posgrado en tecnologÍa avanzada

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA

APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA

QUERÉTARO

POSGRADO EN TECNOLOGÍA AVANZADA

RESOLUCIÓN DE MECANISMO PARALELO PLANAR 3RRR

IMPULSADO POR ACTUADORES ELÉCTRICOS

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN TECNOLOGÍA AVANZADA

P R E S E N T A

RICARDO YAÑEZ VALDEZ

DIRECTOR DE TESIS:

M. C. MAXIMIANO F. RUIZ TORRES

QUERÉTARO, Qro. Noviembre del 2007

CICATA Querétaro -IPN

ii

Resolución de Mecanismo Paralelo Planar 3RRR

impulsado por Actuadores Eléctricos

Ricardo Yañez Valdez

Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada

Instituto Politécnico Nacional

Querétaro, México


iii

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a mis padres y hermanos por su apoyo de toda la vida. A mi director de tesis

Maximiano F. Ruiz Torres por su enseñanza, orientación, confianza y paciencia. A CONACYT

por su importante apoyo. Al Instituto Politécnico Nacional por abrirme sus puertas y darme la

oportunidad de continuar mis estudios. A los profesores de CICATA_Qro. por su enseñanza. Al

personal administrativo de CICATA_Qro. en especial a Lucina de la paz López Arellano por sus

consejos y apoyo. A mis compañeros en especial a Jesús Pichardo por sus oportunas opiniones y

apoyo hacia mi proyecto.


iv

ÍNDICE

Página

Índice iv

Glosario vi

Lista de figuras vii

Lista de tablas x

Nomenclatura xi

Resumen xii

Abstract xiii

Estructura del trabajo de tesis xiv

Capitulo I Estado del Arte 1

1.1 Introducción 2

1.2 Ejemplo de aplicación 4

1.3 Objetivo general 6

1.4 Objetivos particulares 6

1.5 Justificación 6

1.6 Antecedentes 9

Capitulo II Marco Teórico 18

2.1 Introducción 19

2.2 Arquitecturas de MPP de 3-GdL 19

2.3 Cinemática del MPP 3RRR 22

2.4 Análisis de posición 24

2.4.1 Cinemática inversa 24

2.4.2 Cinemática directa 25

2.5 Configuraciones singulares 25

2.6 Exactitud, Repetibilidad y Resolución 29

2.7 Actuadores 31

2.7.1 Motores a pasos 32

Capitulo III Metodología 36



v

3.2 Espacio de trabajo del MPP 3RRR 37

3.3 Postura C-C-C 42

3.4 Resolución del MPP 3RRR 43

Capitulo IV Diseño del Mecanismo 59


4.2 Consideraciones al diseño 60

4.3 Diseño conceptual 61

4.4 Diseño de detalle 62

4.4.1 Materiales 63

4.4.2 Planos 64

Capitulo V Análisis de Resultados 66

Conclusiones 73

Recomendaciones 78

Apéndices 81

A Geometría del mecanismo 82

B Cinemática inversa 85

C Cinemática Directa 87

D Análisis Jacobiano 90

D.1 Forma vectorial 90

D.2 Forma algebraica 92

E Planos 95

F Códigos 104

Referencias bibliográficas 115


vi

GLOSARIO

Análisis. Descomponer, desarmar en sus partes constituyentes. Cadena cinemática. Ensamble de eslabones y juntas interconectados de modo que produzcan un movimiento controlado en respuesta a un movimiento suministrado. Cinemática. Rama de la mecánica que estudia los movimientos de los cuerpos, con independencia de las fuerzas que lo producen. Circuito en un mecanismo. Todas las orientaciones posibles de los eslabones que pueden ser obtenidas sin desconectar ninguna de las juntas. Configuración singular. Posición limite donde el mecanismo es susceptible a trabarse y no puede alcanzar una posición de diseño especifica. Diseño. Proceso de aplicar las diversas técnicas y principios científicos con el propósito de definir un dispositivo, un proceso o un sistema con suficientes detalles que permitan su realización. Efector final. Último eslabón de un manipulador robótico, diseñado para realizar una tarea especifica. Eslabón. Cuerpo rígido que posee por lo menos dos nodos que son puntos de unión con otros eslabones. Espacio de trabajo. Conjunto de todas las posiciones y orientaciones que la plataforma móvil puede alcanzar. Grados de Libertad. Numero de coordenadas independientes requerido para definir su posición. Junta cinemática. Conexión entre dos o más eslabones, la cual permite algún movimiento entre los eslabones conectados. Mecanismo. Una cadena cinemática en la cual por lo menos un eslabón se ha fijado al marco de referencia. Postura. Manera en que esta construido el mecanismo. Trayectoria. Línea descrita por un punto material en movimiento.


vii

LISTA DE FIGURAS

Página

Figura 1.1 Mecanismos de 2 y 3-GdL. 3

Figura 1.2 Mecanismo esférico 3-GdL. 3

Figura 1.3 Mecanismos espaciales. 4

Figura 1.4 Esquema de la técnica de rotación óptica. 5

Figura 1.5 Mesas de desplazamiento lineal θXY . 7

Figura 1.6 Diagrama del sistema de posicionamiento θXY . 7

Figura 1.7 Primer mecanismo espacial paralelo. 9

Figura 1.8 Primer robot industrial paralelo. 10

Figura 1.9 Plataforma de Gough. 10

Figura 1.10 Plataforma de Stewart. 11

Figura 1.11 Simulador de movimiento de Klaus Cappel. 11

Figura 1.12 Mecanismo Paralelo Planar 3RPR. 13

Figura 1.13 Mecanismo Paralelo Planar 3RRR. 13

Figura 1.14 Prototipo didáctico del MPP 3RRR. 14

Figura 1.15 Mecanismo Paralelo Planar con 3-GdL. 14

Figura 1.16 MPP usado como interfase de locomoción para caminar

omnidireccionalmente.

15

Figura 2.1 Siete posibles combinaciones de cadenas conectadas en

serie.

21

Figura 2.2 MPP básicos con cadenas cinemáticas idénticas. 21

Figura 2.3 Junta de pasador rotatoria de 1 GdL. 22

Figura 2.4 Esquema del MPP 3RRR. 23

Figura 2.5 Esquema de la singularidad inversa en un MPP 3RRR. 27

Figura 2.6 Esquema de la singularidad directa en un MPP 3RR. 28

Figura 2.7 Esquema de la singularidad paralela en un MPP 3RRR 28

Figura 2.8 Esquema de la singularidad serial en un MPP 3RRR. 29

Figura 2.9 Definición de exactitud, repetibilidad y resolución. 30

Figura 2.10 Motor a pasos (200 p) unipolar. 33


viii

Figura 2.11 Exactitud de posición de un motor a pasos 34

Figura 3.1 Las ocho posturas del mecanismo paralelo 3RRR 38

Figura 3.2 Espacio de trabajo ideal del MPP 3RRR 39

Figura 3.3 Espacio de trabajo útil del MPP 3RRR para cada postura 40

Figura 3.4 Espacio de trabajo útil del MPP 3RRR con las trayectorias

Loci.

41

Figura 3.5 Orientación del MPP 3RRR, postura C-C-C. 42

Figura 3.6 Distancia horizontal D desde o hasta o’. 44

Figura 3.7 Gráfica de posición: 200 pasos/rev. (1.8° por impulso) 45




Figura 3.11 Distancia vertical D desde o hasta ô. 46





Figura 3.16 Gráfica de posición: 200 pasos/rev. (1.8° por impulso)

25mm arriba de la recta original.

48


25mm arriba de la recta original.

49


25mm debajo de la recta original.

49


25mm debajo de la recta original.

49

Figura 3.20 Circunferencia r=1.5 mm. 50

Figura 3.21 Circunferencia r=10 mm. 50

Figura 3.22 Circunferencia r=18 mm. 51

Figura 3.23 a) Nube de puntos: 200 pasos/rev. b) Acercamiento a la

nube de puntos.

51


ix

Figura 3.24 Dispersión de puntos aplicando limites de confianza. 52

Figura 3.25 Puntos más cercanos a la línea recta. 53

Figura 3.26 Gráfica de posición 200 pasos/rev. (1.8° por impulso) 53





Figura 4.1 Diseño conceptual del mecanismo paralelo 3RRR 62

Figura 5.1 Grafica de posición: conjunto de puntos generados

empleando micropasos

70

Figura 5.2 Trayectoria seguida con puntilla de 0.5 mm de diámetro

con a) 200 pasos/re. b) 4800 pasos/rev.

70

Figura 5.3 Ángulo que forman los puntos en una dirección preferente

respecto a la línea recta.

71

Figura A.1 Esquema de la primera cadena cinemática. 83

Figura A.2 Esquema de la segunda cadena cinemática. 83

Figura A.3 Esquema de la tercera cadena cinemática. 84

Figura D.1 Esquema para el lazo vectorial de la primera cadena

cinemática.

90

Figura D.2 Esquema de la cadena cinemática considerada como un

manipulador serial.

93


x

LISTA DE TABLAS Página

Tabla 2.1 Combinaciones posibles de MPP con juntas cinemáticas de

revolución y prismáticas.

20

Tabla 5.1 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta horizontal.

67

Tabla 5.2 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta vertical.

67

Tabla 5.3 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta horizontal 25 mm arriba de la original.

68

Tabla 5.4 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta horizontal 25 mm debajo de la original.

68

Tabla 5.5 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: Recta horizontal.

69


xi

NOMENCLATURA

A, B, …, F Juntas pasivas P, Q, R Juntas activas R Junta cinemática de revolución P Junta cinemática prismática U Junta cinemática universal S Junta cinemática esférica G Centro de masa de la plataforma móvil GdL Grados de libertad h Longitud de la plataforma móvil s Seno del ángulo c Coseno del ángulo t Tangente del ángulo j Matriz Jacobiana

il Longitud del eslabón i

ia Longitud del primer eslabón de la cadena i

ib Longitud del segundo eslabón de la cadena i

),( yx Sistema de coordenadas

e,∂ Parámetros de sustitución

iθ Coordenada articular de la cadena i

φ Ángulo de la plataforma móvil respecto a eje de referencia ),( yx

x& Vector de velocidad de las coordenadas de posición

q& Vector de velocidad de las coordenadas articulares

io Origen de la cadena i

pgr Vector de posición

gv Vector de velocidad

iθ& Velocidad angular del eslabón i


xii

RESUMEN En este trabajo se propone el diseño de una mesa de trabajo empleando un

mecanismo paralelo planar de tres grados de libertad. El análisis cinemático es

estudiado con el propósito de determinar, para cada configuración, su espacio de

trabajo, así como las configuraciones singulares a las que son susceptibles. Con

este resultado parcial el análisis subsecuente se concentra en una sola

configuración y se determina la resolución que puede alcanzar simulando que es

impulsado con motores a pasos, empleando micropasos. Se muestra el diseño

conceptual y las características generales para su construcción.


xiii

ABSTRACT In this work the design of a work bench based in a 3-DOF planar parallel

mechanism is propose. The kinematics analysis of this mechanism is studied in

order to determine not only its workspace but also its singular configurations.

The subsequent analysis concentrates on the best configuration and the

resolution is obtained with micro steps techniques. It is shown conceptual

design and general characteristics for building.


xiv

Estructura del trabajo de tesis La estructura de este trabajo de tesis se presenta de la siguiente manera: en el

capitulo 1 se describe la justificación del trabajo a desarrollar, el objetivo, los

antecedentes, y se muestran los trabajos realizados en diferentes instituciones

sobre el diseño y construcción de MPP.

En el capitulo 2 se describen las diferentes arquitecturas de la familia de

mecanismos paralelos planares, resultado de la combinación de las juntas

cinemáticas con las que generalmente se conectan los eslabones cuyo

movimiento esta presente en un plano. Se analiza la cinemática directa e inversa

del mecanismo paralelo 3RRR, las condiciones de singularidad y se detallan

tópicos que se tomarán de referencia posteriormente.

En el capitulo 3 se determina el espacio de trabajo del mecanismo y se analiza,

para cada postura que puede adoptar, las singularidades que pueden presentar.

Se selecciona una configuración y a partir de esta se calcula la resolución que

alcanza el mecanismo simulando que es impulsado con motores a pasos,

empleando micropasos.

En el capitulo 4 se describen las consideraciones que se hacen al diseño del

mecanismo, se plantea el diseño conceptual y los materiales a utilizar para la

fabricación del mecanismo.

En el capitulo 5 se analizan los resultados obtenidos.

Se incluyen apéndices al final del trabajo donde se puede consultar con mayor

detalle como es que se obtienen las formulas, ecuaciones, parámetros

geométricos que se describieron a lo largo del proyecto así como los dibujos de

detalle del mecanismo.


xv


1

CAPITULO I

ESTADO DEL ARTE


2

1.1 Introducción Según el “Robot Institute of America” la definición de robot es; mecanismo

programable multifuncional diseñado para mover materiales, piezas,

herramientas o dispositivos especiales, mediante movimientos variados,

programados para la ejecución de distintas tareas. La mayor parte de los robots

o manipuladores industriales, que en la actualidad se utilizan, son esencialmente

brazos articulados con estructura serial. Sin embargo, el uso de mecanismos

articulados con estructura paralela ha aumentado en los últimos años en

laboratorios, fábricas, escuelas, hospitales, centros recreativos, centros de

investigación, etc. para ser utilizados en aplicaciones donde tienen ventaja sobre

los manipuladores seriales, estas son:

- Tienen la capacidad de manipular cargas muy superiores a su propio peso.

- Ofrecen alta rigidez y bajo peso.

- Presentan elevadas velocidades de operación.

También presentan otras características, que pueden representar una desventaja

según se apliquen:

- Su cinemática es más complicada.

- El espacio de trabajo suele ser pequeño y no es sencillo su cálculo.

- Debe resolverse para cada topología el problema de las configuraciones

singulares.

Un robot paralelo es aquel cuya estructura mecánica esta formada por un

mecanismo de cadena cerrada en el que el efector final se une a la base por al

menos dos cadenas cinemáticas independientes [Aracil et. al, 2006]. La

combinación del número de cadenas cinemáticas, el tipo de estas, sus

restricciones en el movimiento de las articulaciones y otras características,

hacen que existan innumerables configuraciones estructurales para los

mecanismos paralelos. De acuerdo al tipo de movimiento natural que son


3

capaces de realizar los manipuladores mecánicos, se pueden clasificar en

planares, esféricos y espaciales [Tsai, 1999].

En los mecanismos paralelos planares (MPP) su movimiento esta sujeto a un

plano, pueden tener 2 o 3 grados de libertad (GdL); traslación en el plano y una

rotación sobre un eje perpendicular al mismo. La figura 1.1 muestra algunas

configuraciones estructurales con 2 y 3-GdL.

Figura 1. 1 Mecanismos de 2 y 3-GdL [Aracil et. al, 2006].

En los mecanismos paralelos esféricos el movimiento de sus eslabones describe

curvas alrededor de un punto en común formando una esfera concéntrica. Su

configuración se caracteriza por tener dos articulaciones de rotación y una

prismática (RRP). La figura 1.2 muestra un mecanismo esférico 3RRR de 3-GdL

(The Agile Eye) desarrollado para obtener una rápida orientación de una

cámara.

Figura 1. 2 Mecanismo esférico 3-GdL [Yang et. al, 2003].


4

Los mecanismos paralelos espaciales evolucionan en todo el espacio

tridimensional disponiendo de traslación y/u orientación. Estas estructuras

pueden alcanzar 3, 4, 5 y 6 GdL. Se caracterizan por contener en sus uniones de

accionamiento juntas universales (U; 2 GdL) o esféricas (S; 3 GdL). La figura

1.3 muestra algunos ejemplos.

Figura 1. 3 Mecanismos espaciales [Aracil et. al, 2006].

En las ultimas décadas han aparecido diversas propuestas de mecanismos de

cinemática paralela para dar solución a problemas de muy diversa índole:

simuladores de vuelo, robots caminantes, sistemas acumuladores ajustables,

máquinas de minería, máquinas herramienta de alta velocidad y precisión, etc.

[García, 2005].

El estudio de los mecanismos se justifica con los importantes avances realizados

en el diseño de instrumentos, controles automáticos y equipo automatizado,

formando parte del diseño de maquinas que se interesa en el análisis cinemático

de los mecanismos de eslabones articulados [Mabie, 2004].

1.2 Ejemplo de aplicación Actualmente en CICATA Querétaro del IPN, en el laboratorio de metrología

óptica, se realizan experimentos a muestras biológicas aplicando la técnica de

rotación óptica o actividad óptica. La figura 1.4 muestra el esquema de esta

técnica.


5

Polar

Amplificador PEM 90

• •

•

• •

•

Diodo Láser

• •

•

• •

•

• •

•

• •

•

Lock in

Detector

Mod

Polarizador

Sistema de calentamiento

Aire caliente

Polarizador Sensor de temperatura

La rotación óptica se mide con un polarímetro que consta de una fuente de luz,

un polarizador del que sale luz oscilando en un único plano, una muestra y un

analizador que permite medir la rotación del vector de polarización. La

polarimetría es una técnica que se basa en la medición de la rotación óptica

producida sobre un haz de luz polarizada al pasar por una sustancia ópticamente

activa.

Figura 1. 4 Esquema de la técnica de rotación óptica [López, 2004]. Un problema se presenta cuando el laboratorista desea nivelar la posición y

orientación de los polarizadores con respecto a la dirección del diodo láser. Los

instrumentos que utiliza, típicamente, para conseguir la posición deseada son

mesas de desplazamiento lineal de coordenadas xy. La operación de estos

dispositivos es manual y conseguir que los polarizadores tengan la orientación

adecuada tanto para polarizar la luz proveniente del diodo laser así como para

hacerla llegar al detector es difícil y tardado. Además, no se tiene la garantía que

una vez lograda la posición adecuada, éste permanezca así por el tiempo que

dure el experimento.


6

1.3 Objetivo general La propuesta de este trabajo de tesis es diseñar un mecanismo paralelo que

ofrezca tres grados de libertad cuya movilidad sea en un plano, analizar su

cinemática y calcular la resolución que puede alcanzar la plataforma móvil al ser

impulsado el mecanismo con actuadores eléctricos. Entendiendo por resolución

la distancia mínima lineal que puede adoptar la plataforma móvil por cada paso

del motor o combinaciones de pasos de los motores.

1.4 Objetivos particulares - Definir el tipo de arquitectura a utilizar.

- Dadas las coordenadas articulares del mecanismo determinar la posición y

orientación del eslabón acoplador.

- Dadas la posición y orientación del eslabón acoplador determinar las

coordenadas articulares del mecanismo.

- Obtener el espacio de trabajo del mecanismo

- Examinar las condiciones de singularidad para prevenir que se trabe al estar

operando.

- Obtener la resolución alcanzable del mecanismo.

- Diseñar el mecanismo con apoyo de los resultados del análisis cinemático.

1.5 Justificación Generalmente cuando se tiene necesidad de controlar un desplazamiento lineal,

bien sea manualmente o mediante sistemas automáticos de posicionamiento, es

frecuente el uso de mesas de desplazamiento lineal XY (Figura 1.5). Estas

plataformas se componen de una mesa dividida en dos partes, la parte inferior

permanece fija permitiendo que la parte superior se deslice sobre ésta, la cual a


7

su vez es forzada a moverse en una dirección por medio de un mango

micrométrico.

Figura 1. 5 Mesas de desplazamiento lineal θXY [Pham, 2002]

La resolución que pueden alcanzar estas mesas esta en el orden de ,25 mµ para

las mesas convencionales, y de ,4.0 mµ para las mesas con motor CD adaptado.

El desplazamiento lineal que pueden alcanzar cubre un rango de mma 30030

en las direcciones horizontal y vertical, dependiendo del tamaño de las mesas.

Cuando se busca que además de desplazarse linealmente en dos direcciones gire,

se acopla una tercera mesa. El resultado es un mecanismo compuesto de tres

mesas sobrepuestas. Sin embargo, este tipo de dispositivos presentan ligeras

desventajas debido al arreglo en serie de los actuadores [Pham, 2002]. Para

lograr tres grados de libertad –dos de traslación (dirección yx ) y uno de

rotación (orientación θ )- la mesa inferior debe soportar su propia plataforma

móvil más las dos mesas superiores, esto conlleva que los errores de exactitud se

acumulen [Pham, 2002].

Por otro lado, existen mesas que ofrecen posicionamiento con una exactitud de

nm10 con la característica de no tener mesas sobrepuestas (figura 1.6).

Figura 1. 6 Diagrama del sistema de posicionamiento θXY [Burton et. al, 1996]


8

Este tipo de plataformas es utilizado en aplicaciones donde se requiere alta

velocidad de posicionamiento ( )sin50 . El costo comercial de éste dispositivo no

fue posible conocerlo.

Es importante señalar que el uso de estas mesas, y prácticamente de todos los

dispositivos que se encuentran comercialmente, conlleva a realizar una inversión

considerable, del orden de $800 USD por unidad dependiendo del modelo. Por

un lado, cuando se busca un dispositivo con estas características por primera

vez, se descubre que la fabricación de estos instrumentos en México es escasa o

nula, esto habla de la necesidad de crear tecnología propia en el país. Por otra

parte, cuando ya se cuenta con un dispositivo y se busca adaptar un motor para

obtener una mejor resolución, cuando en principio no esta incluido, resulta al

final en un producto oneroso.

Al utilizar un MPP para cubrir los mismos tres grados de libertad que se

obtienen con las mesas lineales, se esta remplazando un mecanismo por tres.

Existen algunas características generales que hacen ventajoso a los MPP sobre

las mesas lineales.

- Capacidad elevada de carga. El sistema al trabajar en paralelo la disposición de

los actuadores hace que, al mover una determinada carga, el esfuerzo no recaiga

en un solo actuador y se reparta en todos por igual.

- Plataforma móvil. La carga esta soportada por una base ligera y resistente, de

manera que las condiciones de movimiento no se vean afectadas por un peso

extra.

- Alta aceleración. Cada actuador, al no tener que soportar el peso de los demás,

ejerce todo su par en acelerar la carga útil.


9

- Menor incertidumbre en el posicionamiento. Cada actuador es independiente

de los demás, así, a éste no se le suma el error de imprecisión que los otros

actuadores podrían tener. Logrando una forma menos complicada de obtener

alguna determinada posición.

- Elevada rigidez. La estructura de un mecanismo paralelo forma una cadena

cinemática cerrada entre la base fija y la móvil. La rigidez mejora o empeora

dependiendo la forma en la que son conectados los eslabones.

El uso de dispositivos de posicionamiento no es exclusivo de laboratorios

ópticos. El análisis de este trabajo y su futura aplicación se extendería a aquellas

áreas donde se demande posición y orientación en un plano.

1.6 Antecedentes

Los primeros trabajos teóricos relacionados con la estructura mecánica paralela

aparecieron cuando los primeros geómetras franceses e ingleses realizaron sus

estudios sobre los poliedros y sus aplicaciones [Aracil et al, 2006].

El primer mecanismo paralelo fue patentado en el año 1931 (US Patent No.

1789680). Se trataba de una plataforma de movimiento destinada a la industria

del entretenimiento (figura 1.7) diseñada por James E. Gwinnett [Aracil et al,

2006].

Figura 1. 7 Primer mecanismo espacial paralelo [Aracil et. al, 2006]


10

El primer diseño de robot industrial paralelo aparece en 1940 (US Patent No.

2286571). Era un ingenioso robot de 5 GdL (figura 1.8) creado por William L.

V. Pollard destinado a operaciones de pintura con spray. El robot consistía en

tres brazos de dos eslabones cada uno unidos mediante juntas universales

[Aracil et al, 2006].

Figura 1. 8 Primer robot industrial paralelo [Aracil et. al, 2006] Han sido otros mecanismos paralelos los que han logrado un mayor

reconocimiento general y han contribuido a la aparición de un mayor número de

publicaciones relacionadas con la robótica paralela. En 1947 el Dr. Gough

diseño un octaedro hexápodo con lados de longitud variable (figura 1.9) como

plataforma para la comprobación del comportamiento de los neumáticos de la

casa Dunlop bajo cargas aplicadas en diferentes ejes. De esta forma se intentaba

simular el proceso de aterrizaje de un avión [Aracil et al, 2006].

Figura 1. 9 Plataforma de Gough [Aracil et. al, 2006]


11

En 1965 Mr. Stewart presento un artículo en el que describía una plataforma de

movimiento de 6 GdL destinada a trabajar como simulador de vuelo. Este

trabajo se considera como uno de los primeros trabajos de análisis de

plataformas paralelas [Aracil et al, 2006].

Figura 1. 10 Plataforma de Stewart [Aracil et. al, 2006]. En 1967 el ingeniero Klaus Cappel realizaba en el Franklin Institute Research

Laboratory numerosas investigaciones con plataformas paralelas de 6 GdL. en

ese año Cappel patentaba un simulador de movimiento basado en un hexápodo

(figura 1.11) [Aracil et al, 2006].

Figura 1. 11 Simulador de movimiento de Klaus Cappel [Aracil et. al, 2006].

En 1978 Hunt sugirió que se usaran los mecanismos actuados de forma paralela

de los simuladores de vuelo, como robots manipuladores y destacó que los

mecanismos paralelos requerían de un estudio más detallado a la vista de las


12

ventajas en cuanto rigidez y precisión respecto a los robots serie convencionales

[Aracil et al, 2006].

En 1979 McCallion y Pham fueron los primeros que propusieron usar la

plataforma de Stewart como un mecanismo paralelo para una célula de

ensamblaje robotizada, fundamentalmente porque la posición de efector final es

mucho menos sensible a los errores que los sensores articulares de los robots en

serie [Aracil et al, 2006].

En la década de los 80’s algunas configuraciones fueron construidas y

controladas, numerosos trabajos se realizaron analizando la cinemática,

dinámica, el espacio de trabajo y el control. Se realizaron estudios preliminares

de varias configuraciones, y se compararon los meritos entre mecanismos

paralelos y seriales [Williams et. al, 1999].

Para 1985 se había examinado la solución cinemática de tres diferentes

mecanismos paralelos con 3GdL. En 1988 se estudiaron la dinámica y el espacio

de trabajo de los mecanismos paralelos. En 1996 se presento un estudio que

comprendía el análisis de posición, el espacio de trabajo y la velocidad

cinemática de un mecanismo paralelo [Williams et. al, 1999].

Trabajos con un enfoque más general fueron presentados en la década de los

90’s. Se realizó un estudio completo de los esquemas de actuación, las relaciones

de velocidad y las condiciones singulares de un mecanismo paralelo 3RPR. Así

como un algoritmo de computación paralela para la cinemática y dinámica de

mecanismos espaciales y planares. Se resolvió el problema de la posición

cinemática directa para una amplia clase de mecanismos paralelos planares. Y se

resolvió el problema de la posición inversa y de velocidad cinemáticas para esa

misma clase [Williams et. al, 1999].


13

Han sido desarrollados últimamente con diversas aplicaciones trabajos

relacionados con el diseño, construcción y control de MPP. En la Universidad

de Ohio USA se diseño un mecanismo paralelo 3RPR (figura1.12) para evaluar

el control de éste usando cilindros neumáticos de aire como juntas prismáticas

activas. A su vez, las juntas de revolución fueron todas pasivas. No se expresan

detalles acerca de la resolución alcanzada o alguna otra característica

relacionada con la precisión de su desplazamiento. Tampoco de obtienen

detalles del diseño.

Figura 1. 12 Mecanismo paralelo planar 3RPR [Williams et. al, 1999].

En el Instituto de Manufactura Tecnológica de Singapur se construyó un

mecanismo paralelo planar 3RRR (figura1.13) con el objetivo de desarrollar un

método geométrico para el análisis de configuraciones singulares con diferentes

esquemas de actuación. Otra vez, no se obtiene información acerca de la

precisión que puede alcanzar este diseño. Se puede visualizar en el trabajo que

su aplicación no tiene la finalidad de aportar este dato.

Figura 1. 13 Mecanismo paralelo planar 3RRR [Yang, 2002]


14

En el Instituto Tecnológico de Georgia USA, se construyó un prototipo 3RRR

(figura 1.14) con la finalidad de introducir a los estudiantes al estudio de los

mecanismos. Para la construcción de este manipulador se utilizó un equipo

especial de ensamble de robots. Aunque en este modelo añaden una luz

indicadora, en la plataforma movible, para seguir el curso de los cambios en

posición y orientación que ésta toma, no se habla de una resolución alcanzada en

el modelo. La aplicación de este prototipo es puramente didáctica.

Figura 1. 14 Prototipo didáctico del MPP 3RRR [Ebert, 2002].

Otro prototipo del mecanismo paralelo 3RRR con 3GdL (figura 1.15) fue

construido en conjunto por miembros de la IEEE con la finalidad de estudiar las

configuraciones singulares con un enfoque geométrico y, nuevamente, no se

obtienen detalles del diseño, ni aspectos relacionados con parámetros de

resolución o exactitud.

Figura 1. 15 Mecanismo paralelo planar con 3GdL [Liu et. al, 2003].


15

Un prototipo 3RRR desarrollado en el Instituto de Ciencia y Tecnología de

Kwangju fue diseñado como interfase de locomoción que puede simular la acción

de caminar natural y omnidireccionalmente (figura 1.16). No se expresa en el

trabajo nada relacionado con la resolución que puede alcanzar esta construcción.

Figura 1. 16 Mecanismo paralelo planar usado como interfase de locomoción para caminar omnidireccionalmente [Yoon, 2002].

El análisis de los mecanismos paralelos no es exclusivo de los países

industrializados. En México el interés por aportar conocimiento nuevo se ha

venido incrementado, específicamente en la Facultad de Ingeniería en la

Universidad Autónoma de Querétaro se han desarrollado trabajos relacionados

con mecanismos paralelos planares y espaciales de 3 y 6 GdL respectivamente.

En el 2002 se diseño y construyo una tarjeta de control de movimiento para un

robot paralelo Delta de 3 GdL.

En el 2003 se analizó el espacio de trabajo del mecanismo paralelo Delta de

3GdL con el fin de formalizarlo matemáticamente.

En el 2004 se propuso un trabajo que presenta dos formas de calibrar un MPP.

Una consiste en un algoritmo basado en la geometría inherente a la constitución

del MPP. La segunda forma fue a través del modelo cinemático directo (MCD).

Se requirieron cinco encoders para poder completar el MCD de tal forma que


16

tuviera una solución. Se le denomina auto calibración ya que toma los valores de

los encoders montados en las articulaciones rotatorias sin necesidad de otro

aparato para obtener datos para la calibración, puede hacerse a cada movimiento

del mecanismo.

Ese mismo año se desarrollo un controlador aplicado a motores CD mediante la

tarjeta PMAC para realizar la ejecución de tareas de posicionamiento de un

robot paralelo tipo Delta.

En este periodo de tiempo, del 2002 al 2007, se han construido algunos

mecanismos planares y espaciales como el 3RRR y el tipo Delta, entre otros, con

la finalidad de comprobar en la práctica los resultados teóricos obtenidos.


17


18

CAPITULO II

MARCO TEÓRICO


19

2.1 Introducción.

Tomando de referencia el ejemplo de aplicación descrito en el capitulo 1. La

necesidad de nivelar la posición y la orientación de los polarizadores respecto a

una dirección determinada en la técnica experimental de polarimetría, es un

problema que se puede resolver con la aplicación de un mecanismo paralelo que

ofrezca 3-GdL. Dado que la posición, que se debe cubrir, esta sujeta a un plano

( )yx, y la orientación esta sujeta a un ángulo ( )θ perpendicular a éste, el

mecanismo paralelo que se necesita es uno que se mueva en el plano (planar) y

que además permita cambiar la orientación de su plataforma móvil.

2.2 Arquitecturas en mecanismos paralelos de 3-GdL.

Los grados de libertad de un mecanismo son el numero de parámetros

independientes necesarios para especificar la configuración del mecanismo

completamente [Tsai, 1999]. Existe una notación que define la ecuación

conocida como criterio de Grübler o criterio de Kutzbach [Tsai, 1999].

( ) ∑+−−=i

ifjnF 1λ (2.1)

donde:

=F Grados de libertad del mecanismo

=λ Grados de libertad del espacio en cual se desea que el

mecanismo funcione.

=n Numero de eslabones, incluyendo la base fija.

=j Numero de juntas cinemáticas.

=f Grados de libertad permitidos por la junta cinemática i.


20

Para mecanismos planares paralelos se tiene:

( ) GdLxF

jj

n

i

3191983

;9

;8

;3

=+−−=

==

=

=λ

Es conocido que los mecanismos que ofrecen esta movilidad se caracterizan por

tener tres cadenas cinemáticas conectadas con dos juntas pasivas y una activa.

Existen 21 arquitecturas en mecanismos de 3-GdL en total (tabla 2.1) como

resultado de la combinación entre juntas prismáticas (P) y de revolución (R). Sin

embargo, tres de estas arquitecturas (marcadas con ∞) no producen 3-GdL ya

que resulta un mecanismo de un solo grado de libertad controlable. Además, hay

ocho pares de cadenas simétricas (marcadas con ≈), donde cada par resulta en

dos mecanismos paralelos cinemáticamente equivalentes [Bonev, 2002]. Por lo

tanto, tenemos diez arquitecturas para examinar. Al no interesar que junta es

activa o pasiva se eliminan las repeticiones y se reduce a siete el número de

cadenas conectadas en serie (figura 2.1).

RRR RPR RPP ∞ PRR PRP PPR RRP

RRR RPR RPP PRR PRP ∞ PPR ≈ RRP ≈

RRR ≈ RPR ≈ RPP ≈ PRR ≈ PRP ≈ PPR ∞ RRP ≈

Tabla 2. 1 Combinaciones posibles de MPP con juntas cinemáticas de revolución y prismáticas [Merlet, 1996]

La arquitectura con cadenas PPP no es usada y no se incluye en la tabla 2.1

porque solo dos juntas prismáticas en una cadena son independientes [Williams,

1997].


21

Figura 2. 1 Siete posibles combinaciones de cadenas conectadas en serie [Williams, 1997].

Estas mismas combinaciones se representan en la figura 2.2 usando tres cadenas

idénticas que conectan en paralelo la plataforma móvil a la fija.

Figura 2. 2 MPP básicos con cadenas cinemáticas idénticas [Bonev, 2002].

La arquitectura que se ha seleccionado es la de tipo 3RRR. Su principal

característica es que los actuadores están fijos a la base, no hace uso de juntas

prismáticas, permite el uso de motores impulsores económicos y reduce el peso

del equipo movible. Además, los eslabones pueden ser hechos de lámina delgada

conectados con rodamientos produciendo articulaciones, prácticamente, sin

ninguna limitante mecánica, maximizando considerablemente su espacio de

trabajo.


22

2.3 Cinemática del mecanismo paralelo 3RRR. Un MPP 3RRR consiste de una plataforma movible y una base fija, conectadas

por tres cadenas cinemáticas, y cada cadena tiene tres juntas cinemáticas de

revolución. La junta, de par inferior [Norton, 1992], de revolución permite un

grado de Libertad. Dos eslabones conectados con una junta de revolución

forman una junta de pasador rotatoria con cierre de forma, figura 2.3.

Figura 2. 3 Junta de pasador rotatoria de 1 GdL [Norton, 1992].

Este mecanismo es más propicio para el desarrollo de experimentos en

laboratorios y sirve muchas veces como modelo de introducción a los

mecanismos paralelos para estudiantes universitarios [Ebert, 2002]. Las

razones principales por las cuales se prefiere son porque éste es un mecanismo

planar, el cual es mucho más fácil de visualizar y analizar que un mecanismo

espacial, es práctico y fácil de construir.

Refiriéndose a la figura 2.4, el origen de un eje coordenado esta localizado en el

punto P. El eje x esta a lo largo de la dirección de PQ y el eje y es

perpendicular a PQ. Se asume que la plataforma movible ABC y la plataforma

fija PQR son triángulos rectángulos. Entonces; hACBCAB === y

cRPQRPQ === .

La localización de la plataforma movible puede ser especificada en términos de

la posición del punto A, y un ángulo de orientación, φ [Tsai, 1999].


23

Figura 2. 4 Esquema del MPP 3RRR

Después de formar 3 ecuaciones de lazo vectorial, para cada una de las cadenas

cinemáticas, sustituir y desarrollar en términos de las dimensiones de los

eslabones, de las coordenadas [ ]iAA yx θ,, con 3,2,1=i las ecuaciones

geométricas que se obtienen son: (el desarrollo se presenta en el apéndice A)

Cadena 1;

022 21

211111

22 =−+−−+ basaycaxyx AAAA θθ (2.2) Cadena 2;

02222222

22222

2222222222

2222

22

22222

=−++−−−−

−−++−++++−−+

θφθθφφθφθ

θφφ

shsasaycaxhsyhcxchcasay

caxhsyhcxbahyxyyxxyx

QQQQA

AAAQQQAQAAA

(2.3) Cadena 3;

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0222

22222

2222

3333333

333333333

3323

23

22222

=+−++

++−+−+−−−

−++++−++++−−+

θφθθ

φφθφθθ

φφ

π

πππ

ππ

shsasaycax

hsyhcxchcasaycax

hsyhcxbahyxyyxxyx

RR

RRAA

AARRRARAAA

(2.4)


24

2.4 Análisis de posición.

2.4.1 Cinemática inversa. La cinemática inversa procura determinar los valores de las coordenadas

articulares [ ]321 , , θθθ , conocida la localización de la plataforma móvil [ ]φ, , yx .

Las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 se escriben en la forma

3,2,1con ;0321 ==++ iecese ii θθ (2.5)

Se resuelve cada una para iθ y se encuentran las ecuaciones articulares del

mecanismo. (El desarrollo se presenta en el apéndice B).

La ecuación general [Tsai, 1999] es:

−

−+±−= −

23

23

22

2111tan2ee

eeeeiθ ; 3,2,1=i

(2.6)

Existen dos soluciones para cada una de las iθ y por lo tanto dos

configuraciones para cada cadena.

Cuando la ecuación 2.4 produce una doble raíz, los eslabones ia y ib están en

una configuración completamente estirada o doblada, llamada configuración

singular [Tsai, 1999].

Cuando la misma ecuación no produce una raíz real, significa que la plataforma

móvil no puede alcanzar una localización específica.

En general hay un total de ocho posibles posturas del mecanismo,

cinemáticamente diferentes [Bonev, 2002], correspondientes a una localización

dada de la plataforma móvil.


25

2.4.2 Cinemática directa.

La cinemática directa permite determinar la localización de la plataforma móvil

[ ]φ , , yx , conocidas las coordenadas articulares [ ]321 , , θθθ .

Las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 se escriben en la forma:

(2.9) 0

(2.8) 0

(2.7) 0

33323122

23222122

13121122

=++++

=++++

=++++

eyexeyx

eyexeyx

eyexeyx

AAAA

AAAA

AAAA

Después de resolver para Ax y

Ay , (el desarrollo se presenta en el apéndice C)

resulta en un polinomio de cuarto orden en :cosy φφsen

0213212111

22

21 =++++ δδδδδδδ eee (2.10)

Al sustituir la identidad de la tangente de ángulo medio,

21

2

i

i

it

ts

+=θ ,

2

2

1

1

i

i

it

tc

+

−=θ donde;

2i

i tagtθ

= (2.11)

la ecuación 2.10 se convierte en un polinomio de octavo orden. Las raíces del

polinomio corresponden a cada una de las ocho posibles configuraciones del

mecanismo.

2.5 Configuraciones singulares.

Los mecanismos paralelos tienen, como ya se mencionó, varias ventajas sobre

otros manipuladores, tales como, alta proporción de carga-peso, alta precisión y


26

alta rigidez. Sin embargo, también tienen algunos inconvenientes, tales como,

estrecho espacio de trabajo, relativa complejidad cinemática y, lo más

importante, son susceptibles a presentar configuraciones singulares.

Una importante limitación de un mecanismo paralelo es que las configuraciones

singulares podrían existir dentro de su espacio de trabajo [Tsai, 1999]. En estas

configuraciones, cuando el mecanismo tiende a perder rigidez mientras gana

GdL extras, físicamente representa que la estructura no puede resistir o

balancear un tirón externo aplicado a la plataforma movible, por lo tanto puede

colapsar [Degani, 2006]. Cuando el mecanismo pierde GdL, físicamente

representa que no hay movimiento de salida en la plataforma móvil [Tsai,

1999].

El análisis de configuraciones singulares se realiza por medio de una matriz que

relaciona las velocidades de las coordenadas articulares y las del extremo del

mecanismo, que corresponden a las coordenadas de posición y orientación. Esta

matriz de transformación es conocida como la matriz Jacobiana J y para el

análisis en mecanismos de cadena cerrada se separa la matriz Jacobiana en dos

matrices; una asociada con la cinemática inversa y otra asociada con la

cinemática directa. (Dos métodos son explicados para encontrar la matriz

Jacobiana J en el apéndice D).

Las configuraciones que se pueden presentar en los mecanismos paralelos se

clasifican en tres tipos y se determinan de acuerdo a la relación existente entre

las velocidades de movimiento de las articulaciones y las del extremo de cada

cadena cinemática del mecanismo.

Singularidad tipo I.- singularidad cinemática inversa Existe singularidad inversa en el sistema: qJxJ qx && =

Cuando el determinante de Jq = 0;


27

Singularidad tipo II.- singularidad cinemática directa Existe singularidad directa en el sistema: qJxJ qx && =

Cuando el determinante de Jx = 0;

Singularidad tipo III.- singularidad combinada Existe singularidad combinada cuando se producen los dos casos anteriores

simultáneamente.

Se han desarrollado un par de teoremas que describen mejor las condiciones de

singularidad.

Teorema 1: Un mecanismo paralelo 3RRR está en una configuración de singularidad

inversa si y solo si una o más cadenas están extendidas completamente o dobladas de

regreso [Yang, 2002].

La figura 2.5 muestra un ejemplo de singularidad inversa típica, donde una de

las tres cadenas esta completamente extendida.

Figura 2. 5 Esquema de la singularidad inversa en un MPP 3RRR [Yang, 2002]. Teorema 2: Un mecanismo paralelo 3RRR esta en configuración de singularidad

directa si y solo si un único centro instantáneo existe para la plataforma móvil y la base

fija cuando todas las juntas activas están completamente bloqueadas [Yang, 2002].


28

La figura 2.6 muestra un ejemplo de singularidad directa. Para ejemplificar esta

configuración singular se cambió el mecanismo a un 3RR.

Figura 2. 6 Esquema de la singularidad directa en un MPP 3RR [Yang, 2002].

Se puede encontrar en la literatura otros títulos para las configuraciones

singulares, pero cualquiera de estas son iguales a las descritas arriba.

Singularidad Paralela. Se presenta una singularidad de este tipo cuando los

ejes 332211 y , CBCBCB , de acuerdo a la figura 2.7, se interceptan (posiblemente

en el infinito). En la presencia de tal configuración el mecanismo no puede

resistir ningún torque aplicado en el punto de intersección [Wenger, 2004].

Figura 2. 7 Esquema de la singularidad paralela en un MPP 3RRR [Wenger, 2004]. Singularidad Serial. Se presenta una singularidad de este tipo cuando

111 y , CBA , de acuerdo a la figura 2.8, son alineados [Wenger, 2004].


29

Figura 2. 8 Esquema de la singularidad serial en un MPP 3RRR [Wenger, 2004].

Singularidad Loci. No es suficiente con restringir el movimiento del

mecanismo en los límites del espacio de trabajo. Se debe considerar aquellas

condiciones donde el mecanismo alcanzaría una configuración singular en medio

de éste. Este tipo de configuración singular se conoce como configuración Loci y

se presenta cuando la plataforma móvil mantiene una orientación constante al

cruzar el espacio de trabajo [Bonev, 2002]. Esto provoca que en algún

momento se alineen uno de los lados de la plataforma móvil con uno de los

eslabones de alguna cadena cinemática.

2.6 Exactitud, Repetibilidad y Resolución. Los factores más importantes que afectan la calidad de una máquina o

mecanismo son la exactitud, la repetibilidad y la resolución de sus componentes, y

la manera en la cual estos están combinados [Slocum, 1992]. Estos términos

pueden ser representados con un diagrama de tiro al blanco como se muestra en

la figura 2.9.

Exactitud. Es el error máximo traslacional o rotacional entre dos puntos en el

espacio de trabajo del mecanismo [Slocum, 1992]. O en otras palabras, es la

distancia entre la posición real y la posición deseada. La exactitud depende de

parámetros como [Duysinx y Geradin, 2004]:


30

Flexibilidad estructural de miembros y articulaciones;

Carga;

Rozamiento en articulaciones;

Resolución de los sensores de posición y velocidad;

El origen del error de la exactitud es tanto la limitación de la resolución como

las dificultades de calibración, los desgastes, las deformaciones y los propios

errores de control [Ollero, 2001].

Figura 2.9 Definición de Exactitud, Repetibilidad y Resolución [Slocum, 1992].

Repetibilidad (precisión). Es el error entre un número de intentos sucesivos

para mover el mecanismo a la misma posición [Slocum, 1992]. Cuando el

mecanismo tiene la capacidad de volver a la misma posición a la que fue dirigido

en las mismas condiciones se habla entonces que éste tiene buena repetibilidad.

Debido a que de su misma definición la repetibilidad no está afectada por

ninguna causa sistemática de la inexactitud [Slocum, 1992], la cifra que indica

la repetibilidad es típicamente menor que la del error de exactitud. La falta de

repetibilidad se debe normalmente a problemas mecánicos en transmisiones,

rozamientos, histéresis, zonas muertas, etc. [Duysinx y Geradin, 2004]. Cuando

se trata de incrementar la repetibilidad de los movimientos de un mecanismo, la

exactitud es en general un factor restrictivo.


31

Resolución. Es el paso mecánico más pequeño que el mecanismo puede hacer

durante el movimiento de punto a punto [Slocum, 1992]. Es decir, es la menor

variación posible en el posicionamiento de la plataforma móvil.

La resolución viene dada por los sensores de posición empleados, los actuadores

y los componentes electrónicos [Duysinx y Geradin, 2004].

2.7 Actuadores. Un mecanismo puede ser operado manualmente, o por medio de un dispositivo

impulsor para generar un movimiento. A estos dispositivos que generan fuerzas

o pares necesarios para animar la estructura mecánica se le llama actuador

[Ollero, 2001]. A los más usados en robótica se les clasifica de acuerdo al

siguiente criterio [Duysinx y Geradin, 2004]:

- Al tipo de movimiento generado: Hoy en día, es posible usar actuadores

lineales, los cuales desarrollan una fuerza y generan un movimiento de

traslación en la misma dirección. Y actuadores de rotación, los cuales

desarrollan un par de torsión y generan un movimiento de rotación respecto al

eje de torque.

- A la naturaleza de la fuente primaria de energía. Se dispone de: Actuadores

neumáticos; cuyo origen de la energía es el aire comprimido. Actuadores

hidráulicos; que desarrollan su potencia del fluido hidráulico presurizado y, los

más comunes, actuadores eléctricos.

Entre los actuadores eléctricos:

- Motor a pasos,

- Motor de corriente directa (D. C.)


32

Entre los actuadores hidráulicos:

- Pistón lineal y rotatorio,

- Motor rotatorio con pistón axial,

Entre los actuadores neumáticos:

- Pistón lineal y rotatorio.

2.7.1 Motores a pasos

Un motor a pasos, se define como un conversor electromagnético incremental

que transforma pulsos eléctricos en movimientos angulares de un eje. Este

movimiento angular, se repite exactamente con cada pulso sucesivo que el

circuito de control inyecta al motor [Berti et. al, 2002].

Los motores a pasos poseen una elevada capacidad de posicionamiento. Esta

característica los hace ideales para sistemas que requieran un control exacto de

dirección, velocidad y posición de un movimiento [Berti et. al, 2002].

El promedio de la velocidad de rotación mN expresada en rpm, es igual a

n

fNm

60= (2.10)

donde:

- f es la frecuencia,

- n es el numero de pasos por revolución del motor (generalmente, de 200 a 400

pasos por revolución)

A diferencia de los servomotores, por lo general funcionan en lazo abierto, no

reciben retroalimentación en cuanto a sí el dispositivo de salida responde como


33

se solicitó. Por lo tanto, pueden desfasarse con el programa designado. Su

construcción interna consiste en varias tiras magnéticas dispuestas alrededor de

la circunferencia tanto del motor como del estator. Cuando se energiza, el rotor

se mueve un paso, al siguiente imán, por cada pulso recibido. Por lo tanto estos

son dispositivos de movimiento intermitente, y no proporcionan movimiento

rotatorio continuo como otros motores. El número de tiras magnéticas y el tipo

de controlador determinan su resolución. Un mando de micropasos puede

incrementar a 2000 o más el número de pasos por revolución. Son relativamente

pequeños y tienen una baja capacidad de par de torsión, pero un elevado par de

torsión de detención [Norton, 1992].

El único error que tiene un motor a pasos, es su propio error de paso que esta en

el orden de 5% aproximadamente. Este error no se acumula, no depende del

ángulo total girado ni del numero de veces que se repita la posición final [Berti

et. al, 2002].

Los motores a pasos pueden ser de tres diferentes tipos:

- De imanes permanentes,

- De reluctancia variable, e

- Híbridos.

Figura 2.10 Motor a pasos (200 p) unipolar [Reliance, 2006]

Una razón por qué ha conseguido tal popularidad, como un dispositivo de

posicionamiento, es su exactitud y repetibilidad. La exactitud del motor a pasos

esta principalmente en función de la precisión mecánica de sus partes y del


34

ensamblaje [Seale, 2003]. La figura 2.11 muestra una gráfica típica de la

exactitud de posición de un motor a pasos.

Figura 2. 11 Exactitud de posición de un motor a pasos [Seale, 2003].

Error de paso. Es el máximo o mínimo error de posición causado cuando el

motor ha rotado un paso desde la posición previa [Seale, 2003].

Error de paso = ángulo medido – ángulo teórico (2.11)

Error de posición. El motor avanza N veces desde una posición inicial

(N=360º/ángulo de paso) y el ángulo, desde esa posición, es medido por cada

paso. Si el ángulo desde la posición inicial a la posición N es NΘ y el error es

N∆Θ , donde

xNánguloNN )(−Θ=∆Θ . (2.12)

El error de posición es la diferencia del máximo y mínimo pero

usualmente expresado con un signo ± [Seale, 2003].

Error de posición = ( )mínmáx ∆Θ−∆Θ± 21 (2.13)

Error de histéresis. El valor obtenido desde la medida del error de posición en

ambas direcciones [Seale, 2003]. Es el error que resulta al ocurrir una

descompensación cuando se hace una comparación entre la variación de una

misma medida tanto a nivel descenderte como ascendente.


35


36

CAPITULO III

METODOLOGÍA


37

3.1 Introducción. El movimiento de los mecanismos paralelos puede ser restringido por tres

diferentes factores: existencia de limitaciones mecánicas sobre las juntas pasivas,

interferencia entre eslabones y limitaciones debido a los actuadores [Merlet,

2000]. El propósito es minimizar en lo posible estas restricciones y obtener un

diseño con una movilidad que cubra la mayor área posible. Para esto debemos

conocer, primero, el espacio de trabajo del mecanismo que estamos analizando,

seleccionar de las diferentes posturas aquella que presente el máximo espacio de

trabajo y, finalmente, calcular la resolución del mecanismo.

3.2 Espacio de trabajo del Mecanismo 3RRR.

Como ya se comentó en el capitulo I, la principal desventaja de un mecanismo

paralelo es su limitado espacio de trabajo comparado con manipuladores

seriales. Entendiendo este concepto como el conjunto de todas las posiciones y

orientaciones que la plataforma móvil puede alcanzar. Sin embargo, para la

aplicación que se busca cubrir con el mecanismo paralelo 3RRR esta desventaja

no se vuelve un problema en sí, la consideración más importante sería; del

espacio total que alcanza a cubrir la plataforma móvil, cual es la mínima

variación que puede presentar durante el movimiento de una posición a otra si

este es impulsado con actuadores eléctricos discretos.

Del análisis de la cinemática inversa, descrito en el capitulo II, se concluyó que

existe un total de ocho posibles posturas del mecanismo correspondientes a una

localización dada de la plataforma móvil. Para encontrar el espacio de trabajo

del mecanismo 3RRR se adoptaron las siguientes consideraciones:

- Las longitudes de los eslabones son iguales,

- Las plataformas fija y móvil suponen un triangulo equilátero.


38

- Las juntas activas, para cada cadena, son las que están conectadas a la

plataforma fija, las demás son pasivas (Se subraya la primer R por esta

razón).

La figura 3.1 muestra las ocho diferentes posturas que adopta el mecanismo

paralelo 3RRR.

(a) postura C-C-C

(b) postura C-A-C (c) postura C-C-A

(d) postura C-A-A (e) postura A-A-C (f) postura A-C-C

(g) postura A-A-A (h) postura A-C-A

Figura 3. 1 Las ocho posturas del MPP 3RRR.

Debajo de cada figura se especifica el tipo de postura que presenta cada cadena

para las ocho diferentes soluciones, cada letra representa el tipo de circuito que


39

forma cada cadena cinemática respectivamente, una letra A cuando el circuito es

abierto y una letra C cuando el circuito es cruzado.

Refiriéndose a la figura 2.4, la primera letra corresponde a la cadena 11ba , la

segunda letra corresponde a la cadena 22ba y la última letra corresponde a la

cadena 33ba . Se representa con un círculo la junta cinemática que une los

eslabones y a la plataforma móvil. El círculo sombreado representa la junta

activa, así como los círculos claros representan las juntas pasivas.

Realizando un código en MatLab que contenga las ecuaciones de lazo cerrado de

cada cadena cinemática del mecanismo paralelo y graficando los resultados se

obtiene el espacio de trabajo para cada postura.

La figura 3.2 muestra el espacio de trabajo que presenta el MPP 3RRR en la

postura C-C-C. El espacio de trabajo es el mismo independientemente de la

postura que se desee adoptar. Sin embargo, éste es un espacio de trabajo ideal

porque conforme la plataforma móvil se aproxima a los extremos, el mecanismo

es susceptible a presentar configuraciones singulares directas, y de ese modo la

plataforma móvil no alcanza a cubrir el espacio de trabajo en su totalidad.

Figura 3. 2 Espacio de trabajo ideal del MPP 3RRR.


40

Al incluir restricciones al código que genera el espacio de trabajo del MPP

3RRR, donde se podrían presentar configuraciones singulares, el espacio de

trabajo total que alcanza el mecanismo es el que se muestra sombreado para

cada postura en la figura 3.3.

(a) postura C-C-C


(d) postura C-A-A

(e) postura A-A-C (f) postura A-C-C


Figura 3. 3 Espacio de trabajo útil del MPP 3RRR para cada postura.

Se puede observar en la figura 3.3 que el espacio de trabajo útil que cubren los

diferentes modos de trabajo es similar. Sin embargo, es necesario analizar las


41

condiciones que pueden hacer que en la práctica el mecanismo alcance una

singularidad Loci (figura 3.4).

(a) postura C-C-C


(d) postura C-A-A

(e) postura A-A-C (f) postura A-C-C


Figura 3. 4 Espacio de trabajo útil del MPP 3RRR con las trayectorias Loci.


42

3.3 Postura C-C-C.

Los modos de trabajo del mecanismo paralelo 3RRR que presentan un mayor

espacio de trabajo útil y cuyas singularidades no interfieren al cruzar el espacio

de trabajo son las posturas C-C-C y A-A-A. Esto significa que las tres cadenas

cinemáticas están constituidas de circuitos cruzados o abiertos.

Se ha seleccionado la postura C-C-C para el análisis subsecuente. Para ello se

requiere conocer cual es la movilidad que puede alcanzar el mecanismo con la

postura propuesta. Esta movilidad la describen el desplazamiento y la

orientación máxima de la plataforma móvil.

(a) orientación máxima 105º (b) orientación mínima -40º

Figura 3. 5 Orientación del MPP 3RRR, postura C-C-C.

El máximo desplazamiento en la dirección vertical y/u horizontal desde un

extremo del espacio de trabajo al otro esta en función del tamaño del

mecanismo. La orientación máxima que puede alcanzar la plataforma móvil en el

centro del mecanismo, sin que se llegue a una posición de configuración inversa,

es de 105º respecto al eje horizontal x paralelo al lado horizontal de la

plataforma móvil (figura 3.3 (a)). La orientación mínima que puede alcanzar la

plataforma móvil, sin llegar a una posición en la que interfieran los eslabones, es


43

de -40º respecto al mismo eje horizontal x paralelo al lado horizontal de la

plataforma móvil (figura 3.3 (b)). El rango que puede alcanzar el mecanismo es

de 145º en total.

3.4 Resolución del MPP 3RRR. Los errores en la posición y orientación de los mecanismos paralelos son debido

a varios factores; Errores de manufactura, los cuales pueden ser tomados en

cuenta al calibrarlo; Errores de backlash, el cual puede ser eliminado a través de

una apropiada selección de los componentes mecánicos; Errores de conformidad,

el cual puede ser eliminado a través de estructuras más rígidas (aunque esto

aumentaría la inercia y reduciría la velocidad de operación); Errores de las juntas

activas, que vienen de la resolución finita de los encoders, de los errores de los

sensores y de los errores de control [Briot, 2007].

Para calcular la resolución del MPP 3RRR en la configuración C-C-C se

proponen dos métodos. El primero consiste en trazar punto por punto la

trayectoria que seguiría la plataforma móvil conocidas las coordenadas

articulares de acuerdo a los incrementos de ángulo que corresponden a cada

paso. El segundo método consiste en graficar todas las posibles combinaciones

de movimiento angular de las tres cadenas cinemáticas, generando una nube de

puntos que posteriormente se delimita para encontrar una trayectoria lo más

cercana a una línea recta.

Método uno

Siguiendo el primer método se ha posicionado a la plataforma móvil en algún

punto del área de trabajo, se ha seleccionado un punto cerca del centro

geométrico del mecanismo buscando trazar una línea recta horizontal de

distancia D desde un punto “o” hasta un punto “o’ ” (figura 3.6).


44

Lo siguiente es trazar la trayectoria que seguiría el mecanismo al simular que es

impulsado con motores a pasos de 1.8º por impulso. Para esto se hace uso de las

ecuaciones cinemáticas inversa y directa. Alimentando el código de la cinemática

inversa con el punto “o” de referencia se obtienen las coordenadas articulares

correspondientes a esa posición. Así, alimentando el código de la cinemática

directa con las coordenadas articulares calculadas y con incrementos de 1.8º

hasta cubrir la distancia D objetivo, se grafican los puntos encontrados (figura

3.7). A cada figura le acompaña una tabla donde se especifica la máxima

desviación respecto a la línea a trazar, la exactitud del último punto y el

coeficiente que indica que tan cerca de la recta se encuentran los puntos en

promedio.

Figura 3.6 Distancia horizontal D desde o hasta o’.

Se simula el trazo de la misma línea recta para incrementos de 0.9°, 0.45° y

0.225° las graficas se muestran en las figuras 3.8 a 3.10.


45

60 70 80 90 100 110 120

41.5

42.0

42.5

43.0

43.5

44.0y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-o'

o o'

dirección: (mm)

máxima desviación Y 1.52

Error relativo Y 3.5 %

exactitud

dif. Y 0.17

dif. X 0.01

coeficiente de variación Y 0.49

Figura 3.7 Gráfica de posición: 200 p/rev. (1.8º por impulso).

60 70 80 90 100 110 120

42.0

42.2

42.4

42.6

42.8

43.0

43.2

43.4

43.6

y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-o'

o

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 0.31

dif. X 0.12


Figura 3.8 Gráfica de posición: 400 p/rev. (0.9° por impulso).

60 70 80 90 100 110 120

40.5

41.0

41.5

42.0

42.5

43.0

43.5

y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-o'

o

dirección: (mm)


Error relativo Y 5 %

exactitud

dif. Y 2.11

dif. X 0.03




46

60 70 80 90 100 110 120

41.6

41.8

42.0

42.2

42.4

42.6

42.8

43.0

43.2y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-o'

o o'

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 0.89

dif. X 0.02


Figura 3.10 Gráfica de posición: 1600 p/rev. (0.225° por impulso). Ahora se ha posicionado la plataforma móvil en algún punto del área de trabajo,

se ha seleccionado un punto cerca del centro geométrico del mecanismo

buscando trazar una línea recta vertical de distancia D desde un punto “o” hasta

un punto “ô” (figura 3.11).

Figura 3.11 Distancia vertical D desde o hasta ô.

Al igual que en el caso anterior se traza la recta vertical para incrementos de

1.8°, 0.9°, 0.45° y 0.225° las graficas se muestran en las figuras 3.12 a 3.15.


47

64.6 64.8 65.0 65.2 65.4 65.6 65.8

40

45

50

55

60

65

70

75Y (mm)

X (mm)

trayectoria

distancia o-ô

o

ô

dirección: (mm)

máxima desviación X 0.71

Error relativo X 1.09 %

exactitud

dif. Y 0.63

dif. X 0.23

coeficiente de variación X 0.28


64.9 65.0 65.1 65.2 65.3 65.4 65.5 65.6

40

45

50

55

60

65

70

75

y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-ô

o

ô

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 0.25

dif. X 0.13



65.0 65.2 65.4 65.6 65.8 66.0

40

45

50

55

60

65

70

75

y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-ô

o

ô

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 1.95

dif. X 0.23




48

64.9 65.0 65.1 65.2 65.3 65.4

40

45

50

55

60

65

70

75y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-ô

o

ô

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 0.16

dif. X 0.08


Figura 3.15 Gráfica de posición: 1600 p/rev. (0.225° por impulso). Para el primer caso (recta horizontal) y de acuerdo a los resultados obtenidos se

observa que la resolución en los casos donde se usan pasos completos y octavos

de paso, no existe mucha diferencia. A continuación se traza la misma recta

horizontal pero 25 mm arriba (figuras 3.16 y 3.17) y 25 mm debajo (figuras 3.18

y 3.19) de la recta original con el propósito de comparar los resultados.

40 50 60 70 80 90

66.5

67.0

67.5

68.0

68.5

69.0

69.5

y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia 0-0'

o o'

dirección: (mm)


Error relativo Y 2 %

exactitud

dif. Y 0.78

dif. X 0.06


Figura 3.16 Gráfica de posición: 200 p/rev. (1.8° por impulso) 25 mm arriba de la recta original.


49

40 50 60 70 80 90

67.6

67.7

67.8

67.9

68.0

68.1y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-o'

o o'

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 0.06

dif. X 0.40


Figura 3.17 Gráfica de posición: 1600 p/rev. (0.225° por impulso) 25 mm arriba de la recta original.

40 50 60 70 80 90

16.0

16.5

17.0

17.5

18.0

18.5

19.0

y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-o'

o o'

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 0.55

dif. X 0.15


Figura 3.18 Gráfica de posición: 200 p/rev. (1.8° por impulso) 25 mm debajo de la recta original.

40 50 60 70 80 90

17.0

17.2

17.4

17.6

17.8

18.0

18.2

y (mm)

x (mm)

trayectoria

distancia o-o'

o o'

dirección: (mm)


5.5 %

exactitud

dif. Y 0.99

dif. X 0.56


Figura 3.19 Gráfica de posición: 1600 p/rev. (0.225° por impulso) 25 mm debajo de la recta original.


50

Siguiendo este mismo método se trazaron tres circunferencias de diferente

diámetro con diferente número de pasos para saber si empleando micropasos es

posible obtener una mejor respuesta. Las figuras 3.20 a 3.22 muestran esto.

63.5 64.0 64.5 65.0 65.5 66.0 66.5 67.0 67.5 68.0

42.5

43.0

43.5

44.0

44.5

45.0

45.5

46.0

46.5

y (mm)

x (mm)

200 pasos/rev

400 "

800 "

1600 "

Figura 3.20 Circunferencia r = 1.5 mm.

55 60 65 70 75 80

40

45

50

55

60

65

y (mm)

x (mm)

200 pasos/rev

400 "

800 "

1600 "

Sing. directa

Sing. directa

Figura 3.21 Circunferencia r = 10 mm.


51

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

y (mm)

x (mm)

200 pasos/rev.

400 "

800 "

1600 "

Sing. directa Sing. directa

Sing. directa

Figura 3.22 Circunferencia r = 18 mm.

Método dos

Desarrollando el segundo método para calcular la resolución del MPP se ha

posicionado a la plataforma móvil en un punto inicial dentro del espacio de

trabajo, se alimenta el código de la cinemática inversa y directa con la distancia

que se quiere cubrir. Graficando los puntos que resultan de la combinación de

pasos por cada cadena cinemática desde el punto inicial al final se encuentra una

nube de puntos que rodean a la recta (color rojo) que se desea seguir (figura

3.23).

a) b)

Figura 3.23 a) Nube de puntos: 200p/rev. b) Acercamiento a la nube de puntos.


52

La nube de puntos es útil para conocer la preferencia en la orientación que los

puntos siguen, pero para encontrar la resolución es necesario seleccionar

aquellos puntos que se encuentran más cerca de la recta que se desea trazar.

Para ello, es necesario establecer un límite de confianza sobre una proporción

fija de puntos. En la práctica es difícil conocer la media poblacional µ y la

varianza 2σ , y más aun cuando el incremento es modificado para simular un

rango de pasos completos a micropasos. Aplicando;

ksx ± (3.1)

Donde la media muestral x y la desviación estándar s son desconocidas. x es

sustituida por el valor constante (yo) de la línea recta que se busca trazar y a

partir de esa referencia se mide la dispersión de los puntos. k se determina de tal

forma que se pueda, con una confianza de ( ) ( )05.0,01.0%1100 =− γγ asegurar

que los limites dados contienen al menos la proporción ( )99.0,95.0,90.01 α−

de la nube de puntos [Walpole, 1998]. Con una confianza del 99% y asegurando

que los limites contendrán el 95% de los puntos, se encuentra el siguiente

resultado (figura 3.24).

Figura 3.24 Dispersión de puntos aplicando limites de confianza.

Se seleccionan los puntos más cercanos a la línea recta (figura 3.25) y se mide la

resolución que alcanza (figura 3.26).


53

Figura 3.25 Puntos más cercanos a la línea recta.

22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54

42.96

42.97

42.98

42.99

43.00

43.01

43.02

43.03

y (mm)

x (mm)

trayectoria

linea recta

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 0.98

dif. X 10.2


Figura 3.26 Gráfica de posición: 200 p/rev. (1.8º por impulso). Las figuras 3.27 a 3.29 muestra el mismo principio para incrementos de 0.9, 0.45

y 0.225, respectivamente.


54

24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

42.97

42.98

42.99

43.00

43.01

43.02

y (mm)

x (mm)

trayectoria

linea recta

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 0.008

dif. X 2.11


Figura 3.27 Grafica de posición: 400 p/rev. (0.9º por impulso).


55

24 26 28 30 32 34 36

42.980

42.985

42.990

42.995

43.000

43.005

43.010

43.015

y (mm)

x (mm)

trayectoria

linea recta

dirección: (mm)



exactitud

dif. Y 0.98

dif. X 0.53




56

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

42.984

42.986

42.988

42.990

42.992

42.994

42.996

y (mm)

x (mm)

Trayectoria

linea recta

dirección: (mm)

máxima desviación Y 5.5 e-3


exactitud

dif. Y 0.001

dif. X 1.72



Se hace un último ejercicio con 4800 pasos para comprobar que la tendencia de

su trayectoria hacia seguir o aproximar la línea recta es mejor. (Figura 3.30)


57

25.0 25.5 26.0 26.5 27.0

42.984

42.986

42.988

42.990

42.992

42.994

42.996

y (mm)

x (mm)

Trayectoria

Linea recta

dirección: (mm)

máxima desviación Y 5.7 e-3


exactitud

dif. Y 4.4 e-3

dif. X 0.14




58


59

CAPITULO IV

DISEÑO DEL

MECANISMO


60

4.1 Introducción. Una vez analizado y seleccionado el mecanismo a utilizar, y de definir el tipo de

arquitectura y configuración a presentar, se definen las características físicas que

debe tener esté, tomando en cuenta el costo, eficiencia, facilidad de construcción

y de reparación. En el capitulo 1 se describió que un ejemplo de aplicación, para

el mecanismo que se analiza, es en la técnica de polarimetría que se lleva a cabo

en el laboratorio de óptica de la instalaciones de CICATA Querétaro. Aquí se

toma de referencia este ejemplo para definir el tamaño del mecanismo.

4.2 Consideraciones al diseño.

La consideración más importante fue el factor económico, tomando en cuenta el

valor comercial de las piezas que componen el mecanismo, si existen en el

mercado o si se tienen que fabricar. Lo más conveniente fue tratar de hacer el

diseño sobre la base de piezas y medidas ya estandarizadas, porque esto ayuda a

disminuir considerablemente el costo.

Generalmente las mesas donde se realizan las prácticas de polarimetría no son

muy grandes. El área que ocupan es de aproximadamente 23m , donde debe

montarse parte del equipo (otra parte puede acomodarse en otra mesa; como el

amplificador, la computadora…), que cubre el %75 de la mesa. La separación

que existe entre un instrumento deja un espacio rectangular de cmx2520

aproximadamente, esta separación no es estándar, cada laboratorista ordena los

instrumentos a su conveniencia. Así, se considero un dispositivo relativamente

pequeño que no rebasará un área de 2500 cm .

La dimensión total del mecanismo depende, en gran medida, del tamaño de los

eslabones. Se propuso un tamaño de eslabones de mm54 (distancia entre


61

centros) que alcanzará a cubrir un rango deseado de mm100 de carrera vertical

y horizontalmente.

4.3 Diseño conceptual

El objetivo es expresar un conjunto organizado de funciones de diseño, que

servirá de base para el diseño de detalle.

Este trabajo se concentra en analizar más que sintetizar al mecanismo paralelo

3RRR. Este ya existe y ha sido estudiado, como muchos otros mecanismos, por

varios investigadores. La propuesta es tomar lo que ya se ha hecho y utilizarlo

en beneficio. El diseño conceptual esta resuelto, se conoce la idea general, la

aplicación y la forma general del dispositivo. Habrá que ocuparse del tamaño y

de los materiales en la siguiente fase.

El diseño conceptual es mostrado en la figura 4.1. Un par de eslabones

conectados con rodamientos forman una cadena cinemática y estas a su vez

están conectadas de igual forma a un motor a pasos en un extremo, en el otro

extremo se encuentran conectadas a la plataforma móvil. Cada motor hace girar

una cadena incitando que la plataforma móvil se desplace por el centro del

mecanismo. La plataforma móvil tiene en el centro agujeros con rosca para

asegurarlos a las bases de los polarizadores o cualquier dispositivo que vaya

montado en este. Las dimensiones del diseño conceptual son:

Longitud 200 mm. Ancho 250 mm Altura 105 mm


62

Vista isométrica

Vista superior

Figura 4. 1 Diseño conceptual del MPP 3RRR.

4.4 Diseño de detalle

El objetivo es obtener un conjunto de dibujos, esquemas o croquis que se

derivan del diseño conceptual, que da lugar a las especificaciones, cálculos,

planos, modelos o prototipos, para hacer posible la transformación de lo que en

un inicio era una idea.


63

El proceso de diseño consiste en separar los componentes que se consiguen en el

mercado y los que se habrán de diseñar. Si se toma de referencia el tamaño de

aquellos que se pueden comprar es más fácil definir el tamaño de aquellos que se

diseñaran. El reto en este diseño consiste en definir como irán conectados los

eslabones entre si, al motor y a la plataforma móvil, y elegir el material del que

estarán hechos para que ofrezcan una rigidez alta.

Los componentes disponibles en el mercado son:

- Motores a pasos,

- Rodamientos, y

- Tornillos y tuercas.

Los componentes que habrá que diseñar son:

- Unión, (componente que une el eslabón con el eje del motor)

- Pernos, (para fijar los eslabones entre si y a la plataforma móvil)

- Eslabones,

- Plataforma móvil, y

- Plataforma fija.

4.4.1 Materiales

El concepto radica en ofrecer un mecanismo ligero, estable y fácil de maniobrar.

El %90 del peso total recae en los eslabones y en la plataforma móvil. Así que

de los materiales que se pueden ocupar para la fabricación de estos componentes

es elegido el aluminio.

El aluminio ofrece muchas ventajas sobre otros materiales. Es ligero, con una

densidad de un tercio de la del acero, 32700m

Kg . Es fácil de mecanizar, se pueden

utilizar equipos comunes como las sierras y perforadoras. Brinda una excelente


64

protección contra la corrosión aun en ambientes corrosivos, una fina capa de

óxido se forma en contacto con el aire. Es un excelente reflector de la luz y del

calor.

Adicionalmente se han elegido bujes de bronce como puntos de apoyo entre el

rodamiento y el perno donde se acoplan los eslabones entre si o a la plataforma

móvil, permitiendo un suave deslizamiento entre estos y reduciendo la fricción.

El bronce es resistente al desgate y a la compresión.

La unión y el perno no están propensos a soportar cargas elevadas, pueden

fabricarse de acero comercial AISI 1018.

4.4.2 Planos

En los planos se detallan cada una de las piezas que formarán parte del

mecanismo, con las características dimensionales y físicas como son el tipo de

materiales a emplear para su manufactura y los recubrimientos o tratamientos

superficiales. Los planos que se incluyen en este trabajo definen los

componentes de los que esta constituido el mecanismo. En total se generaron 9

planos para el diseño mecánico del mecanismo, en estos aparece la información

necesaria para su manufactura, así como las especificaciones de acabado de las

piezas. (ver apéndice E)


65


66

CAPITULO V

ANÁLISIS DE

RESULTADOS


67

Método uno

Recta horizontal

No. de Pasos Coeficiente de

variación Error relativo %

200 0.49 3.5

400 0.32 2.25

800 0.62 5

1600 0.62 3.04

Tabla 5. 1 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta horizontal.

Al simular la recta en la dirección horizontal trazando punto por punto se

encontró que conforme se avanza en la dirección de la recta la variación en la

dirección perpendicular a ésta se incrementa. Conforme se incrementa el

numero de pasos esta variación es visiblemente más pronunciada. El error de

aproximación no disminuye al usar micropasos.

La exactitud mejora con octavos de paso, mµ20 en la dirección de la recta que

se busca trazar, pero no mejora en la dirección perpendicular, mµ900 .

Recta vertical

No. de pasos Coeficiente de


200 0.28 1.09

400 0.23 0.84

800 0.47 1.32

1600 0.10 0.6

Tabla 5. 2 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta vertical.


68

Al simular la recta en la dirección vertical trazando punto por punto se encontró

que conforme se avanza en la dirección de la recta la variación en la dirección

perpendicular a ésta disminuye cuando se emplean 1600 pasos/rev. El error de

aproximación disminuye al usar micropasos aunque no de forma contundente.

La exactitud mejora con octavos de paso, mµ80 en la dirección de la recta que

se busca trazar, y en la dirección perpendicular, mµ160 .

Recta horizontal desfasada verticalmente +25 mm



200 0.60 2

1600 0.10 0.47

Tabla 5. 3 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta horizontal 25 mm arriba de la original.

Recta horizontal desfasada verticalmente -25 mm



200 0.51 7.2

1600 0.45 5.5

Tabla 5. 4 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta horizontal 25 mm debajo de la original.

Al simular la recta en la dirección horizontal trazando punto por punto y

desfasada verticalmente 25 mm arriba y 25 mm abajo de la original, se encontró

que conforme se avanza en la dirección de la recta la variación en la dirección

perpendicular a ésta disminuye. Conforme se incrementa el número de pasos

esta variación es menor aunque no en la misma proporción. El error de

aproximación disminuye al usar micropasos pero, de igual forma, no en la

misma proporción.


69

Método dos

Recta horizontal



200 0.016 0.06

400 0.014 0.04

800 0.009 0.06

1600 0.003 0.012

4800 0.002 0.01

Tabla 5. 5 Resumen del coeficiente de variación y error de aproximación: recta horizontal.

Al seleccionar aquellos puntos que se encuentran más cercanos a la recta de una

nube de puntos, se encontró que la variación en la dirección perpendicular a la

recta es menor. Esta variación y el error de aproximación decrecen cuando se

emplean micropasos.

La exactitud no es buena para las dos direcciones, aplicando este método, y

mejora hasta que se emplean 4800 pasos/rev obteniendo mµ4.4 en la dirección

horizontal y mµ140 en la dirección vertical.

En la figura 5.1 se puede apreciar en conjunto los puntos que se generaron

empleando micropasos y corroborar que conforme se incrementa el numero de

pasos los puntos se aproximan más a la línea recta.


70

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

42.97

42.98

42.99

43.00

43.01

43.02

200 pasos/rev.

400 "

800 "

1600 "

4800 "

Línea recta

y (mm)

x (mm)

Figura 5. 1 Grafica de posición: conjunto de puntos generados empleando micropasos.

Al seguir la trayectoria que generan los puntos al emplear 200 y 4800

pasos/rev, figuras 3.26 y 3.29 respectivamente, trazando una circunferencia de

0.5 mm de diámetro, con la finalidad de comparar la variación que muestra cada

gráfica simulando que la trayectoria es marcada con una puntilla de lápiz (figura

5.2).

a) b) Figura 5. 2 Trayectoria seguida con una puntilla de 0.5 mm de diámetro con a) 200 pasos/rev. b)

4800 pasos/rev.


71

A simple vista no se perciben cambios importantes en la segunda gráfica,

entonces, es factible trazar líneas rectas, la variación con determinado numero

de pasos es tal que se pierde a simple vista. Desde luego, dependiendo la

aplicación que se busque esto puede o no afectar.

De las figuras obtenidas por éste segundo método se aprecia que los puntos

graficados van adquiriendo una orientación con una cierta preferencia y esta es

más nítida conforme se incrementa el número de pasos. El ángulo que forma

respecto al eje de referencia xy es de 68°.

Figura 5. 3 Ángulo que forman los puntos en una dirección preferente respecto a la línea recta.


72


73

CONCLUSIONES


74

En este trabajo se ha diseñado un mecanismo paralelo planar de tres grados de

libertad. El MPP es del tipo 3RRR, tiene tres cadenas cinemáticas conectadas

cada una con juntas de revolución. Solo una junta cinemática es activa y las

demás son pasivas. El análisis cinemático inverso y directo fue realizado

siguiendo la notación de Tsai. Con éste análisis se encontró el espacio de trabajo

del mecanismo y se examinaron las singularidades Loci que presenta cada una

de las ocho posturas del mecanismo. Las posturas que son menos susceptibles a

presentar singularidades que afecten su funcionamiento son las que están

conformadas por cadenas en circuito cruzado (C-C-C) o abierto (A-A-A), ya que

éstas se presentan en los límites del espacio de trabajo útil.

Para continuar con la simulación se seleccionó la postura C-C-C. El rango de

movilidad que puede alcanzar el mecanismo es de 100 mm de carrera en las

direcciones xy a partir del centro del espacio de trabajo y una orientación de

145° medido a partir de un eje paralelo a la plataforma fija.

La simulación de movimiento del mecanismo fue realizado en código MatLab

suponiendo que éste es impulsado con motores a pasos. El número de pasos

empleado fue desde pasos gruesos 200 pasos/rev. hasta micropasos, 400, 800,

1600 y 4800 pasos/rev.

Se propusieron dos métodos con la finalidad de encontrar la variación

(resolución, exactitud) del mecanismo. El primero trazando punto a punto la

trayectoria que seguiría la plataforma móvil conocidas las coordenadas

articulares de acuerdo a los incrementos de ángulo que corresponden a cada

paso. El segundo método consiste en graficar todas las posibles combinaciones

de movimiento angular de las tres cadenas cinemáticas, generando una nube de

puntos que posteriormente se delimita para encontrar una trayectoria lo más

cercana a una línea recta.


75

En ambos método se midió la máxima variación que existe en la dirección

perpendicular a la línea trazada, su error relativo y la exactitud. El promedio de

variación entre cada punto seleccionado respecto a línea recta que se busca

trazar fue expresado con un coeficiente de variación.

Los resultados con el primer método no son alentadores, conforme se grafica el

comportamiento que se encuentra al trazar punto a punto, la trayectoria se va

alejando de la línea recta que se busca trazar, ya sea ésta horizontal o vertical. El

error de aproximación no cambia notablemente y parece que no existe una

diferencia clara entre emplear micropasos o no hacerlo. Lo máxima que alcanza

a disminuir en promedio empleando 1600 pasos/rev son 100 micrómetros. El

comportamiento cambia dependiendo de donde se busque trazar la línea recta.

En cualquier caso la variación se reduce al incrementar el número de pasos. Este

hecho se comprueba al trazar circunferencias.

Se trazaron tres circunferencias, de diferente diámetro, con diferente número de

pasos y en todas ellas se percibe que al reducir los pasos la grafica tiene una

mejor aproximación a una circunferencia. Las singularidades directas que se

encontraron en las circunferencias son debido a dos posibles razones; una

porque se graficó muy cerca del limite del espacio de trabajo útil, otra razón es

por la combinación de pasos que resultan del movimiento de los motores.

El segundo método expresa mejor los resultados que se esperaba alcanzar. Al

incrementar el número de pasos el error de aproximación disminuye

notablemente. Llegando a alcanzar una variación en promedio de 3 micrómetros

con 1600 pasos/rev. Esto significa que la resolución de este mecanismo es mejor

comparada con las mesas xy manuales.

Se tiene la expectativa de poder superar con este mecanismo la resolución de las

mesas de coordenadas que tienen un motor CD adaptado. Un primer

acercamiento a esta posibilidad la representa el resultado de la variación cuando


76

se emplean 4800 pasos/rev, alcanzado en promedio 2 micrómetros de variación.

Sin embargo, se deben considerar los requerimientos de software que representa

emplear 4800 o más pasos por revolución. También hay que señalar que para

una persona con experiencia en control no representa mayor reto controlar este

tipo de motores.

De la nube de puntos se observan ciertos patrones que se forman en función de

la disminución de los incrementos de paso. A menor número de paso el patrón

es más nítido. En este patrón se alinean puntos con una preferencia que no

coincide con la dirección de la recta que se intento trazar. El ángulo que forman

los puntos alineados con la recta de referencia es de 68°. Mientras mayor es la

distancia que se quiere cubrir mayor es el número de puntos que se grafican y

los puntos toman la orientación de la frontera del espacio de trabajo dejando de

parecer una línea recta y más parecida a una curva. Sin embargo, para distancias

cortas la orientación que los puntos toman es más aproximada a la de una recta.

Esto significa que se pueden trazar líneas rectas con solo girar 68° el

mecanismo.

Con el análisis anterior se diseño el mecanismo y se incluyen los dibujos de

detalle en un apéndice. Como última etapa, esta en proceso la construcción del

mecanismo.


77


78

RECOMENDACIONES


79

Se sugiere si se llega a utilizar el código, o parte de este, generado en Matlab

R2007a que se presenta en el apéndice F, se trate de optimizar. Cuando se corre

el programa especificando una distancia considerablemente larga con un numero

de pasos muy grande, éste se tarda mucho tiempo en presentar una solución. En

cierto sentido es razonable el tiempo que tarda en procesar los datos ya que el

programa calcula todas las combinaciones de pasos que tienen las tres cadenas

cinemáticas, para la trayectoria que se busca trazar y calcula para cada punto

seleccionado las coordenadas articulares respectivas.

Entonces la sugerencia va más enfocada hacia utilizar otro tipo de programa que

sea más rápido que MatLab o usar una computadora lo suficientemente rápida.


80


81

APÉNDICES


82

A. Geometría del mecanismo Siguiendo la notación de Tsai, se descompone en tres cadenas el mecanismo

planar 3RRR y se forman para cada una, una ecuación de lazo vectorial.

Después de que la plataforma móvil es especificada en términos del punto A y

el ángulo de orientaciónφ , las coordenadas del punto B y C pueden ser

escritas en términos del punto A y φ .

Punto B

φ

φ

hsyy

hcxx

AB

AB

+=

+= (A.1)

Punto C

( )( )3

3

π

π

φ

φ

++=

++=

hsyy

hcxx

AC

AC

(A.2)

Punto A

De la figura A.1 se puede escribir, para la cadena 1, la ecuación;

DAPDOPOA ++= (A.3)

La ecuación A.3 se puede escribir;

)(

)(

11111

11111

αθθ

αθθ

+++=

+++=

sbsayy

cbcaxx

PA

PA

(A.4)

Con 0== pp yx ; ya que coinciden con el origen de xy .

)(

)(

11111

11111

αθθ

αθθ

+=−

+=−

sbsay

cbcax

A

A

(A.5)


83

Figura A. 1 Esquema de la primera cadena cinemática

Eliminando ( )11 αθ + se encuentra una expresión en términos de las

dimensiones de los eslabones, de las coordenadas [ ]1 ,, θAA YX , para la cadena 1.

022 21

211111

22 =−+−−+ basaycaxyx AAAA θθ (A.6)

Para la cadena 2 se hace referencia a la figura A.2 y se sigue el mismo

procedimiento.

QEQBEABAO +++=2 (A.7)

Figura A. 2 Esquema de la segunda cadena cinemática


84

Se obtiene;

022

222222

2222

2222

22222222

22

22

22222

=−+

++−−−−−

−++−++++−−+

θφθ

θφφθφθθ

φφ

shsasay

caxhsyhcxchcasaycax

hsyhcxbahyxyyxxyx

Q

QQQAA

AAQQQAQAAA

(A.8)

Para la cadena 3 y de la figura A.3 se tiene;

Figura A. 3 Esquema de la tercera cadena cinemática

RFRCFACAO +++=3 (A.9)

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 02222

22222

222

33333333

333333333

323

23

22222

=+−+++−

−+−+−−−++

+++−++++−−+

θφθθφ

φθφθθφ

φ

ππ

πππ

π

shsasaycaxhsy

hcxchcasaycaxhsy

hcxbahyxyyxxyx

RRR

RAAA

ARRRARAAA

(A.10)


85

B. Cinemática inversa

Se escribe la ecuación 2.1 de la forma

031211 =++ ecese θθ (B.1) Con;

2222

3

12

11

2

2

AAAA

A

A

bayxe

axe

aye

−++=

−=

−=

(B.2) Usando identidades trigonométricas;

2

2

2 1

1y

1

2

i

ii

i

ii

t

tc

t

ts

+−

=+

= θθ ; 2

tan iit

θ= (B.3)

y sustituyendo en B.1;

01

1

1

232

2

221 =+

+−

+

+e

t

te

t

te

i

i

i

i (B.4)

se resuelve para 1θ ;

−

−+±−= −

23

23

22

2111

1 tan2ee

eeeeθ (B.5)

La ecuación 2.2 se escribe como;

062524 =++ ecese θθ (B.6) Con;

φφφ

θθφθ

θφθθ

hcxhsyhcxbahxxxyxe

caxchcacaxe

shsasaysaye

QAAQQAAA

QA

QA

2222

222

222

22

22

22226

2222225

2222224

−++−+++−+=

+−−=

−+−=

(B.7)


86

Resolviendo para 2θ ;

−

−+±−= −

56

26

25

2441

2 tan2ee

eeeeθ (B.8)

De igual forma, la ecuación 2.3 se escribe como;

092827 =++ ecese θθ (B.9) Con;

( )( )

( )( ) ( ) ( )323232

3222

2322

3222

23

23

222229

3333338

3333337

πφπφπφ

πφ

θθπφθ

θπφθθ

+−+−++

+++−++++−−+=

++−−=

+−+−=

hsyhcxhsy

hcxbahyxyyxxyxe

caxchcacaxe

shsasaysaye

RRA

ARRRARAAA

RA

RA

(B.10) Resolviendo para 3θ ;

−

−+±−= −

89

29

28

2771

3 tan2ee

eeeeθ (B.11)

Con las ecuaciones B.5, B.8 y B.11 tenemos resueltas .y , 321 θθθ


87

C. Cinemática directa

Continuando con la notación de Tsai, se escriben las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 en

la forma:

(C.3) 0

(C.2) 0

(C.1) 0

33323122

23222122

13121122

=++++

=++++

=++++

eyexeyx

eyexeyx

eyexeyx

AAAA

AAAA

AAAA

Donde;

.223

23

2

32

32

,23

22

,23

22

,22

2222

,222

,222

,

,2

,2

3333

333323

23

22233

3332

3331

2222

222222

22

22223

2222

2221

21

2113

1112

1111

θθπ

φπ

φ

θπ

φθπ

φ

θπ

φ

θπ

φ

θθ

φφθφθφ

θφ

θφ

θ

θ

saycaxhsyhcx

shsachcabahyxe

sahsye

cahcxe

saycax

hsyhcxshsachcabahyxe

sahsye

cahcxe

bae

sae

cae

RRRR

RR

R

R

QQ

QQQQ

Q

Q

++

+−

+−

+−

+−−+++=

−

++−=

−

++−=

++

−−−−−+++=

−+−=

−+−=

−=

−=

−=

Las ecuaciones 3.2.,1. CyCC son no lineales y contienen tres variables

desconocidas, .y , φAA yx Este sistema de ecuaciones puede ser simplificado al

sustraer la ecuación 2.C de 1.C :


88

0'13

'12

'11 =++ eyexe AA

(C.4)

Al sustraer la ecuación C.3 de C.1;

0'23

'22

'21 =++ eyexe AA

(C.5)

Donde;

,

,

,

,

,

,

3313'23

3212'22

3111'21

2313'13

2212'12

2111'11

eee

eee

eee

eee

eee

eee

−=

−=

−=

−=

−=

−=

Las ecuaciones C.1, C.4 y C.5 forman un nuevo sistema de ecuaciones. Se

resuelve C.4 y C.5 para AA yx y y entonces se sustituye el resultado en C.1. Esto

resulta en un polinomio de cuarto grado en :cosy φφsen

0213212111

22

21 =++++ δδδδδδδ eee (C.6)

Donde;

'23

'11

'21

'132

'22

'13

'23

'121

'21

'12

'22

'11

eeee

eeee

eeee

−=

−=

−=

δ

δ

δ

Al sustituir la identidad de tangente de ángulo medio el polinomio se convierte

en uno de octavo grado.

21

2

i

i

it

ts

+=θ ,

2

2

1

1

i

i

it

tc

+

−=θ donde;

2i

i tagtθ

= (C.7)


89

La expresión final es tan grande que se tendría que ocupar varias páginas para

escribirla. Lo importante es que la expresión está en función de una sola variable

desconocida, φ . La expresión general del polinomio es:

(C.8)

Cada constante C esta en términos de parámetros geométricos y cada variable T

representa una raíz del polinomio. El resultado son 8 raíces que representan las

posibles soluciones de los 8 modos de trabajo de la plataforma móvil. Al

seleccionar un modo de trabajo se reduce a dos el número de soluciones.

n

n

n

n TcTcTcTc ++++= −−

11

11

00 ...0 8=n


90

D. Análisis Jacobiano D.1 Forma vectorial

El modelado cinemático de un mecanismo paralelo busca las relaciones entre las

variables articulares y la posición y orientación del acoplador, en las que no se

tiene en cuenta las fuerzas que actúan sobre el mecanismo y que permiten

originar el movimiento del mismo. Lo que si se debe tener en cuenta es la

relación entre las coordenadas articulares y sus respectivas derivadas; de esta

forma el sistema de control del mecanismo establece las velocidades que debe

imprimir a cada articulación. La matriz Jacobiana establece esta relación

[Ollero, 2001].

La matriz Jacobiana directa permite conocer la velocidad del eslabón acoplador

a partir de los valores de las velocidades de cada articulación.

La matriz Jacobiana inversa permite conocer las velocidades articulares a partir

de una determinada velocidad del eslabón acoplador.

Tomando de referencia la figura D.1 se escribe una ecuación de lazo vectorial

para cada cadena. Para la primera se tiene;

Figura D. 1 Esquema para el lazo vectorial de la primera cadena cinemática.


91

DAPDGAPG +=+

111111 )( baerpg αθθφ ++=+ (D.1)

Como;

gpg rr = (D.2)

Derivando con respecto al tiempo la ecuación D.1 se tiene;

))(()()( 111111 bkakekv xg ×++×=+ αθθφ &&&& (D.3)

Para eliminar 1a , que representa una variable pasiva, se multiplica la ecuación

10 por 1b como un producto punto [Beer, 2004];

)()()()( 1111111111 bbkbakbekvb g ×⋅++×⋅=×⋅+⋅ αθθφ &&&& (D.4)

Como 011 =×bb

)()( 111111 bakbekvb g ×⋅=×⋅+⋅ θφ && (D.5)

Reacomodando;

0)()( 111111 =×⋅−×⋅+⋅ bakbekvb g θφ && (D.6)

Resolviendo el producto escalar y vectorial;

0)()( 11111111111 =−−−++ xyyxxyyxgyygxx bababebevbvb θφ && (D.7)

Escribiendo la ecuación 2.13 en forma matricial;

)()( 11111111111 xyyxxyyxgyygxx bababebevbvb −=−++ θφ && (D.8)

[ ] [ ]11111111111 ][ θφ

&

&

xyyxgy

gx

xyyxyx babav

v

bebebb −=

− (D.9)


92

El desarrollo para las otras dos cadenas es similar, agregando éstas al arreglo

matricial quedaría;

−

−

−

=

−

−

−

3

2

1

3333

2222

1111

333333

222222

111111

00

00

00

θθθ

φ &

&

&

&xyyx

xyyx

xyyx

gy

gx

xyyxyx

xyyxyx

xyyxyx

baba

baba

baba

v

v

bebebb

bebebb

bebebb

(D.10) La forma matricial es ahora qJxJ qx && = (D.11)

Como xq JJJ 1−= (D.12)

La ecuación 2.16 puede tomar la forma:

xJq && = (D.13)

Así podemos conocer las velocidades articulares a partir de una determinada

velocidad del eslabón acoplador.

Sí adopta la forma:

qJx && = (D.14)

Podemos conocer, entonces, la velocidad del eslabón acoplador a partir de una

determinada velocidad de las articulaciones.

D.2 Forma Algebraica

La cinemática inversa de un mecanismo paralelo 3RRR puede ser desacoplada

en tres cadenas individuales, el análisis de singularidad inversa también puede

ser desacoplada en la misma manera [Yang, 2002]. Entonces, cada cadena junto

con el eslabón acoplador puede ser considerada como un mecanismo serial de

3GdL, figura D.2.


93

Figura D. 2 Esquema de la cadena cinemática considerada como un manipulador serial.

Donde el cuerpo E representa el extremo del acoplador. Se puede obtener la

ecuación cinemática siguiente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

coscoscos

321

321321211

321321211

θθθφ

θθθθθθ

θθθθθθ

++=

+++++=

+++++=

senlsenlsenly

lllx

e

e

(D.15)

( )ee yx , representa la posición del vector del origen del cuerpo E con respecto a

la base B . φ es la orientación del ángulo E . ( )3,2,1θ representa los ángulos de las

juntas. ( )3,2,1l representa la longitud de los eslabones.

Derivando ambos lados de las ecuaciones D.15 se tiene el siguiente arreglo;

=

3

2

1

θθθ

φ &

&

&

&

&

&

Jy

x

e

e

(D.16)

Donde;

+++

−−−−−−

=

11112331233122123312211

12331233122123312211

θθθθθθθθθθθθ

clclclclclcl

slslslslslsl

J (D.17)


94

De esta forma podemos conocer las configuraciones singulares inversas del

mecanismo. Se sabe que una singularidad inversa ocurre cuando la matriz J es

singular ( )0det =J .

La determinante de J se calcula como;

221det θsenllJ = (D.18)


95

E. Planos


96


97


98


99


100


101


102


103


104

F. Códigos Este código es un solo archivo M dividido en bloques.

Espacio de trabajo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear;

clc;

clf;

subplot(4,1,1);

hold on

px=0;py=0;plot(px,py,'r*');%%%%%%%% posición de los motores

qx=130;qy=0;plot(qx,qy,'r*');

rx=65;ry=112.58;plot(rx,ry,'r*')

l=108;pl=22.5;%%%%%%%%%%%% dimensiones

%%%%%%%%%%%%% CADENA 1

c=0;

for t=-5:1:65;

xa=l*cosd(t); ya=l*sind(t);

c=c+1;

x(c)=xa; y(c)=ya;

xb=l*cosd(t)+(pl*cosd(30));

yb=l*sind(t)+(pl*sind(30));

c=c+1;

x2(c)=xb; y2(c)=yb;

end

plot(x2,y2,'.')

%%%%%%%%%%%%% CADENA 2

c=0;

for t=115:1:185;

xc=qx+(l*cosd(t)); yc=l*sind(t);

c=c+1;

x3(c)=xc; y3(c)=yc;

xd=qx+(l*cosd(t))+(pl*cosd(150));


105

yd=(l*sind(t))+(pl*sind(150));

c=c+1;

x4(c)=xd; y4(c)=yd;

end

plot(x4,y4,'.')

%%%%%%%%%%%%% CADENA 3

c=0;

for t=236:1:305;

xe=rx+(l*cosd(t)); ye=ry+l*sind(t);

c=c+1;

x5(c)=xe; y5(c)=ye;

xf=rx+(l*cosd(t))+(pl*cosd(270));

yf=ry+(l*sind(t))+(pl*sind(270));

c=c+1;

x6(c)=xf; y6(c)=yf;

end

axis equal

plot(x6,y6,'.')

ANÁLISIS DE POSICIÓN %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%CINEMÁTICA INVERSA

clc;

a1=54;

b1=54;

c=0;

pf=10.5;

for Xa= 2.5:pf;

Ya= 30;

c=c+1;

e1=-2*Ya*a1;

e2=-2*Xa*a1;

e3=(Xa)^2+(Ya)^2+(a1)^2-(b1)^2;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%cadena cruzada


106

teta1=2*atand((-e1-((e1)^2+(e2)^2-(e3)^2)^.5)/(e3-e2));

alfa1=((asind((Ya-(a1*sind(teta1)))/(b1)))-180)*(-1);

a2=a1;

b2=b1;

h=45;

phi=0;

Xq=130; Yq=0;

e4=((-2*Ya*a2)-(2*a2*h*sind(phi)));

e5=((-2*Xa*a2)-(2*a2*h*cosd(phi))+(2*Xq*a2));

e6=(Xa)^2+(Ya)^2-(2*Xa*Xq)+(Xq)^2+(h)^2+(a2)^2-(b2)^2+(2*Xa*h*cosd(phi))+(2*Ya*h*sind(phi))-(2*Xq*h*cosd(phi));

%%%%%%%%%%%%%%%%%%cadena cruzada%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


alfa2=((asind((Ya+(h*sind(phi))-(a2*sind(teta2))-Yq)/(b2)))-180)*(-1);

a3=a1;

b3=b1;

Xr=65;

Yr=112.5833;

e7=(-2*Ya*a3)+(2*Yr*a3-2*a3)-(2*a3*h*sind(phi+60));

e8=(-2*Xa*a3)-(2*a3*h*cosd(phi+60))+(2*Xr*a3);

e9=Xa^2+Ya^2-(2*Xa*Xr)-(2*Ya*Yr)+Xr^2+Yr^2+h^2+a3^2-b3^2+(2*Xa*h*cosd(phi+60))+(2*Ya*h*sind(phi+60))-(2*Xr*h*cosd(phi+60))-(2*Yr*h*sind(phi+60));

%%%%%%%%%%%%%%%%cadena cruzada%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


alfa3=(asind((Ya+(h*sind(phi+60))-(a3*sind(teta3))-Yr)/(b3)))+360;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%Coordenadas Punto B

Xb=Xa+(h*cosd(phi));

Yb=Ya+(h*sind(phi));

%%%%%%%%%%%%%%%%%%Coordenadas Punto C

Xc=Xa+(h*cosd(phi+(60)));

Yc=Ya+(h*sind(phi+(60)));

te1(c)=teta1;te2(c)=teta2;te3(c)=teta3;

alf1(c)=alfa1;alf2(c)=alfa2;alf3(c)=alfa3;


107

end

pas_1 cinemática directa %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clc;

format short

syms T;

xq=130;yq=0;

xr=65; yr=112.58;

n=1.8; %%% grados por impulso

Filtro %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

len=length(te3);

for r=1:len;

if te3(r)<0;

te3(r)=te3(r)+360;

end

end

pas 1b %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

v=length(te1);f=length(alf1);t1=te1(1):-n:te1(v);lo1=length(t1);

w=length(te2);g=length(alf2);t2=te2(1):-n:te2(w);lo2=length(t2);

f=length(te3);hd=length(alf3);t3=te3(1):n:te3(f);lo3=length(t3);

c=1;

for m=1:lo1;

t1=te1(1):-n:te1(v);

for k=1:lo2;

t2=te2(1):-n:te2(w);

for j=1:lo3;

t3=te3(1):n:te3(f);

t11=t1;t22=t2;t33=t3;

e11=-2*a1*cosd(t1(m));

e12=-2*a1*sind(t1(m));

e13=((a1)^2)-((b1)^2);


108

e21=(-2*xq)+(2*h*((1-T^2)/(1+T^2)))-(2*a2*cosd(t2(k)));

e21=simplify(e21);

e22=(-2*yq)+(2*h*((2*T)/(1+T^2)))-(2*a2*sind(t2(k)));

e22=simplify(e22);

e23=((xq)^2)+((yq)^2)+(h^2)+((a2)^2)-((b2)^2)-(2*a2*h*((1-T^2)/(1+T^2))*cosd(t2(k)))-(2*a2*h*((2*T)/(1+T^2))*sind(t2(k)))-(2*xq*h*((1-T^2)/(1+T^2)))-(2*yq*h*((2*T)/(1+T^2)))+(2*xq*a2*cosd(t2(k)))+(2*yq*a2*sind(t2(k)));

e23=simplify(e23);

e31=(-2*xr)+(2*h*((((1-T^2)/(1+T^2))*cosd(60))+(((2*T)/(1+T^2))*(sind(60)))))-(2*a3*cosd(t3(j)));

e31=simplify(e31);

e32=(-2*yr)+(2*h*((((2*T)/(1+T^2))*cosd(60))+(((1-T^2)/(1+T^2))*(sind(60)))))-(2*a3*sind(t3(j)));

e32=simplify(e32);

e33=((xr)^2)+((yr)^2)+(h^2)+((a3)^2)-((b3)^2)-(2*a3*h*((((1-T^2)/(1+T^2))*cosd(60))+(((2*T)/(1+T^2))*sind(60)))*cosd(t3(j)))-(2*a3*h*((((2*T)/(1+T^2))*cosd(60))+(((1-T^2)/(1+T^2))*sind(60)))*sind(t3(j)))-(2*xr*h*((((1-T^2)/(1+T^2))*cosd(60))+(((2*T)/(1+T^2))*sind(60))))-(2*yr*h*((((2*T)/(1+T^2))*cosd(60))+(((1-T^2)/(1+T^2))*sind(60))))+(2*xr*a3*cosd(t3(j)))+(2*yr*a3*sind(t3(j)));

e33=simplify(e33);

e11p=e11-e21;

e11p=simplify(e11p);

e12p=e12-e22;


e13p=e13-e23;


e21p=e11-e31;


e22p=e12-e32;


e23p=e13-e33;


d=(e11p*e22p)-(e12p*e21p);

d=simplify(d);

d1=(e12p*e23p)-(e13p*e22p);

d1=simplify(d1);


109

d2=(e13p*e21p)-(e11p*e23p);

d2=simplify(d2);

r=((d1)^2+(d2)^2+(e11*d*d1)+(e12*d*d2)+(e13*d^2));

z=simplify(r);

q(c)=collect(z);

c=c+1;

end

end

end

pas_2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clc;

for r=1:c-1;

u= q(r)*(1+T^2)^4;

p=coeffs(u);

al=p(1);bl=p(2);cl=p(3);dl=p(4);el=p(5);gl=p(7);fl=p(6);hl=p(8);il=p(9);

tocho=fl;tsiete=gl;tseis=dl;tcinco=el;tcuatro=hl;ttres=il;tdos=cl;tuno=bl;cte=al;

A=[tocho tsiete tseis tcinco tcuatro ttres tdos tuno cte];

o=roots(double(A));

tt(r)=o(8);

end

Filtro de soluciones reales %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

for r=1:c-1;

if ~isreal(tt(r))

tt(r)=0;

end

end

tt=tt(tt~=0);

pas_3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

c=1;

for m=1:lo1;


110

t1=t11;

for k=1:lo2;

t2=t22;

for j=1:lo3;

t3=t33;

phi=2*atand(tt(c));

e11=-2*a1*cosd(t1(m));

e12=-2*a1*sind(t1(m));

e13=((a1)^2)-((b1)^2);

e21=(-2*xq)+(2*h*((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2)))-(2*a2*cosd(t2(k)));

e22=(-2*yq)+(2*h*((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2)))-(2*a2*sind(t2(k)));

e23=((xq)^2)+((yq)^2)+(h^2)+((a2)^2)-((b2)^2)-(2*a2*h*((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(t2(k)))-(2*a2*h*((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(t2(k)))-(2*xq*h*((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2)))-(2*yq*h*((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2)))+(2*xq*a2*cosd(t2(k)))+(2*yq*a2*sind(t2(k)));

e31=(-2*xr)+(2*h*((((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*(sind(60)))))-(2*a3*cosd(t3(j)));

e32=(-2*yr)+(2*h*((((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*(sind(60)))))-(2*a3*sind(t3(j)));

e33=((xr)^2)+((yr)^2)+(h^2)+((a3)^2)-((b3)^2)-(2*a3*h*((((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(60)))*cosd(t3(j)))-(2*a3*h*((((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(60)))*sind(t3(j)))-(2*xr*h*((((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(60))))-(2*yr*h*((((2*(tand(phi/2)))/(1+(tand(phi/2))^2))*cosd(60))+(((1-(tand(phi/2))^2)/(1+(tand(phi/2))^2))*sind(60))))+(2*xr*a3*cosd(t3(j)))+(2*yr*a3*sind(t3(j)));

e11p=e11-e21;

e12p=e12-e22;

e13p=e13-e23;

e21p=e11-e31;

e22p=e12-e32;

e23p=e13-e33;

xa=((e12p*e23p)-(e13p*e22p))/((e11p*e22p)-(e12p*e21p));

ya=((e13p*e21p)-(e11p*e23p))/((e11p*e22p)-(e12p*e21p));

xo(c)=xa+22.5;

yo(c)=ya+12.9908;

phiteta(c)=phi;


111

c=c+1;

end

end

end

plot(xo,yo,'.')

Línea recta horizontal %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Pix=2.5; Piy=30;

Pfx=pf;Pfy=30;

zx=[Pix+22.5,Pfx+22.5];

vy=[Piy+12.9908,Pfy+12.9908];

plot(zx,vy,'r-');

Limites de tolerancia %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

lon=length(yo);

dest=std(yo);

ls=vy+(1.96*dest);

li=vy-(1.96*dest);

for c=1:lon;

if yo(c)>=ls | yo(c)<=li;

xo(c)=0;

yo(c)=0;

end

end

xo=xo(xo>0);yo=yo(yo>0);

subplot(4,1,2);

hold on

plot(xo,yo,'.');

plot(zx,vy,'r-');

Filtro de selección %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

lon=length(yo);

for c=1:lon;


112

if yo(c)>=43.02 | yo(c)<=42.97;

xo(c)=0;

yo(c)=0;

end

end

xo=xo(xo>0);yo=yo(yo>0);

subplot(4,1,3);

hold on

plot(xo,yo,'.');

plot(zx,vy,'r-');

subplot(4,1,4);

hold on

plot(xo,yo,'-');

plot(zx,vy,'r-');

Numero de pasos %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

longitud= length(xo)

xm=xo;ym=yo;

c=1;

for iteracion=1:longitud;

xmo= xm(c)-22.5;

ymo= ym(c)-12.9908;

Xa=xmo; Ya=ymo;

e1=-2*Ya*a1;

e2=-2*Xa*a1;

e3=(Xa)^2+(Ya)^2+(a1)^2-(b1)^2;

teta1(c)=2*atand((-e1-((e1)^2+(e2)^2-(e3)^2)^.5)/(e3-e2));

e4=((-2*Ya*a2)-(2*a2*h*sind(phi)));

e5=((-2*Xa*a2)-(2*a2*h*cosd(phi))+(2*Xq*a2));

e6=(Xa)^2+(Ya)^2-(2*Xa*Xq)+(Xq)^2+(h)^2+(a2)^2-(b2)^2+(2*Xa*h*cosd(phi))+(2*Ya*h*sind(phi))-(2*Xq*h*cosd(phi));


e7=(-2*Ya*a3)+(2*Yr*a3-2*a3)-(2*a3*h*sind(phi+60));


113

e8=(-2*Xa*a3)-(2*a3*h*cosd(phi+60))+(2*Xr*a3);

e9=Xa^2+Ya^2-(2*Xa*Xr)-(2*Ya*Yr)+Xr^2+Yr^2+h^2+a3^2-b3^2+(2*Xa*h*cosd(phi+60))+(2*Ya*h*sind(phi+60))-(2*Xr*h*cosd(phi+60))-(2*Yr*h*sind(phi+60));


%z= incremento

z=n;

if teta1(c)<0;

teta1(c)=((teta1(c)+360));

end

t1=(teta1-11.4214)/z;

if teta2(c)<0;

teta2(c)=((teta2(c)+360));

end

t2=(teta2-124.3899)/z;

if teta3(c)<0;

teta3(c)=((teta3(c)+360));

end

t3=(teta3-170.5091)/z;

c=c+1;

end

['motor 1',' motor 2',' motor 3']

pasos=[(round(t1))',(round(t2))',(round(t3))']

Coeficiente de variación %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

for c=1:longitud;

dist(c)=abs(vy(1)-yo(c));

prom=(sum(dist))/longitud;

end

coeficiente=prom

% fin


114


115

REFERENCIAS

BIBLIOGRÁFICAS


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posgrado en tecnologÍa avanzada

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