Área de Ciencias Básicas Lic. Adriana Valverde Calderón

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PRIMERA PRÁCTICA DE MATEMÁTICA I - AA-211 FIA-UNI (06 / 04/ 2009)

1. ¿Cómo hallaría, en el eje real, el punto que le corresponde al número irracional 13?

Resolución

ℝ

2. Demuestre que si '

'

a a

b b< ; 0b > ; ' 0b > ; entonces

' '

' '

a a a a

b b b b

+< <+

Demostración

Si '

'

a a

b b< ∧ ' 0b > ⇒

'' '

'

a ab b

b b< ; ' '

ab a

b< ; Consistencia multiplicativa

Consistencia aditiva: ' 'a

a b a ab

+ < +

Elemento neutro multiplicativo .1 ' 'a

a b a ab

+ < +

Elemento neutro: . ' 'b a

a b a ab b

+ < +

Propiedad distributiva ( )' 'a

b b a ab

+ < +

Consistencia multiplicativa '

'

a a a

b b b

+<+

………(1)

análogamente:

Como 0b > ⇒ '

'

a ab b

b b< ;

'

'

aa b

b<

Por consistencia aditiva ( ')a '

' ''

aa a b a

b+ < +

Elemento neutro multiplicativo '

' '.1'

aa a b a

b+ < +

Elemento neutro: ' '

' '.' '

a ba a b a

b b+ < +

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2

Elemento neutro: ( )'' '

'

aa a b b

b+ < +

Consistencia multiplicativa ' '

' '

a a a

b b b

+ <+

……………(2)

∴ Por transitividad ' '

' '

a a a a

b b b b

+< <+

l.q.q.d.

3. Halle el entorno construido sobre el conjunto { }32 23 3 4/ 5 4 2A x x x x= ∈ − < + < −ℝ y

cuyo centro satisface la ecuación 2 5 4x − =

Resolución

Hallar el conjunto A 2 2 3

5 4 23 3 4

x x x− < + < − ⇒ 2 2 3

9 73 3 4

x x x< + < −

Debe cumplirse: 2 2

93 3

x x< + ∧ 2 3

9 73 4

x x+ < −

x∈ℝ ∧ 24

17x < −

El centro del entorno satisface: 2 5 4x − = ⇒ 3x = ± ∨ 1x = ±

¿Cuál valor 0x debe elegirse para el centro del entorno? 0

241,4

17x < − = − ⇒

0 3x = −

Luego el radio del entorno será: 24 27

3 1.917 17

r = − + = ≈

∴ E 27

3,17

−

= 78 24

;17 17

− − ≈ 4,59 ; 1,4− −

-3 -24/17

Radio 27/17

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3

4. Halle el valor de 2

3

x

x

−−

para x∈ℝ .

Resolución

Analizando { }3x∀ ∈ −ℝ . Por la presencia del valor absoluto, se tiene:

a) 0x∀ < ; 2 2 5 5

1 13 3 3 3

x x

x x x x

− − += = + = +− − − −

………..(1)

Si 2x−∞ < ≤ − ; 5

13x

= −−

⇒ 5

1 03x

+ =−

Si 2 0x− < < ; 5

23x

= −−

⇒ 5

1 13x

+ = −−

b) 0x∀ ≥ ∧ 3x ≠ ; 2 1 1

1 13 3 3

x

x x x

− = − + = − +− − −

………..(2)

Si 0 2x≤ < ; 1

03 x

=−

⇒ 1

1 13 x

− + = −−

Si 2 2,5x≤ < ; 1

13 x

=−

⇒ 1

1 03 x

− + =−

Si 2,5 3x≤ < ; 1

13 x

>−

⇒ 1

1 03 x

− + >−

Si 3 4x< < ; 1

13 x

< −−

⇒ 1

1 23 x

− + < −−

Si 4 x≤ < ∞ ; 1

13 x

= −−

⇒ 1

1 23 x

− + = −−

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5. Pruebe, por inducción matemática, que 1 1

n n

k kk k

a a= =

≤∑ ∑

Prueba Usando el método de inducción matemática

Para 1n = se tiene 1 1

1 1k k

k k

a a= =

≤∑ ∑ ⇒ 1 1a a≤ ; proposición verdadera.

Se asume que se cumple para n p= ; 1 1

p p

k kk k

a a= =

≤∑ ∑

Probar que se cumple para 1n p= + ; 1

1

?p

kk

a+

=

≤∑

1

1 11 1 1

p p p

k k p k pk k k

a a a a a+

+ += = =

= + ≤ + ≤∑ ∑ ∑ 1

11 1

p p

k p kk k

a a a+

+= =

+ =∑ ∑

∴ 1 1

1 1

p p

k kk k

a a+ +

= =

≤∑ ∑

6. La intersección de las relaciones 21

2 3( , ) / 6

4 5

xR x y

x

+ = ∈ ≥ − ℝ y

{ }2 22 ( , ) / 1R x y y x= ∈ ≤ −ℝ ha generado dos regiones acotadas. Denote dichas regiones

y grafíquelas. Resolución

Analizando la relación 21

2 3( , ) / 6

4 5

xR x y

x

+ = ∈ ≥ − ℝ de puntos en el plano.

Se observa que la desigualdad 2 3

64 5

x

x

+ ≥−

no depende de la variable y lo cual significa

que se cumple y∀ ∈ℝ .

Por propiedad del valor absoluto se tiene: 2 3

64 5

x

x

+ ≥−

…..(1) ∨ 2 3

64 5

x

x

+ ≤ −−

……(2)

Resolviendo (1) se obtiene: 3

1,52

x ≤ = ∧ 5

1,254

x > = ∨ 1,5 1,25x x≥ ∧ <

∅

Resolviendo (2) se obtiene: 27

26x ≤ ∧

5

4x > ∨

27 5

26 4x x≥ ∧ <

∅

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5

Grafica de 21

2 3( , ) / 6

4 5

xR x y

x

+ = ∈ ≥ − ℝ

Graficando la región { }2 22 ( , ) / 1R x y y x= ∈ ≤ −ℝ

Graficando la intersección de las regiones:

( ( )21 2

27( , ) / ;1,25 1,25; 1,5 1

26R R x y x y x

= ∈ ∧ ≤ − ∩ ∪

1,03 1,25 1,5 X

Y

X