presentaciÓn la técnica actuarial es la base más importante

MACROPROCESO: DOCENCIA

PROCESO: LINEAMIENTOS CURRICULARES PROCEDIMIENTO: APROBACIÓN Y REVISIÓN DEL PLAN ACADÉMICO EDUCATIVO

CONTENIDOS PROGRAMATICOS

Código: D-LC-P02-F01 Versión: 03 Página 1 de 3

PRESENTACIÓN La técnica actuarial es la base más importante para el desarrollo del Seguro de Vida. Los cambios que se han producido en la legislación aseguradora y en la propia legislación fiscal, exigen un mayor desarrollo de los productos basados en la técnica actuarial tradicional.

JUSTIFICACIÓN

La matemática tiene muchas aplicaciones, una de ellas es la matemática a actuarial la cual nos permite estudiar cuantitativamente las operaciones de seguro y financieras en general a fin de optimizar las decisiones sobre las magnitudes que intervienen en ellas, teniendo en cuenta que las citadas operaciones se llevan a cabo por un ente asegurador (o financiero) que desarrolla su actividad en un entorno económico-social.

COMPETENCIAS

ü Realizar cálculo de primas, reservas, valores garantizados, etc., en las operaciones de seguros de

vida.

ü Realizar el análisis cuantitativo de los sistemas actuariales en los seguros colectivos, sociales y planes de pensiones.

ü Estudiar los problemas de tarifación y reservas técnicas en los seguros no vida ü Determinación de las magnitudes de estabilidad del ente asegurador y el análisis de su solvencia. ü Conocer el desarrollo de la teoría y práctica del cálculo actuarial ü Conocer el enfoque moderno de la ciencia actuarial respecto a la integración de los modelos

clásicos en el contexto general de la teoría del riesgo y ver la amplia variedad de construcciones que es posible obtener a partir de los modelos clásicos.

ü Conocer y utilizar las tablas de mortalidad con precisión y saber reemplazarlas por modelos estocásticos basados en una variable aleatoria asociada al tiempo de vida futuro de una persona o entidad y por algoritmos recurrentes.

METODOLOGÍA

ü Lecturas Previas ü Clase magistrales. ü Actividades grupales en el aula. ü Trabajo individual extra clase. ü Trabajo grupal extra clase. ü Sustentación de ejercicios propuestos. ü Acompañamiento permanente.

Fecha: Septiembre de 2010.

PROGRAMA ACADÉMICO: MATEMATICAS

SEMESTRE: DECIMO

ASIGNATURA: MATEMATICA ACTUARIAL – ELECTIVA VI

CÓDIGO: 8109426

NÚMERO DE CRÉDITOS: 3





INVESTIGACIÓN

Realizar un proyecto para la solución un problema de valoración actuarial donde se analicen tanto las bases técnicas, como el riesgo a valorar así como explicar y razonar los valores obtenidos con los cálculos aplicados.

MEDIOS AUDIOVISUALES ü Libros, revistas, boletines etc. ü Calculadora ü Aula de informática.

EVALUACIÓN EVALUACIÓN COLECTIVA Trabajos, talleres en grupo EVALUACIÓN INDIVIDUAL Parciales, Quices

CONTENIDOS TEMÁTICOS I CALCULOS FINANCIEROS, INTRODUCCION A LA MATEMATICA ACTUARIAL Interés simple y compuesto Valores actuales y finales Tasas equivalentes, TAE, TIR Consideraciones generales sobre la notación actuarial Definición de función de distribución actuarial y propiedades Edad actuarial, tablas de mortalidad os supervivencia. II CONCEPTOS DE LA ECONOMIA DEL RIESGO Y DEL SEGURO Incertidumbre, riesgo y clases de riesgo Actitudes ante el riesgo, La decisión en ambiente de riesgo Medidas de previsión frente a los riesgos. El Seguro: Concepto y elementos fundamentales. Clases de seguros y operación de seguros. Uso de herramientas informáticas. III MATEMATICA DE LOS SEGUROS DE VIDA. PROCESOS ESTOCÁ DE VALORACION FINANCIERA Bases técnicas de valoración Valor actual y valor actuarial Valor actuarial de un capital diferido en caso de vida Capitalización actuarial Uso de herramientas informáticas. IV RENTAS ACTUARIALES. RENTAS DISCRETAS ANUALES Valoración de rentas actuariales Valoración de rentas discretas anuales de términos constantes Valoración de rentas discretas anuales de términos variables Valoración de rentas fraccionadas Valoración de rentas continuas Uso de herramientas informáticas.





V SUPERVIVENCIA SIMPLE Y COMPUESTA. INVALIDEZ Rentas de supervivencia compuesta Aplicación a las contingencias de viudedad y orfandaz Seguros de supervivencia Contingencia de invalidez Uso de herramientas informáticas VI FUNCIONES DE SUPERVIVENCIA CONJUNTA Probabilidad de supervivencia conjunta Esperanzas matemática de un grupo de miembros Funciones de supervivencia conjunta Uso de herramientas informáticas. VII PROVISIONES MATEMÁTICAS Y VALORES GARANTIZADOS Valoración dinámica de una operación de seguro de vida; Reserva o provisión matemática Provisión matemática a prima pura Provisión matemática con gastos y recargos Valores garantizados y transformación de contratos.

LECTURAS MÍNIMAS Conceptos básicos sobre el riesgo y el seguro. Legislación reguladora del seguro privado. Conceptos e instrumentos de matemática financiera: Fundamentos de la valoración financiera. Lecturas complementarias asignadas durante el curso, necesarias para la comprensión de los contenidos.

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA BOWERS, N.L et al. Actuarial Mathematics. The society of Actuaries. Illinois: Itasca. 1987. LEVI, E. Curso de Matemática Financiera y Actuarial. Ed. Bosch, 1973, vol. II. NIETO DE ALBA, U; VEGAS ASENSIO, J. Matemática Actuarial. Madrid. Mapfre, SA. 1993. ADAM, J, Elementos de la Teoría Matemática de los Seguros. Madrid: MAPFRE ALEGRE, A.1. Operadores discreto-continuos: una generalización con aplicaciones a la valoración financiera. 2.Valoración actuarial de prestaciones relacionadas con la invalidez. 3. Matemática Actuarial Vida. Colección de Publicaciones del Departamento de Matemática Económica, Financiera y Actuarial. Universidad de Barcelona. ALEGRE, A. Valoración actuarial de prestaciones relacionadas con la invalidez. Publicaciones Universitat de Barcelona. 1990 DE VYLDER, F.E. Life insurance theory; actuarial perspectives. Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London. 1997 GERBER, H. Life insurance mathematics. Swiss Association of Actuaries Zürich. 1997 GIL, J.A. Elementos de Matemáticas para las Ciencias del Seguro. Madrid. Fundación Mapfre Estudios. 1991 GIL, J.A; HERAS, A; VILAR, J.L. Matemática de los seguros de vida. Madrid. Fundación Mapfre Estudios. 1999 LANDEAU, R Excel: hoja de cálculo, base de datos, matrices y gráficos. Caracas. McGraw-Hill. 1988 VILLALON, J.G. 1. Matemática de las Operaciones de Seguros. Ed. Tebar Flores, Madrid. 1989. Sitios Web: www. seguridadsocial.es www.institutodeactuarios.org





PRESENTACIÓN El campo de estudio del álgebra conmutativa computacional son los sistemas computacionales de álgebra, que permitan solucionar problemas concernientes a anillos conmutativos, sus ideales, módulos y álgebras, y se considera el caso especial del anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo K, K[x1,x2, …,xn]. Puede afirmarse que el algebra conmutativa computacional es uno de los pilares en las aplicaciones de la matemática en el tercer milenio. Un concepto central en el estudio del Álgebra Computacional es el de Base de Gröbner.

JUSTIFICACIÓN Con el adelanto de la tecnología computacional será factible considerar problemas clasificados de “tamaño industrial” usando cálculo simbólico. Uno de los propósitos principales de este curso es continuar con el estudio de herramientas algebraicas que conducen a fundamentación de las bases teóricas para este desarrollo tecnológico. Existen algunos sistemas de algebra Computacional, por ejemplo CoCoA, que posibilitan la ejecución de cálculos híbridos, es decir, cálculos mixtos: simbólicos y numéricos; el deseo ahora es poder realizar cálculos que utilicen el álgebra de polinomios numéricos y que puedan calcular efectivamente Bases de Gröbner, las cuales se constituyen en una herramienta poderosa para dar solución a problemas clásicos del álgebra los cuales son muy díficiles de resolver por métodos convencionales del álgebra. Recientemente investigadores en matemáticas aseguran que las “aplicaciones industriales reales” del Álgebra Conmutativa Computacional existen, se están desarrollando continuamente, y serán más importantes en los próximos años.

COMPETENCIAS El estudiante debe estar en capacidad de: COMPETENCIAS INTERPRETATIVAS. • Usar los conceptos del álgebra conmutativa para interpretar su significado en otras ramas de la matemática y en otras

áreas del conocimiento. • Interpretar textos de contenido matemático.

COMPETENCIAS ARGUMENTATIVAS. • Explicar la solidez de una solución y de la importancia de los resultados del Álgebra que permiten hallarla.

COMPETENCIAS PROPOSITIVAS. • Proponer diferentes procedimientos en la solución de problemas. • Generar incertidumbre y conjeturas. • Formular, modelar y resolver problemas en álgebra. COMPETENCIAS PROFESIONALES Adquirir la suficiente destreza para ampliar los detalles en demostraciones de resultados de álgebra conmutativa para poderlos comunicar efectivamente.

METODOLOGÍA

Fecha: 15 de septiembre de 2010

PROGRAMA ACADÉMICO: MATEMÁTICAS

SEMESTRE: X

ASIGNATURA: ALGEBRA COMPUTACIONAL

CÓDIGO: 8109420






La Metodología de este curso está basada en la idea de “compromiso” que debe existir tanto de parte de los estudiantes como del tutor o profesor, y consiste en:

- Una Exploración previa, (ya sea como lecturas individuales o de grupos pequeños antes de la clase, o de lecturas de un texto en clase con las respectivas conjeturas y análisis), y una Discusión y Análisis de conceptos y temas nuevos en una plenaria con la orientación del profesor.

- Desarrollo de Trabajos en grupo tanto en la clase como fuera de ella. - Instar al estudiante a realizar trabajos en forma espontánea y a cuestionarse constantemente sobre su

quehacer en la Asignatura. - Análisis y solución de situaciones problemáticas extraídas de otras ramas de la matemática, sobre todo al

iniciar un concepto general. - Las actividades didácticas se marcan en procesos heurísticos para la solución de problemas.

INVESTIGACIÓN Algunas aplicaciones del Álgebra Conmutativa Computacional dentro y fuera de la matemática.

MEDIOS AUDIOVISUALES Recursos Didácticos: Infraestructura adecuada al tamaño del grupo de estudiantes , textos, impresos Recursos Técnicos: Material proyectivo, Sala de computo propio de la Escuela, Software especializado. Otros Recursos: Consultas en la red.

EVALUACIÓN EVALUACIÓN COLECTIVA - Evaluación de trabajos grupales escritos. - Evaluación y sustentación de talleres en clase.

Se trata de hacer, en lo posible, evaluación permanente, teniendo en cuenta la importancia del trabajo personal y en equipo para lograr la cooperación y resaltar la dedicación y el interés individual. EVALUACIÓN INDIVIDUAL - Exámenes individuales escritos (2 por cada 50 por ciento, por ejemplo). - Evaluación y sustentación de trabajos espontáneos por el estudiante. Las fechas de los exámenes serán acordadas con el grupo de estudiantes.

CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS PRIMERA UNIDAD: Teoría Básica de Bases de Gröbner (Caso Cuerpos)

a) Casos lineal de una variable b) Orden de términos y algoritmo de división. Bases de Gröbner c) S-polinomios y algoritmo de Buchberger d) Bases de Gröbner reducidas

SEGUNDA UNIDAD: Aplicaciones de las Bases de Gröbner

a) Aplicaciones elementales b) Eliminación, problema del 3-coloreo y programación entera. c) Algunas aplicaciones a Geometría Algebráica

TERCERA UNIDAD: Módulos y Bases de Gröbner

a) Módulos, Bases de Gröbner y Zizigias b) Mejoras al Algoritmo de Buchberger c) Cálculo del Módulo Zizigia, d) Bases de Gröbner para módulos





e) Aplicaciones elementales de las Bases de Gröbner para módulos

CUARTA UNIDAD: Bases de Gröbner sobre Anillos a) Definiciones Básicas b) Cálculo de Bases de Gröbner para anillos c) Aplicaciones de las Bases de Gröbner sobre anillos

LECTURAS MÍNIMAS Comentarios y Notas históricas sobre los conceptos de Base de Gröbner, S-polinomios, problemas elementales en álgebra, entre otros. Biografía de algunos matemáticos que aportaron en la teoría del algebra conmutativa comutacional, Gröbner, Bruno Buchberger, entre otros.

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA Texto Guía

1. Adams William & Philipe Loustanau. An Introduction to Gröbner Bases. AMS. 1994. Textos de Consulta - Thomas Becker & Volker Weispfenning. Gröbner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. Springer

Verlag. 1993. - Martin Kreuzer & Lorenzo Robbiano. Computational Commutative Algebra 2. Springer Verlag. Berlin. 2005. - David Cox, John Little & Donald O’Shea. Ideals, Varieties and Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic

Geometry and Commutative Algebra. 3° Edition. Springer. 2007. DIRECCIONES INTERNET: http://www.ciencianet.com Se indicarán otras direcciones en el transcurso de la asignatura.





PRESENTACIÓN El álgebra homológica es la rama de la matemática que estudia los métodos de la homología y de la cohomología en un contexto general. Esos conceptos se originaron en la topología algebraica. Las teorías cohomológicas han sido definidas para muchos objetos diferentes como espacios topológicos, grupos, anillos, álgebras de Lie y C*-algebras.

Una noción central en el álgebra homológica es la de sucesión exacta, que es la base fundamental para realizar cálculos, como resoluciones libres finitas, sicigias, Ext y Tor. Una herramienta clásica del álgebra homológica es el funtor derivado cuyos ejemplos más básicos son Ext y Tor. JUSTIFICACIÓN A partir de un sólido dominio de los conceptos más generales de las estructuras básicas del álgebra abstracta; que garantizan profundidad teórica, perspectiva amplia y tratamiento riguroso, manteniendo un equilibrio en el énfasis de los aspectos conceptuales, lógicos, analógicos y denotacionales, es pertinente introducir al estudiante a tareas que lo aproximen a escenarios de investigación. En este sentido, el álgebra homológica abre las puertas de un estudio posterior más profundo de la homología, de la cohomología de grupos, de la teoría de representación de grupos y de la K-teoría; todas ellas, tareas que comprenden temas de intensiva investigación actual. COMPETENCIAS El estudiante debe estar en capacidad de:

• Comprender los conceptos básicos de álgebra homológica. • Estudiar los axiomas que definen una teoría de homología. • Revisar diversos ejemplos y calcular sus grupos de (co)-homología. • Estudiar algunas aplicaciones.

METODOLOGÍA - Exposición de los temas básicos por parte del docente. - Desarrollo de ejercicios y talleres dirigidos por el docente. - Socializaciones orales de los ejercicios por parte de los estudiantes. - Lecturas dirigidas por parte de los estudiantes en forma individual y grupal. - Socializaciones de las lecturas. - Desarrollo de exposiciones por parte de los estudiantes. INVESTIGACIÓN

• Consulta y lectura de artículos relacionados con las aplicaciones del álgebra homológica. • Averiguar técnicas computacionales para realizar cálculos efectivos, de resoluciones libres, sucesiones

exactas, sicigias, Ext y Tor.

Fecha: Febrero de 2010


SEMESTRE: X

ASIGNATURA: ALGEBRA HOMOLÓGICA

CÓDIGO: 8109419






MEDIOS AUDIOVISUALES Recursos Didácticos: Infraestructura adecuada al tamaño del grupo de estudiantes , textos, impresos Recursos Técnicos: Material proyectivo, Sala de computo propio de la Escuela, Software especializado. Otros Recursos: Consultas en la red. EVALUACIÓN EVALUACIÓN COLECTIVA Evaluación de trabajos grupales escritos. Evaluación y sustentación de talleres en clase. Se trata de hacer, en lo posible, evaluación permanente, teniendo en cuenta la importancia del trabajo personal y en equipo para lograr la cooperación y resaltar la dedicación y el interés individual. EVALUACIÓN INDIVIDUAL Evaluaciones escritas Exposiciones CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS 1. Teoría de Módulos:

• Módulos; • Grupo de homomorfismos • Sumas y productos • Módulos Libres y Proyectivos • Módulos proyectivos sobre dominios de ideales principales • Módulos inyectivos • Módulos inyectivos sobre dominios de ideales principales • Módulos planos

2. Homología • Cadenas complejas • Módulo de Homología • Funtores derivados • Clases de Homología

3. Ext • Propiedades elementales • Ext y extensiones • Axiomas

4. Tor • Propiedades elementales • Tor y torsión.

5. Aplicaciones • Dimensión • Teorema de Sicigias de Hilbert • Teorema de Serre.

LECTURAS MÍNIMAS

• Las programadas en cada sesión de clase. • Artículos relacionados con aplicaciones del álgebra homológica.

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA Textos Guía

1. J, Rotman. An introduction to homological algebra. Academic Press INC. 1.979





2. P. J. Hilton; U Stammbach. A course in homologic algebra. Graduate text in mathematics. Springer Verlag. 1970.

Textos de Consulta - Weibel, C. An introduction to homological algebra. Cambridge Univ. Press 38, 1997. - Cartan & Eilenberg, Homological Algebra. - Gelfand S.; Manin Y. Methods of Homological Algebra, Springer-Verlag, 1996.





PRESENTACIÓN El análisis funcional es una de las ramas más importantes de las matemáticas modernas. El surgimiento y desarrollo de ésta, se vincula con los nombres de eminentes científicos, tales como D. Hilbert, F. Riesz, S. Banach, M. Fréchet, A. Kolmogórov, S. Sóbolev entre otros. El análisis funcional se reflejan en casi todas las ramas de las matemáticas, siendo una gran herramienta en la solución de problemas fundamentales en matemáticas aplicadas. El análisis funcional desempeña un papel importante en la formación moderna del matemático.

JUSTIFICACIÓN El Análisis Funcional es una herramienta fundamental en matemática pura como aplicada. El análisis funcional desarrolla las técnicas necesarias para garantizar, por ejemplo, la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales y en diferencias en ciertos espacios vectoriales topológicos como los espacios de Banach y de Hilbert, como también la estabilidad del sistema asociado a un modelo.

COMPETENCIAS COMPETENCIAS COGNITIVAS Competente cuando: Analiza y conceptualiza las propiedades de Operadores Acotados, No acotados, Cerrados, Compactos, Adjuntos y Auto-Adjuntos. Aplica las propiedades que tienen los Operadores diferenciales, integrales y de multiplicación a las solución de Ecuaciones Diferenciales. Comprende las diferentes propiedades del Espectro de un Operador. Identifica, interpreta, y aplica los teoremas los teoremas de Espectro de un operador de acuerdo al tipo de operador y de los espacios topológicos en cuestion. COMPETENCIAS SOCIOAFECTIVAS Valora su capacidad de trabajo individual en cada nivel fortaleciendo su autoestima, para compartir con respeto en el trabajo colectivo. Se reconoce autónomo en la manera de abordar soluciones en situaciones problema de cada nivel. Acepta las normas de conducta, no como imposición, sino como el resultado de acuerdos y pactos colectivos que faciliten la convivencia Asume con responsabilidad, cuando considera poder hacerlo, el trabajo necesario en cada nivel que aporte en forma solidaria a los proyectos en equipo. Valora honestamente y reconoce cuando se ha cometido una equivocación en los procesos de cada nivel Aprende en libertad del error personal y ajeno, en las tareas, ejercicios, talleres de cada nivel para que en su comportamiento como ciudadano lo acompañe la justicia en sus actos personales y éticos en la sociedad. Asume el trabajo por los derechos humanos, con atención a los derechos de los débiles y/o en condiciones de vulnerabilidad. Su formación le permite convivir, con criterio social desde la diferencia y sentido de ciudadanía.

Fecha: Septiembre de 2010

PROGRAMA ACADÉMICO:

SEMESTRE: X

ASIGNATURA: ANALISIS FUNCIONAL II

CÓDIGO: 8109414

NÚMERO DE CRÉDITOS: 3 CREDITOS





COMPETENCIAS COMUNICATIVAS Expresa en forma fluida, clara, y precisa sus argumentos a las soluciones de los problemas de cada nivel dentro de una racionalidad válida en el contexto Se hace mediador coherente, en forma oral-escrita de las explicaciones en las soluciones de problemas y ejercicios de cada nivel. Transmite, informa, manteniendo la unidad de concepto, las teorías necesarias para resolver problemas de cada nivel cuando se requiera. Hace uso de su habilidad en manejos de software y de la tecnología, mediante las cuales se potencien sus capacidades y se facilite la solución a ejercicios y problemas de cada nivel.

METODOLOGÍA Actividades grupales en el aula y exposiciones individuales Exposiciones magistrales Trabajo individual en casa

INVESTIGACIÓN Se realizara un proyecto investigativo en cada corte en grupos de dos personas, teniendo presente que los mejores proyectos serán objeto de mayor profundización para una futura publicación. Algunas temáticas a desarrollar en los proyectos serán:

• Propiedades de Operadores lineales sobre espacios adecuados • Aplicación de ciertos operadores a la solución de ecuaciones Diferenciales.

MEDIOS AUDIOVISUALES Textos, guías de trabajo, páginas web.

EVALUACIÓN EVALUACIÓN COLECTIVA Según lo acordado entre estudiantes y profesor el primer día de clase y según lo establecido en el estatuto estudiantil de la UPTC. Para el desarrollo continuo de la evaluación se tendrá en cuenta: Trabajos grupales dentro o fuera del aula. Primer Corte (50%): Pruebas de Conocimiento teórico 25% Talleres y Quices 10% Proyecto de aula 15% Segundo Corte (50%): Pruebas de Conocimiento teórico 25% Talleres y Quices 10% Proyecto de aula 15% EVALUACIÓN INDIVIDUAL Evaluaciones escritas con o sin ayuda de material de referencia. Actividades individuales como trabajos, tareas, exposiciones y aportes a la temática.





CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS OPERADORES Operadores lineares Acotados y No acotados. Operadores integrales, operadores de multiplicación y operadores diferenciales. Operadores Compactos, Simétricos, Adjuntos y Auto-adjuntos. El teorema de extensión para operadores acotados. DISTRIBUCIONES La transformada de Fourier en L1 ( Rn ), S ( Rn ) e L2 ( Rn ). Distribuciones de L. Schawartz, distribuciones temperadas e distribuciones de soporte compacto. Los espacios de Sobolev Hs ( Rn ). Aplicaciones a las ecuaciones de evolución, lineales e no lineales. Operadores Cerrados, Cerrables, simétricos y auto-adjuntos. TEORIA ESPECTRAL Resolvente e espectro. Clasificación del Espectro. La transformada de Cayley. El espectro para Operadores lineares Acotados y No acotados. El espectro de Operadores Compactos, Simétricos, Adjuntos y Auto-adjuntos.

MEDIDAS ESPECTRALES Diferenciación de medidas. El teorema de descomposición de Hahn. El teorema de descomposición de Radon-Nikodyn. Integrales de Riemann-Stieltjes y Lebesque-Stieltjes. El teorema espectral para operadores auto-adjuntos en las formas de integrales espectrales, de operador de multiplicación y de cálculo funcional. El teorema de Stone.

LECTURAS MÍNIMAS [1] KOLMOGOROV, A. N., FOMIN, S. V. - Introductory Real Analysis, Dover Publ., Inc. Translated from the seconde russian edition, 1970. [2] KREYSZIG, Erwin. - Introductory functional analysis with aplications,Editorial Mc Graw-Hill, 1978. [3] RUDIN, W. - Functional Analysis. New York, McGraw-Hill, 1979.

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA [1] HILLE, E. - Methods in Classical and Functional Analysis. Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co., 1972. [2] KOLMOGOROV, A. N., FOMIN, S. V. - Introductory Real Analysis, Dover Publ., Inc. Translated from the seconde russian edition, 1970. [3] KREYSZIG, Erwin. - Introductory functional analysis with aplications,Editorial Mc Graw-Hill, 1978. [4] REED. M., BARRY, S. - Methods of Modern Mathematical Physics vols. I e II. New York : Academic Press, 1972-1978. [5] RIESZ, F., SZ. -NAGY, B. - Functional Analysis, Frederick Ungar Publ.Co. Translated from the second french edition, 1955. [6] RUDIN, W. - Real and Complex Analysis. New York, McGraw-Hill, 1966. [7] RUDIN, W. - Functional Analysis. New York, McGraw-Hill, 1979. [8] STONE, M. - Linear Transformations in Hilbert Space and their Applications to Analysis, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 15, 1932. [9] THAYER, J. - Operadores Auto-adjuntos e Equações Diferenciais Parciais. Rio de Janeiro, Projeto Euclides, IMPA, 1987





PRESENTACIÓN El curso expone contenidos matemáticos que son de gran importancia para solucionar problemas prácticos de la física. Comienza con un estudio de la solución en series de potencias de las ecuaciones diferenciales ordinarias, en particular para resolver ecuaciones clásicas de legendre, Bessel, Hermite y Chebyshev, cuyas soluciones son funciones especiales que llevan su nombre; posteriormente se hace un análisis de la teoría de Sturm-Liouville, necesaria para estudiar problemas de contorno de EDP. La mayor parte de curso se dedica al estudio de EDP en tres o más variables independientes, incluyendo problemas homogéneos, no homogéneos, dominios no acotados, funciones de Green y la aplicación de técnicas como la transformada de Fourier y Laplace para resolverlas. El tratamiento de los temas se hace basado en las aplicaciones a la física.

JUSTIFICACIÓN Al modelar algunos problemas de la física-matemática, como la cuerda vibrante, vibraciones en una membrana circular plana, flujos de calor, el potencial gravitacional, campos creados por una distribución de cargas eléctricas, flujos de fluidos incomprensibles de estado estacionario; resultan por lo general sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. Para resolver estos sistemas se requiere del desarrollo y aplicación de tópicos en matemáticas como: análisis funcional, análisis de Fourier, variable compleja, ecuaciones integrales, teoría de distribuciones, espacios de Sovolev, entre otros. Es necesario que el futuro profesional en Matemáticas reconozca estas aplicaciones de la matemática en la que han motivado el estudio y generación de conocimiento estas líneas.

COMPETENCIAS 1. Identifica propiedades y características de algunas funciones especiales de la física matemática. 2. Aplica técnicas en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales cuando aparezcan en

trabajos de estudio e investigación en el área de física o matemáticas. 3. Analiza el buen planteamiento de problemas de EDP: unicidad de la solución y dependencia continua

de la solución respecto a los datos iniciales o de frontera. 4. Modela y simula fenómenos físicos a través de la descripción de problemas bien puestos de EDP

analizando sus soluciones. 5. Aplica los teoremas fundamentales del cálculo en varias variables en la solución de problemas de la

física-matemática. 6. Halla fuentes bibliográficas donde se encuentre los fundamentos matemáticos de las técnicas utilizadas

para resolver EDP.

METODOLOGÍA Clases magistrales, desarrollo de talleres, solución de problemas de aplicación, lectura de textos, artículos y páginas de INTERNET, análisis, diseño, elaboración y depuración de programas de computo. Verificación y contrastación de los resultados teóricos con los laboratorios y prácticas de campo.

Fecha: 30 de Julio de 2010


SEMESTRE: X

ASIGNATURA: FÍSICA MATEMÁTICA

CÓDIGO: 8109416






INVESTIGACIÓN

Lectura análisis y sustentación de artículos resultado de investigaciones en los diferentes niveles, donde se incluyan la solución de EDP. Asistencia a seminarios, conferencias y cursillos sobre temas relacionados con la física matemática, desarrollados por grupos de investigación de física y de matemáticas. Propuesta de posibles proyectos de investigación, sobre temas de profundización en EDP.

MEDIOS AUDIOVISUALES Simulación de soluciones de EDP y EDO, en software computacional como derive, Gnplot, Matlab, simulink, análisis de textos. Utilización de calculadoras programables y computadores.

EVALUACIÓN EVALUACIÓN COLECTIVA Desarrollo y sustentación de talleres de ejercicios. Trabajos de profundización y consulta. Realización de simulaciones y elaboración de programas y gráficas. Constituye el 10% de la evaluación en cada 50% EVALUACIÓN INDIVIDUAL Primer parcial primer 50%, la semana 4ª del semestre, sobre los temas tratados hasta esta semana, vale el 20%. Segundo parcial primer 50%, la semana 8ª, sobre los temas tratados hasta esta semana, vale el 20%. Primer parcial segundo 50%, la semana 12ª del semestre, sobre los temas tratados hasta esta semana, vale el 20%. Segundo parcial segundo 50%, la semana 16ª del semestre, sobre los temas tratados hasta esta semana, vale el 20%.

CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS 1. Calculo Vectorial

1.1 Teorema de Green. 1.2 Rotacional y divergencia. 1.3 Teorema de Stokes. 1.4 Teorema de la divergencia.

2. Soluciones de Ecuaciones diferenciales ordinarias por series de potencias 2.1. Solución alrededor de puntos ordinarios 2.2. Solución alrededor de puntos singulares 2.3. Teorema de Frobenius 2.4. Ecuación de Bessel 2.5. Ecuación de Legendre 2.6. Ecuación de Hermite

3. Problemas de auto valores de Sturm-Liouville

3.1. Introducción y ejemplos 3.2. Problemas de auto valores de Sturm-Liouville 3.3. Flujo de calor en una varilla no uniforme sin fuentes 3.4. Operadores auto adjuntos y problemas de auto valores de Sturm-Liouville 3.5. Cociente de Rayleigh





3.6. Vibraciones de una cuerda no uniforme 4. EDP con tres o más variables

4.1. Membrana vibrante rectangular 4.2. Operadores autoadjuntos y problemas de autovalores. 4.3. Cociente de Rayleigh 4.4. Membrana vibrante circular y funciones de Bessel 4.5. Ecuación de Laplace en un cilindro circular 4.6. Problemas esféricos y polinomios de Legendre

5. Problemas no homogéneos 5.1. Flujo de calor con fuentes y condiciones de contorno no homogéneas. 5.2. Método de desarrollo en autofunciones con condicones de contorno homogéneas y mediante la fórmula

de Green 5.3. Ecuación de Poisson 5.4. Transformada de Fourier

6. Problemas en dominios no acotados.

6.1. Soluciones de EDP mediante la transformada de Fourier 6.2. Ecuación del calor en un dominio no acotado 6.3. Transformada de Fourier y la ecuación del calor 6.4. Aplicación de la transformada seno y coseno a las ecuaciones de ondas, Laplace y del calor en

dominios no acotados.

7. Funciones de Green para problemas dependientes del tiempo 7.1. Funciones de Green para la ecuación de onda 7.2. funciones de Green para la ecuación del calor

8. Método de las características para ecuaciones lineales y cuasilineales

8.1. Características para ecuaciones de ondas de primer orden 8.2. Método de las características para ecuaciones de ondas unidimensionales 8.3. cuerda seminfinitas y reflexión 8.4. Método de las características para ecuaciones en derivadas parciales cuasi lineales 8.5. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales.

LECTURAS MÍNIMAS Para la temática propuesta, Capitulo 1, lecturas de capítulos 16,17 de la referencia [9], capitulo 18 de la referencia [5]. Para el capítulo 2, lectura del capitulo 3, de la referencia [3], capitulo 7 referencia [10]. Para capítulos 3 al 7, de la referencia [1], acompañado con la referencia [2], [3], [7]. Para capítulo 8, la referencia [8].

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA [1] HABERMAN, Richard.Ecuaciones en Derivadas Parciales con Series de Fourier y problemas de contorno, Ed. Pearson 2003. [2] KREYSZIG Edwin. Matemáticas Avanzadas para la Ingeniería. Tercera Edición. Vol II. Limusa Wiley. [3] O’NEIL Peter V. Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería. Quinta Edición. Editorial Thompson. [4] ROSS, Shepley L. Ecuaciones diferenciales, Segunda edición. Editorial Reverté S.A. España, 2002..





[5] SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo con geometría Analítica. Capítulo 18. [7] WYLIE, C. Rey, Matemáticas superiores para ingenieros, Ed. McGraw-Hill, 1982. [8]H. F. Wimberger. Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Editorial Reverté. S. A. 1982. [9]APOSTOL M. TOM , Cálculus, Volúmen 2.. Segunda Edición, Editorial Reverté. Col s.a. 1988 [10] Primer Curso de Ecuaciones en derivadas parciales. Ireneo Peral Alonso. Addison Wesley www.mmc.igeofcu.unam.mx/Bibliografia/.../EDP/.../ppedpp.pdf http://www.librospdf.net/-Ecuaciones-Diferenciales-Parciales-sanchez-dario/1/ http://matematicas.unex.es/~ricarfr/EcDiferenciales/LibroEDLat.pdf http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001012/index.html Buscador www.google.com.co





PRESENTACIÓN Las técnicas estadísticas que estudian el tiempo hasta que ocurre un determinado suceso, se engloban dentro de la disciplina de la Estadística que se conoce como Análisis de Supervivencia. Un modelo de supervivencia es una fórmula matemática que nos permite cuantificar la probabilidad de supervivencia, dados unos determinados valores de los factores pronóstico en un momento inicial. A partir de ese cálculo podemos estimar una probabilidad de supervivencia para un tiempo determinado para los pacientes con unas determinadas características. Es posible también calcular riesgos relativos entre dos grupos de pacientes con diferentes valores de las variables pronóstico. Otra alternativa que nos permite la utilización del modelo es ordenar los pacientes de peor a mejor pronóstico de acuerdo con la supervivencia estimada, o clasificarlos en diferentes grupos de pronóstico, siendo la clasificación más sencilla en dos grupos: mal o buen pronóstico.

JUSTIFICACIÓN Los modelos de supervivencia se han revelado como una interesante herramienta de ayuda diagnóstica, y en algunos casos se puede decir que han adquirido un éxito casi universal. El análisis de supervivencia nos permite estudiar y construir modelos para analizar el tiempo que un suceso tarda en ocurrir, en los que diferentes variables pronóstico permiten estimar el tiempo de aparición del suceso.

COMPETENCIAS 1 Hace propuestas de proyectos de investigación, siguiendo las etapas de investigación estadística. 2 Utiliza software estadístico en el procesamiento de información para sacar conclusiones válidas. 3 Identifica los diferentes procesos paramétricos y no paramétricos para abordar la solución de un problema determinado.

METODOLOGÍA La asignatura de MODELOS DE SUPERVIVENCIA, tiene tres créditos académicos. Se encuentra programadas 3 horas de trabajo semanal en horario determinado por la escuela. En este tiempo, se realizará la exposición de los contenidos por parte del profesor, se darán espacios de refuerzo a partir de trabajos, talleres en clase, temas cortos (como complemento) para que el estudiante los exponga, adicionalmente se dará para cada tema tendrá una serie de ejercicios. El estudiante deberá haber realizado lectura previa al tema que se irá a desarrollar en cada sesión, y responder por los ejercicios que al final de cada clase se asignen como complemento y refuerzo.

INVESTIGACIÓN

Fecha: Septiembre 2010


SEMESTRE: X

ASIGNATURA: MODELOS DE SOBREVIVENCIA

CÓDIGO: 8109429






El estudiante propondrá una investigación siguiendo las etapas de una investigación estadística en la que emplee los conceptos de análisis de supervivencia para dar la solución a una problemática de su entorno social.

MEDIOS AUDIOVISUALES • Didácticos: Infraestructura adecuada al tamaño del grupo, textos impresos.

• Técnicos: Material proyectivo, sala de cómputo de la Escuela, software especializado (SAS, SPSS,

MINITAB).

• Otros: Consultas en la red y revistas especializadas en disciplinas que tengan la aplicación de análisis de supervivencia.

EVALUACIÓN

EVALUACIÓN COLECTIVA El proceso evaluador debe ser continuo en concordancia con el reglamento estudiantil y observable a través de las diferentes actividades tanto de acompañamiento directo como de trabajo independiente por parte del estudiante, es por esto que se pretende sacar una nota de exposiciones debidamente sustentados en la que se tenga en cuenta las diferentes competencias en el orden interpretativo, argumentativo y proposicional. EVALUACIÓN INDIVIDUAL Se recomienda usar pruebas orales o escritas, trabajos debidamente sustentados, ejercicios prácticos de taller, entre otros (artículo 63 del Acuerdo 130)

Se propone registrar dos calificaciones individuales mediante la presentación de dos quizes escritas u orales.

CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS 1. Análisis de Supervivencia 1.1. Análisis de Supervivencia 1.1.1. Concepto de censura 1.1.2. Funciones asociadas al tiempo de supervivencia 1.1.3. Relaciones entre las funciones teóricas de supervivencia 1.2. Modelos paramétricos 1.3. Modelos no paramétricos 1.4. Modelos de supervivencia discretos 1.4.1. Modelo de supervivencia no paramétrico con datos agrupados 1.4.2. Modelo de supervivencia no paramétrico censurado aleatoriamente por la derecha y datos agrupados 2. Aplicación a un modelo de Supervivencia 2.1. Formulación del programa 2.1.1. Resolución del programa 2.1.2. Experimento no censurado 2.1.3. Casos particulares 2.2. Formulación del programa [I] para la entropía de Shannon 2.2.1. Resolución del programa

LECTURAS MÍNIMAS Aportes suministrados por el docente en forma impresa.

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA Berkson, J.; Gage, R. : Calculation of survival rates for cancer. Proceeding of Staff Meetings, of the Mayo Clinic,





1950, 25, 270-286. Cox, D. R. : Some simple approximate test for Poisson variates. Biometrika 1953, 40, 354-360. Cox DR, Oakes D. Analysis of survival data. New York: Chapman and Hall;1984. Csiszár, I. : Information measures: A critial survey. Trans. of the 7th Prague Conferen.1974, 83-86. Delhumean C, Kaplan DA. Meier Survival Analysis, 2000. Disponible en: URL:http:// www.cdc.gov/epiinfo/manual/kapmeier.htm Epstein, B. : The exponential distribution and its role in life-testing. Ind. Qual. Control. 1958, 15, 2-7. Feigl, P.; Zelen, M. : Estimation of exponential survival probabilities with concomitant information. Biometrics 1965, 21, 826-838. Gupta, S. S.; Groll, P. A. : Gamma distribution in acceptance sampling based on life test. J. Am. Stat. Assoc., 1961, 56, 942-970. Hosmer, D.W. Jr; Lemeshow, S. : Applied Survival Analysis: Regression Modeling ofTime to Event Data. John Wiley and Sons, Inc., New York, USA, 1999. Lawless, J. F. : Statistical models and methods for lifetime data. John Wiley and Sons,Inc., New York, USA, 1982. Lee E . Statistical methods for survival data analysis. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons;1992. Mantel, N. : Evaluation of survival data and two new rank order statistics arising in its consideration. Cancer Chemotherapy Rep. 1966, 50 (3), 163-170. Molinero LM. Tiempo hasta que ocurre un suceso. Análisis de supervivencia. 2001. Disponible en: URL:http:// wwwsehlelha.org/superviv1.htm





PRESENTACIÓN La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no determinísticas, esto es, de carácter aleatorio.

La forma habitual de describir la evolución del sistema es mediante sucesiones o colecciones de variables aleatorias. De esta manera, se puede estudiar cómo evoluciona una v.a. a lo largo del tiempo

JUSTIFICACIÓN Estudiar procesos estocásticos y algunas aplicaciones para proporcionar al estudiante una infraestructura matemática para que pueda formular, analizar, aplicar modelos estocásticos en la solución de problemas prácticos.

COMPETENCIAS • Conocer el desarrollo futuro de procesos que se desarrollan en el tiempoy predecir el comportamiento

de los mismos. • Comprender las principales propiedades y aplicaciones de las cadenas de Markov, tanto en tiempo

discreto como en tiempo continuo. • Comprender las principales propiedades y aplicaciones del movimiento browniano y de la teoría de

integración estocástica. • Aprender a simular trayectorias de los principales modelos estudiados mediante algún software

informático.

METODOLOGÍA

ü Lecturas Previas ü Clase magistrales. ü Actividades grupales en el aula. ü Trabajo individual en casa. ü Trabajo grupal extra clase. ü Sustentación de ejercicios propuestos. ü Acompañamiento permanente.



SEMESTRE: X

ASIGNATURA: PROCESOS ESTOCÁSTICOS

CÓDIGO: 8109424






INVESTIGACIÓN De acuerdo a los trabajos de grado de los estudiantes

MEDIOS AUDIOVISUALES VideoBeam, Salas de informática.

EVALUACIÓN EVALUACIÓN COLECTIVA Cada 50%

ACTIVIDAD TRABAJO ESCRITO SUSTENTACION % TOTAL Un Taller extra clase, con su respectiva sustentación.( Para el desarrollo del mismo , es necesario realizar lecturas previas, consultas y Asistir a Tutorías )

20%

10%

30%

Las Fechas, de entrega y sustentación se programaran, previo acuerdo con los estudiantes. EVALUACIÓN INDIVIDUAL Cada 50%

ACTIVIDAD % TOTAL Prueba Escrita 35

70% Prueba Escrita 35 Las Fechas se programaran, previo acuerdo con los estudiantes.

CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS

1. Introducción a los procesos estocásticos:

• Definición y conceptos básicos ( sigma -álgebras y Medidas de Probabilidad, Lemas de Borel - Cantelli, Probabilidad Condicional, Esperanza Condicional, Ejemplos, Ejercicios)

2. Cadenas de Markov en tiempo discreto:

• Definiciones y propiedades básicas. • Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. • Clasificación de estados. • Existencia de la distribución estacionaria y teoremas de convergencia. • La condición de equilibrio detallado. • Aplicaciones.

3. Cadenas de Markov en tiempo continuo:

• Definición de las cadenas en tiempo continuo. • Procesos de nacimiento y muerte. • Tasas instantáneas de salto y ecuaciones de Kolmogorov. • Comportamiento asintótico. • Condición de equilibrio detallado.





4. Martingalas:

• Esperanza condicionada. • Definición de martingala. • Propiedades básicas. • Teorema del tiempo de parada opcional. • Algunos resultados sobre convergencia de martingalas.

5. Movimiento Browniano:

• Motivación y definición. Propiedades básicas. • Martingalas en tiempo continuo. • Martingalas asociadas al movimiento browniano. • Principio de reflexión. • Aplicaciones.

6. Introducción al cálculo estocástico:

• Definición de la integral de Itô. • Propiedades básicas. • Fórmula de Itô y aplicaciones. • Modelo de Black-Scholes.

LECTURAS MÍNIMAS No aplica

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA

• Essentials of Stochastic Processes. Rick Durrett, Springer Verlag.1999.

• Stochastic Models and Probabilistic Algorithms Lecture Notes, Vera Kettnaker, RPI http://www.cs.rpi.edu/~kettnv/smpa/

• Applied Probability and Stochastic Processes, Wlodzimierz Bryc, University of Cincinnati http://math.uc.edu/~brycw/probab/books/applprob/applprob.htm

• Procesos Estocásticos. Luis G. Moreno; Publicaciones Dpto de Mat. y Est. Universidad Nacional-Bogotá; 1995.

• Probability, Random Variables and Stocahstic Processes, Athanasious Papoulis, MacGraw-Hill, 1991. • Probability and Random Processes. G.R. Grimmett and D.R. Stirzaker, Oxford, 1998. • Introduction to the Theory of Random Processes. I.I. Gikhman and A.V. Skorohod, Dover, 1996. • Lectures on Contemporary Probability. G.F. Lawler and L.N. Coyle, American Mathematical Society,

1999. • Random Processes: A Mathematical Approach for Engineers. Robert M. Gay and Lee D. Davisson,

Prentice Hall. • Stochastic Processes in Information and Dynamical Systems. Eugene Wong, MacGraw-Hill. • Introduction to Stochastic Processes. Gregory F. Lawler, Chapman Hall, 1995. • Probability and Algorithms National Academy Press, 1992.





http://books.nap.edu/books/0309047765/html/index.html • Probability, Random Processes and Estimation Theory for Engienners. Henry Stark and John W,

Woods, Prentice Hall, 1994. • Introduction to Probability, J. Laurie Snell, American Mathematical Society, 1995.

http://www.dartmouth.edu/~chance/JLSnell.html • Stochastic Processes Notes, Joe Chang, Yale,

http://pantheon.yale.edu/~jtc5/251/

• Randomized Algorithms. Rajeev Motwani and Prabhakar Raghavan . Cambridge University Press 1997. http://www.cs.brown.edu/people/lpk/#publications

• Microsoft Research Decision Theory & Adaptive Systems

Grouphttp://www.research.microsoft.com/dtas/ this group change its name to Microsoft Research Adaptive Systems and Interaction Group http://www.research.microsoft.com/research/

• Probability and Statistics This site contains many problems related with probability and statistics http://www.seanet.com/~ksbrown/iprobabi.htm

• Filtering of Stochastic Processes http://www.eas.asu.edu/~morrell/581spring97/581.html

• Graphical Aids for Stochastic Processes interactive tutorial in the theory of stochastic processes by Bob Fisch and David Griffeath. http://psoup.math.wisc.edu/gasp.html

• Probability, Statitistics and Stochatsic Processes Java Applets http://www.stat.duke.edu/sites/java.html





PRESENTACIÓN En Análisis matemático una distribución, también llamada función generalizada, es un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida. Además la noción de distribución sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones localmente integrables y a entes aún más generales. Su uso es indispensable en muchos campos de las Matemáticas, la Física y la Ingeniería. Así, por ejemplo, se utiliza en el Análisis de Fourier o para obtener soluciones generalizadas de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP). También juegan un papel muy importante en Electrodinámica Cuántica y en Procesamiento de señales.

Se ofrece con el fin de profundizar en aspectos matemáticos de la teoría del calor y de ondas, para buen desarrollo del mismo es necesario tener conceptos básicos análisis matemático, topología general , Álgebra Lineal, Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales en su formulación clásica.

JUSTIFICACIÓN En diversos ejemplos físicos idealizados aparecen objetos matemáticos similares a las funciones convencionales cuyo uso al parecer daba soluciones consistentes a diversos problemas físicos, pero que no podían ser tratados como funciones matemáticas convencionales. Es el caso de:

• Problemas en los que es necesario considerar objetos que se comportaran como la "derivada" de una función discontinua. Obviamente en ese tipo de problemas las derivadas convencionales no estaban definidas, pero existen sustituciones formales que sugieren que el concepto de función matemática debe ser ampliado para incluir objetos que pudieran comportarse como la derivada convencional, pero que fuera además aplicable a funciones discontinuas.

• Igualmente Dirac introdujo un objeto matemático δ que debía tener la siguiente propiedad:

Aunque ese objeto matemático compartía ciertas propiedades con las funciones referente a su integración, se podía probar que no existía ninguna función matemática convencional δ que fuera solución de la anterior ecuación.



SEMESTRE: X

ASIGNATURA: TEORIA DE DISTRIBUCIONES

CÓDIGO: 8109417






Los dos problemas anteriores están por ejemplo relacionados, y la teoría de distribuciones prueba que pueden definirse un tipo de funciones generalizadas o distribuciones tales que resuelven los dos problemas anteriores. Además toda función matemática convencional puede ser considerada también como una distribución.

COMPETENCIAS Los estudiantes estudiaran resultados y las técnicas fundamentales de la Teoría de Distribuciones, y sus aplicaciones en Ecuaciones en Derivadas Parciales, así como de los principios básicos del Análisis Funcional en Espacios Localmente Convexos. Más concretamente, a lo largo del curso los alumnos deberán adquirir las siguientes destrezas: - Reconocimiento de una distribución. Cálculo de sus derivadas. - Identificación de una función como distribución. - Reconocimiento de una medida de Radon. - Cálculo de la convolución. - Cálculo de la transformada de Fourier. Utilización de sus propiedades básicas. - Relación entre transformada de Fourier y convolución. - Cálculo de soluciones fundamentales de operadores diferenciales lineales clásicos. - Manejo de los espacios localmente convexos. Utilización de sus propiedades básicas.

METODOLOGÍA ü Lecturas Previas ü Clase magistrales. ü Actividades grupales en el aula. ü Trabajo individual en casa. ü Trabajo grupal extra clase. ü Sustentación de ejercicios propuestos. ü Acompañamiento permanente.

INVESTIGACIÓN De acuerdo al trabajo de grado de los estudiantes

MEDIOS AUDIOVISUALES ü Textos, guías de trabajo, páginas web.

EVALUACIÓN

EVALUACIÓN COLECTIVA Cada 50%

ACTIVIDAD TRABAJO ESCRITO SUSTENTACION % TOTAL Un Taller extra clase, con su respectiva sustentación.( Para el desarrollo del mismo , es necesario realizar lecturas previas, consultas y Asistir a Tutorías )

20%

10%

30%

Las Fechas, de entrega y sustentación se programaran, previo acuerdo con los estudiantes. EVALUACIÓN INDIVIDUAL Cada 50%

ACTIVIDAD % TOTAL Prueba Escrita 35





Prueba Escrita 35 70% Las Fechas se programaran, previo acuerdo con los estudiantes.

CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS

I. DISTRIBUCIONES. PROPIEDADES BÁSICAS. 1. Introducción: Un paseo histórico: de la Mecánica Cuántica al Espacio de las Distribuciones de L. Schwartz. Funciones Continuas, Función Periódica y distribución periódica. 2. Del espacio de las funciones test al espacio de las Distribuciones. Medidas de Radon. 3. Cálculo con Distribuciones. Distribuciones con soporte compacto y Convolución de Distribuciones

II. TRANSFORMADA DE FOURIER. 4. La transformada de Fourier de una función integrable. 5. El espacio de Schwartz S(Rn) de las funciones de decrecimiento rapido. Teorema de inversión de Fourier. Transformada de Fourier-Plancherel y Desigualdad de Hausdorff-Young. 6. Transformada de Fourier de una distribución temperada.

III. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE DISTRIBUCIONES. 7. Soluciones fundamentales de los operadores de Laplace, del calor y de ondas. 8. Solución fundamental de un operador diferencial lineal con coeficientes constantes: Teorema de Malgrange-Ehrenpreis 9. Operadores hipoelípticos 10. La ecuación de Schrödinger

IV. DEL ESPACIO DE DISTRIBUCIONES AL CONCEPTO DE ESPACIO LOCALMENTE CONVEXO. 11. Espacios vectoriales topológicos. 12. Espacios localmente convexos. 13. Principios fundamentales: Teorema de la Aplicación abierta, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema de Hahn-Banach. 14. Dualidad en espacios localmente convexos: Teorema de Alaoglu-Bourbaki.

LECTURAS MÍNIMAS Los capítulos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 de la referencia [1]. Lecturas complementarias asignadas durante el curso, necesarias para la comprensión de los contenidos.

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA • L. C. EVANS: Partial Differential Equations. Graduate Studies in Math. Vol 19, Amer. Math. Soc 1999.

M. REED AND B. SIMON, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, San Diego, 1980.

• J. P. ROSAY: A very elementary proof of the Malgrange-Ehrenpreis Theorem. Amer. Math Monthly 98 (1991), 518-523





• W. RUDIN, Análisis funcional, Reverté, Barcelona, 1979. • L. SCHWARTZ: Théorie des Distributions. Hermann, 1973. • R. STRICHARTZ, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, Studies in Advances

Mathematics, CRC Press, Boca Raton, 1994. • J. BARROS-NETO, An Introduction to the Theory of Distributions, Marcel-Dekker, New York, 1973. • E. CASAS-RENTERÍA, Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales, Servicio de Publicaciones

de la Universidad de Cantabria, Santander, 1992. • G. GRUBB, Introduction to Distribution Theory, Lecture Notes. Universidad de Copenage.

http://www.math.ku.dk/~grubb/distribution.htm. • J. HORVÁTH, Topological Vector Spaces and Distributions, AddisonWesley, Reading, 1966. • H. JARCHOW, Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart, 1981. • J. LÜTZER: The prehistory of the Theory of Distributions. Springer-Verlag 1980. • B. OSGOOD: Fourier transform and its applications, EE261 Course Reader. Standford University.

http://www.stanford.edu/class/ee261/reader_summer05.pdf • F. TREVES, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, New York, 1967. • A. WILANSKY, Modern Methods in Topological Vector Spaces, Mc Graw-Hill, New York, 1978.





PRESENTACIÓN La matemática es una herramienta fundamental para el desarrollo de modelos dinámicos en el ámbito financiero, lo que explica el desarrollo de la teoría de la credibilidad como disciplina matemática que toma sus métodos de campos de las matemáticas como la estadística Bayesiana, el análisis funcional, las técnicas de mínimos cuadrados, y la modelización sobre el espacio de estados, entre otras, para aplicarlos al terreno de la ciencia actuarial en la práctica de los seguros como lo son los seguros de propiedad, accidentes, seguros de vida, reaseguros y supervisión de seguros para estimar las tasas de siniestralidad, las frecuencias de tamaños de reclamo y reivindicación.

JUSTIFICACIÓN La importancia de que el futuro profesional maneje técnicas que le permitan desenvolverse adecuadamente en ámbitos relacionados con su carrera crea la necesidad de desarrollar el curso de teoría de la credibilidad que permite aplicar el conocimiento matemático a técnicas del reaseguro desde la estadística actuarial. Esta asignatura combina aspectos teóricos de la estadística bayesiana, que se sustenta en los métodos de razonamiento aproximado para modelar sistemas dinámicos que se presentan en las ciencias económicas y empresariales. .

COMPETENCIAS A partir de las actividades propuestas para el desarrollo del curso se quiere que el estudiante:

• Desarrolla el pensamiento matemático y numérico especialmente los procesos de particularizar, conjeturar, generalizar y convencer.

• Identifica y analiza los diferentes enfoques para el planteamiento y resolución de problemas matemáticos, enfatizando el procesamiento numérico de datos y los procesos analíticos.

• Desarrolla las competencias comunicativas (hablar, leer, escuchar, escribir) mediante la interacción con el grupo.

• Formula, modela y resuelve problemas • Interpreta formas de representación • Comprende situaciones problémicas susceptibles de modelación

METODOLOGÍA La asignatura se trabajará teniendo en cuenta trabajo del docente, trabajo con acompañamiento del docente y trabajo independiente del estudiante, con base en los siguientes parámetros: Clases teóricas: Previamente al desarrollo de las mismas se le proporcionará al alumno un esquema del tema a

Fecha: 17 de septiembre de 2010


SEMESTRE: X

ASIGNATURA: TEORÍA DE LA CREDIBILIDAD

CÓDIGO: 8109428






tratar. Basándonos en el mismo se expondrán los desarrollos teóricos y se completarán con el análisis de estudios sobre cada tema. Este último aspecto se planteará como tema de discusión entre profesor y alumno. Clases prácticas: Se plantean según dos perspectivas: 1. Realización de ejercicios relacionados con el tema teórico 2. Análisis de casos prácticos En ambos casos se utilizará el software estadístico apropiado

INVESTIGACIÓN El estudiante realizará investigación al analizar artículos de acuerdo a la profundización de los temas de su interés por medio de una síntesis y crítica del mismo.

MEDIOS AUDIOVISUALES Retroproyector, computadoras de la salas de informática, proyector de diapositivas, vídeobeam.

EVALUACIÓN EVALUACIÓN COLECTIVA

• Evaluación de Talleres en forma grupal. • Evaluación de sustentación de talleres y discusión de los mismos. • Evaluación de consultas.

EVALUACIÓN INDIVIDUAL

• Pruebas escritas. • Sustentación oral trabajos o talleres. • Evaluación de sustentación de talleres y discusión de los mismos. • Evaluación de consultas.

CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS CONTENIDOS TEMÁTICOS UNIDAD I. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DEL RIESGO 1. Naturaleza de la teoría del riesgo 2. Conceptos básicos: seguro, actividad aseguradora y empresas de seguros 3. La teoría del riesgo individual UNIDAD II. DISTRIBUCIÓN DEL NÚMERO DE SINIESTROS 1. Introducción 2. Modelo de Poisson 3. Distribuciones mixtas de Poisson 4. Distribución binomial negativa 5. Aplicaciones UNIDAD III. DISTRIBUCIÓN DE LA CUANTÍA DE CADA SINIESTRO 1. Introducción 2. Distribución logarítmico-normal 3. Distribución de Pareto 4. Distribución de Weibull





5. Aplicaciones UNIDAD IV. TEORÍA DE LA CREDIBILIDAD 1. Principios generales 2. Enfoque bayesiano 3.Aplicaciones a los seguros UNIDAD V. EL BAYES PREMIUM 1. Elementos básicos de la Teoría de la Decisión de Estadística 2. Riesgo de Bayes y Estimador de Bayes. 3. Estadística Bayesiana y la valoración de problemas Premium 4. El Bayes Premium en los casos especiales: Poisson-Gamma, el asunto-Beta Binomial y el caso normal-normal 5. Características comunes de los tres casos especiales UNIDAD VI. ESTIMADORES CREDIBILIDAD 1. Estimadores de credibilidad en un contexto simple

LECTURAS MÍNIMAS Búsqueda y análisis de noticias relacionadas con el sector asegurador y con el sector financiero, así como con la aplicación de métodos estadísticos en los mismos. Acceso a bases de datos para la selección de información

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA [1] BAILEY, A. L. Credibility Procedures, Laplace´s generalization of Bayes´ Rule and the combination of collateral knowledge with observed data. "Proceedings of the Casualty Actuarial Society", 1950, vol 37, p. 7-23. [2] BÜHLMANN, H. Experience rating and credibility. "Astin Bulletin", 1967, vol 4, nº 3, p. 199-207. http://www.springer.com/978-3-540-25753-0 http://www.unileon.es/temario.php?cod=0506008 http:/www.ine.es http:/www.eurostat.com http:/www.mapfre.com http:/www.dgsfp.mineco.es http:/www.jcyl.es htpp:/www.icea.es http:/www.unespa.es http:/www.cea.assur.org





PRESENTACIÓN Si bien se tienen diversas acepciones en torno a la Teoría de la Decisión, puede decirse que ésta se ocupa de la formalización del sentido común que todo ser humano debe emplear para tomar decisiones bajo incertidumbre. Es por ello que la investigación del contenido racional de los procesos de decisión puede, sin lugar a dudas, contribuir en las circunstancias cada vez más complejas de la sociedad contemporánea, a una notable mejoría de los procedimientos de adopción de decisiones.

JUSTIFICACIÓN Los fundamentos de la teoría de la decisión están construidos sobre las disciplinas matemáticas de la probabilidad y las variables aleatorias, por tanto, le proporciona al Matemático una herramienta de aplicación para la solución de problemas para la vida cotidiana. El curso suministra un conjunto de conocimientos, tanto teóricos como prácticos, de los métodos y modelos de la teoría de decisiones que le permitan al estudiante mejorar sus habilidades frente a problemas de decisión.

COMPETENCIAS Con el desarrollo de este curso, el estudiante debe ser competente para:

• Reconocer las técnicas fundamentales de la Teoría de la Decisión, y su aplicación en el contexto estadístico.

• Modelar y resolver problemas de toma de decisiones en situaciones de incertidumbre o riesgo, o en presencia de múltiples Agentes

• Identificar información relevante para resolver un problema • Visualizar e interpretar soluciones. • Identificar y localizar errores lógicos. • Argumentar lógicamente la toma de decisiones. • Aplicar los conocimientos a la práctica. • Extraer conclusiones y redactar informes

METODOLOGÍA

El curso se desarrolla principalmente en clases expositivas del contenido teórico de los tema, siguiendo libros de texto de referencia o documentos previamente indicados al estudiante. Complementando las clases expositivas se propondrán prácticas de resolución de problemas o estudio de casos prácticos que permitan la aplicación de las definiciones, propiedades y demás contenidos expuestos en las clases teóricas, utilizando cuando sea conveniente medios informáticos (en las aulas de informática preparadas para ello),

INVESTIGACIÓN Se proponen lecturas de artículos para promover la discusión y análisis de teorías y situaciones reales, la

Fecha: Septiembre 2010


SEMESTRE: X

ASIGNATURA: TEORÍA DE LA DECISIÓN

CÓDIGO: 8109427






capacidad de raciocinio del estudiante, de forma que se sienta, en forma permanente, partícipe en el proceso de decisión.

MEDIOS AUDIOVISUALES Video Beam + computador

EVALUACIÓN EVALUACIÓN COLECTIVA Se proponen trabajos en grupo, exposiciones EVALUACIÓN INDIVIDUAL Pruebas escritas, trabajos individuales, participación en las actividades presenciales u otros medios.

CONTENIDOS TEMÁTICOS MÍNIMOS Unidad 1. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA DECISION. 1.1. Estructura de un problema de decisión. 1.2. Acciones y utilidades. 1.3. Problemas de decisión finito. 1.4. Solución intuitiva de un problema de decisión. 1.5. Principios de Coherencia. 1.6. Probabilidad como grado de creencia. 1.7. Maximización de la utilidad esperada y los criterios mínimax y maximin Unidad 2. INTRODUCCION A LA INFERENCIA BAYESIANA. 2.1 La probabilidad subjetiva: determinación. 2.2 Distribuciones a priori y a posteriori, y su importancia en Inferencia Bayesiana. 2.3 Determinación práctica de la distribución a priori. 2.4 Distribuciones conjugadas. 2.6 Inferencia Bayesiana: conexiones y diferencias esenciales entre la Inferencia Clásica y la Bayesiana 2.6.1 Estimación Puntual Bayesiana 2.6.2 Estimación por Intervalos Bayesiana 2.6.3 Contrastes de Hipótesis Bayesianos. Unidad 3. PROBLEMAS DE DECISION (SIN EXPERIMENTACION). 3.1 Criterios de elección de acciones puras y mixtas 3.1.1 Criterios no probabilísticos 3.1.2 Criterio probabilístico de Bayes. 3.2 Interpretación geométrica de algunos criterios 3.3 Conceptos de admisibilidad y completitud. 3.4 Determinación de la función de pérdida en un problema decisión 3.4.1 Funciones estándar 3.4.2 Funciones derivadas de la Teoría de la Utilidad. Unidad 4. PROBLEMAS DE DECISION ESTADISTICA (CON EXPERIMENTACION). 4.1 Planteamiento de un problema de decisión estadística general con experimentación asociada. 4.2 Criterio de Bayes. 4.3 El Valor Esperado de la Información Muestral.





Unidad 5. ESTUDIOS COMPLEMENTARIOS. 5.1 Representaciones gráficas de los problemas de decisión 5.1.1 Árboles de decisiones 5.1.2 Diagramas de influencia.

LECTURAS MÍNIMAS Capítulo 9 “teoría de Decisión” del libro Estadística matemática con aplicaciones. De FREUND. J y MILLER Ed. Prentice Hall. 1999. Capítulo III “Teoría de la decisión y de los juegos” del libro La investigación operativa: una herramienta para la adopción de decisiones Escrito por Ángel Sarabia Viejo

BIBLIOGRAFÍA E INFOGRAFÍA Aguado, J. (2007).Teoría de la decisión y de los juegos. Ed. Delta Publicaciones Berger, J. O. (1985). Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Springer-Verlag. New York. Chernoff, J. and Moses, L. (1974). Elementary Decision Theory. Wiley, New York. DeGroot, M.H. (1970). Optimal Statistical Decisions. McGraw Hill. New York. Ferguson, T. S. (1967). Mathematical Statistics: A Decision Theoretic Approach. Academic Press. New York. French, S. and Ríos Insua, D. (2000). Statistical Decision Theory, Arnold, London. Kaplan, M. (1998). Decision theory as philosophy. Ed. Cambridge University Press Lindley, D.V. (1970). lntroduction to Probability and Statistics from a Bayesian Viewpoint. (2 volúmenes). Cambridge University Press. Pérez, J., Jimeno. J., Cerda. E. ( 2003). Teoría de juegos. Ed. Pearson Educación

presentaciÓn la técnica actuarial es la base más importante

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