segunda practica de ana. mate. ii

7/23/2019 Segunda Practica de Ana. Mate. II

http://slidepdf.com/reader/full/segunda-practica-de-ana-mate-ii 1/140

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERA

Escuela Académica Profesioal de I!eier"a Ci#il$H#ca

SEGUNDA PR%CTICA DE AN%LISIS &ATE&%TICO II

'INTEGRALES INDEFINIDAS(1. MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN

a¿∫( x2−3 x+2)dx

x2+7 x+12

¿∫( ( x−6 ) ( x+3 )+20 )dx

( x+3 ) ( x+4 )

¿∫( ( x−6 ) ( x+3 ))dx

( x+3) ( x+4 ) +∫

(20 ) dx

( x+3 ) ( x+4 )

1− 10

x+4

(¿)dx+20∫ dx

( x+3 ) ( x+4 )

¿∫¿

¿ x−10ln| x+4|+c1+20ln ¿ x2+7 x+12∨+c2

¿ x−10ln| x+4|+20ln ¿ x2+7 x+12∨+c;endondec1+c2=c

b¿∫ ( x−4)dx

x2

+5 x−6

¿∫ ( x−1−3 ) dx

( x+6 )( x−1)

¿∫ ( x−1) dx

( x+6 )( x−1)−∫ 3dx

( x+6 )( x−1)

¿∫ dx

x+6−3∫ dx

( x+6 )( x−1)





¿ ln| x+6|+c1−3 ln|( x+6 ) ( x−1 )|+c

2;endonde c

1+c

2=c

c ¿∫ ( x+3 ) dx

x2+7 x+12

¿∫ ( x+3 )dx

( x+3 ) ( x+4 )

¿∫ dx( x+4 )

¿ ln| x+4|+c

d1¿∫

(3 x+1

2)dx

x2+3 x−10

Solución:

∫(3 x+

1

2 )dx

x2+3 x−10

= ∫ ( 29

14

x+5+

13

14

x−2)dx =

29

14∫ dx

x+5+13

14∫ dx

x−2 =

29

14∫ d ( x+5)

x+5 +

13

14∫ d ( x−2)

x−2

=29

14 ln| x+5|+ 13

14 ln| x−2|+¿ c

d2¿∫ xdx

x2−4





∫ xdx

x2−4

=∫ xdx

( x+2 ) ( x+2 )

¿1

2∫ ( x+2+ x−2 ) dx

( x+2 ) ( x−2 )

¿1

2∫ ( x+2 ) dx

( x+2 ) ( x−2 )+1

2∫ ( x−2 ) dx

( x+2 ) ( x−2 )

¿1

2∫

dx

( x−2 )+1

2∫

dx

( x+2 )

¿1

2∫ d ( x−2 )

( x−2 ) +

1

2∫ d ( x+2 )

( x+2 )

| x−2|+¿ 12 ln| x+2|

¿ 1

2ln ¿

e¿∫( x2+2 x ) dx

x2−9

∫( x2+2 x )dx

x2−9

=∫ ( x2+2 x )dx

( x+3 ) ( x−3 )

¿∫ x2dx

( x+3 ) ( x−3 )+2∫ xdx

( x+3 ) ( x−3 )

¿∫ x2dx

( x+3 ) ( x−3 )+∫

( x+3+ x−3 )dx

( x+3 ) ( x−3 )

¿∫ x2dx

( x+3 ) ( x−3 )+∫

( x+3 ) dx

( x+3 ) ( x−3)+∫

( x−3 ) dx

( x+3 ) ( x−3 )





¿∫ x2dx

( x+3 ) ( x−3 )+∫ dx

( x−3 )+∫ dx

( x+3 )

¿∫ x2dx

x2−9

+ ln| x−3|+C 1+ ln| x+3|+C 2

¿∫( x2+9−9 )dx

x2−9

+ ln| x−3|+C 1+ ln| x+3|+C 2

¿∫( x2−9 )dx

x2−9 +9∫

dx

x2−9 +ln| x−3|+C 1+ln| x+3|+C 2

¿∫dx+9

2∫ d (2 x )

x2−9

+ ln| x−3|+C 1+ln| x+3|+C 2

¿ x+C 1+9

2∫ d ( x2−9 )

x2−9

+ ln| x−3|+C 2+ ln| x+3|+C 3

¿ x+C 1+ 9

2 ln| x2−9|+C 2+ln| x−3|+C 3+ ln| x+3|+C 4

⟹∫( x2+2 x )dx

x2−9

= x+ 9

2ln| x2−9|+ln| x−3|+ ln| x+3|+C;dondeC =C 1+C 2+C 3+C 4

( )2

2

2

) 9

x x dx

f x

+

−∫

( ) ( ) ( )22 2

2 2 2 2

:

2 3 32 2 33

9 9 9 9

solución

x x dx x x dx x x dx

x x x x

+ − ++ + − = = +− − − −∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

2

3 13

3 3 9

x x dx dx

x x x

+ −= +

+ − −

∫ ∫





( )

( )

2 2

13

3 3

x dx dx

x x

−= +

− −∫ ∫

2 2

21 3

3 3

dxdx

x x

= + + ÷− − ∫ ∫

2 22 3

3 3

dx dxdx

x x= + +

− −∫ ∫ ∫

( ) 2 232 33 3

d x dx dxdx x x

−= + +− −∫ ∫ ∫

( )1 2 3

1 32ln 3 3 ln

2 3 3

x x c x c c

x

−= + + − + + + ÷ ÷ +

1 32ln 3 ln

2 3

x x x c

x

−= + − + +

+

1 2 3: Donde c c c c+ + =

g¿∫( x2+ x+1 )

x3+8

dx

∫ ( x2+ x+1)( x−2 ) ( x2+2 x+4 )

dx

Numerador

Solución : x2+ x+1→x=

−1∓ √ −3

2

Denominador





Solución : x2+2 x+4 →x=

−2∓√ −12

2

Como√ −3∈ ∁

Como√ −12∈∁

∫( x2+ x+1)

x3+8

dx=∄( Numeros reales)

h¿∫ (5− x )dx

x2+9 x−22

¿−∫ ( x−2−3)dx

( x−2)( x+11)

¿3∫ dx( x−2 )( x+11)

−∫ ( x−2)dx( x−2 )( x+11)

¿− 3

13∫( ( x−2 )−( x+11))dx

( x−2 )( x+11) −∫ dx

x+11

¿ 3

13∫ ( x+11)dx

( x−2 )( x+11)−

3

13∫ ( x−2 ) dx

( x−2 )( x+11)−∫ dx

x+11

¿ 3

13∫ dx

( x−2 )−

16

13∫ dx

( x+11)

¿ 3

13∫ d ( x−2)

( x−2 ) −

16

13∫ d ( x+11)

( x+11)

¿ 3

13 ln| x−2|+c

1−

16

13 ln| x+11|+c

2





¿ 3

13 ln| x−2|−16

13 ln| x+11|+c ;endonde c

1+c

2=c

( x+10 )

x2+13 x+30

¿

dx=∫ ( x+10 )

( x+3 ) ( x+10 ) dx

i¿∫¿

¿1

2

∫ 2 x+20

( x+3 ) ( x+10 )

dx=1

2

∫ x+3+ x+10+7

( x+3 ) ( x+10 )

dx

¿1

2∫ x+3

( x+3 ) ( x+10 ) dx+

1

2∫ x+10

( x+3 ) ( x+10 ) dx+

1

2∫ 7

( x+3 ) ( x+10 ) dx

¿1

2∫ dx

x+10+1

2∫ dx

x+3+1

2∫ ( x+10 )−( x+3 )

( x+3 ) ( x+10 ) dx

¿1

2∫d ( x+3 ) x+3 +¿

1

2∫ x+10

( x+3 )( x+10) dx−1

2∫ x+3

( x+3 )( x+10) dx

¿1

2∫

d ( x+10) x+10

+1

2∫ ¿

¿1

2 ln ( x+10)+

1

2∫ ln ( x+3)+ 1

2∫ d ( x+3)

x+3 −

1

2∫ d ( x+10)

x+10 +c= ln ( x+3 )+c

2

( 6))10 24

x dx j x x

−− +∫

( ) ( )2 2 2 2

(2 10) 2 2 101 (2 12) 1 1 2

2 10 24 2 10 24 2 10 24 10 24

x dx x dx x dx dx

x x x x x x x x

− − − −= = − − + − + − + − +

∫ ∫ ∫ ∫

( )2

(derivando el denominador :

10 24 2 10 x x u x dx du− + = = − =





( )

( ) ( ) ( )

1 22 2 2

2 101 2 1 1 1 5 12 ln 2 ln

2 2 10 2 2 2(1) 5 15 1 5 1

x du dx du dx xu c c

u x u x x x

− − −− = − = + − + − − +

− − − −

∫ ∫ ∫ ∫

2 2

1 2 1 2

2

2

1 6 1 1 6ln 10 24 ln ln 10 24 ln (Donde: c +c =c)

2 4 2 2 4

( 6) 1 1 6ln 10 24 ln

10 24 2 2 4

x x x x c c x x c

x x

x dx x x x c

x x x

− −− + + − + = − + − + − − − −

∴ = − + − +− + −∫

k ¿∫ (3 x+5 )dx

9 x2+30 x+20

¿∫ (3 x+5 ) dx

(3 x+5 ) (3 x+5 )

¿

∫

dx

(3 x+5 )

¿∫ dx

(√ 3 x )2+ (√ 5 )2

¿2√ 3 x .( 1√ 5 )( tan−1(√ 3 x√ 5 ))+c





2. MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS

a¿∫ ( x−7) dx

x

2

−3 x+8

¿ 12∫ (2 x−14) dx

x2−3 x+8

¿1

2∫ (2 x−3−11 ) dx

x2−3 x+8

¿1

2∫d ( x2−3 x+8)

x2−3 x+8 −

11

2 ∫ dx

x2−3 x+8

¿1

2 ln| x2−3 x+8|+c

1−

11

2 ∫

d ( x−3

2)

( x−3

2)2

+(√ 232 )

2

¿ 12 ln| x2−3 x+8|+c1− 11

√ 23arctan

( x−

3

2√ 232 )

+c2

¿1

2 ln| x2−3 x+8|− 11

√ 23arctan (2 x−3

√ 23 )+c ;endondec1+c

2=c

b¿∫ (4 x+5 ) dx

3 x2−2 x+5





solucion:

¿4∫ ( x ) dx

3 x2∓52 x

+5∫ dx

3 x2−2 x+5

¿2

3∫

(2 x−2

3+2

3 )dx

x2−

2

3 x+

5

3

+5

3∫ dx

x2−

2

3 x+

5

3

¿2

3∫ (2 x−

23 )dx

x2−

2

3 x+

5

3

+4

3∫ dx

x2−

2

3 x+

5

3

+5

3∫ dx

x2−

2

3 x+

5

3

¿2

3 ln| x2−

2

3 x+

5

3|+ 2

√ 14tan

−1( 3 x−1

√ 14 )+ 5

√ 14tan

−1( 3 x−1

√ 14 )

¿

2

3 ln

| x

2

−

2

3 x+

5

3

|+ 7

√ 14tan

−1

(3 x−1

√ 14 )+C

d ¿∫ (3 x−1)dx

5 x2+4 x+7

Solución:

∫ (3 x−1 ) dx

5 x2+4 x+7

=∫3

10(10 x−4)−11

5

5 x2+4 x+7

dx =3

10∫ (10 x−4 ) dx

5 x2+4 x+7

−11

5∫ dx

5 x2+4 x+7

¿ 3

10 ln|5 x

2+4 x+7|−11

25∫

d x

x2+

4

5 x+

7

5





=

3

10 ln|5 x

2+4 x+7|−11

25∫ dn

( x+2

5 )2

+(√31

25 )2

=

3

10 ln|5 x

2+4 x+7|− 11

5√ 31tan

−1(5 x+2

√ 31 )+c

e¿∫ ( x−7 )dx

x2−3 x+8

∫ ( x−7 )dx x

2−3 x+8=∫ xdx

x2−3 x+8

−7∫ dx x

2−3 x+8

¿1

2∫ (2 x−3+3 ) dx

x2−3 x+8

−7∫ dx

x2−3 x+8

¿ 12∫ (2 x−3 ) dx

x2−3 x+8

+ 3

2∫ dx

x2−3 x+8

−7∫ dx

x2−3 x+8

¿1

2∫ d (2 x−3 )

x2−3 x+8

+( 32−7)∫ dx

x2−3 x+8

¿1

2 ln| x2−3 x+8|−11

2∫ dx

x2−3 x+8

¿1

2 ln| x2−3 x+8|−11

2∫ dx

( x−

3

2

)

2

+23

4

¿1

2 ln| x2−3 x+8|−11

2∫ dx

( x−3

2 )2

+(√ 23

4 )2





¿1

2 ln| x2−3 x+8|−

11

2

[ 1

√23

4

tan−1

( x−

3

2

√23

4 )]¿ 12 ln| x2−3 x+8|− 11

√ 23tan

−1(2 x−3

√ 23 )

f ¿∫ ( x−2 ) dx6 x

2+5 x+12

∫ ( x−2 ) dx

6 x2+5 x+12

=∫ xdx

6 x2+5 x+12

−2∫ dx

6 x2+5 x+12

¿ 112∫ (12 x+5−5 ) dx

6 x2+5 x+12

−2∫ dx

6 x2+5 x+12

¿ 112∫ (12 x+5 ) dx

6 x2+5 x+12

− 5

12∫ dx

6 x2+5 x+12

−2∫ dx

6 x2+5 x+12

¿ 1

12∫ d (6 x

2+5 x+12)6 x

2+5 x+12−( 512 +2)∫

dx

6 x2+5 x+12

¿ 1

12∫ d (6 x

2+5 x+12)6 x

2+5 x+12−

29

12∫ dx

6 x2+5 x+12

¿ ln|6 x2+5 x+12|+C 1−

29

72∫ dx

x2+

5

6 x+2

¿ ln|6 x2+5 x+12|+C 1−

29

72∫ dx

( x+ 5

12 )2

− 25

144+2





¿ ln|6 x2+5 x+12|+C 1−

29

72∫ dx

( x+

5

12 )2

+

√263

144

2

¿ ln|6 x2+5 x+12|+C 1−

29

72 [ 12√ 263tan

−1( 12 x+5

√ 263 )]+C 2

⟹∫ ( x−2 ) dx

6 x2+5 x+12

=ln|6 x2+5 x+12|−29

6 [ 1

√ 263tan

−1( 12 x+5

√ 263 )]+C;donde :C =C 1+C 2

2

3

4)

2 3 7

x

g x x

+ ÷ − +∫

( ) ( )2 2 2

:

3 14 3 4 3 3 31

4 442 3 7 2 3 7 2 3 7

solución

x x dx x dx

x x x x x x

+ + ÷ − + +

= =− + − + − +∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2

4 3 3 31

4 42 3 7 2 3 7

x dx dx

x x x x

− += +

− + − +∫ ∫

( ) ( )2

22

2 3 7 3 31

4 42 3 7 3 7

2 2

x x dx

x x

x x

− + += +

− +− +

∫ ∫

( ) ( )2

2 22

2 3 7 3 31

4 82 3 7 3 53

4 4

x x dx

x x x

− + += +

− + − + ÷ ÷

∫ ∫





( )2 1 2

4 33 31 1

4ln 2 3 74 8 53 53

4 4

x

x x c arctg c

− ÷+

÷= − + + + + ÷ ÷

2

12

ln 2 3 7 3 3 4 4 3

4 4 8 53 53

x x c xarctg c

− + + −= + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

2ln 2 3 7 3 3 4 3

4 2 53 53

x x x

arctg c

− + + −= + + ÷ ÷ ÷ ÷

h¿∫3 x+

2

5

5

6 x2+

4

5 x+

6

7

dx

Solución:

∫3 x+

2

5

5

6 x2+

4

5 x+

6

7

dx=210

210∫

3 x+2

5

5

6 x2+

4

5 x+

6

7

dx

630

∫

x

175 x2

+168 x+180dx+84

∫

dx

175 x2

+168 x+180

630

350∫ d (175 x

2+168 x+180)175 x

2+168 x+180−

105840

350 ∫ dx

175 x2+168 x+180

+¿

+84∫ dx

175 x2+168 x+180





630

350∫ d (175 x

2+168 x+180)175

x

2

+168

x+180

−76440

25 ∫ dx

175 x

2

+168

x+180

63

35∫ d (175 x

2+168 x+180 )175 x

2+168 x+180−76440

4375 ∫ dx

x2+

168

175 x+

180

175

63

35∫ d (175 x

2+168 x+180)175 x

2+168 x+180−

76440

4375∫ dx

( x−168

350 )2

+(√276

625 )2

63

35 ln|175 x

2+168 x+180|−¿

−76440

4375

[

1

2 ( 1

√276

625 ) ln|( x−

168

350 )−(√ 276

625 )( x−168

350 )+(√276

625 )|]+C

i¿∫ (3 x+

5

4 )dx

4 x2+√ 5 x−2

¿∫ (

3

8(8 x+√ 5 )+10−3√ 5

8

)dx

4 x2+√ 5 x−2

¿3

8∫

(8 x+√ 5 ) dx

4 x2+√ 5 x−2

+10−3√ 5

8 ∫ dx

4 x2+√ 5 x−2

¿3

8∫ d (4 x

2+√ 5 x−2)

4 x2+√ 5 x−2

+10−3√ 5

8 ∫

d ( x+ √ 58 )

4

(( x+

√ 58

)

2

−(

√ 378 )

2

)





¿3

8 ln∨4 x2

+√ 5 x−2∨+10−3√ 5

32 ∫

d ( x+ √ 58 )

(( x+ √ 58 )

2

−( √ 378 )

2

)

¿3

8 ln|4 x

2+√ 5 x−2|+c1+10−3√ 5

8

1

√ 37ln| x+ √ 5

8 −√ 37

8

x+ √ 58 −√ 37

8|+c

2

¿ 38 ln|4 x

2+√ 5 x−2|+ 10−3 √ 58√ 37

ln|8 x+√ 5−√ 378 x+√ 5+√ 37|+c;endondec

1+c

2=c

j ¿∫ (5 x−

7

2 )3 x

2−4

5 x−3

dx

¿1

3∫

(5 x−7

2 ) x

2− 4

15 x−1

dx=1

3∫

5

2 (2 x+ 4

15 )−2

3−

7

2

x2−

4

15 x−1

dx

¿1

3∫

5

2 (2 x+ 4

15 )−2

3−

7

2

x2−

4

15

x−1

dx=1

3∫

5

2 (2 x+ 4

15 )−2

3−

7

2

x2−

4

15

x−1

dx

¿5

6∫

2 x+ 4

15

x2− 4

15 x−1

dx−25

18∫ dx

x2− 4

15 x−1





¿5

6∫

d ( x2− 4

15 x−1)

x2−

4

15 x−1

−25

18∫ dx

( x− 4

30 )2

−(√ 91630 )2

¿5

6 ln ( x2−

4

15 x−1)+c

1−

25

18 ( 15

√ 916 ) ln( x− 4

30−√ 916

30

x− 4

30+√ 916

30)+c

2

¿5

6 ln ( x2−

4

15 x−1)−

75

6 (√ 916 )ln(

30 x−4−√ 91630 x−4+√ 916 )+c ;dondec=c

1+c

2

16

4)

73 6 9

4

x dx

K

x

− ÷

+ −∫

2

:

16

(6 ) 14

7 7 743 6 9 3 6 9 3 6 9

4 4 4

solucion

x dx x dx dx

x x x x

− ÷ = −

+ − + − + −∫ ∫ ∫

2

143 6 3 6

24 18

7 77 43 6 9 3 6 9

4 4

x dxdx

x x x

+ − ÷ = −+ − + −∫ ∫

2 2 2

143 6

24 24 1 18.3 6

7 7 77 7 4 43 6 9 3 6 9 3 6 9

4 4 4

x dxdx dx

x x x x x x

+ ÷ = − −

+ − + − + −∫ ∫ ∫





2

2 2

73 6 9

24 72 6 14

7 77 7 43 6 9 3 6 9

4 4

d xdx

x x x x

+ − ÷ = − + ÷ ÷ + − + −∫ ∫

2

1

2

24 7 288 6 7 43 6 9 .

7 4 28 7 12 6 36

7 7

dx Ln x C

x

+= + − + − ÷ ÷

+ −∫ ∫

2

1 2 2

24 7 288 6 7

3 6 97 4 49 6 6 6 13

7 7

dx

Ln x C

x

+= + − + − ÷ ÷

+ − ÷ ÷

∫ ∫

2

1

6 6 6 1324 7 288 6 7 1 7 73 6 9 .7 4 49 6 6 6 136 13

27 77

x

Ln x C Ln

x

+ − ÷ + ÷= + − + − ÷ ÷ ÷ + + ÷ ÷

∫

2

1 2

24 7 288 6 7 7 6 6 6 133 6 9

7 4 84 13 7 6 6 6 13

x Ln x C Ln C

x

+ + −= + − + − + ÷ ÷ ÷ ÷+ +

∫

224 7 288 6 7 7 6 6 6 133 6 9

7 4 84 13 7 6 6 6 13

x Ln x Ln C

x

+ + −= + − + + ÷ ÷ ÷ ÷+ +

∫

l)

∫ +−

−

11558

3

3

115

2 x x

dx x





21

2

21

2

21

2

221

2

21

2

2

1

2

2

1

2

22

2

22

222

:69445406

69445406ln

69443

8858001155

8

3ln

3

20

6

69445406

6

69445406

ln69443

8858001155

8

3ln

3

20

6

6944

6

540

6

6944

6

540

ln

6

69442

1

9

8858001155

8

3ln

3

20

6

6944

6

5409

8858001155

8

3ln

3

20

36

6944

6

5409

885800

11558

3

ln3

20

3

88

3

5409

8858001155

8

3ln

3

20

3

88

3

540

8

33

1151001155

8

3ln

3

20

11558

33

11

3

5100

11558

3

11558

3

3

20

11558

33

11

11558

3

55554

3

3

20

11558

33

11

11558

351155

8

3

3

115

C C C dondeC x

x x x

C x

x

C x x

C

x

x

C x x

x

dxC x x

x

dx

C x x

x x

dxC x x

x x

dxC x x

x x

dx

x x

x xd

x x

dx

x x

dx x

x x

dx

x x

xdx

x x

dx x

+=++−−−−

++−

++−

−−−

+++−

++−

−−

−

+++−

−

−

−+++−

−

−

−+++−

+−

−+++−

+−

−+++−

+−

−+

+−

+−

+−−

+−

+

−

+−−

+−=

+−

−

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫





n¿∫ ( x+ √ 3

2 )3

11 x

2−√ 2 x+6

dx

¿∫ ( x+ √ 3

2 )3

11

( x

2−11 √ 23

x+22

)

dx

¿11

3∫

( x+ √ 32 )

( x−11 √ 26 )

2

+(√275

18 )2 dx

¿11

3∫

( x+ √ 32 )

( x−11 √ 26 )

2

+(√27518 )

2 dx

¿11

3∫

( 2 x+√ 32 )( x−11

√ 26 )

2

+(√275

18 )2 dx

¿ 113 ∫

1

2

(2 x+√ 3 )

( x−11 √ 26 )

2

+(√275

18 )2 dx

¿11

6∫

(2 x+√ 3 )

( x−11 √ 26 )

2

+(√275

18 )2 dx





¿11

6 ∫ 2 x

( x−11 √

2

6 )2

+(√275

18 )2 d x+

11

6 ∫ √ 3

( x−11√

2

6 )2

+(√275

18 )2 dx

¿11

6∫

[(2 x−11 √ 23 )−11

√ 23 ]

( x−11 √ 26 )

2

+(√275

18 )2 dx+

11√ 36 ∫ dx

( x−11 √ 26 )

2

+(√ 275

18 )2

¿ 116 ∫ (

2 x−11 √ 2

3

)( x−11 √ 26 )

2

+(√275

18 )2 dx+11

6 ∫ (11

√ 2

3

)( x−11 √ 26 )

2

+(√ 275

18 )2 dx+ 11√ 3

6 ∫ dx

( x−11 √ 26 )

2

+(√275

18 )2

¿11

6∫

d ( x2−11√ 23

x+22)( x2−11

√ 23

x+22) +

121√ 218 ∫ dx

( x−11 √ 26 )

2

+(√275

18 )2+11√ 36 ∫ dx

( x−11√ 26 )

2

+(√275

18 )2

¿ 116 ln| x

2−11 √ 23

x+22|+c1+ 121

3√ 275tan

−1

(6√ 18 x−66

6 √ 275 )+c2+ 11√ 546√ 275

tan−1

(6 √ 18 x−66

6 √ 275 )+c3

c=c1+c

2+c

3

¿11

6 ln| x2−11

√ 23

x+22|+ tan−1(6√ 18 x−66

6√ 275 )[ 1213√ 275+11√ 546√ 275 ]+c

¿11

6

ln

| x

2−11 √ 2

3

x+22

|+ tan

−1

(6√ 18 x−66

6√ 275 )(126√ 275+33√ 14850

4950

)+c

ñ¿∫ (√ 5 x+

4

9 )√ 53

x2−

3

5 x−4

dx





¿3

2∫ (2√ 5 x

3 −

3

5+ 8

27+3

5

)√ 53

x2−

3

5 x−4

dx ¿3

2∫ (2 √ 5 x

3 −

3

5

)√ 53

x2−

3

5 x−4

dx+121

135∫ dx√ 53

x2−

3

5 x−4

¿3

2∫

d(√ 53 x2−

3

5 x−4)

√ 53

x2−

3

5 x−4

+121

135∫ dx

√ 53

x2−

3

5 x−4

¿ 32 ln

|√ 53

x2−35

x−4

|+121135∫ dx

√ 53

x2−3

5 x−4

¿3

2 ln|√ 53 x

2−3

5 x−4|+ 121

135. 3

√ 5∫ dx

x2−

9

5√ 5 x−

3

√ 5

¿3

2

ln

|√ 5

3

x2−

3

5

x−4

|+

363

135√ 5∫

dx

( x− 9

10√ 5 )2

−(√ 81√ 5+6000

500√ 5 )2

¿3

2ln|√ 53 x

2−3

5 x−4|+ 363

135√ 5.

1

2√ 81√ 5+6000

500√ 5

ln ( x− 9

10√ 5−√ 81√ 5+6000

500√ 5

x− 9

10√ 5+√ 81√ 5+6000

500√ 5)+c

o¿∫( √ 12 x−11

2

x2

√ 3−√ 7 x+2 )dx





¿∫( 2√ 3 x−11

2

x2√ 33 −√ 7 x+2 )dx

¿3∫( 2√ 3 x−3√ 7−11

2 +3√ 7

x2√ 3−3√ 7 x+6

)dx

¿3∫( 2√ 3 x−3√ 7 x

2√ 3−3√ 7 x+6 )dx+(3√ 7−11

2 )∫( dx

x2√ 3−3√ 7 x+6 )

¿3 ln ( x2√ 3−3√ 7 x+6)+(3√ 7−11

2 )∫( dx

x2√ 3−3√ 7 x+6 )

¿3 ln ( x2√ 3−3√ 7 x+6)+(3√ 7−11

2 )( 1√ 3 )∫

( dx

X 2

−3√ 7 x

√ 3 +2√ 3

)¿3 ln ( x2√ 3−3√ 7 x+6)+(3√ 7−11

2 )( 1√ 3 )∫( dx

( X −3√ 72√ 3 )

2

+(√ 21+8√ 34 )

2 )

¿3 ln ( x2√ 3−3√ 7 x+6)+(3√ 7−112 )(

1√ 3 )(

1

√ 21+8 √ 34

. tan−1

( X −

3√ 7

2√ 3

√ 21+8 √ 34 ))





3. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

2). tan3

xa x dx

÷ ∫

2 2

3

:

Sea: = tan3

1 d = ec d! " dv=

3 3

v= #3

$%licando la %ro%iedad de m&todo de inte'racion %or %arte:

dv

Solución

x

x x dx

x

µ

µ

µ

÷

÷

=∫ v vdu µ − ∫





3 32 2

32 2

2 2

2 2

1tan tan ec d!

3 3 3 3 3 31

tan ec3 3 9 3

la inte'ral: ec3

ea: = ec3

x x x x x x dx

x x x x x dx

x Hallando x x dx

x x

= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

= ÷ ÷ ÷ ÷

÷ ÷ ÷

∫ ∫

∫

∫

22 2 2

" dv=!d!

2 d= ec tan +2! ec d! " v=

3 3 3 3 2

x x x x x

÷ ÷ ÷ ÷

3 4 22 2 2 21 2

tan ec ec tan +2! ec d!3 3 9 2 3 2 3 3 3 3

x x x x x x x x x

= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ∫

3 42 4 2 21 1 1

tan ec + ec tan d!+ ! ec3 3 9 2 3 27 3 3 9 3

x x x x x x x x dx

= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

∫ ∫

*allando la inte'ral:

4 2ec tan d! =3 3

x x x

÷ ÷ ∫

4 2ea:= dv=ec tan3 3

x x x dx

÷ ÷

3 23d=4 d! v= tan

2 3

x x

÷

3 42 4 2 2 3 2

3 42 4 2

eem%la,ando e tiene:

1 1 2 1tan ec + tan tan d!+ ! ec

3 3 9 2 3 18 3 9 3 9 3

1 1tan ec + tan ta

3 3 9 2 3 18 3 3

x x x x x x x x x dx

x x x x x x x

= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

= + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

∫ ∫

2 3

1

2n ec +- tan d!

3 3 9 3

x x x Ln x

− ÷ ÷ ÷ ∫





2 3

3 2

2

allando la inte'ral:

tan d!3

olcion:

ea: =! " dv=tan d!3

d=3! d! v=3tan3

x x

x

x x

÷

÷

− ÷

∫

( )

( )

3 2

3 2 3

43 2

2

! 3tan 3tan 3! d!3 3

= ! 3tan 9 tan 3 !3 3

3!= ! 3tan 9 tan +- .

3 3 4

x x

x x

x x x x dx dx

x x x x dx

− − ÷ ÷ ÷ ÷

− − + ÷ ÷ ÷ − − + ÷ ÷ ÷

∫ ∫ ∫

∫

3 42 4 2

43 2

1 2


1 1

tan ec + tan tan ec3 3 9 2 3 18 3 3 3 3

2 3!+- ! 3tan 9 tan +-

9 3 3 4

x x x x x x x x

x Ln

x x x x dx

= + − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

− − + ÷ ÷ ÷ ∫

3 42 2 4 2

1

43

2

3 42

1 13 tan = tan ec + tan tan ec +-

3 3 3 9 2 3 18 3 3 3 3

2 2! ! 3tan +- .

9 3 12

1= tan ec

3 9 27 2 3

x x x x x x x x x x dx x Ln

x x

x x x x

+ − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

− − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

∫

4 2

1

43

2

1 1+ tan tan ec +-

54 3 9 3 3 3

2 ! ! 3tan +- .

27 3 18

x x x x x Ln

x x

+ −÷ ÷ ÷ ÷

− − ÷ ÷

3 42 2 4 2

43

1 2

1 1 1 tan tan ec + tan tan ec +

3 3 9 27 2 3 54 3 9 3 3 3

2 ! ! 3tan +-. " donde - +- .

27 3 18

x x x x x x x x x x dx x Ln

x x C

= + − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

− − = ÷ ÷

∫





2) co ( ) ( )4 3

x xb sen dx∫

1 co1 1 12

( ) co( ) ( ) ( ) co( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3

x

x x x x x x x sen dx sen sen dx sen dx sen dx

+ ÷ ÷ ÷ = + = + ÷ ÷ ÷

∫ ∫ ∫ ∫

3 1 5( ) ( ) ( ) ( )

2 3 3 4 6 6

:

x x x x sen d sen sen dx

sea

+ − ÷ ∫ ∫

1

1

( ) ( ) co( )3 3 3

3co( ) co( )0

2 3 3

u

x x xdv sen d v

x x I

=

= ⇒ = −

= − + ÷ ∫

1

1

3co( )

2 3

1 5 1( ) ( )

4 6 4 6

x I

x x I sen dx sen dx

= −

= + −∫ ∫

2

:

1 5( )

4 6

1 0

sea

x I sen dx

u du

=

= ⇒ =

∫

2

5 6 5 5 6 5( ) ( ) ( ) co( )

6 5 6 6 5 6

1 6 5 6 5 3 51( co( )) co( )0 co( )

4 5 6 5 6 10 6

x x x xdv sen dx dv sen d v

x x x I

= ⇒ = ⇒ = −

− = − + = ÷ ∫

3

1= ( )

4 6

:

1 0

x I sen dx

sea

u du= ⇒ =

∫

3

( ) 6 ( ) ( ) 6co( )6 6 6 6

1 3

6co( )1 6 co( )0 co( )4 6 6 2 6

x x x xdv sen dx dv sen d v

x x x

I

= = = ⇒ = −

= − + = − ÷ ∫





2

:

3 3 5 3co ( ) ( ) co( ) co( ) co( )4 3 2 3 10 6 2 6

volviendo

x x x x x sen dx c= − − − +∫

c ¿∫sin2( 3 x

2 )cos(5 x

3 )dx

u=sin2(3 x

2 )

du=3sin( 3 x2 )cos(5 x

3 )dx

dv=cos(5 x

3 )dx

v=3

5

sin

(5 x

8

)¿ sin2( 3 x

2 )(35 )sin (5 x

3 )−∫ 3

5 sin ( 5 x3 )3(sin(3 x2 ))cos( 3 x

2 )

¿sin2( 3 x

2 )(3

5 )sin (5 x

3 )−1

2∫ 9

5 sin ( 5 x3 )2(sin (3 x

2 ))cos(3 x

2 )

¿sin2

(3 x2 )(

3

5 )sin (5 x3 )−

9

10∫ sin(

5 x3 ) (sin (3 x ) )

¿sin2( 3 x

2 )(3

5 )sin (5 x

3 )− 2

20∫ 2sin (5 x

3 )(sin (3 x) )

¿sin2( 3 x

2 )(3

5 )sin (5 x

3 )− 9

20∫ cos( 14 x

3 )−cos(14 x

5 )





¿sin2( 3 x

2 )(3

5 )sin (5 x

3 )− 9

20∫ 3

14 cos (14 x

3 )−3

4 sin (4 x

3 )

d ¿∫ ( tan ( x ) )3 sec( 3 x

4 )dx

∫ ( tan ( x ) )3 sec (3 x

4 )dx=∫( sin ( x )cos ( x ) )

3

sec(3 x

4 )dx

¿∫ sec(3 x

4 )( sin ( x )cos ( x ) )

3

dx

¿∫ 1

cos(3 x

4 )( sin ( x )cos ( x ) )

3

dx

¿∫ (sin

( x ) )

3

dx

(cos ( x ))3 cos ( 3 x4 )

e¿∫ [ln( 3 x5 )]4

sin (2 x ) dx

Seau=3 x5

⇒∫ [ln( 3 x5 )]4

sin (2 x ) dx=∫ 5[sin( 10u

3 )] ( ln (u ) )4 du

Sea v=10u

3





⇒∫5

[sin

(10

u3 )] (

ln (u ) )4

du=5

3∫ 3sin ( v ) (ln(3v

10 ))10

4

dv

¿1

2∫ sin (v )[ln( 103 )+ ln ( v )]

4

dv

¿1

2∫ sin (v )[ln( 103 v)]

4

dv

¿1

2∫ sin (v )[ln( 103 + ln (v ))]

4

dv

¿1

2∫ sin (v ) [ ln (3 )−ln (10 )+ ln ( v ) ]4dv

¿1

2∫ sin (v ) [ ln (3 )−ln (10 )+ ln ( v ) ]4dv

n!onces "or !eoremabinomial !enemoslo siguien!e

¿1

2∫ sin (v ) [ ln (v )−ln (10 ) ]4+4 ln (v )−[ ln (10 ) ]3 ln (3 )+6 ( ln ( v )−ln (10 ) )2 c+¿+4 [ ln (v )−ln (10) ] ( ln3 )3+( ln

f ¿ # =∫ x5e4 x

dx

$"licandoel m%!odo "or "ar!es!enemos.

sea:u= x5⇒ du=5 x

4dx





& dv=e4 x

dx⇒v=e4 x

4

⇒ # = x5e4 x−∫ e

4 x

4 5 x

4dx

# = x5e4 x−

5

4∫ e

4 x x

4dx

si : # 1=∫ e

4 x x

4dx

sea:u= x4⇒du=4 x

3dx

& dv=e4 x

dx⇒v=e4 x

4

# 1= x

4 e4 x

4 −∫ e

4 x

4 4 x

3dx

# 1= x

4 e4 x

4 −∫ e

4 x x

3dx

si;# 2=∫ e

4 x x

3dx

sea ;u= x3⇒ du=3 x

2dx

dv=e4

x dx⇒ v= e

4 x

4

# 2= x

3 e4 x

4 −∫ e

4 x

4 3 x

2dx

# 2= x

3 e4 x

4 −

3

4∫ e

4 x x

2dx





si : # 3=∫e

4 x x

2dx

sea:u= x2⇒du=2 xdx

& dv=e4 x

dx⇒v=e4 x

4

⇒ # 3=

e4 x

4 x

2−∫ e4 x

4 2 xdx

# 3=

e4 x

4 x

2−1

2∫ e

4 x xdx

si : # 4=

1

2∫e

4 x xdx

sea:u= x⇒du=dx & dv=e4 x

dx⇒ v=e4 x

4

e4 x

4 dx

x e

4 x

4 −∫¿

⇒ # 4=

1

2¿

# 4=

1

2( x

e4 x

4 −

1

16∫e

4 xd 4 x )

# 4=

1

2( x

e4 x

4 −

e4 x

16)+c

volviendo en:

# 3=

e4 x

4 x

2−1

2 ( x e4 x

4 −

e4 x

16 )+c





en :

# 2=

x3e4 x

4 −

3e4 x

x2

16 +

3 xe4 x

32 −

3e4 x

64 +c

en :

# 1=

x4e4 x

4 −

x3e4 x

4 −

3e4 x

x2

16 +

3 xe4 x

32 −

3e4 x

64 +c

# = x5e4 x−

5

4 ( x4e4 x

4 −

x3e4 x

4 −

3e4 x

x2

16 +

3 xe4 x

32 −

3e4 x

64 )+c

⇒∫ x5e4 x

dx= x5e4 x−

5 x4e4 x

16 +

5 x3e4 x

16 +

15e4 x

x2

64 −

15 xe4 x

128 +

15e4 x

256 +c

g¿∫ x3sin (e4 x)dx

Solución:

Haciendo: n= e4 x⟹dn=4e

4 x

ln (n )=4

⟹ ∫ x3sin (e4 x ) dx=∫ x

3sin (n )

e4 x

dn =1

256∫ ln (n )3 sin (n )

n dn

Si: u= ln (n)3 sin (n ) ⟹ du=ln ( n )2

n [n ln (n ) cos (n )+3sin (n ) ] dn

dv=dn

n⟹ v=ln (n )





⟹1

256∫ ln (n )3 sin (n )

n dn=

1

256 [ ln (n )4 sin ( n )−∫ ln (n )3 (n ln (n )cos ( n )+3sin (n ) )dn ]

∫ ln (n )3 sin (n )n

dn = ln (n )4 sin (n )−∫ ln (n )4cos (n ) dn−3∫ ln (n )3 sin (n )n

dn

4∫ ln (n )3 sin (n )n

dn = ln (n )4 sin (n )−∫ ln (n )4 cos (n ) dn

⟹ ∫ x3

sin (e4 x

) dx=

ln (e4 x)4 sin (e4 x )−4∫ ln ( e4 x )4cos (e4 x ) e4 xdx

256

Continuara

i¿∫√ x7'

3 xdx

n!oncesin!egrando∫√ x7'

3 xdx

Seau= x7

2∧dv='

3 xdx

du=7

2 x

5

2 dx∫ dv=∫'3 x

dx

du=7

2 √ x5

d xv='3 x

⟹ $"liando laformula siguien!e !enemoslo siguien!e :

∫ vdv=uv−∫ vdu

⟹∫ √ x7'

3 xdx='

3 x x

7

2−7

2∫'

3 x x

5

2 dx





n!once s in!egrando 7

2∫'

3 x x

5

2 dx

Seau= x5

2∧dv='

3 xdx

du=5

2 x

3

2 dx∫ dv=∫'3 x

dx

du=5

2 √ x3

dx v='3 x

(enemos lo siguien!e

⟹∫ √ x7'

3 xdx='

3 x x

7

2−7

2'

3 x x

5

2+35

4 ∫ x

3

2 '3 x

dx

n!oncesin!egrando 35

4∫ x

3

2 '3 x

dx

Seau= x3

2∧dv='3 x

d x

du=3

2 x

1

2 dx∫ dv=∫'3 x

dx

du=3

2 √ x dx v='

3 x

(enemoslo siguien!e

⟹∫ √ x7'

3 xdx='

3 x x

7

2−7

2'

3 x x

5

2+35

4∫ x

3

2 '3 x

dx

⟹∫ √ x7'

3 xdx='

3 x x

7

2−7

2'

3 x x

5

2+35

4 '

3 x x

3

2−105

8 ∫'

3 x x

1

2 dx






4 ∫ x

3

2 '3 x

dx

Seau= x1

2∧dv='

3 xdx

du= dx

2√ x∫dv=∫'

3 xdx

du= dx

2√ xv='

3 x

(enemoslo siguien!e

⟹∫ √ x7'

3 xdx='

3 x x

7

2−7

2'

3 x x

5

2+35

4 '

3 x x

3

2−105

8 ∫'

3 x x

1

2 dx

∫√ x7'

3 xdx='

3 x x

7

2−7

2'

3 x x

5

2+35

4 '

3 x x

3

2−105

16 x

1

2 '3 x+

105

16∫'

3 x dx

√ x


4 ∫ x

3

2 '3 x

dx

Seau='3 x∧dv=

dx

√ x

du='3 x

dx∫dv=∫ dx

√ x

du='3 x

dxv=2√ x

(enemoslo siguien!e

∫√ x7'

3 xdx='

3 x x

7

2−7

2'

3 x x

5

2+35

4 '

3 x x

3

2−105

16 x

1

2 '3 x+

105

8 '

3 x√ x−105

8 ∫ √ x '

3 xdx





∫√ x7'

3 xdx='

3 x x

7

2−7

2'

3 x x

5

2+35

4 '

3 x x

3

2−105

16 x

1

2 '3 x+

105

8 '

3 x√ x−945

32 '

3 x x

3

2

j ¿∫ x5sinh ( x'

2 x)dx

n!oncesin!egrando∫ x5sinh ( x '

2 x ) dx

Seau= x5∧dv=sinh ( x '

2 x)dx

du=5 x4dx∫dv=∫sinh ( x '

2 x )dx

du=5 x4dxv=cosh ( x '

2 x )+c

⟹ $"liando laformula siguien!e !enemoslo siguien!e :

∫ vdv=uv−∫ vdu

⟹∫ x5sinh ( x'

2 x ) dx= x5cosh ( x '

2 x )+ x5C −5∫ (cosh ( x'

2 x )+C ) x4dx

¿ x5cosh ( x'

2 x )+ x5C −5∫ x

4cosh ( x'

2 x ) dx−5C ∫ x4dx

¿ x5cosh ( x'

2 x )+ x5C −5∫ x

4cosh ( x'

2 x ) dx−5 x

5

5 C

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5∫ x4cosh ( x'

2 x )dx

n!oncesin!egrando∫ x4cosh ( x'

2 x )dx

Seau= x4∧dv=cosh ( x '

2 x )dx

du=4 x3dx∫ dv=∫ cosh ( x '

2 x ) dx





du=4 x3dx v=sinh ( x '

2 x )+C 1

(enemoslo siguien!e

⟹∫ x5sinh ( x'


2 x )−5∫ x4cosh ( x '

2 x ) dx

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 [ x4sinh ( x'

2 x )+ x4C 1−4∫ (sinh ( x '

2 x )+C 1 ) x3dx ]

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )−5 x4C 1+20∫ x

3sinh ( x'

2 x ) dx+20C 1∫ x3dx

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )+20∫ x3sinh ( x'

2 x ) dx

⟹∫ x5sinh ( x'


2 x )−5 x4sinh ( x'

2 x )+20∫ x3sinh ( x '

2 x )dx

n!oncesin!egrando∫ x3sinh ( x '

2 x ) dx

Seau= x

3

∧dv=sinh ( x '

2 x

)dx

du=3 x2dx∫ dv=∫ sinh ( x'

2 x ) dx

du=3 x2dx v=cosh ( x'

2 x)+C 2

(enemoslo siguien!e

⟹∫ x5

sinh ( x'2 x

) dx= x5

cosh ( x '2 x

)−5 x4

sinh ( x'2 x

)+20∫ x3

sinh ( x '2 x

)dx

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )+20[ x3cosh ( x'

2 x)+ x3C 2−3∫ (cosh ( x '

2 x)+C 2 ) x2dx ]

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )+20 x3cosh ( x'

2 x )+20 x3C 2−60∫ x

2cosh ( x '

2 x ) dx−60C 2∫ x2dx

⟹∫ x5sinh ( x'

2 x ) dx





¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )+20 x3cosh ( x'

2 x )+20 x3C 2−¿

−60∫ x2cosh ( x '

2 x) dx−60C 2∫ x2dx

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )+20 x3cosh ( x'

2 x )−60∫ x2cosh ( x '

2 x )dx

n!oncesin!egrando∫ x2cosh ( x '

2 x)dx

Seau= x2∧dv=cosh ( x'

2 x )dx

du=2 xdx∫d v=∫cosh ( x'2 x) dx

du=2 xdx v=sinh ( x'2 x )+C 3

⟹∫ x5sinh ( x'

2 x ) dx

¿ x5cosh

( x'

2 x

)−5 x

4sinh

( x '

2 x

)+20

x

3cosh

( x'

2 x

)−¿

−60 [ x2sinh ( x'

2 x )+ x2C 3−2∫ (sinh ( x '

2 x )+C 3) xdx ]

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )+20 x3cosh ( x'

2 x )−60 x2sinh ( x'

2 x )−¿

−60 x2C 3+120∫ x sinh ( x'

2 x) dx+120C 3∫ xdx

⟹∫ x5sinh ( x'

2 x ) dx

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )+20 x3cosh ( x'

2 x )−¿

−60 x2sinh ( x'

2 x )+120∫ xsinh ( x '2 x) dx

Seau= x∧dv=sinh ( x '2 x) dx





du=dx∫ dv=∫ sinh ( x'2 x ) dx

du=dx v=cosh ( x '2 x)+C 4

(enemoslo siguien!e

⟹∫ x5sinh ( x'

2 x ) dx

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )+20 x3cosh ( x'

2 x )−60 x2sinh ( x'

2 x )+¿

+120 [ x cosh ( x '2 x)+ xC 4−∫ (cosh ( x '

2 x )+C 4 )dx ]

¿ x5cosh ( x'

2 x )−5 x4sinh ( x '

2 x )+20 x3cosh ( x'

2 x )−60 x2sinh ( x'

2 x )

+120 xcosh ( x'2 x )+120 xC 4−120∫cosh ( x '

2 x)dx−120C 4∫dx

¿ x

5cosh ( x'

2 x )−5 x

4sinh ( x '

2 x )

+20 x3cosh ( x'

2 x )−60 x2sinh ( x'

2 x )+120 xcosh ( x '2 x)−¿

−120sinh ( x '2 x )+C 5

⟹∫ x5sinh ( x'

2 x ) dx

¿ x5

cosh ( x'2 x

)−5 x4

sinh ( x '2 x

)+¿

+20 x3cosh ( x'

2 x )−60 x2sinh ( x'

2 x )+120 xcosh ( x '2 x)−120sinh ( x'

2 x )+C 5

⟹∫ x5sinh ( x'

2 x ) dx

¿cosh ( x '2 x ) ( x5+20 x

3+120 x )−sinh ( x'2 x) (5 x

4+60 x2+120)+C 5

⟹∫ x5sinh ( x'

2 x ) dx





¿ xcosh ( x'2 x ) ( x2−3 x+20) ( x2+3 x+6)−¿

−5sinh ( x '2 x ) ( x2− x+12) ( x2+ x+2)+C 5

( )5 3 5) ln ( 3 )m sen x dx∫

( ) ( ) ( )4 3 5 3 5 3 3 51 4ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )

5 5

sen x x sen x dx− + ∫

( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 2 3 5 3 5 3 51 2ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )

3 3

ahora

sen x dx sen x x sen x dx= − +∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 51 4 1 2ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )

5 5 3 3 sen x x sen x x sen x dx

− + − + ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 51 4 8ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )5 15 15

sen x x sen x x sen x dx− − + ∫

por parte a la :espresion ( )3 5ln ( 3 ) sen x dx∫

( ) ( )4

3 5 3 5 2 5

5 5

1 15ln ( 3 ) co ln ( 3 ) 3ln ( 3 )

( 3 ) 2 3

xu sen x du x x dx

x x= ⇒ =

( )3 5 2 5co ln ( 3 ) ln ( 3 )15

6

x xdx

x dv dx v x= ⇒ =

( ) ( ) ( )3 5 2 5

3 5 3 5co ln ( 3 ) ln ( 3 )8 8 8 15

ln ( 3 ) ln ( 3 )15 15 15 6

x x I sen x dx sen x x x dx

x= = −∫ ∫

( ) ( )3 5 3 5 2 58 4

ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )15 3 sen x x x x− ∫





( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 4 3 5 3 5 2 3 5 3 51 4ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 ) co ln ( 3 )

5 15 sen x dx sen x x sen x x= − − +∫

( ) ( )3 5 3 5 2 58 4ln ( 3 ) co ln ( 3 ) ln ( 3 )

15 3 sen x x x x− ∫

n) ∫ senh4 [ ln5(4 x

2)]dx

1

2∫ xsenh4 [2 ln (2 x ) ]5

d [2 ln (2 x ) ]

sea: a=2 ln (2 x ) ⇒ x=e

a

2

2

¿ 1

4∫ senh

4(a5)ea

2 d a

¿ 1

4∫ senh

2(a5)[ cosh (2a5 )−1

2 ]ea

2 d a

¿1

8∫ senh

2(a5)cosh (2a5 ) e

a

2 da−1

8∫ senh

2(a5)ea

2 d a

$=1

8∫senh

2 (a5 ) ea

2 d a= 1

16 [∫cosh (2a

5 ) ea

2 d a−

∫e

a

2 d a

]

D=∫ea

2 d a=2ea

2 +c

=∫ cosh (2a5 ) e

a

2 d a

u=cosh (2a5 ) dv=e

a

2 da





du=senh (2a5 ) d(2a

5) v=2ea

2

=∫ cosh (2a5 ) e

a

2 d a=2ea

2cosh (2a

5 ) -2 ∫ senh (2a5 )e

a

2 d (2a5)

u=ea

2 dv=∫ senh (2a5 )d (2a

5)

du=1

2 e

a

2 da v=cosh (2a5 )

=2ea

2cosh (2a5 )−2[e

a

2cosh (2a5 )−1

2∫ cosh (2a5 )e

a

2 d a]=∫ cosh (2a5 ) ea

2 da

=∫ cosh (2a5 ) e

a

2 d a=∫cosh (2a5 ) e

a

2 d a ⇒ = #n!egralCircular

Reemplazando D y E en A:

∴∫ senh4

[ ln5 (4 x2 ) ] dx=∫ senh4

[ ln5 (4 x2 ) ] dx+

2e

a

2

16 +c

no se "uedein!e grar "or es!e m%!odo

ñ) ∫cosh6 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ] dx

¿∫ cosh4 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ]cosh

2 [ln2 (sen (3 x ) ) ] dx

2ln2 ( sen (3 x ) )¿

cosh4 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ]cosh ¿

¿1

2∫ cosh

4 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ] dx+1

2∫¿





2 ln2 ( sen (3 x ) )¿

2 ln2 ( sen (3 x ) )¿

cos h4 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ]cosh ¿

cosh2 [ln2 (sen (3 x ) ) ] cosh ¿

¿1

4∫ cosh

2 [ln2 (sen (3 x ) ) ] dx+1

4∫ ¿

2 ln2 (sen (3 x ) )

¿

2 ln

2

(sen (3 x ) )¿2 ln

2 (sen (3 x ) )¿

cosh4 [ln2 (sen (3 x ) ) ] cosh ¿

cos h2 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ] cosh ¿

1

4∫¿

cosh ¿

¿ 1

8

∫dx+1

8

∫¿

2 ln2 ( sen (3 x ) )¿

cosh ¿

sea $ : 1

8∫ ¿

u=cosh [2 ln2 ( sen (3 x )) ] dv=dx

du=senh [2 ln2 ( sen (3 x ) ) ]d [2 ln2 (sen (3 x ) ) ] v= x

2 ln2 ( sen (3 x ) )d [2 ln2 ( sen (3 x ) ) ]

xsenh ¿¿ x cosh [2 ln2 (sen (3 x ) ) ]−∫ ¿

u= x

2ln2 ( sen (3 x ) )d [2 ln2 ( sen (3 x ) ) ]

dv=senh ¿





du=dx 2 ln

2 ( sen (3 x ) )v=cos h ¿

¿ xcosh [2 ln2 ( sen (3 x ) ) ]−¿

2 ln2 (sen (3 x ) )¿

cosh ¿

2 ln2 ( sen (3 x ) )+∫ ¿

x cosh ¿

Reemplazando en A:

2 ln2 ( sen (3 x ) )¿

cosh ¿

$ : 1

8∫ ¿

2 ln2 ( sen (3 x ) )¿

cosh ¿

2 ln2 (sen (3 x ) )+

∫¿

xcosh [2 ln2 (sen (3 x ) ) ]− x cosh ¿

¿1

8¿

2 ln2 ( sen (3 x ) )¿

2 ln2 ( sen (3 x ) )¿

cosh ¿

cosh ¿ $=

1

8∫ ¿

∴∫cosh6 [ ln2 ( sen (3 x) ) ]dx=∫ cosh

6 [ ln2 ( sen (3 x ) ) ] dx= *ain!egrales Circular

o¿∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ] dx





∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ]dx=tan

2 [2√ 3 x ln ( x) ] tan [2√ 3 x ln ( x)] dx

∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ]dx=sec

2 [2√ 3 x ln ( x )−1 ] tan [2√ 3 x ln ( x )] dx

∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ]dx=sec

2 [2√ 3 x ln ( x ) ] tan [2√ 3 x ln ( x )]dx−∫ tan [2√ 3 x ln ( x )]dx

∫ tan3 [ ln ( x2√ 3 x ) ]dx=

sec2 [2√ 3 x ln ( x ) ] tan [2√ 3 x ln ( x)] dx [2√ 3 x ln ( x)]

2(√ 3 x

x +

ln ( x )

2√ 3 x )

a"licandoin!egrales "or "ar!es!enemos:

sea:u= 1

2(√ 3 x

x +

ln ( x )

2√ 3 x ) en!onces: du=

1

2 ( −5

2√ 3 x+−6 ln ( x)

2√ 3 x

(√ 3 x x +

ln ( x)

2√ 3 x )2 )

du=√ 3 x (24− ln ( x )) x (6+ln ( x))

2

dv=tan [2√ 3 x ln ( x )]dx!an [2√ 3 x ln ( x) ]3

v=tan

2 [2√ 3 x ln ( x)]2

x¿

6+ ln (¿2√ 3 x¿)=1

2∫

tan2 [2√ 3 x ln ( x ) ] √ 3 x (24−ln ( x) )

6+ ln ( x ) dx

4 ¿

¿ tan

2 [2√ 3 x ln ( x ) ]¿

caso ##





sea: # .=tan2 [2√ 3 x ln ( x ) ] dx

# .=∫tan

2 [2√ 3 x ln ( x ) ]dxd [2√ 3 x ln ( x ) ]2+2ln ( x )

2√ 3 x

dx

a"licandoel me!ododein!egracion "or "er!es

x¿

¿2

√ 3 x2+2 ln ¿

¿

sea:u=1

¿

du=tan [2√ 3 x ln ( x )] dx!an [2√ 3 x ln ( x )]3

v=−lncos [2√ 3 x ln ( x )]

¿−lncos [2√ 3 x ln ( x ) ] .2√ 3 x

2+2 ln ( x) +∫

lncos [2√ 3 x ln ( x ) ] . ln ( x )(24−ln ( x ))

x (6+ ln ( x ))2

;con!inua+ ..

"¿∫cot4 [ln ( x5)] dx

¿∫ cot4 [5 ln ( x)] dx

haciendouna sus!i!ucióna5 ln ( x)=! , !enemos .

¿∫cot

4 [! ] e!

5 d!

5

¿1

5∫ cot

4 [ ! ] e!

5 d! ; !eniendoencuen!a -ue# =∫ cot4 [ ! ] e

!

5 d! a"licamosla in!egral "or "ar!es :





sea

{u=cot

4 [ ! ]⇒du=4cot3 [! ] csc

2(! )d!

dv=e

!

5 d! ⇒v=5e

!

5

⇒ # =cot4 [! ]5e

!

5−∫5e!

5(4cot 3 [ ! ] csc2(! ))d!

sea: # 1=20∫e

!

5cot

3 [ ! ] csc2 ( ! )d! ; !ambiense ex"resade la siguen!e forma:

# 1=20

∫ e

!

5cot

[! ]cot

2

[! ] csc

2

( ! )d!

# 1=20∫ e

!

5cot [! ](csc

2 (! )−1)csc2 (! ) d!

# 1=20∫ e

!

5cot [! ] csc

4 ( ! ) d! −20∫e!

5cot [ ! ] csc

2 (! )d!

hallandolos valoresde losin!egralesencadacaso :

sea: # 2=20∫e

!

5cot [! ] csc

4 ( ! ) d!

⇒ # 2=20∫ e

!

5cos ( ! ) sen

−5(! )d!

a"licandoin!egrales "or "ar!es:

sea: { u

1=e

!

5⇒ du1=5

−1e

!

5 d!

d v1=cos ( ! ) sen−5 (! ) d! ⇒ v1=

sen−4(! )

−4

⇒ # 2=20((e

!

5 )( sen−4 ( ! )−4 )−∫( sen

−4 ( ! )−4 )5−1

e!

5 d! )





# 2=20(−e

!

5 sen−4 (! )

4

+ 1

20∫sen

−4 ( ! ) e!

5d! )

sea: # a=∫ sen−4 ( ! ) e

!

5 d!

# a=∫csc4 (! )e

!

5 d!

# a=

∫csc

2(! )csc2(! )e

!

5 d!

(! )+1cot

2¿¿¿

# a=∫¿

# a=∫csc2(! )cot2 (! ) e

!

5 d! +∫csc2(! )e

!

5 d!

(! )+1cot

2¿¿¿

# a=∫¿

# a=∫cot2 (! ) cot2 ( ! ) e

!

5 d! +∫cot2 ( ! ) e

!

5 d! +∫csc2(! )e

!

5 d!

cot2 ( ! ) e

!

5 d! +¿∫ cs c2(! )e

!

5 d!

sea: # b=∫¿

(csc2 ( ! )−1)e

!

5d! +¿∫ csc2(! )e

!

5 d!

# b=∫ ¿





csc2 ( ! ) e

!

5d! −∫e

!

5 dx+¿∫ csc2( ! )e

!

5 d!

# b=∫ ¿

# b=2∫ csc2 ( ! ) e

!

5 d! −∫e

!

5 dx

se a : # c=∫ csc2 (! ) e

!

5 d!

hallando "or "ar!es :

sea: {u=csc2 (! )⇒du=−2csc (! )csc ( ! )cot (! )d!

dv=e

!

5 d! ⇒ v=5 e

!

5

# c=csc2 ( ! )5e

!

5−∫5e!

5 (−2csc (! )csc (! )cot (! ))d!

# c=csc

2

( ! )5

e

!

5

+10

∫ e

!

5

csc

2

( ! )cot

(! )d!

sea: # d=∫e!

5 csc2 (! )cot ( ! )d!

con!inuar

-¿∫tanh

4

(ln

( x3

))dx

¿∫ tanh4 (3 ln ( x))dx

haciendouna sus!i!ucióna ;3 ln ( x )=! !enemos:

¿∫tanh

4 (! )e

!

3 d

3 !





# =1

3∫ tanh

4 (! )e

!

3 d!

sea {u=tanh4 (! )⇒du=4 tanh

3 ( ! ) sech2(! )d!

dv=e

!

3 d! ⇒ v=3 e

!

3

# =e!

3tanh

4 (! )−1

3∫ 3e

!

3 (4 tanh3 ( ! ) sech

2(! ))d!

sea;# 1=4∫e

!

3tanh

3 (! ) sech2 (! ) d! ;!ambien seex"resade la siguien!eforma

# 1=4∫ e

!

3tanh ( ! ) tanh2 ( ! ) sech

2 ( ! ) d!

# 1=4∫ e

!

3tanh ( ! )(1−sech

2(! ))sech2 ( ! ) d!

# 1=4∫ e

!

3

tanh ( ! ) sech4

( ! ) d! −4∫ e

!

3

tanh ( ! ) sech2

(! )d!

22). ln tan

4

xr dx

÷

∫

2 22

22

2

ln tan tan

4 4ln tan4 1

ec2 4

x xd

x dx x

x

÷ ÷

= ÷ ÷

∫ ∫

2 2 2 22 2 21 1 2

: ec ec 2ec tan2 4 2 4 4 4 4

x x x x x sea u x du x dx

= ⇒ = + ÷ ÷ ÷ ÷





2 22 21

ec 1 tan

2 4 4

x xdu x dx

= + ÷ ÷ ÷

22

22

ec4

1 tan2 4

x

xdu x dx

÷ = + ÷ ÷

2 22ln tan tan

4 4

x xdv d

= ÷ ÷

2 2 2 2 22tan ln tan 2 tan ln tan 2 tan

4 4 4 4 4

x x x x xv

⇒ = − + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

e :emplazando

2 2 2 2 2 22 21

ec tan ln tan 2 tan ln tan tan2 4 4 4 4 4 4

x x x x x x x

− +

÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

22

2 2 2 2 2 22 2

ec4

tan ln tan 2 tan ln tan 2 tan 1 tan4 4 4 4 4 2 4

x

x x x x x x x dx

÷ − − + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

∫

s ¿∫ tan4⌊ ln ( 4√ x3 ) ⌋ dx

¿∫ tan4⌊3

4 ln ( x ) ⌋ dx

¿∫( x ) tan4

⌊3

4 ln ( x ) ⌋

x dx

¿∫ ( x ) tan4

⌊3

4 ln ( x ) ⌋ d ( ln ( x ))in!egrando "or "ar!es :





u= x →du=dx;dv= tan4⌊3

4 ln ( x) ⌋ d (ln ( x ))

v=∫ tan4⌊ 3

4 ( ! ) ⌋ d (! ) ; ! = ln ( x) v=∫(1+sec

2( 34 ( ! )))2

d!

1+2sec2( 34 ( ! ))+sec

4

(¿(34 (! )))d!

¿∫¿

¿∫d! +2∫ sec2(34 ( ! ))d! +∫ sec

4( 34 ( ! ))d! =! +2(43 ) tan( 34 ( ! ))

+∫ sec2(34 ( ! )) sec

2( 34 ( ! ))d!

¿ ! +8

3 tan

(3

4 ( ! ))+∫ ⌊1+ tan

2

( 3

4 ( ! )) ⌋ sec2

( 3

4 (! ))d!

¿ ! + 8

3 tan ( 34 ( ! ))+∫ sec

2(34 ( ! ))d! +∫ tan2( 34 ( ! ))sec

2( 34 ( ! ))d!

¿ ! +8

3 tan ( 34 ( ! ))+ 4

3 tan( 34 ( ! ))+ 4

3∫ tan

2( 34 ( ! ))d(tan( 34 ( ! )))

¿ ! +4 tan(34 ( ! ))+ 4

9 tan

3((34 ( ! )))+c

∫ tan4⌊ ln ( 4√ x3 ) ⌋= x ⌈⌉

3) co*(2 ) xt e x dx∫





3

(ea:

/ co*(2 )

x

e u dv x dx= =

3

3 3 3 3 3

13 ( co*(2 ) (2 )

2

1 1 1 3co*(2 ) (2 ) (2 )3 (2 ) (2 )

2 2 2 2

x

x x x x x

e dx du dv x dx v senh x

e x dx e senh x senh x e dx e senh x senh x e dx

= = = =

= − = −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

3

:

(2 ) x

luego

senh x e dx

∫ 3

3

(2 )

1 3 (2 ) co*(2 )

2

x

x

u e dv senh x dx

du e dx dv senh x dx v x

= =

= = = =∫ ∫

3 3 3 3 31 1 1 3(2 ) co*(2 ) co*(2 )3 co*(2 ) co*(2 )

2 2 2 2

x x x x x senh x e dx e x x e dx e x x e dx= − = −∫ ∫ ∫

3 3 3

3 3 3 3

1 3 co*(2 ) (2 ) (2 )

2 2

1 3 1 3co*(2 ) (2 ) co*(2 ) co*(2 )

2 2 2 2

x x x

x x x x

e x dx e senh x senh x e dx

e x dx e senh x e x x e dx

= −

= − −

∫ ∫

∫ ∫

3 3 3 3

3 3 3 3

1 3 9co*(2 ) (2 ) co*(2 ) co*(2 )

2 4 4

9 1 3co*(2 ) co*(2 ) (2 ) co*(2 )

4 2 4

x x x x

x x x x

e x dx e senh x e x x e dx

e x dx x e dx e senh x e x

= − +

− = −

∫ ∫

∫ ∫

3 3 3

3 3 3 33

3 33

5 co*(2 ) 4 (2 ) 6 co*(2 )

4 8

4 (2 ) 6 co*(2 ) 6 co*(2 ) 4 (2 )co*(2 )

10 10

3 co*(2 ) 2 (2 )co*(2 )

5 5

x x x

x x x x x

x x x

e x dx e senh x e x

e senh x e x e x e senh xe x dx

e x e senh xe x dx

− −=

− −= =

−

= −

∫

∫

∫





u¿∫ x4ln ( x3)dx

/=ln ( x3)dv= x4dx

d/=3 x

2

x3 dx∫ dv=∫ x

4dx

d/=3dx

x

v= x

5

5

∫ x4ln ( x3)dx=

ln ( x3 ) x5

5 −

3

5∫ x

4dx

∫ x4ln ( x3)dx=

ln ( x3 ) x5

5 −

3 x5

25

0 ¿∫ sec7( x)dx=∫ sec

7( x) .sec5( x)dx

Solución:

/=sec5( x)dv=sec

2( x)

d/=5 sec4 ( x) .sec ( x ) . tan ( x )dx v=tan( x )

∫ sec7( x)dx=sec

5 ( x ) . tan( x )−5∫ sec5 ( x) . tan2 ( x )dx

¿ sec5 ( x ) . tan ( x)−5∫ sec

5 ( x ) .(sec2 ( x )−1)dx

sec7 ( x ) dx+¿5∫ sec

5 ( x ) dx

¿ sec5 ( x ) . tan( x )−5∫ ¿





6∫ sec7( x )dx=sec

5 ( x ) . tan ( x)+5∫ sec3 ( x ) .sec

2 ( x ) dx

Calculamo la e!unda inte!ral

∫ sec3 ( x ) .sec

2 ( x ) dx

/=sec3( x)dv=sec

2( x)

d/=3 sec2( x ).sec ( x ) . tan ( x ) dx v= tan( x)dx

∫ sec3( x) .sec

2 ( x ) dx=sec3( x) . tan( x )−3∫ sec

3( x ). tan2( x)dx

∫ sec3( x) .sec

2 ( x ) dx=sec3( x) . tan( x )−3∫ sec

3( x ). ( sec2( x)−1) dx

( x)−3∫ sec5 ( x ) dx+¿3∫ sec

3( x )dx

¿sec3( x ). tan¿

4

∫ sec

5

( x)dx=sec

3

( x) .tan

( x )+3

∫ sec ( x ) .sec

2

( x )dx

A"ora calculamo la tercera inte!ral

∫ sec ( x ) .sec2( x)dx

/=sec( x)dv=sec2( x)

d/=sec ( x ) . tan ( x ) dx v=tan ( x)dx

∫ sec3( x)dx=sec( x) . tan( x )−∫sec ( x ) . tan2( x)dx

¿sec( x ). tan( x)−∫ sec ( x ). ( sec2 ( x )−1)dx

¿sec( x ). tan( x)−∫ sec3( x )+∫ sec( x )dx





( x )+¿ ln|sec ( x )+ tan ( x )|+c1

2

∫sec

3

( x)dx=

sec( x). tan

¿

∫ sec3( x)dx=

1

2sec ( x) . tan ( x )+ 1

2 ln|sec ( x )+ tan ( x )|+c

1

∴∫ sec5( x)dx=

1

4 sec

3( x) . tan ( x)+ 3

8 sec( x ). tan ( x )+3

8ln|sec ( x )+ tan ( x )|+c

2

∫ sec7 ( x ) dx=¿

¿1

6 sec

5( x) . tan ( x )+ 5

24 sec

3( x ). tan ( x )+ 15

48 sec( x) . tan ( x )+ 15

48ln|sec ( x )+ tan ( x )|+c

x¿∫ln [ tan ( x ) ]dx

cos ( x )

¿∫ln

(sin ( x)

cos ( x ) )cos ( x )

¿∫[ ln ( sin ( x ) )−ln (cos ( x ) ) ] dx

cos ( x )

¿∫ lnsin ( x ) dx

cos ( x ) −∫ lncos ( x ) dx

cos ( x )

⇒ Sea.$=∫ lnsin ( x ) dx

cos ( x ) ,1=∫ lncos ( x ) dx

cos ( x )

⇒hallamoslain!egracionde $

$=∫ lnsin ( x ) dx

cos ( x ) =∫ ln ( sin ( x ) ) sec ( x ) dx

⇒u=ln (sin ( x ) ),∫ v=∫ sec ( x ) dx





4. MÉTODO DE INTERACIÓN COMPLEJA

a¿∫ cos4 (2 x ) dx

SoluciónSa#emo $ue:

sen (ax )= eaxi−e

−axi

2 i ;cos (ax )= e

axi+e−axi

2

Reemplazando cos (2 x )= e2 xi+e

−2 xi

2

∫cos4

(2 x ) dx=∫(e

2 xi

+e

−2 xi

2 )4

dx

u!ili2ando el binomiodene0!on

(a+b )4=a4+4a

3b+6a

2b2+4 ab

3+b4

¿1

8∫ 1

2 (e(2 ix) 4+4 e(2 ix )3 e(−2 ix )+6e (2 ix )2 e (−2 ix )2+4e (2 ix )e (−2 ix )3+e(2 ix )4 )dx

e4 ix+e

−4 ix

¿

1

8∫1

2 [ (e8 ix

+e

−8 ix

)+4 (

¿+6 )

]dx

3eem"la2andoenfunciondel coseno:

¿1

8∫ (cos (8 x )+4 cos (4 x )+3 )dx

cos (8 x ) dx+¿4

8∫cos (4 x ) dx+

1

8∫ dx

¿1

8∫¿

¿ 1

64 sen (8 x )+ 4

32 sen (4 x )+ 1

8 x+C

b¿∫ sen6 (3 x ) dx

SoluciónSa#emo $ue:

sen (ax )= eaxi−e

−axi

2 i cos (ax )= e

axi+e−axi

2





Reemplazando sen (3 x )= e3 xi−e

−3 xi

2 i

∫ sen6 (3 x) dx=∫( e

3 xi−e−3 xi

2i )6

dx

25i5

¿(2 i)¿

1

¿¿∫¿

u!ili2ando el binomiodene0!on

(a−b)6=a6−6a

5b+15a

4b

2−20a3b3+15a

2b

4−6ab5+b

6

sabiendo-uei6=−1

¿− 1

3216 s D #N(43$C#5N C567*8$ .∫ 1

2 i (e(3 ix)6−6e (3 ix ) 5e (−3 ix )+15e(3ix ) 4 e (−3 ix )2−

e12ix+e

−12ix

¿e

¿(¿6 ix+e

−6 ix¿)−20

+15¿(e18ix+e

−18 ix )−6¿

¿− 1

32∫ 1

2¿

3eem"la2andoenfunciondel seno :

¿− 1

32∫ (cos (18 x )−6sen (12 x)+15 sen (6 x )−10 )dx

cos (18 x )dx+¿ 6

32∫ cos (12 x ) dx−

15

32∫cos (6 x ) dx+

10

32

¿− 1

32∫ ¿

¿− 1

517 sen (18 x )+ 1

64 sen (12 x )− 15

192 sen (6 x)+ 5

16+C

c ¿∫cosh5 ( x )dx





Solución

Sabemos que co sh ( x )=e

x+e− x

2 Reemplazando a la integral

∫cosh5 ( x) dx=∫( e

x+e− x

2 )5

dx

(a+b )5=a5+5a

4b+10a

3b2+10a

2b3+5a b

4+b5

¿ 116∫(

e5 x

+5e4 x

e− x

+15e3 x

e−2 x

+15 e2 x

e−3 x

+5e x

e−4 x

+e−5 x

2 )dx

3eem"la2andoel valorde cosh !enemos -ue:

¿ 1

16∫ (cosh (5 x )+5cosh (3 x )+10cosh ( x )) dx

¿ 116∫ cosh (5 x ) dx+ 5

16∫ cosh (3 x ) dx+ 1016∫ cosh ( x ) dx

¿senh (5 x )

80 +

5senh (3 x )48

+5 senh( x )

8 +C

d ¿∫ senh3

(√ 3 x ) dx

Solución

Sabemos que senh (√ 3 x )= e√ 3 x−e−√ 3 x

2 Reemplazando a la integral





∫ senh3 (√ 3 x ) dx=∫( e√ 3 x−e−√ 3 x

2 )3

dx

(a+b )3=a3+3a

2b+3ab

2+b3

¿1

4∫( e3√ 3 x−3e2√ 3 x e−√ 3 x+3 e√ 3 x e−2√ 3 x−e−3√ 3 x

2 )dx

¿1

8∫ [ (e3√ 3 x−e−3√ 3 x )+3 (e√ 3 x−e−√ 3 x ) ] dx

3eem"la2andoel valorde senh!enemos -ue :

¿ 14∫ (senh (3 √ 3 x )+3 senh (√ 3 x ) )dx

¿ 1

4∫ senh (3√ 3 x) dx+

3

4∫ senh (√ 3 x ) dx

hallaremoshaciendo cambiode variable.

sea: x=! 2

en!onces,dx=2 !d!

∫ senh (3√ 3 x ) dx=2∫ !senh(33

2 ! )d! "or me!odo "or "ar!es :

sea:u=!→du=d!

dv=senh (33

2 ! )d! →v=cosh (3

32 ! )

3

3

2





cosh (33

2 ! )

3

3

2

d!

!cosh (33

2 ! )

3

3

2

−∫ ¿

2∫ !senh(33

2 ! )d! =2¿

¿2( !cosh(3

3

2

! )3

3

2

− senh(3

3

2

! )33 )

Remplazando en la ecuación ori!inal%

∫ senh (3√ 3 x ) dx=2(√ xcosh (√ 33

x )√ 33

−senh (√ 33

x )33

)

haciendolo mismo "araelo!ro in!egral & rem"la2ando ,

¿√ x cosh (√ 33

x )2√ 33

−senh (√ 33

x )54

+√ 3 xcosh (√ 3 x )

2 −

senh(√ 3 x)

2 +c

e¿∫

cosh5

( x

).dx

&or de'nición:

cosh5 ( x )=( e

x+e− x

2 )5

cosh5 ( x )= 1

25∫ (e5 x+5e

4 xe− x+10e

3 xe−2 x+10e

2 xe−3 x+5e

xe−4 x+e

−5 x )d(





¿ 1

25 [∫ (e5 x+e

−5 x )+5∫ (e3 x+e−3 x )+10∫ (e x+e

− x ) ]

¿ 1

25 [2∫ (e5 x+e

−5 x )2

+10∫(e3 x+e

−3 x )2

+20∫(e x+e

− x)2 ]

¿ 1

25 [2∫cos (5 x )+10∫cos (3 x )+20∫ cos ( x )]

¿

1

25

[2 sen(5 x)

5 +10

sen(3 x)3 +

20sen( x)]

sen (2 x ) cosh3(¿ x )dx

f ¿∫ ¿

Sa#emo $ue: e2 xi=cos (2 x )+sen (2 x ) i

cosh3 ( x )=( e

x+e− x

2 )3

cosh3 ( x )=( e

3 x+3e2 x

e− x+3e

xe−2 x+e

−3 x

2 )

cosh3 ( x )= 1

4 [cosh (3 x )+3cosh ( x)

]

sen (2 x ) cosh3(¿ x )dx=∫ [cos (2 x )+sen (2 x ) i ] . 14

[cosh (3 x )+3cosh ( x) ]dx

∫¿

¿1

4∫ [cos (2 x ) cosh (3 x )+sen (2 x ) cosh (3 x ) i+3cos (2 x ) cosh ( x )+3 sen (2 x ) cosh ( x) i ] dx





¿1

4∫ [cos (2 x ) cosh (3 x )+3cos (2 x ) cosh ( x )+3cos (2 x )cosh ( x )+3sen (2 x ) cosh ( x )i ] dx

¿1

4∫ [cos (2 x ) cosh (3 x )+3cos (2 x ) cosh ( x ) ] dx+¿

+i 1

4∫ [sen (2 x ) cosh (3 x )+3 sen (2 x ) cosh ( x) ]dx

sen (2 x ) cosh3(¿ x )dx=i∫ [ sen (2 x ) cosh (3 x )+3 sen (2 x ) cosh ( x ) ]dx

∫¿

sen (2 x ) cosh (3 x )dx+¿ i3∫ sen (2 x ) cosh ( x ) dx

¿ i∫¿

e2 xi( e

3 x+e−3 x

2 )dx+¿ i3∫e2 xi ( e

x+e− x

2 )dx

¿ i∫¿

ℑ [e (2 i+3 ) x+e(2i−3 ) x ]dx+¿ i 3

2∫ℑ [e (2 i+1) x+e (2 i−1) x ] dx

¿ i 1

2∫¿

7rimera "ar!e :

1

2∫ℑ [e (2 i+3 ) x+e (2 i−3) x ]dx=

1

2∫e (2 i+3 ) x dx+

1

2∫e(2 i−3 ) x dx

¿ 1

2 (2 i+3 )∫ e( 2 i+3) x (2 i+3 )dx+

1

2 (2 i−3 )∫ e(2i−3 ) x (2 i−3 ) dx

¿ e

(2i+3) x

2 (2 i+3 )+

e(2 i−3 ) x

2 (2 i−3 )+c

¿e3 x

(cos (2 x )+sen (2 x ) i

)2 (2 i+3 ) +e−3 x

(cos (2 x )+sen (2 x )i

)2 (2 i−3 ) +c





¿e3 x (2i−3 ) (cos (2 x )+sen (2 x ) i )+e

−3 x (2 i+3 ) (cos (2 x )+sen (2 x ) i )2 (−4

−9 )

¿e3 x (2cos (2 x )−3 sen(2 x ))i−e

3 x (2 sen (2 x )+3cos(2 x))+e−3 x (2cos (2 x )+3 sen(2 x)) i−e

−3 x (2 sen (2 x )

−26

¿2e

3 xcos (2 x )−3e

3 xsen (2 x )+2e

−3 xcos (2 x )+3 e

−3 xsen (2 x )

−26 +

2e3 x

sen (2 x )−3e3 xcos (2 x )+2e

−3 xsen (2 x )−3

26

{−2

13 cos (2 x ) [e3 x+e

−3 x

2 ]+ 3

13 sen(2 x )[e3 x−e

−3 x

2 ]}i+

{ 2

13 sen(2 x )[e3 x+e

−3 x

2 ]+ 3

13 cos(2 x )[e3 x−e

−3 x

2 ]}¿[−2

13 cos (2 x ) cosh (3 x )+ 3

13 sen (2 x ) senh(3 x )]i+[ 213 sen (2 x ) cosh (3 x )+ 3

13cos (2 x ) senh(3 x)]

Se!unda parte:

e(2 i+1) x dx+¿3

2 e( 2i−1 ) x dx

3

2∫ ℑ [e (2 i+1 ) x+e

(2 i−1) x ]dx=3

2∫¿

¿ 3

2 (2 i+3 )∫ e(2 i+1) x (2i+1 ) dx+

3

2 (2 i−1 )∫ e (2 i−1) x (2 i−1 ) dx

¿ 3e(2i+1) x

2 (2 i+1 )+ 3 e (2 i−1) x

2 (2 i−1 )+c

¿ 3e

xe2 xi

2 (2 i+1 )+3e

− xe2 x 1

2 (2 i−1 )

¿

3e x (2i−1) (cos (2 x )+sen (2 x ) i )

2 (2 i+1 ) (2 i−1 ) +

3 e− x (2i+1 ) (cos (2 x )+sen (2 x ) i )

2 (2i−1 ) (2 i+1 )





¿3e

x [2cos (2 x ) i−2 sen (2 x)−cos (2 x)−sen (2 x ) i ]2 (−4

−1 )

+3e

− x [2cos (2 x ) i−2 sen (2 x )+cos (2 x )+sen (2 x ) i ]2 (−4

−1 )

¿−3e

x [ (2cos (2 x )−sen (2 x) ) i−(2 sen (2 x )+cos (2 x ) ) ]10

−3e

− x [ (2cos (2 x )+sen(2 x )) i−(2sen (2 x )−cos (2

10

¿−3

10 [ e x (2cos (2 x )−sen (2 x ) ) i−e

x (2 sen (2 x )+cos (2 x ) )+e− x (2cos (2 x )+sen(2 x)) i−e

− x (2 sen (2 x )−cos (

¿−3

10 {[2e

xcos (2 x )−e

xsen (2 x )+2e

− xcos (2 x )+e

− xsen (2 x )

]i−

[2e

xsen (2 x )+e

xcos (2 x )+2e

− xsen (2 x )−e

¿−3

5 {[2cos (2 x )( e x+e

− x

2 )−sen(2 x)( e x−e

− x

2 )]i} +

3

5 {[2 sen (2 x )( e x+e

− x

2 )+cos(2 x)( e x−e

− x

2 )]}¿−3

5 {[2cos (2 x ) cosh ( x)−sen(2 x)senh ( x)] i } +

3

5 {[2 sen (2 x )cosh ( x)+cos (2 x)senh( x)] }

3

2∫ ℑ [e (2 i+1 ) x+e (2 i−1) x ]dx=

−3

5 [2cos (2 x ) cosh ( x )−sen (2 x ) senh( x )]

sen (2 x ) cosh3(¿ x )dx

∫¿

¿1

4 [−2

13 cos (2 x ) cosh (3 x )+ 3

13 sen (2 x ) senh (3 x )−6

5 cos (2 x )cosh ( x )+ 3

5 sen (2 x) senh ( x)]

h¿∫ e4 xcosh

5 ( x )dx





Solución

Sabemos-ue cosh (ax )=(eax+e

−ax)2 ; a=1

reem"la2andoa lain!egral .

¿∫ e4 x( e

x+e− x

2 )5

dx

¿∫ e4 x

(e

5 x

+5e

4 x

e

− x

+10e

3 x

e

−2 x

+10e

2 x

e

−3 x

+5e

x

e

−4 x

+e

−5 x

25 )

dx

¿ 1

16∫ e

4 x( e5 x+5e

3 x+10e x+10e

− x+5e−3 x+e

−5 x

2 )dx

¿ 1

16

∫ e4 x

((e5 x+e

−5 x )+5 (e3 x+e3 x )+10 (e x+e

− x)

2

)dx

¿ 1

16∫ e

4 x [cosh (5 x )+5cosh (3 x )+10cosh ( x) ]dx

¿ 1

16∫ e

4 xcosh (5 x ) dx+

5

16∫ e

4 xcosh (3 x)dx+

10

16∫e

4 xcosh ( x)dx

k ¿∫ √ 2 x cos2 ( x ) dx ;formula :

cos2 ( x )=( e

ix+e−ix

2 )2

cos2 ( x )=

e2 ix+e

−2 ix+24





∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=∫ √ 2 x ( e

2 ix+e−2 ix+2

4 )dx

∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=

1

2∫√ 2 x ( e

2 ix+e−2 ix

2 )dx+∫√ 2 x dx

∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=√ 2

2 ∫√ xcos (2 x ) dx+ √ 2

2 ∫ ( x )1/2dx

∫√ 2 x

cos2

( x ) dx=

√ 22 ∫ √ x

cos

(2 x ) dx+

√ 23 ∫ ( x )

3/2

s i;6 =∫√ xcos (2 x ) dx

#n!egrando!enemos

sea ; u=√ xcos (2 x ) dx

du=−2 sen (2 x ) dx;!ambien

v=∫√ xdx

v=

3

2 x

3 /2

⟹ 6 =3 x

3/2cos (2 x )2

+3∫ x3 /2

sen (2 x )dx

∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=√ 2

2 ∫√ xcos (2 x ) dx+ √ 2

3 ∫ ( x )3/2

∫√ 2 x cos2

( x ) dx=√ 2

3 x3 /2

+3

2 x3/2

cos (2 x )+3∫ x3 /2

sen (2 x ) dx

∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=√ 2

2 ∫√ xcos (2 x ) dx+ √ 2

3 ∫ ( x )3/2 sen (2 x ) dx

sea ; u=sen (2 x )

du=2cos (2 x ) dx;!ambien

v=∫ x3/ 2+1

dx

v=3

2 x

5/2





∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=

√ 23

x3 /2+3

2 x

3/2

cos (2 x )+ 6

5 x

5/2sen (2 x )−12

5 x

5 /2cos (2 x ) dx

∫√ 2 x cos2 ( x ) dx=

√ 23

x3 /2+

3

2 x

3/2

cos (2 x )+ 6

5 x

5/2sen (2 x )−12

5 x

5 /2cos (2 x ) dx

l¿∫√ sin ( x )cos2( x)dx

Se a#e $ue:

cos2 ( x )=1−sin

2( x)

¿∫√ sin ( x ) (1−sin2( x))dx

sin

1

2 ( x)dx−¿∫sin

5

2( x )dx

¿∫¿

sin( x )=( eix+e

−ix

2 i )5

sin( x )=( eix+e

−ix

2 i )5

= 1

32i [ (e5 ix+e

−5 ix )+5 (e3 ix+e−3 ix )+10(eix+e

−ix ) ]

¿ i

16 [ ( e5 ix+e−5 ix )+5 ( e

3 ix+e−3 ix

2 )+10( eix+e

−ix

2 )]¿

i

16 [cos(5 x )+5cos(3 x)+10cos ( x)]

∫√ sin ( x )cos2( x)dx=∫√ sin( x )dx−∫−i

16 [cos(5 x )+5cos(3 x)+10cos ( x)]





¿∫√ sin( x)dx−1

4∫ [cos(5 x )+5cos(3 x )+10cos ( x) ]

1=¿∫√ sin( x )dx

# ¿

∫√ sin ( x )cos2( x)dx=∫√ sin( x )dx−1

4∫√ −i [cos(5 x)+5cos(3 x )+10cos( x )]

u=√ sin ( x)dx v=∫dx

du= cos( x)

2√ sin( x )dx v= x

∫√ sin ( x )cos2( x)dx= x √ sin ( x)dx−1

2∫ cos( x)

√ sin( x)dx−

1

4∫√ −i [cos(5 x)+5cos(3 x )+10cos( x )]

¿ x√ sin( x )dx−1

2∫ cos( x )

√ sin( x )dx−

1

4∫√ −i [cos(5 x )+5cos (3 x)+10cos ( x)]

( ) ( )2). co 3 tanm x x dx∫

( ) ( ) ( )3co 3 4co co x x x= −

( ) ( ) ( )3 24co co tan x x x dx= −

( ) ( ) ( )

( )

3 2

4 32 2

xi xi xi xi xi xi

xi xi

e e e e e e

e e

− − −

−

+ + − ÷ ÷ = − ÷ ÷ + ∫





( ) ( )

( )

( )

2

3 2 2 31 33 3

2 2

xi xi

xi xi xi xi xi xi xi xi

xi xi

e ee e e e e e e e

e e

−− − − −

−

− = + + + − + ÷ + ∫

( ) ( )

( )

2

3 31 1 33

2 2 2

xi xi

xi xi xi xi

xi xi

e ee e e e

e e

−− −

−

− = + + + − ÷ + ∫

( ) ( )

( )

22 2

3 3

2 2

21

2 2

xi xi

xi xi

xi xi

e ee e

e e

−−

−

− + = + + + ∫

( ) ( )

( )

4 4 2 2 2 2

3 3

4 4 2 2 2 2

4 2 2 21

2 4 2 2 2

xi xi xi xi xi xi

xi xi

xi xi xi xi xi xi

e e e e e ee e

e e e e e e

− − −−

− − −

+ + + − − = + + + + + + ∫

( )4 4 2 2

3 3

4 4 2 2

1 4 2 4 4

2 4 2 4 4

xi xi xi xi xi xi

xi xi xi xi

e e e ee e

e e e e

− −−

− −

+ + + − − = +

+ + + + + ∫

( )4 4 2 2

3 3

4 4 2 2

1 4 4 6

2 4 4 6

xi xi xi xi xi xi

xi xi xi xi

e e e ee e

e e e e

− −−

− −

+ − − + = + + + + +

∫

7 5 3 7 5 3

4 4 2 2

1 4 4 6 4 4 6

2 4 4 6

xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi

xi xi xi xi

e e e e e e e e e e

e e e e

− − − − −

− −

+ − − + + + − − + = ÷+ + + + ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

7 7 5 5 3 3

4 4

4 4 61

2 4 6

xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi

xi xi xi xi

e e e e e e e e e e

e e e e

− − − − −

− −

+ + + − + − + + + ÷= ÷+ + + + ∫





( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

:

co 7 co 2co 2co 5 3co 31

2 co 2co 2 3

reemplazando x x x x x

x x

+ − − + = ÷ ÷+ +

∫

3) ( ) xo e sen x dx∫

( )3

3 3 31( ) 3 3

2 8

ix ixix xi ix ixe e

sen x e e e ei i

−− − +⇒ = = − + − − ÷

3 33( ) 3

8 8

ix xi ix ix x x xe e e e

e sen x dx e dx e dxi i

− + += − + ÷

∫ ∫ ∫

3 3 3

4 2 4 2

ix xi ix ix x xi e e i e e

e dx e dx− − + +

− + ÷ ÷

∫ ∫

( ) ( )3

co(3 ) co( )4 4

x xi ie x dx e x dx− +∫ ∫

1int :egrando I

( )co(3 ) xe x dx∫

co(3 )u x=

3 (3 )

x x

du sen x dx

dv e dx v e dx

=

= ⇒ = ∫

2 xm e dx x t dx tdt ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫





2

2

x t

t

m e dx e tdt

m e tdt

u t du dt

= =

⇒ =⇒ = ⇒ =

∫ ∫

∫

( )

1

1

2 2 ( 1)

2 ( 1) 2 ( 1)

2 ( 1)co(3 ) 6 ( 1) (3 )

2 ( 1)co(3 ) 6 6 (3 )

t

t t t t

t x

x x

x x x

dv e dt

v e m te e dt e t

v e t e x

I e x x e x sen x dx

I e x x e xdx e sen x dx

=

= ∴ = − = −

⇒ = − = −

= − + −

= − + −

∫

∫ ∫ ∫

2

int :

2

x

t

egrando

k e xdx

t x tdt dx

k e tdt

=

= ⇒ =

=

∫

∫

2

int :

2

x

t

egrando

k e xdx

t x tdt dx

k e tdt

=

= ⇒ =

=

∫

∫

( )

( )

2 2 2 2 ( 1)

2 1

t t t t t

x

k te e tdt te e k e t

k e x

⇒ = − = − ⇒ = −

∴ = −

∫

( )

( )

1

1

2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )

( 1) co(3 ) 23 1 (3 )

2 3

x x x

x x x

I e x x e x e sen x dx

ie x x i I ie x e sen x dx

⇒ = − + − −

−= + − −

∫

∫

( )

( )

1

1

2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )

( 1) co(3 ) 23 1 (3 )

2 3

x x x

x x x



⇒ = − + − −

−= + − −

∫

∫

2( 1) co(3 ) 3 ( 1) (3 ) co(3 )

2 3 4

x x x xi i ie x x ie x e sen x dx e x dx∴ − + − − −∫ ∫





2

int :

co(3 )co( ) ( )

x

egrando

I e x dxu x du sen x dx

== ⇒ = −∫

..........int

2

2 :

x x

t

dv e dx v e dx egrando

x t tdt dx

v e tdt sea u t du dt

= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

∫

∫

..........int

2

2 :

x x

t


x t tdt dx


= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

∫

∫

( )

2

2 1 2 ( 1)

t

t t

t x

v e

v te e dt

v e t v e x

= ⇒ = −

= − ⇒ = −

∫

( )

( )

2

2

2 1 co( ) 2 ( 1) ( )

2 1 co( ) 2 ( ) ( )

x x

x x



= − + −

= − +

∫ ∫

2

2

x

x t

m e dx x t dx tdt

m e dx e tdt

⇒ = ⇒ = ⇒ =

= =

∫ ∫ ∫

2 t

t

m e tdt

u t du dt

dv e dt

⇒ =

⇒ = ⇒ =

=

∫

( )

1

1

2 2 ( 1)

2 ( 1) 2 ( 1)

2 ( 1)co(3 ) 6 ( 1) (3 )

2 ( 1)co(3 ) 6 6 (3 )

t t t t

t x

x x

x x x

v e m te e dt e t

v e t e x



= ∴ = − = −

⇒ = − = −

= − + −

= − + −

∫

∫ ∫ ∫





2

int :

2

x

t

egrando

k e xdxt x tdt dx

k e tdt

== ⇒ =

=

∫

∫

( )

( )

2 2 2 2 ( 1)

2 1

t t t t t

x


k e x

⇒ = − = − ⇒ = −

∴ = −

∫

( )

( )

1

1

2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )

( 1) co(3 ) 23 1 (3 )

2 3

x x x

x x x



⇒ = − + − −

−= + − −

∫

∫

2( 1) co(3 ) 3 ( 1) (3 ) co(3 )

2 3 4

int :

x x x xi i ie x x ie x e sen x dx e x dx

egrando

∴ − + − − −∫ ∫

2co(3 )

co( ) ( )

..........int

2

x

x x

I e x dx

u x du sen x dx


x t tdt dx

=

= ⇒ = −

= ⇒ =

= ⇒ =

∫

∫

2 :

2

t

t

t t


v e

v te e dt

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = −

∫

∫

( )

( )

( )

2

2

2 1 2 ( 1)

2 1 co( ) 2 ( 1) ( )

2 1 co( ) 2 ( ) ( )

t x

x x

x x

v e t v e x



= − ⇒ = −

= − + −

= − +

∫ ∫

co(3 )u x=





3 (3 )

x x

du sen x dx

dv e dx v e dx

=

= ⇒ = ∫ :

2

2

x

x t

sea

m e dx x t dx tdt

m e dx e td

⇒ = ⇒ = ⇒ =

= =

∫ ∫ ∫

2 t

t

m e tdt

u t du dt dv e dt

⇒ =

⇒ = ⇒ ==

∫

( )2 2 ( 1)

2 ( 1) 2 ( 1)

t t t t

t x

v e m te e dt e t

v e t e x

= ∴ = − = −

⇒ = − = −

∫

1

1

2 ( 1)co(3 ) 6 ( 1) (3 )

2 ( 1)co(3 ) 6 6 (3 )

x x

x x x



= − + −

= − + −

∫

∫ ∫

2

int :

2

x

t

egrando

k e xdx

t x tdt dx

k e tdt

=

= ⇒ =

=

∫

∫

( )( )

2 2 2 2 ( 1)

2 1

t t t t t

x


k e x

⇒ = − = − ⇒ = −

∴ = −∫





( )

( )

1

1

2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )

( 1) co(3 ) 23 1 (3 )

2 3

x x x

x x x



⇒ = − + − −

−= + − −

∫

∫

( )

( )

1

1

2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )

( 1) co(3 ) 23 1 (3 )

2 3

x x x

x x x



⇒ = − + − −

−= + − −

∫

∫

( )( )

1

1

2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )

( 1) co(3 ) 23 1 (3 )

2 3

x x x

x x x



⇒ = − + − −

−= + − −

∫ ∫

2( 1) co(3 ) 3 ( 1) (3 ) co(3 )

2 3 4

int :

x x x xi i ie x x ie x e sen x dx e x dx

egrando

∴ − + − − −∫ ∫

2 co(3 )co( ) ( )

..........int

x

x x

I e x dxu x du sen x dx


== ⇒ = −

= ⇒ =

∫

∫

2

2 :t

t

x t tdt dx


v e

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

=∫

( )

2

2 1 2 ( 1)

t t

t x

v te e dt

v e t v e x

⇒ = −

= − ⇒ = −

∫

( )

( )

2

2

2 1 co( ) 2 ( 1) ( )

2 1 co( ) 2 ( ) ( )

x x

x x



= − + −

= − +

∫ ∫

co(3 )u x=





3 (3 )du sen x dx=

x xdv e dx v e dx= ⇒ = ∫

:

2 x

sea

m e dx x t dx tdt ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫

2 x t

m e dx e tdt = =∫ ∫

2 t m e tdt ⇒ = ∫

u t du dt ⇒ = ⇒ =

t dv e dt =

( )2 2 ( 1)t t t t v e m te e dt e t = ∴ = − = −∫

2 ( 1) 2 ( 1)t xv e t e x⇒ = − = −

1 2 ( 1)co(3 ) 6 ( 1) (3 ) x x I e x x e x sen x dx= − + −∫

1 2 ( 1) co(3 ) 6 6 (3 ) x x x I e x x e xdx e sen x dx= − + −∫ ∫

2

int :

2

x

t

egrando

k e xdx

t x tdt dx

k e tdt

=

= ⇒ =

=

∫

∫

( )

( )

2 2 2 2 ( 1)

2 1

t t t t t

x


k e x

⇒ = − = − ⇒ = −

∴ = −

∫





( )

( )

1

1

2 ( 1)co(3 ) 12 1 6 (3 )

( 1)co(3 ) 23 1 (3 )

2 3

x x x

x x x



⇒ = − + − −

−= + − −

∫

∫

2( 1)co(3 ) 3 ( 1) (3 ) co(3 )

2 3 4

x x x xi i ie x x ie x e sen x dx e x dx∴ − + − − −∫ ∫

2

int :

co(3 )

co( ) ( )

..........int

2

2 :

x

x x

t

egrando

I e x dx

u x du sen x dx


x t tdt dx


=

= ⇒ = −= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

∫

∫

∫

2

t

t t

v e

v te e dt

=

⇒ = −

∫ ( )

( )2

2 1 2 ( 1)

2 1 co( ) 2 ( 1) ( )

t x

x x

v e t v e x


= − ⇒ = −

= − + −∫

( )

( )

2

2

2 1 co( ) 2 ( ) 2 ( )

2 1 co( ) 2 ( 1) 2 ( )

x x x

x x x

I e x x e x dx e sen x dx

I e x x e x dx e sen x dx

= − + −

= − + − −

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )

( )

3

2

2( ) ( 1)co(3 ) 3 ( 1) (3 ) ( )

2 3 4

21 co(3 ) 3 1 (3 ) 1 co( )

2 3 2

2 1 ( )2

x x x x

x x x x

x x

i i ie sen x dx e x x ie x e sen x dx I

i i ie x x ie x e sen x dx e x x

ie x e sen x dx

∴ = − + − − −

= − + − − − −

− − +

∫ ∫

∫

∫





( ) ( ) ( )1 co(3 ) 1 1 co( )2 2

2(3 )

3

x x x

x

i ie x x ie x e x x

ie sen x dx

= − − − − −

− ∫

( )

3int : (3 )

(3 )

3co(3 ) 2

2 2 2 ( 1)

x

x

t t t t

egrando I e sen x dx

u sen x v e dx

du x t x tdt dx

v e tdt v te e dt v e t

=

= =

= = =

= = − = −

∫ ∫

∫ ∫

( )1 xv e x= −

( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 3 1 co 3 x x I e x sen x e x x dx∴ = − − −∫

( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 3 co 3 x x xe x sen x e x dx e x dx= − − +∫ ∫

( ) ( )3 1 3 ( 1) 3 co(3 ) x x x I e x sen x e x e x dx= − − − + ∫

3 2( 1)co(3 ) ( 1)co( ) ( 1) (3 ) 2 ( 1)

2 3

x x x x xi ie sen dx e x x ie x x e x sen x ie x∴ = − − − − − + −∫

2 co(3 ) ( )2

x xii e x dx e sen x dx− −∫ ∫

4int :egrando I

4 ( ) x I e sen x dx= ∫

( ) co( )u sen x du x dx= ⇒ =

2 x x

dv e dx v e dx t x dx tdt = ⇒ = ⇒ = = =

∫





2 2 ( 1)t t v e tdt e t = = −∫

( ) ( )4 2 1 ( ) 2 1 co( ) x x I e x sen x e x x dx= − − −∫

( ) ( )2 1 ( ) 2 2 co( ) x x xe x sen x e x e x dx− − +∫ ∫

( ) ( )4 2 1 ( ) 2 1 2 co( ) x x x I e x sen x e x e x dx= − − − + ∫

3 2( ) ( 1)co(3 ) ( 1) co( ) ( 1) (3 ) 2 ( 1)

2 3

x x x x xi ie sen x dx e x x ie x x e x sen x ie x∴ = − − − − − + −∫

( )1 co( ) 2 co(3 ) x x xie x i e x dx i e x dx− − − −∫ ∫

5) co ( ) x p e x dx∫

5

2

xi xi x e e

e dx− +

= ÷ ÷

∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 3 2 2 3 4 51( )( ) 10 10 5

32

x xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi

e e e e e e e e e e e dx− − − − − − = + + + + +

∫ 5 5 3 31

5 1016 2 2 2

xi xi xi xi xi xi x e e e e e e

e dx− − − + + +

= + + ÷ ÷ ÷ ÷ ∫

co(5 ) 5co(3 ) 10 co( )1

16

xe x x x dx + + = ∫





1 5 5co(5 ) co(3 ) co( )

16 16 8

x x xe x dx e x dx e x dx= + +∫ ∫ ∫

1

2

3

:

co(5 )

co(3 )

co( )

x

x

x

sea

I e x dx

I e x dx

I e x dx

=

=

=

∫ ∫ ∫

1

1

5

int :

co(5 )

co(5 ) (5 )

x

i x

egrando I

I e x dx

e x isen x

=

= +

∫

co(5 ) co(5 ) (5 ) x x x

e x dx e x dx i e sen x dx= +∫ ∫ ∫

5 (1 5 )

2

(1 5 ) (1 5 )

co(5 ) co(5 )

: 2

2 2

x x

x i x x i

m i m i

e x dx e x dx

e e dx e dx sea x m dx mdm

e mdm e mdm

+

+ +

⇒ =

= == ⇒ =

= =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(1 5 )(1 5 )

:

1 5

m im i

sea u m du dm

edv e dm v

i

++

= ⇒ =

= ⇒ =+

( )

(1 5 ) (1 5 ) (1 5 )(1 5 )

2

22 2 (1 5 )

1 5 1 5 1 5 1 5

m i m i m im ime e me

dm e i dmi i i i

+ + ++ − = − + + + + +

∫ ∫

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

(1 5 ) (1 5 ) (1 5 )

2 2

(1 5 )

(1 5 ) (1 5 ) (1 5 )

2 2 210 241 5 1 5

(1 5 )

5 12

2 2 21 5 1 5 1 5

2 1 5 co(5 ) (5 ) 5 12 co(5 ) (5 )2

1 5 1 5 1 5 5 12 5 12

m i x i x i

x i

m i x i x i

e e eii i

x x x i

ei

me xe xe

i i i

xe i x isen x e i x isen x xe

i i i i i

+ + +

+

+ + +

−+ +

+

−

= − = − = −+ + +

− + + + = − = −+ + − − +





( ) ( )2 1 5 co(5 ) (5 ) 5 12 co(5 ) (5 )

26 169(5 ) 5co(5 ) 13 co(5 ) 5 (5 )

13169

x x

x x

xe i x isen x e i x isen x

xe sen x x i xe x sen x

− + + + = −−

− + + =

( )5co(5 ) 12 (5 ) 5 (5 ) 12co(5 )

169

x xe x sen x i e sen x x + − −

13 (5 ) 65 co(5 ) 5 co(5 ) 12 (5 ) 13 co(5 ) 65 (5 ) 5 (5 ) 12 co(5 )

169

x x x x x x x x xe sen x xe x e x e sen x i xe x xe sen x e sen x e x − + + + + − +

=

( ) ( )(5 ) 13 12 co(5 ) 65 5

169

x xe sen x x e x x i + − − =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

co 5 13 12 in 5 65 5

169

co 5 13 12 in 5 65 5co 5169 169

x x

x x

x

e x x e x x

e x x e x xe x dx

+ + − = +

+ −⇒ = +∫

( )

( ) ( )

2

3

co 3

co 3 3

x

i x

IntegrandoI

e x dx

e x i en x

=

= +

∫

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

co 3 co 3 3

co 3 3

x x

x x

e x dx e x i en x dx

e x dx i e en x dx

⇒ = +

= +∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )( )1 33

co 3 co 3 x x

x i x i x

e x dx e x dx

e e dx e +

=

=

∫ ∫ ∫ ∫





( ) ( )

2

1 3 1 3

...

22 2

m i m i

Sea x m

dx mdme mdm e mdm

+ +

=

== =∫ ∫

( )

( )

( )( )

1 3

1 3

1 31 3

...

1 3

2 21 3 1 3

m i

m i

m im i

sea u m

du dm

dv e

ev

i

me ei i

+

+

++

==

=

=+

= −+ + ∫

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

1 31 3

2

1 3 1 3

2

1 3 1 3

2

2 21 3

1 3 1 3

2 2

1 3 1 3

2 2

1 3 1 3

m im i

m i m i

x i x i

mee i dm

i i

me e

i i

xe e

i i

++

+ +

+ +

= − ++ +

= −+ +

= −+ +

∫

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

3 32 1 3 2

1 3 1 3 6 8

2 1 3 co 3 3 2 co 3 3 6 8

10 6 8 6 8

x i x x i x

x x

xe i e e e

i i i

xe i x isen x e x isen x i

i i

−= −

+ − −

− + + += −

− +

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

3 32 1 3 2

1 3 1 3 6 8

2 1 3 co 3 3 2 co 3 3 6 8

10 6 8 6 8

x i x x i x

x x

xe i e e e

i i i

xe i x isen x e x isen x i

i i

−= −

+ − −

− + + += −

− +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 co 3 3 3co 3 3 3 2 6co 3 8co 3 6 3 8 3

10 100

x x xe x isen x x i sen x e x i x sen x sen x i+ − + + − +

= −−





( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 co 3 3 3co 3 3 3 2 6co 3 8co 3 6 3 8 3

10 100

20 3 3co 3 20 co 3 3 3 4 3co 3 4 3 4 3 3 4 co 3

100 100

x x

x x x x

xe x isen x x i sen x e x i x sen x sen x i

xe sen x x i xe x sen x e x sen x i e sen x x

+ − + + − += −

−

− + + + − −= +

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 3 5 4 4 co 3 15 3 4 co 3 5 4 4 3 15 3

100 100

co 3 5 4 3 3 15 3co 3

25 25

x x x x

x x

x

e sen x x e x x e x x e sen x x

e x x e sen x xe x dx

+ − − + + − = +

+ − ⇒ = +∫

( )( ) ( )

3...

co

co

x

i x

Integrando I

e x dx

e x isen x= +∫

( ) ( ) ( )

( ) ( )

co co

co

x i x

i x x

e x dx e x isen x dx

e x dx i e sen x dx

⇒ = +

= +

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )( )1

co co x x

x i x i x

e x dx e x dx

e e dx e dx+

=

= =∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

2

1 1

...

2

2 2m i m i

Sea x m

dx mdm

e mdm e mdm+ +

==

= =∫ ∫

( )

( )

( )( ) ( )

( )

1

1

1 1

...

1

2

1 1

m i

m i

m i m i

Sea u m

du dm

dv e dm

ev

i

me edm

i i

+

+

+ +

==

=

=+

= −+ +∫





( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

11

2

1 1

2

1 1

2

2 11

1 12

1 1

2

1 1

m im i

m i m i

x i x i

mee i dm

i ime e

i i

xe e

i i

++

+ +

+ +

= − +

+ += −

+ +

= −+ +

∫

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

11

2

1 1

2

1 1

2

2 11

1 1

2

1 1

2

1 1

m im i

m i m i

x i x i

mee i dm

i i

me e

i i

xe e

i i

++

+ +

+ +

= − ++ +

= −+ +

= −+ +

∫

( )

( ) ( ) ( )

2 1 2

1 1 2 2

x xi x xi xe i e ie e

i i i i

−= −

+ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 co 2 co

2 4

x x xe i x isen x ie x isen x − + + −−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 co 2 co co

2 2

x x x x xe x sen x xe sen x x e x e sen x

+ + − − = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 co co 2 co

2 2

x x x x xe sen x x e x xe x sen x e sen xi

− + + − = +

( ) ( ) ( ) 2 1

co co2

x

x xe sen x x

e x dx xe x − ⇒ = +∫





( )

( ) ( ) ( ) ( )5

co 5 13 12 5 5 13 11co

16 169 169

x x

xe x x e sen x x

e x dx

+ − ⇒ = + ∫

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )co 3 5 4 3 3 5 1 2 15 5co

16 25 25 8 2

x x x

xe x x e sen x x e sen x x

xe x

+ − − + + + +

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )co 3 5 4 3 3 5 1 2 15 5co

16 25 25 8 2

x x x

xe x x e sen x x e sen x x

xe x

+ − − + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

co 5 13 12 5 5 13 1 co 3 5 4 3 3 5 1

2708 2708 80 80

5 co 5 2 1

8 16

x x x x

x x

e x x e sen x x e x x e sen x x

xe x e sen x x

+ − + −= + + +

−+ +

-¿∫e x

cosh

3

(√ x ) dx;cosh3

=

e√ x+e−√ x

2

∫e xcosh

3 (√ x ) dx=∫e x( e3√ x+3e2√ x e

x+3e√ x e−2√ x+e−3√ x

8 )dx

∫e xcosh

3 (√ x ) dx=1

4∫e

x

(

e3√ x+e−3√ x

2 +3( e√ x+e−√ x

2 ))dx

∫e xcosh

3 (√ x ) dx=1

4∫e

xcosh (3√ x )+ 3

4∫ e

xcosh (√ x ) dx

sea: √ x=m

x=m2

∫e

xcosh

3

(√ x ) dx=

1

4∫e

m2

(e3m+e

−3m

2

)2

mdm





∫e xcosh

3 (√ x ) dx=1

4∫e

m2

e3m

.m+1

4∫e

m2

e−3m

.mdm

2) arc ( )d!u x sen x∫

ea: arc ( ) sen x t =

2 != en (t) d!=2en(t)co(t)dt

d!=en(2t)dt

⇒


( ) ( ) ( )2

2 2arc ( ) (t) en(2t) dt x sen x sen t =∫ ∫

( ) ( ) ( )5 = 2 (t) co(t) dt sen t ∫

( ) ( )5

6

$*ora a%licando la %ro%iedad de inte'racion %or %arte:

ea: =t " dv= (t) co(t) dt

(t) d=dt v=

6

sen

sen

( ) ( ) ( )6 6

5 (t) (t)2 (t) co(t) dtt 2

6 6

$*ora %or m&todo de inte'racion com%lea

sen sen sen t dt

= +

∫ ∫





66

e een(!)=

2eem%la,ando al inte'ral

(t) 1 e e2

6 6 2

ix ix

it it

i

sendt

i

−

−

÷

÷

∫

( )

( ) ( ) ( )( )

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

66 6 4 4 2 2

tili,ando el inomio de eton

a = a 6a +15a 20a +15a 6a +

(t)t 1 1 1 e +e 6 e +e 15 e +e 20 dt

=2 6 6 32 2

it it it it it it sen − − − − + − ÷ ÷

∫

( )6 (t)t 1 1

co(6 ) 6co(4 ) 15co(2 ) 20 dt=2 6 6 32

sent t t

− + − ÷ ÷

∫

6 (t)t 1 1 1 15 1 15 1 =2 co(6 ) co(4 ) co(2 ) 20

6 6 32 32 6 32 6 32

sent dt t dt t dt t

− − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫

6 (t)t 1 1 1 15 1 15 1 =2 (6 ) (6 ) (2 ) 20

6 36 32 128 12 32 6 32

sen sen t sen t sen t t

− − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

e : arc ( )emplazando sen x t =

2 arc ( )d! x sen x∫





6 ( arc ( ))arc ( ) 1 1 1 (6arc ( )) (6arc ( ))

6 36 32 128215 1 15 1

(2arc ( )) 20 arc ( ) .12 32 6 32

sen sen x sen x sen sen x sen sen x

sen sen x sen x C

− ÷ ÷ ÷ = − − + ÷ ÷ ÷ ÷

5.) ( )

Solcin:

! x arcsen x dx∫

2

ea: t= ( )

!= (t)

d!=2 (t) co(t)dt

arcsen x

sen

sen

5 11

eem%l,ando e tiene:

( ) 2 (t) co(t)dt x arcsen x dx sen t =∫ ∫

11

$*ora %or inte'racion %or %arte:

=t " dv= (t) co(t)dt sen

12 (t)d=dt " v=

12

sen

1211 12(t) 1

2 (t) co(t)dt (t)dt6 6

sen sen t t sen=∫ ∫

$*ora %or inte'racion com%lea:e e

en(!) =2

ix ix− ÷

1212 (t) 1 e e

dt6 6 2

ix ix sent

− = ÷

∫

( )12 12 11 10 2 9 3 8 4

tili,ando el inomio del eton:

a =a 12a +66 a 220a +489 a





7 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 11 12 768 a +888 a 768a +489 a 220 a +66 a 12a +

( )12

12

11

eem%la,ando er tiene:

(t) 1 1 1 e e dt

6 6 2 2

ix ix sent

− = ÷ ∫

( )12 12 10 10 8 812

116 6 4 4 2 2

1e +e 12(e +e )+66(e +e )(t) 1 1

dt26 6 2

220(e +e )+489(e +e )768(e +e )888

i x ix i x ix ix ix

ix ix ix ix ix ix

sent

− − −

− − −

÷= ÷ ÷ ÷

∫

( )12 12 10 10 8 812

116 6 4 4 2 2

1e +e 12(e +e )+66(e +e )(t) 1 1

dt26 6 2

220(e +e )+489(e +e )768(e +e )888

i x ix i x ix ix ix

ix ix ix ix ix ix

sent

− − −

− − −

÷= ÷ ÷ ÷

∫

( )12 12 10 10 8 812

116 6 4 4 2 2

1

e +e 12(e +e )+66(e +e )(t) 1 1 dt26 6 2

220(e +e )+489(e +e )768(e +e )888

i x ix i x ix ix ix

ix ix ix ix ix ix

sent

− − −

− − −

÷= ÷ ÷ ÷

∫

12

11

co(12 )12co(10 )+66co(8 )(t) 1 1 dt

220co(6 )+489co(4 )768co(2 )8886 6 2

t t t sent

t t t

= ÷ ÷

∫

12

11 11 11

(t) 1 1 12 1 66 1 co(12 ) co(10 ) co(8 )dt

6 6 2 6 2 6 2

sent t dt t dt t

= + − ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫

11 11 11 11

220 1 489 1 768 1 888 1co(6 ) co(4 ) co(2 ) t

6 2 6 2 6 2 6 2t dt t dt t dt

+ + − − ÷ ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫

12

11 11 11

(t) 1 1 12 1 1 1 en(12t)+ (10 ) (8 )

6 72 2 60 2 88 2

sent sen t sen t

= − ÷ ÷ ÷





11 11 11 11

220 1 489 1 768 1 888 1 en(6t) (4 ) (2 ) t +-.

36 2 6 2 6 2 6 2 sen t sen t

+ + + ÷ ÷ ÷ ÷

125

11

em%la,ando e tiene: t= ( )

( ( )) 1 1( ) ( ) en(12 ( ))+

6 72 2

arcsen x

sen arcsen x x arcsen x dx arcsen x arcsen x

= ÷ ∫

11 11 11

12 1 1 1 220 1(10 ( )) (8 ( ) ) en(6 ( ))

60 2 88 2 36 2 sen arcsen x sen arcsen x arcsen x

− + ÷ ÷ ÷

11 11 11

489 1 768 1 888 1 (4 ( )) (2 ( ) t +-

6 2 6 2 6 2 sen arcsen x sen arcsen x

+ + ÷ ÷ ÷

4.) arcco( )d! x x x∫

Solcin:

2

ea: arcco( )

!= co (t) d!=2co(t)en(t)dt

d!= en(2t)dt

x t =

⇒

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

44 2

9


arcco( ) co (t) en(2t) dt

= 2 co (t) en(t) dt

$*ora a%licando la %ro%iedad de inte'racion %or %arte:

ea: =t

x x t

t

=∫ ∫ ∫

( ) ( )9

10

" dv= co (t) en(t) dt

co (t) d=dt v=

10





( ) ( ) ( )10 10

9

1010

co (t)t co (t)2 co (t) en(t) dt 2

10 10 $*ora %or m&todo de inte'racion com%lea:

e +eco(!)=

2

eem%la,ando al inte'ral

co (t)t 1 e +e2

10 10 2

tili,

ix ix

it it

t dt

i

dt i

−

−

=

÷

÷

∫ ∫

∫ ando el inomio de eton

( )10 10 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 9 10a+ = a +10a +45a +120a +204a +240a +204a +120a +45a +10a +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1010 10 8 8 6 6 4 4

2 2

10

co (t)t 1 1 1 e +e 10 e +e 45 e +e 120 e +e

10 10 512 2=2

+204 e +e 240

co (t)t 1 1 co(10 ) 10co(8 ) 45co(6 ) 120co(4 )

=2 10 10 512

it it it it it it i t it

it it dt

t t t t

− − − −

−

+ + + ÷ ÷

+

+ + + ÷ ÷

∫

∫

10

+204co(2 ) 240

co (t)t 1 1 1 10 45 1 co(10 ) co(8 ) co(6)

10 10 512 10 512 10 512 =2

120 1 204 1co(4 ) co(2 )

10 512 10 512

t dt

t dt t dt dt

t dt t

+

− − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

− ÷ ÷ ÷ ÷

∫ ∫ ∫

∫ 1 240

10 512dt

− ÷ ÷

∫

10co (t)t 2 1 2 10 45 2co(8 ) co(6)

5 10 512 10 512 10 512=

120 2 204 2 2 240co(4 ) co(2 )

10 512 10 512 10 512

t dt dt

t dt t dt

+ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

∫ ∫

∫ ∫

10co (t)t 2 1 2 10 45 2(10 ) (8 ) (6 )

5 100 512 80 512 60 512

120 2 204 1 2 240(4 ) (2 )

40 512 10 512 10 512

sen t sen t sen t

sen t sen t

= + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

+ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷





10

4

e : arcco( )

co ( arcco( )) arcco( ) 2 1arcco( )d! (10arcco( ))5 100 512

2 10 45 2(8arcco( )) (6arcco( ))

80 512 60 512

120 2

40 512

emplazando x t

x x x x sen x

sen x sen x

sen

=

= + ÷ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷

÷ ÷

∫

204 1 2 240(4arcco( )) (2arcco( )) arcco( ) .

10 512 10 512 x sen x x C

+ + + ÷ ÷ ÷ ÷

5. MÉTODO DE CAMBIO DE VARIABLE

( a.)2 4

dx

x− +∫

( ) ( )

2

2

Solcin:

Sea: t = 4

!=t 4 d!=2t dt


2t dt t dt= 22 2

tili,ando el m&todo de decom%oicin:

t2 +2 dt t2 2 2 =2 2

2 t2 t2

= 2t4t

x

t t

dt dt

t

dt

+

− →

− −

−

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )

2 4ln t2 +-.2

e'reando a orma ori'inal e tiene:

2 4 4ln 4 2 +-.)2 4

t

dx

x x x

= − −

= + + −− +

∫

∫





b¿∫ x4 dx

4+√ 2− x

Solución:

Sea: 4+√ 2− x=u

√ 2− x=u−4

2− x=(u−4 )2

x=2−(u−4 )2

x=−u2+8u−14

dx=(−2u+8 ) du

dx=−(u−4 )du

Reemplazando en la inte!ral

∫ x

4 [−2 (u−4) ]du

4+√ (u−4 )2





−∫ x4 (2u−8 ) du

u

Reoliendo el numerador del inte!rando:

x4 (2u−8 ) du

(−u2+8u−14 )4 (2u−8 )du

(u8−32u7+440u

6−3392u5+16024u

4−47488u3+86240u

2−87808u+38416) (2u−8 ) du

(2u9−72u

8+1136u7−10304u

6+59184u5−223168u

4+552384u3−865536u

2+779296u−307328 )

Diidiendo el numerador del inte!rando entre el denominador*u) y decomponiendo en uma de inte!rale

−∫ x4 (2u−8 ) du

u =−∫2u

8du+∫72u

7du−∫1136u

6du+∫ 10304u

5du−∫59184u

4du+∫223168u

3du−∫552384u

2du+∫ 865536udu−∫779296du+∫ 307

Aplicando la ormula a c,u de lo inte!rale: ∫undu=

un+ 1

n+1+c





−∫ x4 (2u−8 ) du

u =−2(u

9

9 )+c1+72( u

8

8 )+c2−1136( u

7

7 )+c3+10304 (u

6

6 )+c4−59184(u

5

5 )+c5+223168(u

4

4 )+c6−552384 (u

3

3 )+c7+865536(u

2

2 )+c8−779296u+c

−∫ x4 (2u−8 ) duu

=−2(u9

9 )+c1+72(

u8

8 )+c2−1136(

u7

7 )+c3+10304 (

u6

6 )+c4−59184(

u5

5 )+c5+223168(

u4

4 )+c6−552384 (

u3

3 )+c7+865536(

u2

2 )+c8−779296u+c

!enemos :u=(4+√ 2− x )

∫ x4dx

4+√ 2− x=−∫ x

4 (2u−8 ) du

u

¿−2 (4+√ 2− x )9

9 +9 (4+√ 2− x )8−

1136 (4+√ 2− x )7

7 +

10304 (4+√ 2− x )6

6 −

59184 (4+√ 2− x )5

5 +55792 (4+√ 2− x )4−

552384 (4+√ 2− x )3

3 +432768 (4+√ 2− x )2−77





donde :c=c1+c

2+c

3+c

4+c

5+c

6+c

7+c

8+c

9+c

10

c ¿∫ ( x−3 ) dx

x√ 2 x−1

9aciendosea! 2=2 x−1 : x=

! 2+12

;dx=1

2(2 !d! )=!d!

Remplazando

∫( !

2+12 −3)!d!

( ! 2+12 )!

∫( !

2+12 −3) !d!

(! 2

+12 )!

=∫( !

2+12 )d!

(! 2

+12 )

−3∫ d!

(! 2

+12 )

¿∫d! −6∫ d!

( ! 2+1 )

¿ ! +C 1−6 (arc!g ( ! )+C

2 )

¿√ 2 x−1+6arc!g (√ 2 x−1)+C

d ¿∫ (3 x+2 ) dx

x2√ 4 x+3

Sea x=1

! ; dx=

−d!

! 2





−¿¿

∫ (3

! +2)(−d!

! 2 )

( 1! )2

√ 4

! +3

=¿

−¿¿−¿¿¿¿

¿(−1

3 )∫[ (6 ! +4 )+5 ]d!

√ 3 ! 2+4 !

=−1

3 ∫ (6 ! +4 )d!

√ 3! 2+4 !

−5

3∫ d!

√ 3 ! 2+4 !

¿−1

3∫ (3! 2

+4 ! )

−1

2

d (3! 2

+4 ! ) d! −5

3∫ d!

√ 3! 2+4 !

d!

√ 3 ! 2+4 ! =¿−

5

3∫ d!

√ ! √ 3 ! +4;sea3 ! +4=m

2; ! =

m2−4

3 ; d! =

2

3 mdm

−5

3 ∫¿

−5

3 ∫ 2

3

mdm

√ m2−4

3(m )

=−10

9 ∫ dm

1

√ 3 √ m2−4

=−10√ 3

9 ∫ dm

√ m2−4

¿−1

3∫ (3! 2+4 ! )

−1

2 d (3! 2+4 ! ) d! −10√ 3

9 ∫ dm

√ m2−22





¿−1

3

( √ 3!

2+4 !

1

2

+C

)−

10√ 39

[arccosh

(

m

2

)+C

]¿−

2

3 (√3(1 x )2

+4

x )−10 √ 39 [arccosh (√ 3! +4

2 )]+C

¿−2

3

(√( 3

x2

)+4

x

)−

10√ 39

[arccosh

( √ 3

x+4

2

)]+C

e¿∫ xdx

x+√ x2−6 x+9

∫ xdx

x+√ x2−6 x+9=∫ xdx

x+√ ( x−3 )2

∫ xdx

x+√ x2−6 x+9=∫ xdx

2 x−3

hacemoscambiode variable

⟹ ! =2 x−3

! +3

2 = x

d!

2 =dx

⟹∫ xdx

x+√ x2−6 x+9=∫ (! +3 )

2 !

d!

2





⟹∫ xdx

x+√

x2

−6 x+9

=1

4∫ ( ! +3 ) d!

!

⟹∫ xdx

x+√ x2−6 x+9=

1

4∫ d! +

3

4∫ d!

!

⟹∫ xdx

x+√ x2−6 x+9=

1

4 ! +C 1+

3

4 ln|! |+C 2

⟹

∫

xdx

x+√ x2−6 x+9

=2 x−3

4

+3

4

ln|2 x−3|+C;dondeC =C 1+C 2

f ¿∫ xdx

√ sin ( x )+1


! 2=sin ( x )+1

sin ( x )=! 2−1

x=sin−1 (! 2−1)

d x= 2!d!

√ 2−( ! 2−1 )2

¿∫ sin−1 (! 2−1)2!d!

! √ 2−(! 2−1 )2

¿2∫ sin−1 (! 2−1) d!

√ 2−(! 2−1)2





¿2∫sin−1 (! 2−1 )

(

1

√ 2−(! 2

−1 )

2

)d!

¿2∫sin−1 (! 2−1 )d (sin−1 (! 2−1 ))

¿2∫[sin−1 (! 2−1) ]

2

2 +c

¿ [sin−1 (! 2−1) ]2

+c

)co( ) 1

xdx g

x −∫

2 2 2

:

co( ) 1 co( ) 1 arcco( 1)

sea

x t x t x t − = = = + = = +

( )

2

22

:

2arcco( 1)

1 1

derivando

tdt x t dx

t

−= + = =

− +

( ) ( )

2 22 2

2 22 2

:

arcco( 1) arcco( 1)2 2 2 arcco( 1) (arcco( 1))

co( ) 1 1 1 1 1

reemplazando

xdx t tdt t dt t d t

x t t t

+ − += − = = + +

− − + − +∫ ∫ ∫ ∫

22 arcco( 1)co( ) 1

xdxt

x= +

−∫

h¿∫ x dx

√ ln ( x )+2





Sea : ln ( x )+2=m2

x=em

2−2

dx=em

2−2 (m )dm

∫ xdx

√ ln ( x )+2

¿∫ e

m2−2

(em

2−2

)2mdmm

¿2∫ em

2−4dm

¿ 2

e4∫ e

2m2

2mdm

( )).

2 1

dxi

x sen x +∫

( ) ( )22 1 2 1 sen x t t sen x⇒ + = = +

( ) 22 1 sen x t = −

( ) ( )2 1

2co 2 22

arcsen t x dx tdt x

−= =

( )

( )co 2

co 2

dx xtdt dx dt

x t = → =

( ) ( )2 22 co 2 1 sen x x+ =





( ) ( )2co 2 1 2 x sen x= −

( ) ( )2

2co 2 1 1 x t = − −

( ) ( ) ( )2

2

co 2 12 1

dx tdt

x arcsen t t x sen x=

−+∫ ∫

( ) ( ) 22 2

2

1 1 1

tdt

tarcsen t t

=− − −∫

( ) ( )2

2 2

1 2

1 1 1

tdt u dv

t arcsen t t

= =− − −

( )( )

( )( )

2

2 2

1

1

d arcsen t dt du dv

t arcsen t

−−= =

−∫ ∫

( )2ln 1v arcsen t = −

( ) ( ) ( )2

2

2

ln 1 11ln 1

arcsen t dt arcsen t

t t

− −− − ∫

( )( )( )

( )( ) ( )3

ln 2 ln 2 co 22 1

arcsen sen x arcsen sen x dx xt sen x

++ ∫

( )( )

( )

( )( ) ( )

( )( )3

ln 2 ln 2 co 2

2 1 2 1

arcsen sen x arcsen sen x x dx

sen x sen x

++ +

∫

.continuar"





j ¿∫ x2dx

x+√

x2

−4 x

9acemoscambio devariable

Sea : x+√ x2−4 x=!

x= !

2! −4

x=

! 2

2 ( ! −2 )

d x=: &

: x

! 2

2 (! −2 )

d x=1

2 [ ( ! −2 ) 2 ! 2d! −!

2d!

( ! −2 )2 ]d x=

1

2 [2 ! (! −2 ) d!

( ! −2 )2 −

! 2d!

( ! −2 )2 ]d x=

1

2 [2 ! ( ! −2 ) d!

( ! −2)2 −

! 2d!

( ! −2 )2 ]

∫ x

2

dx x+√ x2−4 x

=∫ !

4

4 (! −2 )2 (1

! )( 2

! ! −2− !

2

(! −2)2 )d! 2

¿1

8∫ !

3

(! −2 )2 ( 2!

! −2−

! 2

( ! −2 )2 )d!

¿1

4∫ !

4

( ! −2 )3−

1

8∫ !

5

( ! −2)4 d!





¿1

4∫ !

4

( ! −2

)

3−

1

8∫

{! 5 }u

{(! −2 )−4 }d!

v

¿1

4∫ !

4d!

( ! −2 )3−

1

8∫ −!

5

3 ( ! −2 )3+5

3∫ !

4

( ! −2 )3 d!

¿ 1

24∫ !

4d!

( ! −2 )3+ 1

24 [ ! 5

( ! −2 )3 ]

¿ 124∫ {!

4

}u {(! −2 )

−3

d! }v + 1

24 [ !

5

(! −2 )3 ]¿ 1

24∫ −!

4

2 ( ! −2 )2+2∫ !

3

( ! −2 )2 d! +

1

24∫ !

5

( ! −2 )3

¿ 1

−48∫ !

4

(! −2 )2+ 1

12∫ −!

3

! −2+3∫ !

2

! −2 d! +

1

24∫ !

5

( ! −2 )3

¿ 1

−48∫ !

4

( ! −2 )2−

1

12 [−! 3

! −2 ]+ 3

12∫ !

2

! −2d! +

1

24 [ ! 5

( ! −2 )3 ]

¿ 1

24∫ !

5

( ! −2 )3−

1

48

! 4

( ! −2 )2 −

1

12 [ ! 3

! −2 ]+ 1

4 [! +2+ 4

! −2 ]d!

¿

1

24∫ !

5

( ! −2 )3−

1

48

[ !

4

(! −2 )2

]−

1

12

[ !

3

! −2

]+1

4

[! 2

2

]+1

4 [2

! ]+

1

4 [4 ln

(! −2

) ]

¿ 1

24∫ !

5

( ! −2 )3−

1

48 [ ! 4

(! −2 )2 ]− 1

12 [ ! 3

! −2 ]+ 1

8[! 2 ]+1

2[ ! ]+ln (! −2 )+c

¿ 1

24∫

( x+√ x2−4 x )5

( x+√ x2−4 x )3−

1

48 [ ( x+√ x2−4 x )4

( x+√ x2−4 x−2)5 ]− 1

12 [ ( x+√ x2−4 x)3

( x+√ x2−4 x−2) ]+¿





+18

[ ( x+√ x2−4 x )2 ]+ 1

2( x+√ x2−4 x )+ln ( x+√ x2−4 x−2)+c

¿∫√ 2+(sin ( x ) )2 cos ( x )dx


⟹ sin ( x )=m

cos ( x ) dx=dm

dx= dm

cos ( x )

⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2 cos ( x )dx=∫ √ 2+m2cos ( x ) dm

cos ( x )

⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2

cos ( x )dx=∫ √ 2+m2dm

⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2

cos ( x )dx=∫(2+m

2 ) dm

√ 2+m2

⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2cos ( x )dx=∫ m2dm

√ 2+m2+2∫ dm

√ 2+m2

hacemo s cambiodevariable

⟹u=m∧dv= mdm

√ 2+m2

du=dm∫dv=∫ mdm

√ 2+m2

du=dm v=√ 2+m2





⟹∫ √ 2+m2dm=m√ 2+m

2−∫√ 2+m2dm

⟹2∫√ 2+m2dm=m√ 2+m

2+2ln|m+√ 2+m2|+C

⟹∫ √ 2+m2dm=

1

2 m√ 2+m

2+ ln|m+√ 2+m2|

⟹∫√ 2+(sin ( x ) )2cos ( x )dx=1

2sin ( x )√ 2+( sin ( x ) )2+ ln|sin ( x )+√ 2+(sin ( x ) )2|

l¿∫√ 2+sen2 ( x ) sen ( x ) dx

sea: ! =√ 2+sen2 ( x )

! 2=2+sen

2 ( x )

sen2 ( x )=! 2−2

sen( x)=√ ! 2−2

x=arcsen (√ ! 2−2 )

dx= 1

√ 1−(√ ! 2−2 )2d(√ ! 2−2)

dx= 1

√ 1−(√ ! 2−2)2.

2!

2√ ! 2−2

d!

dx= !d!

(√ 3−! 2 ) (√ ! 2−2 )

En la inte!ral:





∫√ 2+sen2 ( x ) sen ( x ) dx

∫ ! √ ! 2−2 . !d!

(√ 3−! 2 ) (√ ! 2−2)

∫ ! 2d!

(√ 3−! 2 )

Sea: √ 3−! 2=m

3−! 2=m

2

3−m2=!

2

! 2=3−m

2

! =√ 3−m2

d! = 1

2√ 3−m2

.(−2mdm)

d! =−mdm

√ 3−m2

En la inte!ral:

∫ ! 2

d! (√ 3−!

2 ) = ∫ (3−m2

)(m)

. −mdm

√ 3−m2=∫ (m

2

−3)dm

√ 3−m2

=−∫ √ 3−m2dm

−∫√ 3−m2dm=

1

2m√ (√ 3 )2−m

2−(√ 3 )2

2 arcsen( m√ 3 )=1

2m√ 3−m

2−3

2 arcsen( m√ 3 )

A"ora:





2+sen2 ( x )

¿3−¿

m=√ 3−! 2=√ ¿

−∫√ 3−m2dm=

1

2m√ (√ 3 )2−m

2−(√ 3 )2

2 arcsen( m√ 3 )=1

2m√ 3−m

2−3

2 arcsen( m√ 3 )

−∫ √ 3−m2dm=

1

2

cos ( x )√ 3−cos ( x)2−3

2

arcsen

(cos ( x)

√ 3 ) ∫√ 2+sen

2 ( x ) sen ( x ) dx=∫√ 3−m2dm

¿3

2 arcsen(cos ( x )

√ 3 )−1

2cos ( x)√ 3−cos ( x )2

m¿∫√ x−2

x+2 d ( x )

¿∫ √ x−2

√ x+2d ( x)

¿∫ x−2

√ x2−4

d( x )

u= x2−4

x=√ u+4

d ( x )= d (u)

2√ u+4

¿∫ √ u+4

−2

2√ u√ u+4d (u)





¿∫ √ u+42√ u√ u+4

d (u)−∫ 2

2√ u√ u+4d (u)

¿1

2∫ 1

√ ud(u)−∫ 1

√ u√ u+4d (u)

¿1

2∫ 1

√ ud(u)−∫ 1

√ u2+4 ud (u)

¿1

2

∫ 1

√ ud(u)−∫ 1

√ (u+2)2

−22

d (u)

¿√ u+c1−ln|u+2+√ u2+4 u|

¿√ x2−4+c1− ln| x2−2+ x√ x2−4|+c 2

¿√ x2−4±ln| x2−2+ x √ x2−4|+C

n¿∫ 5√3 x−4

2 x+1 d ( x )

¿∫5√ 3 x−4

5√ 2 x+1

¿∫ 3 x−4

5√ 2 x+15√ (3 x−4)4 d ( x)

u= 5√ 3 x−4

d (u )= 4 d( x )

55√ (3 x−4)4

x=u5+4

3





¿∫5 (3 x−4 )

5√ (3 x−4 )4

3 x

5

√ 2 x+

15

√ 3 x−

4d (u)

¿∫ 5u5

5√ 2u

3 +

8

3(u5+4)

d (u)

¿5

5√ 35√ 2 ∫ u

5

5√ u5+4 (u5+4 )d (u)

¿5

5√ 35√ 2 ∫ u

5+4−4

5√ u5+4 (u5+4 )d (u)

¿5

5√ 35√ 2

(∫ u5+4

5√ u5+4 (u5+4 ) d (u )−∫ 4

5√ u5+4 (u5+4) d (u ))

¿5

5√ 35√ 2

(∫ 1

5

√ u5+4

d (u)−∫ 4

5

√ u5+4 (u5+4)

d (u ))

¿5

5√ 35√ 2

(∫ 1

5√ u5+4

d (u)−∫ 4

5√ u5+4 (u5+4) d (u ))

¿5

5√ 35

√ 2(5 (u5+4 )

4

5

4 +

5

(u5+4 )1/5)

¿5 5√ 35

√ 2(5 (3 x )4 /5

4 +

5

(3 x )1/5)

( )

( )

3

2 6 5).

x x dxo

x x x

+

−∫





( )

( )

3

2 6 5

30 x x dx

hallando mcm

x x x

+= =

−∫ 30 29: 30 sea x z dx z dz = =

( )

( )( )

( )

( )

( )

3 10 15 29 39 44

60 5 6 65 662 6 5

:

3030

reemplazando

x x dx z z z dz z z dz

z z z z z x x x

+ + += =

− −−∫ ∫ ∫

( )

( )

( )

( )

5 5

26 27 26 27

1 130 30

z dz z dz

z z z z

+ += =

− −∫ ∫

( )( )

5

26

130 int

1

z dz #plicando el m$todo de egarción de

z z

+= ⇒

−∫

: fracciones parciales

( )( ) ( )

5

1

26 26 25 24 23

130 ......................

11

z dz K # % C D &

z z z z z z z z

+= = + + + + +

−−∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 3 26

11 1 1 1 1 .......................... z # z %z z Cz z Dz z K z + = − + − + − + − + +

2 2 3 3 4 ................................. # #z %z %z Cz Cz Dz Dz − + − + − + − +

int formando ecuaciones de egraciones

11" 1" 1" 1" ................. 1 # % C D K = = = = =





( )( ) ( )

5

26 26 25 24 23

:

1 1 1 1 1 1 130 30 .....................11

'eemplazando

z dz z z z z z z z z

+ = = + + + + + ÷ ÷−− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

25 24 23 22

30 ..........................ln ln 125 24 23 22

z z z z z z C

− − − − = + + + + + − + ÷− − − −

30 30

:reemplazando

x z z x= ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

25 24 23 2230 30 30 30

30 3030 ..........................ln ln 125 24 23 22

x x x x x x C

− − − − ÷= + + + + + − + ÷− − − − ÷

-¿∫√√ sen( x)−2

sen ( x )+2dx

Solución:

∫√√ sen( x )−2

sen ( x )+2dx = ∫( sen ( x )−2

sen ( x )+2 )1

4 dx

Si: u= √ sen ( x )−2

sen ( x )+2d(

u2 sen ( x )+2u2=sen ( x )−2

u2sen ( x )−sen ( x )=−2u

2−2

sen ( x )=2(u2+1)

1−u2

sen−1

*()

(2 (u2+1)

(1−u2))=( d(=

√1−(

2

(u2+1)

(1−u2))2

du





d(=

√(1−u

2)2−4 (u2+1 )2

(1−u2

)2 du=

√1+u

4−2u2−4 (u4+2u

2+1)

(1−u2

)2

du =

√ 1+u4−2u

2−4u4−8u

2−4

(1−u2 )2 du

d(=√ −3−3u

4−10u2

(1−u2 )

du

d(=u

1

2 (1−u2 )

√ −(3u4+10u

2+3)du

r ¿∫ √√ tan ( x )+1tan ( x )−1

dx

S.: u=tan ( x )+1

tan ( x )−1

utan*()-*u-/)=u+/

0an*() *u+/)=u+/

0an*()=u+1u−1

(= tan−1(

u+1u−1

) d(=

1

1+(u+1u−1

)2 du

∫4√ u %

1

( u+1u−1 )2

du= ∫ u

1

4

1+ u

2+2u+1u2−2u++1

du= ∫

u1

4 (u−1 )2

2 (u2+1) du

S.: = u2

+1 u= √ v−1





d=1

2√ v−1du

∫8√ v−1 (√ v−1−1 )2

2v (2√ v−1 ) dv =

∫8√ v−1 (v−2√ v−1 )

4 v √ v−1dv=∫ (

8√ v−1 ( v )

4 √ v−1−

28√ v−1 (√ v−1 )4v √ v−1 )dv

¿ 1

4∫

8√ v−1

√ v−1 dv−1

2∫

8√ v−1

v dv

Si:1=-/=1+/

d=d1

0+1¿¿

0

1

8 ¿1

4∫

8√ v−1

√ v−1dv−

1

2∫

8√ v−1

v dv=

1

4∫0

−34 d0−

1

2∫ ¿

0+1¿¿

0

1

8 ¿

¿05

8−1

2∫ ¿





∫√√ tan ( x )−2

tan ( x )−1dx =*

tan ( x )−2

tan ( x )−1

tan ( x )−2

tan ( x )−1

tan ( x )−2

tan ( x )−1

¿¿5

4−1

2∫ ¿

1

4 (( tan ( x )−2

tan ( x )−1)2

+1)−1

d (¿+1)

2

42

4)

4

xt

x

+−∫

24

2

4

4

xu

x

+=

−

( )

4 2 4 2

4

4

4 4

4 1

1

u x u x

u x

u

− = +

+=

−

( )

4 3

24 4

8 1

1 1

u udx du

u u

− − ÷= ÷ ÷ ÷+ −

( )( )

( )( )

3 4 4 4

2 24 4

1 18 8

1 1

uu u du u u du

u u

− −⇒ − = −

− −∫ ∫

4

4

1

1

v u

v u

= −

+ = ( )3

4 1

dvdu

v

=+

( )

( )

( )1#4

2 3 3

1 12 2

4 1

v v v dvdv

v vv

+ + ÷ ÷⇒ − = − ÷ ÷ ÷ ÷+ ∫ ∫

! v= 2! v= ( )2dv ! d!=





( )

( )

3

4 4

.8

1 1

z z dz

z z

÷⇒ − ÷− − ∫

( )3

4 1

z dz dv

z =

− ( )

345

4ln 1

1

z v z v

z = − ⇒ =

−

( ) ( )( )

4 4 4

2 24 4

1 4 3 1

1 1

z z z z z du dz

z z

− − + − + −= =

− −

( ) ( ) ( )

( )( )

3 34 45 5

24 4

2 1ln 1 ln 1

1 1

z z z z dz

z z

+ ÷− + − ÷ ÷− − ∫

( )

( )

4

3 7 3.)

x x dx

x x x

+

−∫

( )

( )( )

( )

4 1#4 1#2

3 1#7 1#33 7 3

Solcin:

x x dx x x dx

x x x x x x

+ +=

−−∫ ∫

2

1 1 ea: != d!= dt

t t ⇒


( )

( ) ( )( )

1#4 1#2

5 3

23 1#7 1#3 7 3

1 1

1d =

1 1 1

t t t t t dt

t t t

t t t

+ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

∫ ∫





( )

( )( )

( )

( )( ) ( )( )

3 2 2

4 4 23

1 1

1 1 1

t t t dt dt dt

t t t t

+ += = =

− − −∫ ∫ ∫

( )( )2

1 1ln .

2 11

dt t C

t t

−= +

+−∫

( )( )2

1eem%la,ando:t=

1

11ln .

121 1

x

dt x C t

x

−= +− +

∫

x¿∫√ 3√ 4√ 3 X +52 X −3

d ( x)

¿∫√ 3√ 4√( 3 X +52 X −3 )

29

d( x)

19

4 X −6=(

24−3

2

19

( 24−

3

2

=4 X −6

19

( 24−3

2

+6=4 X

19+6( 24−9

( 24−

3

2

=4 X





6( 24+10

( 24

−3

2

=4 X

3( 24+5

2( 24−3

= X

dx=(2(

24−3 )72( 23−(3(

24+3 )48( 23

(2( 24−3 )2

dx=(−216( 23−240(

23

(2( 24−3 )2 )d!

dx=( −456( 23

(2( 24−3)2 )d!

¿∫( (−456)(

23d!

(2( 24

−3 )

2

¿−456

4 ∫(

( 24

d!

(2( 24−3 )2

¿−456

4 ∫(

( 24

d!

(2( 24−3

2 )2

du=d! v= −1

24(( 24−

3

2)

¿−114 [ −(

24(( 24−

3

2 )+ 1

24∫ d!

( 24−(√3

2 )2 ]





¿ 19

( 4((

24−3

2 )−

19

4

( 1

2√3

2 )ln

|(

12−

√3

2

( 12+√3

2 |¿

1924√ 3 x+3

2 x−3

4( −19

2 (2 x−3 ) )−

19

8√3

2

ln|√ 3 x+32 x−3

−√3

2

√ 3 x+32 x−3

+√3

2|

¿

24√ 3 x+32 x−3

2 (2 x−3)−

19

8 (√3

2 )ln|√

3 x+3

2 x−3−√3

2

√ 3 x+32 x−3

+√3

2| +c

5. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

a¿∫ ( x+3 ) dx

x2

√ 4− x2

sen<= x

2 x=2sen<





dx=2cos<d<

∫ (sen<+3 )2cos<d<

sen2<√ 4−sen

2<

∫ (2sen<+3 )2cos< d<

(2 sen< )2√ 4−4 sen2<

∫ (2 sen<+3 ) 2cos<d<

(2sen< )22cos<

∫ (2 sen<+3 ) d<

4 sen2<

1

4∫ (2 sen<+3 ) d<

sen2<

1

4∫

2sen<d<

sen2

<

+3

4∫

d<

sen2

<

2

4∫ d<

sen<+3

4∫ csc

2<.d<

1

2∫ csc<d<+

3

4∫ csc

2<.d<

1

2 ln

|csc<−c!g<|−

3

4 c!g<+C

1

2 ln|2 x−√ 4− x

2

x |−3

4

x

√ 4− x2+C

1

2 ln|2−√ 4− x

2

x |− 3 x

4√ 4− x2+C





b¿∫ x6dx

( x2

−5

)

3=∫ x

6dx

√ ( x2

−5 )

6 x=√ 5 sec (< )

dx=√ 5sec (< ) !g(<)d<

∫ x6dx

( x2−5)3=∫

(√ 5 sec (< ) )6√ 5 sec (< ) !g(<)d<

( (√ 5 sec (< ) )2−5)3

=√ 5∫ sec7.<.d<

tan5<

√ 5∫ csc5<.sec

2<d<

Sea: u=csc5< dv=sec

2<d<

du=−5csc5< .co!<d<v=!g<

√ 5∫ csc5<.sec

2<d<=√ 5 [csc

5<!g<+5∫ !g< . csc

5<.co!<d< ]

¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5

∫csc

5<d<

¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5∫csc

3<.csc

2<d<

¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5∫csc

3< . [1+c!g

2< ] d<

¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5∫csc

3<d<+5√ 5∫csc

3<.c!g<.d<

&rimera parte:

∫csc3<d<

Sea: csc<=m

<=arccsc (m)⇒

d<= −dm

m√ m2−1





⇒ ∫csc

3<d<=∫m

3 −dm

m

√ m

2−1

=−∫m . mdm

√ m

2−1

Sea: u=mdu=dm

dv= mdm

√ m2−1

v=√ m2−1

−∫m. mdm

√ m2−1

=−[m√ m2−1−∫ √ m2−1dm ]

−∫ m2dm

√ m2−1=−m√ m2−1+∫ √ m2−1dm

−∫ m2dm

√ m2−1=−m√ m2−1+∫ m

2−1

√ m2−1dm

−2∫ m2dm

√ m2

−1

=−m√ m2−1−∫ dm

√ m2

−1

−∫ m2dm

√ m2−1=−m√ m2−1

2 −

ln (m+√ m2−1)2

∫csc3<d<=−∫ m

2dm

√ m2−1=−1

2 [m√ m2−1+ ln (m+√ m2−1)]

¿−12 [ csc<√ csc<

2−1+ln (csc<+√ csc<2−1 )]

¿−1

2 [csc< . c!g<+ ln (csc<+c!g<) ]

Se!unda parte:

∫csc3<.c!g<.d<=∫ csc

2<.csc<c!g<.d<





Sea: u=csc2< du=−2csc

2<c!g<

dv=csc<c!g<.d< v=−csc<

∫csc3<.c!g<.d<=−csc

3<−2∫ csc

3< c!g<d<

3∫ csc3<.c!g<.d<=−csc

3<

∫csc3<.c!g<.d<=

−csc3<

3

∴∫ x6dx

( x2−5)3=√ 5csc

5<!g<+5√ 5∫ csc

3<d<+5√ 5∫ csc

3<.c!g<.d<

¿√ 5 csc5<!g<+5√ 5 {−1

2 [csc< . c!g<+ ln ( csc<+c!g<) ]}+5√ 5 [−csc

3<

3 ]

¿√ 5 ( x√ x2−5 )

5

(√ x

2

−5√ 5 )−

5√ 52 ( x√ x2−5 )( √ 5√ x2−5 )−

5√ 52 ln

| x

√ x2−5+ √ 5√ x2−5|

−5√ 53 [ x√ x2−5 ]

3

¿ x

5

( x2−5 )2−

25

2 ( x

x2−5 )−5√ 5

2 ln( x+√ 5

√ x2−5 )−5√ 53

x3

(√ x2−5)3+c

c ¿∫ ( x+3 )dx

x2√ 4− x

2sen<=

x

2 x=2 sen<

dx=2cos<d<

∫ (sen<+3 )2cos<d<

sen2<√ 4−sen

2<





∫ (2 sen<+3 )2cos<d<

(2 sen<

)

2

√ 4

−4 sen

2<

∫ (2 sen<+3 ) 2cos<d<

(2sen< )22cos<

∫ (2 sen<+3 ) d<

4 sen2<

1

4∫(2 sen<+3 ) d<

sen2<

1

4∫ 2sen<d<

sen2<

+3

4∫ d<

sen2<

2

4∫ d<

sen<+3

4∫ csc

2<.d<

1

2∫ csc<d<+3

4∫ csc2<.d<

1

2 ln|csc<−c!g<|−3

4 c!g<+C

1

2 ln|2 x−√ 4− x

2

x |−3

4

x

√ 4− x2+C

1

2 ln|2−√ 4− x

2

x |− 3 x

4√ 4− x2+C

d) ∫ e5 x

dx

x2√ 4− x2 x=2 sen<





∫ e5 (2sen<) (2cos<d< )

(2

sen< )

2

√ 4

−(2

sen< )

2dx=2cos<d<

∫ e10 sen< (2cos<d< )

4 sen2<√ 4−4 sen

2<

∫ e10 sen<

cos<d<

2sen2< .2√ cos2<

∫ e

10 sen<cos

<d<4 sen

2< .cos<

1

4∫ e

10sen<d<

sen2<

1

4∫ csc

2< .e

10 sen<d<

e¿∫ √ 3− x2dx

3√ 3− x2

x=√ 3 sen<

∫(3−(√ 3 sen< )2 )

1

2√ 3cos< dx

(3−(√ 3 sen< )2)

1

3

dx=√ 3cos<d<

∫(3−(√ 3 sen< )2)

1

2√ 3cos< dx

(3−(√ 3 sen< )2)

1

3

∫(3−3 sen2< )

1

2 √ 3cos< dx

(3−3 sen2< )

1

3





∫

√ 3 (1−sen2< )1

2√ 3cos< dx

3√ 3(1−sen2< )

13

33

√ 3∫

(cos2< )1

2cos< dx

(cos2 < )1

3

33√ 3∫ cos

2<dx

cos

2

3

<

3

3√ 3 [ (cos < )4

3 +2

4

3+1

+c ]3

3

√ 3

[3 (cos< )

7

3

7 +c

]9 ( cos< )

7

3

73√ 3

+c

9

7 3

√ 3 ( √ 3− x2

√ 3 )7

3

+c

i¿∫ x2√ x2+4 x+6dx

¿∫ x2√ ( x+2 )

2

+2dx

¿∫ x2√ ( x+2 )

2

+2dx

¿∫ (√ 2tan (< )−2)2√ 2 sec (< ) .√ 2 sec2 (< )d<





¿∫ (2tan2 (< )−4√ 2tan (< )+4 ) .2 sec3 (< )d<

¿∫ (4 sec3 (< ) . tan2 (< ) )d< - ∫ (8√ 2sec

3 (< ) . tan2 (< ) )d<+∫8 sec3 (< ) d<

¿ 4 sec

4 (< )4

−8√ 2 sec

4 (< )4

+8∫ (1+ tan2 (< ) ). sec(< )d<

¿sec4 (< )−2√ 2 sec

4 (< )+8∫ sec (< ) d<+8∫ tan2 (< ).sec (< ) d<

¿sec4 (< )−2√ 2 sec

4 (< )+8 ln|sec (< )+ tan (< )|+8 tan3

(< )3 +c

¿( √ x2+4 x+6

√ 2 )4

−2√ 2( √ x2+4 x+6√ 2 )

4

+8ln|√ x2+4 x+6+ x+2

√ 2 |+ 8

3 ( x+2

√ 2 )3

+c

k .∫3

√ [1+ tan ( x ) ]4

dx

∫3√ [1+[ tan ( x ) ]

2 ]4

dx=∫ (1+[ tan ( x ) ]2 ) 3√ 1+ [ tan ( x ) ]

2

dx

⇒∫ sec (< ) sec(< )2

3 d<=∫ [sec (< ) ]8

3

∫ [ sec (< ) ]8

3=∫ (1+[ tan (< ) ]2 ) [sec (< ) ]

2

3 d<

∫ [ sec (< ) ]8

3=∫ sec (< )2

3 d<+∫ [ tan (< ) ]2 [sec (< ) ]2

3 d<

[sec (< ) ]2

3 d<+¿∫ [( sec (< ) )2−1] [sec (< ) ]2

3 d<

∫ [sec (< ) ]8

3=∫¿





[sec (< ) ]2

3 d<+¿∫ [sec (< ) ]8

3 d<−∫ [sec (< ) ]2

3d<

¿∫ ¿

∫ [ sec (< ) ]8

3=3 [ sec (< ) ]

2

3

2 +

2

5∫ [sec (< ) ]

2

3 d<

¿3

2 [√ 1+[ tan ( x ) ]

2 ]2

3tan ( x )+ 2

5∫ [1+ [ tan ( x ) ]

2 ]1

3dx

l∫3

√ [ sec ( x ) ]2−1dx

∫3

√ [sec ( x ) ]2−1dx=∫ [ tan ( x ) ]8

3dx

∫ [tan

( x ) ]

8

3

dx=

3 [ tan ( x ) ]5

3 dx

5 −∫ [tan

( x ) ]

2

3

dx

n!oncesin!egrando "or "ar!es !enemoslo siguien!e

Seau=[ tan ( x ) ]2

3 , dv=dx

du=2 [sec ( x ) ]2dx

33

√ tan

( x

)

, x=v

⇒∫ [ tan ( x ) ]8

3 dx=3 [ tan ( x ) ]

5

3 dx

5 − x [ tan ( x ) ]

2

3+2

3∫ x

[ sec ( x ) ]2

dx3√ tan ( x )

ñ¿∫ x.dx3√ (3+ x2)4





x . dx3

√ (3

+ x

2

)

4=¿∫ √ 3 tan(<). dx

3

√ (3

+3 tan

2

(<))

4

∫ ¿

¿∫ √ 3tan (<).√ 3 sec2(<)

3√ 3(1+ tan2(<))4

d<

¿∫ 3 tan(<). sec2(<)

3√ 34. [ sec

2(<) ]4

3❑

d<

¿ 33√ 34∫ tan(<) .sec

2(<)

[sec(<)]8

3❑

d<

¿ 3

3

3

4

∫ tan(<).sec2(<) . [sec(<)]

−8

3 d<

¿3−13 ∫ tan(<). sec(<)[ sec(<)]

−53 d<

¿3−1

3 sec

−5

3+1(<)

−2

3

¿3

−1

3 sec

−2

3 (<)

−2

3

¿3

−1

3.3

−2 sec

−2

3 (<)

¿ 3

2

3

−2.

1

3√ sec (<)2





¿−

3√ 32

2 .

1

3

√( √ 3+ x

2

√ 3 )2

¿−

3√ 32

2 .

3

√ 3 1

3

√ (√ 3+ x2)2

¿−3

2 .

1

3

√ (√ 3+ x2 )2+c

o¿∫ cos ( x)dx√ cos2 ( x )−2

sea ;cos2 ( x)=!

⇒∫ cos ( x )dx

√ cos2 ( x )−2

¿−1

2∫ √ ! d!

√ ! −2(√ ! √ ! −1)

¿−1

2∫ d!

√ ! 2−3! +2





1

2

¿¿¿2

(! −3

2)2

−¿

√ ¿d! ¿

¿−1

2∫¿

=sandoel!ercer casodel m%!ododela sus!i!ución! rigonom%!rica endonde;

x=asec ( ! )enes!e casoseria; ! −3

2=

1

2sec (∝)

1

2

¿¿¿2

(1

2 sec (∝))

2

−¿

√ ¿tan (∝)sec (∝)d∝

¿

¿−1

2∫ ¿

¿−∫ tan (∝)sec (∝)d∝tan (∝)

¿−∫ sec (∝)d∝

¿−ln∨sec (∝)+ tan (∝)∨+c





( )

( )3

25

4)

5

x dx p

x

+

−∫

5 ( )

5 ec( ) tan( )

x Sec

dx d

θ

θ θ θ

=

=

( ) ( )3#5 3#5

2 2

( 5 ec( ) 4) 5 ec( ) tan( ) ( 5 ec( ) 4) 5 ec( ) tan( )

5ec ( ) 5 5 tan ( )

d d θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ

+ + ÷= ÷−

∫ ∫

( )( )

1#5

6# 55 5

5 ( 5 ec( ) 4)ec( ) tan( ) 5( 5 ec( ) 4)ec( ) tan( )

125 125tan( )

d d

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ

− + ÷ = + ÷

∫ ∫

( ) ( )1#5 1#5

5

55 ec( )ec( ) tan( ) 4 ec( ) tan( )

125d θ θ θ θ θ θ

− − + ∫ ∫

( ) ( ) ( )2 1#5 1#5

5 5

5 4 5ec( ) tan( ) ec( ) tan( )

125 125d d θ θ θ θ θ θ

− −+∫ ∫

( )4#5

1#5

5 5

25 tan( ) 4 5ec( ) tan( )

4125 125d

θ θ θ θ

− + ÷ ÷

∫

2 45) (6 )

xdx

( x−∫

6 ( )

6 co( )

x Sen

dx d

θ

θ θ

=

=





( )( ) ( )( )4# 54 2

25

6 ( ) 6 co( ) 6 ( ) co( )

6 co( )6 6 ( )

sen d sen d

Sen

θ θ θ θ θ θ

θ θ

=

−∫ ∫

3#5

5 4

6( ) co( )

6 sen d θ θ θ −∫

2#5 2#5

5 5 54 4 4

6 5co( ) 15co( )

6 2 6 6

d θ θ θ − −= ÷ ÷

∫

2#52

5 4

15 6

66

xC

− −+ ÷ ÷

r ¿∫3

√ (1+ x2 )2 dx=∫ (1+ x2 )2

3 dx

Sea tan (< )= x

dx=[ sec (< ) ]2d<

⇒∫ (1+ x2 )2

3 dx=∫ [sec (< ) ]2

[ sec (< ) ]2

3 d<

∫ (1+ x2

)

2

3

dx=∫ [sec (< ) ]

2

3

(1+[ tan ( x ) ]2

)d<

∫ [ sec (< ) ]2

3 d<+∫ [ sec (< ) ]2

3 [ tan ( x ) ]2

∫ [sec (< ) ]2

3

tan4 (< )

d<+∫ [ sec (< ) ]2

3 [ tan ( x ) ]2

tan4 (< )

d<





∫ [ sec (< ) ]2

3 ( tan (< ))−4

d<+∫ [sec (< ) ]2

3 [ tan ( x ) ]−2

d<

s ¿∫6

√ (4− x2 )5 x x

2−4dx=∫

(4− x2 )5

6

x2−4

dx

∫6

√ (4− x2 )5 x dx

x2−4

=∫6

√ (22− x2 )5 xdx

x2−4

x=2sin (< )=¿dx=2cos (< )d<

∫6

√ (4− x2 )5 x dx

x2−4

=∫6

√ (4−4sin2 (< ) )5.2sin (< ) .2cos (< )d<

4sin2 (< )−4

sin

6

√ 45 (1−sin2 (< ) )

5

.4sin (< ) .cos (<)d<

4(¿¿ 2 (< )−1)¿∫¿

¿∫6√ 45 6√ cos10(<)

−cos2 (< )

=−6√ 45∫ cos (< )5/3sin (< )

cos (<) d<=−

6√ 45∫ cos (< )2/3 sin (< )d<

¿6√ 45∫−s∈(< )cos (< )

2

3 d<=6√ 45

. cos (< )

5

3

5

3

=3

6√ 45

5 (cos (< ) )

5

3

¿3

6√ 45

5 ( √ 4− x2

2 )5 /3

+k

! ¿∫ 6√ (5−sin( x ))3 dx





a"licandoel m%!odode sus!i!ución !rigonom%!rica!enemos :

¿∫√ 5−sin( x )dx 1

sea: sin ( x )=(√ 5sin(m))2

(√ 5sin(m))2

¿∫√ 5−(√ 5sin(m))2

dx √ 1−(√ 5sin(m))4

x

¿∫√ 5−5sin2(m)dx & ademas; dx=

2√ 5 si n(m)cos(m)dm

√ 1−(√ 5sin (m))4 x

¿∫√ 5cos (m)2√ 5sin(m)cos(m)dm

√ 1−(√ 5sin(m))4

¿∫ 10sin(m)cos(m)cos(m)dm

√ 1

−(√ 5sin

(m))

4

¿5∫sin(2m)d sin(m)

√ 1−(√ 5sin(m))4

u¿∫ 6√ (4− x2)5

Solución:

∫6

√ (22− x2 )5

S.= 2 cos (! ) d( = -2 sen (! )

∫6√ (4− x

2)5=∫ 6√ (4−cos2 ( ! ))5 d(= ∫ 6√ 45(1−cos

2 (! ))5 d(





=6√ 45∫ 6√ (1−cos

2 ( ! ))5

dx =6√ 45∫ 6√ sen

6( x) .6√ sen

4( x)dx

=6√ 45∫ sen ( x )

6√ sen4 ( x )dx =

6√ 45∫ sen ( x ) sen2

3 ( x ) dx

Sea: u= sen2

3 ( x ) du=2

3 √ sen ( x ) d(

d=en*() d(=-co*()

6

√ 45

∫ sen ( x ) sen

2

3

( x ) dx=¿ -6

√ 45

sen

2

3 ( x ) cos( x) +

6

√ 4

5

∫2

3 √ sen ( x ) .cos

( x ) d(

= -6√ 45

sen2

3 ( x ) cos( x) +2

3

6√ 45∫√ sen ( x ) .cos( x )d(

Sea: u= √ sen ( x ) du=1

2√ sen( x) d(

d= cos

( x) d(= sen( x)

2 2 6√45∫√ ( ) ( )

segunda practica de ana. mate. ii

Documents