UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALAFACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

PRE-NIVELACIÓN Y ADMISIÓN (SNNA)

PORTAFOLIO DE

MATEMÁTICASNOMBRE:

JEISON CASTILLO

PROFESOR

ING. SARA CRUZ NARANJO

CURSO:

ADMINISTRACIÓN

PARALELO: “E”

MACHALA - EL ORO – ECUADOR

2012 -2013

INTRODUCCION

1

La matemática es ciencia, conocimiento, aprendizaje, que estudia las cantidades y

las formas, sus relaciones, así como su evolución en el tiempo, se puede usar el

término matemáticas, que es la forma más habitual

Aunque no es la considerada una ciencia natural definen e investigan estructuras y

conceptos abstractos de resolución de problemas, debido a que tales estructuras

pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una herramienta útil

para cálculos.

Además consideran la matemática es como una forma de arte práctico o aplicado.

La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se

puede decir que es el estudio de los "números y símbolos". Es decir, es la

investigación de estructuras abstractas, utilizando la lógica y la notación

matemática.

Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de

relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos

por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son

deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.

No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple

extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un

vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y

exploración de relaciones conceptuales y físicas.

Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano

apuntan en una dirección diferente y los lenguajes formales son estructuras de

naturaleza básicamente diferente.

ÍNDICE

2

CAPITULO 1

1. Lógica de conjuntos…………………………………………………………...61.1. Proposiones…………………………………………………………………..81.2. Operadores lógicos………………………………………………………...121.3. Proposiciones simples y compuestas……………………………………141.4. Formas proposicionales……………………………………………………161.5. Propiedades de los operadores lógicos………………………………….181.6. Razonamientos……………………………………………………………..201.7. Demostraciones…………………………………………………………….221.8. Conjuntos……………………………………………………………………241.9. Cuantificadores……………………………………………………………..261.10. Operadores entre conjuntos……………………………………………...281.11. Propiedades de las operaciones entre conjuntos……………………...301.12. Predicados………………………………………………………………….331.13. Pares ordenados y producto cartesiano………………………………..361.14. Relaciones…………………………………………………………………401.15. Funciones…………………………………………………………………..42

CAPITULO 2

2.1. Representación decimal…………………………………………………...442.2. Operaciones binarias………………………………………………………482.3. Operaciones entre numero reales………………………………………..502.4. Relaciones de orden……………………………………………………….532.5. Conceptos asociados al conjunto de los números enterados…………582.6. Expresiones algebraicas…………………………………………………..602.7. Valor absoluto………………………………………………………………622.8. Ecuaciones………………………………………………………………….652.9. Inecuaciones………………………………………………………………..672.10. Inducción matemática…………………………………………………….682.11 Técnicas de conteo………………………………………………………..702.12. Teorema del binomio……………………………………………………..742.13. Sucesiones…………………………………………………………………78

CAPITULO 4

4.1. Ángulos con sus medidas………………………………………………….784.2. Funciones trigonométricas…………………………………………………804.3. Graficas de funciones trigonométricas……………………………………814.4. Funciones trigonométricas…………………………………………………824.5. Identidades trigonométricas……………………………………………………………………83

3

4.6. Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas……………………………..84

CAPITULO 11

11.1. Estadística y probabilidades……………………………………………...8511.2. Estadística descriptiva………………………………………………….....8711.2. Organización de datos…………………………………………………….9011.3. Gráficos de representación……………………………………………....9111.4. Medidas de tendencia central y no central……………………………...9211.5. Medidas y dispersión……………………………………………………...9311.6. Probabilidades……………………………………………………………..9411.7. Conjuntos y probabilidades……………………………………………....95

Conclusiones Recomendaciones

Bibliografía

CAPITULO 14

LÓGICA Y CONJUNTOS

1.1 PROPOSICIÓN

Es un método en la cual no acepta conclusiones erróneas. Esto se puede lograr

definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos.

Es una oración en la cual puede ser Verdadero o solo es Falsa.

Ejercicios:

a) Oraciones que son proposiciones.

a) El atardecer en la playa es romántico.

b) La edad de gloria es de 17 años.

b) Representación simbólica de proposiciones.

a) 5 es un número primo.

b) Los números divisibles para 8 son divisibles para 2.

1.2 OPERADORES LÓGICOS

Valor de Verdad: Es la cualidad que describe la proposición en la cual puede

ser verdadero o falso. El valor verdadero siempre se lo asocia con: 1, V, T, True;

mientras que el valor falso se lo asocia con: 0, F, False.

Tabla de verdad: Es en donde se representa los posibles valores de

verdad que se podría tomar una proposición.

Construcción de la tabla d verdad.

5

Operadores Lógicos:

Se lo usa frecuentemente para proposiciones más complejas.

Negación: Es cuando está representada simbólicamente por ¬a y este valor de

verdad viene con una tabla de verdad.

Conjunción: Esta representada por el símbolo ^, es una nueva proposición, en

español, la disyunción se presenta con el término gramatical “y”.a continuación su

tabla de verdad.

Disyunción: En este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una

nueva, En español, la disyunción se presenta con el término gramatical “o”.

Disyunción Exclusiva: Relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la

cual la proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea

verdadera. En español, la disyunción exclusiva se presenta con el término

gramatical “o”, “o sólo”, “o solamente”, “o..., o...”.

Condicional: Se la denomina hipotética o implicación. Es utiliza como hipótesis y

la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del

6

antecedente sea verdadero, y se representa de la siguiente manera: “→”.

Bicondicional: Se denomina también de doble implicación. La proposición

a↔b será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean

iguales.

Ejercicios:

A) Como espinaca b) la lógica es fácil c) me divierto con este deber.

Parafrasee las siguientes proposiciones:

a) (a ∧ b) ↔ c

B) Como espinaca y la lógica es fácil si solo si me divierto con este deber.

C) (b ∧ c) → a

1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógicoalguno. Las

proposiciones compuestas están formadas por otrasproposiciones y operadores

lógicos.

Ejemplos:

7

1.4 FORMAS PROPOSICIONALES

Nos permitirá identificar la diferencia entre proposiciones y formas proposicionales

al igual que las implicaciones y equivalencias lógicas. Son representadas con

letras mayúsculas. A, B, C…

Ejercicios:

A)Si la forma proposicional f (p, q, r) es tautológica, entonces f (0, 0, 0) es una

proposición falsa.

a) Verdadero b) Falso

B)Si p, q y r son variables proposicionales, entonces ¬ p → (q ∨ ¬ r) es una

contradicción.

a) Verdadero b) Falso

1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS

Tautología: Es cuando una proposición es únicamente Verdadera.

Contradicción: Es cuando una proposición siempre va a ser Falsa.

8

Contingencia: Cuando la proposición puede ser verdadera o falsa.

Implicación Lógica: Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A

implica lógicamente a B, denotado por A⇒B, si y sólo si A→B es una tautología.

Equivalencia lógica: Las sentencias p y q son lógicamente equivalentes si

poseen el mismo contenido lógico.

Propiedades de los operadores lógicos

Ejercicios

a) Empleando álgebra proposicional, identifique cuál de las siguientes formas

proposicionales NO es tautológica.

a) [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)]

b) [p ∧ (p → q)] → q

c) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p ∧ r)

d) [(p → q) ∧ p] → q

e) (p → 0) → ¬ p

¬[¬(pvq)] v ¬q

(pvq) v ¬q

qv¬q

1

B) Dada la proposición: “No estoy satisfecho, puesto que no me dieron el aumento

de sueldo”, identifique cuál de las siguientes proposiciones no es equivalente.

a) Si me dan aumento de sueldo, estoy satisfecho.

b) Si no me dan aumento de sueldo, no estoy satisfecho.

9

c) Si estoy satisfecho, me dan aumento de sueldo.

d) Me dieron aumento de sueldo o no estoy satisfecho.

e) No me dieron aumento de sueldo sólo si no estoy satisfecho.

1.6 RAZONAMIENTOS

Son proposiciones compuestas que son representadas por la conjunción de

proposiciones denominadas hipótesis.

Validez de un razonamiento:

Es cuando la forma proposicional que se representa es una tautología.

Ejercicios:

A) Un razonamiento es válido si y sólo si su estructura lógica es una forma

proposicional tautológica.

a) Verdadero b) Falso

B) El razonamiento “Si trabajo arduamente gano un buen sueldo, pero no gano un

buen sueldo. Por lo tanto, no trabajo arduamente”, es válido.

a) Verdadero b) Falso

1.7 DEMOSTRACIONES

Demostraciones

A partir de las demostraciones se puede deducir por razonamientos validos otras

afirmaciones para poder llegar a demostrar algo.

Demostraciones Directas

Se examinan los elementos que hay y a partir de una secuencia de pasos lógicos

se podrá determinar.

Demostraciones por contraejemplo

Esto pone en evidencia que existe al menos un caso en el cual la proposición no

es verdadera.

10

Demostraciones por reducción al absurdo

Con este método la estructura del razonamiento p→q no es tautológica. Debido a

que el operador principal de un razonamiento es la implicación, la estructura no es

tautológica si existe al menos un caso 1→0,

Ejemplos:

a) Para demostrar que p → q es verdadero, por el método de reducción al

absurdo, suponemos que ¬ p es verdadero y obtenemos una contradicción con q.

a) Verdadero b) Falso

b) Utilice el método de reducción al absurdo para demostrar las siguientes

proposiciones:

a) Llueve

b) Hay producción

a) Si (a → b) y a, entonces b.

b) Si ( a∨ b) y ¬ b, entonces a.

c) Si a se cumple, entonces ( a∨b) se cumple.

1.8 CONJUNTOS

Conjuntos

Se basa en una colección, reunión de objetos que poseen una característica

común.

Descripción de conjuntos

Cardinalidad

Es la cantidad de elemento de un conjunto. Se denota por el símbolo N(A).

Cardinalidad de conjuntos

11

Conjuntos relevantes

Ejercicios

a)Determine cuál de los siguientes conjuntos es vacío:

a) A = ∅ b) D = ∅ c) B = ∅,∅ d) C = ∅, ∅ e) M = x/x ≠ x

b) Sean A, B, C, D y M como en el ejercicio anterior.

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) N(A) = N(D)

b) N(D) = N(C)

c) N(C) = N(M)

d) N(C) = 1

e) N(B) = N(C) + 1

1.9 CUANTIFICADORES

Cuantificadores

Parte de una serie de Cálculos Matemáticos mediante la vinculación de una

cantidad de Variables. Uno de los ejemplos más conocidos de su aplicación es sin

lugar a dudas la de Verdadero o Falso.

Cuantificador Universal

12

A= Ø B=Ø,Ø C=Ø,Ø D= Ø M= x/x ≠X = N (A)= N(D) N (D) = N(C) N(C)=N(M) N(C)=11=1 Verdadero 1=1 1=Ø F 1=1 VN(B)= N(C)+1 2= 1+1 2=2

En el cuantificador universal se usa la expresión de la forma “para todo”, “todo”,

“para cada”, “cada” se simboliza ∀Cuantificador Existencial

Las expresiones de la forma “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta

que uno” son un lenguaje formal y se simboliza ∃.Subconjunto

El conjunto A es subconjunto de B si y solo si los elementos de A están contenidos

en B. simbólicamente, este concepto se representa por:

(A ⊆ B)⇔∀x[(x ∈A)→(x ∈B)]

Conjunto Potencia

Es el que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. y se simboliza

con P(A).

Relaciones entre conjuntos

Igual entre conjuntos

Es cuando 2 conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismo elementos.

Y se representa así:

(A = B)⇔[(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)]

Conjuntos disjuntos e intersecantes

Los conjuntos A y B son disjuntos si y solo si A y B no tienen elementos en común.

Ejercicios

a) Identifique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:

a) 5 = 5 F

b) ∉∅ Fc) 1 ∈1, 4, 2, 4 F

d) 4, 8, 23, 3= (−2)2, 8, 3 V

e) 2, 4= 2, 4 F

b) Dado el referencial Re =x/x es una letra del alfabeto castellano y los conjuntos

13

A, B, C y D definidos por:

A = x/x es vocal de la palabra COMPUTACION

B = x/x es vocal de la palabra ELECTRONICA

C = x/x es consonante de la palabra BARCELONA

D = x/x es consonante de la palabra ENUMERACION

a) Tabule A, B, C y D.

b) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) N(A) = N(B)

II) A = B

III) E ∈ A

1.10 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Operación entre conjuntos

Nos sirve para representarla con el lenguaje simbólico respectivo, es posible

realizar operaciones entre conjuntos para formar otros nuevos. Lo mas utilizados

son la Unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complementación.

Unión

Es la unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formados por

elementos que pertenecen al conjunto A o B se denota por A∪B y se define

como: A∪B = x/(x ∈A)∨(x ∈B)

Intersección entre conjuntos

La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los

14

AC,O,M,P,U,T,A,C,I,O,NBE,L,E,C,T,R,O,N,I,C,ACB,A,R,C,E,L,O,N,ADE,N,U,M,E,R,A,C,I,O,N

elementos que perteneces al conjunto A y B se denota: A∩B y se define:

A∩B = x/(x ∈A)∧(x ∈B)

Diferencia entre conjuntos

Entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que

perteneces al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A−B y

se define como: A−B = x/(x ∈A)∧¬(x ∈B)

Diferencia simétrica entre conjuntos

Los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que

pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∆B y se define como:

A∆B = (A−B)∪(B−A), o también: A∆B = x/[(x ∈A)∧¬(x ∈B)]∨[(x ∈B)∧¬(x ∈A)]

Complementación de conjuntos

La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los

elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se

define como: AC = x/(x ∈Re)∧¬(x ∈A)

Ejercicios

a) Si A = ∅, ∅, entonces ∅ ∈ A ∩ P(A).

a) Verdadero b) Falso

15

b) Sean A, B y C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente

diagrama de Venn:

1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Algunas de sus mas importantes propiedades se incluyen en las denominadas

leyes de algebra de conjuntos.

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A= ∅,∅P(A)= (∅),((∅)), (∅(∅),((∅,∅)

La región sombreada corresponde a:

a) AC ∪ (B ∩ C) b) B − (A ∪ C)c) A ∩ (B ∪ C)d) A − (B ∪ C)e) B ∩ (A ∪ CC)

Ejercicios:

a) • p.d. A∪B=B∪A (Conmutatividad)

x∈(A∪B)⇔(x ∈A)∨(x ∈B) Definición de Unión.⇔(x ∈B)∨(x ∈A) Ley Conmutativa de la Disyunción.⇔x ∈(B∪A) Definición de Unión.

b) • p.d. N(A∪B) = N(A) + N(B)−N(A∩B)

A= (A−B)∪(A∩B) Expresado mediante conjuntos disjuntos.

N(A) = N(A−B)+N(A∩B) Su cardinalidad es la suma.

N(A−B) = N(A)−N(A∩B) Se obtiene esta expresión útil.

A∪B = (A−B)∪(A∩B)∪(B−A) Expresado mediante conjuntos disjuntos.

N(A∪B) = N(A−B)+N(A∩B)+N(B−A) Su cardinalidad es la suma.

N(A∪B) =N(A)−N(A∩B)+N(A∩B)+N(B)−N(B∩A) Cardinalidad de la diferencia.

N(A∪B) = N(A)+N(B)−N(A∩B) Se completa la demostración.

N(A∪B∪C) =N(A)+N(B)+N(C)−N(A∩B)−N(A∩C)−N(B∩C)+N(A∩B∩C)

17

1.12 PREDICADOS

Predicados de una variable

Son expresiones en términos de una variable que al ser reemplazadas por los

elementos de un conjunto referencial, se convierte en proposiciones. La notación

para los predicados será: p(x), q(x), r(x), etc.

Conjunto de verdad de un predicado

Conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se

convierte en una proposición verdadera. La notación a utilizar para este conjunto

es Ap(x), y se define como:Ap(x) = x/(x ∈Re)∧(p(x)⇔1)

Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores

Se contiene un cuantificador universal es verdadera si y solo si el conjunto de e

verdad del predicado es igual al conjunto referencial de la expresión abierta.

xp(x)⇔(Ap(x) = Re)

Conjunto vacío

Si Re=∅, entonces ∀xp(x)⇔1, debido a que Ap(x)=Re=∅ y ∃xp(x)⇔0, por lo

tanto: ∃xp(x) ⇒∀xp(x) es una proposición verdadera.

Conjunto unitario

Si Re = a y p(a) ⇔ 1, ∀xp(x) ⇔ 1 y ∃xp(x) ⇔ 1, por lo tanto ∃xp(x) ⇒∀xp(x) es una proposición verdadera y ∀xp(x) ⇒∃xp(x)

también lo es. Luego, se puede concluir que ∃xp(x) ⇔∀xp(x).

N(Re)>1

En este caso siempre se cumple que: ∀xp(x) ⇒∃xp(x).

Leyes de los cuantificadores

18

Ejercicios:

a)Sea Re = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y los predicados:

p(x): x es divisor de 284.

q(x): x + 3 < 9

r(x): x + 2 = 8

m(x): x es primo

Encuentre:

a) Ap(x) e) A[p(x) ∨ r(x)]

b) Aq(x) f) A[q(x) ∧ m(x)]

c) Ar(x) g) A[m(x) → ¬ r(x)]

d) Am(x) h) A[¬ r(x) ∧ q(x)]

e) A[p(x) ∨ r(x)]

f) A[q(x) ∧ m(x)]

g) A[m(x) → ¬ r(x)]

h) A[¬ r(x) ∧ q(x)]

b)

A[(p(x) → s(x)→(q(x)→r(x)]

A (p(x)→s(x)) U A(q(x)→r(x)

A¬(p(x)→s(x)) U A(q(x)UAr(x)

Re Ar (x) ∩As(x)

∩1,3,5

1.13 PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO

Pares Ordenados y Producto Cartesiano

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, a y b, que tiene un orden; al

elemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se lo denomina

segunda componente. Se representa simbólicamente por: (a, b).

Producto cartesiano

19

a) AP(x)=1,2,3,4b) Aq(x)

Aq(x) 1,2,3,4,5c) r(x)= 6d) Ar(x)=2,3,5,7e) A[p(x) v r(x)] ∩ [p(x) U q(x)]

(2,6,9) U (1,2,3,4,5) (1,2,3,4,5,6,9)

f) A[p(x) v r(x)][q(x) ∩ m(x)](1,2,3,4,5) ∩(2,3,5,7,9,)

g) A[m(x)¬(x)]A(m)x U Ar (x)(1,4,6,8) U (1,2,3,4,5,6,7,8,9)(1,2,3,4,5)

h) Acm(x)→r

A[q(x) ∩ m(x)A[q(x) ∩ m (x)]1,2,3,4,5 ∩1,2,3,4,5,6

Sean dos conjuntos A y B, no vacíos, denominaremos producto cartesiano entre

A y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente

pertenece al conjunto A, y la segunda al conjunto B. Simbólicamente, lo

representaremos como: A x B.

A x B = (x, y)/(x ∈A)∧(y ∈B)

Producto cartesiano entre dos conjuntos

Producto cartesiano entre tres conjuntos

Ejercicios

A)

A = *, &, #

B = @, $, ♣

A x B = (*,@), (*,$), (*,♣), (&,@), (&,$), (&,♣), (#,@), (#,$), (#,♣)

En este ejemplo la cardinalidad del conjunto resultante es N(A x B) = 9.

b)

Si A, B, C son conjuntos tales que: N(A) = 2, N(B) = 3, N(C) = 4 y

20

N(B∩C) = 2, determine N[A x (B∪C)].

Solución:

En base a la definición de N(A x B), tenemos que:

N[A x(B∪C)] = N(A)N(B∪C)

Por otra parte:

N(B∪C) = N(B) + N(C) − N(B∩C) = 3 + 4 − 2 = 5

Luego:

N[A x(B∪C)] = (2)(5) =10

1.14 RELACIONES

Relaciones

Es la cual establece la correspondencia entre los elementos de 2 conjuntos vacíos

A y B. El conjunto A es el de partida y B de llegada. Y representa asi:R⊆ A x B

Relación Vacía

Es cuando la relación no tiene elementos.

21

Dominio de una Relacion

Los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el

22

dominio de la relación. Se representa simbólicamente por: dom R.

Rango de una Relación

Los conjuntos A y B, los elementos del conjunto B que se relacionan con

elementos del dominio de R constituyen el rango de la relación. Se representa

simbólicamente por: rg R.

Ejercicio 1: En una relación, el dominio siempre es igual al conjunto de partida.

a) Verdadero b) Falso

Ejercicio 2: Dominio y rango de una relación

A B A B

Funciones

En una relación A en B es una función si y solo si el dominio de la relación es todo

el conjunto de partida, esto quiere decir que en una función no puede existir dos

elementos del conjunto de llegada relacionado con un mismo elemento del

dominio.

23

245

1354

Don Ra = 1,3,5

1356

2367

Rg= 2,3,7

A=3,6,7,8 B=0,5,6,7 R=(x,y) / x<y

2= (3,5) (3,6) (3,7) (6,7)Dom R= 3,6Rg= 5,6,7

A C

3678

0567

Tipos de funciones

Tienen diversas características, las cuales deben ser tipificadas para su análisis y

estas dependen de la cardinalidad de los conjuntos de partida y de llegada

Función Inyectiva

f es inyectiva si cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único

elemento del dominio. Es necesario que N(A) ≤ N(B) para poder construir

funciones inyectivas.

Función Sobreyectiva

f es sobreyectiva si rg f = B. Es necesario que N(A) ≥ N(B) para poder construir

funciones sobreyectivas.

Función Biyectiva

Estas funciones tienen propiedades importantes como las siguientes:

Función Inversible

f : A→B es inversible si y sólo si su relación inversa es una función de B en A

Teorema

f es una función inversible si y sólo si es biyectiva.

Función Inversa

24

A= 2,4,5B= 8,64, 125,216

f : A→B, “y es el cubo de x”f = (2, 8), (4, 64), (5, 125)

Es f –1: B→A, lo cual indica que el orden de los conjuntos cambia.

Adicionalmente, se puede notar que el dominio de f es el rango de f –1 y el rango

de f es el dominio de f –1.

Función Compuesta

Sean las funciones f : A→B y g : C→D, la función compuesta denotada por gof es

una función que relaciona A con D, es decir, que a partir de un elemento x de A,

se obtiene un elemento g( f (x)) de D.

Composición de Funciones

Ejercicios

A)

A = 1, 2, 3

B = a, b, c

f : A→B

f = (1, a), (2, b), (3, b)

B)

25

A = −1, 0, 1

B = 0, 1

f : A→B, “y es el cuadrado de x”

f = (−1, 1), (0, 0), (1, 1)

CAPITULO 2

NUMEROS REALES

2.1 REPRESENTACION DECIMAL

Son aquellos que pueden representarse en cifras enteras y cifras decimales con

una cantidad finita de dígitos, o con cierto número de dígitos que aparecen

indefinidamente siguiendo patrón de repetición, para lograr la representación

decimal , en el caso de números racionales es suficiente dividir el numerador para

el denominador

Ejemplos:

26

2.2 OPERACIONES BINARIAS

Son aquella que tiene cierta particularidad, si tomamos dos elementos de un

conjunto numérico, la operación general tendrá un tercer número dentro o fuera

del conjunto al cual se está haciendo referencia, es la unión y la intersección de

conjuntos también generan nuevos conjuntos, las operaciones toman 2 elementos

de un conjunto

Ejemplos

27

2.3 OPERACIONES ENTRE NUMEROS REALES

Es el conjunto de números reales, s definen las operaciones de adición (+) y

multiplicación (.)

Es importante anotar que existen algunas expresiones que no están definidas

en , algunas de ellas son:

Ejemplos:

2.4.1 RELACION DE ÓRDENES DE UN NUMERO ENTERO

Son aquellos enteros que se ordenan de mayor a menor y representados por el

signo > , que significa “mayor que” otra relación es el de “menor que “cuyo símbolo

es < y menor igual que <_ y mayor que o igual cuyo símbolo es _>

Ejemplos:

2.4.2 RELACION DE ORDEN DE NUMEROS REALES

Son números reales siempre que es posible relacionar su orden, de tal manera

que uno es mayor que el otro son iguales

Además, se puede observar que el conjunto Z cumple con las siguientes

propiedades:

28

Y Además, se puede observar que el conjunto R cumple con las siguientes

propiedades:

Cumple con las siguientes

Ejemplos:

2.5 CONCEPTOS ACOCIADOS A NUMEROS ENTEROS Y NUMEROS PRIMOS

En muchas ocasiones es necesario saber si un número es entero dividendo a otro

sin necesidad de efectuar la división para ellos se aplica ciertas reglas de

divisibilidad y los números primos es un número natural mayor que 1 que tiene

únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos se

contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor

natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni

primo ni compuesto.

Ejemplos:

29

2.5.1NUMEROS COMPUESTOS

Todo número natural no primo, a excepción del 1, se denomina compuesto, es

decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el

término divisible para referirse a estos números.

Ejemplos:

2.5.2MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D)

Se define el máximo común divisor (abreviado MCD) de dos o más números

enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 42

30

y 56 es 14. En efecto, y 3 y 4 son primos entre sí (no existe ningún

número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).

Ejemplo:

2.5.3 MINIMO COMUN MULTIPLO (M.C.M)

El mínimo común múltiplo (abreviado MCM), de dos o más números naturales es

el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica

con números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o

números complejos.

31

Ejemplos:

A)

B)

2.5.4 NUMEROS PARES

es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k, donde k es un entero (los

números pares son los múltiplos del número 2).

Los números enteros que no son pares, se llaman números impares (o nones), y se

pueden escribir como 2k+1.1

Ejemplos:

32

2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y PORPIEDADES DE LAS FRACCIONES

Son parte elemental de las matemáticas que trata del cálculo con símbolos

literales y con operaciones abstracta que generalizan cuatro operaciones

fundamentales .Es una colección de variables y números reales. Sobre ellas se

pueden aplicar sumas, divisiones, multiplicaciones, divisiones, potencias y

extracción de raíces.

Ejemplos:

2.6.2 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

33

Una potencia forma parte abreviada de escribir una multiplicación en que se repite

un mismo factor un cierto número de veces, para simplificar estas se deben dar

las siguientes leyes

Ejemplos:

2.6.3 PRODUCTOS NOTABLES

es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se

puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen

ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas

multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la

factorización de una diferencia decuadrados perfectos es un producto de dos binomios

conjugados, y recíprocamente.

34

Ejemplos:

2.6.4 FACTORIZACION

Es una expresión algebraica que consiste en escribirla como el producto mas

simple de sus factores. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo

35

de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o

reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre

de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio

enpolinomios irreducibles.

Ejemplos:

2.6.5

RACIONALIZACION

Es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción

36

equivalente, cuyo denominador sea racional. Cuando se racionaliza el dominador

irracional de una fracción desaparece todo signo radical del denominador

Ejemplos:

2.7 VALOR ABSOLUTO

Todo número se caracteriza por dos elementos: su valor y signo El valor absoluto

está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes

contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real

puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son

los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Ejemplos:

37

2.8 ECUACIONES

Dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen

valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante

operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden

ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se

haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas,

representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende

hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

Ejemplos:

38

2.8.1 ECUACIONES LINEALES

Significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera

potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra

solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Ejemplos:

2.8.2 ECUACIONES CUADRATICAS

Es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos, todos ellos con potencias inferiores

a las de un cuadrado, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio

de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación

cuadrática

39

2.8.1 ECUACIONES LINEALES

40

Una ecuación lineal o de primer

grado, corresponde al tipo más simple

de

Ecuación, pudiendo ser

reducida a un predicado de la forma:

x es la incógnita cuyo valor

hay que determinar. Donde La

solución de la ecuación

anterior la obtenemos así:

Ejemplos:

2.9 INECUACIONES

es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los

miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o se

denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se

denomina inecuación en sentido amplio.

41

Ejemplos:

2.9.1 INECUACIONES LINEALES

Es aquella representada con un predicado definido en el conjunto de los

reales,La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de

intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales.

Ejemplos:

42

2.9.2 INECUACIONES CUADRATICAS

Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:a x 2 + b x + c < 0o cualquier

expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo

de desigualdad:> , ≤ o ≥.

Ejemplos:

43

2.9.3 INECUACION DE VALOR ABSOLUTO

Al inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de valor absoluto de

un número real es la distancia entre ese número y el cero en la

recta numérica, esto es,a=-a.

Usamos este argumento para resolver ecuaciones con

valor absoluto. Por ejemplo, si x= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto,

la solución de la ecuación x= 3 es -3 y 3.

Ejemplos:

44

2.10 INDUCCION MATEMATICA

Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto

de axiomas aritméticos ideados por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Estos

axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones

matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la

aritmética y la teoría de números.

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

1. El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números

naturales.

2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para

definir posteriormente la suma).

3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor,

entonces n y m son el mismo número natural.

5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de n. naturales, y dado un elemento

cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces

todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último

axioma es el principio deinducción matemática.

45

Ejemplos:

46

2.11 TECNICAS DE CONTEO

Cuando en un experimento, el número de resultados posibles es pequeño, es

relativamente facil de listar y contar todos los posibles resultados.

Sea n,m enteros no negativos tales que n _> m, el símbolo (n m) que se lee “

combinatorias de n elementos comando de m de ellos a la vez se calcular de la

siguiente manera

(nm) = ____n!_______

m!( n – m)

Ejemplos:

47

2.11.1 PRINCIPIOS DE LA SUMA (ADITIVO)

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser

realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M

maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas

…..y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,

entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de:

M + N + ………+ W maneras o formas

Ejemplos:

48

2.11.2 PRINCIPIOS DE LA MULTIPLICACION (MULTIPLICACION)

Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x

n formas da hacer ambas cosas

Utilizando una fórmula: Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de 2 eventos, para 3 eventos, m, n, y o: Núm.

total de arreglos = m x n x o

Ejemplos:

a) Una mujer tiene tres sombreros y cuatro brazaletes. Si piensa usar sombrero y

brazalete para una fiesta, ¿cuántas diferentes combinaciones puede llevar?

Solución: 3 ´ 4 = 12 diferentes combinaciones sombrero-brazalete.

b) Tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y

cuatro para pollo. ¿A cuántos diferentes lugares podemos ir a almorzar? Solución:

3 + 2 + 4 = 9 diferentes lugares.

2.11.3 PERMUTACION Y COMBINACION

Las permutaciones son la cantidad de ordenaciones de un conjunto de n

elementos.

la formula general es Pn= n!

Las combinaciones son las ordenaciones de n-k elementos sin importar el orden

La fórmula General seria combinaciones de n tomados de a k Cn,k= n!/[(n-k)!k!]

Ejemplo

cuantas palabras con o sin sentido puedo formar con las letras de la palabra ASDFG, la cantidad

de palabras serian P5= 5!

la formula general es Pn= n!

cuantas palabras de 4 letras puedo formar con la palabra ASDFG, el calculo seria el siguiente 5!/

[(5-4)!*4!]

2.12 TEOREMAS DEL BINOMIO

Este favorece los intercambios de correspondencia entre los científicos de su

49

época , es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n

(siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible

expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc,

donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y

el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende

de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es

usualmente omitida del término.

Ejemplos:

CAPITULO 4

TRIGONOMETRIA

4.1 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

50

Ángulos y sus medidas

Para la definición de una ángulo existe un elemento importante que se llama la

semirrecta.

Semirrecta

Es la parte de una recta que esta a lado de la misma desde un punto fijo que se

llama extremo y se extiende a una sola dirección.

Angulo

Es la unión de 2 semirrectas que se intersecan en su extremo. Se puede designar

ángulo, por medio de puntosde las semirrectas o solo utilizando un vértice.

Unidades Angulares

Se utilizan las unidades de medida más conocidas, como son los grados

sexagesimales, minutos y segundos; tales unidades están basadas en la división

en partes iguales de una circunferencia.

Clase de Ángulos

Coterminales

Son aquellos ángulos que tienen los mismos lados iniciales y terminal

Consecutivos

Dos ángulos de un mismo plano son consecutivos cuando solo tienen un lado en

común.

Adyacentes

2 ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son

semirrectas en la misma dirección, la suma de las medidas de los ángulos es de

180ª.

51

Complementarios

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye la

medida de un ángulo recto: α + β = 90º.

Suplementarios

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la

medida de dos ángulos rectos: α + β = 180º.

Opuestos por el vértice

Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son

semirrectas opuestas a los lados del otro, verificándose que α = β.

Relación entre grados sexagesimales y radianes

Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr, y para el caso de una

vuelta completa, entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en

grados sexagesimales y radianes.

Ejercicios

a) Grados sexagesimales a radianes.

a) 15º

b) 390º

c) -75º

d) -150º

52

b) Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común.

a) Verdadero b) Falso

Ejercicio 3

Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y son suplementarios.

a) Verdadero b) Falso

4.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES

Funciones trigonométricas elementales

Función Seno: Esta definida por sen(x)=b/1. Es una función de R en R.

Función Coseno: Esta definida por cos(x)= a/1.

Función Tangente: Si (a≠ 0), la función esta definida por Tan(x) = b/a.

Función Contangente: Si (b≠ 0), la función esta definida por sec(x)=1/a.

Función Secante: Si (a≠ 0), la función esta definida por sec(x)= 1/b.

Función Cosecante: Si (b ≠ 0), esta definida por csc(x)=1/b.

Ejercicios:

A) Determine el valor de la expresión:

Ejercicio 2

B) Determine el valor de la expresión:

53

4.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades Trigonometricas

En esta sección veremos dada una expresión trigonométrica, es posible

simplificarla o transformarla en otra expresión equivalente a la original, empleando

las principales identidades trigonométricas del seno, coseno, tangente,

cotangente, secante, cosecante, ángulo doble, ángulo medio, productos de seno

y/o coseno.

Identidades Cocientes

Identidades Reciprocas

Identidades Pitagóricas

Identidades Pares o Impares

En base a las gráficas de las seis funciones trigonométricas, se puede deducir

que:

54

Identidades de suma y diferencia de medidas de ángulos

En esta sección vamos a demostrar las identidades correspondientes a cos(x+y),

cos(x-y), sen(x+y) y sen(x-y). Sean los ángulos cuyas medidas son a, b y a-b, en

la siguiente gráfica:

Ejercicios:

A) Demostrar la identidad sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y)

sen(x + y) + sen(x - y) = (sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)) + (sen(x) cos(y) - cos(x)

sen(y))

sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y)

B) Demostrar la identidad: sen(x + y) sen(x - y) = sen2(x) - sen2(y).

sen(x + y) sen(x - y) = [sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)][sen(x) cos(y) - cos(x) sen(y)

= sen2(x) cos2(y) - cos2(x) sen2(y)

= sen2(x)[1 - sen2(y)] - sen2(y)[1 - sen2(x)]

= sen2(x) - sen2(x) sen2(y) - sen2(y) + sen2(x) sen2(y)

sen(x + y) sen(x - y) = sen2(x) - sen2(y)

Identidades de ángulo doble

cos(2x) = cos(x + x)

cos(2x) = cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x)

55

sen(2x) = sen(x + x)

sen(2x) = sen(x)cos(x) + cos(x)sen(x)

Ejercicios

Identidades de ángulo mitad

El signo del radical debe escogerse en relación con la ubicación de

(x/2). Si se encuentra en el primer cuadrante, cos (x/2)> 0 y así

sucesivamente.

56

Ejercicio

Identidades de suma a producto

El lector puede verificar que:

sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y)

cos(x - y) - cos(x + y) = 2sen(x) sen(y)

cos(x + y) + cos(x - y) = 2cos(x) cos(y)

sen(x + y) - sen(x - y) = 2cos(x) sen(y)

Es frecuente utilizar estas fórmulas de otra manera. Si hacemos:

Las cuales pueden ser expresadas como:

57

Identidades de producto a suma

Ejercicios

A) Demostrar la identidad:

sen(x) (sen(3x) + sen(5x)) = cos(x) (cos(3x) - cos(5x))

B)

Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas

En esta sección veremos que las ecuaciones o inecuaciones que involucran

funciones trigonométricas pueden ser resueltas utilizando las identidades

estudiadas en la sección anterior.

Ejercicios

A)

Sea Re = [0,/2π] y p(x): 2cos2(x) - cos(x) -1 = 0. Encuentre la suma de los

elementos de Ap(x) .

58

b)

Sea Re = [0, 2π] y p(x):tan(2x) + 2sen(x) = 0, encuentre la suma de los

elementos deAp(x).

59

CAPITULO 11

11.1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Es una gran parte de la estadística que se dedica a recolectar, ordenar, analizar y

representar un conjunto de datos, con el fin de describir apropiadamente las

características de ese conjunto. Este análisis es muy básico. Aunque hay

tendencia a generalizar a toda la población, las primeras conclusiones obtenidas

tras un análisis descriptivo, es un estudio calculando una serie de medidas de

tendencia central, para ver en qué medida los datos se agrupan o dispersan en

torno a un valor central. Esto es lo que podria ser un concepto aproximado.

Ejemplos:

11.2 ORGANIZACIÓN DE LOS

DATOS

Una vez que las variables han sido medidas, estos valores pasan a constituir el

conjunto de datos estadísticos, que deberán ser procesados y analizados por el

investigador. Para el efecto, existen algunas técnicas que serán estudiadas en

60

esta sección.

Según el número de observaciones y el rango de la variable, podemos clasificar

las tablas de la siguiente manera:

Tablas de tipo I: El tamaño de la población o muestra es pequeño. Por ejemplo,

las edades de 6 personas: 15, 18, 19, 21, 24, 28. Sólo se ordenan de manera

creciente o decreciente.

Tablas de tipo II: El tamaño de la población o muestra es grande y el rango de la

variable es pequeño.

Tablas de tipo III (Tabla de intervalos): El tamaño de la población o muestra es

grande y el rango de la variable es grande.

Tablas de distribución de frecuencias: Generalmente, las tablas de tipo II y III se

completan con distintos tipos de frecuencias, tales como:

a) Frecuencia absoluta: Es el número de veces que aparece dicho valor, como

resultado de la medición de la variable. Se denota por fi.

b) Frecuencia absoluta acumulada: Es el resultado de sumar a la frecuencia

absoluta del valor correspondiente la frecuencia absoluta del valor anterior. Se

denota por Fi.

c) Frecuencia relativa: Es el cociente entre la frecuencia absoluta fiel tamaño de la

muestra o población: hi = , donde N = Tamaño de la N muestra o población. Se

denota por hi.

d) Frecuencia relativa acumulada: Es el resultado de sumar a la frecuencia relativa

del valor correspondiente la frecuencia relativa del valor anterior. Se denota por Hi.

Ejemplos:

61

11.3 GRAFICOS DE REPRESENTACION

Los gráficos permiten formarnos una impresión inmediata acerca del

comportamiento de las variables estudiadas, destacando sus características más

relevantes.

Histograma: Es un gráfico de barras (sin espacios entre ellas), formado por

rectángulos, cuya base está dada por la amplitud de cada intervalo y cuyas alturas

corresponden a las frecuencias (frecuencias absolutas o relativas) alcanzadas por

dichos intervalos.

Poligonal de frecuencias: Se obtiene al unir las marcas de clases con las

frecuencias respectivas, formando un par ordenado. La poligonal formada uniendo

estos puntos, se cierra juntando los extremos con las marcas de clase del intervalo

anterior al primero y del siguiente al último.

Ejemplos:

62

11.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL

Una medida de tendencia central es un número (estadígrafo) que se considera

representativo de todos los números en un conjunto de datos. Se dividen en 3

Media Aritmética:

la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un

conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos

cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática

o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida

entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe

el nombre de media maestral siendo uno de los principales estadísticos

muéstrales.

Mediana:

Representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos

ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales

que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la

mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana

coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Su cálculo

no se ve afectado por valores extremos.

Moda:

Es una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando

encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia

absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos

tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay

moda.

63Media aritmeticaMediana

Ejemplos:

11.5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión estudian la distribución de los valores de la serie,

analizando si éstos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos

dispersos.

Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos

destacar las siguientes:

Rango: Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por la diferencia

entre el mayor valor y el menor.

Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media

aritmética. Se calcula como la sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada

valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada

valor. La sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la muestra.

Si el número de datos es pequeño, es recomendable utilizar en el denominador de

64

Moda

la expresión anterior.

La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más

concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario,

mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

Desviación típica o estándar: Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.

(n − 1) en vez de

Ejemplos:

Para una muestra (8,7,6,9,4,5), el dato menor es 4 y

el dato mayor es 9 (Valor unitario inmediatamente

posterior al dato mayor menos el dato menor). Sus

valores se encuentran en un rango de: RANGO = ( 9

– 4 ) = 5

11.6 PROBABILIDADES

La probabilidad por medio de la cual se

obtiene la frecuencia de un suceso

determinado mediante la realización de un

experimento aleatorio, del que se conocen

todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Se denomina espacio muestra (Ω) asociado a un experimento aleatorio, al

conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Ejemplos:

65

11.7CONJUNTOS Y PROBABILIDADES

Conociendo que Ω constituye un espacio muestra, se pueden describir los

resultados posibles de un experimento aleatorio en términos de conjuntos, de la

siguiente manera:

Ejemplos:

66

67