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COMPRENSIÓN DE ENUNCIADOS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS:

ALGUNAS DIFICULTADES SEMIÓTICO-COGNITIVAS

YERRY LONDOÑO MORALES

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Bogotá, abril 2018

COMPRENSIÓN DE ENUNCIADOS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS:

ALGUNAS DIFICULTADES SEMIÓTICA-COGNITIVAS

YERRY LONDOÑO MORALES

Informe final presentado como requisito parcial para optar al título de Magister en

Educación, énfasis en Educación Matemática.

Trabajo dirigido por:

DR. RODOLFO VERGEL CAUSADO

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Bogotá, abril 2018

iii

Dedicado a mis padres, Julio y Ruth,

a los cuales les debo todo.

Agradecimientos a:

A mi gran maestra y ejemplo de vida, Teresa Pontón Ladino de la Univerisdad Nacional de

Colombia – Palmira, por su co-dirección en la cosntrucción de este trabajo y acompañamrme

en esta camino acádemico, por sus enseñanzas y reflexiones a la Educación Matemática que han aportado a en mi formación

en pregado y maestría. A ti, por siempre gracias.

Mi director de tesis, Rodolfo Verge C., y la profesra Teresa Pontón L. por sus orientaciones y paciencia

en todo este proceso académico.

Mis profesores de la maestría por sus aportes a mi formación en el campo de la

educación matemática.

La IED Colegio Entre Nubes en Bogotá por permitirme entrar a sus aulas y desarrollar

este trabajo.

Mi amigo Giovanni Yañez por estar a mi lado y ser un gran apoyo

iv

Tabla de contenido

Índice de figuras vii

Índice de tablas x

Resumen xii

Introducción xiii

CAPÍTULO 1

PLANTEAMIENTO DE LA TEMÁTICA 1

1.1. Problema de investigación 1

1.2. Objetivos 13

CAPÍTULO 2

MARCO TEÓRICO 14

2.1. Las representaciones semióticas y su papel en la comprensión de

enunciados de problemas matemáticos 14

2.1.1. Representación semiótica 15

2.1.2. Registro semiótico de representación 17

2.1.3. Congruencia o no congruencia entre los registros de

representación 19

2.1.4. Registro de lengua natural. 21

2.2. La comprensión de los enunciados de problemas matemáticos: la

tarea de conversión 23

2.2.1. Variables de la redacción. 26

2.2.2. Variables relativas al lector. 28

2.2.3. Operaciones relativas de los procesos de comprensión de

enunciados de problema matemáticos. 29

2.2.4. El trasfondo: como un elemento constitutivo para la comprensión

de enunciados de problemas matemáticos. 31

2.2.5. Las marcas lingüísticas: como otro elemento constitutivo para la

comprensión de enunciados de problemas matemáticos. 33

2.3. Los enunciados de problema multiplicativos y sus magnitudes 35

2.3.1. Comparación 37

2.3.2. Proporcionalidad directa simple 40

2.3.3. Combinación 44

CAPÍTULO 3

DISEÑO METODOLÓGICO 48

3.1. Selección de las tareas a aplicar 49

3.1.1. Momento 1. Selección de los enunciados problemas

multiplicativos. 50

3.1.2. Momento 2. Modificaciones a los ochos enunciados

representativos del campo de enunciados de problemas

multiplicativos. 53

v

3.2. Análisis de las exigencias matemáticas y semiótico-cognitivo de los

enunciados de problemas multiplicativos seleccionados 59

3.2.1. Problema T1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla

B mide 7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B? 60

3.2.2. Problema T2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la

varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A? 61

3.2.3. Problema T3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla

B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces más mide la varilla

B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla A que B? 63

3.2.4. Problema T4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de

los cuales cuesta $250. ¿Cuánto ha pagada en total? 64

3.2.5. Problema T5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada

uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de cromos

compró? 65

3.2.6. Problema T6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000

¿Cuánto ha pagado por cada paquete de cromos? 67

3.2.7. Problema T7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas

parejas distintas se pueden formar entre ellos? 68

3.2.8. Problema T9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se

pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos

hay en el baile? 69

3.3. Recolección y organización de la información 70

3.3.1. Categorías organizadoras de la información para la realización

del análisis los datos obtenidos. 71

CAPÍTULO 4

ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN OBTENIDA EN LA APLICACIÓN

DE LOS ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS 73

4.1. Categoría organizadora 1: Problemas multiplicativos de comparación

cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y

estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸. 73


cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y

estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸. 78


cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y

estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼. 81

4.4. Categoría organizadora 4: Problemas multiplicativos de

proporcionalidad directa simple cuya solución está determinada por la

estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸. 84



estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸. 88



estructura sintáctica 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼. 92

vi

4.7. Categoría organizadora 7: Problemas multiplicativos de combinación

cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y

estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐸 = 𝐸. 96

4.8. Categoría organizadora 8: Problemas multiplicativos de combinación

cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y

estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐸. 102

CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES 106

5.1. Dificultades encontradas en la comprensión de los enunciados de

problemas multiplicativos 106

5.2. Algunas sugerencias 112

BIBLIOGRAFÍA 116

vii

Índice de figuras

CAPÍTULO 1

Figura 1.1.1 Varias representaciones de un mismo objeto 7

Figura 1.1.2 Cambio representaciones de un enunciado de problema

multiplicativo 9

Figura 1.1.3 Ejemplo de las dos descripciones superpuestas en un enunciado de

problema 11

CAPÍTULO 2

Figura 2.1.1 Correspondencia lexical entre las unidades significantes de un

registro en lengua natural y un registro numérico 20

Figura 2.1.2 Univocidad semántica terminal entre la unidades significantes de un

registro en lengua natural y un registro numérico 21

Figura 2.1.3 Conservacion del orden de organización de las unidades

significantes entre la unidades significantes de un registro en lengua

natural y un registro numérico 21

Figura 2.2.1 Comprensión de textos, tomando elementos de Duval (1986, 1999b) 25

Figura 2.3.1 Esquemas de las tres variaciones de un enunciado de problema

multiplicativo de comparación 38

Figura 2.3.2 Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene el tripe

de César ¿Cuánto puntos tiene José? 39

Figura 2.3.3 Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene el tripe

de César ¿Cuánto puntos tiene José? 39

Figura 2.3.4 Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene 21

puntos ¿Cuántas veces de más tiene puntos José que César?

¿Cuántas veces de menos tiene puntos César que José? 39

Figura 2.3.5 Esquema de un enunciado de problema multiplicativo de

proporcionalidad directa simple 40

Figura 2.3.6 Esquemas de las cuatro variaciones de un enunciado de problema

multiplicativo de proporcionalidad directa simple 41

Figura 2.3.7 Esquemas para el enunciado Lucía ahorra de su descanso $1.500

diarios. Si lleva 6 días ahorrando ¿Cuánto dinero tiene? 42

Figura 2.3.8 Esquemas para el enunciado Lucía ahorra en 6 días un total de

$9000, si por cada día ahorra los mismo ¿Cuánto dinero ahorra en

un día? 42

Figura 2.3.9 Esquemas para el enunciado Lucía ahorra de su descanso $1.500

diarios. Si tiene ahorrado $9000 ¿Cuántos días lleva ahorrando? 43

Figura 2.3.10 Esquemas para el enunciado Lucía ahorra durante 6 días la cantidad

de $9000. Para ahorrar $1500 ¿Cuántos días debe ahorrar? 43

Figura 2.3.11 Esquemas de las tres variaciones de un problema multiplicativo de

combinación. 45

viii

Figura 2.3.12 Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el área de un terreno

cuyo largo es 80 m. y ancho es 38 m.? 45

Figura 2.3.13 Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el largo de un terreno

cuyo ancho es 38 m y área es 3040 m2? 46

Figura 2.3.14 Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el ancho de un terreno

cuyo largo es 80 m y área es 3040 m2? 46

CAPÍTULO 4

Figura 4.1.1 Ejemplo de correspondencia lexical, univocidad semántica e igual

orden de organización de las unidades significantes entre T1 y

registro numérico 74

Figura 4.1.2 Producción del estudiante E9A en la solución del problema T1 75

Figura 4.1.3 Producción del estudiante E8C en la solución del problema M1 75

Figura 4.1.4 Producción del estudiante E25D en la solución del problema A1 en

el registro figural unidimensional 77

Figura 4.1.5 Producción del estudiante E24B en la solución del problema A1 en

el registro numérico 78

Figura 4.2.1 Producción del estudiante E18A en la solución del problema T2 79

Figura 4.2.2 Ejemplo de univocidad semántica pero no hay correspondencia

lexical ni igual orden de organización de las unidades significantes

entre T2 y su solución numérica 79


Figura 4.2.4 Producción del estudiante E48C en la solución del problema A2 81

Figura 4.3.1 Ejemplo de univocidad semántica pero no hay correspondencia

lexical ni igual orden de organización de las unidades significantes

entre T3 y su solución numérica 82

Figura 4.3.2a Producción del estudiante E3B en la solución del problema T3 por

suma reiterada 83

Figura 4.3.2b Producción del estudiante E3C en la solución del problema T3 por

ecuación 83

Figura 4.3.3 Producción del estudiante E20B en la solución del problema A3 84

Figura 4.4.1 Ejemplo de no correspondencia lexical pero si univocidad

semántica terminal y el mismo orden de organización de las

unidades significantes entre T4 y su solución numérica. 85

Figura 4.4.2 Producción del estudiante E7B en la solución del problema T4 86


Figura 4.4.4 Producción del estudiante E37C en la solución del problema A4 88

Figura 4.5.1 Ejemplo de no correspondencia lexical pero si univocidad

semántica terminal y el mismo orden de organización de las

unidades significantes entre T5 y su solución numérica 89

Figura 4.5.2a Producción del estudiante E2D en la solución del problema T5 por

suma reiterada 90

Figura 4.5.2b Producción del estudiante E12A en la solución del problema T5 por

ecuación (multiplicación) 90

ix

Figura 4.5.3a Producción del estudiante E24C en la solución del problema M5 por

suma reiterada 91

Figura 4.5.3b Producción del estudiante E19C en la solución del problema M5 por

ecuación (multiplicación) 91

Figura 4.5.4 Producción del estudiante E27D en la solución del problema A5. 92

Figura 4.6.1 Ejemplo univocidad semántica terminal pero no hay

correspondencia lexical ni igual orden de organización de las

unidades significantes entre T6 y su solución numérica. 93

Figura 4.6.2 Producción del estudiante E2C en la solución del problema T6 con

suma reiterada 94

Figura 4.6.3 Producción del estudiante E13A en la solución del problema T6 con

ecuación 95

Figura 4.7.1 Ejemplo de univocidad semántica terminal, igual orden de

organización de las unidades significantes pero no correspondencia

lexical entre T7 y su solución numérica 97

Figura 4.7.2 Ejemplo de univocidad semántica terminal, correspondencia lexical

y orden neutral de organización de las unidades significantes entre

T7 y su solución icónica 97

Figura 4.7.3 Producción del estudiante E5D en la solución del problema T7 con

uso del registro icónico 97

Figura 4.7.4a Producción del estudiante E6D en la solución del problema T7 con


Figura 4.7.4b Producción del estudiante E46C en la solución del problema A7 con


Figura 4.7.5a Producción del estudiante E17B en la solución del problema M7 98

Figura 4.7.5b Producción del estudiante E17A en la solución del problema T7 98

Figura 4.7.6 Enlaces correctos posibles en la representación icónica de T7, M7

y A7 99

Figura 4.8.1 Ejemplo de univocidad semántica terminal, igual orden de

organización de las unidades significantes pero no correspondencia

lexical entre T9 y su solución numérica 103

Figura 4.8.2 Producción del estudiante E35C en la solución del problema A9 con


Figura 4.8.3 Producción del estudiante E1B en la solución del problema T9 en

la cual responde no es posible la existan de 18 parejas 104

Figura 4.8.4 Producción del estudiante E8A en la solución del problema T9 en

la que se responde 12 chicos 104

x

Índice de tablas

CAPÍTULO 1

Tabla 1.1.1 Algunas interpretaciones semánticas de la multiplicación 2

CAPÍTULO 2

Tabla 2.1.1

Ejemplos de un mismo enunciado de problema multiplicativo con

representaciones auxiliares 16

Tabla 2.1.2 Diferentes registros semióticos del objeto matemático 18

Tabla 2.1.3 Diferentes tratamientos en el sistema de representación semiótica 18

Tabla 2.1.4 Funciones discursivas de una lengua 22

Tabla 2.2.1 Enunciados de problema multiplicativo con diferente contenido

cognitivo 26

Tabla 2.2.2 Enunciados de problema multiplicativo con diferente organización

de la redacción. 28

Tabla 2.2.3 Segmentación de un enunciado de problema multiplicativo con

diferente organización de la redacción 30

Tabla 2.2.4 Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas multiplicativos

de comparación. 34

Tabla 2.2.5

Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas que involcran

fracciones 34

Tabla 2.3.1 Definición de problema 35

Tabla 2.3.2 Ejemplo de un problema y un ejercicio 35

Tabla 2.3.3 Ejemplo de cantidades extensivas e intensivas 38

Tabla 2.3.4 Otras denominaciones de los enunciados de problemas multiplicativo

de proporcionalidad directa simple 40

Tabla 2.3.5 Otras denominaciones de los enunciados de problemas multiplicativo

de combinación. 44

CAPÍTULO 3

Tabla 3.0.1 Fases, instrumentos y población de la metodología de investigación 49

Tabla 3.1.1 Estructura sintáctica y de magnitudes de los enunciados de problemas

multiplicativos 51

Tabla 3.1.2 Los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de

problemas multiplicativos y sus adaptaciones 52

Tabla 3.1.3 Enunciados de problemas multiplicativos con marcas lingüísticas o

trasfondo modificado 54

Tabla 3.1.4 Enunciados de problemas multiplicativos con representaciones

auxiliares 57

Tabla 3.2.1 Segmentación y recontextualización de T1 60

Tabla 3.2.2 Soluciones posibles de T1 61


xi














Tabla 3.3.1 Categorías organizadoras de la información para el análisis de los

enunciados de problemas multiplictativos 71

Tabla 3.3.2 Enunciados de problemas multiplicativos aplicados y analizados por

cada categoría organizadora 72

CAPÍTULO 4

Tabla 4.1.1 Enunciados de problema multiplicativos de comparación con

estructura sintáctica a × b = c y estructura de magnitudes E × I = E 73


estructura sintáctica c ÷ b = a y estructura de magnitudes E/I = E 78


estructura sintáctica c ÷ a = b y estructura de magnitudes E/E = I 81

Tabla 4.4.1 Enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa

simple con estructura sintáctica a × b = c y estructura de magnitudes

E × I = E 84


simple con estructura sintáctica c ÷ b = a y estructura de magnitudes

E/I = E 88


simple con estructura sintáctica a ÷ b = c y estructura de magnitudes

E/E = I. 92

Tabla 4.7.1 Enunciados de problema multiplicativos de combinación con

estructura sintáctica a × b = c y estructura de magnitudes E × E = E

96

Tabla 4.8.1 Enunciados de problema multiplicativos de combinación con

estructura sintáctica c ÷ a = b y estructura de magnitudes E/E = E. 102

CAPÍTULO 5

Tabla 5.1.1 Los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de

problemas multiplicativos 114

xii

Resumen

En este trabajo se identifican y describen, desde una perspectiva semiótico-cognitiva, las

dificultades que se presentan en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos. Para

ello, este trabajo se estructura en dos etapas. En la primera etapa, se determinan los enunciados

representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos. En la segunda etapa, se

realiza una serie de observaciones a los estudiantes de grado 6º, de la Institución Educativa Distrital

Colegio Entre Nubes de la ciudad de Bogotá, respecto a cómo comprenden estos enunciados de

problemas y cómo varía su comprensión al realizarle modificaciones a estos enunciados. Las

modificaciones a los enunciados representativos del campo de enunciados de problemas

multiplicativos tuvieron dos versiones: Con respecto a la primera versión, se modificaron los

enunciados representativos en relación con las marcas lingüísticas o con la intensión de variar el

trasfondo que pueden surgir en el estudiante al leer el enunciado problema. Con respecto a la

segunda versión, se les agregó a los enunciados representativos representaciones auxiliarles

figurales o icónicas con el objetivo de evidenciar la incidencia de estas representaciones en la

comprensión de un enunciado de problema multiplicativo.

Los resultados de este trabajo evidencian que las dificultades en la comprensión de enunciados de

problemas multiplicativos son debidas a la incidencia que tiene: a) los factores de la variación de

la redacción del enunciado, puesto que éstos determinan la manera como es explicitado el

contenido cognitivo de los enunciados de problemas multiplicativos (Duval, 1999b); b) el uso

indiscriminado de representaciones auxiliares que apoyan el enunciado de problema

multiplicativo, dado que estas representaciones toman sentido y son significativas en la

comprensión de estos enunciados si y sólo han sido objeto intencionado de enseñanza para los

estudiantes; c) las interpretaciones que realizan los estudiantes desde el trasfondo cultural al leer

un enunciado problema, puesto que las interpretaciones que éstos hacen de los enunciados abren

una brecha entre el significado y el contenido pensado por el autor de los enunciados y entendido

por el estudiante; y d) las marcas lingüísticas en el enunciado, dado que las marcas lingüísticas

pueden atribuirle a un enunciado de problema matemático una intención de movilizar elementos

de la estructura conceptual (Pontón, 2012).

Estos resultados llevan a afirmar que la comprensión de los enunciados de problemas

multiplicativos se da cuando el estudiante logra la capacidad de comprender y de hacer por sí

mismo cualquier cambio de registro de representación, es decir ser capaz de afrontar la

complejidad cognitiva de la conversión (Duval, 2016).

PALABRAS CLAVES: Comprensión, dificultades, enunciados de problemas multiplicativos,

conversión, representaciones semióticas.

xiii

Introducción

El presente trabajo se centra en identificar y describir las dificultades presentes en la actividad

cognitiva de comprensión de enunciados de problemas multiplicativos desde la perspectiva

semiótica-cognitiva desarrollada por Raymond Duval (1986, 1999a, 1999b, 2016), el cual ha

investigado profundamente los modos de funcionamiento cognitivo necesarios para la producción

de una actividad matemática escolar.

La comprensión de enunciados de problemas como primera actividad para la resolución de

enunciados de problemas matemáticos, y en particular para los multiplicativos, está ligada a la

necesidad de realizar una conversión del enunciado de problema a una operación con números, un

esquema, un dibujo o una representación figural que manifieste su solución final o parcial, entre

otras (Duval, 1999a). Esa conversión, que algunos denominan “traducción”, se hace a partir de

una representación que está en un registro de salida (en lengua natural) a otra representación que

está en un registro de llegada (aritmético, icónico, concreto, figural, etc.). Para Duval (1999b,

2016) el estudio del qué constituye, cómo funciona y para qué se hace estas conversiones pone en

un lugar privilegiado el papel que cumplen las representaciones semióticas en el aprendizaje de

las matemáticas.

En la actividad matemática los objetos matemáticos tienen una naturaleza intangible, es decir solo

son directamente accesibles por medio de sus representaciones semióticas, esta naturaleza hace

que sea una dificultad porque implica que para reconocer cualquier objeto matemático únicamente

se puede a través de las representaciones de este objeto (Duval, 2016). La complejidad de poder

reconocer un objeto matemático a partir, único y el exclusivamente, de sus representaciones es tan

grande que es allí dónde radica gran parte de los problemas en el aprendizaje de las matemáticas.

El presente trabajo se organiza en cinco capítulos. El primer capítulo presenta la problemática de

investigación y la pregunta problema las cuales permitieron planetar unos objetivos, general y

específicos.

xiv

En el segundo capítulo se presentan los aspectos conceptuales que se involucraron en este trabajo,

se tomó como referente teórico los aportes de Duval (1986, 1999a, 1999b, 2016) para establecer

qué implica la comprensión como actividad cognitiva en la enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas y Pontón (2012) en lo relacionado con la compresión de enunciados de problemas

matemáticos desde una perspectiva semiótica-cognitiva y lingüística. Adicionalmente, se

presentan los aspectos conceptuales para determinar qué y cuáles son los enunciados de problema

multiplicativos (Castro, 1994; Castro, Rico y Castro, 1995; Puig y Cerdán, 1995; Maza, 1999;

Vergnaud, 2003; Cid, Godino y Batanero, 2004).

En el tercer capítulo se presentan los aspectos metodológicos para el desarrollo del trabajo. Para

ello, se establecen los enunciados representativos del campo de enunciados de problemas

multiplicativos que fueron aplicados a los estudiantes de sexto grado de básica secundaria de la

Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes de la ciudad de Bogotá. Adicional a estos

enunciados se realizó la aplicación de dos versiones más: La primera versión implicaba

modificaciones a los enunciados representativos en relación a las marcas lingüísticas o con la

intensión de variar el trasfondo que pueden surgir en el estudiante al leer el enunciado de problema,

dado que, de acuerdo a lo que plantea Pontón (2012), las marcas lingüísticas pueden atribuirle a

un enunciado de problema matemático una intención de movilizar elementos de la estructura

conceptual y el trasfondo al leer el enunciado problema le permite a los estudiantes hacer

interpretaciones estos enunciados así no cuenten con algunos elementos del campo de

conocimiento. En la segunda versión, se les agregó a los enunciados representativos

representaciones auxiliares figurales o icónicas con el objetivo de evidenciar la incidencia de estas

representaciones en la comprensión de un enunciado de problema multiplicativo.

En el cuarto capítulo se realiza el análisis de la información obtenida en cuanto a las dificultades

encontradas en los estudiantes respecto en la comprensión de los enunciados de problemas

multiplicativos que debían resolver.

Finalmente, en el quinto capítulo se presentan las conclusiones resultantes que se derivan del

análisis realizado y que atienden al planteamiento del problema presentado. La presentación de las

xv

conclusiones se hace en dos momentos los cuales obedecen a los aspectos específicos que

emergieron del proceso investigativo.

Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas

1 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas

1. Planteamiento de la problemática

Este capítulo se presenta en dos momentos: en el primero, se realiza la contextualización de la

problemática abordada y, en el segundo, se plantean los objetivos a desarrollar en este trabajo.

1.1. Problema de investigación

El sistema escolar colombiano en la educación básica primaria propone a los estudiantes de

educación básica primaria un acercamiento inicial a la resolución de enunciados problemas

multiplicativos al plantear en los Estándares de Básicos de Competencias en Matemáticas

(Ministerio de Educación Nacional [MEN], 2006) estándares como “Resuelvo y formulo

problemas en situaciones de variación proporcional” (p. 80) para los grados 1° a 3° y “Resuelvo y

formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y producto de medidas” (p.

82) para los grados 4° a 5°.1 El abordaje de la comprensión en el aula de estos enunciados de

problemas multiplicativos está enmarcado desde diversas interpretaciones, por ejemplo, como

concebir que la multiplicación es una suma reiterada o abreviada que agranda y la división es una

resta reiterada que achica (Rojas, Romero, Mora, Bonilla, Rodríguez y Castillo; 2011); sin

embargo, quedarse en este tipo de interpretación es limitada dado que, como expresan Rojas et al.

(2011), la multiplicación de un número 𝑥 ∈ Ν por un número 𝑦 ∈ ℚ/𝑦 ∈ [0,1] no agranda el

número 𝑥.

Diferentes investigaciones en Educación Matemática han transcendido esta interpretación en que

la multiplicación y la división son una suma y una resta reiterada respectivamente porque se queda

corta en lo que respecta a la complejidad que abarca comprender un enunciado problema

multiplicativo. Por ejemplo:

Por un lado, hay dificultades ligadas a las diferentes estructuras semánticas que puede tener un

enunciado de problema multiplicativo, ver tabla 1.1.1, pues como plantea Puig y Cerdan (1995) y

Cid, Godino y Batanero (2004a) tiende a suceder que a los estudiantes se les dificultad menos

comprender un enunciado de problema multiplicativo que involucre la operación de la división

1 En el capítulo 2, numeral 2.3, se define qué se entiende por enunciado de problema multiplicativo.

Planteamiento de la problrmática

2 Yerry Londoño Morales

que la de multiplicación, puesto que el reparto o la distribución equitativa es más familiar para el

estudiante. Además, hay mayor facilidad para comprender un enunciado cuya estructura semántica

es de isomorfismo de medidas a algunos de comparación, siendo los enunciados cuya estructura

semántica es de producto de medidas más complejos para comprender.

Tabla 1.1.1

Algunas interpretaciones semánticas de la multiplicación

AUTOR TIPO DE ESTRUCTURAS MULTIPLICATIVAS

Maza (1991) Razón: problemas resolubles por suma reiterada

Combinación: problemas resolubles por producto cartesiano.

Castro et al. (1995)

Isomorfismo de medidas: es una estructura que engloba a los problemas en los que

subyace una proporcionalidad simple directa entre las dos magnitudes implicadas.

El producto de medidas: es una estructura que engloba a tres magnitudes M1, M2 y

M3, de tal manera que una de ellas, M3 es el producto cartesiano de las otras dos.

Puig y Cerdan (1995)

Isomorfismo de medidas: problemas en los que hay una proporción simple directa

entre dos espacios de medida. Como la multoplicación no es semanticamente

conmutativa, hay tres posibilidades dentro de esta categoria.

Comparación multiplicativa: hay una función escalar que se usa para comparar dos

cantidades extensivas del mismo tipo de magnitud.

Producto de medidas: corresponden al modelo de la multiplicación como producto

cartesiano.

Vergnaud (2003)

Isomorfismo de medidas: una relación cuartenria entre cuatro cantidades, dos

cantidades son medidas de un cierto tipo, y el resto son medidas de otro tipo.

Producto de medidas: una relación ternaria entre tres cantidades, de las cuales, una es

el producto de las otras dos, tanto el plano numérico como en el plano dimensional.

Cid, Godino y Batanero

(2004b)

Situación multiplicativa de razón: Situación en la que intervienen dos estados E1 y

E2 que hacen referencia a magnitudes distintas y una razón R que expresa el cociente

de E2 respecto a E1.

Situación multiplicativa de comparación: Intervienen dos estados E1 y E2 que hacen

referencia a una misma magnitud y una comparación C que indica el número de veces

que hay que repetir uno de los estados para igualarlo al otro.

Situación multiplicativa de combinación: Intervienen dos estados E1 y E2 que

expresan los cardinales de dos conjuntos o las medidas de cantidades de dos magnitudes

y un tercer estado Ef que indica el cardinal del producto cartesiano de esos dos conjuntos

o la medida de la cantidad de magnitud producto.

Por otro lado, hay dificultades, según Rojas et al. (2011), al considerar que para resolver un

problema multiplicativo solo es suficiente con encontrar cuál es la suma o resta reiterada que debe

hacerse, mas no comprender que la multiplicación es un cambio de unidad pues “cuando se

multiplica, lo que esencialmente se hace es expresar una cantidad o magnitud -no necesariamente

entera- de cierta cantidad o magnitud unidad en términos de otra unidad, y que para llevar a cabo

tal cambio de unidad, se realizan procesos de unitización o de normación” (Rojas et al., 2011, p.

58), esto implica reconocer en la multiplicación la importancia de determinar las unidades que se

ponen en juego y reconocer que las cantidades involucradas están atadas a cierta unidad.



Sin embargo, pese a la diversidad de literatura nacional e internacional sobre la enseñanza y el

aprendizaje de la multiplicación en la educacion primaria, las dificultades en lo que respecta a la

comprensión de las enunciados de problemas multiplicativas sigue siendo un tema latente para los

docentes. A continuación, vamos a analizar algunos resultados de las pruebas Saber 3º y 5º en

matemáticas aplicadas a los estudiantes de Colombia en lo que concerniente a la resolución de

enunciados de problemas multiplicativos:2

Prueba Saber 3º en matemáticas

- El 62,33% y el 45,28% de los estudiantes que presentaron la prueba en el 2014 y el 2016 no

respondieron correctamente las preguntas que evalúan la afirmación “Resolver y formular

problemas multiplicativos rutinarios de adición repetida”. La siguiente pregunta que evalúa

esta afirmación es tomada del Cuadernillo de preguntas de Matemáticas del ICFES (2015a, p.

125):

En una fiesta se repartieron 15 postres entre los invitados. Si cada invitado se comió 3

postres, ¿cuál grupo representa el total de invitados que asistió a la fiesta?

2 La información de estos resultados de las pruebas Saber de 3º y de 5º en matemáticas se obtuvo del Grupo de

Evaluación de la Calidad Educativa de la Subdirección de Referentes y Evaluación del MEN. El Instituto Colombiano

para la Evaluación de la Educación [ICFES] es la entidad nacional en Colombia encargada de diseñar, aplicar y

calificar las pruebas Saber, en la cual las afirmaciones “son enunciados que se hacen acerca de los conocimientos,

habilidades y capacidades que se pretende inferir a partir de las respuestas dadas por los estudiantes en las pruebas.

En otras palabras, la afirmación “traduce” el estándar en desempeños y permite dar cuenta del significado y alcance

de los puntajes obtenidos por los estudiantes” (ICFES, 2014)



En este tipo de preguntas cuya solución se determina por la ecuación 15 ÷ 3 = 5 el no acierto

a la respuesta correcta, según Cid et al. (2004a), puede estar determinada por factores como:

el vocabulario pues términos como “si cada” toman significado solo en la escuela o el orden

de los datos pues lo que se debe averiguar es cuántas veces se suma reiteradamente el 3 hasta

que de 15 y el enunciado problema tiene otro orden; en ambas situaciones la dificultad está en

aspectos de la comprensión del problema y no en dificultades de la operación.

- El 50,10% y el 46,26% no respondieron correctamente tampoco la afirmación “Resolver y

formular problemas sencillos de proporcionalidad directa” en la prueba de 2014 y el 2016. La

siguiente pregunta que evalúa esta afirmación es tomada del Cuadernillo de prueba Saber 3°del

ICFES (2015b, p. 11):

Un lustro es una medida de tiempo. La tabla muestra la cantidad de años equivalente a 1 y 2 lustros.

¿Qué operación permite calcular la cantidad de años equivalente a 3 lustros?

A. 1 + 5

B. 3 × 5

C. 3 × 2

D. 10 + 2

Al igual que el primer enunciado de problema analizado los no aciertos pueden justificarse

por la no comprensión del vocabulario, pues el empleo de la palabra “operación” en el lenguaje

ordinario puede referir, también, a una cirugía. Adicionalmente, en este tipo de enunciado

problema su abstracción es determinante puesto que le pide al estudiante plantear la operación

más no resolverla y, además, a éste se le pide una solución por multiplicación directa que, tal

vez, puede generar una dificultad cuando el estudiante lleva determinado tiempo practicando

solo sumas y restas reiteradas (Cid et al., 2004a).

Para Cid et al. (2004a) la abstracción se da cuando el estudiante supone que el multiplicando

(3) es un número que indica la medida de una cantidad de magnitud (lustros), mientras que el



multiplicador (5) nos dice las veces que se repite la cantidad inicial para determinar la

operación que da respuesta a la pregunta que es 3 × 5.

Aquí la abstracción incide para su comprensión pues el expresar 3 × 5 implica unos niveles de

complejidad mayores pues es necesario tener en cuenta varios elementos. Por ejemplo: pasar

por la interpretación de la tabla para lo cual hay que deducir relaciones entre las cantidades

presentes, es decir hay covariación.

Prueba Saber 5º en matemáticas

El 43,38% y el 39,94% de los estudiantes que presentaron la prueba en el 2014 y el 2016 tampoco

respondieron correctamente las preguntas que evalúan la afirmación “Resolver y formular

problemas multiplicativos rutinarios y no rutinarios de adición repetida, factor multiplicante, razón

y producto cartesiano”. La siguiente pregunta que evalúa esta afirmación es tomada del

Cuadernillo de prueba Saber 5° del ICFES (2015c, p. 11):

A un evento deportivo asistieron niños y adultos. Por cada 7 niños había 2 adultos. Si en total había 28

niños, ¿cuántos adultos asistieron?

A. 19

B. 9

C. 8

D. 7

En este enunciado problema sus no aciertos pueden ser causados por el vocabulario involucrado,

el orden de los datos dados y la abstracción requerida. Así mismo su complejidad aumenta pues

hay otros factores como:

La sintáctica de los algoritmos que para Maza (1991) se refiere cuando el estudiante no hace una

aplicación correcta de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, lo cual

implica el conocimiento de las centenas, decenas, unidades, etc., es decir un conocimiento del

sistema de numeración decimal. Por ejemplo, 28 × 2 = 20 × 2 + 8 × 2.



La sintáctica de los números cuando se ingresan cantidades menores que la unidad o muy grandes

o expresiones decimales o fraccionarias pues hacen difícil concebir modelos implícitos de las

operaciones (Puig y Cerdán, 1995), como por ejemplo que la división es un reparto para 2 ÷ 0,5.

La determinación de la unidad pues como identificaron Arce, Castrillón y Vega (1999) en los

enunciados de problemas multiplicativos cuya estructura semántica es de isomorfismo de medidas

hay menos dificultad si una de las cuatro cantidades es 1, por ejemplo, para la pregunta de la prueba

Saber 5º, analizada anteriormente, no se resuelve de mejor manera pues como no aparece 1 se

“oculta” la unidad dado que se propone una unidad con valor diferente a 1. Caso contrario que

sucede con las dos preguntas analizadas de la prueba Saber 3º.

Factores como la estructura semántica, el vocabulario, el orden de los datos, la abstracción, la

sintáctica de los algoritmos y los números y la determinación de la unidad inciden en la

comprensión y resolución de los enunciados de problemas multiplicativos pues pueden generar

dificultades. No obstantes, aunque las investigaciones nacionales e internacionales las han

abordado, la comprensión de los enunciados de problemas multiplicativos en Colombia sigue

siendo una dificultad para los estudiantes que deben resolverlos.

Pero ¿por qué persisten estas dificultades? Dar respuestas a esta pregunta implicaría considerar

que, en la enseñanza de los problemas multiplicativos, los docentes tengan en cuentas los factores

antes mencionados más todos los demás que se han identificado en la literatura en Educación

Matemático, pero se nos quedan por fuera de este trabajo, y aquellos factores que faltarían por

identificar. Si bien, no podamos elaborar de momento un cuadro completo de estas dificultades a

continuación abordaremos otro factor que incide en dichas dificultades las cuales serán objeto de

análisis.

Para iniciar es necesario aclarar que en esta investigación los objetos matemáticos poseen una

naturaleza intangible, es decir solo son directamente accesibles por medio de sus representaciones

semióticas,3 esta naturaleza implica que para reconocer cualquier objeto matemático, entendiendo

3 En el capítulo 2, numeral 2.1.1, se define que es una representación semiótica.



objeto matemático como “todo lo que es indicado, señalado, nombrado cuando se construye, se

comunica o se aprende matemáticas” (D’Amore, 2006, p. 180), únicamente se puede a través de

las representaciones de este objeto.

Según Duval (1999b, 2016), la complejidad de poder reconocer un objeto matemático a partir,

único y el exclusivamente, de sus representaciones es tan grande que es allí dónde radica gran

parte de los problemas en el aprendizaje de las matemáticas porque:

1. No basta con una sola representación del objeto puesto que una representación de un objeto

R1(O) conlleva su propio contenido de la representación 𝑅1(𝑂) → 𝑐𝑜𝑛𝑡{𝑅1}, porque el

contenido de una representación depende tanto del sistema movilizado para producir la

representación como del objeto representado; esto implica que entre diferentes

representaciones de un mismo objeto R1(O1), R2(O1), R3(O1)… los contenidos que evocan sus

representaciones son diferentes 𝑐𝑜𝑛𝑡{𝑅1(𝑂1)} ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑡{𝑅2(𝑂1)} ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑡{𝑅3(𝑂1)}… (Duval,

1999b, 2016), es decir cada representación de un objeto dice algo exclusivo “más no parcial”

del objeto.

Por ejemplo, en la figura 1.1.1 las representaciones R1(Oa), R2(Oa) y R3(Oa) son

representaciones distintas del mismo objeto, la R2(Oa) manifiesta que los dulces están

distribuidos equitativamente en las 3 bolsas, la R3(Oa) que los dulces están distribuidos no

equitativamente en las tres bolsas y la R1(Oa) no dice como están distribuidos los dulces.

R1(Oa): Juan tiene 18 dulces

distribuidas en 3 bolsas. ¿Cuántos

dulces puede tener en cada bolsa?

R2(Oa):

R3(Oa):

Figura 1.1.1. Varias representaciones de un mismo objeto



Pero ¿Por qué el solo poder reconocer un objeto matemático a partir de sus representaciones

implica una dificultad para el aprendizaje de las matemáticas y en particular para la

comprensión de enunciados de problemas multiplicativos? Pensemos cuando a un estudiante

se le pone la multiplicación 8 × 11 = 88, será posible que con solo el registro de

representación semiótico numérico el estudiante pueda reconocer,4 por ejemplo: a) que 8 y 88

son dos cantidades, A y C respetivamente, de una misma magnitud en las que se está haciendo

un comparativo, en el marco de los enunciados de problemas multiplicativos, de igualación

(11𝐴 = 𝐶) o, b) que 8 y 11 son dos cantidades, A y B respetivamente, de magnitudes diferentes

o iguales que se compone para dar una tercera cantidad C de magnitud distinta a las anteriores,

por lo cual entre A y C no es posible hacer una comparación en el marco de los enunciados de

problemas multiplicativos. Las interpretaciones a) y b) corresponden a significados semánticos

distintos otorgados a la multiplicación, entonces ¿Cuántas representaciones semióticas son

necesarios para que un estudiante pueda comprender el objeto matemático que se desea

aprender si cada representación semiótica distinta del mismo objeto tiene su propio contenido?

2. Ligado a la anterior, las representaciones semióticas en la actividad matemática no se reducen

a designar objetos matemáticos o tomar el lugar del objeto representado o ser consideradas

como objetos; de hecho, el uso de las representaciones semióticas está ligado por la posibilidad

del procesamiento matemático (función cognitiva) que permite, el cual solo es posible en la

medida que se pueda una representación de un objeto ser cambiada, mas no sustituida, por

otras representaciones sin la necesidad de adicionar más datos (Duval, 2016). Es en esta idea

donde se centran los mayores problemas en el aprendizaje de las matemáticas, y la

comprensión de los enunciados de problemas multiplicativos no son ajenas, pues el paso de

una registro a otro registro del mismo objeto puede tonarse fácil, difícil y, a veces, imposible

(Duval, 1999b). Ejemplo:

4 En el capítulo 2, numeral 2.1.2, se define que es un registro de representación semiótico.



Figura 1.1.2. Cambio representaciones de un enunciado de problema multiplicativo

El cambio de registro de la R2(Ob) al registro de la R3(Ob) en la dirección R2(Ob)→R3(Ob) se

observa que: a) la cantidad 3 que no representa ninguna medida sino un escalar del registro

numérico R2(Ob) corresponde en el registro figural unidimensional R3(Ob) a la cantidad de

veces que se repite el segmento 𝑎𝑏 en dicha representación, b) la cantidad $200000 que

representa una medida en R2(Ob) corresponde en R3(Ob) a la medida del segmento 𝑎𝑏.

Este cambio de registro de R2(Ob)→R3(Ob) no es un ejercicio espontáneo para el estudiante

porque, por un lado, comprender que la cantidad 3 en el registro unidimensional no representa

una medida del segmento 𝑎𝑏 mientras que $200000 sí lo representa no es obvio para el

estudiante y, por otro lado, comprender que en el registro numérico las cantidades 3 y $200000

se puede algoritmizar mientras que el registro unidimensional la correspondencia a estas

cantidades no es posible.

3. Determinar la variedad de estructuras semánticas de los enunciados de problema multiplicativo

es posible solo si éstos están representados por lo menos en un registro semiótico de la lengua

natural o las representaciones de estos enunciados tienen como apoyo el registro semiótico de

la lengua natural.

R1(Ob): Teresa ahorra al mes 3

veces más de lo que ahorra Ana.

Si Ana ahorra al mes $200000

¿Cuánto ahorra Ana al mes?

R2(Ob): $200000 × 3 = $600000

R3(Ob):



Por ejemplo, tener la representación numérica 5 × 3 = 15 no me dice desde el contenido del

registro numérico si su estructura semántica obedece a un isomorfismo de medidas, un

producto de medidas o una comparación. Es solo posible otorgar a 5 × 3 = 15 su estructura

semántica si está inmersa en un registro de lengua natural.

Entonces, solo es posible reconocer la estructura semántica de los enunciados de problemas

multiplicativos si se involucra un registro semiótico de lengua natural porque este registro,

según Duval (1999b), es el único que permite cumplir la función metalingüística de la

reflexividad discursiva la cual consiste “en señalar el valor, el modo o el estatus para una

expresión por parte de quien lo enuncia” ( p. 84), es decir que es en el registro de lengua natural

donde el enunciado de problema multiplicativo se sitúa con respecto a otros enunciados de este

tipo, de acuerdo al interés que el autor haya colocado en el enunciado o incluso en la relación

que quiera establecer con el lector del enunciado.

Así pues, el que el enunciado de problema multiplicativo esté en registro de lengua natural

implica que su comprensión no es tan obvia puesto que, como menciona Pontón (2012), “los

problemas de matematización llevados al aula de clases depende completamente de la

comprensión del enunciado producido en el registro de la RL que permita una tarea de

conversión, asunto que no es nada espontáneo.” (p. 423; cursiva y negrillas propias del autor),

en otras palabras si una situación problema en matemáticas está presentada en lengua natural

no hace que sea más fácil de solucionar, de hecho la complejidad cognitiva de resolver un

enunciado de problema, en particular aquellos que enunciados de problemas multiplicativos,

abarca un problema didáctico de orden mayor porque la comprensión de un enunciado

problema matemático involucra:

- De una parte, dotar a los estudiantes de elementos que le permitan ser capaces de

discriminar dos descripciones que se superponen: la situación extra-matemática que se

presenta en el enunciado del problema que se pretende movilizar y la situación matemática

de un modelo de tratamiento matemático instanciado por valores numéricos del enunciado

(Duval, 1999a). En la figura 1.1.3 se muestra como enunciado de problema describe las

dos situaciones: matemática y extra-matemático, que se yuxtaponen.



Figura 1.1.3. Ejemplo de las dos descripciones superpuestas en un enunciado de problema.

- De otra parte, para Duval (1999a) lograr la comprensión de un enunciado de un problema

es fundamental el retener las unidades cognitivamente pertinentes que están definidas por

dos dimensiones semánticas diferentes:5 la dimensión semántica de los valores numéricos

que al significado connotativo que pueden tomar las cantidades de acuerdo al enunciado

problema, por ejemplo, en la figura 1.1.3 las cantidades 1200, 12 y 3 son números

cardinales que me cuantifican distintos elementos. Y la dimensión semántica de orden para

los sucesos de la situación extra-matemática del enunciado de problema.

Esta retención de las unidades cognitivamente pertinentes para la comprensión de un

enunciado de problema según las dos dimensiones semánticas (de valores numéricos y de

orden) estipula que no es posible considerar, por ejemplo, la cantidades en lo numérico o

los términos analíticos-descriptivos o denotativos en lo geométrico de manera aislada, dado

que “los símbolos matemáticos uno por uno con su interpretación impide ver que sólo

adquieren sentido global como sistema simbólico suficientemente complejos para sugerir

interpretaciones no sólo por los símbolos mismos como unidades significantes sino por sus

relaciones espaciales y temporales” (Pontón, 2012, p. 423; corchetes fuera del autor), en

otras palabras, un signo (como en la figura 1.3 son los números 1200, 12 y 3) no funciona

fuera del sistema simbólico puesto que es sólo ahí donde toma valor, en este sentido extraer

5 En numeral 2.2, del capítulo 2, se define que es una unidad cognitivamente pertinente.



solo los datos numéricos para resolver un enunciado evidencia poco o nula comprensión

de la situación a resolver.

Ahora bien, de acuerdo con lo expuesto, se han dado tres argumentos por los cuales se manifiesta

que el acceder a los objetos matemáticos solo a través de las representaciones semióticas es una

limitante para la comprensión de las matemáticas, y en particular de los enunciados de problemas

multiplicativos, porque: uno, ¿Cómo reconocer un objeto matemático en dos representaciones

diferentes si sus contenidos no tiene nada en común? El reconocimiento de un objeto matemático

es una actividad que es posible a través de múltiples representaciones de ese objeto, pero un

problema es que varias representaciones de un mismo objeto sus contendidos no tiene nada en

común (Duval, 2016); dos, en la actividad matemática la comprensión se da en la medida que no

se enfoque en las representaciones de un objeto matemático, sino en la propiedad cambiar de

registro de representación (Duval, 1999a, 1999b y 2016) y; tres, de acuerdo a Benveniste (1931),

citado por Duval (1999b, p. 29) el registro de lengua natural es “la organización semiótica por

excelencia”; sin embargo, aunque este registro se utilice cotidianamente en la vida su uso en la

actividad matemática genera altos costos cognitivos, pues no es posible realizar algoritmos en este

registro, el paso de este registro a otro no es una actividad siempre fácil y, usualmente, no es objeto

de enseñanza en la escuela de manera intencionada dado que se da por obvio el dominio del mismo.

En consecuencia con lo mencionado, la pregunta que ocupa el estudio de este trabajo es la

siguiente:

¿Cuáles son las dificultades que encuentran los estudiantes de grado sexto de básica secundaria

de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes en el proceso de la comprensión de

enunciados de problemas multiplicativos, desde una perspectiva semiótico-cognitiva?



1.2. Objetivos

General

Identificar y describir las dificultades que encuentran los estudiantes de grado sexto de educación

básica secundaria de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes en el proceso de la

comprensión de enunciados problemas multiplicativos, desde una perspectiva semiotico-cognitiva.

Específicos

- Determinar los registros de representación semiótica que privilegian los estudiantes de grado

sexto de educación básica secundaria de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes

en el proceso de la comprensión y resolución de enunciados problemas multiplicativos.

- Caracterizar las conversiones entre los registros de representación semiótica que realizan los

estudiantes de grado sexto de educación básica secundaria de la Institución Educativa Distrital

Colegio Entre Nubes en el proceso de la comprensión y resolución de enunciados problemas

multiplicativos.

- Identificar algunos de los elementos que dificultan las conversiones entre los registros de

representación semiótica que realizan los estudiantes, de grado sexto de educación básica

secundaria de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes en el proceso de la

comprensión y resolución de enunciados problemas multiplicativos.

Marco teórico


2. Marco teórico

El siguiente capítulo se presentan los elementos de orden conceptual en lo que respecta a: el papel

que cumplen las representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas; qué constituye,

cómo funciona y para qué se hace la tarea de conversión y su relación con la comprensión de los

enunciados de problemas matemáticos y; qué se entiende y cuáles son los enunciados de problemas

multiplicativos.

2.1. Las representaciones semióticas y su papel en la comprensión de enunciados de

problemas matemáticos

La comprensión de enunciados de problemas como primera actividad para la resolución de

problemas matemáticos, y en particular para los problemas multiplicativos, está ligada a la

necesidad de pasar del enunciado de problema en lengua natural a una operación con números, a

un esquema, un dibujo, una representación figural, entre otras, que manifieste su solución final o

parcial (Duval, 1999a). Este paso, que algunos denominan “traducción”, se hace a partir de una

representación que está en un registro de salida (en lengua natural) a otra representación que está

en un registro de llegada (aritmético, icónico, concreto, figural, etc.). Según Duval (1999a, 1999b

y 2016), el estudio del qué constituye, cómo funciona y para qué se hace este paso pone en un

lugar privilegiado el papel que cumplen las representaciones semióticas en el aprendizaje de las

matemáticas.

La perspectiva semiótica-cognitiva desarrollada por Raymond Duval (1986, 1999a, 1999b, 2016)

ha investigado profundamente sobre el papel que cumple estas representaciones y es desde aquí

que se fundamenta este trabajo para dar respuesta a la pregunta de investigación definida en el

capítulo 1.

A continuación, se va a definir y caracterizar qué es una representación semiótica, qué es un

registro semiótico de representación o sistema semiótico de representación, cuáles son los criterios

de congruencia entre los registros de representación y, finalmente, qué establece que un registro

semiótico sea una lengua puesto que los enunciados de problemas multiplicativos están dados en

Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas


un registro de lengua natural y, como se explicó en el capítulo anterior, es en este registro donde

se determina la variedad de estructuras semánticas de los enunciados de problema multiplicativo.

2.1.1. Representación semiótica. Las representaciones semióticas están determinadas por los

“signos y sus asociaciones complejas, que se producen de acuerdo con reglas y que

permiten la descripción de un sistema, un proceso, un conjunto de fenómenos” (Duval, p.

61), es decir que una representación semiótica tiene como referente un sistema de

semiótico. De acuerdo con lo anterior, y como lo manifiesta Duval (2016), las

representaciones semióticas no se reducen a designar objetos matemáticos, es decir

colocarles nombres, a sustituir estos objetos perdiendo su característica intangible, o ser

considerada la representación como el objeto mismo.

En consecuencia, las representaciones semióticas no solo cumplen una función

comunicativa, sino que produce conocimiento en tanto que se puedan cambiar por otras

representaciones sin el apoyo de nuevos datos (Duval, 1999b, 20016).

En algunas situaciones como en los enunciados de problemas matemáticos de algunos

textos escolares o realizados por algunos docentes, el creador de la representación

semiótica involucra representaciones de manera intencionada o no para que sirvan de apoyo

o guía para la comprensión de la representación semiótica o solo por decoración. Duval

(2016) denomina a estas representaciones involucradas como representaciones auxiliares.

Una representación auxiliar puede ser una representación semiótica o no semiótica.

Hablaremos de representaciones no semióticas cuando, según Duval (2016), no dependen

de un sistema semiótico, por tanto, no puede ser cambiadas por otras representaciones

“equivalentes” aunque se usan en la actividad matemática. Algunas de estas son:

- Representaciones icónicas que son las que presentan un parecido con elementos

materiales (Duval, 2016).

- Representaciones concretas que son usadas para manipulaciones libres, como por

ejemplo los palillos para contar (Duval, 2016).

Marco teórico


- Las ilustraciones que, según Pontón (2012), privilegian datos poco relevantes y en

muchas ocasiones se vuelve un distractor para el lector.

- Los esquemas que, a diferencia de la ilustración, si tiene en cuenta los datos relevantes.

Frente a este tipo de representación Pontón (2012) aclara que:

Estos esquemas presentan dos inconvenientes: el primero es que hay diferentes

esquemas que se deben utilizar según los diferentes tipos de problemas; en estas

condiciones, la utilización del esquema apropiado presupone ya la comprensión

global del enunciado a un nivel suficiente para escoger cuál esquema puede ser el

más apropiado. El segundo inconveniente es su legibilidad semiótica: de una parte,

la separación de los dos tipos de datos que no se revelan en las mismas dimensiones

no se representa claramente; de otra parte, el recurso a las flechas exige una

interpretación por parte de los estudiantes, que se revela siempre delicada. (p. 145)

A continuación, en la tabla 2.1.1 se presentan algunos ejemplos de las representaciones

auxiliares:

Tabla 2.1.1

Ejemplos de un mismo enunciado de problema multiplicativo con representaciones auxiliares

Tipo de

representación

auxiliar

Ejemplo

No semiótica -

Icónica

En un entrenamiento de

fútbol 4 jugadores deben

realizar 3 tiros a la

portería cada uno

¿Cuántos tiros en total

deben hacerse a la

portería?

No semiótica -

Ilustración

En un entrenamiento de fútbol

4 jugadores deben realizar 3

tiros a la portería cada uno

¿Cuántos tiros en total deben

hacerse a la portería?

No semiótica -

Esquema

En un entrenamiento de fútbol 4

jugadores deben realizar 3 tiros

a la portería cada uno ¿Cuántos

tiros en total deben hacerse a la

portería?



Semiótica – Plano

cartesiano

En un

entrenamiento de fútbol 4 jugadores deben realizar

3 tiros a la portería cada uno ¿Cuántos tiros en total

deben hacerse a la portería?

Nota: La primera imagen fue tomada de https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-

didacticos/problemas-de-multiplicacion/ y la segunda imagen de https://pixers.es/fotomurales/nino-

jugando-futbol-de-dibujos-animados-57095722.

2.1.2. Registro semiótico de representación. Son aquellos que permiten cumplir tres actividades

cognitivas (Duval, 1999a, 1999b):

La primera, la formación de una representación semiótica se da por la constitución de una

marca o un conjunto de marcas perceptibles que sean identificables y que tienen como

objetivo evocar el objeto matemático a partir de unos signos que dependen del sistema

semiótico al cual pertenecen. Al ser evocado el objeto, es necesaria la “selección en el

conjunto de caracteres y de las determinaciones que constituye lo que se quiere decir”

(Duval, 1999, p. 42). Es decir, que la formación de una representación es la primera

actividad cognitiva involucrada, de tal manera que la asociación formada de los signos

tenga un sentido. Por ejemplo, en la tabla 2.1.2 se presentan diferentes registros en el que

se representa el mismo objeto matemático, estos diferentes registros contienen cada uno

conjunto de marcas perceptibles las cuales evocan el mismo objeto matemático.

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/problemas-de-multiplicacion/

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/problemas-de-multiplicacion/

https://pixers.es/fotomurales/nino-jugando-futbol-de-dibujos-animados-57095722

https://pixers.es/fotomurales/nino-jugando-futbol-de-dibujos-animados-57095722

Marco teórico


Tabla 2.1.2

Diferentes registros semióticos del objeto matemático

Registro

numérico Registro figural unidimensional (recta numérica)

Registro de lengua

natural

3 × 5 = 15

Organicen tres

grupos, de tal

manera que cada

grupo este

conformado por

cinco personas

La segunda y la tercera son las actividades que determinan que las representaciones

semióticas cumplen, además de una función de comunicar, una función de transformación,

puesto que se obtendrán otras representaciones en el mismo registro u otro. El tratamiento

consiste en “transformar las representaciones de acuerdo con las únicas reglas propias al

sistema, de modo que se obtengan otras representaciones que puedan constituir una

ganancia de conocimiento en comparación con las representaciones iniciales” (Duval,

1999b p. 29). Esta transformación se efectúa en el mismo sistema de registro de

representación semiótica, o sea que el tratamiento es una actividad interna al registro que

depende de los recursos propios de la representación para poder actualizar el objeto

matemático, esto con el objetivo de responder a una necesidad de hacer explícito o

implícito el contenido evocado de dicho objeto. Es por ello, que cada registro de

representación semiótica ofrece posibilidades específicas de diferentes tratamientos. En la

tabla 2.1.3 se muestran dos tratamientos que se realizan al registro numérico de salida, las

representaciones de ambos tratamientos siguen estando en el registro numérico.

Tabla 2.1.3

Diferentes tratamientos en el sistema de representación semiótica Registro de salida Tratamiento B Tratamiento C

3 × 5 = 3 × 5 = (3 + 3) + (3 + 3) + 3 3 × 5 = 5 + 5 + 5

La tercera actividad, la conversión, es la transformación de una representación de un objeto

en un registro de salida a otra representación del mismo objeto en otro registro de llegada,

en este tipo de actividad se conserva “la referencia al mismo objeto (objeto en el sentido

estricto, situación…), pero no conserva la explicitación de las mismas propiedades de

ese objeto. Por ende, la representación del objeto en el registro de llegada no tendrá el



mismo contenido que su representación en el registro de partida” (Duval, 1999a, p. 45,

negrilla propias del autor). De ahí que este tipo de transformación sea externa al registro.

En la tabla 2.1.2 las conversiones correspondería a: la transformación del registro númerico

al registro figural unidmensional o viceversa, la transformación del registro númerico al

registro en lengua natural o viceversa y la transformación del registro figural

unidmensional al registro en lengua natural o viceversa.

Pontón (2012) denomina como “intrarregistro” para el tratamiento e “interregistro” para la

conversión, que junto a la formación de representaciones semióticas me determinan un

registro semiótico de representación.

De las tres actividades cognitivas que involucra un registro semiótico de representación,

Duval (1999b) manifiesta que, es la conversión la tarea con mayor grado complejidad en

la medida que es una actividad que se encuentra orientada de un registro a otro donde es

necesario precisar el registro de salida y el registro de llegada.1 Por lo tanto, en la

conversión se involucra por lo menos dos registros de representación semióticos, el pasaje

de un registro a otro puede ser espontáneo o lineal (se habla de congruencia) o, en su

defecto, el pasaje de un registro a otro puede ser opaco (se habla de no congruencia) (Duval,

1999b).

2.1.3. Congruencia o no congruencia entre los registros de representación. Se precisa a partir

de los tres criterios que Duval (1999a, 1999b, 2016) expone:

- La correspondencia lexical entre las unidades significantes propias a cada representación

semiótica de cada registro, una correspondencia uno a uno entre los elementos constituyes

significativos (símbolos, palabras, reagrupamientos de palabras o de símbolo o

reagrupamientos visuales), es decir no puede haber una unidad significante de la

1 No obstante, Rojas (2014) presenta evidencias en las que manifiesta que “las transformaciones de tratamiento entre

representaciones semióticas -al interior de la variedad de registros utilizados-, no solo resultan fundamentales sino que

podrían ser fuente de dificultades en los procesos de comprensión de las matemáticas por parte de los estudiantes” (p.

14). Si bien en este trabajo investigación se centra la mirada en la transformación de conversión no hay que desconocer

la complejidad asociada a la actividad cognitiva de tratamiento.

Marco teórico


representación semiótica del registro de salida que no le corresponda una unidad

significante de la representación semiótica del registro de llegada y viceversa. Una unidad

significante en una representación semiótica es toda unidad que depende estrictamente del

léxico de ese registro y toma sentido de acuerdo con las únicas reglas de conformidad del

registro, según Duval (1999b, p. 73) “Las unidades significantes que componen una

representación, es decir, un enunciado, una fórmula o un texto, no aparecen de manera

separada e independiente unas de otras, de la misma manera como en los registros las

unidades discretas. Esto, simplemente porque la segmentación de estas representaciones

en unidades significantes es esencialmente funcional y porque estas unidades pueden ser

tanto palabras o símbolos como reagrupamientos de palabras o de símbolo.”

Ejemplo:

En la figura 2.1.1 se observa que registro de lengua natural contiene cinco unidades

significantes y el registro numérico tiene la misma cantidad de unidades significantes.

Entre ambos registros hay correspondencia lexical dado que cada unidad significante de

cada registro le corresponde una unidad significante del otro registro. No obstante, puede

suceder que a una unidad significante del registro de salida le corresponde dos más

unidades significantes del registro de llegada o viceversa.

Figura 2.1.1. Correspondencia lexical entre las unidades significantes de un registro en lengua natural y un

registro numérico

- La univocidad semántica terminal, cada unidad significante elemental de la representación

semiotica en registro de salida le corresponde sólo una única unidad significante en la

representación semiótica del registro de llegada. Es decir que a una unidad significante del



registro semiótico del registro de salida no le deben corresponder dos unidades

significantes de la representación semiótica del registro de llegada. Ejemplo:

Figura 2.1.2 Univocidad semántica terminal entre la unidades significantes de un registro en lengua natural

y un registro numérico

- El orden de organización de las unidades significantes en la representación de salida se

conserva o no en la representación de llega, es decir, el orden de las unidades significantes

en las representaciones de salida y de llegada guardan o no estricto orden. En la figura 2.1.3

se presenta un ejemplo de cuando entre dos registros se conserva dicho orden de

organización de las unidades significantes.

Figura 2.1.3. Conservacion del orden de organización de las unidades significantes entre la unidades

significantes de un registro en lengua natural y un registro numérico

2.1.4. Registro de lengua natural. Duval (1999b) plantea que un registro es una lengua si cumple

las cuatro funciones discursivas para que haya un discurso, estas son:

Marco teórico


Tabla 2.1.4

Funciones discursivas de una lengua

Tipo de función ¿Qué permite?

Referencial Designar objetos

Apofántica Decir alguna cosa sobre los objetos que se designan, bajo la forma de

una proposición enunciada

Expansión

discursiva

Vincular la proposición enunciada con otras en un todo coherente

(descripción, inferencia...) y

Reflexivilidad Señalar el valor, el modo o el status acordado para una expresión por el

que la enuncia.

Nota: Tomado de Duval (1999b, p. 84)

La función referencial es la que me permite designar los objetos en una lengua, por ejemplo,

en la figura 2.1.3 el “24” en el enunciado de problema multiplicativo me designa el objeto

matemático que me representa el número evocado. Como solo el 24, en el enunciado

problema, no me permite una actividad discursiva es necesario poder decir algo de ese

objeto designado en una proposición (unidad apofántica), o sea que la lengua debe permitir

la función apofántica, de ahí que en enunciado problema de la figura antes mencionada se

dice algo del objeto designado “Julio tiene 24 caramelos”.

La función de expansión discursiva de un enunciado completo permite poder vincular todas

las unidades apofánticas a unidad discursiva de tal manera que tenga continuidad y esté en

un todo coherente, entre ellas encontramos: relato, descripción, explicación, comentario,

argumentación, cálculo, etc. (Duval, 1999b). En la figura 2.1.3 todo el enunciado de

problema es una expansión discursiva dado que describe una situación (real o no) que

acontece.

Finalmente, la función de reflexividad, según Duval (1999b), permite situar el enunciado

completo con respecto a otros enunciados de este tipo, de acuerdo con el interés que el

autor haya colocado en el enunciado o incluso en la relación que quiera establecer con el

lector del enunciado. Para el enunciado de problema multiplicativo de la figura 2.1.3 se

puede situar dicho enunciado con relación a otros enunciados multiplicativos, de acuerdo

con el tipo de estructura semántica que se definieron en la tabla 1.1.1 del capítulo 1.



2.2. La comprensión de los enunciados de problemas matemáticos: la tarea de conversión

De acuerdo con Duval (1999a, p. 90) “todas las dificultades relativas a los problemas se basan

principal sino exclusivamente en la comprensión de los enunciados de esos problemas”. Para este

trabajo la comprensión matemática presume la coordinación de al menos dos registros de

representación semiótica (Duval, 2016). En otras palabras, el comprender un enunciado de

problema matemático, y en particular los problemas multiplicativos, lleva inmersa la tarea de

conversión porque resolver estos enunciados se movilizan simultáneamente varios registros de

representación: el registro salida que está dado en lengua natural y el registro de llegada que puede

estar dado en registros semióticos como numéricos, figurales (uni, bi y tridimensionales),

tabulares, etc.

Es decir, que a los estudiantes se les presentan dos planos de la actividad de resolver un enunciado

de problema matemático, el plano de un enunciado como tarea a realizar y el plano de un cálculo

como solución a esa tarea.2 El paso de un plano a otro puede tornase fácil o imposible para el

estudiante pues todo depende si la tarea de conversión que el estudiante realice a los registros

involucrados (de salida y de llegada) sea congruente o no (Duval, 1999a, 1999b, 2016). En otras

palabras, las dificultades en la resolución de problemas radican es su comprensión (cambio de

registro para poder solucionarlo) y no en los cálculos realizados, sin demeritar la importancia del

uso adecuado de las reglas de conformidad propias de cada sistema de signos de cada registro para

realizar sus tratamientos.

De acuerdo con lo anterior, es en la conversión que se pone el peso de la comprensión y esto lleva

a cuestionarse ¿en qué consisten las dificultades de la conversión para resolver enunciados de

problemas matemáticos, y en particular los enunciados de problemas multiplicativos? Estas

dificultades, según Duval (1999a), se basan en una doble dificultad:

2 Se entiende por tarea como lo expresa Carroll (1993, citado por Acosta y Vasco, 2013, p. 49) a “cualquier actividad

en la que se involucra una persona, dado un marco apropiado, con el fin de lograr una clase determinada de objetivos,

resultados finales o situaciones terminales. Se debe entender, sin embargo, que dicha «finalidad» es solo relativa; el

resultado final o el estado podría llevar solo a otra terea, ya sea una repetición de la misma o una diferente”. Es decir,

una tarea es una mediación para acciones intencionadas; que se puede entender también como una forma de canalizar

las interacciones de los estudiantes y el docente (Obando, 2015).

Marco teórico


Dificultad a: Todos los problemas extra-matemáticos superponen dos descripciones en un mismo

enunciado: una, es la descripción de una situación no matemática que se pretende modelizar

(situaciones de ganancia y perdida, de compra y venta, de repartición, de comparación, etc.), y la

otra descripción, corresponde a la de un modelo de tratamiento matemático parcialmente

instanciado por valores numéricos (de tal manera que se puedan encontrar los otros). Ejemplo:

El problema anterior, involucra dos cantidades, donde la situación extra-matemática es la

comparación de la edad de dos sujetos (Claudia y Teresa). El modelo matemático instanciado

resultan de la comparación de orden multiplicativo, y no aditivo, de estas cantidades (3 × 14 =

42).

Dificultad b: Los objetos pertinentes (es decir, las unidades cognitivamente pertinentes en el

enunciado del problema) que han de retenerse para la resolución de un problema extra-matemático

siempre están definidos por el cruce de las determinaciones relevantes de dos dimensiones

semánticas diferentes, la dimensión semántica de los valores numéricos para las cantidades y la

dimensión semántica de los valores de orden para los eventos, las transformaciones. Para Duval

(1999a), las unidades cognitivamente pertinentes en una representación semiótica A, del registro

de salida, son aquellas unidades significantes de dicha representación cuya variación también

provocan un cambio en la representación semiótica B, del registro de llegada.

Para el ejemplo mencionado anteriormente, la dimensión semántica de los valores numéricos

corresponde al significado que toman los números connotativamente, de acuerdo con el contexto

en que se sitúa el enunciado de problema. Así, el 3 es un escalar que me indica la cantidad de veces

que se repite la edad de Teresa para obtener la edad de Claudia, mientras que el 14 es la medida

que me cuantifica la edad de Teresa. La dimensión semántica de los valores de orden está definida



por la disposición temporal en que se enmarcan las unidades significantes determinadas en el

problema.

En lo que respecta a las unidades cognitivamente pertinentes en el ejemplo anterior, U1 es una

unidad cognitivamente pertinente cuando su variación provoca un cambio en la representación

semiótica de salida. Si se cambia en U1 “3 veces más” por “la tercera parte de”, entonces tenemos

una variación en la representación del registro de llegada puesto que la edad de Claudia no

correspondería a 42 años.

De acuerdo con esta doble dificultad que en marca la conversión de todo enunciado de problema

deja en evidencia que la comprensión de un enunciado no es una tarea espontánea. Así mismo, la

comprensión de un enunciado de problema matemático está determinada por las interacciones

entre las variables relativas al lector y las variables relativas a la redacción del texto, dicha

interacción me determina las posibles situaciones de lectura que se pueden presentar en la

comprensión de un enunciado de problema (Duval, 1999b), como se muestra en a figura 2.2.1.

Figura 2.2.1. Comprensión de textos, tomando elementos de Duval (1986, 1999b).

Marco teórico


2.2.1. Variables de la redacción. Éstas dependen de la interacción entre el contenido cognitivo

del enunciado problema (es decir relativo a los conocimientos expresados) y la

organización de la redacción (plano lingüístico) del enunciado problema (Duval, 1986,

1999b).

Contenido cognitivo. Tanto en las aulas de clase como en los textos escolares de

matemáticas son presentados enunciados de problemas matemáticos similares o que

creemos tienen igual contenido cognitivo, no obstantes estos enunciados similares en su

mayoría evocan diferentes costos cognitivos (conocimientos necesarios para la solución

del enunciado), temas tratados o contendido cognitivo. Duval (1999b) afirma que el

contenido cognitivo de un enunciado:

“se define generalmente como el conjunto de los conocimientos que son necesarios

para la comprensión del tema tratado, independientemente de los que el texto

movilice o presente. Dicho de otra manera, el contenido cognitivo está definido en

referencia a los conocimientos de que dispone un experto sobre el tema tratado.

[…]. Entonces, el contenido cognitivo de un texto debe ser definido en tanto que

invariante de un conjunto de variaciones redaccionales, potenciales o

efectivamente realizadas en diferentes versiones”. (p. 271; cursiva propias del

autor).

Ejemplo:

Tabla 2.2.1

Enunciados de problema multiplicativo con diferente contenido cognitivo

Problema de comparación en contexto de

compra-venta.

Problema de proporcionalidad directa

simple en contexto de compra-venta.

María vende lápices a $500 cada uno. Si Pedro

vende el doble del lápiz que María y ha vendido

4 lápices ¿Cuántos lápices vendió María?

María vende lápices a $500 cada uno. Si Pedro

compró 2 lápices a María ¿Cuánto dinero

recibió María?

Nota: Ejemplo de enunciados de problema multiplicativo de igual contexto y diferente contenido

cognitivo.



En la tabla 2.2.1 se muestra dos enunciados con igual contexto de compra-venta donde

interviene los mismos sujetos, pero cuyo contenido cognitivo son distinto pues su

estructura semántica son distintas: una comparación y otra proporcionalidad directa simple.

Es necesario aclarar que el contenido cognitivo de un enunciado problema matemático no

se debe confundir con la base de conocimientos que dispone el lector.

Organización de la redacción. Una aprehensión de la organización de la redacción de un

enunciado de problema matemático es la que permite el acceso al contenido cognitivo

(Duval, 1986, 1999b), es decir que la organización de la redacción de un enunciado es la

estrategia utilizadas por el autor del enunciado para que el posible lector, o sea el estudiante

que debe resolver el problema, objetívese el conocimiento movilizado. Dicha estrategia,

según Duval (1999b), está determinada por los tres factores de la variación de la redacción

de un enunciado de problema matemático, que corresponden esencialmente a la manera

como es explicitado el contenido cognitivo del texto.

El primero es relativo a la escogencia de elementos (objetos, relaciones, estados de

hecho...) que son explicitados […]. El segundo, más trivial, es relativo a la

escogencia de las expresiones referenciales o apofánticas para tematizar los

elementos que se quiere explicitar. El tercero concierne el orden de presentación de

los elementos explicitados. Este orden es evidentemente un orden de tematización

que se refleja en el orden de sucesión de las frases. (Duval, 1999b, p. 272-273)

Así pues, la organización de la redacción de un enunciado de problema matemático puede

ser modificada según estos tres factores de variación sin que se altere el contenido cognitivo

del enunciado (Duval, 1999b), es decir que se pueden obtener diferentes organizaciones de

la redacción de un enunciado problema con el mismo contenido cognitivo. Ejemplo:

Marco teórico


Tabla 2.2.2

Enunciados de problema multiplicativo con diferente organización de la redacción.

Enunciado de porlema A Enunciado problema B

¿Cuánto dinero recibió Maria de Pedro? Si

Pedro le compró 2 lápices por el valor de $500

cada uno.

María vende lápices a $500 por unidad. Si

Pedro compró un par de lápices a María

¿Cuánto dinero recibió María?

Nota: Ejemplo de enunciados de problema multiplicativo de igual contenido cognitivo y diferente

organización de la redacción.

En el ejemplo de la tabla 2.2.2, observamos que en el enunciado de problema B, el primer

factor de la variación de la redacción corresponde a los elementos que son nombrados,

estos son: María, cada uno, $500, compra-venta, lápices, entre otros.

El segundo factor de la variación de la redacción corresponde a las tres unidades

apofánticas que tematizar los elementos que se quiere explicitar, estas unidades son: U1:

María vende lápices a $500 cada uno, U2: Si Pedro compró 2 lápices a María y U3: ¿Cuánto

dinero recibió María?

El tercer factor de la variación de la redacción corresponde a la progresión en que se

determinan la concatenación de cada una de las unidades apofánticas, para el ejemplo que

tratamos es 𝑈1 → 𝑈2 → 𝑈3.

En lo que respecta a los dos enunciados problemas multiplicativos de la tabla 2.2.2 tiene

igual contendido cognitivo, pero diferente organización de la redacción, dado que entre los

enunciados A y B se modifica la organización de la redacción al: 1) explicitar más los

elementos de su contenido cognitivo, como es el caso que se especifique de quién recibe

dinero María en enunciado A o la palabra “par” en el enunciado B se convierta en un

registro diferente en el enunciado A. 2) El enunciado A sigue un orden diferente de

presentación al enunciado B.

2.2.2. Variables relativas al lector. Éstas dependen, según Duval (1986, 1999b), del estudiante

que resuelve el enunciado problema con respecto a: la base de conocimientos para afrontar

el contenido cognitivo del enunciado, la comprensión de las diferentes palabras que tiene

el enunciado problema, la competencia para la decodificación sintáctica, etc. Ejemplo:



Para que el estudiante comprenda este enunciado de problema multiplicativo es necesario

que tenga conocimientos en lo que corresponde a la multiplicación para instanciar el

modelo de tratamiento matemático adecuado a la solución del problema, sea está concebida

inicialmente como suma reitera, cambio de unidad, entre otras. Adicionalmente, conocer

los términos que se involucra en el enunciado como “veces más”, identificar los sujetos

que intervienen en el enunciado (Claudia y Teresa) y comprender la estructura del

enunciado con relación a las unidades de información de orden lexical, unidades

significativas y cómo estás se relacionan.

2.2.3. Operaciones relativas de los procesos de comprensión de enunciados de problema

matemáticos. Es debido a la interacción entre las variables de la redacción y las variables

relativas al lector en la comprensión de un enunciado problema matemático que se pueden

presentar diferentes situaciones de lectura (Duval, 1999b). Dichas situaciones dependen

según Duval (1999b, p. 266):

De un lado, la distancia entre el contenido cognitivo del texto y la base de

conocimientos del lector y, del otro, la diferencia entre la organización propia al

contenido cognitivo del texto y la organización redaccional del texto. Estas dos

diferencias pueden variar considerablemente y así modificar radicalmente la

situación de lectura. La situación más simple ocurre cuando estos dos tipos de

diferencias están reducidos al mínimo; es la que se aproxima más a la comprensión

del discurso oral cotidiano. El problema de la comprensión de textos en la situación

escolar surge cuando se aleja de la situación que llamaremos una práctica oral del

texto, es decir, cuando surge una distancia significativa para uno de los dos

factores.

Marco teórico


Para enfrentarnos a estas situaciones de lectura Duval (1999b) menciona que es necesario

realizar dos operaciones fundamentales: la primera, es la segmentación de unidades

significantes que componen el enunciado, la cual es esencialmente funcional, y se efectúa

bajo los criterios de las operaciones discursivas (en la función referencial, función

apofántica, función de expansión discursiva y función de reflexividad) en la redacción de

un texto; la segunda, es la recontextualización de las unidades segmentadas del enunciado,

de tal forma que se pueda percibir los lazos que unen estas unidades en una totalidad.

La segmentación de un texto en unidades (Unidades segmentadas). La segmentación en

unidades, según Duval (1986, 1999b), es una segmentación que permite que en cada unidad

segmentada se pueda realizar un tratamiento de orden semántico o cognitivo, es decir que

esta segmentación descompone el enunciado problema en unidades textuales de

información. A diferencia de la segmentación por unidades, Duval (1986) expone que la

segmentación de orden lexical y semántica se determina visualmente por los signos de

puntuación y los espacios en blancos, que consiste específicamente en la aplicación de

reglas de análisis lingüístico para corregir las faltas en español y no para un análisis para la

comprensión de textos como actividad cognitiva. Ejemplo:

Claudia tiene 3 veces más la edad de Teresa que tiene 14 años ¿Cuántos años tiene Claudia?

Al realizar la segmentación de este enunciado de problema tenemos tres unidades

segmentadas, como muestra la tabla 2.2.3 las unidades segmentadas no necesariamente

coinciden con un signo de puntación; si bien en otros enunciados haya coincidencia es

necesario que cada unidad segmentada aporte unidades textuales de información.

Tabla 2.2.3

Segmentación de un enunciado de problema multiplicativo con diferente organización de la redacción Unidad segmentada U1 Unidad segmentada U2 Unidad segmentada U3

Claudia tiene 3 veces más la edad

de Teresa Teresa tiene 14 años ¿Cuántos años tiene Claudia?

La re-contextualización de las unidades segmentadas. “Dado que es insuficiente la

operación de segmentación de un texto para captar las conexiones o sistemas de redes que



unen cada unidad segmentada en su sentido global la segmentación de un texto es

solamente el proceso inicial de la lectura” (Duval, 1986; citado en Londoño y Cuero, 2010,

p. 18). Esta insuficiencia se da porque estas unidades disyuntamente en su totalidad no

dicen mucho y es la re-contextualización de unidades la que logra establecer las conexiones

de las unidades segmentadas, es decir que una unidad segmentada por separado solo me da

información parcia, por ejemplo, en la tabla 2.2.3 la unidad U2 por sí sola no me permite

establecer el modelo de tratamiento matemático parcialmente instanciado por valores

numéricos 3 × 14 = 42, para ello es necesario de las demás unidades segmentadas (U1 y

U3) para captar las conexiones que unen cada unidad segmentada en su sentido total.

La re-contextualización permite la démarche para la comprensión de un texto,3 dado que

permite integrar cada unidad en un todo en el texto, de tal forma que las conexiones

establecidas sean de acuerdo a la red de relaciones propias a la organización de la redacción

del texto (implicaciones, conjunciones, subordinación conceptual, etc.) o el tema tratado y

no al orden literal próximo (Duval, 1986).

2.2.4. El trasfondo: como un elemento constitutivo para la comprensión de enunciados de

problemas matemáticos. El trasfondo como idea abordada por Searle es, sin querer

minimizar su valor elevado, que las palabras no tienen significados puramente literales,

más bien las palabras tienen significados potenciales (Acero, 2006), pues el trasfondo en

un texto o enunciado de problema establece cuáles son los contextos en que se usan las

palabras, de ahí que el contexto juega un papel fundamental en la determinación de éstas.

En palabras de Acero (2006, p. 11) el trasfondo “determinan el contenido del acto de habla

llevado a cabo: lo que el hablante dice y su interlocutor entiende (de otro modo: sus

condiciones de verdad)”, dicho de otra forma el trasfondo es la pieza que cierra el espacio

entre el significado y el contenido pensado por el autor del enunciado de problema

matemático y entendido por el estudiante que lo resuelve. De ahí que trasfondo es:

3 Para Duval (1999b, p. 17) démarche es “todo lo que se alguien hace para llegar a un resultado, incluidas todas las

tentativas y las falsas pistas abandonadas”

Marco teórico


todo un conjunto de capacidades que sirven de sustrato a nuestros estados mentales

intencionales –en general, a nuestras capacidades intencionales– dentro de la

comunicación lingüística. Las capacidades del Trasfondo las entiende Searle como

capacidades no-representacionales que sostienen no sólo nuestras representaciones

mentales dotadas de contenido intencional, sino también las representaciones

lingüísticas que sirven de vehículo a la transmisión de pensamientos, es decir,

deseos y creencias. (Searle 1983, p. 143; citado en Acero, 2006)

Es por lo anterior que la idea de trasfondo tiene un valor que no depende de la noción de

significado literal de las palabras, o sea que el trasfondo no es un implícito ni una inferencia

que se tiene frente a un enunciado de problema (Pontón, 2012). Es por ello que en la

comprensión de un enunciado de problema matemático el trasfondo, que surge en el

estudiante que lee el enunciado problema, hace parte de la comprensión del problema, dado

que es necesario que el lector descifre en el enunciado de problema matemático el

significado contextual que el autor le daba a las palabras para dar fidelidad a la situación

extra-matemática que está evocando. No obstante, el estudiante siempre arrastra un

trasfondo en la lectura del enunciado el cual puede evocar un contenido cognitivo “distinto”

a del nivel de organización de redacción del enunciado problema, de ahí que la resolución

del problema no coincida con las intenciones del autor.

Es así como el trasfondo, de acuerdo a la investigaciones hechas por Pontón (2012), influye

siempre en las interpretaciones que se hagan del enunciado problema matemático puesto

que dichas interpretaciones “garantizaron que los estudiantes tuvieran formas de operar con

las representaciones semióticas involucradas, pero muchas de las formas de razonar sobre

dichas cantidades no corresponden a procesos operatorios que den solución al problema, ni

corresponden a las transformaciones posibles en los registros semióticos numéricos o

verbales involucrados en el enunciado del problema” (p. 434).

En este sentido es que Searle (1997, p. 145) manifiesta que, “el trasfondo es esencial para

la interpretación semántica”, dado que, por ejemplo, para el significado del enunciado de

problema multiplicativo «Jaime ha contado 16 patas de perros en una veterinaria, ¿Cuántos



perros hay en la veterinaria?» el significado literal del enunciado fija un conjunto de

condiciones de verdad dadas ciertas capacidades del trasfondo (Searle, 1997). En la

comprensión del enunciado de problema la palabra “patas” debe mantener un significado

semántico común entre el lector y el autor del enunciado, en otras palabras, la significación

de “patas” no esta estrictamente supeditado a su puro contenido semántico, sino que su

interpretación se remonta, según Searle (1997), a las capacidades de trasfondo que surge

en el estudiante al leer el enunciado problema.

No obstante, Searle (1997) aclara que, las interpretaciones están subordinadas al hecho que

el estudiante o lector del enunciado de problema matemático tiene cierto tipo de

conocimiento sobre el modo de funcionamiento del mundo, o sea que el lector tiene “un

cierto conjunto de capacidades para embragar con el mundo, y esas capacidades no están

ni pueden estar incluidas en el significado literal de la sentencia” (p. 143).

En conclusión, el trasfondo que puede surgir en el estudiante que lee el enunciado problema

matemático esta determinado por el bagaje histórico-cultural que lo induce a “actuar” de

esa manera, pero ha adquirido esta capacidad de trasfondo de una manera inconsciente

(Searle, 1997).

2.2.5. Las marcas lingüísticas: como otro elemento constitutivo para la comprensión de

enunciados de problemas matemáticos. En todo enunciado de problema matemático

podemos encontrar indicios o señales que nos pueden determinar los tipos de relaciones,

operaciones, categorías, estructura semántica, etc. que se establecen en la situación extra-

matemática que se pretende modelizar, estos indicios que denominaremos marcas

lingüísticas son aquellas palabras o unidades significantes en el registro de lengua natural

que me evocan explícitamente o implícitamente estas relaciones, por ejemplo, en los

enunciados de problemas multiplicativos las marcas lingüísticas me determinan si en el

enunciado se ponen en juego una comparación entre dos o más cantidades (ver tabla 2.2.4).

Marco teórico


Tabla 2.2.4

Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas multiplicativos de comparación. Marca lingüística Ejemplo

Veces más/menos María pesa dos veces más que lo que pesa de su hermanito Pedro. Si María pesa 48 kg.

¿Cuánto pesa Pedro?

Veces mayor/menor Pedro es dos veces menor que la edad de su hermana María. Si Pedro tiene 4 años

¿Cuántos años tiene María?

Doble/mitad María pesa el doble de lo que pesa de su hermanito Pedro. Si María pesa 48 kg. ¿Cuánto

pesa Pedro?

Como otro ejemplo, tenemos que para la comprensión de enunciados problemas que

involucran fracciones Pontón (2012) identificó tres grupos de marcas lingüísticas que

guardan una asociación conceptual u operativa con la aprehensión del sistema numérico de

los racionales (ver tabla 2.2.5).

Tabla 2.2.5

Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas que involcran fracciones

Nota: Ejemplo de marcas lingüísticas en los enunciados de problemas que involucran fracciones, tomado de

Pontón (2012, p. 221)

Estas marcas lingüísticas que se presentan en los enunciados de problemas que involucran

fracciones “guardan una asociación conceptual u operativa con la aprehensión del sistema

numérico de los racionales” (Pontón, 2012, p. 221), de hecho, dichas marcas como se

presenta en la tabla 2.2.5 evocan explícitamente la relaciones parte-todo/parte-parte,

relaciones de orden y relaciones entre dos magnitudes formar una fracción.



2.3. Los enunciados de problema multiplicativos y sus magnitudes

En este apartado se define con mayor precisión qué se entiende por enunciado de problema

multiplicativo. Iniciaremos con precisar qué es un problema matemático:

Tabla 2.3.1

Definición de problema

Autor/año Definición

Kantowski,

1981

Un problema es una situación para la que el individuo que se enfrenta a ella no posee

un algoritmo que garantice una solución. El conocimiento relevante de esa persona tiene

que ser aplicado en una nueva forma para resolver el problema. Un problema es una

situación que difiere de un ejercicio en que el resolutor no tiene un procedimiento o

algoritmo que le conduzca con certeza a una solución (p. 195).

Goldin,

1982

Plantea que un problema es una tarea para la que no existe un algoritmo que determine

fácilmente por completo los métodos de solución. Una tarea es un problema cuando se

detectan pasos o procesos entre el planteamiento de la tarea y la respuesta (1982, p. 97)

Goldin (1982) realiza un análisis específico de las variables sintácticas, de contenido y

de contexto, estructurales y heurísticas que inciden en la dificultad de para resolver

problemas de estructura matemática.

Nota: definiciones tomadas de Pontón (2012, p. 12).

De acuerdo con la tabla 2.3.1 en un problema hay que determinar el modelo de tratamiento

matemático adecuado a la solución de éste, mientras que un ejercicio ya tiene el procedimiento o

algoritmo que se debe dar solución. En la siguiente tabla, se muestra un ejemplo de ejercicio y de

problema:

Tabla 2.3.2

Ejemplo de un problema y un ejercicio

Ejercicio Problema

3 × 30000 =

Andrés pagó por 3 camisetas $90000

¿Cuánto debe pagar si compra 5

camisetas?

Ahora bien, hablaremos de enunciado de problema multiplicativo cuando el problema comporta

una multiplicación o una división como modelo de tratamiento matemático parcialmente

instanciado (Vergnaud, 2003). Es decir, que, en un enunciado de problema multiplicativo, por un

lado, subyace una estructura semántica de multiplicación (ver tabla 1.1.1) y, por otro lado, está

Marco teórico


dado en un registro de lengua natural o las representaciones de estos enunciados tienen como apoyo

el registro semiótico de la lengua natural.4

La presencia del registro en lengua natural se da porque que la variedad de estructuras semánticas

de los enunciados de problema multiplicativo es solo posible si éstos están representados en este

registro porque, según Duval (1999b), es éste el único que permite cumplir la función

metalingüística de la reflexividad discursiva la cual consiste “en señalar el valor, el modo o el

estatus para una expresión por parte de quien lo enuncia” ( p. 84), es decir que es en el registro de

lengua natural donde el enunciado de problema multiplicativo se sitúa con respecto a otros

enunciados de este tipo, de acuerdo al interés que el autor haya colocado en el enunciado o incluso

en la relación que quiera establecer con el lector del enunciado.

Lo anterior implica que los enunciados de problemas multiplicativos que se discutirán en este

trabajo son de orden semántico desde lo que se evocan en el enunciado de problema, además cada

enunciado responde a la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 (Maza, 1991; Verganud, 2003); sin

embargo, se consideran las estructuras 𝑎 ÷ 𝑐 = 𝑏 y 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 para diferenciar los algoritmos de

la multiplicación y la división. Si bien la estructura sintáctica está compuesta por tres cantidades

los enunciados problemas multiplicativos son relaciones ternarias o cuaternarias, es decir hay tres

o cuatro cantidades involucradas, lo cual se ampliará más adelante.

Aunque los enunciados de problemas multiplicativos se pueden resolver por sumas o restas

reiterada hay aspectos propios de los multiplicativos que no se pueden reducir a lo aditivo, estos

aspectos irreductibles, que corresponden a la estructura semántica definidas en la tabla 1.1.1, son

lo que determinan el campo de enunciados de problemas multiplicativos, puesto que, según

Duval (1999a, p. 93), deben ser representativos “de las variaciones estructurales que generen la

multiplicidad de enunciados posibles y las variables concomitantes en un registro”. Estas variables

hacen aparecer, como se mencionó al inicio de este capítulo (ver numeral 2.2), las dos

características (que se traducen en dificultades) que comportan todo enunciado de problema

matemático y en nuestro caso el de los multiplicativos:

4 En el numeral 1.1, de capítulo 1, se amplia y ejemplifica esta idea.



- Dificultad a: La descripción de una superposición de dos situaciones: una matemática y otra

extra-matemática

- Dificultad b: El cruce de las determinaciones provenientes de dos dimensiones semánticas: de

los valores numéricos para las cantidades y de los valores de orden.

Ahora bien, para la definición de los tipos de enunciados del campo de enunciados de problemas

multiplicativos se tomaron los aportes de Castro (1994), Castro et al. (1995), Puig y Cerdán (1995),

Maza (1991), Vergnaud (2003) y Cid et al. (2004); adicionalmente, se tomaron algunas de las

categorías presentadas en los referentes de calidad educativa en Colombia definidos por el MEN

que están en los Lineamentos curriculares (MEN, 1998) y los Estándares básicos de competencias

(MEN, 2006).

Los tipos de enunciados de problemas multiplicativos son:

2.3.1. Comparación. Denominado también como factor multiplicante, por Brown (1981; citado

por Puig y Cerdán, 1995) y el MEN (1998), corresponde a aquellos enunciados de

problemas multiplicativos en los cuales intervienen solo tres cantidades𝑚, 𝑛 y 𝑘, en la cual

𝑚 y 𝑛 tiene una misma magnitud M1 y 𝑘 es un escalar. Es decir que 𝑘 no se le atribuye o

es carente de propiedades de una magnitud; como 𝑘 expresa términos como doble,

cuádruple, la mitad, veces más, veces menos, etc. Kaput (1986) y Schwartz (1986), citado

por Puig y Cerdán (1995), consideran que es conveniente considerar que se trata también

de una magnitud intensiva sin ningún tipo de atributo de unidad de magnitud puesto que es

el cociente de dos magnitudes extensivas cuyas magnitudes son las mismas. La decisión de

tomar 𝑘 como una magnitud intensiva en esta investigación corresponde, también, a la

necesidad de definir con mayor facilidad las subcategorías de análisis.

Entenderemos, en este trabajo, por cantidades extensivas (E) las que expresan como

menciona Puig y Cedan (1995) “una entidad o sustancia y se refiere a un conjunto, montón

o trozo de esa cantidad” (p.125), de ahí que puedan ser discretas o continuas (Castro, 1994;

Castro, Rico, Castro; 1995). Las cantidades intensivas (I) “tiene unidades compuestas,

Marco teórico


formadas por el cociente de dos cantidades extensivas” (Puig y Cedan, 1995, p. 125).

Ejemplo:

Tabla 2.3.3

Ejemplo de cantidades extensivas e intensivas

Canitdades extensivas Canitdades intensivas

3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

8 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠

$2000

3 𝑚𝑠⁄

8 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠𝑛𝑖ñ𝑜⁄

$2000𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎⁄

Continuando con los enunciados de problemas multiplicativos de comparación estos son

aquellos que presentan una relación ternaria, pues intervienen solo tres cantidades, en un

solo espacio de medida. En esta relación se establece una comparación entre dos cantidades

de una misma magnitud 𝑚 y 𝑛 (una de ellas es referente y la otra el comparado) dada por

una cantidad 𝑘 (que es el factor de comparación).

Para este tipo de enunciados de problemas multiplicativos se puede presentar tres

variaciones de acuerdo en donde se acentúe la cantidad a hallar, ya sea en el referente, el

comparado o el factor multiplicante.

Espacio de medida M1 Espacio de medida M1 Espacio de medida M1

𝑎

× 𝑘

𝒙

𝒙

÷ 𝑘

𝑏

𝑎

÷ 𝒙 × 𝒙

𝑏

Caso 1 Caso 2 Caso 3

Figura 2.3.1. Esquemas de las tres variaciones de un enunciado de problema multiplicativo de

comparación.

Para el caso 1, un enuunciado representativo es “César tiene 7 puntos y José tiene el tripe

de César ¿Cuánto puntos tiene José?”. En este enunciado la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐

(7 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 × 3 = 21 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸 × 𝐼 = 𝐸,

donde 7 puntos y 21 puntos son cantidades extensivas (E) y 3 es que un escalar es una

cantidad intensiva (I). Ejemplo:



Cantidad Espacio de medida M1 (Edad)

m

(puntos

de César)

n

(puntos

de Jóse)

7

× 3

𝒙

Figura 2.3.2. Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene el tripe de César ¿Cuánto puntos

tiene José?

Para el caso 2, un enunciado representativo es “César tiene la tercera parte de los puntos

de José, si José tiene 21 puntos ¿Cuánto puntos tiene César?”. En este enunciado la

estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 (21 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 ÷ 3 = 7 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠) y su estructura de

magnitudes corresponde a 𝐸/𝐼 = 𝐸, donde 7 puntos y 21 puntos son cantidades extensivas

(E) y 3 que es un escalar es una cantidad intensiva (I). Ejemplo:


m

(puntos

de César)

n

(puntos

de Jóse)

𝒙

÷ 3

21

Figura 2.3.3. Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene el tripe de César ¿Cuánto puntos

tiene José?

Para el caso 3, un enunciado representativo es “César tiene 7 puntos y José tiene 21 puntos

¿Cuántas veces de más tiene puntos José que César? ¿Cuántas veces de menos tiene puntos

César que José?”. En este enunciado la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 (21 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 ÷

7 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 = 3) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐼, donde 7 puntos y 21

puntos son cantidades extensivas (E) y 3 que es un escalar es una cantidad intensiva (I).

Ejemplo:


m

(puntos

de César)

n

(puntos

de Jóse)

7

÷ 𝒙 × 𝒙

21

Figura 2.3.4. Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene 21 puntos ¿Cuántas veces de

más tiene puntos José que César? ¿Cuántas veces de menos tiene puntos César que José?

Marco teórico


2.3.2. Proporcionalidad directa simple. Otras denominaciones a este tipo de enunciado de

problema multiplicativo son:

Tabla 2.3.4

Otras denominaciones de los enunciados de problemas multiplicativo de proporcionalidad

directa simple

Denominación Autor(es)

Isomorfismo de medidas

Castro (1994)

Castro at all. (1995)

Puig y Cérdan (1995)

Vergnaud (2003)

Razón

Maza (1991)

MEN (1998)

Cid at all. (2004)

Regla de correspondencia Nesher (s.f.; citado en Puig y

Cérdan, 1995)

Variación proporcional MEN (2006)

De repartir (MEN (1998)

Adición o sustracción repetida (MEN (1998)

En los enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa simple

intervienen cuatro cantidades 𝑚, 𝑛, 𝑙 y 𝑝, en la cual dos de ellas tienen una magnitud M1 y

las restantes una magnitud M2.

Ejemplo: Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios. Si lleva 6 días ahorrando ¿Cuánto

dinero tiene?

Espacio de medida

M1

(días)

Espacio de medida

M2

(dinero)

× $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄

1 1.500

× 𝟔 ÷ 𝟔

6

÷ $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄

9.000

Figura 2.3.5. Esquema de un enunciado de problema multiplicativo de proporcionalidad directa simple



La figura 2.3.3 se ve que hay una relación cuaternaria en la que intervine cuatro cantidades

extensivas, 1 y 6 cuya magnitud son días y $1500 y “9000 cuya magnitud son dinero. La

solución a este tipo de problemas como plantea Verganud (2003) se pude hacer de dos

maneras:

- Escalar (flechas en sentido vertical): a) multiplicando por 𝟔 las cantidades 1 día o $1.500

para hallar 6 días o $9.000, respectivamente. b) dividendo por 𝟔 las cantidades 6 días o

$9.000 para hallar 1 día o $1.500 respectivamente. La cantidad 6 es un operador-escalar

que existe explícitamente en la situación extra-matemática del enunciado de problema cuya

magnitud es intensiva (I).

- Funcional (flechas en sentido horizontal): a) multiplicando por $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄ las

cantidades 1 día o 6 días para hallar las cantidades $1.500 o $9.000, respectivamente. b)

dividiendo por $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄ las cantidades $1.500 o $9.000 para hallar las cantidades 1

día o 6 días respectivamente. La cantidad $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄ es un operador-funcional que

existen explícitamente en la situación extra-matemática del enunciado de problema cuya

magnitud es intensiva (I).

Para los enunciados de problemas de proporcionalidad simple se puede presentar cuatro

variaciones de acuerdo donde se acentúe la cantidad a hallar:

Espacio de

medida

M1

Espacio de

medida M2

Espacio de

medida M1

Espacio de

medida M2

Espacio

de

medida

M1

Espacio

de

medida

M2

Espacio

de

medida

M1

Espacio

de

medida

M2

1 𝑛 1 𝒙 1 𝑛 𝒙 𝑛

𝑙 𝒙 𝑙 𝑝 𝒙 𝑝 𝑙 𝑝

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Figura 2.3.6. Esquemas de las cuatro variaciones de un enunciado de problema multiplicativo de

proporcionalidad directa simple.

Para el caso 1, un enunciado representativo es “Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios.

Si lleva 6 días ahorrando ¿Cuánto dinero tiene?”. Es este enunciado la unidad está explícita

y está en correlación con 𝑛, la solución de problema tiene la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 =

𝑐 (6 𝑑í𝑎𝑠 × $15001𝑑í𝑎⁄ = $9000) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸 × 𝐼 =

Marco teórico


𝐸, donde 6 días y $9000 son cantidades extensivas (E) y $15001𝑑í𝑎⁄ es una cantidad

intensiva (I). Ejemplo:

Espacio de medida M1

(días)


(Dinero)

1 $1500

6 𝒙

Caso 1

Figura 2.3.7. Esquemas para el enunciado Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios. Si lleva 6 días

ahorrando ¿Cuánto dinero tiene?

Para el caso 2, un enunciado representativo es “Lucía ahorra en 6 días un total de $9000,

si por cada día ahorra los mismo ¿Cuánto dinero ahorra en un día?”. Es este enunciado la

unidad está explícita y no está en correlación con 𝑛, la solución de problema tiene la

estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 ($9000 ÷ 6 𝑑í𝑎𝑠 = $15001 𝑑í𝑎⁄ ) y su estructura de

magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐼, donde $9000 y 6 días son cantidades extensivas (E) y

$15001𝑑í𝑎⁄ es una cantidad intensiva (I). Ejemplo:


(días)


(Dinero)

1 𝒙

6 $9000

Caso 1

Figura 2.3.8. Esquemas para el enunciado Lucía ahorra en 6 días un total de $9000, si por cada día ahorra

los mismo ¿Cuánto dinero ahorra en un día?

Para el caso 3, un enunciado representativo es “Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios.

Si tiene ahorrado $9000 ¿Cuántos días lleva ahorrando?”. Es este enunciado la unidad está

explícita y está en correlación con 𝑛, la solución de problema tiene la estructura sintáctica

𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 ($9000 ÷ $15001 𝑑í𝑎⁄ = 6 𝑑í𝑎𝑠) y su estructura de magnitudes corresponde a

𝐸/𝐼 = 𝐸, donde $9000 y 6 días son cantidades extensivas (E) y $15001𝑑í𝑎⁄ es una

cantidad intensiva (I). Ejemplo:




(días)


(Dinero)

1 $1500

𝒙 $9000

Caso 1

Figura 2.3.9. Esquemas para el enunciado Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios. Si tiene ahorrado

$9000 ¿Cuántos días lleva ahorrando?

Para el caso 4, un enunciado representativo es “Lucía ahorra durante 6 días la cantidad de

$9000. Para ahorrar $1500 ¿Cuántos días debe ahorrar?”. Es este enunciado la unidad no

está explícita y no está en correlación con 𝑛, la solución de problema es necesario

involucrar ambas operaciones y Vergnaud (2003) los denomino problemas de regla de tres.

Ejemplo:


(días)


(Dinero)

𝒙 $1500

6 $9000

Caso 1

Figura 2.3.10. Esquemas para el enunciado Lucía ahorra durante 6 días la cantidad de $9000. Para ahorrar

$1500 ¿Cuántos días debe ahorrar?

Los enunciados que obedecen al caso 4 no serán tomados en cuenta en este trabajo dado

que solo serán objeto de análisis aquellos enunciados de problemas multiplicativos cuya

solución implique el uso de una estructura sintáctica, y para los enunciados del caso 4 es

necesario el uso de dos de las estructuras sintácticas.

Además, mientras que los demás enunciados de problema multiplicativo son de una etapa

(una multiplicación o una división), los enunciados del caso 4 implican para su resolución

el realizarlos en dos etapas: una multiplicación y una división (Puig y Cerdán, 19995). Lo

anterior implica, según Puig y Cerdán (19995), que en los enunciados del caso 4 la relación

entre los datos y la incógnita sea más compleja dado que el estudiante al resolver el

problema debe tomar nuevas decisiones como: en qué orden efectuó las operaciones,

sumándoles ya las decisiones de una etapa como: qué operaciones realizar y entre qué

cantidades.

Marco teórico


Finalmente, al igual que lo enunciados de problemas de comparación los de

proprocionalidad directa simple se puede resolver con sumas o restas reiteradas pero puede

volverse este procedimiento engorroso y poco práctico, además estos tipos de problemas

son de tipo unitario dado que hay una cantidad que cambia a medida que se repite una

cantidad sucesiva de veces (Maza, 1991).

2.3.3. Combinación. Otras denominaciones a este tipo de enunciado de problema multiplicativo

son:

Tabla 2.3.5

Otras denominaciones de los enunciados de problemas multiplicativo de combinación.

Denominación Autor(es)

Producto de medidas

Castro (1994)

Castro at all. (1995)

Puig y Cérdan (1995)

Vergnaud (2003)

MEN (2006)

Multiplicación cartesiana Nesher (s.f.; citado en Puig y Cérdan,

1995)

Producto cartesiano

Brown (1981; citado en Puig y Cérdan,

1995)

MEN (1998)

Los enunciados de problemas de combinación intervienen tres cantidades 𝑚, 𝑛 y 𝑝 que

pueden tener todas magnitudes diferentes o dos de ellas de igual magnitud; en estos

problemas hay una composición cartesiana de dos espacios de medida, M1, M2, en un

tercer espacio de medida, M3 (Puig y Cerdán, 1995). Por ejemplo, aquí encontramos los

problemas de área y volumen. Las magnitudes involucradas de las tres cantidades son

extensivas (E).

Para este tipo de enunciados de problemas investigaciones como las de Maza (1991)

consideran que tiene un grado mayor de dificultad que los anteriores, dado que no se

dispone del mismo sistema unitario de los enunciados de problemas multiplicativos de

comparación y de proporcionalidad directa simple. De hecho su sistema es binario porque

se dispone de dos cantidades iniciales del mismo nivel, es por ello que “la multiplicación

es semánticamente conmutativa, por lo que sólo hay dos posibilidades, según la incógnita

sea de M3 o de cualquiera de los otros dos, M1, o M2” (Puig y Cérdan, 1995, p. 134). Es



por lo anterior que muchos autores manifiestan que los enunciados problemas

multiplicativos de comparación y de proporcionalidad directa simple son asimétricas y de

combinación son simétricos.

Para este tipo de enunciado de problema multiplicativo de combinación se puede presentar

cuatro variaciones de acuerdo donde se acentúe la cantidad a hallar:

Espacio de medida

M2

𝑛

Espacio de medida

M2

𝒙

Espacio de medida

M2

𝑛

Espacio

de

medida

M1

𝑚

𝒙

Espacio de medida

M3

Espacio

de

medida

M1

𝑚

𝑝

Espacio de medida

M3

Espacio

de

medida

M1

𝒙

𝑝

Espacio de medida

M3

Caso 1 Caso 2 Caso 3

Figura 2.3.11. Esquemas de las tres variaciones de un problema multiplicativo de combinación.

Para el caso 1, un enunciado representativo es “¿Cuánto mide el área de un terreno cuyo

largo es 80 m. y ancho es 38 m.?” En este enunciado la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐

(80𝑚 × 38𝑚 = 3040 𝑚2) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸 × 𝐸 = 𝐸, donde

80 m, 38 m y 3040 m2 son cantidades extensivas (E). Ejemplo:


38 𝑚

Espacio

de

medida

M1

80 𝑚

𝑥


Figura 2.3.12. Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el área de un terreno cuyo largo es 80

m. y ancho es 38 m.?

Marco teórico


Para el caso 2, un enunciado representativo es “¿Cuánto mide el largo de un terreno cuyo

ancho es 38 m y área es 3040 m2?” En este enunciado la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎

(3040 𝑚2 ÷ 38𝑚 = 80 𝑚) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐸, donde



38 𝑚

Espacio

de

medida

M1

𝑥

3040 𝑚2


Figura 2.3.13. Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el largo de un terreno cuyo ancho es 38

m y área es 3040 m2?

Para el caso 3, un enunciado representativo es “¿Cuánto mide el ancho de un terreno cuyo

largo es 80 m y área es 3040 m2?” En este enunciado la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏

(3040 𝑚2 ÷ 80 𝑚 = 38 𝑚) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐸, donde



𝑥

Espacio

de

medida

M1

80 𝑚

3040 𝑚2


Figura 2.3.14. Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el ancho de un terreno cuyo largo es 80

m y área es 3040 m2?

En síntesis, un enunciado de problema multiplicativo se da cuando comportan una multiplicación

o una división (Vergnaud, 2003) y, para esta investigación, se definieron tres tipos enunciados

multiplicativos: de comparación, de proporcionalidad directa simple y de combinación. Se pudo

determinar que todos los enunciados de problemas multiplicativos obedecen a las estructuras



sintácticas 𝑎 × 𝑏 = 𝑐, 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 o 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 para distinguir las operaciones de multiplicación y

de división, sin desconocer que una es la inversa de la otra.

Diseño metodológico


3. Diseño metodológico

En este trabajo se asume un enfoque cualitativo de tipo descriptivo e interpretativo, dado que,

como planeta Vasilachis (2006), el análisis de la información es no matemática y, además, por un

lado, con esta investigación se busca conocer las dificultades que presentan los estudiantes en la

comprensión de enunciados problemas multiplicativos, para ello, es necesario realizar la

descripción exacta de las tareas propuestas a los estudiantes, de las producciones realizadas por

ellos y los datos generados, es decir que la descripción no se reduce a recoger solo datos, ésta va

más allá pues busca la identificación, determinación y caracterización de estos mismo. Por otro

lado, se busca con la investigación dar sentido a los datos hallados los cuales deben guardar

estrecha relación con la pregunta de investigación, para ello se realizan las interpretaciones de los

datos.

La metodología de investigación adoptada para el desarrollo de este trabajo es el estudio de caso

la cual es la forma obtener los datos y organizarlos para hacer el análisis cualitativo (Neiman y

Quaranta, 2006). Tomando como referente a Neiman y Quaranta (2006) el estudio de caso

considera: La pregunta de investigación, la cual se construye y pule a medida que se desarrolla la

investigación, es decir, que la pregunta es dinámica en la medida que toma una mayor claridad. La

recolección de la información es el momento o etapa donde se recurren a las diferentes fuentes de

información (observaciones, documentos, tareas, entre otras) que se llevan a cabo en el trabajo de

campo con el fin extraer, indagar y describir sobre las variables que comportan el estudio, la

recolección de la información se realizará en la Institución Educativa Distrital Colegio Entre

Nubes, con estudiantes de sexto grado de básica secundaria con un promedio de 12 a 14 años.

El análisis de la información, como lo plantea Neiman y Quaranta (2006), se “procede a través de

instancias de interpretación directa o de construcción de categorías” (p. 220), para ello en este

trabajo se establecen diferentes momentos para realizar el respectivo análisis, de acuerdo con las

tareas presentadas a los estudiantes. El rol del investigador, el cual realiza intervenciones no

directas sobre los estudiantes, por lo cual su participación se restringe a la recolección de datos

con intervenciones puntuales pues en las observaciones realizadas surgió la necesidad de hacer

preguntas con el propósito de confirmar algunas interpretaciones. La validación de los resultados



se hace de tal manera que aumente la confianza del investigador por medio de la triangulación de

los datos, para ello se consideran los elementos expuesto en el marco teórico, el análisis de los

instrumentos a la luz de dicho marco y lo que ejerció en el diseño de los instrumentos, es decir que

la triangulación de los datos da cuenta de cómo la aplicación de los instrumentos responde a las

variables de su diseño. Finalmente, la redacción del informe final, el cual debe ser comprensible

para el lector y velar por la fidelidad de la información encapsulado la realidad del fenómeno

estudiado.

De acuerdo a la metodología asumida, en la tabla 3.0.1, se presentan las fases y los instrumentos

de recolección de información que se aplican para el desarrollo de este trabajo y, así mismo, se

establece la población en la cual se ejecutó.

Tabla 3.0.1

Fases, instrumentos y población de la metodología de investigación

Fases

1. Análisis preliminar (marco teórico)

2. Selección de enunciados de problemas representativos del campo de enunciados de

problemas multiplicativos.

3. Recolección de información.

4. Análisis de la información y conclusiones

Instrumentos

de

recolección

de

información

Los instrumentos empleados para la toma de información son:

- Tareas con enunciados de problemas representativos del campo de enunciados de

problemas multiplicativos.

- Tareas modificadas de los enunciados de problemas representativos del campo de

enunciados de problemas multiplicativos.

- Protocolos de observación para las producciones de los estudinates.

Población Estudiantes de sexto grado de básica secundaria de la IED Colegio Entre Nubes

3.1. Selección de las tareas a aplicar

La selección de los enunciados de problemas multiplicativos se realiza en dos momentos: para el

primer momento se seleccionaron los enunciados problemas multiplicativos a partir del criterio 1,

para el segundo momento los problemas seleccionados en el primer momento son modificados de

acuerdo con los criterios 2 y 3 con el fin de entrever como varía la comprensión de los enunciados

definitivos por el criterio 1 y los modificados.

La determinación de utilizar los tres criterios para establecer los enunciados de problemas

multiplicativos a aplicar a los estudiantes, de grado sexto de la Institución Educativa Distrital

Colegio Entre Nubes, realizando modificaciones a estos enunciados fue basada en la caja de



herramientas semiótico-cognitivas y particularmente lingüísticas que cosntruyó Pontón (2012)

para el desarrollo de su tesis doctoral, dado que permite modelar y operacionalizar lo que el

estudiante realiza cuando hace la lectura del enunciado de problema.

3.1.1. Momento 1. Selección de los enunciados problemas multiplicativos.

Para la selección de los enunciados de problemas multiplicativos se aplicó el siguiente criterio:

Criterio 1: Los enunciados de problemas multiplicativos deben ser representativos del campo de

enunciados de problemas multiplicativos

Dado que el interés de investigación está puesto en la identificación y descripción de las

dificultades que presentan los estudiantes en la comprensión de enunciados problemas

multiplicativos es fundamental que los enunciados seleccionados sean representativos del campo

de enunciados de problemas multiplicativos, tal como lo manifiesta Duval (1999a) y se definió en

el capítulo 2, numeral 2.3.

Dado lo anterior, los enunciados seleccionados por el criterio 1 deben cumplir con: la descripción

de una superposición de una situación matemática y una extra-matemática (Duval,1999a), puesto

que los enunciados de problemas multiplicativos son de aplicación de un problema matemático.

Además, también, con el cruce de las determinaciones provenientes de dos dimensiones

semánticas: de los valores numéricos para las cantidades y de los valores de orden (Duval, 1999a),

dado que los números involucrados en los enunciados responden a diferentes significados del

número como medida y éstos están amarrados a la disposición temporal en que se enmarcan las

unidades significantes determinadas en la situación extra-matemática del enunciado de problema,

esta disposiciones depende las variables de redacción que determinar el tipo de enunciado, es decir,

por la organización de la redacción y por el contenido cognitivo del enunciado.

De acuerdo con lo anterior, hay nueve enunciados de problemas multiplicativos que cumplen con

este criterio, los cuales surgen de los tres tipos de enunciados de problemas multiplicativos (de



comparación, de proporcionalidad directa simple y de combinación) y sus respectivas tres

variaciones de cada uno (ver figuras 2.3.1, 2.3.6 y 2.3.11).

A continuación, se presentan las estructuras sintácticas y de magnitudes de cada uno de los nueve

enunciados de problemas multiplicativos que cumplen con el criterio 1:

Tabla 3.1.1

Estructura sintáctica y de magnitudes de los enunciados de problemas multiplicativos

Tipo de enunciado de problema

multiplicativo

Estructura

sintáctica

Estructura de

magnitudes

Comparación

𝑎 × 𝑏 = 𝑐 𝐸 × 𝐼 = 𝐸

𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 𝐸/𝐸 = 𝐼

𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 𝐸/𝐼 = 𝐸

Proporcionalidad directa simple 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 𝐸 × 𝐼 = 𝐸

𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 𝐸/𝐸 = 𝐼

𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 𝐸/𝐼 = 𝐸

Combinación 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 𝐸 × 𝐸 = 𝐸

𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 𝐸/𝐸 = 𝐸

𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 𝐸/𝐸 = 𝐸

En la tabla 3.1.1 se pudo identificar que los últimos dos enunciados de problemas multiplicativos

de combinación responden a la misma estructura sintáctica y estructura de magnitudes, esto

implica que realmente solo ocho enunciados representativos pues, como establece Duval (1999a):

En realidad, es necesario sustituir la noción de problema por la de campo de enunciados de

problemas posibles. Para colocar a los alumnos en situación eficaz de aprendizaje, no es

necesario plantearles problemas sino hacerlos trabajar sobre un campo de enunciados de

problemas. ¿Cómo se determina un campo de enunciados, por ejemplo el de los problemas

aditivos? Un enunciado de problema que sea una descripción, entre otras posibles, de una

superposición de situaciones, accede a un campo de enunciado de problemas considerando

todas las variaciones de descripción (cambiando el dato que se silencia y que constituye el

objeto de la pregunta, informaciones de más...). Llamamos “redaccionales” a estas

variaciones que permiten definir el campo de enunciados posibles de problemas cuya

resolución depende del mismo tipo de tratamiento matemático. (p. 94)

De acuerdo con lo anterior, los últimos dos enunciados de problemas multiplicativos de

combinación de la tabla 3.1.1 su resolución depende del mismo tipo de tratamiento matemático.



Es pertinente aclarar que el modelo matemático para solucionar cualquier enunciado de problema

multiplicativo de la tabla 3.1.1 obedece a la ecuación general 𝑎 × 𝑏 = 𝑐, sin embargo como los

números involucrados en los enunciados de problema multiplicativos son los naturales en este

trabajo para un análisis más detallado diferenciamos la operación de multiplicación con la de

división y, además, especificamos la estructura de magnitudes que cada enunciado puede

involucrar.

Para este primer momento en el que se seleccionaron los enunciados de problemas representativos

del campo de enunciados de problemas multiplicativos, a partir del criterio 1, la selección de los

ocho problemas fue tomada y adaptada de la clasificación de problemas multiplicativos trabajados

por Cid et al. (2004). Los tres problemas originales que corresponde cada uno a un tipo enunciados

de problema multiplicativo (de comparación, de proporcionalidad directa simple o de

combinación) sus transformaciones conciernen a dos tipos: una, por la necesidad de involucrar

medidas del contexto colombiano, ello implicó, por ejemplo, cambiar algunas de las cantidades

por unas mayores con la condición que sean éstas números naturales. Dos, para abordar las

diferentes variaciones que pueden presentar un tipo de enunciado de problema multiplicativo de

comparación (hay tres variaciones, ver figura 2.3.1), de proporcionalidad directa simple (hay tres

variaciones, ver figura 2.3.6) y de combinación (hay tres variaciones, ver figura 2.3.11) según

donde se desee acentuar la incógnita. La importancia de esta última modificación radica porque se

establece la relación inversa que existe entre la multiplicación y la división.

En la siguiente tabla, se presentan los enunciados de problemas multiplicativos originales de Cid

et al. (2004) y sus adaptaciones para generar los ocho enunciados representativos del campo de


Tabla 3.1.2

Los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos y sus adaptaciones

Tipo de

enunciado Enunciados originales

Enunciados adaptados

Estructura sintáctica

𝑎 × 𝑏 = 𝑐


𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 o 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎

Comparación

La varilla A mide 70 cm. de

longitud y la varilla B mide 7

veces más que la A. ¿Cuánto

mide la varilla B?

T1: La varilla A mide 70 cm. de

longitud y la varilla B mide 7

veces más que la A. ¿Cuánto

mide la varilla B?

T2: La varilla A mide 7 veces menos

que la B y la varilla B mide 140 cm.

¿Cuánto mide la varilla A?

T3: La varilla A mide 70 cm. de

longitud y la varilla B mide 490 cm. de



longitud ¿Cuántas veces más mide la

varilla B que A? ¿Cuántas veces

menos mide la varilla A que B?

Proporcionalidad

directa simple

Juan compra 3 paquetes de

cromos, cada uno de los

cuales cuesta 25 pesetas

¿Cuánto ha pagado en total?

T4: Juan compra 8 paquetes de

cromos, cada uno de los cuales

cuesta $250. ¿Cuánto ha pagado

en total?

T5: Juan compra $2.000 en paquetes

de cromos, cada uno de los cuales

cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de

cromos compró?

T6: Juan compra 8 paquetes de cromos

por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por

cada paquete de cromos?

Combinación

En un baile hay 3 chicos y

algunas chicas. Se pueden

formar 6 parejas distintas

entre ellos ¿Cuántas chicas

hay en el baile?

T7: En un baile hay 3 chicos y 6

chicas. ¿Cuántas parejas

distintas se pueden formar entre

ellos?

T8: En un baile hay 3 chicos y algunas

chicas. Se pueden formar 18 parejas

distintas entre ellos. ¿Cuántas chicas

hay en el baile?

T9: En un baile hay algunos chicos y

6 chicas. Se pueden formar 18 parejas

distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos

hay en el baile?

Nota 1: Los enunciados originales fueron tomados de Cid et al. (2004, p.74).

Nota 2: Dado que los enunciados T8 y T9 su resolución depende del mismo tipo de tratamiento matemático se deja

como enunciado representativo el T9. En la tabla se dejan ambos enunciados solo con la intención que el lector pueda

evidenciar en los enunciados de combinación las tres variaciones que se generan de acuerdo a donde se desee acentuar

la incógnita.

3.1.2. Momento 2. Modificaciones a los ochos enunciados representativos del campo de


Este segundo momento se estableció posterior a la aplicación a los estudiantes, de grado sexto de

educación básica secundaria de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes, de los

enunciados de problemas multiplicativos determinados por el criterio 1 y el respectivo análisis de

los hallazgos encontrados en la aplicación.

Para las modificaciones a los ochos enunciados representativos del campo de enunciados de

problemas multiplicativos se aplicaron los criterios 2 y 3:

Criterio 2: Variaciones en la redacción de los enunciado problemas multiplicativos: las marcas

lingüísticas y el trasfondo como elementos determinantes en la comprensión del enunciado

problema.

Las marcas lingüísticas y el trasfondo (ver capítulo 2) son determinantes a la hora de comprender

un enunciado de problema matemático, para el caso de las marcas lingüísticas Pontón (2012)



menciona que pueden atribuirle al enunciado una intención de movilizar elementos de la estructura

conceptual, por ejemplo, dichas marcas son indicadores de: las relaciones de comparación con

palabras como n-veces más o n-veces menos para los enunciados de problema multiplicativo de

comparación, o de correlación entre la unidad y otra cantidad con palabras como por cada uno,

por cada un x, donde x es una magnitud extensiva (E), para los enunciados de problemas

multiplicativos de proporcionalidad directa simple.

Para el caso del trasfondo, Pontón (2012) manifiesta que, el significado de las palabras está

determinadas por “el significado de los elementos tanto léxicos y semánticos como sintácticos, así

como el contexto intra-textual y extra-textual”. (p. 89), es decir que en la comprensión de los

enunciados de problemas multiplicativos implica reconocer en cada unidad segmentada del

enunciado y sus palabras que las componen lo que se presupone en cada una de éstas en relación

con las conexiones que unen cada unidad segmentada en su sentido global, en otras palabras la

comprensión de un enunciado de problema multiplicativo “implica reconocer la lógica subyacente

entre el enunciado del problema, la pregunta y lo que se presupone en los datos dados y en la

pregunta formulada, en el marco del trasfondo de los lectores”. (Pontón, p. 178).

Es de acuerdo con lo expuesto anteriormente que el criterio 2 es tenido en cuenta en este trabajo,

dado que permite identificar cuáles son los elementos que inciden en la comprensión de enunciados

de problemas multiplicativos. En la tabla 3.1.3 se presentan lo ocho enunciados representativos

del campo de enunciados de problemas multiplicativos definidos por el criterio 1 pero con

variaciones en la redacción, ya sea con el objetivo de afectar sus marcas lingüísticas o el trasfondo

del enunciado.

Tabla 3.1.3

Enunciados de problemas multiplicativos con marcas lingüísticas o trasfondo modificado


𝒂 × 𝒃 = 𝒄


𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 o 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂

Comparación

M1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B es 7 veces más grande que la varilla A. ¿Cuánto mide la

varilla B?

M2: La varilla A es 7 veces más pequeña que la B y la

varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?

M3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B

mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces cabe la varilla A en la varilla B?

Proporcionalidad

directa simple

M4: Si 1 paquete de cromos cuesta $250 y Juan compra

8 paquetes de cromos ¿Cuánto ha pagado en total?

M5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, si 1

paquete cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de cromos

compró?

M6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000

¿Cuánto ha pagado por 1 paquete de cromos?



Combinación

M7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. Si una pareja se

conforma por un chico y una chica ¿Cuántas parejas de

chico y chica se pueden formar entre ellos?

M9: En un baile algunos chicos y 6 chicas. Si una pareja

se confirma por un chico y una chica y si en total se pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos

chicos hay en el baile?

A continuación, se exponen las diferentes variaciones en la redacción realizadas a los ocho

enunciados de problemas multiplicativos:

Para los enunciados de comparación: Se varió la marca lingüística “veces más/veces menos” de

los enunciados T1, T2 y T3 de la tabla 3.1.2, establecidos por el criterio 1, puesto que fue uno de

los elementos que más tuvo incidencia en su comprensión (ver capítulo 4, numerales 4.1, 4.2 y

4.3), dado que esta marca lingüística es la que dota de significado a la cantidad 7 como escalar.

Entre las opciones de variación, por ejemplo, estuvo cambiar “7 veces más” por el “séptuple”, sin

embargo se descartó porque de acuerdo a las indagaciones realizadas a la maestra de los estudiantes

a los que se le aplicaron dichas tareas éstos no han sido familiarizados con este tipo de términos,

es así que se decide reemplazar la marca lingüística “veces más/menos” por “veces más

grande/veces más pequeño”, ver enunciados M1 y M2 y M3 de la tabla 3.1.3.

Para los enunciados de propocionalidad directa simple: La variación que se presentó a los

enunciados T4, T5 y T6 de la tabla 3.1.2 se centró en explicitar la unidad en registro numérico.

Por ejemplo, en los enunciados T4 y T5 en la unidad segmentada “cada uno de los cuales cuesta

$250” se encontró que los estudiantes se le dificultaba determinar cuál era la unidad (ver capítulo

4, numerales 4.4, 4.5 y 4.6). Entre las opciones descartadas como variación de la redacción del

enunciado estaba realizar preguntas como “¿Cuánto cuesta 2 paquetes cromos? ¿Cuánto cuesta 3

paquetes cromos? ...” puesto que no se quería inducir al estudiante a la comprensión de enunciados

de proporcionalidad directa simple como una suma o resta reitera que direccionase a aspectos más

de orden aditivo, lo cual no es el interés de la investigación.

Dado que la unidad abordada en este tipo de enunciados (T4, T5 y T6) es compuesta, porque una

unidad corresponde a un paquete con varios cromos, surge la necesidad de explicitar dicha unidad

para cerrar un poco la brecha entre los conceptos de uno y unidad, pues de acuerdo con Arce et al.

(1999) en el contexto escolar no se da el reconocimiento a la interdependencia de estos conceptos

para articular, por ejemplo, las estructuras aditivas y multiplicativas.



Para los enunciados de combinación: A diferencia de los dos tipos enunciados anteriores las

variaciones de la redacción en los enunciddos T7 y T9 de la tabla 3.1.2 no estuvieron focalizadas

en las marcas lingüísticas sino en variar el trasfondo que pueden surgir en el estudiante al leer el

enunciado problema multiplicativo. Lo anterior, porque en el análisis realizado a los enunciados

T7 y T9 (ver capítulo 4, numerales 4.7 y 4.8) se evidenció como desde el contexto de los

estudiantes la acción de conformar parejas en un baile no está limitado únicamente por la de chico-

chica, sino que una pareja se puede formar por chico-chico y chica-chica, es por ello que entre las

modificaciones realizadas a los enunciados T7 y T9 estaba el delimitar la conformación de parejas

por un chico y una chica.

Criterio 3: El uso de representaciones auxiliares como facilitadoras en la comprensión de

enunciado de problema multiplicativo.

Al igual que el segundo criterio, se le hacen modificaciones a los ocho enunciados determinados

por el criterio 1 (ver tabla 3.1.2), en este nuevo criterio se quiere evidenciar la incidencia de las

representaciones auxiliares en la comprensión de un enunciado de problema multiplicativo, es

decir que las representaciones auxiliares son adicionadas a cada uno de los enunciados de

problemas multiplicativos de manera intencionada para poder identificar el papel que cumplen

éstas en la comprensión de dichos enunciados.

En la tabla 3.1.4 se presentan los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de

problemas multiplicativos determinados por el criterio 1 agregándoles las representaciones

auxiliares que se involucran con el fin analizar como varía la comprensión de estos enunciados.



Tabla 3.1.4

Enunciados de problemas multiplicativos con representaciones auxiliares


𝒂 × 𝒃 = 𝒄


𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 o 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂

Comparación

A1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide

7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B?

A2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la

varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?

A3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces más mide la

varilla B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla

A que B?

Proporcionalidad

directa simple

A4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuánto ha pagado en total?

A5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada

uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de

cromos compró?

A6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000

¿Cuánto ha pagado por cada paquete de cromos?

Combinación

A7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas parejas

distintas se pueden formar entre ellos?

A9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se

pueden formar 18 parejas distintas entre ellos.

¿Cuántos chicos hay en el baile?



A continuación, se exponen las diferentes representaciones auxiliares adicionadas a los ocho

enunciados de problemas multiplicativos:

Para los enunciados de comparación: Las representaciones auxiliares fueron en el registro figural

unidimensional el cual era un registro trabajado en clase por los estudiantes en grados anteriores,

según información suministrada por la maestra que dirigía el curso en el que los niños estaban.

Además, se optó por este registro unidimensional dado que las representaciones que subyacen a

éste tienen en cuenta los datos a operar como las medidas de los segmentos, pero carecen los datos

que me determinan los operadores para establecer su estructura sintáctica.

Para los enunciados de prorpocionalidad directa simple: Se adicionó el registro figural

bidimensional como representación auxiliar, dado que las representaciones figurales introducidas

permiten generar en los estudiantes una aprehensión operativa (Marmolejo y Vega, 2012) puesto

que permite reconfigurar la figura dada inicialmente en otra para establecer relaciones entre las

partes y el todo.1

Para los enunciados de combinación: Se decidió el registro icónico como representación auxiliar;

sin embargo, inicialmente se había optado como registro auxiliar el plano cartesiano pero la

maestra de matemáticas de los estudiantes a los que se le aplicaron las tareas manifestó que este

tipo de registro aún no era objeto de enseñanza para los estudiantes.

Finalmente, con el fin de realizar una comparación de los hallazgos en la comprensión de

enunciados de los problemas multiplicativos determinados por los criterios 1, 2 y 3 el análisis de

estos hallazgos no se encuentra disgregados, por tal motivo en el capítulo siguiente se encuentra

el análisis conjunto, y no por separado, de los enunciados surgentes de los tres criterios.

1 Para Marmolejo y Vega (2012) una aprehensión operativa de una figura se caracteriza por la realización de alguna

modificación en la configuración inicial de ésta, ya sea reorganizando los elementos que la componen o añadiéndole

o suprimiéndole elementos.



3.2. Análisis de las exigencias matemáticas y semiótico-cognitivo de los enunciados de

problemas multiplicativos seleccionados

En análisis de las exigencias matemáticas y semiótico-cognitivo de los ochos enunciados

representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos seleccionados está

distribuidos en tres enunciados de comparación, tres enunciados de proporcionalidad directa

simple y dos enunciados de combinación. Estos enunciados son, entonces, los representativos de

las variaciones estructurales que se puedan crear en la variedad de enunciados posibles y las

variables concomitantes de los registros en que se presenten (Duval, 2016).

Para el análisis de las exigencias matemáticas y semiótico-cognitivo de cada uno de estos ochos

enunciados se tomó como modelo las rejillas de análisis aplicadas por Londoño y Cuero (2010) y

Pontón (2012), el diseño de estas rejillas estuvo orientado por la Dr. Teresa Pontón Ladino en el

marco de su tesis doctoral.

Las rejillas antes mencionadas tienen dos elementos fundamentales que permiten la realización del

análisis de los aspectos matemáticos y semiótico-cognitivo para cada uno de los ocho enunciados

representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos, estos son:

a. Segmentación y recontextualización del enunciado de problema como operación fundamental

de toda situación de lectura (Duval, 1999b) en la comprensión de un enunciado problema

matemático.

b. Soluciones posibles de los enunciados de problema matemáticos en los registros de

representación figural, numérico o icónico.

Adicionalmente, a estos dos elementos, se identificó en el análisis de los aspectos matemáticos y

semiótico-cognitivo de cada uno de los ocho enunciados representativas del campo de enunciados

de problemas multiplicativos sus estructuras sintácticas y de magnitudes. A estas dos estructuras

se les denominó organización estructural del enunciado de problema multiplicativo. Si bien, en el

capítulo 2 se abordaron estos elementos es necesario recordar que:



- La estructura sintáctica de un enunciado de problema multiplicativo está dada por 𝑎 × 𝑏 = 𝑐

(Maza, 1991; Verganud, 2003); sin embargo, se considera la estructura 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏

para diferenciar las operaciones de la multiplicación y la división. Esta estructura sintáctica no

corresponde, necesariamente, al orden de presentación de los datos en el enunciado, ni a la

estructura gramatical, ni el tamaño de los números involucrados, sino que está determinada por

el lugar de la pregunta en el enunciado de problema multiplicativo, es la variación del lugar de

la incógnita la que establece la relación inversa que existe entre la multiplicación y la división.

- La naturaleza de las magnitudes, extensivas o intensivas, y la estructura de las magnitudes de

un enunciado de problema matemático corresponde al conjunto de expresiones y operaciones

permitidas entre las magnitudes de las cantidades que aparecen dicho enunciado (Puig y

Cerdan, 1995), la estructura de las magnitudes se identificó para cada una de las variaciones

de los enunciados que se presenta en los tres tipos de enunciados de problemas multiplicativos

(ver capítulo 2, numeral 2.3).

A continuación, se presenta el análisis de los aspectos matemáticos y semiótico-cognitivo de cada

uno de los ocho enunciados representativas del campo de enunciados de problemas

multiplicativos:

3.2.1 Problema T1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 7 veces más que

la A. ¿Cuánto mide la varilla B?

a. Al realizar la segmentación del problema T1 se evidencia que este consta de tres unidades

segmentadas:

Tabla 3.2.1

Segmentación y recontextualización de T1

Unidad

segmentada

U1 U2 U3

La varilla A mide 70 cm. de

longitud

la varilla B mide 7 veces más que

la A. ¿Cuánto mide la varilla B?

Objeto Varilla A Varilla A y B Varilla B

Marcas lingüísticas mide Veces más que

mide mide

Magnitud Extensiva (E) Intensiva (I) Extensiva (E)

Tipo de magnitud Longitudinal (cm) No hay (escalar) Longitudinal (cm)

Cantidades 70 7 490

Información explícita o

implícita

Medida de la 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴: 70 𝑐𝑚.

𝑩 = 𝐾 × 𝐴

𝑩 = 7 × 70

𝑩 = 490



𝐴 = 70

Relación de orden entre las medidas de la

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴 < 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵

Medida de la

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵: 490 𝑐𝑚.

Recontextualización

Estructura sintáctica: 𝒂 × 𝒃 = 𝒄

Estructura de magnitudes: 𝑬 × 𝑰 = 𝑬

Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M1y A1, de ahí

que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas que T1. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se

afirma que T1, M1 y A1 teniendo el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre ellos su


b. Posibles soluciones de T1 en los registros de llegada:

Tabla 3.2.2

Soluciones posibles de T1

Reg

istr

o

Nu

mér

ico

C1A: Como una suma reiterada C1B: Como suma acumulativa C1C: Como factor escalar

70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. + 70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 𝟒𝟗𝟎 𝒄𝒎.

70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 140 𝑐𝑚. 140 + 70 𝑐𝑚. = 210 𝑐𝑚. 210 + 70 𝑐𝑚. = 280 𝑐𝑚.

280 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 350 𝑐𝑚. 350 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 420 𝑐𝑚.

420 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 𝟒𝟗𝟎 𝒄𝒎.

70 𝑐𝑚.× 7 = 𝟒𝟗𝟎 𝒄𝒎.

Reg

istr

o F

igu

eral

Un

idim

ensi

on

al

C2A: Como suma reiterada y acumulativa y como comparación

Reg

istr

o F

igu

eral

Bid

imen

sion

al

C3A: Como suma reiterada y acumulativa y como comparación

3.2.2. Problema T2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la varilla B mide 140 cm.

¿Cuánto mide la varilla A?


segmentadas:



Tabla 3.2.3


Unidad

segmentada

U1 U2 U3

La varilla A mide 7 veces menos

que la B la varilla B mide 140 cm ¿Cuánto mide la varilla A?

Objeto Varilla A y B Varilla B Varilla A

Marcas lingüísticas Veces menos

Magnitud Intensiva (I) Extensiva (E) Extensiva (E)

Tipo de magnitud No hay (escalar) Longitudinal (cm) Longitudinal (cm)

Cantidades 7 140 70


implícita

𝑨 = 𝐵 𝐾⁄

𝑨 = 𝐵 7⁄



Medida de la 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵: 140 𝑐𝑚.

𝑨 = 140 7⁄

𝑨 = 20

Medida de la

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴: 20 𝑐𝑚.


Estructura sintáctica: 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂

Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑰 = 𝑬



afirma que T2, M2 y A2 teniendo el mismo contenido cognitivo.


Tabla 3.2.4


Reg

istr

o

Nu

mér

ico

C1A: Como suma reiterada y acumulativa C1B: Como factor escalar

𝟏𝟒𝟎 𝒄𝒎. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 120 𝑐𝑚. 120 − 𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 100 𝑐𝑚. 100 − 𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 80 𝑐𝑚.

80 𝑐𝑚. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 60 𝑐𝑚. 60 𝑐𝑚. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 40 𝑐𝑚. 40 𝑐𝑚. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 20 𝑐𝑚. 20 𝑐𝑚. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 0 𝑐𝑚.

140 𝑐𝑚.÷ 7 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎.

Reg

istr

o F

igu

eral

Un

idim

ensi

on

al

C2A: Como resta reiterada y acumulativa y como comparación



Reg

istr

o F

igu

eral

Bid

imen

sion

al


3.2.3. Problema T3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud

¿Cuántas veces más mide la varilla B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla A que

B?

a. Al realizar la segmentación del problema T3 se evidencia que este consta de cuatro

unidades segmentadas:

Tabla 3.2.5


Unidad

segmentada

U1 U2 U3 U4

La varilla A mide 70

cm. de longitud

la varilla B mide 490 cm.

de longitud

¿Cuántas veces más mide

la varilla B que A?

¿Cuántas veces menos

mide la varilla A que B?

Objeto Varilla Varilla B Varilla A y B Varilla A y B

Marcas lingüísticas Veces más Veces menos

Magnitud Extensiva (E) Extensiva (E) Intensiva (I) Intensiva (I)

Tipo de magnitud Longitudinal (cm) Longitudinal (cm) No hay (escalar) No hay (escalar)

Cantidades 70 490 7 7


implícita

Medida de la

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴: 70 𝑐𝑚.

𝐴 = 70

Medida de la

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵: 490 𝑐𝑚.

𝐵 = 490



𝐵 = 𝑲 × 𝐴

490 = 𝟕 × 70

Relación de orden entre

las medidas de la


𝐴 = 𝐵 𝑲⁄

70 = 490 𝟕⁄


Estructura sintáctica: 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃

Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑬 = 𝑰

Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M3y A3, de ahí que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas que T3.

Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se afirma que T3,

M3 y A3 teniendo el mismo contenido cognitivo.




Tabla 3.2.6

Soluciones posibles de T3 R

egis

tro N

um

éric

o

C1A: Como suma reiterada y acumulativa C1b: Como resta reiterada y acumulativa C1c: Como factor escalar

𝟕𝟎𝒄𝒎. → 1 𝑣𝑒𝑧

70𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 140𝑐𝑚. → 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

140𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 210𝑐𝑚. → 3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

210𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 280𝑐𝑚. → 4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

280𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 350𝑐𝑚. → 5 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

350𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 420𝑐𝑚. → 6 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

420𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 𝟒𝟗𝟎𝒄𝒎. → 𝟕 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔

𝟒𝟗𝟎𝒄𝒎. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 420𝑐𝑚. → 1 𝑣𝑒𝑧 420𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. . = 350𝑐𝑚. → 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 350𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 280𝑐𝑚. → 3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 280𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 210𝑐𝑚. → 4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 210𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 140𝑐𝑚. → 5 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 140𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 70𝑐𝑚. → 6 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 70𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 0𝑐𝑚. → 𝟕 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔

140𝑐𝑚.70𝑐𝑚.⁄ = 𝟕

Reg

istr

o F

igu

eral

Un

idim

ensi

on

al


Reg

istr

o F

igu

eral

Bid

imen

sion

al C3A: Como suma reiterada y acumulativa

3.2.4. Problema T4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250.

¿Cuánto ha pagada en total?


segmentadas:

Tabla 3.2.7


Unidad

segmentada

U1 U2 U3

Juan compra 8 paquetes de

cromos cada uno de los cuales cuesta $250 ¿Cuánto ha pagada en total?

Objeto Paquetes Paquetes y dinero Dinero

Marcas lingüísticas Cada uno Total


Tipo de magnitud Paquetes Dinero/paquete Dinero

Cantidades 8 1 y 250 2000




implícita

Uno de los elementos de la correspondida.

Paquetes

8

Dos elementos más de correspondidos.

Paquetes Dinero

8

1 250

Cuarto elemento de la correspondencia

Paquetes Dinero

8 x=2000

1 250



Estructura de magnitudes: 𝑬 × 𝑰 = 𝑬


que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas

que T4. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se

afirma que T4, M4 y A4 teniendo el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre ellos su organización de la redacción.


Tabla 3.2.8


Reg

istr

o N

um

éric

o

C1A: Como suma reiterada y acumulativa C1B: Como operador-funcional

$𝟐𝟓𝟎 → 1 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒

$250 + $𝟐𝟓𝟎 = $500 → 2 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$500 + $𝟐𝟓𝟎 = $750 → 3 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$750 + $𝟐𝟓𝟎 = $1000 → 4 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$1000 + $𝟐𝟓𝟎 = $1250 → 5 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$1250 + $𝟐𝟓𝟎 = $1500 → 6 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$1500 + $𝟐𝟓𝟎 = $1750 → 7 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$1750 + $𝟐𝟓𝟎 = $𝟐𝟎𝟎𝟎 → 𝟖 𝒑𝒂𝒒𝒖𝒆𝒕𝒆𝒔

8𝑝𝑎𝑞 × ($2501𝑝𝑎𝑞⁄ ) = $𝟐𝟎𝟎𝟎

Reg

istr

o F

igu

eral

Un

idim

ensi

on

al

C2A: Como suma reiterada y acumulativa.

Reg

istr

o F

igu

eral

Bid

imen

sion

al

C3A: Como suma reiterada y acumulativa

3.2.5. Problema T5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta

$250. ¿Cuántos paquetes de cromos compró?


segmentadas:



Tabla 3.2.9


Unidad

segmentada

U1 U2 U3

Juan compra $2.000 en paquetes

de cromos

cada uno de los cuales cuesta

$250

¿Cuántos paquetes de cromos

compró?

Objeto Dinero y paquetes Paquetes y dinero Paquetes

Marcas lingüísticas En Cada uno Cuántos


Tipo de magnitud Paquetes Dinero/paquete Dinero

Cantidades 8 1 y 250 2000


implícita

Dos elementos de la

correspondidos (uno

desconocido)

Paquetes Dinero

x 2000

Dos elementos más de la

correspondida.

Paquetes Dinero

x 2000

1 250

Incide sobre el elemento de la

correspondería desconocido

Paquetes Dinero

x=8 2000

1 250


Estructura sintáctica: 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂

Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑰 = 𝑬






Tabla 3.2.10


Reg

istr

o N

um

éric

o

C1A: Como suma reiterada y acumulativa C1B: Como operador-funcional

$𝟐𝟎𝟎𝟎 − $𝟐𝟓𝟎 = $1750 → 1 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒 $1750 − $𝟐𝟓𝟎 = $1500 → 2 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠 $1500 − $𝟐𝟓𝟎 = $1750 → 3 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$1250 − $𝟐𝟓𝟎 = $1000 → 4 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$1000 − $𝟐𝟓𝟎 = $750 → 5 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$750 − $𝟐𝟓𝟎 = $500 → 6 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$500 − $𝟐𝟓𝟎 = $250 → 7𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠

$250 − $𝟐𝟓𝟎 = $0 → 𝟖 𝒑𝒂𝒒𝒖𝒆𝒕𝒆𝒔

$2000 ÷ ($2501𝑝𝑎𝑞⁄ ) = 𝟖𝒑𝒂𝒒

Reg

istr

o F

igu

eral

Un

idim

ensi

on

al

C2A: Como resta reiterada y acumulativa.



Reg

istr

o F

igu

eral

Bid

imen

sion

al

C3A: Como resta reiterada y acumulativa

3.2.6. Problema T6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por cada

paquete de cromos?

a. Al realizar la segmentación del problema T6 se evidencia que este consta de dos unidades

segmentadas:

Tabla 3.2.11


Unidad

segmentada

U1 U2

Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por cada paquete de

cromos?

Objeto Dinero y paquetes Paquetes y dinero

Marcas lingüísticas Por Por cada

Magnitud Ambas extensivas (E) Intensiva (I)

Tipo de magnitud Paquetes y dinero Dinero/paquete

Cantidades 8 y 2000 250 y 1

Información explícita o implícita

Dos elementos de la correspondidos

Paquetes Dinero

8 2000

Dos elementos más de la correspondida

(uno desconido)

Paquetes Dinero

8 2000

1 x



Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑬 = 𝑰

Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M6y A6, de ahí que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas

caracterizas que T6. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido

cognitivo se afirma que T6, M6 y A6 teniendo el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre

ellos su organización de la redacción.




Tabla 3.2.12

Soluciones posibles de T6 R

egis

tro

Nu

mér

ico C1A: Como operador-funcional

$2000 ÷ 8𝑝𝑎𝑞 = $𝟐𝟓𝟎𝟏𝒑𝒂𝒒⁄

Reg

istr

o F

igu

eral

Un

idim

ensi

on

al

C2A: Como distribución

Reg

istr

o F

igu

eral

Bid

imen

sion

al

C3A: Como distribución

3.2.7. Problema T7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas parejas distintas se pueden

formar entre ellos?


segmentadas:

Tabla 3.2.13


Unidad

segmentada

U1 U2 U3

En un baile hay 3 chicos 6 chicas ¿Cuántas parejas distintas se

pueden formar entre ellos?

Objeto Chicos Chicas Parejas

Marcas lingüísticas Parejas distintas

Magnitud Extensiva (E) Extensiva (E) Extensiva (E)

Tipo de magnitud Persona Persona Parejas

Cantidades 3 6 18


implícita

Un elemento y su espacio de medida de la composición

cartesiano

Chico

3

Segundo elemento y su espacio de

medida de la composición

cartesiano

Chica

6

Chico

3

Tercer elemento y su espacio

de medida de la composición

cartesiano

Chica

6

Chico

3 x=18

Parejas



Estructura de magnitudes: 𝑬 × 𝑬 = 𝑬 Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M7y A7, de ahí

que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas

que T7. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se






Tabla 3.2.14


Reg

istr

o

Nu

mér

ico C1A: Como multiplicación

3 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑜𝑠 × 6 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠 = 𝟏𝟖 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒋𝒂𝒔

Reg

istr

o F

igu

eral

icón

ico

C2A: Como diagrama

Reg

istr

o F

igu

eral

Bid

imen

sion

al C3A: Como composición cartesiana

3.2.8. Problema T9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se pueden formar 18 parejas

distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos hay en el baile?


segmentadas:

Tabla 3.2.15


Unidad

segmentada

U1 U2 U3 U4

En un baile algunos chicos 6 chicas Se pueden formar 18

parejas distintas entre ellos

¿Cuántos chicos hay en el

baile?

Objeto Chicos Chicas Parejas Chicos

Marcas lingüísticas Algunos Parejas distintas Cuántos

Magnitud Extensiva (E) Extensiva (E) Extensiva (E) Extensiva (E)

Tipo de magnitud Persona Persona Parejas Persona



Cantidades x 6 18 3

Información

explícita o implícita

Un elemento desconocido

y espacio de medida de la

composición cartesiano

Chico

x

Segundo elemento y espacio de medida de la


Chica

6

Chico

x

Tercer elemento y espacio de medida de la


Chica

6

Chico

x

18

Parejas

Incide sobre el elemento desconocido del primer

espacio de media

Chica

6

Chico

x=3

18

Parejas



Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑬 = 𝑬

Estas mismas estructuras la cumplen igualmente los enunciados T8, M9 y A9, de ahí que al realizar un análisis

semiótico-cognitivo a estos cinco enunciados cumplirían con las mimas caracterizas que T9. Por lo anterior y teniendo

en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo, se afirma que T9, M9 y A9 tienen el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre ellos su organización de la redacción.


Tabla 3.2.16


Reg

istr

o

Nu

mér

ico C1A: Como multiplicación

18 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑗𝑎𝑠 ÷ 6 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠 = 𝟑 𝒄𝒉𝒊𝒄𝒐𝒔

Reg

istr

o F

igu

eral

Bid

imen

sion

al

C2A: Como composición cartesiana

3.3. Recolección y organización de la información

La información obtenida en este trabajo de investigación se recogió utilizando las dos técnicas

cualitativas que se mencionaron en la figura 3:

- Las tareas propuestas a los estudiantes que son de dos tipos: 1) Tareas con los enunciados

representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos que se seleccionaron a

partir del criterio 1 (ver numeral 3.1) para analizar su comprensión. 2) Tareas con

modificaciones de los enunciados representativos del campo de enunciados problemas



multiplicativos que se obtuvieron a partir de la aplicación del criterio 1, estas modificaciones

se llevaron a cabo a partir de los criterios 2 y 3 que se utilizaron (ver numeral 3.1).

Es a partir de la aplicación de las tareas con los enunciados de problemas multiplicativos que

se generaron con los criterios 1, 2 y 3 se recogieron las informaciones de las producciones de

los estudiantes.

- Los protocolos de observación con o sin intervención que se realizaron a los estudiantes en el

momento que se aplicaban las tareas; en los protocolos hubo la necesidad de hacer preguntas

a los estudiantes para indagar sobre algunas cuestiones observadas en las producciones de ellos

con el propósito de confirmar algunas interpretaciones.

3.3.1. Categorías organizadoras de la información para la realización del análisis los datos

obtenidos. Una vez realizado el análisis semiótico-cognitivos a los ocho enunciados de

problema multiplicativos se pudo corroborar que cada uno de estos enunciados conlleva

una estructura sintáctica y una estructura de magnitudes como se evidenció en la tabla

3.1.1.

Estas estructuras de cada enunciado, a la cual denominados organización estructural, son

en este trabajo las categorías organizadoras de la información para la realización del

análisis los datos obtenidos. En la tabla 3.3.1 se presentan las categorías organizadoras de

la información:

Tabla 3.3.1

Categorías organizadoras de la información para el análisis de los enunciados

de problemas multiplictativos

Tipo de enunciado

de problema

multiplicatico

ORGANIZACIÓN ESTRUCTURAL

Estructura sintáctica Estructura de las

magnitudes

CATEGORÍA 1 Comparación 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑰 = 𝑬

CATEGORÍA 2 Comparación 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂 𝑬/𝑰 = 𝑬

CATEGORÍA 3 Comparación 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑰

CATEGORÍA 4 Proporcionalidad

directa simple 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑰 = 𝑬


directa simple 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂 𝑬/𝑰 = 𝑬


directa simple 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑰



CATEGORÍA 7 Combinación 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑬 = 𝑬

CATEGORÍA 8 Combinación 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑬

En la tabla 3.3.2 están expuestas las ocho categorías organizadoras de la información y los

enunciados de problemas multiplicativos que se analizaron en cada una de éstas, los cuales

fueron aplicados a los estudiantes de grado 6º, del establecimiento educativo Institución

Educativa Distrital Colegio Entre Nubes de la ciudad de Bogotá.

Tabla 3.3.2

Enunciados de problemas multiplicativos aplicados y

analizados por cada categoría organizadora

En el siguiente capítulo se presentan los análisis de cada uno los ochos enunciados de

problemas multiplicativos, los cuales se hacen por categoría organizadora como se observa

en la tabla 3.3.2.

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS

MULTIPLICATIVOS APLICADOS Y

ANALIZADOS

CATEGORÍA 1 T1, M1 y A1










4. Análisis de la información obtenida en la aplicación de los enunciados de los

problemas multiplicativos

En el siguiente capítulo se presenta el análisis de la información obtenida en la aplicación a los

estudiantes de grado 6º, de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes de la ciudad de

Bogotá, de las tareas concernientes a los ocho enunciados representativos del campo de enunciados

de problemas multiplicativos, tal cual se manifestó en el capítulo anterior este análisis se realizó a

partir de las ocho categorías organizadoras de la información que se presentaron en la tabla 3.3.1,

las cuales se generan por la organización estructural que tiene cada uno de los ocho enunciados.

4.1. Categoría organizadora 1: Problemas multiplicativos de comparación cuya solución está

determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸.

Tabla 4.1.1

Enunciados de problema multiplicativos de comparación con estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y

estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸 T1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B?

M1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B es 7 veces más grande que la varilla A. ¿Cuánto

mide la varilla B?

A1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B?

La resolución de T1 por parte de los estudiantes tuvo un éxito en sus respuestas del 78,6%, de los

desaciertos (21,4%) ningún estudiante en la resolución del enunciado le otorga a la palabra “más

que” la operación suma, aspecto diferente con el término “menos que” que se le atribuye resta (ver

numeral 4.2). Este otorgamiento a la marca lingüística “más que” de significarle asertivamente la

operación de multiplicación implica que los estudiantes comprenden en el enunciado que hay una

relación multiplicativa que relaciona la varilla B como igual a la varilla A en un número

determinado de veces (7𝐴 = 𝐵).

Análisis de la información


Esta comprensión puede suponerse porque en la no-congruencia entre el registro de salida (T1) y

registro de llegada (numérico) se puede evidenciar que, aunque no hay correspondencia lexical

dado que el signo “×” no correlaciona con una unidad segmenta de T1, si hay univocidad

semántica terminal y conservación de orden entre las unidades segmentadas de T1 y su solución

en el registro numérico, ver figura 4.1.1.

Figura 4.1.1. Ejemplo de correspondencia lexical, univocidad semántica e igual orden de organización de las

unidades significantes entre T1 y registro numérico.

Para todos los casos el único registro de llegada fue el numérico, en el cual los algoritmos para su

solución era la suma reiterada (24,4%) y la multiplicación (78,6%); lo anterior presupone que si

un estudiante tiene que enfrentarse a un problema éste infiere que el docente espera una respuesta

dada por un cálculo con números y no sea posible utilizar otros tipos de registros. Esta inferencia

del estudiante puede confirmar que la enseñanza de las matemáticas deja de lado u omite la

enseñanza de los registros multifuncionales como la lengua natural, los icónico o los figuras

geométricas, a pesar que sean estos registros utilizados en todos los dominios de la vida social

tienen la “desventaja” que los tratamientos en estos registros no son algoritmizables, es decir sus

tratamiento implican que no sean tan técnicos o formales como el registro numérico que es un

registro monofuncional, de ahí que el registro numérico es a veces el único que es objeto de

enseñanza en la escuela (Duval, 2016).

Entre las soluciones con suma reiterada en el registro numérico para T1 se presentó el caso en que

el 14,3% de los estudiantes sumaban ocho veces la cantidad 70 cm. y no siete veces, como se

muestra en la figura 4.1.2. Este tipo de error que presenta los estudiantes está ligado a como la

marca lingüística “veces más” la palabra más significa al estudiantes que aparte de los 70 cm. que

mide de la varilla A se debe operar otras siete veces más los 70 cm., o sea que se opera ocho veces

la cantidad 70 cm. En otros términos la palabra más de “veces más” induce al estudiante a que la

cantidad a repetida es excluyente y no incluyente.



Figura 4.1.2. Producción del estudiante E9A en la solución del problema T1.

Al realizar el análisis de las soluciones de M1 que surge de la transformación que se le hace a T1

en el segmento del enunciado “La varilla B mide 7 veces más que la A” al cambiar veces más por

veces más grande el éxito en la resolución el problema fue del 68,8%, siendo poca la diferencia

entre la comprensión de T1 y M1. Esto se justifica porque M1 cumple las mismas características

de no-congruencia con el registro numérico que le sucede a T1 con dicho registro.

Del total de respuestas dadas al resolver M1 el 7,1% los estudiantes utilizaron un tipo de registro

auxiliar, para todos los casos se utiliza un registro icónico, como se muestra en la figura 4.1.3.

Todos los estudiantes que utilizaron el registro auxiliar icónico tuvieron éxito en su respuesta

corroborando que la varilla A cabe siete veces en la varilla B, es decir hay un comparativo de

igualdad de orden multiplicativo. Esto conduce a considerar dos aspectos: uno, que los registros

icónicos son un apoyo para visibilizar en un enunciado de problema multiplicativo de comparación

que los objetos involucrados a comparar (varillas A y B) tienen una relación de igualdad porque

relaciona la varilla B como igual a la varilla A en un número determinado de veces (7𝐴 = 𝐵). y

no de cualidad por no se establece una rleación de cual varilla mide más o menos (m𝐴 < m𝐵).

Dos, que la marcar lingüística “veces más grande” induce al estudiante a comprender que la varilla

A cabe siete veces en la varilla B y por ello la realización de un registro icónico que presentan un

parecido con la varilla.

Figura 4.1.3. Producción del estudiante E8C en la solución del problema M1.



Una posible causa para que el registro auxiliar sea el icónico puede obedecer a que el registro

multifuncional por no posibilitar tratamientos que sean algoritmos es necesario su articulación o

apoyo con el registro de la lengua natural, como este registro auxiliar es el resultado de cambio de

registro que tuvo como registro de salida el de la lengua natural esto exige una coordinación entre

los registros de salida (lengua natural), el auxiliar transicional (icónico) y el de llegada (numérico),

lo cual evidencia que hay comprensión de un enunciado de problema multiplicativo de

comparación cuando “las representaciones auxiliares transicionales, incluso las más icónicas y

concretas, ¡también requieran ser integradas con tareas sistemáticas de covariación si queremos

que sean eficientes!” (Duval, 2016, p. 89).

Con respecto al registro de llegada para la solución del M1, el registro de mayor uso fue también

el numérico con 93,8% en cuyos algoritmos utilizados fueron multiplicación (56,3%), suma

reitera, división y suma de las dos cantidades del enunciado con 12,5% cada una.

Para la solución de A1 el 70,6% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, para estos

estudiantes era necesario que la varilla A se pudiera sobreponer siete veces sobre la varilla B, en

todos los casos los estudiantes tomaban como referencia la medida del segmento que representaba

la varilla A en el enunciado A1, midiendo el segmento con unidades no estandarizadas como parte

del lápiz o el dedo, y lo sobreponían (las siete veces) sobre el segmento que represéntala la varilla

B. Para todos casos la división fue la única operación realizada.

Para los casos donde el estudiante da solución a A1 en el registro numérico, al igual que T1 y M1,

este enunciado es no-congruente con el registro de llegada.

El 29,4% de los estudiantes no resolvieron correctamente el enunciado A1. Este porcentaje de no

éxitos se le puede atribuir a que el registro auxiliar propuesto en este enunciado era un registro

figural unidimensional, el cual, posiblemente, ha sido poco abordado en la actividad matemática.

Además, el uso del registro unidimensional exige, por un lado, los tratamientos realizados en este

registro no son algoritmos (Duval, 1999b) y como se mencionó anteriormente es el registro

numérico es el de mayor (y casi único) uso en la escuela.



Por otro lado, el registro unidimensional está asociado casi siempre al manejo de la recta numérica

para números enteros y su extensión a los racionales (Adjiage, 1999; Pontón, 2008) o para la

medición de medias longitudinales, para muchos de los estudiantes que se enfrentaron a este

problema el registro auxiliar les era desconocido y su presentación no les implicaba comprender

como cambiar de un registro (el de lengua natural) a otro (el de registro figural unidimensional).

Más bien, el registro auxiliar restringía al estudiante a ver una ilustración que no garantiza la

comprensión de la situación multiplicativa de comparación, en otras palabras no es suficiente con

que se le presente al estudiante que resuelve un enunciado de problema varias representaciones

juntas de la situación plateada, más bien se requiere es que el estudiante pueda cambiar el registro

de representación (Duval, 1999a, 1999b, 2016).

Los registros de llegada para la solución de A1 fueron el numérico (76,5%) y el registro

unidimensional auxiliar (23,5%), siendo esta última representación un registro donde los

estudiantes que lo utilizaron todos tuvieron éxito y realizaron tratamientos sobre dicho registro

como la suma acumulativa, ver figura 4.1.4.

Figura 4.1.4. Producción del estudiante E25D en la solución del problema A1 en el registro figural unidimensional

Los tratamientos utilizados en la solución de A1 fueron multiplicación (52,9%), suma reiterada

(11,8%) y suma acumulativa (5,9%); sin embargo, para la multiplicación se presentó que algunos

estudiantes no operaban siete veces la cantidad sino ocho veces, ver figura 4.1.5, la causa de este

tipo de error se explico anteriormente. Estos tratamientos se realizaron dado que los estudiantes

establecían relaciones entre las partes (segmentos con longitud igual a la varilla A) y el todo

(longitud de la varilla B).



Figura 4.1.5. Producción del estudiante E24B en la solución del problema A1 en el registro numérico.

Al igual que T1 la palabra más de “veces más” induce al estudiante a que la cantidad a repetir es

excluyente y no incluyente, es por ello que se opera ocho y no siete veces.


determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸.

Tabla 4.2.1

Enunciados de problema multiplicativos de comparación con estructura sintáctica 𝑐 ÷𝑏 = 𝑎 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸

T2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?

M2: La varilla A es 7 veces más pequeña que la B y la varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?

A2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?

La resolución T2 tuvo un éxito en sus respuestas del 37,5%, de los desaciertos (62,5%) el 37,5%

del total de estudiantes en la resolución del enunciado le otorga a la palabra “menos que” la

operación sustracción como se muestra en la figura 4.2.1. Este otorgamiento está estrechamente

ligada al significado de la palabra “menos” como una operación que implica una comparación

cualitativa que expresa solo una relación de orden (Castro, 1994) que responde a pregunta ¿Cuánto

falta?, en la cual la varilla A es menor que la varilla B (𝐴 < 𝐵) y el “menos que” no está ligado,

por tanto, a un comparativo de igualdad en el marco de las relación multiplicativa que relaciona la

varilla A como igual a la varilla B en un número determinado de veces (7𝐴 = 𝐵), sino como

m𝐵 −𝑚𝐴.



Figura 4.2.1. Producción del estudiante E18A en la solución del problema T2

Otro de los aspectos que inciden en el bajo porcentaje de éxitos es debido a que el registro de salida

(T2) y el registro numérico de llegada no son congruentes porque, aunque hay univocidad

semántica, no hay correspondencia lexical ni se conserva igual el orden de organización de las

unidades significantes entre ambos registros, ver figura 4.2.2. Si el registro se llegada está

modelada por la ecuación 𝒙 × 7 = 140 la no congruencia es mucho mayor dado que el “veces

menos” y el signo × semánticamente no coinciden, es decir hay un distanciamiento entre la marca

lingüística y el signo que le corresponde lexicalmente en el registro de llegada.

Figura 4.2.2. Ejemplo de univocidad semántica pero no hay correspondencia lexical ni igual orden de organización

de las unidades significantes entre T2 y su solución numérica

Para casi todos los casos (93,8% de los estudiantes) el único registro de llegada para resolver T2

era el numérico, en el cual los algoritmos utilizados para su solución eran la sustracción (37,5%),

la suma (18,8%), la división (31,3%) y la multiplicación y división (6,3%); lo anterior presupone

el monopolio del uso de registro numérico.

Al realizar el análisis en la comprensión de M2 que surge de la transformación que se le hace a T2

en el segmento del enunciado “La varilla A mide 7 veces menos que la B” al cambiar veces menos

por veces más pequeño el éxito en la resolución de M2 fue del 40%. Primero, se puede considerar

que el término “veces más pequeño” no denota para el estudiante que la varilla A cabe tantas veces

iguales (n-veces) en la varilla B, es decir, que la incomprensión que entre las varillas A y B hay

una relación aditiva y no multiplicativa sigue presente, de la misma manera que en la comprensión

del enunciado T2. Esto implica que el estudiante sigue sin identificar en el enunciado M2 hay un

relación multiplicativa de comparación y, segundo, la excepción de la marca lingüística “menos



que” y “veces más pequeño” conlleva a direccionar la resolución del enunciado del problema a

realizarlo con una sustracción, esto quiere decir que estas dos marca lingüistas son elementos

porque contribuyen a la no-congruencia entre el registro de salida (lengua laural) de un enunciado

de problema multiplicativo de comparación y su posible registro de llegada.

Adicional a las dificultades presentadas en la comprensión de M2 por las marcas lingüistas, que se

mencionaron anteriormente, se suma la no congruencia que hay entre M2 y su registro numérico

de llegada, como sucede con T2.

Del total de respuestas dadas a M2 el 13,3% utilizaron un registro auxiliar, para todos los casos se

utiliza un registro icónico, como se muestra en la figura 4.2.3. Los estudiantes que utilizaron el

registro auxiliar icónico tuvieron éxito en su respuesta corroborando que la varilla A cabe siete

veces en la varilla B, al igual que en la resolución de M1.

Figura 4.2.3. Producción del estudiante E10C en la solución del problema M2

Con respecto a los registros de llegada para la solución del M2, el mayor registro de solución fue

también el numérico con 86,7% en cuyos algoritmos utilizados fueron resta (49,7%), suma (6,7%),

división (40%) y multiplicación (6,7%). Al igual que en la solución del T1, T2 y M1 el presupuesto

del por qué es de mayor uso el registro numérico se conserva.

En la solución de A2 el 71,4% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, para estos

estudiantes era necesario que la varilla A se pudiera sobreponer siete veces sobre la varilla B, como

en A1. Para todos los casos la división fue la única operación realizada.

El 14,3% de los estudiantes que no tuvieron éxitos en la resolución de A2 midieron el segmento

que representaba la varilla A con la regla, la medición les arrojaba 1 cm. aproximado por exceso



o defecto como muestra la figura 4.2.4. Este porcentaje de no éxitos coincide con los argumentos

expuestos en los no aciertos para A1.

Figura 4.2.4. Producción del estudiante E48C en la solución del problema A2

Los estudiantes que resolvieron A2 en un registro numérico percibieron la misma no congruencia

como sucedió con T1 y M1.

Los registros de llegadas para la solución de A2 fueron numérico (71,4%) en el cual estuvieron

todos los aciertos a la respuesta del problema y el numérico con apoyo del registro auxiliar

unidimensional (14,3%) en el que los estudiantes usaron regla para medir; las demás producciones

(14,3%) no determinaron información ya sea porque se entregaron en blanco o lo consignado no

era claro.


determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼.

Tabla 4.3.1

Enunciados de problema multiplicativos de comparación con estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y

estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼 T3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces más mide

la varilla B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla A que B?

M3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces cabe la

varilla A en la varilla B?

A3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces más mide

la varilla B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla A que B?



La resolución de T3 tuvo un éxito en sus respuestas del 18, 8%, siendo la más baja entre los tres

tipos de enunciados de comparación puesto que para T1 su éxito fue del 76,8% y T2 fue de 37,5%.

Los desaciertos para T3 fue de 81,3%, los estudiantes en la resolución del enunciado le otorgaban

en su mayoría a la palabra “más que” y “menos que” la operación suma o resta. Este otorgamiento

a las marcas lingüísticas “más que” y “menos que” de significarle estas operaciones manifiestan

que los estudiantes no comprenden en el enunciado una comparación multiplicativa sino una

comparación cualitativa que expresa solo una relación de orden (Castro, 1994) que responde a

pregunta ¿Cuánto falta o cuánto sobra?, en la cual la varilla A es menor que la varilla B (𝐴 < 𝐵)

o la varilla B es mayor que la varilla A (𝐴 < 𝐵).

Estas dificultades en la comprensión del enunciado T3 se diferencian de los de T1 y T2 porque en

el T3 el elemento incógnito o averiguar es el factor de comparación (el 7) que es dado en T1 y T2.

Que la incógnita corresponda al factor de comparación genera que entre el registro de salida (T3)

y el registro de llegada (los cálculos numéricos) no haya congruencia puesto que el orden de

organización de las unidades significantes no se conservan en ambos registro y no hay

correspondencia lexical entre las unidades significantes propias a cada registro porque al signo

“/” (de la solución simbólica) no le corresponde ninguna unidad significante de T3. Ejemplo:

Figura 4.3.1. Ejemplo de univocidad semántica pero no hay correspondencia lexical ni igual orden de organización

de las unidades significantes entre T3 y su solución numérica

Para casi todos los casos en las producciones de T3 el registro de llegada era el numérico (87,5%)

siendo la suma (50%), resta (43,8%), multiplicación (12,5%) y división (6,3%) los algoritmos

utilizados; lo anterior presupone, como en los análisis anteriores, el uso del registro numérico como

exclusivo en la enseñanza de los enunciados de problemas multiplicativos de comparación.



Entre las soluciones de T3 los estudiantes que realizaron la suma reiterada y ecuación (70 × 7 =

490) demostró que comprendieron que en este enunciado hay una relación multiplicativa de

comparación (ver figuras 4.3.2a y 4.3.2b).

Figura 4.3.2a. Producción del estudiante E3B en

la solución del problema T3 por suma reiterada.

Figura 4.3.2b. Producción del estudiante E3C en la solución del

problema T3 por ecuación.

No obstante, la figura 4.3.3.b devela que al igual que en el análisis de T1 y T2 los término

más/menos de “veces más/menos” induce al algunos estudiantes a que la cantidad a repetir es

excluyente y no incluyente, es por ello que el estudiante aunque opera por 7 afirma que es 6 veces.

Al realizar el análisis en la solución de M3 que surge de la transformación que se le hace a T3 en

el segmento del enunciado “¿Cuántas veces menos mide la varilla A que B?” al cambiar veces más

por veces cabe el éxito en la resolución el problema fue del 29,4%, siendo una diferencia algo

despreciable entre la comprensión de T3 y M3.

Del total de respuestas dadas a M3 ningún estudiante utilizó un registro auxiliar. Con respecto al

registro de llegada para la solución del M3, el único registro de solución fue el numérico cuyos

algoritmos utilizados fueron suma (47,1%), multiplicación (23,5%) y división (29,4%), sigue

siendo este registro el de mayor uso por los estudiantes para resolver problemas multiplicativos de

comparación. Las respuestas correctas (29,4%) al igual que T3 estuvieron resultas por sumas

reiteradas y por ecuación.

Para A3 el 58,3% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, un porcentaje significativamente

mayor que para T3 y M3. Para los estudiantes que tuvieron éxito era necesario también que la

varilla A se pudiera sobreponer siete veces sobre la varilla B tomado como referencia la medida

del segmento de la varilla A en el enunciado A3. La verificación de esta manera de razonar los



estudiantes la realizaban con sumas reiterada o multiplicando la medida de la varilla A por la

cantidad de veces que se sobrepuso en la varilla B, ver figura 4.3.3.

Figura 4.3.3. Producción del estudiante E20B en la solución del problema A3

El 41,7% de los estudiantes no tuvieron éxitos en la resolución de A3. Este porcentaje de no éxitos

al igual que A1 y A2 se le puede atribuir a que el registro auxiliar propuesto en A3 es un registro

figural unidimensional.

Los registros de llegadas para la solución de A3 fueron numérico (58,8%) y el mismo registro

figural unidimensional (35,3%), siendo esta última representación un registro donde los

estudiantes que lo utilizaron todos tuvieron éxito y realizaron tratamientos sobre dicho registro

como la suma acumulativa, ver figura 4.3.3.

Los tratamientos utilizados en la solución de A3 fueron multiplicación (17,6%), suma reiterada

(11,8%), resta (23,5%) y división (11,8%).

4.4. Categoría organizadora 4: Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa simple

cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de

magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸.

Tabla 4.4.1

Enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa simple con estructura sintáctica

𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸 T4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuánto ha pagado en total?

M4: Si 1 paquete de cromos cuesta $250 y Juan compra 8 paquetes de cromos ¿Cuánto ha pagado en total?

A4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuánto ha pagado en total?



La resolución de T4 tuvo un éxito en sus respuestas del 100%, esto implica que el grado de

complejidad para la comprensión de este tipo de enunciados hace que los estudiantes no encuentren

dificultades en su comprensión debido a que:

1. Aunque entre T4 y su solución numérica no hay congruencia entre sus registros dado que no

hay correspondencia lexical, pero si univocidad semántica terminal y el mismo orden de

organización de las unidades significantes, porque al signo “×” del registro numérico no le

corresponde una unidad significante con el registro de lengua en que está presentado el

problema a solucionar, como se muestra en la figura 4.4.1.

Figura 4.4.1. Ejemplo de no correspondencia lexical pero si univocidad semántica terminal y el mismo orden de

organización de las unidades significantes entre T4 y su solución numérica.

2. En T4 su organización de la redacción no se aleja de la variables relativas del lector porque el

contexto en que es presentado T4 es cercano al estudiante, haciendo que su base de

conocimientos que dispone en relación con el contenido cognitivo del texto, su comprensión

del vocabulario, etc. sean suficientes y no se alejen de la manera como el enunciado está

presentado con respecto a los elementos que son explicitados y la manera en que se ordenan

estos elementos en el enunciado, en palabra de Duval (1999b):

En particular, cuando la organización redaccional de un texto se aleja mucho de las formas

de organización propias a los discursos orales espontáneos y cuando el texto no trata sobre



conocimientos familiares, muy rápidamente las dificultades de comprensión pueden llegar

a ser insuperables para muchos alumnos y, en general, para muchos lectores. (p. 264)

En la comprensión de T4 los estudiantes logran identificar que entre las magnitudes involucradas

(cromos y pesos/cromo) hay una relación multiplicativa de proporcionalidad directa simple porque

hay una correspondencia en dichas magnitudes, esto se puede observar cuando el estudiante

identifica la unidad, ver figura 4.4.2; sin embargo, cuando se le interrogaba con preguntas

referentes a cuanto constaba 1 paquete de cromos la gran mayoría no lograba relacionar el término

“cada uno” con “1 paquete de cromos” porque manifestaban que en el enunciado decía era el valor

de cada uno y no uno solo, es decir que no hay una construcción significativa en los estudiantes

para reconocer en los enunciado de proporcionalidad directa simple que la unidad es la

correspondencia de 1 paquete con su valor.

Figura 4.4.2. Producción del estudiante E7B en la solución del problema T4

Para todos los casos en la solución de T4 (100% de los estudiantes) el único registro de llegada

fue el numérico siendo los algoritmos para su solución la suma reiterada (12,5%) y la

multiplicación (87,5%); lo anterior presupone nuevamente dos aspectos: uno, el registros numérico

es el más usado en su enseñanza (enseñanza monorregistro), igual que pasa en la resolución de

enunciados de problemas multiplicativos de comparación y; dos, el uso de la suma reiterada como

algoritmo para la solución del problema puede obedecer a que el estudiante aún: no identifica en

los problemas multiplicativos cuáles cantidades son el multiplicando y el multiplicador o ve la

multiplicación como una operación única que resuelve solo ciertos tipos de problemas (Maza,

1991).

El análisis de las soluciones de M4 que surge de la transformación que se le hace a T4 el éxito en

la resolución del problema fue del 75%. El descenso en el éxito al solucionar M4 puede estar en



que para T4 la organización de la unidades significantes las magnitudes estaban dadas por 𝐸 × 𝐼 =

𝐸 y para M4 por 𝐼 × 𝐸 = 𝐸, esto muestra que la organización de la redacción de M4 se aleja de la

organización propia a los discursos orales espontáneos. Es decir, que la variación de la

organización que se le haga a un enunciado de problema multiplicativo (ver figura 2.2.1 del

capítulo 2) como es el caso de la variación de la redacción concerniente al orden de presentación

de los elementos explicitados afecta de manera directa su comprensión.

Sin embargo, por un lado, todas la soluciones de M4 tuvieron el orden 𝐸 × 𝐼 = 𝐸 a pesar que la

organización del enunciado era 𝐼 × 𝐸 = 𝐸 (ver figura 4.4.3) y, por otro lado, entre el registro que

es presentado M4 y el registro numérico de solución no son congruentes porque no se da a

cabalidad cumplimiento a los tres criterios de congruencias propuestos por Duval (1999a, 1999b,

2016) dado que no se cumple con el mismo orden de organización de las unidades significantes

entre los registros de salida y de llegada.

Figura 4.4.3. Producción del estudiante E13C en la solución del problema M4

Del total de respuestas dadas a M4 el 100% utilizaron el registro numérico sin apoyo de un registro

auxiliar en cuyos algoritmos utilizados fueron la resta (12,5%), la suma (6,3%) y la multiplicación

(87,5%). Las operaciones de suma y resta no corresponden a reiteraciones o acumulaciones, por

ende no dan solución correcta al M4.

En la soluciones de A4 el 100% lo realizaron exitosamente, de éstos el 41,7% utilizan el registro

auxiliar bidimensional o generaron uno para realizar tratamientos como se observa en la figura

4.4.4. En todos los casos el uso del registro auxiliar los estudiantes le asignaron a cada subdivisión

de la barra más grande el valor de $250 o generaron barras de casi igual tamaño a la barra más

pequeña y le agregaron el valor de $250, es decir las unidades figurales de la figura original (barra

grande o pequeña) son reconfiguradas visualmente sin recurrir a una propiedad matemática con el

fin de dar explicaciones a la respuesta de $2.000 (Duval, 2016). Lo anterior manifiesta que un



porcentaje pequeño de los estudiantes consideran validos soluciones a A4 que no estén

exclusivamente en el registro numérico.

Figura 4.4.4. Producción del estudiante E37C en la solución del problema A4

Los registros de llegadas para la solución de A4 fueron numérico (75%) y numérico con apoyo del

registro auxiliar bidimensional (41,7%), los algoritmos utilizados en los registros numéricos fueron

multiplicación (75%), suma reiterada (16,7%) y suma reiterada parciales (8,3%). Esta última suma

se da solo cuando hay un registro auxiliar dado que según manifestaciones de los estudiantes el

otro parcial corresponde a la misma cantidad de subdivisiones sobrante que se ve en la figura, es

decir suman hasta $1.000 que corresponden a 4 paquetes de cromos, entonces 8 paquetes cuentasn

$2.000.


cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y estructura de

magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸.

Tabla 4.5.1


𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸 T5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de

cromos compró?

M5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, si 1 paquete cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de cromos compró?

A5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de

cromos compró?



La resolución T5 tuvo un éxito en sus respuestas del 80%, esto implica que el grado de complejidad

para la comprensión de este tipo de problemas no es tan crucial dado que 4/5 de los estudiantes

logran resolver la situación plateada con éxito, no obstante para T5 su comprensión implica

mayores dificultades, por ejemplo más que las de T4 que también es de proporcionalidad directa

simple, no centradas por la no congruencia entre los registros de salida (lengua natural) y posible

de llegada, porque como se muestra en la figura 4.5.1 los registros no son congruentes puesto que

no hay correspondencia lexical pero si univocidad semántica terminal y el mismo orden de

organización de las unidades significantes porque al signo “/” del registro numérico no le

corresponde una unidad significante del registro de lengua natural en que está presentado el

problema a solucionar.

Figura 4.5.1. Ejemplo de no correspondencia lexical pero si univocidad semántica terminal y el mismo orden de

organización de las unidades significantes entre T5 y su solución numérica

Las dificultades están enmarcadas en los factores de variación que me determinan la organización

de redacción de un enunciado (ver figura 2.2.1 del capítulo 2), si analizamos las unidades

segmentadas U1: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, U2: cada uno de los cuales cuesta

$250, y U3: ¿Cuántos paquetes de cromos compró? tenemos que:

- Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de las expresiones referenciales o

apofánticas para tematizar los elementos que se quiere explicitar, este factor me determina

información explícita e implícita del enunciado pues: Por una parte, se designa el objeto

(función referencial del discurso) que en U1 sería cierta cantidad (desconocida) de cromos, en

U2 sería la unidad y en U3 sería los paquetes de cromos. Y por otra parte, se dice algo sobre

el objeto que se designó (función apofántica del discurso) que sería en U1 que esos cromos

cuestan $2000, en U2 que 1 cromo cuesta $250 y en U3 cuántos son esos paquetes.



De acuerdo a lo anterior, como la organización de redacción del enunciado se aleja poco de la

organización propia del discurso oral espontáneo este factor no es mayormente incidente en

las dificultades respecto a la comprensión del enunciado.

- Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de elementos que son explicitados

este factor solo es posible analizar en la operación de re-contextualización porque el elemento

escogido es un problema multiplicativo de proporcionalidad directa simple que se resuelve por

el algoritmo de división, suma reiterada o ecuación (𝑎 × 𝒄 = 𝑏). Este elemento que está

inmerso en el enunciado dista en gran medida del factor anterior porque las funciones

referencias y apofánticas no hacen explícitos muchos elementos del contenido cognitivo, por

ejemplo no hay marcas lingüísticas que refiera a un reparto.

- Con respecto al factor de variación concerniente al orden de presentación de los elementos

explicitados sus dificultades en la comprensión radican porque “este orden es evidentemente

un orden de tematización que se refleja en el orden de sucesión de las frases” (Duval, 1999b,

p. 273) y para T5 solo se comprende que es un reparto (división) hasta que se llega a su

pregunta, es decir las cantidades 2000 y 250 son presentadas pero se sabe que hay que hacer

un reparto solo hasta el final, lo cual difiere en el orden de 2000/250 = 8.

En la comprensión de T5 solo el 73,4% de los estudiantes identifican explícitamente cual es la

unidad, caso particular eran los estudiantes que lo resolvían por suma reiterada (26,7%), división

(6,7%) o por ecuación (40%) (Ver figuras 4.5.3a y 4.5.3b).

Figura 4.5.2a. Producción del estudiante

E2B en la solución del problema T5 por

suma reiterada.

Figura 4.5.2b. Producción del estudiante E12A en la

solución del problema T5 por ecuación

(multiplicación)



Para todos los casos (100%) el único registro de llegada fue el numérico siendo los algoritmos para

su solución la suma reiterada (25%), multiplicación (66,7%) y división (6,3%).

Las soluciones hechas a M5 que surge de la transformación que se le hace a T5 el éxito en la

resolución del problema fue del 62,5%. El descenso en el éxito de la solución del enunciado está

determinado, a diferencia de lo que sucedió con de M4, no por la organización de la unidades

significantes porque la estructura las magnitudes para M5 si estaban dadas por 𝐸 × 𝐼 = 𝐸. Es decir

que al igual que T5 las dificultades no radican en la congruencia entre el registro de salida y de

llegada sino por la incidencia de los factores de variación que me determinan la organización de

redacción del enunciado, por ello se omite este análisis.

Del total de respuestas dadas a M5 el 100% utilizaron el registro numérico sin apoyo de un registro

auxiliar en cuyos algoritmos utilizados fueron la suma (43,8%), la multiplicación (31,3%) y la

división (18,8%).

Con respecto a la comprensión de los conceptos de uno y unidad todos los estudiantes que tuvieron

éxito evidenciaron que identifican explícitamente cual es la unidad como, por ejemplo, se muestra

las figuras 4.5.3a y 4.5.3b. De lo anterior se puede deducir que si en los enunciados de problema

de proporcionalidad directa simple en la marca lingüística se explícita la unidad esto influye para

que el estudiante la identifique y no le genere una distancia conceptual con el concepto de uno.

Figura 4.5.3a. Producción del estudiante E24C en

la solución del problema M5 por suma reiterada.

Figura 4.5.3b. Producción del estudiante E19C

en la solución del problema M5 por ecuación

(multiplicación)

Para A5 el 76,5% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, tambien el 56,3% utilizan el

registro auxiliar bidimensional o generaron uno para realizar tratamientos, similar como en A4

(figura 4.5.4). En todos los casos el uso del registro auxiliar, igual como sucedió con A4, los

estudiantes hacen tratamientos sobre las unidades figurales de la figura original (barra grande o



pequeña) al hacer reconfiguraciones visualmente sin recurrir a una propiedad matemática con el

fin de dar explicaciones a la respuesta de $2000.

Figura 4.5.4. Producción del estudiante E27D en la solución del problema A5.

Al igual que T5 y M5 las dificultades no radican en la congruencia entre el registro de salida y de

llegada sino por la incidencia de los factores de variación que me determinan la organización de

redacción del enunciado, por ello se omite este análisis.

Los registros de llegadas para la solución de A5 fueron numérico (52,9%) y el registro auxiliar

bidimensional (52,9%), los algoritmos utilizados en los registros numéricos fueron multiplicación

(41,2%), suma reiterada (17,6%) y división (11,8%).


cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑐 y estructura de

magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼.

Tabla 4.6.1


𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼. T6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por cada paquete de cromos?

M6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por 1 paquete de cromos?

A6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por cada paquete de cromos?

La resolución de T6 tuvo un éxito en sus respuestas del 44,4% este porcentaje es muy bajo con

respecto a T4 y T5, esto implica que el grado de complejidad para la comprensión de T6 es mucho

mayor. Esta complejidad es por dos aspectos: la uno, por la no congruencia entre el registro de

salida y llegada, que sucedió también para T5, y la otra, por la incidencia que tienen los factores



de variación que me determinan la organización de redacción del enunciado, lo cual sucedió en

T6.

Con respecto a la congruencia de los enunciados: en la figura 4.6.1 se muestra que hay univocidad

semántica, pero no correspondencia lexical, ni igual orden de organización de las unidades

significantes entre ellas, dado que no se cumplen los tres criterios no hay congruencia entre el

registro de salida (T6) y el registro de llegada (numérico).

Figura 4.6.1. Ejemplo univocidad semántica terminal pero no hay correspondencia lexical ni igual orden de

organización de las unidades significantes entre T6 y su solución numérica.

Con respecto a los factores de variación que me determinan la organización de redacción del

enunciado: al analizar las unidades segmentadas U1: Juan compra 8 en paquetes de cromos, U2:

por $2000, y U3: ¿Cuántos ha pagado por cada paquete de cromos? tenemos que:

- Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de las expresiones referenciales o

apofánticas para tematizar los elementos que se quiere explicitar, este factor me determina

información explícita e implícita del enunciado pues: Por una parte, se designa el objeto que

en U1 sería los paquetes de cromos, en U2 sería el precio de esos paquetes de cromos y en U3

sería un paquete de cromos. Y por otra parte, se dice algo sobre el objeto que se designó que

sería en U1 que son 8 paquetes, en U2 que esos 8 cuestan $2000 y en U3 el valor de un paquete

de cromos.

De acuerdo a lo anterior como la organización de redacción del enunciado no se aleja de la

organización propia del discurso oral espontáneos este factor no es mayormente incidente en

las dificultades respecto a la comprensión del enunciado, como sucedió en T5.



- Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de elementos que son explicitados

el elemento escogido es una relación multiplicativa de proporcionalidad directa simple que se

resuelve por el algoritmo de división, resta reiterada o ecuación (𝒂 × 8 = 2000). Este

elemento que está inmerso en el enunciado dista en gran medida del factor anterior debido que

las funciones referencias y apofánticas no hacen explícitos muchos elementos del contenido

cognitivo, por ejemplo no hay marcas lingüísticas que induzcan a un reparto.

- Con respecto al factor de variación concerniente al orden de presentación de los elementos

explicitados se genera dificultad porque el orden de tematización no se refleja en el orden de

sucesión de las frases. Para T6 solo se comprende que es un reparto (división) hasta que se

llega a su pregunta, es decir las cantidades 2000 y 8 son presentadas pero se sabe que hay que

hacer un división solo hasta llegar a final, lo cual difiere en el orden de 2000/8 = 250.

En la comprensión de T6 se evidenció que la mayoría logra identificar en la unidad un paquete

pero no les es posible determinar su correspondencia con un precio, puesto que este precio se

desconoce muchos estudiantes le atribuyen la otra cantidad expuesta en el enunciado, de ahí que

multiplique $2000 × 8 o sumen reiteradamente $2000, como se muestra en la figura 4.6.2.

Figura 4.6.2. Producción del estudiante E2C en la solución del problema T6 con suma reiterada.

Para todos los casos (100%) el único registro de llegada fue el numérico siendo los algoritmos para

su solución la suma (22,2%), multiplicación (33,3%) y división (44,4%). Entre la operación de la

multiplicación se encuentran tratamientos de los estudiantes los cuales lo resolvían por la ecuación

𝒂 × 8 = 2000 siendo 𝑎 obtenido por prueba y error (ver figura 4.6.3).



Figura 4.6.3. Producción del estudiante E13A en la solución del problema T6 con ecuacion.

El análisis de M6 presenta un comportamiento igual a T6, dado ello se omite el análisis de los

resultados obtenidos para M6, esto implica que se conservan las dificultades en la no congruencia,

los factores de variación y el no reconociendo de la unidad en la correspondencia de un paquete

con su respetivo valor, además en que el registro de mayor uso para resolver M6 es también el

numérico.

Para A6 el 62,5% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, el 6,3% utilizan el registro

auxiliar bidimensional. Esta poca utilización es debido a que para encontrar por medio de registro

bidimensional el valor de un paquete de cromos no se opera directamente sobre las unidades

figurales de registro bidimensional (barra grande o pequeña) sino que se opera sobre las cantidades

numéricas asociadas a estas unidades figúrales, es por lo anterior que fue casi nulo el uso del

registro auxiliar para la solución de A6, situación distinta con A4 y A5.

Sin embargo, que el éxito de A6 sea mayor que en T6 y M6 está ligado a que el registro auxiliar

bidimensional aporta elementos en la comprensión porque en lo que respecta al factor de variación

relativo a la escogencia de elementos que son explicitados en el registro bidimensional evoca

elementos del contenido cognitivo en el que se induce a que hay una relación multiplicativa de

proporcionalidad directa simple entre los objetos, los anterior se materializa porque para dar

respuesta a la pregunta, desde el registro bidimensional, es necesario repartir los $2000 de la

unidad figural que corresponde a la barra mayor en las 8 particiones de igual tamaño y forma que

tiene esta barra con la barra de menor tamaño que es la unidad figural que me determina 1 paquete.

En conclusión, el registro auxiliar figural en A6 potencia elementos para su comprensión.

Al igual que T6 y M6 las dificultades también radican por la no congruencia entre el registro de

salida y de llegada.



Los registros de llegadas para la solución de A6 fueron numérico (93,8%) y los algoritmos

utilizados fueron multiplicación (37,5%), suma reiterada (12,5%) y división (37,5%).

4.7. Caregoría organizadora 7: Problemas multiplicativos de combinación cuya solución está

determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐸 =

𝐸.

Tabla 4.7.1

Enunciados de problema multiplicativos de combinación con estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y

estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐸 = 𝐸 T7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar entre ellos?

M7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. Si una pareja se conforma por un chico y una chica ¿Cuántas parejas de chico y chica se pueden formar entre ellos?

A7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar entre ellos?

Las resoluciones de T7, M7 y A7 tuvieron un éxito en sus respuestas del 26,7%, 6,3% y 6,3%, esto

implica que hay un alto grado de complejidad para la comprensión de este tipo de enunciados, esta

complejidad de acuerdo al análisis que se hace se determina por dos aspectos:

- La congruencia entre los registros de salida (T7, M7 y A7) y de llegada:

Si el registro de llegada es numérico (ver figura 4.7.1), que fue el de más usado por los

estudiantes, se tiene que no hay congruencia porque, aunque, hay univocidad semántica e igual

orden de organización de las unidades significantes, pero no hay correspondencia lexical

porque para el signo “×” no hay correspondencia con el registro de salida.



Figura 4.7.1. Ejemplo de univocidad semántica terminal, igual orden de organización de las unidades

significantes pero no correspondencia lexical entre T7 y su solución numérica

Si el registro de llegada es icónico, el cual fue utilizado por el 13,3%, 18,8% y 62,5% en las

soluciones de T7, M7 y A7, estos son congruentes porque hay correspondencia semántica entre

las unidades significantes y su representación icónica; asimismo, hay univocidad semántica

terminal y el orden en que se consideran las unidades significantes es neutro (ver figura 4.7.2)

Figura 4.7.2. Ejemplo de univocidad semántica terminal, correspondencia lexical y orden neutral de

organización de las unidades significantes entre T7 y su solución icónica

No obstante, aunque el registro icónico hay congruencia con T7, M7 y A7 solo el 7% de los

estudiantes en T7 lo utilizó de manera correcta (ver figura 4.7.3), para M7 y A7 fue del 0%. Lo

mencionado deja en evidencia que este registro icónico no es del dominio de los estudiantes, lo

cual se debe porque este registro icónico (que no es un registro semiótico de representación) es

un registro plurifuncional, por tanto no se pueden establecer algoritmos sobre dicho registro

(Duval, 2016).

Figura 4.7.3. Producción del estudiante E5D en la solución del problema T7 con uso del registro icónico.

Es por anterior que, los estudiantes limitan el uso de los registros icónicos para establecer o

verificar las conexiones de cómo se forman las parejas que determinan las 18 parejas (ver

figura 4.7.4a y 4.7.4b).



Figura 4.7.4a. Producción delestudiante E6D en la solución

del problema T7 con uso del registro icónico.

Figura 4.7.4b. Producción del estudiante

E46C en la solución del problema A7 con uso

del registro icónico.

Ahora bien, no todos los estudiantes utilizaron representaciones semióticas para establecer

dichas conexiones, de hecho, el 53,3%, 68,8% y 62,5% de los estudiantes que resolvieron los

enunciados de T7, M7 y A7 usaron conexiones de las cuales la mayorías se daban en

representaciones mentales y sus producciones solo daba cuenta del resultado (ver figuras 4.7.5a

y 4.7.5b)1.

Figura 4.7.5a. Producción del estudiante

E17B en la solución del problema M7.

Figura 4.7.5b. Producción del estudiante E17A en la solución

del problema T7.

Estas conexiones que realizaron la mayoría de los estudiantes a partir de relacionar la bina

chico-chica o chica-chica para formar las parejas en las soluciones de T7, M7 y A7 deja ver

que los estudiantes:

1. Para comprender los enunciados necesitaron el uso de otra representación. Si es icónico,

esta presenta un parecido con colecciones de elementos materiales (Duval, 2016) haciendo

1 Para Duval (1999b, p. 35) las representaciones mentales “son todas aquellas que permiten una mirada del objeto en

ausencia total de significante perceptible. Generalmente son identificadas con las “imágenes mentales” en tanto que

entidades psicológicas que han tenido una relación con la percepción. Pero las representaciones mentales cubren un

dominio más amplio que el de las imágenes. Es necesario incorporar en ellas no sólo los conceptos, las nociones, las

“ideas”, sino también las creencias y las fantasías, es decir, todas las proyecciones más difusas y más globales que

reflejan los conocimientos, y los valores que un individuo comparte con su medio, con un grupo particular o con sus

propios deseos”.



que la situación fuera familiar o conocida para el estudiante, o, si es mental, presenta la

percepción de la situación que se tiene (Duval, 1999b).

2. No comprenden los enunciados dado que no son cualquier tipo de conexiones las que se

realizan entre los chicos y las chicas para conformar las parjas, esta comprensión se lograría

si las conexiones, por ejemplo, en el registro icónico son obtenidas, como menciona Duval

(2016, p.69), por “la coordinación de acciones concretas sobre representaciones icónicas

con operaciones semióticas que relevan de sistemas sin relación con las representaciones

icónicas movilizadas”, estas operaciones semióticas se concretan cuando el estudiantes

realizar la suma reiterada (para un chico se forman 6 parejas con las 6 chicas, para dos

chico…) o el producto cartesiano, en otros términos hay una coordinación cognitiva entre

el registro icónico y la operación semiótica que existe en el registro numérico al realizar la

multiplica 6 × 3 = 18 o la suma reiterada 6 + 6 + 6 (ver figuras 4.7.3).

3. En su gran mayoría no llevan a cabo la actividad cognitiva de conversión, del registro de

lengua natural a registro icónico, dado que para que se lleve a cabo esta actividad es

necesario que los estudiantes establezcas enlaces como red matricial o diagrama de árbol

para formar parejas las 18 parejas (ver figura 4.7.6)

Diagrama de árbol Red matricial Figura 4.7.6. Enlaces correctos posibles en la representación icónica de T7, M7 y A7

- La incidencia de los factores de variación que determinan la organización de redacción del

enunciado:

Los factores de variación inciden también en la comprensión que se pueda realizar de T7, M7

y A7. Para T7 y A7 si analizamos las unidades segmentadas U1: En un baile hay 3 chicos, U2:

6 chicas, y U3: ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar entre ellos? tenemos que:



a. Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de las expresiones

referenciales o apofánticas para tematizar los elementos que se quiere explicitar, este

factor me determina información explícita e implícita del enunciado pues: Por una parte,

se designa el objeto que en U1 sería chicos, en U2 sería chicas y en U3 sería parejas. Y por

otra parte, se dice algo sobre el objeto que se designó que sería en U1 que hay 3, en U2

que hay 6 y en U3 cuántas se forman.

De acuerdo a lo anterior, la organización de redacción del enunciado se aleja de la

organización propia del discurso oral espontáneos en el rol que cumple la función

apofántica en la U3, puesto que lo que se dice de las parejas (cuántos se forman) desde el

trasfondo del enunciado T7 y A7 abre una brecha entre el significado y el contenido

pensado por el autor de los enunciados y entendido por el estudiante. Esta situación se

devela por las significaciones que los estudiantes hacen para poder dar solución a los

enunciados. Ejemplo:

El 46,7% y 43,8% de T7 y A7 consideran que se forman 3 parejas porque éstas solo pueden

estar formadas por sujetos de diferente sexo (chica-chico) y ninguna de los sujetos que

forma la pareja puede formar otra nueva pareja (hay una relación monógama), como se

muestra en la figura 4.7.4b. Para M7 este porcentaje se aumenta al 75% cuando se introduce

la unidad significante “Si una pareja se conforma por un chico y una chica”.

El 13,3% y 12,5% de T7 y A7 consideran que se forman 4 parejas porque éstas se puede

estar formadas por sujetos de igual o diferentes sexo (chica-chico o chica-chica) y ninguna

de los sujetos que forma la pareja puede formar otra nueva pareja (hay una relación

monógama), como se muestra en la figura 4.7.5b. Para M7 este porcentaje se reduce al

6,3% cuando se introduce la unidad significante “Si una pareja se conforma por un chico

y una chica”

b. Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de elementos que son

explicitados el elemento escogido es una relación multiplicativa de combinación. Este



elemento que está inmerso en el enunciado dista en gran medida del factor anterior debido

que las funciones referencias y apofánticas no hacen explícitos muchos elementos del

contenido cognitivo, por ejemplo las marca lingüística “parejas” refiere a que hay que hacer

una composición con dos sujetos (chico-chica o chica-chica, para M7 se limita solo a la

primera) más no refiere de manera explícita a que esas parejas son el conjunto constituido

por la totalidad de enlaces posibles que tienen un primer componente en los chicos y un

segundo componente en las chicas.

c. Con respecto al factor de variación concerniente al orden de presentación de los elementos

explicitados sus dificultades en la comprensión radican porque el orden de tematización en

que se da el contenido cognitivo del enunciado no se refleja en el orden de sucesión de las

frases de dicho enunciado porque, por ejemplo, para generar los 18 enlaces los

componentes deben actuar al mismo tiempo.

Finalmente, los registros de llegaba en que fueron solucionados T7, M7 y A7 estuvieron: La lengua

natural el 46,7%, 50% y 0%, para T7 y M7 el alto porcentaje se da porque sus respuestas

correspondían a dar cuenta de los enlaces realizados en sus representaciones mentales, por ello en

A7 no hacía uso de este registro de lengua natural porque en el registro auxiliar propuesto

realizaban los enlaces. El registro icónico sólo o acompañado de registro número 13,5%, 18,5% y

62,5%. Por último, el registro numérico 53,3%, 31,3% y 25%, este poco uso del registro numérico

dista de los problemas multiplicativos de comparación y de proporcionalidad directa simple porque

gran parte de los problemas multiplicativos de combinación son abordados en la escolaridad en

contextos del pensamiento aleatorio para hallar el espacio muestral, este abordaje se realiza casi

siempre acompañado de registros icónicos (diagrama de árbol), figural (red matricial), tabular

(tabla de espacio muestral), etc., o en contextos métrico-espaciales para hallar áreas y volúmenes

que se acompaña de registros figurales.

Adicionalmente a los registros de llegada en que los estudinates resolvían los enunciados T7, M7

y A7, se pudo idenficiar que el 12,5% y 18,5% de los estudiantes en la resolución del enunciado

M7 y A7 manifestaron no comprender el enunciado problema y, por ende, no saber qué hacer

porque para ellos la situación presentada en el enunciado no es posible solucionarla dado que



argumentaban que “el tema no se ha visto” o “el profe no nos ha enseñado la operación que hay

que hacer para esto”. Si bien todos los estudiantes ya se habían enfrentado a problemas

multiplicativo en su educación básica primaria el no comprender que en estos enunciados hay una

relación multiplicativa, y en particular de combinación, puede estar asociado a la poca o nula

capacidad semántica de significar literalmente el enunciado, es decir, el trasfondo del enunciado

se aleja de la comprensión del mundo que revela el enunciado.

4.8. Categoría organizadora 8: Problemas multiplicativos de combinación cuya solución está

determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐸.

Tabla 4.8.1

Enunciados de problema multiplicativos de combinación con estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y

estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐸. T9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos hay en el baile?

M9: En un baile algunos chicos y 6 chicas. Si una pareja se confirma por un chico y una chica y si en total

se pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos hay en el baile?

A9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos

chicos hay en el baile?

El éxito en las soluciones de T9 y M9 fue del 18,2% para cada uno y para A9 con un poco de

progreso con el 22,2%, esto implica, al igual que los otros problemas de combinación abordados

en el numeral anterior, que hay un alto grado de complejidad para la comprensión de este tipo de

enunciados, esta complejidad de acuerdo al análisis que se hace se determina por dos aspectos:

- La congruencia entre los registros de salida (T9, M9 y A9) y de llegada:

Si el registro de llegada es numérico (ver figura 4.8.1), que fue el de más usado por los

estudiantes, se tiene que no hay congruencia porque aunque hay univocidad semántica terminal

no hay correspondencia lexical (flecha punteada y el signo /) y no hay igual orden de

organización de las unidades significantes.



Figura 4.8.1. Ejemplo de univocidad semántica terminal, igual orden de organización de las unidades

significantes pero no correspondencia lexical entre T9 y su solución numérica

Si el registro de llegada es icónico, el cual fue utilizado por el 28,6%, 26,7% y 7,7% en la

solución de T9, M9 y A9, estos no son congruentes porque no se cumple ninguno de los tres

criterios de congruencia, de hecho para A9 el registro auxiliar icónico que se propuso solo

aporta el componente de los chicas y deja por fuera el conjunto constituido por la totalidad de

enlaces posibles y el componente de los chicos, esta es una de las causas por la cual el registro

icónico propuesto en A9 no fue utilizado y los estudiantes realizaron uno propio (ver figura

4.8.2)

Figura 4.8.2. Producción del estudiante E35C en la solución del problema A9 con uso del registro icónico.

Aunque en T9, M9 y A9 se establecía que habían 18 parejas, es decir 18 conexiones que para los

estudiante no eran esa cantidad o los enlaces no se determinaban por un producto cartesiano sino

por otro tipo de relaciones, estas dos interpretaciones de los estudiantes deja ver que hay una brecha

entre el significado y el contenido pensado por el autor de los enunciados y entendido por el

estudiante, es decir que el trasnfondo que puede surgir en el estudiante al leer el enunciado de

problema multiplicativo me puede indicir a dificultades en la comprensión de los enunciados a

resolver cuando las interpretaciones que surgen se alejan de los conocimientos que se movilizan

para la resolución del problema.



La cantidad de conexiones constituida por la totalidad de enlaces posibles por la combinación los

componentes de chicos y de chicas que los estudiantes establecian al resolver los problemas T9,

M9 y A9 estaba determinado por:

a. En T9 el 27,3% del total de estudiantes que desarrollaron la actividad respondieron que no

era posible que hubieran 18 parejas (ver figura 4.8.3), mientras que el 9,1% y 11,1% del

total de estudiantes que desarrollaron la actividad M9 y A9 respondieron de igual forma.

Entre las justificaciones estaban que hay muy pocas chicas o deberán haber mínimo nueve

chicas., pues 9 chicos más 9 chicas se forman las 18 parejas.

Figura 4.8.3. Producción del estudiante E1B en la solución del problema T9 en la cual responde no es

posible la existan de 18 parejas.

b. Si hay 18 parejas solo hay 12 chicos, respuesta dada por el 18,2% de los estudiantes de T9

y M9 y del 11,1% para A9, que corresponde al restar 18 parejas con las 6 chicas (18 − 6 =

12), ver figura 4.8.4. En esta respuesta, primero, las 6 chicas bailan con 6 de los 12 chicos

y, segundo, las mismas 6 chicas bailan con los otros 6 chicos faltantes. Este tipo de

respuesta evidencia que los estudiantes no comprenden que en los enunciados se moviliza

una relación multiplicativa de combinación en la que se debe encontrar una de las

cantidades elementales que se componen (3 chicos), conociendo la otra (6 chicas) y la

cantidad compuesta (18 parejas) a partir de la conjugación de formar parejas en la que un

chico puede formar pareja con las seis chicas o viceversa.

Figura 4.8.4. Producción del estudiante E8A en la solución de T9 en la que se responde 12 chicos

c. Si hay 6 chicas solo pueden haber 6 chicos para formar parejas, respuesta que tuvo igual

resultados que la respuesta fuera 12 chicos, estas soluciones corresponden a formar parejas

(chico-chica) a partir de las 6 chicas que se mencionan en los enunciados de problema. Al

igual que en el literal b), mencionado anteriormente, no comprenden la relación



multiplicativa de combinación en el enunciado de problema propuesto; no obstante, la

solución está basada al conformar un red de enlaces con la restricción que cada chica tiene

correspondencia uno-uno con un chico para formar parejas, la cual es univoca.

- La incidencia de los factores de variación que me determinan la organización de redacción

del enunciado (dado que las dificultades encontradas en la comprensión de T9, M9 y A9 son

similares en este aspecto a los de T7, M7 y A7 se omite este análisis).

Con respecto a los registros de llegaba en que fueron solucionados T9, M9 y A9 estuvieron: la

lengua natural el 36,4%, 18,2% y 22,2%, el registro icónico sólo o acompañado de registro

numérico 27,3%, 18,2% y 11,1% y, por último, el registro número que en T9, M9 y A9 fue de

9,1%, 45,5% y 22,2%.

Finalmente, el 36,4%, 18,2% y 22,2% de los estudiantes en la resolución del enunciado T9, M9 y

A9 manifestaron no comprender el enunciado problema y, por ende, no saber qué hacer porque

para ellos la situación presentada en el enunciado no es posible solucionarla.

En el siguiente capítulo se presentan las conclusiones y algunas sugerencias las cuales se sustentan

del análisis de la información, obtenida en la aplicación de los enunciados de los problemas

multiplicativos que se realizó en este capítulo, respecto a las dificultades que los estudiantes

encontraron en la comprensión de estos enunciados.

Conclusiones


5. Conclusiones

En este capítulo se presentan las conclusiones generales sobre las dificultades identificadas, desde

una perspectiva semiótica-cognitiva, en la comprensión de enunciados de problemas

multiplicativos. Estos enunciados de problemas, como se señaló en el capítulo 3, fueron aplicados

a los estudiantes de 6º grado de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes de la ciudad

de Bogotá. Posterior a las conclusiones, se presenta algunas sugerencias que emergen del proceso

investigativo.

5.1. Dificultades encontradas en la comprensión de los enunciados de problemas

multiplicativos

Dado que en el capítulo anterior se analizó que las dificultades en la comprensión de los enunciados

de problemas multiplicativos se dan a partir de la interacción entre las variables del lector y del

texto del enunciado problema multiplicativo se encontró:

- Dificultades en la comprensión de los enunciados de problema multiplicativos relativas al

lector por la distancia entre el contenido cognitivo del texto y la base de conocimientos del

lector. Estas dificultades emergen cuando el enunciado a resolver no está realmente pensado y

dirigido a un lector en potencia que no cuenta con la base de conocimientos necesarios para la

comprensión del tema a abordar, teniendo en cuenta que los conocimientos necesarios

comprenden las estructuras cognitivas que implican cambios de registro, esto incluye: la

redacción del enunciado, la congruencia entre registro, la lógica pregunta y respuesta en el

enunciado, el trasfondo, entre otros. Ejemplo de ello se evidencia en los enunciados de

proporcionalidad directa simple que fueron los que tuvieron mayor éxito en su solución,

seguidos por los de comparación y finalizando con los de combinación. Dado que los

enunciados de proporcionalidad directa simple son abordados en Colombia desde los primeros

grados (de primero a tercero) según la propuesta de los estándares básicos de competencia

(MEN, 2006) mientras que los otros dos tipos de problemas multiplicativos su abordaje solo

es propuesto desde cuarto grado. Es decir, que entre mayor sea la base de conocimientos del



estudiante para afrontar los enunciados de problemas multiplicativos mayor es la posibilidad

que tiene el estudiante para superar las dificultades que se le presenten.

- Dificultades en la comprensión de los enunciados de problemas multiplicativos relativas a la

incidencia de los factores de la variación de la redacción en la organización de redacción del

enunciado. Estas dificultades son de gran impacto en la comprensión de estos enunciados dado

que las variaciones de la redacción conciernen esencialmente a la manera como es explicitado

el contenido cognitivo de los enunciados de problemas multiplicativos (Duval, 1999b) en su

registro de salida. Estas dificultades están determinadas por los siguientes factores de

variacción de la redacción del enunciado:

a. La escogencia de elementos (objetos, relaciones, estados de hecho...) que son explicitados

y la escogencia de las expresiones referenciales para tematizar los elementos que se quiere

explicitar. En este factor se presentan dificultades cuando las expresiones referencias y

apofánticas del enunciado no hacen explícitos muchos de los elementos del contenido

cognitivo, como se dio en los problemas multiplicativos de proporcionalidad directa simple

y de combinación. Para el caso de los problemas de comparación las expresiones

referencias y apofánticas hacían siempre explica la relación de comparación, por ejemplo,

las marcas lingüistas “veces más/menos, veces más grandes/pequeño, dos veces, el triple,

la mitad, entre otras” me determinan explícitamente la comparación multiplicativa entre

dos cantidades.

b. El orden de presentación de los elementos explicitados. En este factor se presentan

dificultades dado que los enunciados de problemas multiplicativos movilizan una situación

extra-matemática la cual trascurre en un determinado tiempo en el que se puede distinguir

el antes, el ahora y el después, es decir que estas dificultades se dan cuando, efectivamente,

la secuencialidad temporal del enunciado no está en concordancia con el orden en que son

presentados los elementos explicitados del enunciado. Por ejemplo, esta dificultad se vio

reflejada particularmente en los problemas de proporcionalidad directa simple y de

combinación cuando el orden de tematización en que se da el contenido cognitivo de estos

enunciado no se reflejaba en el orden de sucesión de las frases de dicho enunciado.

Conclusiones


c. La escogencia de las expresiones referenciales o apofánticas para tematizar los elementos

que se quiere explicitar. En este factor se presentan dificultades cuando desde el trasfondo

que surge en el estudiante al leer el enunciado de problema multiplicativo se abre una

brecha entre el significado y el contenido pensado por el autor del enunciado y entendido

por el estudiante.

Por ejemplo, en lo enunciados de problemas multiplicativos de combinación cuando se

dice algo sobre el objeto que se designó (función apofántica), en este caso de la parejas a

conformar o conformadas -cuántos son-, los estudiantes significan el enunciado desde la

realidad de su contexto y no desde el contenido que moviliza el enunciado, es así que para

algunos estudiantes las parejas se conforman por relaciones de monogamia o por relaciones

de hetero u homogeneidad en lo sexos (chica-chico o chica-chica), más no por el conjunto

constituido por la totalidad de enlaces posibles que tienen un primer componente en los

chicos y un segundo componente en las chicas. En la comprensión de los enunciados de

problemas multiplicativos de comparación y proporcionalidad el directa simple el

trasfondo del lector hace que no se abra una brecha entre el significado y el contenido

pensado por el autor de los enunciados y entendido por el estudiante, dado que este

trasfondo contempla los conocimientos que se movilizan en el enunciado.

- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativas al uso de

representaciones auxiliares que apoyan el registro de salida de lengua natural. Las

representaciones auxiliares generan una dificultad en la comprensión de los enunciados de

problemas multiplicativos toda vez que éstas no toman sentido y no son significativas en la

comprensión de estos enunciados, ya sea porque estas representaciones no han sido objeto

intencionado de enseñanza para los estudiantes. En otras palabras, no es suficiente con que se

le presente al estudiante varias representaciones juntas del mismo enunciado de problema

multiplicativo a resolver, más bien se requiere es que el estudiante pueda cambiar el registro

de representación (Duval, 1999a, 1999b, 2016).

Para el caso de las representaciones auxiliares no semióticas, Duval (2016) menciona que,

apoyan la comprensión cuando hay coordinación de acciones concretas sobres estas



representaciones con la representación semiótica. Ejemplo: cuando los estudiantes lograban

establecer las 18 parejas del enunciado A7, ya sea como: suma reiterada (para 1 chico se

forman 6 parejas con las 6 chicas, para 2 chicos se forman 12 parejas que las 6 chicas y para

los 3 chicos se forman 18 parejas con las 6 chicas), diagrama de árbol (como en la figura 4.7.6),

al hacer el conteo del conjunto constituido por la totalidad de enlaces posibles al relacionar dos

sujetos (ver figura 4.7.3).

En cambio, las representaciones auxiliares semióticas contribuyen a la comprensión toda vez

que el estudiante pueda intercambiarla por otra (Duval, 1999b, 2016), es decir comprende la

tarea conversión que existe entre el registro en legua natural del enunciado de problema

multiplicativo y la representación auxiliar. Por ejemplo, en los enunciados A1, A2 y A3 de

comparación que usó como registro auxiliar el figural unidimensional el cual brindó para

algunos estudiantes elementos para la comprensión de los enunciados en la medida que tenían

dominio sobre las trasformaciones que se hacen en este registro figural, o sea que en la medida

que para los estudiantes el registro auxiliar haya sido objeto de aprendizaje y no este como un

paratexto del enunciado a solucionar el registro auxiliar es potente para comprender dicho

enunciado.

- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativo a los

trasfondos. Los trasfondos que surgen en el estudiante al realizar la lectura de los enunciados

de problema multiplicativo inciden de manera directa en la comprensión de éstos toda vez que

le permite a los estudiantes hacer interpretaciones de los enunciados a si no cuenten con

algunos la base de conocimientos necesarios para resolver un enunciado de problema

multiplicativo, es decir, como menciona Pontón (2012, p. 434), “los estudiantes pueden buscar

significaciones (significación referencial y predicativa) sobre elementos presentados en los

enunciados de problemas desde el trasfondo cultural, pueden establecer significados desde su

experiencia con la situación extra-matemática”.

No obstante, cuando la comprensión de los enunciados de problema multiplicativos se hace

solo desde el trasfondo, esto conlleva a que la comprensión deje por fuera elementos que se

podrían establecer en la lógica de las preguntas y respuestas propia del campo conceptual de

Conclusiones


los enunciados de problemas multiplicativos (Pontón, 2012), es decir que el estudiante no

realiza una comprensión de la situación no matemática que moviliza el enunciado (relación de

comparación, de combinación o proporcionalidad directa simple) y sin esta comprensión no es

posible generar el modelo de tratamiento matemático parcialmente instanciado por valores

numéricos que involucra el enunciado.

Esta dificultad relativo a los trasfondos en la comprensión de los enunciados multiplicativos

se evidenció, por ejemplo, cuando el trasfondo del enunciado abría una brecha entre el

significado y el contenido pensado por el autor de los enunciados y entendido por el estudiante,

como sucedió en la solución de los enuciados T7, M7, A7, T9, M9 y A9.

- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativas a la

estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐, 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 o 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏. Estas estructuras como algoritmo para

resolver los enunciados que se genera en el registro de llegada afectan la comprensión de éstos

cuando en las unidades significantes del enunciado no hay correspondencia lexical con las

otras unidades significantes del registro numérico de llegada, o sea que no cumple con unos de

los criterios de congruencia entre el registro de salida (enunciado problema) y el registro de

llegada (tratamiento aritmético)

Por ejemplo, ninguno de los enunciados de problemas multiplicativos de comparación

proporcionalidad directa simple y de combinación guardan una correspondencia lexical entre

las unidades segmentadas de cada enunciado con su solución numérica, dado que los signos

“×” o “÷” de las estructuras sintácticas referentes a cada solución del enunciado no le

corresponde una unidad significante con el enunciado problema.

Finalmente, las dificultades en la comprensión de los enunciados de problemas multiplicativos

relativas a la estructura sintáctica tienen mayor impacto cuando a pesar de afectar el criterio de

congruencia “correspondencia lexical entre las unidades significantes propias a cada registro”

los registros involucrados (de salida y llegada) no cumplen con los otros dos criterios de

congruencia (univocidad semántica terminal e igual orden de organización de las unidades

significantes).



- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativas a las

marcas lingüísticas. Estas dificultades se dan cuando estas “pista o señales” se alejan del

contenido cognitivo de los enunciados, ya sea porque las interpretaciones a estas marcar

induzcan a otro tipo de contenido o no lo explicitan.

Por ejemplo, en los enunciados de comparación al significarle las marcas lingüísticas “más

que” y “menos que” los algoritmos de suma o resta de manera errónea manifiesta que los

estudiantes no comprenden en el enunciado una comparación multiplicativa sino una

comparación cualitativa que expresa solo una relación de orden (Castro, 1999). En los

enunciados de proporcionalidad directa simple las marcas lingüísticas no permiten entrever

que en la correspondencia que se da entre las cantidades de la relación cuaternaria se puede

dar un reparto o una iteración.

- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativas a la

unidad. Estas dificultades se generan cuando esta unidad no es explícita o en el enunciado

corresponde a la cantidad a encontrar.

Por ejemplo, en los enunciados de comparación la unidad me determina una dificultad si en el

enunciado se pregunta por factor multiplicante, como sucede en lo enunciados T3, M3 y A3,

dado que la unidad en este sentido le hace falta un elemento de la correspondencia que es la

cantidad escalar con que se relaciona la otra cantidad. Para los enunciados de proporcionalidad

directa simple las dificultades que emergen de la unidad se dan cuando desde el enunciado hay

ausencia de uno de los elementos de la unidad, ya sea el uno, como concepto, o su

correspondencia con el valor asignado, en los enunciados T6, M6 y A6 se presentó esta

situación.

Conclusiones


5.2. Algunas sugerencias

- Desde la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos como objeto de enseñanza

Los enunciados de problemas multiplicativos por estar en un registro de lengua natural exigen que

este registro sea objeto de aprendizaje en el aula porque los tratamientos dados al registro de lengua

natural no son los mismo al uso que se le da en la cotidianidad por fuera del aula (Duval, 1999a).

El análisis realizado en el capítulo anterior muestra que las operaciones de segmentación y re-

contextualización que se le hace a un enunciado de problema multiplicativo para su comprensión

implica que el estudiante superare los posibles obstáculos que se determinan por: la no congruencia

entre el registro de salida y de llegada, la incidencia de los factores de variación que me determinan

la organización de redacción del enunciado, la incidencia de las marcas lingüísticas que comporta

el enunciado y la comprensión del trasfondo del mismo enunciado.

- Desde las dificultades que encontraron los estudiantes al realizar el cambio de registro

En el análisis con relación a las dificultades en la comprensión de los enunciados de problemas

multiplicativos que los estudiantes encontraron se evidenció que, hay un supuesto por parte de los

estudiantes en torno a que ante todo enunciado de problema multiplicativo existen dos planos: uno,

el plano de un enunciado como tarea a realizar y, dos, el plano de un cálculo como solución a esa

tarea. Con respecto a esto es necesario que el docente tenga en cuenta que:

a. El paso de un plano a otro puede tornase fácil, difícil o imposible para el estudiante pues

todo depende si en la tarea de conversión hay congruencia o no entre a los registros

involucrados (de salida y de llegada). En otras palabras, una de las dificultades en la

resolución de problemas multiplicativos radica es en su comprensión (cambio de registro

para poder solucionarlo) y no en los cálculos realizados, lo anterior sin desmeritar la

importancia del uso adecuado de las reglas de conformidad propias de cada sistema de

signos en cada registro para realizar sus tratamientos y las dificultes que subyacen a los

tratamientos que se realizan en determinado registro (Rojas, 2014).



De acuerdo con lo anterior, es fundamental y recomendable que los docentes no trivialicen

las dificultades encontradas en la comprensión de los enunciados de problemas

multiplicativos a aspectos que depende solo del estudiante al no saber leer o conocer las

palabras del enunciado, es decir se le atribuye las dificultades a la base de conocimientos

que dispone el estudiante, a la incomprensión del vocabulario o su incompetencia para

hacer decodificación sintáctica del enunciado de problema matemático, etc. Por ejemplo,

estas suposiciones se dan cual al estudiante al manifestar no comprende un enunciado

problema se le hace afirmaciones como: vuelva y lea bien, busque en el diccionario las

palabras desconocidas, el problema se resuelve igual que el anterior, entre otras.

b. Los estudiantes después de leer el enunciado de problema multiplicativo en lengua natural

enfocan su resolución solo en el registro numérico (registro de llegada), lo anterior sugiere

a los docentes involucren de manera intencionada el uso de registros semióticos distintos

al numérico, así como también representaciones no semióticas, de modo que su uso para

resolver un problema matemático tome sentido y sea significativo para los estudiantes, de

tal manera que sí se genera una coordinación entre los registros involucrados, según Duval

(2016, p. 89), “la comprensión matemática comienza”. Dado que, solo hay comprensión

de los enunciados de problema multiplicativo cuando los estudiantes logran resolverlos de

manera que establezcan sinergias entre los registros involucrados para la solución de dichos

enunciados (Duval, 1999a, 2016).

- Desde el campo de enunciados de problemas multiplicativos

Se pudo identificar tres tipos de enunciados de problemas multiplicativos como se evidencia en el

capítulo 2; adicionalmente, se puedo establecer a partir del análisis de las exigencias matemáticas

y semítico-cognitivos de los enunciados de problemas multiplicativos seleccionados en el capítulo

3 que son ocho los enunciados representativos del campo de enunciados de problemas

multiplicativos, estos enunciados representativos se pudieron establecer a partir de la organización

estructural que comporta todo enunciado perteneciente a este campo, ver tabla 5.1.1.

Conclusiones


Tabla 5.1.1

Los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos

RELACIÓN

MULTIPLICATIVA

ORGANIZACIÓN ESTRUCTURAL

Estructura sintáctica Estructura de las

magnitudes

Enunciado Representativo 1 Comparación 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑰 = 𝑬

Enunciado Representativo 2 Comparación 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂 𝑬/𝑰 = 𝑬

Enunciado Representativo 3 Comparación 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑰

Enunciado Representativo 4 Proporcionalidad

directa simple 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑰 = 𝑬


directa simple 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂 𝑬/𝑰 = 𝑬


directa simple 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑰

Enunciado Representativo 7 Combinación 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑬 = 𝑬

Enunciado Representativo 8 Combinación 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑬

Es necesario tener presente que esta cantidad de enunciados representativos corresponde a

enunciados cuyas cantidades son números enteros, es por ello que, por ejemplo, su análisis con

números racionales en expresiones fraccionarias implicaría tener presente otros aspectos propios

de este registro como sus interpretaciones semánticas de parte-todo, razón, cocientes, operador y

medidas (Kieren, 1980), sus marcar lingüística que indican parte de, relaciones de orden, la

fracción, etc. (Pontón, 2012), los trasfondos propios que puedan movilizar estas expresiones, las

características propias que enmarcan las transformaciones en los registros que se involucran para

este tipo de expresiones, entre otros aspectos.

De acuerdo con lo anterior, se recomienda a los docentes tener en cuenta que, si bien, existe un

solo campo de enunciados de problemas multiplicativos, como lo estipula Duval (1999a), es

necesario tener en cuenta otras variables que puede afectar su comprensión como: los tipos de

números involucrados; si los enunciados son de una o más etapas, es decir si invocaran una o varias

operaciones; las marcas lingüísticas involucradas, entre otras.

- Desde las exigencias matemáticas y cognitivas que deben considerarse en el diseño de

enunciados de problema multiplicativos

Dado que las dificultades que surgen de la tarea de conversión no es objeto de reflexión por parte

del docente a la hora de escoger un enunciado de problema como actividad a desarrollar, puesto

que los docentes se centran solo en corregir lo concerniente a errores en los cálculos, más no se



atienden las dificultades relativas a la comprensión del enunciado de problema, se recomienda a

los docentes hacer uso de la caja de herramientas semiótico-cognitivas y lingüísticas cosntruida

por Pontón (2012), dado que ésta permite:

En primera instancia, poder seleccionar los enunciados de problemas multiplicativos que se deseen

abordar, según los criterios como: registros, números, organización de la redacción, marcas

lingüísticas, entre otras, que se deseen involucrar en los enunciados. En segunda instancia, realizar

un análisis matemático y semiótico-cognitivo de los enunciados que se movilizan con el fin de

poder modelar y operacionalizar lo que el estudiante posiblemente va a realizar cuando hace la

lectura del enunciado de problema, lo anterior con el fin de prever las posibles dificultades que el

estudiante puede encontrar en el proceso de comprensión de un enunciado de problema

multiplicativo.

Finalmente, de acuerdo con la identificación y descripciones de las dificultades encontradas, desde

una perspectiva semiótica-cognitiva, en el proceso de comprensión de enunciados de problemas

multiplicativos se invita a los docentes de matemáticas a seguir considerando el problema de la

comprensión de enunciados matemáticos y a dimensionar todo lo que implica, lo anterior con el

fin de potenciar mejores aprendizajes en los estudiantes en dónde al compresión de los objetos

matemáticos ocupe un logar privilegiado.

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