PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Primera Fase: FAMILIARIZARSE CON EL PROBLEMA

Lee el problema lentamente, trata de entender todas las palabras. Distingue los datos de la incógnita; trata de ver la situación. Si puedes, haz un dibujo o un esquema de la situación. Si los datos del problema no son cantidades muy grandes, intenta expresar la

situación jugando con objetos (fichas, botones, papel, etc.). Si las cantidades que aparecen en el enunciado son grandes, entonces imagínate

el mismo problema con cantidades más pequeñas y haz como dice el punto anterior.

Si el problema está planteado en forma general, da valores concretos a los datos y trabaja con ellos.

Segunda Fase: BUSCA UNAS CUANTAS ESTRATEGIAS PARA SOLUCIONAR EL PROBLEMA

Lee la siguiente lista. Te puede ayudar: ¿Es semejante a otros problemas que ya conoces? ¿Cómo se resuelven éstos? ¿Alguna idea te podría servir? Imagínate un problema más fácil para empezar y así animarte. Experimenta con casos particulares, ¿te dan alguna pista natural al lenguaje

matemático? Supón el problema resuelto, ¿cómo se relaciona la situación de partida con la

situación final? Imagínate lo contrario de lo que quieres demostrar, ¿llegas a alguna conclusión? ¿El problema presenta alguna simetría o regularidad? ¿Será el caso general más sencillo que éste particular?

Tercera Fase: SELECCIONA UNA DE LAS ESTRATEGIAS Y TRABAJA CON ELLA

No te arrugues fácilmente. No te emperres con una estrategia. Si ves que no conduce a nada, déjala. Si la estrategia que elegiste no va bien, acude a otras de las estrategias que

seleccionaste o haz una combinación de ellas. Trata de llegar hasta el final.

Cuarta Fase: REFLEXIONA SOBRE EL PROCESO SEGUIDO

¿Entiendes bien tu solución?, ¿entiendes porqué funciona? ¿Tiene sentido esta solución o es absurda?

¿Cómo ha sido tu camino? ¿Dónde te atascaste? ¿En qué momento y cómo has salido de los atascos?

¿Cuáles han sido los momentos de cambio de rumbo? ¿Han sido acertados? ¿Sabes hacerlo ahora de manera más sencilla? ¿Sabes aplicar el método empleado a casos más generales? ¿Puedes resolver otras situaciones relacionadas con el tema que sean

interesantes? Les deseamos un buen trabajo. Si este material les resulta de utilidad, nos damos por satisfechos y esperamos se comuniquen con nosotros ante cualquier inquietud que tengan.

PROBLEMAS Enunciados y Soluciones

Problema 1 El cubo de la figura está pintado de tres formas diferentes, como puede verse en la misma. Cada una de las caras opuestas del cubo está pintada de la misma forma que la cara que se observa en la figura. ¿Cuál de los siguientes desarrollos corresponde al cubo?

Solución A no puede ser porque las caras negras y las caras rayadas no son opuestas. B no puede ser porque las caras negras y las caras rayadas no son opuestas. C no puede ser porque ninguna de las caras pintadas de la misma forma son opuestas. D no puede ser porque las caras negras y las caras blancas no son opuestas. E cumple todas las condiciones del problema.

La respuesta es: E Problema 2 El precio de tres paquetes de caramelos es igual al precio de cinco paquetes de galletitas. El precio de dos paquetes de caramelos y de un paquete de galletitas es 32 500 G. El precio de un paquete de caramelos es igual a: A) 20 000 G C) 5 000 G E) 2 500 G B) 7 500 G D) 12 500 G F) n d l a Solución

x → precio de un paquete de caramelos y → precio de un paquete de galletitas

Entonces:

3 x = 5 y ⇒ y = 53 x

Por otro lado: 2 x + y = 32 500 G ⇒ 2 x + 53 x = 32 500 G

Entonces: x = 12 500 G La respuesta es: D

Problema 3

Cuatro amigos Abel, César, Manu y Nico viven cerca de la rotonda de la figura. Abel debe caminar 400 m por la calle para llegar a la casa de César, César debe caminar 500 m para llegar a la casa de Manu y Manu debe caminar 600 m para llegar a la casa de Nico. ¿Cuántos metros debe caminar Nico para llegar a la casa de Abel?

A) 300 m C) 500 m E) 700 m B) 400 m D) 600 m F) n d l a

Solución

Llamamos “a” a la distancia que recorre Abel para llegar a la rotonda, “b” a la distancia que recorre César, “c” a la que recorre Manu y “d” a la que recorre Nico. Entonces: a + b = 400 m ; b + c = 500 m c + d = 600 m

Sumamos la primera y la tercera igualdad:

a + b + c + d = 1 000 m ⇒ a + 500 m + d = 1 000 m Entonces:

a + d = 500 m La respuesta es: C

Problema 4

El cubo de la figura tiene 5 de lado y está formado por cubos unitarios negros y blancos, de tal forma que dos cubos adyacentes (considerando las caras) tengan distinto color. ¿Cuántos cubos unitarios de color blanco hay?

A) 62 C) 64 E) 68 B) 63 D) 65 F) n d l a Solución Consideramos 5 cortes horizontales en el cubo, entonces tendremos 5 tableros encimados. Tres iguales a la Figura 1 y dos iguales a la Figura 2. En los tres que corresponden a la Figura 1, la cantidad de cubos blancos es:

12 × 3 = 36 Y en los que corresponden a la Figura 2: 13 × 2 = 26 En total: 36 + 26 = 62

La respuesta es: A

Problema 5 Los estudiantes de la sección de Félix se colocan en fila. Una compañera de Félix es María. María tiene 16 estudiantes detrás de ella, uno de ellos es Félix. Félix tiene 14 estudiantes delante de él, uno de ellos es María. Entre María y Félix hay 7 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes hay en total en la sección de Félix? A) 37 C) 23 E) 16 B) 30 D) 22 F) n d l a Solución 1 Comenzamos por ubicar en la fila a Félix y María:

. . . . . . . . F * * * * * * * M . . . . . . Completamos la parte que está “detrás” de María:

* * * * * * * * F * * * * * * * M . . . . . . Ahora completamos la parte que está “delante” de Félix:

* * * * * * * * F * * * * * * * M * * * * * * En total contamos 23 estudiantes.

La respuesta es: C Solución 2 Como Félix está detrás de María y hay 7 estudiantes entre ellos, entonces debe haber 8 estudiantes antes de Félix. Considerando que delante de Félix hay 14 estudiantes y que entre Félix y María hay 7 estudiantes, delante de María debe haber 6 estudiantes. Entonces, contando desde atrás, tenemos: 8 + 1 + 7 + 1 + 6 = 23 Problema 6

En las balanzas de la figura se pesan manzanas y peras utilizando pequeñas pesas de metal con forma de pirámides y cubos. ¿Cuántas manzanas se pesan con un cubo?

A) 1 C) 3 E) 6 B) 2 D) 4 F) n d l a Solución Comparando la primera y segunda balanza nos damos cuenta que 4 pirámides equivalen al peso de 1 manzana. Entonces, según la segunda balanza, 2 pirámides equivalen a 1 pera.

En la tercera balanza vemos que 1 cubo equivale a 2 peras, o sea a 4 pirámides. Pero 4 pirámides equivalen a 1 manzana, luego 1 cubo equivale a 1 manzana.

La respuesta es: A Problema 7

Juan trabaja en una fábrica de muebles y quiere saber qué hora es. Como no tiene reloj observa el reloj de cuatro compañeros.

En la figura se ve lo que observa Juan. Pero uno de sus compañeros le dice que su reloj está parado, otro le dice que su reloj está 20 minutos adelantado, el tercero le dice que su reloj está 20 minutos atrasado y el último le asegura que su reloj funciona muy bien. ¿Qué hora es? A) 4 horas 45 minutos D) 5 horas 40 minutos B) 5 horas 5 minutos E) Es imposible determinar C) 5 horas 25 minutos F) n d l a Solución • Suponiendo que el 1º marca la hora correcta, no se encuentra el reloj que está 20

minutos atrasado. • Suponiendo que el 2º marca la hora correcta, vemos que sí están todas las otras

condiciones del problema. • Suponiendo que el 3º marca la hora correcta, no se encuentra el reloj que está 20

minutos adelantado. • Suponiendo que el 4º marca la hora correcta, no se encuentra ninguna de las otras

condiciones del problema. Entonces, el reloj que marca la hora correcta es el 2º.

La respuesta es: B Problema 8

Con pequeños cubos iguales se construye el sólido de la figura, cuyas dimensiones son 8 , 10 y 12. Si su parte exterior es pintada de rojo, ¿cuántos cubos hay en el sólido con exactamente dos de sus caras pintadas de rojo? A) 28 C) 72 E) 120 B) 62 D) 96 F) n d l a

Solución Tenemos 4 aristas formadas por 8 cubos, de los cuales, 6 tendrán dos caras pintadas de rojo. Es decir : 6 · 4 = 24

Por otro lado hay 4 aristas con 10 cubos en cada una de ellas, de los cuales 8 tendrán las dos caras pintadas de rojo. Es decir: 8 · 4 = 32 Y también tenemos 4 aristas formadas por 12 cubos cada una, de los cuales en cada arista habrá 10 cubos con dos caras pintadas de rojo. Es decir: 10 · 4 = 40 En total: 24 + 32 + 40 = 96

La respuesta es: D Problema 9

Paola tiene un juego de rompecabezas con piezas de dos formas, como se muestra en la figura. Ella tiene modelos de rompecabezas para armar en su juego, pero dice que hay una figura de las cuatro que están abajo que es imposible armar. ¿Estás de acuerdo con Paola?

A) No, porque todos los modelos se pueden construir B) Sí, porque el modelo 1 no se puede construir C) Sí, porque el modelo 2 no se puede construir D) Sí, porque el modelo 3 no se puede construir E) Sí, porque el modelo 4 no se puede construir F) Sí, porque los modelos 1 y 3 no se pueden construir

Solución Veamos cómo es posible armar los 4 modelos:

La respuesta es: A Problema 10

La maestra de Javier dibuja en la pizarra los dos círculos de la figura, que tienen algunos números escritos en ellos. Ella pide a Javier y a sus compañeros que hagan una lista de los números que están fuera del círculo menor que tengan algún factor común con alguno de los números que están en el círculo menor.

¿Cuáles son los números que tienen que estar en la lista? A) Todos C) 7 y 4 E) 5 y 10 B) Ninguno D) 1 , 5 y 10 F) n d l a

Solución Vemos que todos los números que están en la parte exterior del círculo menor tienen algún factor en común con los números que están dentro del mismo.

La respuesta es: A Problema 11 Para su cumpleaños Juana decoró su casa con 200 globos de distintos colores: amarillos, azules, verdes, rojos y blancos. Hay un globo azul más que la cantidad de globos amarillos, un globo verde más que la cantidad de globos azules, uno rojo más que los globos verdes y un globo blanco más que la cantidad de globos rojos. ¿Cuántos globos blancos hay? A) 40 C) 44 E) No se puede calcular B) 42 D) 46 F) n d l a Solución Cantidad de globos:

Amarillos → x Azules → x + 1 Verdes → x + 2 Rojos → x + 3 Blancos → x + 4

Entonces:

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 200 ⇒ x = 38 Luego:

38 + 4 → 42 globos blancos La respuesta es: B

Problema 12

¿Cuáles son los números que están escritos en el área que corresponde simultáneamente al círculo y al rectángulo pero que no están escritos en el área que corresponde al triángulo? A) 5 y 11 D) 3 y 9 B) 1 y 10 E) 6 , 7 y 4 C) 13 F) n d l a

Solución Vemos que en el área que corresponde al círculo y al rectángulo simultáneamente están los números:

1 , 13 y 10 Pero el 13 está también en el área que corresponde al triángulo y no cumple por completo las condiciones del problema.

La respuesta es: B

Problema 13 La profesora de Sonia pide al curso que dibuje un círculo y un pentágono y que los ubiquen de modo que exista la mayor cantidad posible de puntos de intersección. Sonia dibuja las dos figuras en diversas posiciones hasta que encuentra la respuesta. ¿Cuántas intersecciones encontró Sonia? A) 1 C) 6 E) 15 B) 5 D) 8 F) n d l a Solución

Podemos ver en el gráfico que se pueden obtener 10 puntos de intersección como máximo.

La respuesta es: F

Problema 14

La figura de la izquierda está hecha exclusivamente con cuadrados de diferentes tamaños.

¿Cuál es el valor de x? A) 56 cm C) 64 cm E) 80 cm B) 60 cm D) 72 cm F) n d l a Solución Vemos que el lado del cuadrado A es: 40 cm – 16 cm = 24 cm El lado del cuadrado B es: 40 cm + 24 cm = 64 cm

La respuesta es: C Problema 15 La tarea de Miguel consiste en encontrar tres números de tres dígitos utilizando los dígitos desde el 1 hasta el 9, cada uno una sola vez. Luego, Miguel debe sumar esos tres números. ¿Cuál es el mayor resultado que puede obtener Miguel? A) 2 512 C) 2 556 E) 2 999 B) 2 529 D) 2 669 F) n d l a Observación: se denomina dígito a los números que constan de una sola cifra, como por ejemplo, 1 , 3 , 7. Solución Para que los números sean los mayores posibles, tienen que comenzar con las mayores cifras posibles, es decir, en la cifra de las centenas debemos tener 9 , 8 y 7.

A partir de aquí podemos completar las decenas usando los siguientes dígitos mayores: 6 , 5 y 4 en cualquiera de los números y luego completar las cifras de las unidades. Así tenemos, por ejemplo:

963 , 852 , 741 ó 963 , 842 , 751 etc. La suma de cualquier terna que tomemos dará siempre 2 556.

La respuesta es: C Problema 16 Al salir de Asunción, Pedro carga combustible hasta llenar el tanque. En ese momento mira el tablero de su automóvil y ve que marca 75 400 km. Al llegar a Asunción, luego de su viaje, Pedro vuelve a llenar el tanque de su auto cargando 30 litros. Al mirar el indicador de kilometraje observa que marca 75 900 km. El consumo de combustible del auto de Pedro por cada 100 km es: A) 4 litros C) 6 litros E) 10 litros B) 5 litros D) 8 litros F) n d l a Solución Calculamos primero cuántos kilómetros ha viajado Pedro:

75 900 km – 75 400 km = 500 km Entonces: ⇒ 6 litros

La respuesta es: C Problema 17 Ariel es electricista y utiliza la siguiente tabla para hacer sus cálculos de cuántos puntos de conexión debe ubicar.

Límite de aplicación superficial

Hasta 60 m2 construidos

Hasta 150 m2 construidos

Más de 150 m2 construidos

Punto mínimo de utilización de bocas

1 cada

20 m2

1 cada 6 m2

1 cada

20 m2

1 cada 6 m2

1 cada

20 m2

1 cada 6 m2

Sala de estar y

comedor 1 2 1 3 1 3

Dormitorio 1 3 2 3 2 3 Cocina 1 1 1 1 1 1 Baño 1 1 1 1 1 1

Pasillo 1 1 1 1 1 1

El dueño de una construcción de 150 m2 quiere 2 dormitorios, cocina, baño y comedor. Él le pide que en un dormitorio ubique la mayor cantidad de bocas posibles, en el otro la menor y en el comedor la mayor cantidad de bocas. ¿Cuántas bocas debe ubicar Ariel? Solución Calculamos los puntos de conexión: Dormitorio 1 → 3 Dormitorio 2 → 2 Cocina → 1 Baño → 1 Comedor → 3 El total de puntos de conexión es:

3 + 2 + 1 + 1 + 3 = 10 Problema 18 Un astillero necesita 18 meses para construir una barcaza. ¿Cuánto tiempo necesitan dos astilleros para construir dos barcazas? A) 3 meses C) 18 meses E) 36 meses B) 12 meses D) 24 meses F) n d l a Solución Como cada astillero necesita 18 meses para fabricar una barcaza, haciendo una barcaza cada uno, terminarán las dos en 18 meses.

La respuesta es: C Problema 19

En cada una de las casillas de la cuadrícula 2 por 2 de la izquierda se escriben números enteros. La suma de los números de la primera fila es 3, la suma de los números de la segunda fila es 8 y la suma de los números de la primera columna es 4. ¿Cuál es la suma de los números de la segunda columna?

A) 4 C) 7 E) 11 B) 6 D) 8 F) n d l a Solución La suma de los números de las dos filas es:

3 + 8 = 11 Entonces, esa es la suma de los cuatro números que están en la tabla. Por lo tanto, la suma de los números de la segunda columna es:

11 – 4 = 7 La respuesta es: C

Problema 20 Eduardo trabaja en una despensa y tiene que apilar 2 004 monedas de 1 000 G en pilas de cinco monedas cada una. ¿Cuántas pilas de cinco monedas logra hacer? A) 5 C) 401 E) 404 B) 400 D) 402 F) n d l a Solución Hacemos la división 2 004 ÷ 5 y obtenemos:

2 004 = 5 × 400 +4 Observación: en toda división entera inexacta el dividendo es igual al divisor por el cociente más el residuo. Entonces, Eduardo logra hacer 400 pilas y al hacerlas le sobran 4 monedas.

La respuesta es: B Problema 21

Carlos viaja desde la ciudad A hasta la ciudad B. Entre los pueblos M y N hay un desvío por reparación de la ruta, como se indica en el dibujo.

¿Cuántos kilómetros más debe conducir Carlos para llegar desde la ciudad A hasta la ciudad B? A) 3 km C) 6 km E) Es imposible calcular B) 5 km D) 10 km F) n d l a Solución La línea punteada corresponde al desvío, pero la parte horizontal es la misma distancia MN, entonces, la distancia que agrega el desvío al recorrido es:

3 km + 3 km = 6 km La respuesta es: C

Problema 22 Hay cierta cantidad de pájaros parados en un cable de teléfono. En cierto momento vuelan 5 de ellos, pero luego llegan 3 pájaros a posarse sobre el cable. En este momento hay 12 pájaros parados en el cable. ¿Cuántos pájaros había al comienzo? A) 8 C) 10 E) 14 B) 9 D) 12 F) n d l a Solución Si se fueron 5 pájaros pero luego regresan 3, entonces ahora hay 2 pájaros menos que antes. Luego, como ahora hay 12, antes había:

12 pájaros + 2 pájaros = 14 pájaros La respuesta es: E

Problema 23 A Luis, que es carpintero, le piden cortar rectángulos de madera de 324 cm2 de área. La medida de los lados deben ser números enteros expresados en centímetros. ¿Cuántos rectángulos diferentes puede cortar Luis? A) 10 C) 7 E) 4 B) 8 D) 6 F) n d l a Solución Sean X e Y las medidas de los lados del rectángulo. Los valores posibles que dan un área de 324 cm2 son:

X Y 1 324 2 162 3 108 4 81 6 54 9 36 12 27 18 18

La respuesta es: B Problema 24 Para preparar mezcla para cimientos y contra pisos se utilizan las siguientes cantidades de material: 8 baldes de cal 1 balde de cemento 32 baldes de arena 64 baldes de cascote ¿Qué porcentaje de la mezcla corresponde al cascote? Solución La cantidad de baldes que se usa para preparar la mezcla es:

8 + 1 + 32 + 64 = 105 Entonces: ⇒ x = 60,95 % Problema 25 En un reloj antiguo, las manecillas de los minutos y las manecillas de las horas van a coincidir dentro de 5 minutos. ¿Cuántos minutos deben pasar para que el ángulo que forman las manecillas sea igual al ángulo que formaban 10 minutos atrás? A) 10 C) 20 E) 30 B) 15 D) 25 F) n d l a

Solución En el gráfico de abajo vemos las distintas posiciones de las manecillas del reloj según las condiciones establecidas en el problema:

La respuesta es: C Problema 26 Al mediodía Jorge comenzó a hacer un trabajo. Después de dos horas se unió Miguel y

121 horas después se agregó Luis para ayudar en el trabajo. Jorge trabajó 4 horas,

Miguel trabajó 3 horas y Luis 2 horas. ¿Cuántas horas trabajaron juntos Miguel y Luis?

A) 21 C) 1

21 E) 0

B) 1 D) 2 F) n d l a Solución Jorge trabajó desde las 12:00 horas hasta las 16:00 horas. Miguel trabajó desde las 14:00 horas hasta las 17:00 horas. Luis trabajó desde las 15:30 horas hasta las 17:30 horas. Podemos ver que desde las 15:30 horas hasta las 17:00 horas, Miguel y Luis coinciden en su trabajo. Entonces trabajaron juntos una hora y media.

La respuesta es: C Problema 27 En el taller de Antonio se hace el cambio de aceite a los automóviles de los clientes cada 5 000 km. Alicia se compró un auto 0 km y Antonio ya le hizo cambio de aceite 7 veces desde que lo compró. ¿Cuántos kilómetros como mínimo recorrió Alicia con su automóvil? A) 7 000 km C) 34 990 km E) 35 100 km B) 30 000 km D) 35 000 km F) n d l a

Solución Como el cambio de aceite se realiza cada 5 000 km, el 7º cambio se hace cuando el tablero indica 35 000 km.

La respuesta es: D Problema 28 Manuela dibuja un polígono regular de 12 lados. Ella quiere pintar de un mismo color dos vértices vecinos y dos vértices opuestos. Si quiere usar distintos colores, ¿Cuál es la menor cantidad de colores que Manuela necesita? A) 2 C) 4 E) 12 B) 3 D) 6 F) n d l a Solución Manuela pinta de un color dos vértices vecinos y los dos opuestos a estos, entonces son 4 vértices los que pinta de un mismo color. Como pinta de un calor de a 4 vértices, la menor cantidad de colores que necesita es:

12 ÷ 4 = 3 La respuesta es: B

Problema 29

La tabla de multiplicar de la izquierda es la tarea de la sección de Darío. El problema es descubrir cuáles son las dos letras que representan a un mismo número. Darío resolvió correctamente el problema. ¿Cuál es la respuesta de Darío? A) L y M C) R y P E) M y S B) Q y N D) K y P F) n d l a

Solución Como podemos ver en la tabla, se nos indica que 7 · 6 = 42. Entonces podemos calcular el número de la casilla correspondiente a la fila 1 columna 2 que es:

18 ÷ 6 = 3 Así mismo podemos calcular el número que va en la casilla de la fila 2 columna 1:

56 ÷ 7 = 8 Si nos fijamos en la columna 4, en la casilla correspondiente a la fila 1 el único número posible es 2 (que es el máximo común divisor entre 6 y 8). Entonces:

2 · 4 = 8 ; 2 · 3 = 6 Con estos datos se puede completar la tabla que queda así:

La respuesta es: E Problema 30 En la operación indicada, a y b son dígitos. Calcular sus valores.

Solución Vemos que b + 5 + 2 = 10 , porque de lo contrario, el valor de b sería 13, lo cual es imposible. Entonces:

b + 5 + 2 = 10 ⇒ b = 3 Como al sumar las unidades hemos “llevado” uno, tenemos:

4 + a + 1 + 1 = 13 ⇒ a = 7 Verificamos los valores encontrados:

743 + 375 + 712 = 1 830 Entonces:

a = 7 ; b = 3 Problema 31

La cantidad de triángulos que hay en la figura de la izquierda es: A) 16 C) 8 E) 4

B) 20 D) 12 F) n d l a

Solución Veamos cuántos triángulos hay de cada clase: Entonces, en total hay:

8 + 4 + 4 + 4 = 20 La respuesta es: B

Problema 32 Adela pinta las diagonales de una baldosa octogonal. ¿Cuántas diagonales quedan pintadas? A) 16 C) 24 E) 46 B) 20 D) 40 F) n d l a Solución

Consideramos uno de los vértices del octógono, por ejemplo A. Vemos que desde ese vértice se puede trazar a los otros vértices 5 diagonales. Como en total son 8 vértices, podemos dibujar:

5 · 8 → 40 diagonales Pero como cada diagonal se ha dibujado dos veces, el total de diagonales es:

40 diagonales ÷ 2 = 20 diagonales

La respuesta es: B Problema 33 Alicia escribe la siguiente lista de números, siguiendo una regla secreta:

17 , 23 , 30 , A , 47 , 57 , B , 80 Encontrar la regla secreta y calcular al valor de A + B. A) 100 C) 106 E) 118 B) 104 D) 110 F) n d l a

Solución Vemos que:

23 – 17 = 6 ; 30 – 23 = 7 Parece ser que la idea es ir sumando a cada término 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , . . . para obtener el siguiente. Comprobamos si la idea sirve:

17 + 6 = 23 ; 23 + 7 = 30 ; 30 + 8 = 38 ; 38 + 9 = 47

47 + 10 = 57 ; 57 + 11 = 68 ; 68 + 12 = 80 Entonces: A = 38 , B = 68 y A + B = 38 + 68 = 106

La respuesta es: C Problema 34

José dibuja los polígonos que se ven en la figura de la izquierda. Luego escribe en el interior de cada uno la suma de los ángulos internos.

Al mirar la figura podemos ver que José olvidó escribir una de las sumas. ¿Cuál es el valor de la suma de los ángulos internos que José olvidó escribir? A) 400º C) 540º E) 660º B) 450º D) 600º F) n d l a Solución El gráfico del problema nos permite entender que en el cuadrilátero podemos tener dos triángulos trazando una de las diagonales, entonces:

180º × 2 = 360º En el exágono, trazando las diagonales desde un mismo vértice podemos obtener 4 triángulos, entonces:

180º × 4 = 720º Así mismo, en el pentágono, trazando las diagonales desde un mismo vértice tendremos 3 triángulos. Luego:

180º × 3 = 540º La respuesta es: C

Problema 35 Doña Laura y su mamá viven en Barrero Grande. Todos los días ellas preparan chipa usando la siguiente receta: 250 g de grasa 1 cucharada de sal gruesa 8 huevos 1 taza de leche 500 g de queso 1 250 g de almidón 1 cucharada de anís El día de hoy usaron 30 kg de almidón. ¿Cuántas docenas de huevos deben agregar a la preparación? Solución La relación es: ⇒ x = 192 huevos

192 huevos = 16 docenas de huevos Problema 36 ¿En qué fecha nació Emilia si puede decir: “El día anterior a ayer yo tenía 9 años y el próximo año tendré 12 años”? A) 30 de diciembre C) 2 de enero E) No existe tal día B) 31 de diciembre D) 1 de enero F) n d l a Solución El 1 de enero del año actual Emilia dice que el día anterior a ayer ella tenía 9 años, o sea que se refiere al 30 de diciembre del año pasado. El 31 de diciembre del año pasado ella cumplió 10 años. El 31 de diciembre del año actual ella cumple 11 años. Lo cual significa que el año siguiente cumplirá 12 años.

La respuesta es: B

Problema 37 Manuel se dedica al mantenimiento de piscinas. Él sabe que debe agregar 1 000 ml de cloro cada día, por cada 10 000 litros de agua, los tres primeros días de tratamiento. La piscina tiene 6 m de largo, 3 m de ancho y 2 m en la parte más honda del fondo y 1 m en la parte más playa. ¿Cuántos litros de cloro necesita para este tratamiento?

Solución Calculamos el volumen del paralelepípedo que tiene 1 m de altura:

6 m · 3 m · 1 m = 18 m3 18 m3 = 18 000 litros La parte que resta en el fondo de la piscina, tiene un volumen equivalente a la mitad del anterior, entonces tenemos:

18 000 litros ÷ 2 = 9 000 litros En total la piscina tiene:

18 000 litros + 9 000 litros = 27 000 litros

x = 2 700 ml de cloro = 2,7 litros Y para los tres días:

2,7 litros · 3 = 8,1 litros Problema 38 Es posible ubicar en una caja grande dos veces más libros que en una caja pequeña. En una caja pequeña caben 14 libros. ¿Cuántos libros caben en esas dos cajas? A) 28 C) 56 E) 63 B) 21 D) 42 F) n d l a Solución En la caja pequeña se pueden ubicar 14 libros. Entonces, en la caja grande se pueden colocar 28 libros. Y entre las dos:

14 libros + 28 libros = 42 libros La respuesta es: D

Problema 39 En la calle “Muchos Colores” hay cinco casas, numeradas del 1 al 5, como se muestra en la figura. Las casas están pintadas en azul, rojo, amarrillo, rosado y verde.

Las casas azul y amarilla tienen números pares. La casa roja es vecina solamente de la casa azul. La casa azul está entre la casa verde y la casa roja. ¿De qué color está pintada la casa 3?

A) azul C) amarillo E) verde B) rojo D) rosado F) no se puede determinar

Solución Como la casa roja es vecina solamente de la casa azul, necesariamente debe estar en uno de los extremos. La casa roja puede ser entonces la 1 ó la 5. Por lo tanto, la casa azul puede ser la 2 ó la 4. Luego, hay dos ordenamientos posibles:

Roja , azul , verde , amarilla , rosada

Rosada , amarilla , verde , azul , roja En ambos casos vemos que la casa número 3 es verde.

La respuesta es: E Problema 40 La mezcla para levantar paredes de ladrillo común se prepara con 1 balde de cal por cada

21 balde de cemento y por cada 3 baldes arena.

Un balde de arena y un balde de cemento pesa 10 kg cada uno y un balde de cal la mitad. La cantidad de baldes de cemento que se utilizan en la preparación de 3 200 kg de mezcla es: A) 120 C) 80 E) 40 B) 100 D) 60 F) n d l a Solución Calculamos que peso de cada componente se usa:

1 balde de arena pesa 10 kg ⇒ se usa 30 kg de arena

1 balde de cemento pesa 10 kg ⇒ se usa 5 kg de cemento

1 balde de cal pesa 5 kg ⇒ se usa 5 kg de cal Con estas cantidades, el peso de mezcla que se prepara es:

30 kg + 5 kg + 5 kg = 40 40 Planteamos la regla de tres:

x = 400 kg de cemento Entonces:

400 ÷ 10 → 40 baldes de cemento La respuesta es: E

Problema 41

Hay tres caminos diferentes para ir de la ciudad A a la ciudad B.

Por otro lado, para ir de la ciudad B a la ciudad C hay dos caminos diferentes. No existen caminos que lleven directamente de la ciudad A a la ciudad C. ¿De cuántas formas distintas se puede ir desde la ciudad A hasta la ciudad C? A) 2 C) 5 E) 9 B) 3 D) 6 F) n d l a Solución

Dibujamos y numeramos los caminos que existen entre las ciudades. Veamos como llegar desde A hasta C.

1 , 4 − 1 , 5 − 2 , 4 − 2 , 5

3 , 4 − 3 , 5

En total hay seis alternativas.

La respuesta es: D Problema 42 ¿Cuántas caras triangulares tiene una pirámide que tiene 12 vértices en total? A) 13 C) 11 E) 9 B) 12 D) 10 F) n d l a Solución Veamos que ocurre en las pirámides con menor número de lados en la base. Vemos que la pirámide de base triangular tiene en total 4 vértices. Como uno corresponde a la cúspide de la pirámide, en la base quedan 3 vértices que corresponden a las tres caras laterales de la pirámide. En la pirámide de base cuadrangular hay 5 vértices y 4 caras triangulares. En la pirámide de base pentagonal hay 6 vértices y 5 caras triangulares. Notamos que siempre hay una cara menos que el total de vértices. Entonces, si una pirámide tiene 12 vértices tendrá 11 caras triangulares.

La respuesta es: C

Problema 43

Ramona es modista y se dedica a confeccionar cortinas, entre otras cosas. Ella debe hacer el volado de un cortinado para una ventana de 1,90 m, como se muestra en la figura. Para ello dispone de un retazo de tela de 4,32 m de largo y de 30 cm de ancho.

Cada fruncido ocupa 1 cm y se hace con 12 cm de tela. Entre fruncido y fruncido hay 8 cm. La cantidad de fruncidos para cubrir el largo de la ventana es: A) 20 C) 22 E) 24 B) 21 D) 23 F) n d l a Solución Calculamos la relación entre los metros de tela usados y la longitud cubierta:

- - - - - - - - - - -

Vemos que para un fruncido y un espacio sin fruncir tenemos:

12 + 8 → 20 cm de tela ; 1 + 8 → 9 cm cubiertos Hacemos las divisiones 432 ÷ 20 , 190 ÷ 9:

432 = 20 · 21 + 12 ; 190 = 9 · 21 + 1 Entonces tenemos: 21 espacios cubiertos con fruncidos, en los cuales se han usado en total 420 cm de tela. Sobran 12 cm de tela que alcanzan justo para un fruncido, que es el residuo de la segunda división. Luego, el total de fruncidos es:

21 + 1 = 22 La respuesta es: C

Problema 44 En el campeonato de fútbol entre los centros del Departamento Central se han jugado tres partidos. El equipo “Los goleadores” tiene 3 goles a favor y 1 en contra. ¿Cuáles de los siguientes puntos no puede tener ese equipo? A) 7 C) 5 E) 3 B) 6 D) 4 F) n d l a Solución En la tabla podemos observar las distintas posibilidades de acuerdo a los goles convertidos por el equipo “Los goleadores”. Los goles que corresponden a este equipo están en primer lugar.

Centímetros de tela 12 8 12 8 12 Centímetros cubiertos

1 8 1 8 1

También podemos ver los puntos que obtuvo el equipo.

R indica partidos jugados ; P indica los puntos obtenidos en ese partido

Posibilidades Partid

o R P R P R P R P

1 1 – 1 1 1 – 0 3 3 – 1 3 0 – 1 0 2 1 – 0 3 2 – 0 3 0 – 0 1 3 – 0 3 3 1 – 0 3 0 – 1 0 0 – 0 1 0 – 0 1 Puntaje 7 6 5 4

Es imposible que con los goles a favor y en contra dados en el enunciado del problema, el equipo haya obtenido 3 puntos, porque eso implicaría que ha empatado 3 partidos, lo cual es imposible, o que haya perdido 2 partidos que también es imposible, porque tiene un solo gol en contra.

La respuesta es: E Problema 45

En la figura se observa un cubo macizo de madera, al cual se le ha hecho un corte en una de las esquinas. ¿Cuál de los desarrollos de abajo puede ser el de las caras que forman la superficie del cubo?

Solución El cubo de la figura tiene cortada una de las esquinas, lo que implica que hay 3 caras cuadradas con una esquina cortada. En el desarrollo deben aparecer por lo menos dos caras adyacentes con sus esquinas cortadas, lo cual no ocurre en las figuras A , B y C. En la figura D están las dos caras adyacente cortadas, pero la tercera cara horizontal tiene cortada la esquina que no corresponde. Por lo tanto, solamente el desarrollo de la figura E puede corresponder al cubo.

La respuesta es: E Problema 46 En el Departamento del Guairá hay 23 000 há cultivadas con caña de azúcar. La superficie del Guairá es 3 846 km2.¿Qué fracción de la superficie del departamento está plantada con caña de azúcar?

Solución Vemos primero cuántos km2 hay en 23 000 há:

23 000 há = 23 000 hm2 = 230 km2 Entonces, la fracción que buscamos es:

1923115

3846230

=

Problema 47 Wilma juega con sus compañeros a una “adivinanza matemática”. Ella les informa que ha escrito en su cuaderno el menor número capicúa de cinco dígitos y les pregunta: ¿cuál es el producto de los dígitos del número que escribí? Su compañero Juan logra contestar la adivinanza. ¿Cuál fue la respuesta de Juan? A) 0 C) 2 E) 4 B) 1 D) 3 F) n d l a Observación: Un número capicúa es el número que se lee de igual forma de derecha a izquierda, que de izquierda a derecha, por ejemplo 15 651. Solución El número que escribió Wilma es:

10001 El producto que calcula Juan es:

1 × 0 × 0 × 0 × 1 = 0 La respuesta es: A

Problema 48 Se quiere cortar la cuadrícula 6 por 6 en tiras de 1 por 3 y 1 por 4 como se muestra en la figura. ¿Cuál es la mayor cantidad de tiras 1 por 4 que podemos obtener?

A) 6 D) 3 B) 7 E) 8 C) 9 F) n d l a Solución

Vemos en el dibujo la cantidad de tiras que se puede obtener:

La respuesta es: A Problema 49

Las áreas de tres de las caras del paralelepípedo rectángulo de la figura son 6 m2 , 10 m2 y 15 m2. El volumen del paralelepípedo es: A) 10 10 m3 D) 30 m3 B) 20 m3 E) 45 m3 C) 25 m3 F) n d l a

Solución

Llamamos a , b y c a las dimensiones del paralelepípedo. Entonces, las áreas son: a · b = 15 m2 , a · c = 10 m2 , b · c = 6 m2

Si multiplicamos las tres igualdades anteriores miembro a miembro tenemos:

a2 · b2 · c2 = 900 m6 Hallando la raíz cuadrada resulta:

a · b · c = 30 m3 Y como a · b · c es el volumen del paralelepípedo:

La respuesta es: D Problema 50 En el taller de Antonio se cambian los filtros de los automóviles de acuerdo a la siguiente tabla: Filtro de Aceite → cada 5 000 km Filtro de combustible → cada 10 000 km Filtro de Aire → cada 15 000 km Blas se había comprado un auto 0 km y Antonio ya le hizo 3 cambios de filtro de combustible desde que lo compró. ¿Cuántos filtros de los tres tipos se le han cambiado ya al auto de Blas? A) 10 C) 12 E) 14 B) 11 D) 13 F) n d l a Solución Si se cambiaron 3 filtros de combustible, el kilometraje del tablero indica:

10 000 km × 3 = 30 000 km Calculamos cuántos filtros de aceite y de aire se cambiaron: 30 000 km ÷ 5 000 km → 6 filtros de aceite 30 000 km ÷ 15 000 km → 2 filtros de aire El total de filtros cambiados es: 3 + 6 + 2 = 11

La respuesta es: B Problema 51 En el centro educativo donde estudia Fernando hay 150 alumnos. La tercera parte de las mujeres y la mitad de los varones usan anteojos. El total de alumnos que usan anteojos es 65, ¿cuántas mujeres y cuántos varones hay en el centro?

Solución Llamamos M a la cantidad de mujeres y V a la cantidad de varones. Entones:

M + V = 150

31 M +

21 V = 65 ⇒ 2 M + 3 V = 390

2 M + 3 (150 – M) = 390 ⇒ 2 M + 450 – 3 M = 390

M = 60 , V = 90

En el centro educativo hay: 60 mujeres y 90 varones Problema 52 Doña Carmen tiene un almacén en su casa. Ella observa que el peso de 3 manzanas y 2 naranjas es 255 g y el peso de 2 manzanas y 3 naranjas es 285 g. Si todas las manzanas tienen, cada una, el mismo peso; y a su vez todas las naranjas pesan igual, ¿cuánto pesan una naranja y una manzana juntas? A) 110 g C) 105 g E) 102 g B) 108 g D) 104 g F) n d l a Solución Llamamos M al peso de una manzana y N al peso de una naranja. Entonces:

3 M + 2 N = 255 g (1)

2 M + 3 N = 285 g (2) Despejamos M en la igualdad (1):

M = 3

N2g255 −

Esto sustituimos en la igualdad (2):

2 · 3

N2g255 − + 3 N = 285 g ⇒ 510 g – 4 N + 9 N = 855 g

5 N = 345 g ⇒ N = 69 g

Calculamos el peso de una manzana:

M = 3

N2g255 − = 3

g692g255 ⋅− = 39 g

Y el peso de una manzana y una naranja es: 69 g + 39 g = 108 g

La respuesta es: B

Problema 53

En el dibujo se observa una cuadrícula formada por cuadraditos iguales. Determinar qué fracción del área sombreada es el área no sombreada.

A) 41 C)

61 E)

72

B) 51 D)

52 F) n d l a

Solución Calculamos el área sombreada:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+×

224

2342 = 20

Y el área no sombreada es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+×

221

2312 = 5

La fracción que se pide es: 41

205=

La respuesta es: A Problema 54 La tarea de Bonifacio consiste en encontrar cuál es el valor de la fracción

10022004220042 ×+ . Bonifacio resuelve el ejercicio y muestra el resultado a la profesora,

que le dice que está bien. ¿Qué resultado encontró Bonifacio? A) 8 C) 4 012 E) mayor que 10 000 B) 2 006 D) 8 024 F) n d l a Solución

10022004220042 ×+ = ( )

1002220042004 + = 2 (2 004 + 2) = 2 · 2006 = 4 012

La respuesta es: C Problema 55 La tercera parte de los estudiantes del centro de Mariana participan del Club de

Matemáticas. En el centro hay 24 mujeres y 18 varones. Si 41 de las mujeres están en el

Club, ¿qué fracción de la cantidad de varones participa del mismo?

Solución La cantidad de estudiantes en el centro de Mariana es:

24 + 18 → 42 estudiantes De esa cantidad de estudiantes, los que participan el en Club de Matemática es:

42 estudiantes ×31 = 14 estudiantes

La cantidad de mujeres en el Club es:

24 mujeres × 41 = 6 mujeres

La cantidad de varones en el Club es:

14 – 6 → 8 varones La fracción buscada es:

94

188=

Problema 56 Los cuadrados ABCD y DEFG son iguales. El ángulo ECD mide 70º. ¿Cuál es la medida del ángulo ADG? A) 150º D) 120º B) 140º E) 110º C) 130º F) n d l a Solución Tenemos:

∠∠= ECDCED = 70º por ser isósceles el triángulo DCE.

( )º70º70º180CDE +−=

∠ = 40º

En el vértice D tenemos dos ángulos rectos, correspondientes a los cuadrados, entonces:

∠ADG = 360º − 90º − 40º − 90º = 140º

La respuesta es: B Problema 57 Para preparar hormigón de piedra para columnas, vigas y losas se usa la siguiente proporción:

1 balde de cemento : 3 baldes de arena : 3 baldes de piedra triturada Cada balde de estos componentes pesa 10 kg. Si se dispone de 1 200 kg de piedra triturada, ¿cuántos kilogramos de hormigón se puede preparar?

Solución El peso de la piedra triturada y de la arena es el mismo, mientras que el peso del cemento es la tercera parte, o sea 400 kg. Entonces, el peso del hormigón que se puede preparar es:

1 200 kg + 1 200 kg + 400 kg = 2 800 kg Problema 58 La medida de los ángulos internos de un triángulo son múltiplos consecutivos de 3. Hallar las medidas de los tres ángulos. Solución Sean x , x + 3 , x + 6 las medidas de los ángulos del triángulo. Entonces:

x + (x + 3) + (x + 6) = 180º

3 x + 9 = 180º ⇒ 3 x = 171 ⇒ x = 57º Luego, los ángulos miden:

57º , 60º , 63º Problema 59 Lola escribe en la pizarra la siguiente secuencia de números:

8 , 15 , 22 , 29 , 36 , . . . . . . . . . . ¿Cuál de los siguientes números aparecerá si se sigue escribiendo la secuencia? A) 221 C) 223 E) 225 B) 222 D) 224 F) n d l a Solución Vemos que:

15 – 8 = 7 22 – 15 = 7 29 – 22 = 7 36 – 8 = 28 29 – 15 = 14

Entonces, la diferencia entre cualquier número que está escrito en la lista con cualquier número anterior es múltiplo de 7.

221 – 8 = 213 (no es múltiplo de 7) 222 – 8 = 214 (no es múltiplo de 7) 223 – 8 = 215 (no es múltiplo de 7) 224 – 8 = 216 (no es múltiplo de 7) 225 – 8 = 217 (sí es múltiplo de 7)

La respuesta es: E

Observación: Como los números que aparecen en las opciones correspondientes a las respuestas no son números grandes, se podría resolver el problema sumando 7 a los números de la lista hasta llegar a 225. Sin embargo, es muy interesante prestar atención a la forma de resolver el problema que hemos visto. Este es un problema típico de Olimpiada en donde el número que se desea encontrar puede ser muy grande, por ejemplo 2 000 008. Con el procedimiento indicado, una vez descubierta la “ley de formación” que nos permita dar un salto hacia delante, el problema está resuelto. Problema 60 Alicia quiere calcular el consumo mensual de electricidad de su casa (considerar un mes de 30 días). Ella consigue estos datos de los aparatos eléctricos que usan normalmente:

Aparato Potencia en Watt

Tiempo de uso en h/día

Heladera 300 12 Televisor 300 8 Plancha 1 000 3

Computadora 500 6 Micro ondas 1 500 2

Focos 900 10 ¿Cuántos kiloWatt hora utilizan en la casa de Alicia? Solución Calculamos el consumo de energía eléctrica por día: 0,3 kWatt · 12 horas = 3,6 kwh 0,3 kWatt · 8 horas = 2,4 kwh 1 kWatt · 3 horas = 3 kwh 0,5 kWatt · 6 horas = 3 kwh 1,5 kWatt · 2 horas = 3 kwh 0,9 kWatt · 10 horas = 9 kwh El total en un día es:

3,6 kwh + 2,4 kwh + 3 kwh + 3 kwh + 3 kwh + 9 kwh = 24 kwh Y en un mes:

24 kwh · 30 = 720 kwh

Problema 61 En la pizarra de la sección de Miriam aparece escrita la fracción

701 . La profesora de

matemática pide a Miriam y sus compañeros que hagan la división para encontrar el número decimal correspondiente a la fracción. ¿Qué número ocupa el lugar 2 004 después de la coma decimal? A) 5 C) 9 E) 1 B) 7 D) 0 F) n d l a Solución Efectuamos la división: Vemos que hay una parte que se repite siempre que es 1 4 2 8 5 7 y que está formada por 6 números. Entonces a partir del primer 1 la repetición se da cada 6 dígitos. Hacemos la división 2 004 ÷ 6.

2 004 = 6 · 334 + 0 Como la división es exacta, tenemos 334 grupos de los 6 dígitos que se repiten. Pero, debemos comenzar a contar después de la coma decimal. Entonces, el lugar 2 004º corresponde al 5 y no al 7.

La respuesta es: A Problema 62

¿Cuál de los rectángulos de abajo puede usarse para cubrir el patrón del rectángulo que aparece a la derecha de tal forma que resulte un rectángulo totalmente blanco o totalmente negro?

Solución Vemos que en el patrón de la figura, existe un solo cuadrado blanco en una de las esquinas. Por lo tanto, el rectángulo que cumple las condiciones del problema, debe tener un solo cuadrado negro en una de sus esquinas. El único que cumple esto es el rectángulo D, que además coincide con el rectángulo del patrón en el resto de los cuadraditos.

La respuesta es: D

Problema 63 El papá de Julio es agricultor y tiene un terreno de forma rectangular de 2 000 m por 8 000 m en el Departamento de Guairá, en el cual cultiva caña de azúcar. ¿Qué porcentaje de la producción de caña de azúcar es la que corresponde al papá de Julio? (Se supone que todas las parcelas tienen el mismo rendimiento). (Ver problema 46) Solución Calculamos cuántas hectáreas tiene el papá de Julio:

2 000 m · 8 000 m = 16 000 000 m2 = 1 600 hm2 = 1 600 há Entonces: ⇒ x = 6,96 % Problema 64 Camila efectúa una sustracción de números enteros y con el resultado obtenido plantea a sus compañeros el siguiente problema: “En la sustracción que acabo de efectuar la suma del minuendo con el sustraendo y con la diferencia es 2 008. ¿Cuál es el minuendo?” ¿Cuál es la respuesta al problema planteado por Camila? A) 1 004 C) 402 E) 168 B) 502 D) 208 F) n d l a Solución Recordamos que en la sustracción se cumple:

Minuendo = Sustraendo + Diferencia Entonces:

Minuendo + Sustraendo + Diferencia = Minuendo + Minuendo Luego:

2 Minuendo = 2 008 ⇒ Minuendo = 1 004 La respuesta es: A

Problema 65

En la adición de la izquierda a diferentes figuras corresponden diferentes números (dígitos), pero a una misma figura corresponde siempre el mismo número. Determinar qué número corresponde al cuadrado. A) 9 C) 7 E) 5 B) 8 D) 6 F) n d l a

Solución Como el resultado de la suma tiene 3 cifras hay dos posibilidades para las cifras de las decenas: Analizamos la primera posibilidad, en la cual se “lleva” 1: Esto es imposible puesto que el cuadrado representa a un dígito. Trabajamos entonces con la segunda posibilidad donde “llevamos” 2:

La respuesta es: D Problema 66 El equivalente de 360 000 segundos es: A) 3 horas C) 8.5 horas E) 50 horas B) 5 horas D) 10 horas F) n d l a Solución Planteamos una regla de tres: ⇒ x = 100 horas

La respuesta es: F

Problema 67 En el taller de Antonio se cambian los filtros de los automóviles de acuerdo a la siguiente tabla: Filtro de Aceite → cada 5 000 km Filtro de combustible → cada 10 000 km Filtro de Aire → cada 15 000 km Dany se había comprado un auto 0 km y siempre cumple con las recomendaciones de su mecánico. Hoy lleva su auto al taller y Antonio le dice que se tienen que cambiar los tres filtros. Dany sabe que esta es la 5ª vez que se hará el cambio de los tres filtros juntos. ¿Cuántos kilómetros marca el indicador en el tablero del auto de Dany? Solución Como los cambios se hacen cada 5 000 km, 10 000 km y 15 000 km; cada 30 000 km se tienen que cambiar los tres filtros juntos. Entonces, en el indicador de kilometraje se ve:

30 000 km × 5 = 150 000 km Problema 68

Mabel tiene dos piezas idénticas, como se ve en la figura de la izquierda. ¿Cuál de las figuras de abajo no puede ser hecha usando las dos piezas que tiene Mabel?

Solución En el gráfico de abajo podemos ver cómo se arman las figuras A , B , C y E. La figura D es imposible de armar.

La respuesta es: D Problema 69

Nadia dibuja la figura de la izquierda en la se pueden ver tres formas geométricas, un triángulo, un rectángulo y un cuadrado. ¿Cuál es la menor cantidad de segmentos rectilíneos que debe dibujar Nadia? A) 6 C) 8 E) 1 B) 7 D) 9 F) n d l a

Solución Nadia debe dibujar:

• Tres segmentos verticales: CA , DG y EF

• Dos segmentos horizontales: BE y AF

• Un segmento oblicuo CD La respuesta es: A

Problema 70

Ramona también confecciona colchas. Tiene un pedido de una colcha de 1,60 m por 2,40 m y dispone de retazos de tela de forma cuadrada de 40 cm de lado y de un solo color, retazos rectangulares a rayas y retazos triangulares a motas. Con dos retazos rectangulares y con dos retazos triangulares se arman cuadrados de 40 cm de lado, como muestra la figura. La colcha se debe confeccionar siguiendo el esquema indicado.

La cantidad total de retazos que necesita Ramona es: A) 12 C) 32 E) 50 B) 24 D) 40 F) n d l a Solución

Vemos en el dibujo la colcha completa, con las dimensiones:

0,4 m · 4 = 1,6 m 0,4 m · 6 = 2,4 m Contando la cantidad de retazos encontramos: 40

La respuesta es: D Problema 71 La hija pequeña de Alberto tiene una caja con cubos. Con los cubos ella arma una estructura. En la figura de abajo se ve lo que armó la niña, desde diferentes puntos de vista. ¿Cuántos cubos usó? A) 3 C) 5 E) 7 B) 4 D) 6 F) n d l a

Solución

En el dibujo podemos ver la estructura que armó la hija de Alberto.

La respuesta es: C Problema 72 Gabi, Manu y Sofi compraron entre los tres 2 números de lotería que cuestan 4 000 G cada uno. Gabi contribuyó con 1 000 G, Manu con 3 000 G y Sofi con 4 000 G. Uno de los dos billetes fue premiado con 1 000 000 G. Los tres decidieron repartir el dinero con estricta justicia. ¿Cuánto dinero le correspondió a Manu? A) 300 000 G C) 250 000 G E) 425 000 G B) 375 000 G D) 750 000 G F) n d l a Solución El reparto mas “justo” es el que se hace proporcionalmente al dinero que cada uno puso. Llamamos G , M y S a los montos que aportaron Gabi, Manu y Sofi, respectivamente. Entonces tenemos:

4000S

3000M

1000G

== ⇒ 4000

S3000

M1000

G400030001000

SMG===

++++

800030001000000M ×

= → 375 000 G

La respuesta es: B Observación: en toda proporción, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como un antecedente a su consecuente. Problema 73 La mamá de José prepara chipa guasú con la siguiente receta: 1 kg de choclo

desgranado, 21 kg de cebolla,

21 litro de leche,

41 kg de grasa, 1 kg de queso Paraguay y

una docena de huevos. ¿Qué porcentaje del peso de la cebolla es el peso del queso que se utiliza? Solución Como se hace referencia a la cebolla, el peso de esta es el parámetro de comparación, o sea el 100 %. Entonces: ⇒ x = 200 %

Problema 74 En el aula de la sección de Juanfer hay un reloj en la pared, semejante al de la figura. La profesora pide a los alumnos que dibujen con pinceles dos segmentos rectilíneos, tal que la esfera del reloj quede dividida en tres partes y que en cada una de las partes, la suma de los números que están en ellas sea la misma. Esa suma es:

A) 20 C) 24 E) 26 B) 22 D) 25 F) n d l a

Solución La suma de todos los números es: 1 + 2 + 3 . . . . + 10 + 11 + 12 = 78 Entonces: 78 ÷ 3 = 26 En la gráfica vemos como se tienen que dibujar los dos segmentos.

La respuesta es: E Problema 75 En la carpintería de Darío hay 20 listones de madera de 5 m de largo cada uno. Los 20 listones se deben cortar en pedazos de 1 m. ¿Cuántos cortes se deben hacer? A) 100 C) 20 E) 4 B) 80 D) 5 F) n d l a Solución

Uno de los listones está dibujado a la izquierda y vemos que se deben hacer 4 cortes para dividirlo en 5 trozos de 1 m.

Como hay 20 listones, la cantidad de cortes necesarios es:

4 × 20 = 80 La respuesta es: B

Problema 76 Completar los números que van dentro de los rectángulos, para poder encontrar el número desconocido que va dentro del círculo. Ese número es: A) 35 C) 30,8 E) 59 B) 38 D) 45 F) n d l a

Solución Efectuamos los cálculos “al revés”:

462 × 3 = 1 386

1 386 ÷ 0,1 = 13 860

13 860 ÷ 308 = 45 La respuesta es: D

Problema 77

En la figura, ABCD es un cuadrado y ABE es un triángulo equilátero. La medida del ángulo BFC es: A) 90º C) 110º E) 120º

B) 105º D) 118º F) n d l a Solución Como el triángulo ABE es equilátero, el ángulo ABE mide 60º. Entonces, la medida del ángulo FBC es:

90º − 60º = 30º AC es una de las diagonales del cuadrado ABCD, entonces, la medida del ángulo FCB es 45º. Luego, la medida del ángulo BFC es:

180º − (30º + 45º) = 105º La respuesta es: B

Problema 78 Cristian dobla cinco veces una hoja de papel, como se muestra en la figura de abajo. Cuando hace el quinto dobles hace un agujero con una tijera. Luego Cristian despliega totalmente la hoja de papel. ¿Cuántos agujeros aparecerán en la hoja desdoblada? A) 6 C) 16 E) 36 B) 10 D) 20 F) n d l a

Solución En el dibujo podemos ver la secuencia que obtiene Cristian al desdoblar la hoja.

La respuesta es: F Problema 79

Jorgito tiene 16 cartas, 4 de cada palo: ♣ , ♦ , ♥ , ♠. Él debe ubicarlas en la cuadrícula 4 por 4 de la figura. Algunas cartas ya están ubicadas como se indica en el gráfico.

La condición del juego es que en ninguna fila ni en ninguna columna debe estar repetida una carta de un mismo palo. ¿Qué carta ocupa el lugar del signo de interrogación? A) ♠ C) ♦ o ♠ E) ♣ o ♥ B) ♣ D) ♥ F) n d l a Solución Primero completamos la segunda fila y la segunda columna. Para la primera fila tenemos dos posibilidades. Analizamos ambas posibilidades para ver si con ambas es posible completar la cuadrícula siguiente las condiciones del problema:

La respuesta es: C

Problema 80 Ariel, Beatriz y Carolina tienen caramelos en la proporción 1 : 2 : 3 (en ese orden). Derlis tiene igual cantidad de caramelos que los otros tres juntos. Entre los cuatro tienen 60 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene Ariel? A) 1 C) 6 E) 15 B) 4 D) 10 F) n d l a Solución Ariel, Beatriz y Carolina tienen juntos:

60 caramelos ÷ 2 = 30 caramelos Si formamos 6 grupos tenemos:

30 caramelos ÷ 6 = 5 caramelos Entonces, la cantidad de caramelos que tiene cada uno de ellos es:

Ariel: 5 caramelos ; Beatriz: 10 caramelos ; Carolina: 15 caramelos La respuesta es: F

Problema 81 Pedro y María copian del pizarrón un problema que la profesora les da como tarea, el cual tiene como dato un número de 4 dígitos. Al resolverlo en sus casas hablan entre ellos y se dan cuenta que sus resultados no coinciden. Entonces ambos envían mensajes al celular de la profesora. Ella contesta a Pedro y María el siguiente mensaje: “Pedro, al copiar el número cambiaste el 4 de las unidades de mil por 2 y tú María cambiaste el 3 de las decenas por 5. La suma de los números que ustedes me enviaron es 7 482” Con esta respuesta ellos lograron resolver el problema. ¿Cuál es el número correcto que estaba inicialmente en el pizarrón? Solución Sea 4 a 3 b el número correcto que estaba en el pizarrón. Según el informe de la profesora, Pedro y María pudieron hacer el siguiente cálculo:

2 a 3 b + 4 a 5 b = 7 482 Evidentemente el valor de b es 1 porque la suma de los números de las decenas da 8 (si b fuera 6 se “llevaría” uno al sumar). Por otro lado el valor de a debe ser 7 porque en la suma aparece 7 en las unidades de mil, lo que significa que se “llevó” uno. Luego, el número correcto es: 4 731

Problema 82 En un triángulo ABC se marca el punto N sobre el lado BC de modo que:

NA = NC, ∠

ANB = 97º y ∠

BAN = 17º. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del triángulo ABC? Solución 1

Como el triángulo ANC es isósceles, los ángulos adyacentes al lado desigual son iguales y están denominados en la figura por x. Como 97º es un ángulo exterior a este triángulo, tenemos: 97º = x + x = 2x ⇒ x = 48º 30’

Entonces:

∠C = 48º 30’ ;

∠A = 48º 30’ + 17º = 65º 30’

∠B = 180º - (48º 30’ + 65º 30’) = 66º

Los ángulos interiores del triángulo son:

48º 30’ , 65º 30’ , 66º Solución 2 En el punto N tenemos un ángulo llano, entonces:

∠ANC = 180º – 97º = 83º

Luego, en el triángulo ANC se tiene:

83º + 2 x = 180º ⇒ x = 48º 30’ A partir de aquí se sigue igual que en la solución 1. Problema 83 En la clase de matemáticas del centro de Nidia, la profesora pide a los estudiantes que escriban números enteros mayores que 2 500 pero menores que 10 000, tales que al ser divididos por 6 , 7 , 8 , 9 ó 10 dejen siempre 4 como resto. Hallar todos los números que pueden escribir Nidia y sus compañeros.

Solución Llamamos N a uno de los números. Como el resto es 4, N – 4 deberá ser divisible por 6 , 7 , 8 , 9 ó 10. Para que esto ocurra, N – 4 deberá ser múltiplo de:

8 × 7 × 9 × 5 = 2 520 Entonces:

N – 4 = 2 520 ⇒ N = 2 524

N – 4 = 5 040 ⇒ N = 5 044

N – 4 = 7 560 ⇒ N = 7 564 Los valores que pueden escribir Nidia y sus compañeros son:

2 524 ; 5 044 ; 7 564 Problema 84 Pablo, Daniela y Ramona se reparten, en partes iguales, los bombones que hay en una caja. Ellos se dan cuenta que si cada uno lleva 3 bombones sobran 2 en la caja. También sobran 2 si se llevan de a 5 bombones. La menor cantidad de bombones que puede contener la caja es: A) 12 C) 18 E) 51 B) 15 D) 34 F) n d l a Solución Llamamos B a la cantidad de bombones que hay en la caja. Repartir en partes iguales es hacer una división. Entonces, vemos que B – 2 deber ser múltiplo de 3 y de 5. Eso quiere decir que B – 2 debe ser múltiplo de 3 × 5 = 15. La menor cantidad de bombones justamente corresponderá al menor múltiplo de 15 distinto de 0 que es 15. Luego:

B – 2 = 15 ⇒ B = 17 La respuesta es: F

Problema 85 ¿De cuántas maneras podemos cambiar un billete de 50 000 G, sin utilizar monedas ni billetes que tengan la misma denominación en monedas? A) 7 C) 9 E) 12 B) 8 D) 10 F) n d l a

Solución Los billetes que podemos usar son billetes de 20 000 G , de 10 000 G y de 5 000 G. Analizamos las posibilidades que tenemos en la siguiente tabla, indicando en las filas la cantidad de billetes que corresponden a cada denominación:

20 000 G 10 000 G 5 000 G 2 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 4 1 6 5 4 2 3 4 2 6 1 8 10

La respuesta es: E Problema 86 La familia de Amanda está formada por su mamá, su papá y ella. El promedio de las edades de su familia es 45 años. El promedio de las edades de sus padres es 54 años. ¿Cuál es la edad de Amanda? Solución Llamamos SE a la suma de las edades de los tres miembros de la familia. Entonces:

3SE = 45 años ⇒ SE = 135 años

A la suma de las edades de los padres de Amanda llamamos SEP. Luego:

2SEP = 54 años ⇒ SEP = 108 años

La edad de Amanda es:

135 años – 108 años = 27 años Problema 87 Un comerciante compra un aparato acondicionador de aire para volverlo a vender posteriormente. El precio que le piden al comerciante es de 721 600 G, pero luego de insistir, consigue comprarlo con un descuento del 12 %. Cuando vende el aparato, el comerciante gana el 18 % del precio por el cual lo vende. Calcular en cuántos guaraníes el comerciante vende el aparato.

Solución Calculamos primero cuánto paga el comerciante por el aparato: ⇒ x = 635 008 G Luego, calculamos el precio al que debe vender el comerciante para ganar el 18 % del precio de la venta. Como el precio de venta es la referencia para el porcentaje, el precio de venta es el 100 %: ⇒ x = 774 400 G Problema 88 Raquel escribe una lista de todos los números capicúa de tres cifras que tengan dos cifras iguales y la tercera diferente. La cantidad de números que hay en la lista de Raquel es: A) 100 C) 81 E) 10 B) 90 D) 20 F) n d l a Solución Los números capicúas que cumplen la condición del problema son de la forma aba . Los valores posibles de a son 1 , 2 , 3 , . . . . , 9 y los valores posibles de b son 0 , 1 , 2, . . . . . . , 9. Entonces, como a ≠ b, la cantidad de posibilidades es:

9 × 9 = 81 La respuesta es: C

Problema 89

En el paralelogramo ABCD se elige un punto E en el interior, tal que AE es la bisectriz del ángulo DAB y EB es la bisectriz del ángulo ABC. La medida del ángulo AEB es:

A) 120º C) 90º E) 45º B) 100 º D) 60º F) n d l a Solución

Como AE y BE son bisectrices, designamos con a y b las divisiones de los ángulos DAB y ABC respectivamente. Esos dos ángulos son suplementarios, entonces:

2 a + 2 b = 180º ⇒ a + b = 90º Entonces: m = 180º – (a + b) = 90º

La respuesta es: C

Problema 90 Elena es ayudante de enfermería. En el sanatorio en el cual trabaja están internados siete niños aquejados de la misma enfermedad. El médico le recetó, a cada uno, 5 ml de Cortiprex como dosis de ataque y luego 2,5 ml cada 8 horas por dos días. ¿Cuál es la menor cantidad de frascos que debe solicitar Elena, si cada frasco tiene 60 ml del medicamento? Solución Calculamos primero la cantidad de medicamento que necesita cada niño, teniendo en cuenta que toman 3 veces al día por dos días la dosis de 2,5 ml:

5 ml + 2,5 ml · 3 · 2 = 20 ml Los siete niños necesitarán:

20 ml · 7 = 140 ml Como dos frascos contienen 120 ml, la menor cantidad de frascos que se necesita es:

3 frascos Problema 91 Los restos de dividir 100 y 90 por un mismo número son 4 y 18 respectivamente. ¿Cuál es el divisor? A) 18 C) 24 E) 48 B) 32 D) 36 F) n d l a Solución Tenemos:

100 = D · a + 4 ; 90 = D · b + 18

100 – 4 = D · a ; 90 – 18 = D · b

96 = D · a ; 72 = D . b Descomponemos 96 y 72 en sus factores primos:

96 = 25 · 3

72 = 23 · 32 El máximo común divisor de estos dos números será el valor de D, que es factor común en los productos D · a y D · b. entonces:

D = 23 · 3 = 24 La respuesta es: C

Problema 92 La relación entre las edades de Luisa y su compañero Julio es de 4 a 5. Dentro de 16 años esa relación será 8 : 9. Si se suman las edades de Luisa y Julio se obtiene: A) 26 años C) 36 años E) 42 años B) 30 años D) 40 años F) n d l a Solución Llamemos L a la edad de Luisa y J a la edad de Julio. Entonces:

54

JL= ⇒ L =

54 J

98

16J16L

=++ ⇒ 9 L + 144 = 8 J + 128

9 · 54 J + 144 = 8 J + 128 ⇒ J = 20 años ⇒ L = 16 años

La suma de las edades de Luisa y Julio es:

16 años + 20 años = 36 años La respuesta es: C

Problema 93

En el paralelogramo ABCD de la figura, la distancia entre el punto A y el lado DC es 8 cm.

Hallar la distancia del punto A al lado BC. Solución

La distancia del punto A al segmento DC se define como la medida del segmento perpendicular trazado a DC por A. Entonces, es una de las alturas de paralelogramo. El área del paralelogramo es:

(ABCD) = 20 cm · 8 cm = 160 cm2

También, la distancia de A al segmento BC es una altura, entonces:

160 cm2 = 16 cm · AH’ ⇒ AH’ = 10 cm

Problema 94 Amelia trabaja en una fábrica de productos farmacéuticos. Ella está en la sección donde se produce aspirina y es la encargada de pesar los ingredientes necesarios. La fórmula que utilizan para la preparación es:

- Acido salicílico sublimado: . . . . 56 kg - Cloruro de acetilo: . . . . . . . . . . . 62,5 kg - Acido acético cristalizable: . . . . . 37,5 kg

Amelia debe preparar 6 240 kg de aspirina pero le falta un 25 % de ácido salicílico. ¿Cuántos kg de ácido salicílico necesita conseguir Amelia? Solución Calculamos primero cuántos kg de ácido salicílico se necesitan para preparar 6 240 kg de aspirina:

56 kg + 62,5 kg + 37,5 kg → 156 kg de aspirina

x = 2 240 kg de ácido salicílico Calculamos ahora la cantidad de ácido salicílico que falta:

x = 560 kg de ácido salicílico Problema 95 Silvia y su hermano Raúl tienen, entre los dos, 45 000 G. Raúl y su compañera Berta tienen juntos 38 000 G. Berta le pregunta a Silvia cuánto dinero tiene y cuando Silvia le responde se da cuenta que entre las dos tienen 49 000 G. La cantidad de dinero que tiene Berta es: A) 28 000 G C) 20 000 G E) 17 000 G B) 25 000 G D) 18 000 G F) n d l a Solución Hallamos la suma:

45 000 G + 38 000 G + 49 000 G = 132 000 G Esta suma representa dos veces lo que tienen entre los tres juntos. Entonces, la cantidad de dinero que tienen los tres juntos es: 132 000 G ÷ 2 = 66 000 G Si a esta cantidad le sacamos lo que tienen juntos Silvia y Raúl, sabremos cuánto corresponde a Berta:

66 000 G – 45 000 G = 21 000 G La respuesta es: F

Problema 96 En el taller de Antonio el trabajo se cobra por “horas decimales” (50 000 G por hora). El precio establecido para un coche Toyota, modelo Starlet naftero es: Reparación completa de motor → 20,8 horas decimales Bajar y alzar el motor → 8,3 horas decimales ¿Cuánto se debe pagar para reparar el motor de ese auto en el taller de Antonio? Solución Calculamos cuántas “horas decimales” se invierten en la reparación el motor:

20,8 + 8,3 = 29,1 Entonces, lo que se debe pagar es:

50 000 G × 29,1 = 1 455 000 G Problema 97 Hallar la suma de todos los números de 4 cifras terminados en 37. Solución La lista es:

1 037 , 1 137 , 1 237 , . . . . . . . . . , 9 737 , 9 837 , 9 937 Buscamos la cantidad de números que hay en la lista:

9 937 – 1 037 = 8 900 ; 8 900 ÷ 100 = 89

89 + 1 = 90 (agregamos un número porque habíamos sacado el 1 037) Entonces, encontramos 45 parejas que suman 10 974. Efectivamente:

1 037 + 9 937 = 10 974

1 137 + 9 837 = 10 974

1 237 + 9 737 = 10 974 Entonces, la suma buscada es:

10 974 × 45 = 493 830 Problema 98

El cuadrado de la figura está dividido en cuadraditos iguales formando una cuadrícula 5 por 5. El área de la superficie pintada es 24 cm2.

Hallar el perímetro del cuadrado.

Solución Como hay 6 cuadraditos pintados, el área de cada uno de ellos es:

24 cm2 ÷ 6 = 4 cm2 Entonces, el lado de cada cuadradito es 2 cm. Los lados del cuadrado miden 10 cm y el perímetro es:

10 cm × 4 = 40 cm Problema 99 Raúl es albañil y se especializa en colocar pisos y azulejos. Él tiene que colocar una guarda de adorno de 33 cm de largo, en los azulejos de un baño de 2,5 m por 1,16 m. El baño tiene una puerta de 72 cm de ancho. ¿Cuántas guardas necesita Raúl? A) 25 C) 20 E) 16 B) 22 D) 18 F) n d l a Solución Calculamos la longitud total del baño:

2 · 250 cm = 500 cm

2 · 116 cm = 232 cm

500 cm + 232 cm = 732 cm Tenemos que descontar el ancho de la puerta:

732 cm – 72 cm = 660 cm El total de guardas que coloca Raúl es:

660 ÷ 33 → 20 La respuesta es: C

Problema 100

Benito divide el número de la izquierda (formado por 2004 dígitos 1 entre 3. La cantidad de ceros que él obtiene en el cociente es:

A) 670 C) 668 E) 665 B) 669 D) 667 F) n d l a

Observación: considerar la división entera inexacta (o sea que el cociente que se debe obtener tiene que ser un número entero).

Solución Se comienza la división considerando 1, entonces, después del 11 quedan 2 002 dígitos 1. Observando el cociente vemos que se repite 370. El primer 370 corresponde a los 4 primeros dígitos 1 pero luego se cuentan de a 3 dígitos 1. Hacemos la división 2003 ÷ 3 (2 003 porque en el primer grupo hay 4 dígitos 1):

2 003 = 3 · 667 + 2 Vemos que se consideran 667 grupos. Como el resto de la división es 2 ya no alcanza para completar un nuevo grupo de 3 dígitos 1. Por eso el cociente termina en 7 y ya no aparece un nuevo número 0. Entonces, la cantidad de dígitos 1 en el cociente es 776.

La respuesta es: D

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Los números de Fibonacci

Según el diccionario, una sucesión es un conjunto ordenado de términos (números) que cumplen una ley determinada. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, que designamos con N:

N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , . . . . . . . . . . . . . . . .} Nos damos cuenta que para pasar de un número a otro, debemos sumar 1 al número anterior. Veamos ahora la historia de los conejos: “Se metió una pareja de conejos en un lugar totalmente cercado de muros para conocer cuántas parejas de conejos (un conejo y una coneja) nacerían en 1 año, si cada pareja produce otra pareja al cabo de 1 mes y cada coneja de la pareja puede tener hijos después de 2 meses de haber nacido”. Pareja inicial → 1 pareja ; Primer mes → 2 parejas Segundo mes → 3 parejas , Tercer mes → 5 parejas Cuarto mes → 8 parejas ; Quinto mes → 13 parejas Este cuento se atribuye al famoso matemático italiano Leonardo de Pisa, también llamado Fibonacci (o sea hijo de Bonacci), que en el año 1202 escribió un libro muy famoso cuyo título es “Liber abacci” (libro del ábaco) que llegó a nosotros en su segunda versión del año 1228. El cuento se encuentra en el manuscrito en las páginas 123 y 124. La lista que se ha escrito, continúa indefinidamente. El “Liber abacci” dio a conocer a los matemáticos europeos las cifras hindúes (“arábigas”), que son la base de nuestro sistema de numeración, que es un sistema decimal.

Leonardo Fibonacci (1170 – 1240), también llamado Leonardo Pisano, matemático italiano, recopiló y divulgó el conocimiento matemático de clásicos grecorromanos, árabes e hindúes y realizó aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números; introdujo los números arábigos en Europa.

Nació en Pisa, una ciudad comercial donde aprendió las bases del cálculo de los negocios mercantiles. Cuando tenía unos 20 años, se fue a Argelia, donde empezó a aprender métodos de cálculo árabes, conocimientos que incrementó durante viajes más largos. Utilizó esta experiencia para mejorar las técnicas de cálculo comercial que conocía y para extender la obra de los escritores matemáticos clásicos, como los matemáticos griegos Diofante y Euclides.

Nos han quedado pocas obras de Fibonacci. Escribió sobre la teoría de números, problemas prácticos de matemáticas comerciales y geodesia, problemas avanzados de álgebra y matemáticas recreativas. Sus escritos sobre matemáticas recreativas, que a menudo los exponía como relatos, se convirtieron en retos mentales clásicos ya en el siglo XIII. Estos problemas entrañaban la suma de sucesiones, como la sucesión de Fibonacci.

También resolvió el problema del cálculo del valor para cualquiera de los números de la sucesión. Le fue concedido un salario anual por la ciudad de Pisa en 1240 como reconocimiento de la importancia de su trabajo y como agradecimiento por el servicio público prestado a la administración de la ciudad.

Una sucesión muy importante en matemática es aquella donde:

k1 = 1 , k2 = 1 y k n = k n – 1 + k n – 2 Entonces:

k3 = k2 + k1 = 1 + 1 = 2 k4 = k3 + k2 = 2 + 1 = 3 k5 = k4 + k3 = 3 + 2 = 5 k6 = k5 + k4 = 5 + 3 = 8 k7 = k6 + k5 = 8 + 5 = 13 k8 = k7 + k6 = 13 + 8 = 21

Resulta la sucesión:

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , . . . . . . . Desde el segundo término, son los números que hemos encontrado en el problema de los conejos. Esta sucesión es conocida como la sucesión de Fibonacci y sus términos se denominan números de Fibonacci. La sucesión de Fibonacci es una de las llamadas sucesiones recurrentes. El proceso consiste en el cálculo sucesivo de sus elementos a partir de los anteriores. Podemos pensar que hay infinitas sucesiones de este tipo.

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SISTEMAS DE NUMERADIÓN USADOS

EN LA ANTIGUEDAD