practica 4 circuitos segundo orden
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Circuitos de segundo orden estudio caso subamortiguado y sobreamortiguado, Instrumentacion,TRANSCRIPT
Eymery De Cesaris C.I : 21.545.499
Sulpick Barbella C.I: 20.435.640
Practica #4: Circuitos de Segundo Orden
Introducción
Un circuito eléctrico es un conjunto de operadores unidos de tal forma que permitan el paso o la circulación de la corriente eléctrica para conseguir algún efecto útil.
En esta oportunidad estudiaremos los circuitos eléctricos de segundo orden que son aquellos que poseen dos elementos almacenadores de energía (inductores, capacitores o la mezcla de ambos).
Durante el desarrollo de la práctica se conocerá como es el comportamiento de algunos circuitos de segundo orden, que dependen de los parámetros que este posea y la manera en que se encuentren conectados los elementos del mismo, estos comportamientos dan origen a sistemas: sobreamortiguados, subamortiguados o críticamente amortiguados.
Para el estudio de cada una de las variables del circuito tanto continuas (voltaje en el capacitor y corriente en el inductor) como discontinuas (corriente en el capacitor y voltaje en el inductor) se hará uso del programa maple en el cual, además, se calcularan las condiciones iniciales de las mismas relacionando las ecuaciones y el estado del sistema en los tiempos t=0- y en el tiempo t=0+.
Para la simulación del circuito haremos uso del programa matlab en donde
se trabaja sobre un script las ecuaciones obtenidas en maple para ver más detalladamente en varios ciclos el comportamiento de nuestro sistema.
Es de vital importancia conocer y estudiar los circuitos eléctricos, pues, en la actualidad, el automóvil, la televisión, la radio, el teléfono, la aspiradora, las computadoras, entre muchos otros son aparatos eléctricos que requieren para su funcionamiento, de circuitos eléctricos simples, combinados y complejos.
Marco teórico
Los circuitos con dos elementos de almacenamiento se conocen como
circuitos de segundo orden pues sus respuestas se describen con ecuaciones
diferenciales que contienen segundas derivadas.
Ejemplos habituales de circuitos de segundo orden son los circuitos RLC,
en los que están presentes los tres tipos de elementos pasivos. Es evidente que
un circuito de segundo orden puede tener dos elementos de almacenamiento de
diferente tipo o del mismo tipo (siempre y cuando los elementos del mismo tipo no
puedan representarse con un solo elemento equivalente).
El análisis de circuitos de segundo orden será similar al realizado con los de
primer orden. El primer problema que se presenta en el estudio de los mismos son
las ecuaciones que definirán nuestro sistema, para ello se emplean las técnicas
estudiadas con anterioridad ya sea usando LVK o LCK. Estas ecuaciones serán
las ecuaciones matemáticas principales con las que se modelaran los elementos
de nuestro sistema por lo que se obtienen 4 ecuaciones de segundo orden cada
una modelando las variables continuas y discontinuas del sistema.
El segundo problema que se estudiara es la determinación de las
condiciones iniciales y finales de las variables de los circuitos, para ello hay dos
puntos claves que se deben tomar en cuenta. Primero, como siempre en análisis
de circuitos, se debe manejar con cuidado la polaridad de la tensión en el
capacitor v(t) y la dirección de la corriente i(t) a través del inductor teniendo en
cuenta que v e i se definen estrictamente de acuerdo con la convención pasiva de
los signos. Segundo, tener en cuenta que la tensión en el capacitor y la corriente
en el inductor son continuas lo que quiere decir que:
Donde t=0- denota el momento justo antes de un evento de conmutación y
t= 0+ es el momento justo después del evento de conmutación, suponiendo que
éste tiene lugar en t=0. Por ende las primeras condiciones que se estudian son las
antes mencionadas que no pueden cambiar abruptamente.
Una vez obtenidas estás ecuaciones iniciales de las variables continuas se
hará uso de las ecuaciones principales del sistema para obtener las condiciones
iniciales de las variables discontinuas en el instante t=0+.
Cada sistema dependiendo del valor de sus parámetros puede tener
diversos comportamientos que, para conocerlo se debe hacer el estudio del ᶚ del
sistema.
La forma en que se estudia es con la ecuación característica del sistema
obtenida a través de Laplace, viéndolo desde de la función de transferencia seria
el denominador de la misma:
Caso 1: Sobre amortiguado
Existencia de dos polos reales negativos. Este caso tiene lugar cuando el
factor amortiguamiento es mayor que uno (ξ > 1).
Debido a que los polos no tienen parte imaginaria, la respuesta no presenta
oscilaciones.
Ecuación Característica
Caso 2: Sub amortiguado
Existencia de dos polos complejos conjugados. Este caso tiene lugar cuando
el factor amortiguamiento es menor que uno (ξ <1) pero positivo.
La existencia de polos con parte imaginaria determina la aparición de
oscilaciones.
Caso 3: Críticamente Amortiguado
Existencia de un polo real doble. Este caso tiene lugar cuando el factor
amortiguamiento es igual a uno (ξ =1).
Al igual que en el caso anterior, la respuesta no presenta oscilaciones.
Realmente, el comportamiento críticamente amortiguado es un caso especial del
comportamiento sobreamortiguado, con la particularidad de que la respuesta
críticamente amortiguada es la más rápida de todas las sobreamortiguadas.
Experiencia Práctica
Circuito a estudiar:
Para efecto de los cálculos manuales se hizo uso del programa maple en
donde se consideraron dos cosas importantes, la primera es la resistencia interna
que posee el inductor y el generador de voltaje las cuales se deben agregar en
serie a cada uno de los elementos y en segundo lugar cuando se tienen elementos
que almacenan energía en un circuito(inductor o capacitor) se le agrega una
resistencia en serie al mismo solo si no la posee para con esto poder medir cada
una de las corrientes que pasan por dichos elementos.
Una vez aclarado tales puntos encontramos un circuito equivalente que es
el que realmente se está estudiando en el laboratorio:
Malla 1 Malla 2
Rl es la suma de la resistencia agregada en serie con el inductor, la interna
de la fuente y la interna del inductor.
Se resolvió el circuito aplicando LVK a la malla 1 y 2 obteniendo las
siguientes ecuaciones:
Ecuación para la malla 1:
. .
Ecuación para la malla 2:
.
Sustituimos en eqm1 y en eqm2 los siguientes valores:
Quedando:
Para la malla 1:
. (1)
Para la malla 2:
. (2)
Tomando la ecuación (2) y despejando Ic (t) tendremos:
.
A la ecuación anterior la llamaremos Ecuación Principal 1
Tomando la Ecuación Principal 1 y sustituyéndola en la ecuación (1) obtenemos:
.
Despejando Vl (t) tenemos:
.
A la ecuación anterior la llamaremos Ecuación Principal 2, de esta ecuación
y de la ecuación principal 1 partiremos para calcular las condiciones iniciales así
como las ecuaciones de primer orden que corresponden al voltaje en el capacitor
(continua), corriente en el capacitor (discontinua), voltaje en el inductor
(discontinua), corriente en el inductor (continua).
Ecuaciones de Primer Orden:
La representación del voltaje y la corriente de cada uno de los elementos del
sistema (inductor y capacitor) en ecuaciones de primer orden es la siguiente:
Ecuación para el Voltaje del Capacitor:
Tomando la ecuación principal 1 y sustituyendo,
Ic(t) =
Obtenemos,
.
Ecuación para la Corriente del Inductor:
Toma la ecuación principal 2 y sustituyendo,
Vl(t) =
Obtenemos,
.
Ecuación para la Corriente del Capacitor: Derivando la ecuación de primer orden para el voltaje del capacitor, obtenemos:
Sustituyendo:
en la ecuación anterior, tendremos que:
.
Ecuación para el Voltaje del Inductor: Derivando la ecuación de primer orden para la corriente del inductor, obtenemos:
Sustituyendo:
en la ecuación anterior, tendremos que:
.
Ecuaciones de Segundo Orden
La representación del voltaje y la corriente de cada uno de los elementos del
sistema (inductor y capacitor) en ecuaciones de segundo orden es la siguiente:
Ecuación para el Voltaje del Capacitor:
En primer lugar se derivó la ecuación de primer orden del voltaje del capacitor:
Se sustituyó en la ecuación anterior la ecuación de primer orden de la corriente del
inductor:
.
De la ecuación de primer orden del voltaje del capacitor se obtuvo además:
Este valor se sustituyó en la ecuación anterior para obtener así:
Ecuación de Segundo Orden del Voltaje del Capacitor
Ecuación para la Corriente del Inductor: Derivando la ecuación de primer orden de la corriente del inductor:
Sustituyendo la ecuación de primer orden del voltaje en el capacitor:
. De la ecuación de primer orden de la corriente del inductor se obtuvo además:
.
Este valor se sustituyó en la ecuación anterior para obtener así:
.
Ecuación de segundo orden de la corriente del inductor
Ecuación para el Voltaje del Inductor: Derivando la ecuación de primer orden del voltaje en el inductor:
. Sustituyendo la ecuación de primer orden de la corriente del capacitor:
. De la ecuación de primer orden del voltaje en el inductor se obtuvo además:
.
Este valor se sustituyó en la ecuación anterior para obtener así:
.
Ecuación de segundo orden del voltaje en el inductor
Ecuación para la Corriente del Capacitor:
Derivando la ecuación de primer orden de la corriente del capacitor:
Sustituyendo la ecuación de primer orden del voltaje en el inductor:
De la ecuación de primer orden de la corriente del capacitor se obtuvo además:
.
Este valor se sustituyó en la ecuación anterior para obtener así:
.
Ecuación de segundo orden la corriente del capacitor
Condiciones Iniciales
Una vez modelado el sistema, se procede al cálculo de las condiciones
iniciales de cada una de las variables que describen el comportamiento del mismo.
En el instante t=0- (momento justo antes de un evento de conmutación),
sabemos que las variables discontinuas Vl(t) e Ic(t) son cero por lo tanto
sustituyendo en las ecuaciones principales 1 y 2 obtenemos:
Sustituyendo el valor de Ilini en la ecuación de Vcini y despejando Vcini se
obtuvo que la condición inicial del voltaje del capacitor en términos de las
resistencias y el voltaje Vi es:
Las condiciones iniciales de las variables discontinuas Vl (t) e Ic (t) se
calcularon sustituyendo los valores de Vc (t)= Vcini y Il (t)= Icini en las ecuaciones
principales 1 y 2 encontradas anteriormente.
Igualmente, para las condiciones iniciales de las derivadas se usaron las
ecuaciones encontradas de primer orden sustituyendo los siguientes valores en
cada una de ellas:
Comportamiento del Sistema
Para la práctica de laboratorio se realizaron los cálculos de manera que fuera
posible el estudio de un sistema sobre-amortiguado y uno sub-amortiguado.
Para ello se extrajo la ecuación característica del sistema siendo la misma el
denominador resultante al aplicar Laplace a las ecuaciones que definen el
comportamiento de este.
Es importante señalar que las ecuaciones características al aplicar Laplace a
las ecuaciones de segundo orden para cada una de las variables resultaron ser
todas iguales, esto es lógico pues cada sistema en estudio tiene una ecuación
característica única.
Las ecuaciones anteriores son el resultado de aplicar Laplace a las
ecuaciones de segundo orden del voltaje del capacitor y la corriente del mismo, se
puede notar que los denominadores de ambas son iguales por lo tanto es una
prueba de que efectivamente la ecuación característica es única y el
comportamiento lo definirán los valores de los parámetros que se les a esta
ecuación.
En el programa matlab se realizaron los siguientes pasos para el estudio
del comportamiento:
Se llamó P a la ecuación característica y se igualaron los coeficientes de la
misma, si recordamos el denominador de la función de transferencia es:
Se igualo a lo que acompaña al término s que es la ecuación llamada g y
se igualo al término independiente de la ecuación característica que es la
ecuación g1 encontrando un valor de lo que quiere decir que el
sistema para los valores de los parámetros usados da origen a un comportamiento
sobre-amortiguado.
Para el comportamiento sub-amortiguado haciendo uso de los valores que se muestran a continuación se consiguió un 0.6972787230
Montaje del circuito en el laboratorio
Resultados Obtenidos
Lo primero que se hizo fue calibrar el osciloscopio, verificar que el
acoplamiento del mismo estuviese en CC(corriente continua) para poder hacer las
mediciones del voltaje y corriente tanto en el capacitor como en el inductor y
probar que la fuente enviara la señal cuadrada, el resultado obtenido fue el
siguiente:
Como se observa el voltaje que aparece en la figura es el voltaje pico a
pico de 10.1 V que fue el usado como voltaje de entrada del generador para el
comportamiento sobreamortiguado recordando que este es dividido entre dos.
Estudio del sistema Sobre-amortiguado
Datos R1: 900 Ω R2= 700 Ω Rl = (50+500+89) Ω (RinternaGenerador+ResistenciaAgregada+RinternaInductor) C= 2e-6 F L=141e-3 Hz Vi=5.05 V
Con los datos anteriores estudiamos que el comportamiento del sistema es sobre-amortiguado, a continuación se muestran los resultados obtenidos al medir cada una de las variables de nuestro sistema:
Capacitor Corriente(Discontinua)
Los resultados obtenidos con matlab haciendo uso de las ecuaciones simuladas en maple arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) de la corriente:
Ic (t)= 5.3mA
Los resultados obtenidos a través de las mediciones del circuito en el laboratorio arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) de la corriente: Ic (t)= 5.45mA
Voltaje(Continua)
Los resultados obtenidos con matlab haciendo uso de las ecuaciones simuladas en maple arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) del voltaje:
Vc (t)= 5.62V
Los resultados obtenidos a través de las mediciones del circuito en el laboratorio arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) del voltaje: Vc (t)= 5.56 V
Inductor Corriente(Continua)
Los resultados obtenidos con matlab haciendo uso de las ecuaciones simuladas en maple arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) de la corriente: Il(t)= 6.79mA
Los resultados obtenidos a través de las mediciones del circuito en el laboratorio arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) de la corriente: Il(t)= 6.99mA
Voltaje(Discontinua) Los resultados obtenidos con matlab haciendo uso de las ecuaciones simuladas en maple arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) del voltaje: Vl(t)= 18.65V
Los resultados obtenidos a través de las mediciones del circuito en el laboratorio arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) del voltaje: Vl(t)= 18.4V
Estudio del sistema Sub-amortiguado
Datos R1: 1000 Ω R2= 141 Ω Rl = 50 Ω C= 2e-6 F
L=41e-3 Hz
Vi=2.39 V
Con los datos anteriores estudiamos que el comportamiento del sistema es sub-amortiguado, a continuación se muestran los resultados obtenidos al medir cada una de las variables de nuestro sistema:
Capacitor Corriente(Discontinua)
Los resultados obtenidos a través de las mediciones del circuito en el laboratorio arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) de la corriente: Ic (t)= 15.78mA
Voltaje(Continua)
Los resultados obtenidos a través de las mediciones del circuito en el laboratorio arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) del voltaje:
Vc (t)= 3.94V
Inductor Corriente(Continua)
Los resultados obtenidos a través de las mediciones del circuito en el
laboratorio arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) de la corriente:
Il (t)= 12.44mA
Voltaje(Discontinua) Los resultados obtenidos a través de las mediciones del circuito en el
laboratorio arrojaron la siguiente grafica:
Valor (pico-pico) del voltaje: Vl(t)= 4V
Análisis de los resultados
En primer lugar es importante resaltar una observación que se tiene que tener en cuenta al momento de modelar las ecuaciones matemáticas del circuito, una de ellas es el cálculo de las condiciones iniciales, pues, si se falla en estas se noto que las graficas calculadas por ODE y laplace tienden a volverse una recta horizontal o simplemente se muestran graficas sin sentido, por lo que se concluye que esta es una de las partes dentro del estudio del circuito que debe realizarse con mucho cuidado para tener la precisión total en cálculo de las mismas.
Durante el desarrollo de la practica se pudo alcanzar el objetivo principal de esta siendo este el estudio y análisis de los circuitos de segundo orden, viendo las graficas de los datos arrojados con el osciloscopio(rojas) y las simuladas con ODE y Laplace se ve una alta precisión en las mismas, pues al momento de calcular los errores observando el valor simulado y el valor medido pico-pico de cada uno de ellos se noto que son inferiores al 5% por lo que según lo aprendido en el laboratorio de física se está dentro del rango de error permitido al momento de realizar mediciones.
Sin embargo, al observar estos pequeños errores se hizo importante y curioso el estudio de las consecuencias que los generaban, pues, al primer instante de realizar las mediciones y las simulaciones la práctica no cuadro, por lo que se hicieron repetidas simulaciones y mediciones para reparar las fallas y alcanzar los resultados presentados a lo largo de este informe.
Una de las posibles fallas se presenta en la observación resaltada al comienzo de este análisis, otra, muy importante, son los errores generados por los equipos usados dentro del laboratorio, pues, debido al tiempo que estos tienen no son precisos y muchos no están en buen funcionamiento por lo que se hace recomendable realizar una prueba cable a cable con el tester para saber si estos sirven, medir las resistencias usadas, observar la calibración del osciloscopio, ver que este se encuentre en corriente continua en ambos canales, la resistencia interna del inductor, medición del capacitor con un multímetro para comprobar que este funcione correctamente y así asegurarse que los equipos estén en buen funcionamiento, aunque al final estos arrojan datos aproximados a los de la simulación por lo que son parte de la causa de estos pequeños errores que se obtuvieron en las mediciones finales.
Los circuitos en general son de gran importancia en todos los campos de la ingeniería, pues, en la actualidad si observamos muchos equipos contienen un circuito eléctrico integrado en el, sea el computador, un control, un celular, entre otros. Por lo que su estudio nos permite conocer cómo funcionan los mismos y que son conocimientos que en un futuro podemos aplicar.
