planes clase mate 7 maestro

Entre decimales te veas (1/3)

Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Intenciones didácticas: Rescatar los conocimientos previos del alumno recordando el concepto de fracción y de sus partes, así como el procedimiento para convertir fracciones a decimales y viceversa. Consigna: Analiza las siguientes figuras que están divididas en fracciones, con ayuda del maestro escribe la fracción y el número decimal correspondiente dentro de los cuadros (con tres cifras después del punto) y contesta las preguntas de la parte inferior.

1

½ = = ½

=

=

=

=

= 0.142

1.- ¿Cómo se representa en fracción el 0.125? ___________ 2.- ¿Cómo se representa en decimal 1/12? ___________

.50

1,. ¿Cuál es el procedimiento para convertir una fracción en un número decimal? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2.- ¿Cuál es el procedimiento para convertir un número decimal en una fracción? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Consideraciones previas Es muy importante que el profesor esté al pendiente de que los alumnos recuerden e procedimiento para convertir fracciones a decimales y viceversa. Si no lo recuerdan deberá guiarlos en el procedimiento. Como cierre se sugiere dictar:

a) El procedimiento para convertir fracciones a decimales y viceversa (independientemente de los que haya puesto el alumno en las preguntas)

b) El concepto de fracción, numerador y denominador. El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina. El Numerador indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. El Denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero. Fracciones equivalentes son aquellas que representan el mismo valor o la misma porción. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Convirtiendo fracciones (2/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Intenciones didácticas: Que el alumno practique la conversión de números decimales a fracción y viceversa. Introducir los conceptos de decimal exacto y periódico (puro y mixto) Consigna: Completa la siguiente tabla utilizando tu calculadora, anota todas las cifras decimales y contesta las preguntas.

Fracción Decimal

1/3

2/5

4/6

1/7

1/12

3/4

2 1/5

0.166

0.111

4.375

0.444

Consideraciones previas. En la puesta en común asegurarse de que pusieron en la tabla todas las cifras decimales de la calculadora para que se facilite responder las preguntas. Así mismo verificar que ya no hay dificultad para convertir. Si detecta dificultad deberá explicar el procedimiento y escribir 2 o 3 ejercicios de reforzamiento. En la pregunta 1 hacer énfasis en que la similitud radica en que el resultado tiene un cantidad acotada de cifras 0.4 y 0.75 En la pregunta 2 la respuesta es que no se alcanza a ver si son todas las cifras que lleva el decimal después del punto y que son las mismas cifras las que se repiten. 0.333333333… y 0.666666666

1.- ¿Qué similitud encuentras entre los números decimales que resultan de 2/5 y 3/4 ? ______________________________________________________________________________________ 2.- ¿Qué similitud encuentras entre los números decimales que resultan de 1/3 y 4/6 ? ______________________________________________________________________________________ 3.- ¿Qué similitud encuentras entre los números decimales que resultan de 1/7 y 1/12? ______________________________________________________________________________________

En la pregunta 3 igual que en la 2 no se alcanza a apreciar si son todas las cifras que lleva el resultado pero el resultado tiene una parte que se repite y una que no. Como cierre Dictar o dibujar lo siguiente:

Atendiendo a la definición, y llamando parte entera a la parte a la izquierda del separador decimal y parte decimal a la parte derecha del separador decimal, se puede construir la siguiente clasificación:

Decimal exacto: Son los números decimales cuya parte decimal tiene un número finito (que se acaban) de cifras. 0.4 y 0.75 Decimal periódico puro: Son los números decimales cuya parte decimal tiene un número infinito de cifras que se repiten siguiendo un patrón, en los que la parte decimal se repite periódicamente. 0.333333333 y 0.666666666 Decimal periódico mixto: Son los números decimales cuya parte decimal tiene un número infinito de cifras que se repiten siguiendo un patrón, pero hay una parte no periódica. 0.142857142 y 0.833333333

Observaciones posteriores:




Soleras y ángulos (1/2) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican realizar transformaciones entre números decimales finitos y fracciones. Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema, pueden auxiliarse de una calculadora. El Sr. Jorge se dedica a reparar y construir diferentes estructuras metálicas. Para realizar algunos trabajos envío a su ayudante Juan a comprar los siguientes materiales. 1. Barras de solera de las siguientes medidas: 1 1/8 in, 1 ¼ in y 1/2 in. Al llegar a la ferretería, le muestran un

manual donde aparecen las medidas que están disponibles. ¿Cuáles medidas del manual debe pedir Juan? ____________________________________ 2. Ángulos de lados iguales con las siguientes medidas: 0.75 x 0.125 in, 0.1875 x 0.375 in, en el catalogo

disponible en la ferretería aparecen las siguientes medidas disponibles. ¿Cuáles medidas del catálogo debe pedir Juan? _____________________________________ Consideraciones previas: Si fuera necesario, comentar con los alumnos las características y usos de los materiales mencionados en el problema, soleras y ángulos. Una manera de llegar a la primera respuesta del problema es transformar las fracciones a su escritura decimal, para ello, es muy probable que los alumnos en cada caso dividan el numerador entre el denominador y después busquen el resultado en la tabla. Si bien este procedimiento es correcto, se sugiere profundizar en el análisis de los resultados y en los procedimientos empleados. Independientemente del procedimiento vale la pena analizar las escrituras decimales obtenidas y determinar si se trata de números decimales finitos o infinitos. En este plan únicamente se trabajan números decimales finitos. Una pregunta interesante que se puede plantear a los alumnos es, ¿sin realizar la división como pueden saber si se trata de un decimal finito o infinito? La idea es que puedan anticipar si la fracción dada puede transformarse en una equivalente cuyo denominador sea una potencia de 10, y por consecuencia se trate de un decimal finito. Si se tiene una fracción decimal, es decir, cuyo denominador tiene una potencia de 10, de manera inmediata se sabe que puede convertirse en un número decimal finito y el procedimiento es relativamente sencillo, sin embargo, hay fracciones que no tienen como denominador una potencia de 10 y también pueden

a) 0.933 in c) 0.5 in e) 1.125 in g) 1.250 in b) 0.4375 in d) 1.375 in f) 1.933 in h) 1.012

a) ¾ x 5/16 in c) 3/16 x 2/8 in b) 3/16 x 3/8 in d) ¾ x 1/8 in

transformarse en números decimales finitos, como por ejemplo las empleadas en este plan: 1/8, ¼, ½, ¾, 3/16 y 3/8, la razón es que sus denominadores pueden factorizarse utilizando los números 2 y/o 5. Por ejemplo, el 8 de 1/8 puede factorizarse como 2 x 2 x 2, por lo tanto puede escribirse con un decimal finito y para lograrlo primero se puede transformar a una equivalente con un denominador que sea potencia de 10. 1 1 x 5 x 5 x 5 125 ----- = ------------------- = -------- 8 8 x 5 x 5 x 5 1000 Los alumnos podrían averiguar por qué multiplicar tanto numerador como denominador por 5 x 5 x 5 y qué relación tiene esta expresión con la factorización del 8. Una manera de comprobar las equivalencias es realizar los procesos inversos, es decir, si transformamos una fracción a su notación decimal, ahora convertimos el número decimal obtenido a una fracción y verificar que se trata de la fracción original. Observaciones posteriores:




¿Y el cero? (1/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la posición del cero, el orden y la escala en la recta numérica, así como sobre la propiedad de densidad de los números racionales. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas:

1. Utilizar los puntos dados en la siguiente recta numérica para ubicar las fracciones 4

1 y

2

12 .

2. Ubicar en las siguientes rectas numéricas la fracción 3

5 considerando los puntos dados en cada recta.

3. Representar en la siguiente recta numérica las fracciones 4

9 y

2

3, después comparen sus resultados

tratando de encontrar algún error en lo que hizo su compañero.

4. Representar una fracción que pueda ubicarse entre las dos fracciones que ya están representadas. Comparen su trabajo con el de su compañero tratando de encontrar algún error.

Consideraciones previas: Para el primer problema, tal vez algunos alumnos pregunten dónde está ubicado el cero o digan que hace falta. Quizá otros alumnos lo ubiquen al principio de la recta a la izquierda del uno, en cuyo caso no estarían respetando la escala, puesto que en este caso ya está definido el tamaño de 1/2 a partir del cual se pueden ubicar las otras fracciones. Es muy importante dejar que los alumnos ubiquen los números como ellos piensen que está bien y durante la puesta en común se analicen minuciosamente el orden, la escala y la posición arbitraria del cero. En el problema 2, será interesante que los alumnos puedan contrastar lo que hacen en ambas rectas. En la recta A no está definida la posición del cero, de manera que lo pueden ubicar donde crean conveniente para que tengan espacio suficiente para el 5/3, en cambio en la recta B ya está definida la posición del cero pero no necesitan ubicarlo para señalar el 5/3.

1

Recta A

1

2

5

Recta B

3

1

3

2

1 2

11

El problema 3, es abierto, de manera que en cada pareja lo más probable es que no coincidan los puntos en que ubicaron las fracciones y sin embargo en ambos casos pueden estar correctamente ubicadas. La idea de que cada miembro de la pareja trate de encontrar algún error en el trabajo de su compañero tiene la intención de “orillar” a los alumnos a considerar los tres aspectos en los que se ha estado insistiendo: el orden, la escala y la posición arbitraria del cero. En el caso del problema 4, es probable que muchos alumnos digan que no es posible encontrar números mayores que 1/3 y menores que 2/3, pero justamente esta dificultad puede llevarlos a pensar en expresiones equivalentes, tales como 2/6 y 4/6; 3/9 y 6/9, etcétera, para concluir que entre dos números racionales cualesquiera hay infinidad de números racionales. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Tomando distancia (2/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la posición del cero, el orden, la escala y la forma particular de partir la unidad al representar números decimales en la recta numérica. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas:

1. Utilizar los puntos dados en la siguiente recta numérica para ubicar los números decimales 0.6 y 1.30

2. Ubicar en las siguientes rectas numéricas los números decimales 1.25 y 2.43 considerando los puntos dados en cada recta.

Consideraciones previas: En el problema 1, es probable que algunos alumnos tengan dificultad para ubicar 1.30 porque piensen que es mayor que 1.5, en ese caso, será importante reflexionar sobre la equivalencia entre 1.5 y 1.50 o entre 1.3 y 1.30 En el caso del problema 2, los alumnos deberán observar que para representar los números decimales que se indican se puede partir sucesivamente en 10 partes iguales, primero las unidades para obtener décimos y luego los décimos para obtener centésimos. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


1 1.5

1.1005

Recta B

3 1

Recta A

2.50

Ubicando puntos (3/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas teniendo como recurso gráfico a la recta numérica. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. En la siguiente recta numérica representar los números 3/5, 1.3, 0.6 y 1.35

2. En la siguiente recta numérica el segmento (0, 5) está dividido en tres partes iguales. Anotar el número que corresponde al punto señalado con la flecha.

Consideraciones previas: En el problemas 1, se trata de ver si los alumnos son capaces de ubicar el cero y posteriormente ubiquen los demás números. También, para ver si consideran que 3/5 y 0.6 son equivalentes y por lo tanto deben ubicarse en el mismo punto. Finalmente, cuando tengan 1.3 y 1.4, que dividan el segmento, ya sea en diez partes iguales para ubicar 1.35, o bien, lo dividan a la mitad. La intención del segundo problema, es utilizar la recta numérica como recurso gráfico para resolver un problema de reparto (cinco entre tres) y a la vez implica el significado de la fracción como cociente. Los posibles razonamientos son: 1) si el segmento fuera (0,1) el número señalado con la flecha sería 2/3, pero como es cinco veces más, entonces el número señalado es cinco veces 2/3, es decir, 10/3. 2) dado que el segmento (0,5) está dividido en tres partes iguales, cada parte es el resultado de dividir 5 entre 3, esto es, 5/3; por lo tanto, a la segunda parte le corresponde 10/3. Observaciones posteriores:




__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

0 5

1 5

Perímetros con decimales y fracciones (1/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Intenciones didácticas: Que el alumno efectúe sumas de fracciones y decimales utilizando primero la conversión. Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema, pueden auxiliarse de una calculadora. Calculen el perímetro de las siguientes figuras. Expresen los resultados con números decimales y con

fracciones.

a) b) Consideraciones previas: La exigencia adicional de este plan respecto al anterior es la necesidad de transformar fracciones a número decimal periódico puro (por ejemplo, 0.33333…) y a número decimal periódico mixto (por ejemplo, 0.166666…) Además de practicar las transformaciones necesarias para resolver el problema planteado, se sugiere dedicar algún tiempo a los siguientes aspectos: Si en una fracción, en su mínima expresión, el denominador puede factorizarse con 2 y/o 5 más otros números diferentes, su expresión decimal es un número periódico mixto, por ejemplo: 1/6, 1/15, 1/30. Que los alumnos puedan hacer anticipaciones antes de realizar la conversión. Si en una fracción, en su mínima expresión, el denominador no puede factorizarse con 2 ni 5, su expresión decimal es un número periódico puro, por ejemplo: 1/3, 1/9 y 1/7. Que los alumnos puedan hacer anticipaciones antes de realizar la conversión. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

3 1/6 m 3 8/15 m

1.30 m 4.72 m

1/ 3 m

2.80 m

Cálculo mental (2/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: ______________ Profesor (a): ____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan mentalmente problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Consigna: Organizados en parejas resuelvan mentalmente los siguientes problemas:

1. Para cumplir con los pedidos del día, una confitería calcula que necesita usar 4 kg de harina.

En el estante guardan 2 paquetes de ¾ kg, 2 paquetes de ½ kg y 2 de ¼ kg. Averigüen si la

harina que tienen es suficiente. Si falta o sobra harina, digan cuál es la diferencia en fracción.

________________________________________________

2. De una pizza entera Ana comió 1/3 y María ¼. ¿Qué fracción de la pizza queda?

_____________________________

Consideraciones previas:

Anteriormente los alumnos han resuelto problemas que implican sumar o restar fracciones. La intención ahora es que los alumnos utilicen el cálculo mental para resolver problemas que implican más de una operación, esto permitirá darle sentido a los procedimientos. Con respecto al primer problema, una probable estrategia sería agrupar primero cada uno de los paquetes de ¼ kg con un paquete de ¾ kg, formando así 1 kg. Como hay dos paquetes de ¼ kg y dos de ¾ kg, se obtienen 2 kg. Además, hay dos paquetes de ½ kg, lo cual equivale a otro kilogramo, entonces en total tenemos 3 kg. Otra forma de pensarlo podría ser descomponiendo los paquetes de ¾ kg en ½ kg más ¼ kg, posteriormente asociar por un lado todos los cuartos y por otro todos los medios, así, quedarían 4 paquetes de ½ kg y 4 paquetes de 1/4 kg, que representan 2 kg y 1 kg, respectivamente. Como puede notarse, la harina existente es insuficiente, ya que se obtienen 3 kg y se requieren 4; hace falta 1 kg. Una posible estrategia para el segundo problema es cortar la pizza en 12 partes iguales y como 1/3 es igual 4/12, y ¼ es igual a 3/12, entonces Ana y María se comieron 7/12 de la pizza, por lo que la porción que queda corresponde a 5/12. Es importante propiciar la formación en el aula de un ambiente que favorezca la producción de procedimientos propios, de encontrar nuevas relaciones entre las fracciones que puedan ser utilizadas para facilitar los cálculos. Para reafirmar lo estudiado, se podrían plantear los siguientes problemas:

De una bolsa de caramelos, Oscar sacó 1/4 y María 1/2. ¿Qué parte de los caramelos quedó

en la bolsa?

Natalia comió 2/3 de un chocolate y Juana comió 1/6. ¿Cuánto chocolate quedó?





Sumar y restar (3/3)

Escuela: _________________________________________ Fecha: _______________ Profesor (a): ____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de suma y resta de fracciones que impliquen dos o más operaciones. Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas: 1. De una jarra que contiene 2 ¼ litro de agua llené dos vasos de ¼ litro cada uno y un vaso de 1/3

de litro. ¿Qué fracción de agua quedó en la jarra? ________________________

2. En relación con su deporte favorito, a un grupo de estudiantes se le aplicó una encuesta, se

obtuvieron los siguientes resultados:

1/4 de los entrevistados prefiere jugar fútbol. 1/6 de los entrevistados contestó básquetbol. 1/3 de los entrevistados se decidió por el beisbol. El resto de los entrevistados no tiene deporte favorito.

¿Qué parte del total de los entrevistados no tiene un deporte favorito? (resultado en fracción) _______________ Consideraciones previas: A diferencia del plan anterior, los problemas de éste son un poco más complejos, de tal manera que los estudiantes, además del cálculo mental busquen otras estrategias, incluyendo los algoritmos convencionales. En el primer problema, es probable que los alumnos tengan dificultades en comprender lo que significa una fracción mixta, si es el caso, hay que hacerles ver que una fracción mixta es la suma de un número entero y una fracción. En el caso del segundo problema, es probable que para obtener el total de los entrevistados que sí tienen un deporte favorito, primero sumen dos de las tres fracciones y al resultado le sumen la otra, por ejemplo, que sumen 1/6 y 1/3 y al resultado sumarle ¼; o bien que busquen la manera de sumar al mismo tiempo las tres fracciones. Se sugiere analizar los diferentes órdenes de operar estas tres fracciones y verificar que el resultado sea el mismo, es decir, que: (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b Para ejercitar lo estudiado se pueden plantear los siguientes problemas:

A Diego le proponen que elija la bolsa de golosinas más pesada. La primera pesa 3 3/8 kg y

la segunda 20/6 kg. ¿Cuál es la que pesa más? ¿Cuánto pierde si elige la de menor peso?

Decide si es cierto o no que con 3 vasos de ¼ litro y 2 vasos de 1/5 litro se puede llenar una

botella de 1 ½ litro.



____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Aplica la regla (1/3) Escuela: ______________________________________ Fecha: ______________ Profesor (a): _______________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan sucesiones de números con progresión aritmética y con progresión geométrica a partir de la regla general o de la regla de la regularidad, respectivamente, dadas en lenguaje común. Consigna: Organizados en equipos realicen lo que se indica a continuación. 1. El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los

primeros cinco términos de una sucesión.

a) Aplica la regla que emplea la máquina y determina los términos que están en las posiciones 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 de la sucesión. _____________ ___________________________________________________________________

b) Si se introducen los números 50, 100, 500 y 1000, ¿cuáles son los términos de la sucesión

que corresponden a estas posiciones? __________________________ 2. Otra máquina emplea la regla de regularidad siguiente: “Al número anterior se multiplica por 3

para obtener el siguiente término”. Si el primer término de la sucesión es 5, determina los primeros 6 términos de la sucesión: _________________________


Es importante dejar claro que cuando se dice “regla general”, se hace referencia a la regla que permite determinar cualquier término de una sucesión en función de su posición. Y cuando se dice “regla de la regularidad”, se refiere al enunciado que indica el patrón de comportamiento de los términos de una sucesión, por ejemplo: En la sucesión: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,…

MÁQUINA ENTRADA SALIDA

Posición

0, 2, 4, 6, 8,...

Sucesión

1, 2, 3, 4, 5,...

Regla general: Al número de la posición se multiplica por dos y al resultado se le resta dos.

La regla general es 3n + 2, en donde n es el número de la posición. Si deseamos conocer el término de la posición 20, basta sustituir a n por 20 en 3n + 2. La regla de la regularidad de los elementos de la sucesión puede enunciarse de varias maneras, por ejemplo: “va de tres en tres”, “al término anterior se le suma 3 y se obtiene el siguiente”, etcétera. Dicho lo anterior, en la sucesión del primer problema, la cual representa una progresión aritmética, se emplea la regla general; mientras que la sucesión del segundo problema que representa una progresión geométrica, se utiliza la regla de la regularidad. La razón por la cual en el segundo problema no se utiliza la regla general es porque su deducción es compleja para este nivel, su representación simbólica es una función exponencial. En el primer problema, se espera que los alumnos no tengan ninguna dificultad para determinar los términos de la sucesión que están en las posiciones10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20. Por ejemplo, para el término que está en la posición 10, basta multiplicar este número por 2 y al resultado restarle 2, en este caso, el término que resulta es 18. Lo mismo se debe hacer para calcular los números de la sucesión que están en las posiciones 50, 100, 500 y 1000. Es probable que algunos alumnos confundan entre el número de la posición y el término de una sucesión; por lo que hay que estar pendiente de esta situación y en caso de que suceda, vale la pena aclararlo desde un principio y que no sea obstáculo para que los alumnos realicen adecuadamente los cálculos. En el segundo problema se trata de que los alumnos a partir de la regla de regularidad, determinen los primeros seis términos de la sucesión geométrica (5. 15, 45, 135, 405, 1215,…) Para reafirmar los conocimientos adquiridos, se sugiere proponer los siguientes problemas:

Si la regla que permite determinar cualquier término de una sucesión es: Al número de la posición del término se multiplica por 2 y el resultado se le suma 3. Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión.

Una sucesión está determinada por la siguiente regla de regularidad. “Al número anterior se

multiplica por 3 para obtener el siguiente término”. Si el primer término de la sucesión es 10 ¿cuáles son los primeros 5 términos de la sucesión?


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Encuentra la regla

Formulando reglas (2/3) Escuela: _____________________________________ Fecha: _______________ Profesor (a): ________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen, en lenguaje común, reglas generales que permitan determinar cualquier término de sucesiones con progresión aritmética. Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: Cada vez que Claudia resuelve problemas de sucesiones, la estrategia que le funciona es representar la información en una tabla para relacionar el número de la posición de la figura y el número de elementos que la componen; por ejemplo, para la sucesión:

La tabla que construyó en su análisis de la sucesión es la siguiente:

Número de la posición de la figura. 1 2 3 4 5 6 Número de cuadrados 5 9 13 17 21 25 Diferencia del número de cuadrados entre dos figuras consecutivas

4 4 4 4 4

Con sus propias palabras, formulen una regla que permita determinar el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión.

Regla: ___________________________________________________________ ____________________________________________________________


Para encontrar la regla de formación de la sucesión es necesario relacionar el número de la posición de la figura con el números de elementos de la misma; por lo que si los alumnos no se les ocurre cómo relacionar el número de la posición con cada término de la sucesión, se les puede plantear la siguiente pregunta: ¿Qué operación hay que hacer con el número de la posición de la figura para obtener el número de cuadrados que la conforman? A partir de esta pregunta, se espera que los alumnos prueben con varios cálculos; por ejemplo, que multipliquen por 5 el número de la posición. Cada vez que den una respuesta verbal, pedirles que verifiquen si se cumple con las otras parejas de números de la tabla, si no es así, que continúen en la búsqueda. Es probable que surjan respuestas verbales que corresponde a la regularidad que encuentran en la sucesión, pero que no es la regla general; por ejemplo: “Le va sumando de cuatro en cuatro” “Le suma cuatro al término anterior para obtener el siguiente término” “Sumarle cuatro al término”

En caso de que a nadie se le ocurra probar con multiplicar el número de la posición por la constante aditiva (4), sugerirles que lo hagan y luego que vean cuánto se debe sumar o restar al producto para obtener el número de la sucesión. La regla que permite determinar el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión es: “Multiplicar por 4 la posición del término y al resultado sumarle 1”. Se pretende que a partir de resolver varios problemas, los alumnos lleguen a darse cuenta que una forma de encontrar la regla general de una sucesión con progresión aritmética, es multiplicar el número de la posición del término por la constante aditiva y analizar cuánto se tiene que sumar o restar al resultado para obtener el término de la sucesión; por lo que es importante no darles la receta. Si el tiempo lo permite, se les puede pedir que a partir de la regla que determinaron, encuentren los términos de la sucesión que están en las posiciones 10, 50, 100 y 1000. Para reafirmar los conocimientos adquiridos se podrían plantear los problemas siguientes:

Escribe una regla general que permita determinar el número de cuadrados de cualquier figura de cada una de las siguientes sucesiones:

a)

Regla: __________________________________________________

a)

Regla: __________________________________________________

Genera una sucesión de números, cuya diferencia entre dos términos consecutivos sea

siempre 5. Luego escribe con palabras la regla que permita calcular cualquier término de la sucesión.

Para cada caso, escribe la regla general que permite determinar cualquier término de la sucesión. a) 6, 10, 14, 18, 22, 26, …

Regla: _____________________________________________________

b) 3, 5, 7, 9, 11, 13, … Regla: _____________________________________________________

c) 1/12, 4/12, 7/12, 10/12,… Regla: _____________________________________________________

¿Cuál es la regularidad? (3/3)

Escuela: __________________________________ Fecha: _________ Profesor (a): ____________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen, en lenguaje común, la regla de la regularidad o del patrón de comportamiento de los elementos de una sucesión con progresión geométrica. Consigna. En equipo, completen las siguiente sucesiones y escriban con palabras una regla que defina la regularidad de cada una.

Regla: _____________________________________________________________

________________________________________________________________

Regla: _____________________________________________________________

________________________________________________________________

Consideraciones previas: Las sucesiones que se plantean en este plan son de progresión geométrica. En el primer caso se trata de una sucesión con progresión geométrica creciente porque su razón es mayor que 1, es decir, 2. En el análisis que hagan los alumnos de esta sucesión, se espera que puedan darse cuenta que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando por 2 al anterior, excepto el primer término. Las reglas generales de este tipo de sucesiones son exponenciales; por lo que es difícil que los alumnos de este nivel puedan obtenerla por los conocimientos necesarios para tal fin. Por ejemplo, para esta sucesión, la regla general para determinar cualquier término de la sucesión es: Dos elevado al número de la posición del término; es decir, (an = 2n). Como puede verse, esta expresión es exponencial. En este tipo de sucesiones, es suficiente que los alumnos lleguen a identificar el comportamiento de los términos pero no a la regla general; se espera que los alumnos lleguen a escribir la regla que corresponde a la regularidad o patrón de comportamiento entre los términos como: “Cada término se obtiene multiplicando por 2 al término anterior.” Con respecto a la segunda sucesión, se espera que los alumnos determinen que la razón de crecimiento es ½, es decir, que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el término

anterior por ½; por lo que la regla que corresponde a la regularidad o patrón de comportamiento entre los términos es la siguiente: “Cada término se obtiene multiplicando por 1/2 al término anterior.” Para reafirmar los conocimientos adquiridos se podrían plantear los problemas siguientes: Encuentra el octavo término de cada una de las siguientes

sucesiones.

a) 3, 9, 27, 81, 243,… b) 3, 6, 12, 24, 48,... c) 1, 0.1, 0.01, 0.001,... d) 1,1/4,1/16,1/64,... e) 2, 6, 18, 54, 162,... f) 5, 5/3, 5/9, 5/27, … g) 54, 36, 24, 16, …

El cuarto término de una sucesión con progresión geométrica es 40.

Si cada término se obtiene multiplicando al anterior por 2, encuentra el primer, segundo y tercer términos de la sucesión.

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Formulas en lenguaje natural (1/2) Escuela: _____________________________________ Fecha: ________________________ Profesor (a): _________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar. Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen, con lenguaje natural, el significado de algunas fórmulas geométricas de perímetro; expresen con una fórmula generalizada los perímetros de algunas figuras geométricas e interpreten el uso de la literal como número general. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. Dado el siguiente marco cuadrado

a) ¿Cómo se puede saber el perímetro del marco?_________________________ b) ¿Y si el marco fuera de 20 cm de lado?________________________________ c) ¿Y si fuera de 35 cm?______________________________________________ d) Escribe con tus propias palabras, ¿cómo se determina el perímetro de cualquier cuadrado?

_______________________________________________________ e) Expresa en forma general, para cualquier medida del lado de un cuadrado:

________________________________________________________________

2. Luisa quiere poner una tira bordada alrededor de un mantel rectangular que mide 2 m de largo y 1.60 m de ancho:

a) ¿De qué forma calcularía Luisa, la medida de la tira bordada?_______________ b) ¿Y si el mantel midiera 80 por 60 cm?__________________________________ c) ¿Cómo obtendrías este dato (perímetro) para manteles de cualquier tamaño? ___________________________________________________________________ d) Expresa de forma general el perímetro de cualquier rectángulo______________

Consideraciones previas: En caso de que los alumnos den las fórmulas inmediatamente, precisarles que lo que se pide es que describan con sus propias palabras los procedimientos. De manera grupal, se establecerán las conclusiones, considerando la generalización de cada equipo. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


15 cm

15 cm

¿Y la fórmula generalizada? (2/2) Escuela: _____________________________________ Fecha: ________________________ Profesor (a): _________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar. Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen con lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas de área, expresen con una fórmula generalizada el área de algunas figuras geométricas e interpreten el uso de la literal como número general, aplicando diversos valores para el cálculo. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. En la clase de agricultura los alumnos de primer grado deben sembrar rábanos. El terreno ofrecido por el Ayuntamiento es cuadrado, mide 300 m por lado.

a) ¿De qué manera calcularían el área?__________________________________ b) Si por gestiones de la directora se consigue un terreno más grande (500 m por lado), ¿cómo

calcularían el área?_____________________________________ c) Sin importar la medida de cada lado, ¿cómo expresarías, con tus propias palabras, el

procedimiento para calcular el área de un cuadrado?____________ d) ¿Y cuál sería la expresión general que la represente?_____________________

2. Anoten la información que hace falta en la siguiente tabla

Figura Expresión verbal Fórmula

P = ________________ A =_________________

P = ________________ A = _______________

P = _______________

P = ________________

P = ________________ A = ________________

P = ________________ A = ________________

3. Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Figura Fórmulas Datos Perímetro Área

P = 6 l A = Pa/2

l = 3 cm a = 2 cm

l = 8 cm a = 5 cm

l = 10 cm a = 7 cm

P = 2a + 2b A = ah

a = 10 cm b = 8 cm h = 5 cm

a = 15 cm b = 9 cm h = 7 cm

a

a

b

a = 23 cm b = 14 cm h = 10 cm

Consideraciones previas: Si los alumnos no tienen claro a qué se refiere la columna “Expresión verbal”, se pondrá un ejemplo. Recordar que la intención de este plan no es resolver problemas los cuales se verán más adelante y para reforzar la identificación de los elementos de las formulas: Señala con una flecha la apotema (a) en la siguiente figura y escribe el nombre. Señala la diagonal mayor (D) de la siguiente figura y escribe el nombre: Señala las alturas (h) de las siguientes figuras y escribe sus nombres: 2.- Un terreno de forma romboide se va a cercar. ¿Cuántos metros de cerca se necesitan si dos lados del terreno miden 350 y los otros miden la mitad? 3.- Se desea hacer un mega papalote en forma de rombo para romper un record y se desea recubrir las orillas con aislante ¿Cuánto metros necesitaran si uno de sus lados mide 10m? Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


De tres y cuatro lados (1/2) Escuela: _____________________________________ Fecha: _______________ Profesor (a): ________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido: 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Intenciones didácticas: Que los alumnos describan las características mínimas de cuadriláteros y triángulos para trazarlos con la misma forma y tamaño. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Javier necesita encargarle, a un carpintero, por teléfono, la elaboración de varias piezas de madera para hacer un rompecabezas. Las formas y tamaños de las piezas son como se muestran a continuación. Anoten debajo de cada pieza la información que Javier tendría que darle (por teléfono) al carpintero, para que las haga iguales. Consideraciones previas: Al decidir sobre la información que requiere el carpintero pueden suceder tres casos: que falte información, que sobre información o que se dé justamente la información necesaria. Es importante analizar mensajes que sean representativos de los tres casos anteriores; pero, además, entre los mensajes que aportan la información necesaria, hay que ver si algunos son más breves o si hay mensajes que aun siendo diferentes aportan la información necesaria. Por ejemplo,

en el caso del triángulo equilátero, un mensaje podría ser: “Un triángulo equilátero de 3.7 cm por lado”; o bien: “Un triángulo equilátero de 3.7 cm de base por 3.2 cm de altura”. La mejor manera de que los alumnos se den cuenta de si un mensaje aporta o no la información suficiente para construir una figura es que lo usen para construir la figura y vean si todos obtienen la misma. Se sugiere analizar la descripción de dos figuras, ya que en la sesión posterior se trabajarán las demás. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Sigamos los mensajes (2/2)

Escuela: ________________________________________ Fecha: _____________ Profesor (a): ____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F,EyM Contenido: 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Intenciones didácticas: Que los alumnos tracen diversos tipos de cuadriláteros y triángulos, utilizando los instrumentos del juego de geometría. Consigna 1: En la sesión anterior ustedes escribieron la información que debía dársele a un carpintero para que pudiera construir unas piezas de madera, hoy vamos a usar parte de esa información para ver si todos obtenemos las mismas figuras. Empezaremos con el siguiente mensaje: “Se trata de construir un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 3 cm y sus lados iguales miden 5 cm cada uno” Antes de hacer los trazos contesten: ¿Consideran que todos deberían obtener el mismo triángulo? __________________ ___________________________________________________________________ Consigna 2: De manera individual, tracen en su cuaderno las siguientes figuras con las medidas que se indican. En aquellos casos donde falte información para obtener figuras congruentes, ustedes agréguenla. a) Cuadrado Lado: 6.5 cm

b) Rectángulo Largo: 7 cm Ancho: 5 cm

c) Trapecio isósceles Base mayor: 7.5 cm Base menor: 5 cm

d) Triángulo equilátero Lado: 6 cm

e) Triángulo escaleno Lado a: 5 cm Lado b: 6.5 cm

Consigna 3: Utilizando regla y compás, y siguiendo las instrucciones del maestro, reproduzcan individualmente las siguientes figuras con las mismas medidas: Consideraciones previas: En esta sesión se pondrán a prueba diversos mensajes, elaborados por los propios alumnos o no, para que analicen con mayor profundidad la información que es pertinente para trazar una figura que sea congruente con otra. El término congruente se asigna a dos o más figuras que al superponerse coinciden en todos sus puntos. Es importante que al analizar los mensajes elaborados por los alumnos haya de todos tipos; es decir, unos que tengan información suficiente, y otros a los que les falte o sobre información. Hay que tomar en cuenta que en esta actividad hay dos clases de dificultad; una consiste en identificar la información suficiente para reproducir una figura y otra es hacer los trazos. En esta última, después de los intentos que los propios alumnos hagan, es necesario que usted les muestre un camino. En la consigna 2 la puesta en común deberá centrarse en analizar los datos que agregaron los alumnos para poder efectuar los trazos y verificar que fueron correctos. En la consigna 3 el maestro deberá modelar el uso de la regla y compás para la reproducción de figuras para que el alumno lo haga correctamente. Observaciones posteriores: ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________


1 2 3

Trazando rectas (1/5) Escuela: ___________________________________________________ Fecha: _________ Prof. (a): ___________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos tracen y comparen las características y propiedades de las rectas notables del triángulo.

Consigna. Traza las rectas notables que se te piden en cada caso y prolóngalas para que se intersecten.

Mediatrices

Medianas

Alturas

Bisectrices

Mediatrices

Medianas

Alturas

Bisectrices

Mediatrices

Medianas

Alturas

Bisectrices

Mediatrices

Medianas

Alturas

Bisectrices

Consideraciones previas. El profesor deberá auxiliar a los alumnos en los primeros trazos llevando material a escala para modelar el uso de los instrumentos de medida y estar acompañando a los alumnos en todo el proceso para que estos trazos sirvan de referencia para contestar los siguientes planes. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _________________________________________________________________________

¡Que notables rectas! (2/5) Escuela: ___________________________________________________ Fecha: _________ Prof. (a): ___________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y comparen las características y propiedades de las rectas notables del triángulo. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema.

1. Analicen las líneas que aparecen en los triángulos y anoten una en la tabla frente al triángulo cuando las características sí se cumplan y una X cuando no se cumplan.

Características Las líneas son perpendiculares a los lados del triángulo o a la prolongación de éstos

Las líneas pasan por un vértice del triángulo

Las líneas cortan los lados del triángulo en los puntos medios

Las líneas dividen a la mitad los ángulos del triángulo

Las líneas se cortan en un punto

Las líneas son paralelas a los lados del triángulo

Las líneas cortan los lados del triángulo en una razón de 2 a 1

Triángulo 1 (mediatrices)

Triángulo 2 (medianas)

Triángulo 3 (alturas)

Triángulo 4 (bisectrices)

1 2

3 4

Consideraciones previas: Para realizar la confrontación se sugiere tener dibujada la tabla en el pizarrón o en una hoja de rotafolio y hacer lo siguiente:

a) Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o cruces como fueron anotadas por los equipos.

b) Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para que busquen argumentos que fundamenten su respuesta.

c) Cuando todos estén de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado el nombre de cada tipo de rectas y las características que le corresponden.

Es probable que algunos alumnos no sepan a qué se refiere la última columna, en cuyo caso hay que aclarar que es como si el lado se dividiera en tres partes iguales, de las cuales quedan dos a un lado de la recta y una al otro lado.


3. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Propiedades de las notables (3/5) Escuela: ___________________________________________________ Fecha: _________ Prof. (a): ___________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen los puntos notables en un triángulo con el fin de establecer su utilidad y propiedades. Consigna: Organizados en equipo, resuelvan el siguiente problema. 1. Analicen los puntos donde se cortan la medianas, mediatrices, bisectrices y alturas en un triángulo

cualquiera y anoten una donde se cumplan las características señaladas y una X donde no se cumplan.

Características Siempre

se encuentra en el interior del triángulo

Se puede localizar en un vértice del triángulo

Puede localizarse fuera del triángulo

Es el centro de un círculo que toca los tres vértices de triángulo

Es el centro de un círculo que toca los tres lados del triángulo

Es el punto de equilibrio de un triángulo

Está a la misma distancia de los vértices del triángulo

Se encuentra alineado con otros puntos notables del triángulo

Incentro (punto donde se cortan las bisectrices)

Baricentro (punto donde se cortan las medianas)

Ortocentro (punto donde se cortan las alturas o su prolongación)

Circuncentro (punto donde se cortan las mediatrices)

Consideraciones previas: Se sugiere organizar la confrontación de la misma manera que en el plan anterior. Hay que prever que los alumnos tengan tijeras, hilo o cordón, aguja, cartulina y juego de geometría. Se les indicará a los alumnos que para saber si el punto encontrado es el punto de equilibrio del triángulo, deberán recortar éste y hacer pasar la aguja con hilo por el punto obtenido, sosteniendo el hilo en forma vertical. Se les puede decir que también recibe el nombre de punto mediano o centroide (inclusive, en física, le llaman centro de gravedad por ser lugar de equilibrio de tres cuerpos de la misma masa colocados en los vértices del triángulo). La última columna se refiere a la alineación del ortocentro, baricentro y circuncentro. Es probable que este plan necesite dos sesiones de trabajo, para permitir que los alumnos analicen todos los casos posibles. Observaciones posteriores:


Análisis de las notables (4/5) Escuela: ___________________________________________________ Fecha: _________ Prof. (a): ___________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el concepto de mediatriz y bisectriz para resolver problemas. Consigna: Organizados en equipo analicen y resuelvan los siguientes problemas. 1. En una ciudad pequeña se quiere construir un quiosco que quede a la misma distancia del Palacio

Nacional, de la Secretaría de Educación y del Edificio del Congreso, ¿dónde deberán construirlo? 2. Se tiene un terreno de forma triangular y se va a construir en él una fuente circular de tal manera que

toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrirá de pasto. Dibuja cómo quedaría la fuente en dicho terreno.

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar un posible uso del punto de cruce de las mediatrices en el primer caso y de las bisectrices en el segundo. Es muy importante no quitarles la posibilidad de que por sí solos encuentren las soluciones y sientan la satisfacción de haberlo logrado. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Secretaría de Educación

Edificio del Congreso

Palacio Nacional

Aplicación de las notables (5/5)

Escuela: ___________________________________________________ Fecha: _________ Prof. (a): ___________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen sus conocimientos sobre las rectas y puntos notables del triángulo en la resolución de problemas. Consigna: Organizados en equipo resuelvan los siguientes problemas. 1. Se quiere construir la estación del tren de tal forma que esté sobre la vía y a la misma distancia del

pueblo Arania y del pueblo Mosconia. ¿Dónde debe construirse la estación? 2. ¿Dónde se encuentra el centro de gravedad de estos tres cuerpos celestes de igual masa? Consideraciones previas: Es importante dejar que los alumnos revisen los conceptos de las rectas y puntos notables en el triángulo hasta que encuentren cuáles son los que les permiten contestar los problemas anteriores. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Arania

Mosconia

El flaco de la lotería (1/2) Escuela: _____________________________________ Fecha: __________________ Profr. (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido: 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas de reparto proporcional. Consigna: En equipos, resolver el siguiente problema: Tres amigos obtienen un premio de $1000.00 en la lotería, ¿cómo deben repartirlo si uno de ellos aportó $12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00? Consideraciones previas: Como se explica en los comentarios, es probable que algunos resultados no correspondan a un reparto proporcional, dado que la consigna no lo establece. En tal caso, habrá distintos resultados que pueden ser correctos, siempre y cuando se expliquen los criterios bajo los cuales se obtuvieron. Después de la puesta en común de los procedimientos y resultados al problema anterior se planteará uno más cambiando los datos y precisando que el reparto del premio debe hacerse proporcionalmente a lo que cada amigo aportó. Por ejemplo, se puede decir: en vez de 1000 pesos ahora el premio es de 5000 pesos y las cantidades aportadas son: $35.00, $20.00 y $25.00 Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Más flaco todavía (2/2) Escuela: _____________________________________ Fecha: __________________ Profr. (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido: 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos expertos para resolver problemas de reparto proporcional. Consigna 1: En equipos, resolver el siguiente problema: Cuatro amigos ganaron un premio de $15000.00 en un sorteo y se lo repartieron proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto que costó $100.00. Al primero le tocó $2100.00, al segundo $5700.00, al tercero $3300.00 y al cuarto el resto de los $15000.00 ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra del boleto? Consigna 2: Cuatro hermanos, Erick, Josefa, Rita y Joel, reciben una herencia con la siguiente clausula. “La herencia se repartirá proporcionalmente a los años que tenga cada uno” Si la herencia es de 550,000 pesos y Erick tiene 14 años, Josefa 17, Rita 19 y Joel 20 ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Consideraciones previas: Este problema es similar a los que se plantearon en la sesión anterior de esta secuencia, sólo que la información que se proporciona en éste es precisamente la que se plantea calcular en los anteriores. Es necesario que se analicen con profundidad los procedimientos empleados por los alumnos y que al recapitular a todos les quede claro que lo que está en juego en este tipo de problemas es averiguar qué parte es una cantidad de otra. Por ejemplo, qué parte de 15000 es 2100. Esta misma parte es lo que le correspondió pagar del boleto a este amigo. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


LA OCA MATEMÁTICA (1/3) Escuela: ____________________________________________ Fecha: ________________ Profr. (a): ___________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido: 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Intenciones didácticas: Que los alumnos comprendan qué es un juego de azar con base en la práctica y los cuestionamientos acerca de éste. Consigna. Organizados en equipo jueguen “La oca matemática”. Para jugarlo necesitan dos dados especiales y un tablero por equipo como el que se muestra enseguida.

Las reglas del juego son las siguientes:

Si al tirar los dados, las caras que quedan arriba son del mismo color, se sumarán los dos números y el resultado será el número de casillas que se avanza.

Si al tirar los dados, las caras que quedan arriba son de distinto color, se restarán los números, siempre el mayor menos el menor, y la resta indicará el número de casillas que se avanza.

En caso de caer en una casilla especial, se debe realizar lo que se indica. Gana el jugador que llegue primero a la meta.

Consideraciones previas: Es necesario tener listos un juego de dados y un tablero por equipo, además una ficha para cada alumno. Si les pide que construyan sus dados les puede dar los desarrollos planos que aparecen más adelante (anexo 1); también aparece un tablero de juego (anexo 2). Se pueden usar también dados blancos y sólo pedirles que pinten las caras: en un dado, cuatro caras rojas y dos azules y en el otro, cuatro caras azules y dos rojas. Por ejemplo:

Con esta actividad, los alumnos se darán cuenta de que el hecho de ganar el juego no depende de poner en práctica una estrategia o habilidad particular, sino que todo depende de lo que caiga en los dados, es decir, es totalmente azaroso. Para ello, se puede valer de preguntas como: ¿pueden saber, antes de tirar, qué va caer en los dados?, ¿pueden saber con anticipación quién va a ganar?, quién gana una vez el juego, ¿ganará siempre?, ¿Pueden hacer algo para que caiga en los dados el color y el número que ustedes quieren?, etcétera. En una segunda partida se les puede pedir que registren lo que sucede en cada jugada. Se les puede pedir que construyan, en un pliego de papel bond o cartulina, una tabla como la que se sugiere enseguida a manera

3 5

de ejemplo. El registro indica que los dados fueron del mismo color y por tanto sumaron los números, sin embargo, en la casilla 5 del tablero hay un castigo que indica retroceder 1, por lo tanto el jugador se queda en la casilla 4. Solamente se les pedirá a los alumnos que registren el lugar en que queda su ficha y no toda la operación, pues esto puede hacer tardado y tedioso el registro. Además de que se trata de operaciones que los alumnos pueden hacer mentalmente.

Ronda Niño 1 Niño 2 Niño 3

1 3+2=5, 5-1=4

2

3

4

5

Al término de esta segunda partida se puede tomar como ejemplo una tabla de cualquier equipo para presentarla al grupo y preguntar: ¿se puede saber quién ganó en este equipo con sólo ver la tabla?, ¿se puede saber quién quedó en segundo lugar?, ¿quién quedó en último lugar?, ¿es verdad que después de que caiga un 4 es más fácil que caiga otro 4 que un 5?, ¿qué color es más fácil que caiga en los dados? Con respecto a esta última pregunta, se espera que los alumnos se den cuenta que en un dado es más fácil que caiga el color rojo, ya que tiene cuatro caras rojas, y que en el otro dado es más fácil que caiga el color azul, por ser cuatro las caras azules. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

______________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión? ______________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Anexo 1

Anexo 2

UN JUEGO DISPAREJO (2/3) Escuela: ______________________________________ Fecha: ______________ Profr.(a): ____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido: 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de un juego de azar, intuyan nociones probabilísticas (intuición de la frecuencia relativa) implícitas en el juego. Consigna. En equipos realicen el siguiente juego. Se trata de lanzar 3 monedas al mismo tiempo en repetidas ocasiones. Antes de lanzarlas, deberán predecir el número de águilas que caerán en cada lanzamiento (tres, dos, una o cero) y lo registran en la tabla de abajo. Luego cada uno de ustedes lanzará al mismo tiempo las tres monedas y los resultados también se registrarán en la tabla, frente a la predicción. Gana aquél cuya predicción haya acertado más veces.

Lanzamientos Predicción Resultado real 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9°

10° Consideraciones previas: El juego de azar consiste en lanzar 3 monedas distinguibles entre sí al aire, al mismo tiempo, en repetidas ocasiones. Las monedas deben ser distinguibles para que los alumnos noten que hay más de una forma en que pueden caer 2 águilas, o una. Antes de cada lanzamiento, se preguntará a los alumnos cuántas monedas “pueden” caer con el águila hacia arriba. Se llevará un recuento de las veces que cayeron las águilas hacia arriba y que coincida con las predicciones de ellos. Es conveniente que en los primeros intentos no se haga un registro de los eventos ocurridos, pero en cuanto se observe que empiezan a desarrollar una estrategia para los posibles resultados, se les alentará para que registren los resultados. Este recuento les facilitará la tarea de hacer predicciones acertadas. El espacio muestra del juego con tres monedas es el siguiente: Tres águilas Dos águilas Un águila Cero águilas

aaa saa asa aas

ass sas ssa

sss

De donde se observa que los resultados más probables es que salgan una o dos águilas, ambos eventos con una probabilidad de 3/8, siendo las combinaciones tres águilas y cero águilas las menos probables, con una probabilidad de 1/8. En este momento no deberá darse ente tipo de información, simplemente se les cuestionará para ver si observaron que hay combinaciones que se repiten con mayor frecuencia, por lo que al finalizar el juego, es conveniente plantear preguntas como por ejemplo: ¿Qué combinaciones son más frecuentes? ¿Alguien tiene un método de predicción en particular? Ante estas preguntas, es muy probable que los alumnos no reconozcan cuáles son las combinaciones más frecuentes y tampoco que alguno de ellos tenga algún método de predicción en particular, es probable que

algunos digan que elegían la primera combinación que les venía en la mente. Entonces se le puede plantear: si volvemos a lanzar diez veces estas monedas, ¿va a salir lo mismo? ¿Por qué? ¿Hay alguna combinación de águilas y soles que cae con mayor frecuencia? Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

_____________________________________________________________________________________

_________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

_____________________________________________________________________________________

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EXPERIMENTOS (3/3)

Escuela: ______________________________________ Fecha: ______________ Profr.(a): ____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido: 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Intenciones didácticas: Que los alumnos se inicien con experiencias aleatorias, de manera que pueda decir cuáles son los posibles resultados y cuáles pueden ocurrir con más frecuencia, usando recursos de fácil manejo. Consigna. En esta ocasión se trata de realizar varios experimentos. Para ello, pongan atención en lo que se les indicará y respondan las preguntas. Consideraciones previas: En este grado se inicia el tema “Nociones de probabilidad”, por lo que no es recomendable dar definiciones de términos o que se enuncien resultados formalmente, sino más bien conviene ofrecer al alumno actividades que le permitan desarrollar las estructuras mentales necesarias que lo lleven a comprender los conceptos de las probabilidades que se estudiarán de aquí en adelante. Primera parte de la actividad. Consiste en mostrarles a los alumnos cuatro canicas de diferente color, pero de igual tamaño. Se colocan en una caja no transparente y se les pide que sin ver saquen una canica. Pero se les pide que antes de hacerlo digan cuál canica piensan que saldrá. Para ello, se puede anotar en el pizarrón los distintos colores y al lado escribir el número de alumnos que creen que ese color corresponde a la canica que saldrá seleccionada. Se realiza el experimento y se escuchan comentarios de los estudiantes acerca de por qué razón se obtuvo ese color. Se devuelve la canica a la caja. Segunda parte de la actividad. Nuevamente se tienen las cuatro canicas de diferente color en la caja y se pide a los alumnos que saquen una y registren el color que salió. Después la regresan a la caja y pasa otro a sacar una canica, vuelven a registrar el color y así sucesivamente hasta hacerlo 20 o más veces (de preferencia un número múltiplo de cuatro). Al finalizar el experimento, se harán comentarios acerca de los resultados obtenidos. En este caso se pretende que reflexionen acerca de que el número de veces que sale cada color es muy semejante. Es decir, si el experimento se hace 20 veces, cada color saldrá un número de veces que se acerca a 5. Si se hace 40 veces, seguramente el número de cada color se acercará a 10 y si se hace 60 veces el experimento, el número de veces que salga cada color será cercano a 15. Tercera parte de la actividad. Ahora mostrar a los alumnos dos canicas del mismo color y otras dos de diferentes colores, es decir tres colores y cuatro canicas que se depositarán en la caja. Por ejemplo:

Ahora hay un color que "puede salir más veces''. Esto no se les dirá a los alumnos, se espera que sean ellos quienes lo comenten. Una vez realizado el experimento conviene escribir en el pizarrón algunos comentarios como "el color que estaba repetido salió más veces ...'', "todos los colores salieron ...'', etc. Si el tiempo lo permite, se puede realizar las siguientes actividades en el salón, o bien, se pueden dejar como tarea y revisar las respuestas en la siguiente clase. Seguramente algunos alumnos dirán que tuvieron que hacer el experimento, lo cual es válido pues todavía están en la etapa de ver concretamente qué sucede. Cuarta parte de la actividad. Entregar a los alumnos una hoja en la cual está descrito el experimento. Se tiene una caja con cinco canicas de diferentes colores: roja-verde-azul-amarilla-negra. Se extrae una canica y se anota el color. ¿Cuál creen que saldrá? Si se realiza el experimento 20 veces ¿creen que hay alguna canica que saldrá más veces? Nuevamente, lo importante es considerar aquellos comentarios que tienen un sentido relacionado con el azar. Quinta parte de la actividad. Entregar a los alumnos una hoja donde se describe el experimento: Se tiene una caja con cinco bolas: cuatro rojas y una amarilla. Se pueden repetir entonces preguntas similares a las anteriores y se puede pedir al alumno que haga dibujos que ilustren su respuesta. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

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Primos y compuestos (1/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen los criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5, y que identifiquen las características de los números primos y compuestos. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. El ingeniero José es supervisor de obras públicas en el municipio de Tecámac, en el estado de México.

Dentro de sus funciones está el organizar las cuadrillas que tienen que ir a realizar las obras públicas. Actualmente el ingeniero trabaja con dos grupos; el primer grupo atiende al lado oriente del municipio y el segundo grupo al poniente. El primer grupo lo conforman 50 integrantes y el segundo grupo 47. Ambos grupos han solicitado que las cuadrillas se organicen de tal forma que todas estén integradas con la misma cantidad de trabajadores y que no haya excepciones. a. ¿Cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar con el primer grupo? b. ¿Cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar con el segundo grupo? c. Si reúne a los trabajadores del grupo 1 y 2 para hacer un solo grupo y reorganizar las cuadrillas

¿cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar?

2. Si 30 x 45 = 1350: a. Escriban cuatro números diferentes a 30 y 45 que sean divisores de 1 350. b. Los números 9, 6 y 15, ¿son divisores de 1 350? c. En caso de que 9, 6 y 15 sean divisores, ¿por cuál número o números se tendrían que multiplicar cada

uno para obtener 1 350? d. Los números 4 y 7 son divisores de 1 350? ¿Por qué?

3. Con base en la siguiente tabla contesten lo que se solicita:

1160 4758 7299 1981

151515 1620 35532 6264

4431 52380 489 166

a. ¿Cuáles números son divisibles por 2, por 3 y por 5? b. ¿Qué características debe tener un número para que sea divisible por 2, por 3 y por 5? c. ¿Hay números que tengan más de un divisor? ¿Cuáles?

Consideraciones previas: El primer problema apunta a identificar las características de los números compuestos y primos. Es posible que los alumnos utilicen el algoritmo convencional de la división (la galera) para determinar cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar: 1. Del primer grupo de trabajadores, es muy probable que los alumnos hagan divisiones para encontrar los

divisores de 50, algunos de éstos son: 1, 2, 5, 10, etc. De aquí la reflexión del significado del divisor y el

resultado que se obtenga, por ejemplo 50 ÷ 2 = 25, por lo tanto, se pueden formar dos grupos de veinticinco personas.

2. Del segundo grupo de trabajadores, es posible que procedan de la misma forma que para el primer, la

conclusión que debe obtenerse es que sólo se puede hacer un grupo de 47, o bien 47 grupos con una persona cada uno.

La resolución de este problema se puede aprovechar para discutir e inferir las características de un número primo (en este caso 47) y un número compuesto (50). Se sugiere plantear la búsqueda de números primos y compuestos, con la finalidad de aplicar estas nociones. Del segundo problema resulta obvio decir que 30 y 45 son dos divisores, el argumento que puede darse es que 1 350 es múltiplo de ellos y probablemente algunos alumnos recurrirán a la comprobación realizando la división. Sin embargo, la expectativa es que los alumnos identifiquen que al descomponer en factores los números 30 y 45, éstos también son factores y por consecuencia, también divisores de 1 350. La multiplicaciones 6x5x45=1350 y 6x5x3x15= 1350 son el resultado de factorizar el 30 en 6 x 5 y el 45 en 3 x 15, por lo que se puede concluir que otros divisores de 1 350, además de 30 y 45, también son el 3, 5, 6, 15. Lo anterior ayuda a que los alumnos escriban los números en función de sus factores primos, además de que puedan realizar conjeturas como: si un número es divisible por 6, entonces es divisible por 2 y 3, ¿entonces un número que sea divisible por 2 o 3, es siempre divisible por 6? Si bien, desde primaria, hay un acercamiento a la regularidad de los múltiplos de 2, 3 y 5. Es probable que en el problema 3 los alumnos realicen las divisiones para saber si los números son divisores de 2, 3 y 5. Si es así, posteriormente se trata de identificar las características comunes de los múltiplos de 2, de 3 y de 5. Con ello se espera consoliden que: (Dictar como conclusión)

a. Toda cifra que tiene una terminación par o cero es divisible por 2. b. Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3, el número es divisible por 3. c. Todo número que tiene terminación en 5 o 0, es divisible por 5.

De esto último se espera que los alumnos reconozcan que estos criterios de divisibilidad son reglas mediante las cuales se puede anticipar si un número natural es divisible o no entre otro número natural dando como resultado otro número natural, sobre todo cuando se tienen cantidades grandes. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________


¿Y los primos? (2/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las características de los números primos y compuestos. Consigna 1: En el siguiente cuadro de cantidades del 1 al 100:

a) Encierra en un circulo rojo aquellos números que sólo se puedan dividir entre ellos mismos y el 1 (dos divisores)

b) Encierra con círculo azul aquellos que se pueden dividir entre ellos mismos, el 1 y otra cantidad (3 o mas divisores).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Consigna 2: Contesta las siguientes preguntas. 1.- Cuáles son las cantidades que solo se pueden dividir entre ellos mismos y el 1 ____________________ ______________________________________________________________________________________ 2.- ¿Cómo se les llama a los números que solo se pueden dividir entre ellos mismos y el 1? _____________ _____________________________ 3.- ¿Cómo se les llama a los números que tienen más de dos divisores? ____________________________

Consideraciones Previas. Hacer la puesta en común asegurándose de que todos tengan señalados los números de manera correcta. Dar respuesta a las preguntas con la participación y como cierre dictar los conceptos de números primos y compuestos. Un número primo es un número natural que solo tiene dos factores (divisores) que son el número mismo y el uno. Un número compuesto tiene otros factores además de si mismo y el 1. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _______________________________________________________________________________


Aplicando el criterio (3/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen y muestren algunas propiedades relacionadas con la suma de 2, 3 y 5 números naturales consecutivos. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. ¿La suma de tres números naturales consecutivos cualesquiera siempre es divisible por 3? ¿Por qué? 2. ¿La suma de cinco números naturales consecutivos cualesquiera siempre es divisible por 5? ¿Por qué? 3. ¿La siguiente afirmación es correcta? “La suma de dos números naturales consecutivos cualesquiera es

divisible por 2” De ser verdad justifiquen la respuesta, de lo contrario reescriban la afirmación de tal manera que sea verdadera y escriban algunos ejemplos.

Consideraciones previas: Para el problema 1, es muy probable que los estudiantes hagan algunos ensayos con diferentes tercias de números consecutivos, por ejemplo sumar 2, 3 y 4; 12, 13 y 14, 87, 88 y 89, etcétera, y que su respuesta sea afirmativa. Posteriormente se les puede solicitar que prueben la validez de su respuesta con otras tercias seleccionadas por otros equipos, así por el número de pruebas realizadas y sin encontrar un contraejemplo podrán explicar y mostrar dicha regularidad. Dado que no es suficiente mostrar muchos ejemplos para generalizar una propiedad y considerando que en el bloque anterior se inició el trabajo con literales como número general, se sugiere aprovechar la oportunidad para que con la intervención del maestro, se pueda generalizar dicha propiedad. Dos preguntas iniciales pueden ser las siguientes: ¿cómo represento un número cualquiera? ¿y cómo representó los dos siguientes números? La finalidad es obtener la siguiente expresión: x + x+1 + x+2. Enseguida se les puede pedir a los alumnos que simplifiquen la expresión anterior, esperando que lleguen a 3x+3. A partir de esta expresión se puede sustituir x por algunos valores naturales y verificar que efectivamente el número resultante es múltiplo de 3, sin embargo, para llegar a una generalización puede centrarse el análisis en que un número natural cualquiera multiplicado por 3 (3x) siempre representa un múltiplo de 3, además, si a este múltiplo de 3 le agrego otro múltiplo de 3 (en este caso 3), quedando la expresión 3x + 3, ésta necesariamente es un múltiplo de 3 y por lo tanto es divisible por 3. Es muy probable que para llegar a esta generalización se requiera de una sentida intervención del profesor, ya que puede resultar complicado que los alumnos la hagan por si solos. El tratamiento para el problema 2 puede ser semejante al 1. Un aspecto que puede resultar interesante, es que si el primer número es impar el resultado tendrá una terminación 5 y si el primer número es par el resultado tendrá una terminación en 0. Con el tercer problema se espera que los alumnos identifiquen que la suma de dos números naturales consecutivos es divisible entre 2, si y sólo si, los dos son pares o impares.


4. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _________________________________________________________________________________

5. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _______________________________________________________________________________


1

Mínimo común múltiplo (1/2) Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Intenciones didácticas. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo del mínimo común múltiplo, empleando el producto de los factores primos. Consigna. Reúnete con otro compañero y juntos resuelvan los siguientes problemas: 1. Se desea envasar el contenido de un tanque de líquido para limpieza en garrafones de la misma

capacidad. ¿Cuál la cantidad mínima de líquido que debe tener el tanque, de tal manera que se puedan utilizar garrafones de 4, de 10 o de 12 litros y que no sobre líquido y los garrafones se llenen completamente?

2. En una línea de transporte de pasajeros, un autobús A sale de la terminal cada 1 ½ hora; un

autobús B sale cada 2 horas y un autobús C, cada 2 ½ horas. Si salieron al mismo tiempo los tres autobuses a las 7 de la mañana del día lunes, ¿a qué hora y día vuelven a coincidir sus salidas?

3. Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos.

Si a las 4 de la mañana han coincidido tocando las tres, ¿a qué hora volverán a tocar otra vez juntas?

Consideraciones previas: Con respecto al primer problema, es muy probable que los alumnos lo resuelvan listando los múltiplos de cada uno de los números involucrados e identificar visualmente el número buscado que en este caso es 60. Por lo que la cantidad mínima del tanque debe ser de 60 litros. Para el segundo problema, es probable que los estudiantes hagan una lista con los tiempos que pasan cada vez que sale un autobús, hasta lograr que los tiempos coincidan: Autobús A: 1 ½, 3, 4½, 6, 7 ½, … Autobús B: 2, 4, 6, 8, 10, ... Autobús C: 2 ½, 5, 7½, 10, 12½, … Si es así, encontrar la respuesta al problema resulta muy laborioso. Otros, es probable que renuncien a trabajar con números fraccionarios y decidan expresar los tiempos de salida de los autobuses en minutos, es decir, 90, 120 y 150 minutos, respectivamente; luego encuentren el mínimo común múltiplo haciendo un listado de los múltiplos de cada uno, lo cual ya no es tan funcional; sin embargo es muy probable que la mayoría intente resolverlo por esta vía, incluso habrá quienes sí puedan resolverlo. Este sería el momento en que el profesor puede dar a conocer un procedimiento abreviado para calcular el mínimo común múltiplo, a partir de la factorización de números primos. Se inicia por descomponer los números involucrados en factores primos, como se muestra enseguida:

2

Una forma simplificada de obtener el MCM de los números 90, 120 y 150 es la siguiente:

Descomposición en factores primos

90, 120, 150 2 45, 60, 75 2 45, 30, 75 2 45, 15, 75 3 15, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1, 1 Por lo tanto, el MCM (90, 120, 150) = 23x32x52 = 1 800 Esto quiere decir que en un tiempo de 1 800 minutos volverán a coincidir los tres autobuses, tiempo equivalente a 30 horas. Si coincidieron sus salidas a las 7:00 horas del día lunes, volverán a coincidir el martes a las 13:00 horas. Como cierre y conclusión dictar los pasos para el cálculo del M.C.M de forma simplificada. Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes: Encuentren el MCM de los siguientes números:

300,225

420,380

36,24,18

MCM = ______________ MCM = ____________ MCM = ___________

125,75,25

90,75,60

490,325,140

MCM = ______________ MCM = ____________ MCM = ___________ ¿El m.c.m de dos números primos es el producto de ellos mismos? Justifiquen su respuesta.

3

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las

7:15 de la tarde los tres coinciden. ¿Cuántas veces volverán a coincidir en los próximos cinco

minutos y a qué horas?

Un autobús A hace su recorrido cada 8 días y otro autobús B lo hace cada 10 días. Si coinciden

en su salida en la central de autobuses el día 20 de noviembre, ¿cuándo volverán a coincidir? Carmen tiene un reloj despertador que suena cada 60 minutos, otro reloj despertador que suena

cada 150 minutos y un tercero que suena cada 360 minutos. A las 6 de la mañana los tres relojes suenan al mismo tiempo. ¿A qué hora volverán a sonar otra vez juntos?

Cierto planeta A tarda 150 días en completar una órbita completa alrededor de su sol. Otro

planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol, ¿cuánto tardarán en volver a estarlo?

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


4

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (2/2) Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor, empleando el producto de los factores primos. Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas: 1. Se quiere cortar dos tablones de madera, uno de 48 cm y el otro de 60 cm, en tablas de la mayor

longitud posible y que midan lo mismo, sin que sobre madera de ninguno de los tablones. a) ¿Cuánto medirá cada una de las partes? b) ¿Cuántas tablas se pueden sacar?

2. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por

300 cm de alto. Si se quiere que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la medida por lado de los azulejos?

3. En una bodega hay 3 barriles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido

se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar todo el vino contenido en cada uno de los barriles, y el número de garrafas que se necesitan.

4. Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 peras, de modo que cada caja

contenga el mismo número de manzanas o de peras y, además, el mayor número posible. Hallar el número de manzanas o de peras en cada caja y el número de cajas necesarias.

Consideraciones previas: El primer problema es muy sencillo, seguramente los alumnos lo resolverán listando los divisores de cada uno de los números involucrados e identificar visualmente el número buscado que en este caso es 12: Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48, Divisores de 60: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Luego, podrán determinar que en un tablón de 48 cm, se pueden cortar 4 tablas de 12 cm y que en el tablón de 60 cm se pueden cortar 5 tablas de 12 cm, dando un total de 9 tablas. Con respecto a los problemas 2 y 3, ya no es sencillo resolverlos enlistando los divisores, sin embargo, es probable que los alumnos intenten resolverlos con muchas dificultades. En este momento es preciso darles a conocer cómo se determina el M.C.D de varios números Y DICTARLO. Recuerde que el M.C.D. de dos números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos.

5

Para hallar el M.C.D. de varios números. • se descomponen los números en factores primos comunes a las cantidades. • se pasa la descomposición a forma de potencia y • se toman los factores comunes con su menor exponente.

Una manera de determinar el MCD de los números de una forma más simplificada es como se muestra enseguida:

Descomposición en factores primos

210, 300 2 105, 150 3 35, 50 5 7, 10

En este caso, sólo se descomponen los números en factores primos comunes. Por lo que el MCD (210, 300) = 2 x 3 x 5 = 30 Esto quiere decir que los azulejos más grandes que se pueden poner sin que haya desperdicio, deben tener 30 cm por lado para que quepan 7 azulejos de ancho por 10 azulejos de altura. Esta forma directa puede aplicarse para obtener las respuestas de los problemas 3 y 4. Problema 3, MCD (250, 360, 540) = 10. Capacidad máxima de las garrafas, 10 litros. Número de garrafas que se necesitan: 25 + 36 + 54 = 115. Problema 4, MCD (12028, 12 772) = 22 x 31 = 124. 124 manzanas o 124 peras en cada caja. Cajas para manzanas 97 y cajas para las peras 103, total 200 cajas. Una vez que los alumnos se les han mostrado cómo determinar el M.C.D. y que hayan realizado algunos ejercicios, se les pueden plantear la siguiente reflexión que involucran las nociones estudiadas: Una pregunta de reflexión que puede plantearse es la siguiente: ¿Si un número es divisor de otro, entonces, este divisor es el MCD de ambos? Justifiquen su respuesta. Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes: Encuentren el M.C.D de los siguientes números:

300,225

420,380

36,24,18

M.C.D. = ______________ M.C.D. = ____________ M.C.D. = ___________

6

125,75,25

90,75,60

490,325,140

M.C.D. = ______________ M.C.D. = ____________ M.C.D. = ___________ Se requiere embaldosar un patio de 1 620 cm de largo por 980 cm de ancho con baldosas

cuadradas lo más grandes posibles y enteras. ¿Cuál será la longitud del lado de cada baldosa? Una fracción de cartulina mide 1 m por 45 cm y se quiere dibujar en ella una cuadrícula del mayor

tamaño posible cada cuadrado. ¿Cuál debe ser la medida de cada cuadrado de la cuadrícula? De un pliego rectangular de foami que mide 96 cm de largo por 72 cm de ancho, se quiere cortar

cuadrados de la mayor superficie posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados? ¿Cuántos cuadrados se pueden obtener?


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Decimales y fracciones (1/2) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. Intenciones didácticas: Que los alumnos realicen estimaciones de problemas aditivos que combinan fracciones y números decimales y que reflexionen sobre la pertinencia o no de hacer únicamente una estimación. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. Estima el resultado de las siguientes operaciones:

a) 40

195.2

15

8

b) 1.023.09

195.1

8

6

2. Encuentren el resultado estimado o exacto, según crean más conveniente, de los siguientes problemas.

a) María está interesada en controlar su peso. Para ello, se pesó una vez por semana y registró los resultados en la siguiente tabla:

Semana 1 2 3 4 5 6 7

Peso (kg)

Inicial Subí Subí Bajé Bajé Subí Bajé

57 ½ kg 1.12 kg ¼ kg 0.98 kg 1 ¾ kg 0.14 kg 0.28 kg

Después de las siete semanas, ¿subió o bajo de peso? ____________ ¿cuánto? __________

b) Alfonso viaja constantemente a Estados Unidos por avión, en la aerolínea que utiliza sólo puede llevar equipaje con un peso menor a 23 kg, si dicho equipaje es igual o mayor le cobra una tarifa como se muestra en el siguiente recuadro.

Tarifa Peso/

Sobrepeso + 90 USD 51 - 70 lbs/23 - 32 kg

Alfonso lleva tres maletas con los siguientes pesos: una maleta que pesa 11.5 kg, otra con 8 1/4 kg y una tercera con 1 ¾ kg. ¿Cuál es el peso total que lleva por las tres maletas? ___________________ ¿Alfonso pagará tarifa por sobrepeso? _____________________

Consideraciones previas: Estimar el resultado de una operación es obtener un dato cercano al correcto y para llegar a él pueden utilizarse diferentes procedimientos como el redondeo, el truncamiento, asociar valores, entre otros. Una estimación puede hacerse mental o utilizando algún implemento como lápiz y papel o una calculadora.

Es posible y deseable que en la primera operación los alumnos determinen que el resultado aproximado es 3 ½, ya que 8/15 es ligeramente mayor a ½, 2.95 es casi 3 y 1/40 es casi cero. En la segunda se puede redondear 1.95 a 2, transformar 6/8 en ¾, considerar 1/9 como 0.1 y 0.23 como ¼, así al relacionar ¾ y ¼ que se resta queda ½, 0.1 y 0.1 que se resta queda cero, por lo tanto, el resultado aproximado es 2.5 o bien 2 ½. Es necesario discutir ampliamente la pertinencia de operar y expresar los resultados con decimales o con fracciones. Por los valores utilizados, es posible que algunos alumnos hagan los cálculos mentalmente, si no es así, se puede solicitar que se use esta variante. En relación con los problemas es importante que los alumnos discutan para decidir la pertinencia de obtener un resultado exacto o buscar únicamente una estimación. Mientras que para el primero es suficiente una estimación, en el segundo es indispensable encontrar el resultado exacto, ya que algunos gramos de más implican un cobro importante para Alfonso. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________


Encontrando fracciones (2/2) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen los algoritmos usuales al resolver problemas que impliquen sumar y restar fracciones y números decimales. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Karla tiene problemas con su columna y el médico le recomendó no cargar pesos superiores a 5.5 kg. El

fin de semana Karla fue al mercado y cargó los siguientes artículos: 1 2/5 kg de naranjas, 580 gramos de jamón, 1/5 de kg de queso, 1.2 kg de pollo, ¾ de kg de carne, una lata de rajas de 425 gramos, un jabón de tocador de 125 gramos y ½ kg de tortillas. ¿Respetó Karla la indicación de su médico?____________ ¿Cuál es la diferencia entre la recomendación del médico y lo que cargó? __________________________

2. Encuentren el número faltante en las siguientes operaciones:

a. 8.52

16.1__

4

108.0

b. 2

12__

9

13.0

6

5

Consideraciones previas: A diferencia del plan anterior, aquí es necesario encontrar resultados exactos. Por los números utilizados en los problemas, tanto decimales como fraccionarios, se espera que no sea tan evidente utilizar el cálculo mental para encontrar los resultados, y que los estudiantes usen los algoritmos convencionales para dicho fin. En el primer problema, además de requerir que los alumnos realicen transformaciones entre decimales y fracciones y operar con ellos, es necesario que sepan que un kilogramo equivale a 1000 gramos, por lo tanto, 580 gr, 425 gr y 125 gr, pueden escribirse como 0.58 kg, 0.425 kg y 0.125 kg, respectivamente. El asunto de la conveniencia de trabajar con decimales o con fracciones es una decisión importante que tienen que discutir los alumnos, por ejemplo, en la operación b al intentar transformar las fracciones en decimales se obtienen números periódicos y por lo tanto el número buscado será aproximado, en cambio sí se transforma 0.3 en fracción y se opera con puras fracciones el resultado será exacto. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


1

Jugando a multiplicar fracciones (1/3) Escuela: ____________________________________________ Fecha: _________ Profr.(a): ___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la multiplicación de fracciones para resolver problemas. Consigna: Organizados en equipos de cuatro, van a resolver la siguiente actividad: “Cambiando la unidad”. (Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Secundaria, páginas 52 y 53).

Consideraciones previas: Los alumnos han realizado diversas actividades que son similares a esta en la primaria por lo que se espera que no tengan dificultad en su comprensión. Es probable que para cada actividad de la ficha se requiera una sesión.

2

Si no cuenta con el fichero, lo puede descargar en la siguiente dirección electrónica: http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/orientaciones/ficheroactividades.pdf Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

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3

A resolver problemas (2/3) Escuela: ____________________________________________ Fecha: _________ Profr.(a): __________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen multiplicaciones y/o divisiones con fracciones. Resuelvan problemas de división de fracciones a partir de la aplicación del inverso multiplicativo Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas:

a) Una tableta de una medicina pesa 7

4 de onza, ¿cuál es el peso de

4

3 de tableta?

b) Una botella cuya capacidad es 2

11 litros, contiene agua hasta sus

5

3 partes. ¿Qué

cantidad de agua contiene? Consideraciones previas: Lo importante en el primer problema es que los alumnos se den cuenta de que, dado que quieren saber el peso de ¾ de tableta y el peso de la tableta completa es 4/7, lo que interesa averiguar es ¾ de 4/7. Este es el primer asunto que conviene que los alumnos tengan claro. A partir de aquí se puede ver que 4/7 se puede dividir en cuatro partes iguales y que cada una de esas partes es 1/7, de manera que ¼ de 4/7 es 1/7, 2/4 son 2/7 y ¾ de 4/7 son 3/7. Una vez que se ha hecho esta reflexión conviene pasar a la escritura formal para ver que ¾ de 4/7 es lo mismo que ¾ x4/7= 12/28 = 3/7. Dictar como conclusión que cuando vamos a tomar una fracción de otra se resuelve con multiplicación. En el caso del segundo problema los alumnos pueden apoyarse en la representación gráfica, que corresponde al modelo de áreas. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

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4

¿Inverso o división? (3/3) Escuela: ____________________________________________ Fecha: _________ Profr.(a): __________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de división de fracciones a partir de la aplicación del inverso multiplicativo Consigna: Organizados en parejas, van a resolver los siguientes problemas:

a) Un rectángulo tiene de área 3

7 y sabemos que uno de sus lados mide

5

2. ¿Cuánto medirá

el otro lado?

b) Un rectángulo tiene de área 40

15 y sabemos que uno de sus lados mide

8

5. ¿Cuánto medirá

el otro lado? c) Un granjero colocó una cerca alrededor de su parcela para que no entraran los animales a

comerse sus verduras. La parcela es de forma cuadrada, cada lado mide 10 m, si puso los

postes cada 4

3 de metro, ¿cuántos postes colocó?

Consideraciones previas: En el primer problema, quizá los alumnos tracen un cuadrado a escala que represente el terreno y marquen el lugar donde colocarían cada poste. En los dos últimos problemas es importante que los alumnos sepan que cuando conocen el área de un rectángulo y la medida de uno de sus lados, pueden calcular la medida del otro lado dividiendo el área entre el lado conocido. Partiendo de esta idea básica, el problema es cómo dividir 15/40 entre 5/8. Una posibilidad es plantear esta operación como una multiplicación en la que se desconoce un factor: 5/8 x ( ) = 15/40. Dado que los alumnos ya saben que para multiplicar fracciones se multiplican numeradores y denominadores, es fácil que puedan encontrar el factor desconocido. Sólo después de hacer estas reflexiones se les puede decir que la división de fracciones equivale a multiplicar por el inverso multiplicativo, es decir, 15/40:5/8=15/40x8/5=120/200=3/5 Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

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¿Y la mediatriz? (1/2) Escuela: _________________________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): ______________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M

Contenido: 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos:

Utilicen los conceptos de recta, segmento, semirrecta; perpendicular y punto medio. Elaboren definiciones de mediatriz de un segmento y busquen maneras de trazarla.

Consigna 1: Dados los siguientes segmentos, traza una recta perpendicular a cada uno, de tal manera que los divida en dos partes iguales (usa escuadra o compás). Señala con la letra que quieras el punto donde se cortan los dos segmentos.

a) La recta que trazaste en cada caso se conoce como “mediatriz” del segmento dado. Escribe una definición de mediatriz.

________________________________________________________________________________ Consigna 2: Traza la mediatriz de cada segmento y marca un punto cualquiera sobre la mediatriz que trazaste. Después, une los extremos del segmento dado con el punto marcado sobre la mediatriz.

a) ¿Qué tipo de triángulo se formó en cada caso? b) ¿Todos los triángulos que formaste tienen la misma altura?__________ ¿Por qué? c) Si las distancias de cada extremo del segmento dado al punto marcado sobre la mediatriz

fueran iguales, ¿qué tipo de triángulo se formaría? d) Tomando como base los segmentos anteriores, ¿se podrá formar un triángulo con tres lados

de diferente medida? Justifica tu respuesta.

A

B

C D

J

K

P Q

Consigna 3: Traza un segmento cualquiera y su mediatriz y con ellos dibuja un rombo. a) ¿Es único el rombo que se puede construir con los segmentos que trazaste? Justifica tu respuesta. Consideraciones previas: Es importante verificar que los alumnos tracen correctamente la mediatriz de cada segmento y después de esto cuestionarlos para que caigan en cuenta que todos los triángulos formados son necesariamente tienen dos lados iguales, por lo tanto son isósceles. Pero si las distancias de cada uno de los extremos del segmento al punto marcado son iguales a la longitud del segmento, el triángulo formado es equilátero. De igual forma puede utilizarse la construcción del rombo y hacer cuestionamientos a los alumnos para que revisen y complementen la definición de mediatriz –en caso de que sea necesario. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

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¿Bisec… que? (2/2) Escuela:_________________________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido: 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos:

Utilicen el concepto de ángulo. Busquen maneras para trazar la bisectriz de un ángulo y elaboren la definición de bisectriz.

Consigna 1: Traza una línea, de tal manera que cada ángulo quede dividido en dos ángulos de igual medida.

a) A la línea que trazaron se le conoce con el nombre de “bisectriz” del ángulo. Escriban una definición para bisectriz.

Consigna 2: Traza con algún color la bisectriz de los ángulos interiores de cada figura, con otro color las diagonales y con un color diferente la mediatriz de cada lado.

a) ¿En qué casos coinciden las diagonales del polígono con las bisectrices de sus ángulos? b) ¿En qué casos coinciden las mediatrices y las bisectrices? c) Tracen un círculo que quede inscrito en cada uno de los polígonos anteriores.


Habrá que estar atentos para ver qué hacen al trazar diagonales y en caso necesario aclarar que los triángulos no tienen diagonales. Asimismo, será importante revisar qué relación hay entre las mismas diagonales (en el caso del cuadrado y del rombo son perpendiculares mediatrices una con respecto de la otra). De igual forma, podrían analizar la relación entre varias parejas de líneas dentro de cada figura. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

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1

Justificando fórmulas (1/2) Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F E y M Contenido: 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. Intenciones didácticas. Que los alumnos calculen el perímetro y el área de polígonos regulares utilizando diferentes procedimientos. Consigna. Reúnete con un compañero y tomen las medidas necesarias para calcular el perímetro y el área de cada una de las siguientes figuras: . Perímetro: ___________ Perímetro: ___________ Perímetro: ______________ Área: ___________ Área: ___________ Área: ______________ Consideraciones previas: En este momento los alumnos deben conocer las fórmulas para calcular el perímetro y el área de las dos primeras figuras, se espera que usen estos conocimientos para resolver lo que se plantea. Para el caso del área del triángulo, necesitan dos datos, la medida de la base y de la altura. Por lo que se espera que midan y obtengan estos datos y apliquen la fórmula correspondiente. La base mide 5 cm y su altura mide aproximadamente 4.3 cm.

275.102

)3.4)(5(

2cm

cmcmbhA

En relación con el perímetro, éste lo pueden obtener de varias maneras, por ejemplo tomando tres veces como sumando la medida de un lado (5 cm) o bien con la multiplicación 3 (5 cm). En este momento vale la pena profundizar con preguntas como:

Cuadrado Pentágono regular Triángulo equilátero

2

¿Qué fórmula se requiere para calcular el perímetro de un octágono regular? ¿Cuál para un decágono regular? ¿Y cuál para un polígono regular de n lados? Si la fórmula para calcular el perímetro de un polígono regular es P = 7l, donde l es la medida

de un lado, ¿de qué figura se trata? Y si la fórmula es P = l + l + l + l + l + l, ¿de qué figura se trata?

La idea es interactuar con el lenguaje algebraico. Para el cuadrado, basta con utilizar P = 4l y A = l 2 para obtener el perímetro y el área,

respectivamente, donde l es la medida de un lado.

En la tercera figura el verdadero reto está en calcular su área, dado que los alumnos no conocen una fórmula para calcular el área del pentágono regular. Sin embargo, cuentan con otros recursos para hacerlo, como dividir el pentágono en otras figuras, para las cuales ya conocen una fórmula. Algunas posibles transformaciones son las siguientes: Nota: Las líneas punteadas son las alturas de las figuras resultantes, las cuales tendrán que ser consideradas por los alumnos para realizar sus cálculos.

Pentágono regular

Caso 1

Pentágono regular

Caso 2

Pentágono regular

Caso 3

Pentágono regular

Caso 4

3

En el caso 1, la figura está dividida en un triángulo y un trapecio. En el segundo caso son puros triángulos. En el caso 3, está dividido el pentágono en tres triángulos y un cuadrado. El caso 4, es una división poco probable que realicen los alumnos, sin embargo, es uno de los métodos más rápidos, porque sólo necesitan dos medidas para hacer los cálculos. En caso de que este procedimiento de triangulación no surgiera entre los alumnos, se puede sugerir que lo hagan, ya que representa una experiencia fundamental para deducir la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular. Independientemente del procedimiento que sigan los alumnos, se espera que puedan concluir que el área del pentágono es de aproximadamente 28 cm2. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

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4

¿Porqué apotema? (2/2) Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F E y M Contenido: 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. Intenciones didácticas. Que los alumnos deduzcan la fórmula general para calcular el área de un polígono regular. Consigna. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes problemas: 1. Con base en las siguientes figuras, escriban una fórmula para calcular el área del hexágono y

otra para el octágono.

2. Escriban una fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular. 3. Resuelve el siguiente problema:

Una fuente de forma octagonal mide por lado 90 cm. Y su apotema mide 82 cm. a) Si se quiere poner mosaico en el piso de la fuente ¿Cuántos metros de mosaico se necesitan? b) Si se quiere pintar una franja de color fluorescente alrededor de la fuente ¿Cuántos metros se van a pintar?

5

Consideraciones previas: Con respecto al primer problema, es probable que la mayoría de los alumnos sólo lleguen a las siguientes expresiones algebraicas:

Para el hexágono: 222222

xaxaxaxaxaxaA

Para el octágono: 22222222

xaxaxaxaxaxaxaxaA

Si este fuera el caso, puede generarse una interacción entre los alumnos y el profesor para deducir

la fórmulas.El profesor puede explicar que las sumas se pueden escribir así:

Para el hexágono: )(2

xxxxxxa

A

Para el octágono: )(2

xxxxxxxxa

A

Luego, puede preguntarse a los alumnos: ¿Qué representa lo que está dentro del paréntesis?,

¿Cómo se pueden escribir esas sumas en forma de productos?

Esto es con la finalidad de que los alumnos se den cuenta que las sumas representan el perímetro

de las figuras y cómo las pueden simplificar. Con lo anterior se pueden transformar las expresiones

en otras:

Para el hexágono: 2

)6( xaA o

2

)6( axA

Para el octágono: : 2

)8( xaA o

2

)8( axA

A partir de estas últimas expresiones, se puede preguntar a los alumnos, ¿cuál sería la fórmula para

calcular el área de un decágono regular? ¿y para un polígono regular de 16 lados? ¿y para calcular

el área de cualquier poígono regular? La idea es que los alumnos adviertan la variación en las

fórmulas es 6x, 8x, 10x, 16x y que estas expresiones representan el perímetro de los poígonos, el

cual puede representarse con P; por lo que la fórmula para calcular el área de cualquier un polígono

regular es: 2

PaA

Finalmente, se sugiere pedir a los alumnos que usen la fórmula construida para verificar el área del

pentágono del plan anterior.




1

¿Dónde está el faltante? (1/2) Escuela: _______________________________ Fecha: _____________

Profr. (a): _____________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: M I Contenido: 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el factor constante de proporcionalidad entero y fraccionario para resolver problemas del tipo valor faltante, en los cuales los datos conocidos son enteros. Consigna 1: En equipos resuelvan el siguiente problema: Los lados de un cuadrilátero miden 5, 9, 2 y 11 cm, tal como se muestra en la figura; si se realiza una reproducción a escala y el lado correspondiente a 5 cm, ahora mide 15 cm, ¿cuánto deben medir los demás lados? Utilicen la tabla para escribir las respuestas.

Medidas de los lados de la figura original

Medidas de los lados de la reproducción

5 cm 15 cm 2 cm 9 cm 11cm

Consigna 2: Consideren la situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado correspondiente a 9 cm, en la reproducción mide 3 cm, ¿cuánto deben medir los demás lados en decimal y fracción?



9 cm 9/3 cm 3 cm 2 cm 5 cm 11cm

5 cm

9 cm

2 cm

11 cm

2

Consigna 3: Consideren la situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado correspondiente a 2 cm, en la reproducción mide 5 cm, ¿cuánto deben medir los demás lados?



2 cm 5 cm 5 cm 9 cm 11cm

Observaciones previas: Los problemas 1 y 2 son semejantes a los tratados en el bloque 1, en el 3 hay un avance importante, el factor constante de proporcionalidad (2.5 o 5/2) ya no es fracción unitaria, así la tarea principal en esta clase se centra en la búsqueda y uso del factor constante de proporcionalidad. Si a los alumnos les cuesta trabajo relacionar el tema de escala con la proporcionalidad, explicar y ejemplificar dichos vínculos. Es probable que en el ejercicio 2, utilicen la división para obtener los valores que se piden, destacar la equivalencia de dividir entre 3 y multiplicar por un tercio. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


3

¿Y la “K” que? (2/2) Escuela: _______________________________ Fecha: _____________

Profr. (a): _____________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: M I Contenido: 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen factores constantes de proporcionalidad fraccionarios para resolver problemas del tipo valor faltante, en los cuales los datos conocidos son enteros y decimales. Consigna 1: En equipos resuelvan lo siguiente. Consideren la situación de la consigna 1 del plan anterior, con la diferencia de que el lado de 5 cm, ahora mide 2.5 cm en la reproducción, ¿cuánto deben medir los demás lados?



5 cm 2.5 cm 2 cm 9 cm 11cm

¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad (K)______________ Consigna 2: Consideren la situación de la consigna 1 del plan anterior, con la diferencia de que el lado de 9 cm, ahora mide 6.5 cm en la reproducción, ¿cuánto deben medir los demás lados? Pueden utilizar calculadora.



9 cm 6.5 cm 2 cm 5 cm 11cm

¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad (K)______________ Consigna 3: Consideren la situación de la consigna 1 del plan anterior, con la diferencia de que el lado de 2 cm, ahora mide 2.8 cm en la reproducción, ¿cuánto deben medir los demás lados? Pueden utilizar calculadora.



2 cm 2.8 cm

4

5 cm 9 cm 11cm

¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad (K)______________ Observaciones previas En el ejercicio de la consigna 1 el factor puede ser 0.5 o ½ (valores equivalentes), en cualquiera de los casos aprovechar la oportunidad para vincular con las operaciones de multiplicación y división. Por ejemplo, si tomamos la razón 5 cm es a 2.5 cm

División: Al intentar encontrar el factor constante de proporcionalidad (2.5 5) Multiplicación: Al utilizar el factor constante de proporcionalidad (5 x 0.5 ó 5 x ½)

En el ejercicio de la consigna 2 el factor de proporcionalidad puede ser 13/18 u otra fracción equivalente y el decimal periódico Si se dan ambos casos, revisar los algoritmos y notar la diferencia (en algunos casos con los decimales se obtienen resultados aproximados). Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


0.72

1

¿Cuántas vueltas? (1/2) Escuela:_____________________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido 7.3.1: Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el algoritmo convencional de la multiplicación para resolver problemas con números decimales. Consigna: En forma individual resuelvan los siguientes problemas. Una revista de ciencia publicó que uno de los primeros satélites que existieron tardaba 95.57 minutos en dar una vuelta a la Tierra. De acuerdo con esta información

a. ¿Cuántos minutos tardaba el satélite para dar 9.5 vueltas a la Tierra? b. ¿Cuántos minutos tardaba para dar 100 vueltas? c. ¿Cuántos días tardaba en dar 100 vueltas? d. ¿Cuántas horas tardaba en dar 100 vueltas?

Consideraciones previas: A partir de este problema se puede llevar a los alumnos a varias reflexiones interesantes, por ejemplo, el procedimiento rápido para multiplicar un decimal por 100, teniendo mucho cuidado de no pretender que simplemente se aprendan de memoria la regla de recorrer el punto decimal, sino que usen la calculadora para que observen la regularidad y ellos mismos formulen la regla. En el inciso c, un resultado aceptable es 6.6 días, a partir del cual se pueden plantear preguntas interesantes como: ¿Cuál sería el resultado expresado en días y horas? ¿Cuál sería el resultado expresado en días y minutos? Es muy probable que algunos alumnos digan que son 6 días y 6 horas, ante lo cual se puede cuestionar: ¿Y si fueran días y minutos serían 6 días y 6 minutos? El punto es que caigan en cuenta que 6.6 días, son 6 días y 6 décimos de día, de donde cabe preguntar: ¿Cuánto es un décimo de día en horas? ¿Cuánto es un décimo de día en minutos? Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________________________________________________________________________


Muy útil Útil Uso limitado Pobre

3

¿Más vueltas? (2/2) Escuela:_____________________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido 7.3.1: Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre el valor del producto cuando uno de los factores es menor que uno y utilicen el algoritmo convencional de la multiplicación para resolver problemas con números decimales. Consigna: En parejas resuelvan los siguientes problemas.

a. La Tierra gira alrededor del Sol a 29.7 kilómetros por segundo. Marte lo hace a 0.81 veces la velocidad de la Tierra. ¿Cuál de los dos planetas gira más rápido? ¿Por qué? ¿A qué velocidad gira Marte?

b. La velocidad de Plutón es de 4.8 kilómetros por segundo. La de Venus es 7.5 veces la velocidad de plutón. ¿A qué velocidad gira Venus?

Consideraciones previas: Es importante detenerse en el análisis de las tres preguntas del primer problema, porque es muy probable que algunos alumnos piensen que en toda multiplicación el producto debe ser mayor que cualquiera de los factores, lo cual no sucede cuando uno o ambos factores son menores que uno. Es conveniente que primero anticipen y después verifiquen que el resultado de multiplicar 29.7 por 0.81 es menor que 29.7 Por otra parte, también es importante consolidar la idea de que al utilizar la expresión “n veces”, n puede ser un número mayor, igual o menor que uno. En el contexto del problema, una afirmación que es cierta es que los planetas más cercanos al Sol giran más rápido a su alrededor. Otros problemas que se pueden plantear son: Diámetro de la Tierra: 12 756km Diámetro de la Luna: 0.27 veces el de la Tierra. ¿Cuál es el diámetro de la Luna? Averigua el diámetro de cada planeta pero antes digan cuales planetas son más grandes y cuales más chicos que la tierra. Planeta Diámetro Tierra 12,756 km Mercurio 0.38 veces el diámetro terrestre Venus 0.91 veces el diámetro terrestre Marte 0.52 veces el diámetro terrestre Júpiter 10.97 veces el diámetro terrestre Saturno 9.03 veces el diámetro terrestre Urano 3.73 veces el diámetro terrestre Neptuno 3.38 veces el diámetro terrestre Plutón 0.45 veces el diámetro terrestre

4



2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________________________________________________________________________



¿Dividir es repartir? (1/3)

Escuela:________________________________________ Fecha: ______________

Profr(a).: ___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido 7.3.2: Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre las relaciones que se pueden establecer entre los términos de la división. Consigna: Organizados en binas, encuentren 5 divisiones en las que el cociente sea 3.5 y el residuo sea cero. No se vale utilizar la calculadora. Consideraciones previas: El problema fundamental consiste en encontrar una división cuyo cociente sea 3.5, para lo cual, es probable que los alumnos recurran al tanteo y posteriormente se den cuenta de que si multiplican el cociente por un divisor cualquiera, obtienen el dividendo. Una vez que tienen una división, también se espera que se den cuenta de que pueden obtener otras con el mismo cociente si multiplican el dividendo y el divisor por el mismo número. Es muy importante que todos estos hallazgos sean de los alumnos y que el profesor sólo se encargue de socializarlos y de ponerlos en claro durante la confrontación. Para reforzar si hay tiempo, se puede plantear a los alumnos el siguiente problema: 1. Una cinta elástica puede alargarse hasta 2.5 veces de su longitud original. Cuando está completamente alargada alcanza una longitud de 20.5 m. ¿Cuál es su longitud normal? 2. Una canica pesa .025kg ¿cuántas canicas tendrá una bolsa que pesa 1.250kg. Suponiendo que todas las canicas pesan lo mismo? Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________________________________________________________________



¿Y los puntos? (2/3) Escuela:________________________________________ Fecha: ______________


Contenido 7.3.2: Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen adecuadamente el algoritmo convencional de la división para resolver problemas con números decimales. Consigna: En equipos, resuelvan los siguientes problemas. No se vale utilizar la calculadora. 1. Una caja de refrescos cuesta $ 104.40. Si ésta contiene 24 refrescos, ¿cuál es el costo de cada refresco? 2. El ancho de un rectángulo mide 1.25 m y su área es de 10 m2. Calcula la longitud de su largo. 3. Si un costal de azúcar contiene 61.5 kg, ¿cuántos paquetes de 0.750 kg se pueden llenar? Consideraciones previas: Los problemas anteriores permiten reflexionar sobre el algoritmo de la división con decimales, el cual ha sido estudiado por los alumnos en la primaria. En caso de que los alumnos tengan dificultades con este algoritmo conviene reestudiarlo, haciendo énfasis en la propiedad de multiplicar el dividendo y el divisor por una potencia de 10, para que el divisor quede entero. Para apoyar este trabajo se puede resolver y analizar la lección “divisiones que dan lo mismo” en el libro de texto de sexto grado de matemáticas. Observaciones posteriores:



¿?

1.25 m 10 m2

¿Más puntos? (3/3) Escuela:________________________________________ Fecha: ______________


Contenido 7.3.2: Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el algoritmo convencional de la división para resolver problemas con números decimales e interpreten correctamente los resultados obtenidos. Consigna: En equipos y sin usar calculadora, calculen y anoten en la siguiente tabla las velocidades que corresponden a Luis, Juan y Pedro. Posteriormente contesten las preguntas planteadas.

Nombre Distancia Tiempo Velocidad Luis 215.5 km 2.5 horas Juan 215.5 km 2.39 horas Pedro 215.5 km 2 horas, 6

minutos

a) ¿Quién hizo mayor tiempo? b) ¿Quién iba a mayor velocidad? Consideraciones previas: En primer lugar se espera que los alumnos sepan que mediante la división de la distancia entre el tiempo se pueden calcular las velocidades. Un problema adicional en el que seguramente será necesario que el maestro intervenga es el manejo de las unidades, dado que están dividiendo kilómetros entre horas, el resultado (la velocidad) será km/h (kilómetros por hora o kilómetros sobre hora). Un problema más es la manera en que se expresa el tiempo de Pedro, necesariamente hay que convertir 2 horas 6 minutos en un decimal y muchos alumnos pueden pensar que se trata de 2.6 h, lo cual es incorrecto. El maestro tendrá que intervenir para aclarar que 6 minutos es la décima parte de 60 minutos, por lo tanto son 6 horas y un décimo de hora, es decir, 6.1 horas. Observaciones posteriores:





Adivina adivinador (1/4) Escuela: _______________________________________ Fecha: _______________

Profr(a).: _____________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido 7.3.3: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales al resolver problemas que se pueden plantear con una ecuación de la forma cbaxbaxbax ,,

Consigna: De manera individual resuelvan los siguientes problemas: 1. Pensé un número, a ese número le sumé 15 y obtuve como resultado 27. ¿Cuál es el número que pensé?” 2. Pensé un número, lo multipliqué por 3 y obtuve 51. ¿Cuál es el número que pensé? 3. Pensé un número, lo multipliqué por 2, le sumé 5 y obtuve 27. ¿Cuál es el número que pensé? 4. Pensé un número, le saqué mitad y luego le resté 15, con lo que obtuve 125. ¿Cuál es el número que pensé? 5. La edad de Liliana es un número que sumado a 15 da como resultado 27. ¿Cuál es la edad de Liliana? 6. Si al doble de la edad de Juan le sumas 8, obtienes 32. ¿Cuál es la edad de Juan? Consideraciones previas: Es conveniente que después de resolver cada problema se analicen grupalmente los procedimientos utilizados. Los problemas propuestos sólo son ejemplos de muchos otros que se pueden plantear, procurando aumentar el rango de los números para “obligar” a los alumnos a utilizar algo más que el cálculo mental. Este algo más puede ser las operaciones inversas. Por ejemplo, en el problema 4, es probable que algunos alumnos utilicen el camino de regreso: a 125 sumarle 15 y al resultado multiplicarlo por dos, con lo que se obtiene el número pensado. Observaciones posteriores:



¿Qué pasa con las X? (2/4) Escuela: _______________________________________ Fecha: ________________

Profr(a).: ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido 7.3.3: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas y hagan planteamientos que impliquen encontrar números desconocidos a través de su representación. Consigna. En equipos encontrar el valor de x de los siguientes problemas: Consideraciones previas: Para el primer y segundo casos, es probable que no haya ninguna dificultad para que los alumnos encuentren el valor de x; sin embargo, para el tercer caso, es probable que los alumnos tengan dificultades en reconocer que xx 2 es igual a x3 , y que x3 por 3 es igual a x9 para que puedan llegar finalmente a la ecuación 369 x . Situación que se puede aprovechar para plantear algunas actividades en las que los alumnos expresen de manera breve el perímetro o áreas de figuras. Ejemplo:

lllllP 4 En este mismo contexto se puede introducir el uso del exponente 2 para expresar un

número elevado al cuadrado, por ejemplo, 2lA , en lugar de ll , así como la convención de eliminar el signo de multiplicación entre dos literales o entre número y letra. Observaciones posteriores:



4

x

Área = 152 m2 x = ________

a) b) c)

x

x

x

x x

Perímetro = 80 cm x = ________

3

2x x

Área = 36 m2 x = ________

________________________________________________________________________________________________________________________________



¿Ecuación es igualdad? (3/4) Escuela: _______________________________________ Fecha: _______________

Profr(a).: _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido 7.3.3: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Intenciones didácticas: Que los alumnos examinen y discutan las diversas formas de expresar simbólicamente una misma ecuación. Consigna. En equipos resolver el siguiente problema a partir de plantear una ecuación. En una tira como la del dibujo se quieren hacer cinco agujeros del mismo diámetro a distancias iguales. Si cada agujero es un circulo de 9 cm de diámetro, ¿cuánto deben medir las separaciones entre agujeros señaladas en la figura con la letra x? Consideraciones previas: Es probable que los alumnos no hagan uso de una ecuación para resolver el problema, sino que recurran a procedimientos aritméticos, por ejemplo: 9 x 5 = 45, 60 – 45 = 15, 15 ÷ 6 = 2.5 Por supuesto que el procedimiento anterior es correcto y hay que validarlo como tal, sin embargo después de esto conviene pedirles que ahora planteen una ecuación con la que se resuelva el problema. Es probable que lleguen a ecuaciones como las siguientes:

6099999 xxxxxx 6099999 xxxxxx

6045 xxxxxx 4560 xxxxxx

60456 x Después de dar tiempo suficiente para que los alumnos planteen la ecuación y la resuelvan, se hará una puesta en común, sólo de las ecuaciones que se hayan escrito en forma diferente. También es importante ver como las resolvieron. El asunto a enfatizar es cuál es la manera más abreviada de escribir la ecuación.

x x 9 cm

60 cm.

x

Una vez que todos estén de acuerdo en que la ecuación es 60456 x , hay que consolidar los procedimientos que ya han utilizado para resolver ecuaciones, que seguramente serán el cálculo mental y el uso de las operaciones inversas, pero además hay que introducir el uso de las propiedades de la igualdad, en particular la que nos permite efectuar cualquier operación para simplificar la ecuación, siempre y cuando dicha operación se efectúe en los dos miembros de la ecuación y con los mismos números. En el caso anterior sería: Ecuación original: 6x + 45 = 60 Se resta 45 en ambos miembros: 6x + 45 – 45 = 60 – 45 Resulta: 6x = 15 Se divide entre 6 a los dos miembros: 6x/6 = 15/6 Resulta: x = 2.5 Después de esto hay que comprobar que efectivamente 2.5 es el valor de x que satisface la ecuación. Hay que dedicar algún tiempo para consolidar este procedimiento. Observaciones posteriores:





¿Cuánto le toca a cada quién? (4/4) Escuela: _______________________________________ Fecha: _______________

Profr(a).: _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido 7.3.3: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas y planteen ecuaciones para encontrar números desconocidos. Consigna 1: En forma individual plantear una ecuación y resolverla para dar respuesta al siguiente problema. Se tienen 88 objetos que se reparten entre dos personas, la segunda persona recibe 26 menos que la primera. ¿Cuántos recibe cada una? Consigna 2: En equipos de 3 alumnos, plantear una ecuación y resolverla para dar respuesta al siguiente problema. Se reparten 76 balones en 3 grupos, el segundo recibe 3 veces el número de balones que el primero y el tercero recibe 4 balones menos que el primero. ¿Cuantos balones recibe cada grupo? Consideraciones previas: Es conveniente que después de resolver los problemas se analicen grupalmente los procedimientos utilizados. Una dificultad que se puede presentar a los alumnos es poder establecer la ecuación que relaciona todos los datos del problema. De presentarse dificultades de interpretación en el segundo problema, será necesario orientar a los alumnos para organizar la información del problema, por ejemplo: Grupos: A B C Balones: x 3x x - 4 Esto les puede facilitar el planteamiento de la ecuación. En caso de que haya tiempo, se puede plantear lo siguiente: Observaciones posteriores:



Construyendo polígonos (1/3) Escuela:_____________________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.3.4: Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Intenciones didácticas Que los alumnos: Establezcan la diferencia entre el ángulo interior y el ángulo exterior de un polígono. Construyan diferentes polígonos de acuerdo con la información que se dé acerca de éstos. Consigna 1: En equipo, utilizando las tiras de papel que se proporcionan, sin cortarlas, mediante dobleces únicamente, construyan las siguientes figuras planas regulares: triángulo (equilátero), cuadrado, pentágono y hexágono. Cada equipo construya por lo menos dos figuras distintas.

a) ¿Cómo determinaron dónde debían hacer el doblez? ¿Por qué? Consideraciones previas: Para la realización de esta actividad es necesario preparar el siguiente material: Previendo que se formen equipos de cuatro alumnos, será necesario entregar a cada equipo cuatro tiras de 30 cm de largo por 1 cm de ancho, de manera que en cada equipo cada alumno construya una de las figuras propuestas. En caso de que a los alumnos se les dificulte la identificación de las figuras planas, colocar en el pizarrón un cartel (preparado para este efecto) con las figuras que se pide obtener, sin nombrarlas o mostrar alguna de sus características. Plantear preguntas como las siguientes. ¿En qué son diferentes? ¿En qué se parecen? A continuación se les pide que tomen una de las tiras de papel y hagan un nudo con ella. ¿Qué figura se obtiene en los dobleces marcados? Consigna 2: Comenten en cada equipo los procedimientos utilizados para obtener las figuras anteriores y escriban la secuencia de pasos para exponer ante el grupo los que resulten diferentes. Consideraciones previas: Si se observa que la mayoría de los alumnos no tienen dificultades en formar algunos polígonos, se les puede pedir que sólo se muestren los casos en los que se haya detectado mayor problema.

Si después de unos diez minutos nadie ha construido una figura, habrá que utilizar un procedimiento dirigido para que el alumno siga las indicaciones y observe la forma en que se hacen los dobleces. Luego se preguntará sobre las características de la figura obtenida y si cumple o no con la tarea encomendada. Consigna 3: En los siguientes polígonos regulares se han marcado sus ángulos centrales, mídanlos.

A partir de las características observadas en las figuras construidas, completar la tabla siguiente:

Nombre # de lados # de ángulos Medida del ángulo interior

# de diagonales

Triángulo 4 2 5 120°

Consideraciones previas: En caso de que sea necesario, utilizar el cartel que se preparó con las figuras para la medición de los ángulos de las figuras construidas. Conviene analizar en colectivo los resultados de la tabla y discutir cuando son diferentes. También vale la pena analizar las regularidades de la tabla, por ejemplo, en todos los casos el número de lados coincide con el número de ángulos. Observaciones posteriores:





Buscando el centro (2/3) Escuela:_____________________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.3.4: Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Intenciones didácticas Que los alumnos busquen procedimientos para localizar el centro de una circunferencia dada y para dibujar un polígono regular inscrito en dicha circunferencia. Consigna 1: Organizados en binas construyan un hexágono regular inscrito en la siguiente circunferencia. ¿Cuál fue el procedimiento que siguieron para trazarlo? Consideraciones previas: Es probable que los alumnos se den cuenta de que necesitan el centro de la circunferencia pero no sepan como ubicarlo, en tal caso, primero hay que ver si la duda se puede resolver entre los propios alumnos. Si no es posible, se les puede sugerir el recurso de marcar tres puntos sobre la circunferencia, unirlos para trazar un triángulo y localizar el cruce de las mediatrices, que a la vez es el centro de la circunferencia. Consigna 2: Divide el hexágono construido en triángulos congruentes que tengan un vértice común. ¿Qué tipo de triángulos se forman al dividir el hexágono? Justificar la respuesta. Consideraciones previas: Aquí se introduce el concepto de congruencia, sin embargo no será motivo de estudio en este momento y se puede dejar sólo la idea que al decir triángulos congruentes es lo mismo que decir triángulos iguales en forma y tamaño. En caso de que haya tiempo, se les pedirá que tracen otro polígono regular inscrito en la circunferencia, que lo triangulen y digan qué tipo de triángulos se formaron ahora. Observaciones posteriores:


________________________________________________________________________________________________________________________________




Trazando mediatrices (3/3) Escuela:____________________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.3.4: Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Intenciones didácticas: Que los alumnos: Utilicen las mediatrices de los lados de un cuadrado para trazar un octágono regular. Averigüen como puede trazarse un polígono regular con base en la medida de un lado. Consigna 1: En forma individual, a partir de la siguiente figura construye un octágono regular inscrito en la circunferencia. Describe con claridad el procedimiento empleado y justifícalo. Consigna 2: Traza un cuadrado cuyo perímetro sea 48 cm y su área sea 144 cm2. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrado? Consigna 3: Traza un hexágono regular que mida 5 cm por lado y después contesta las preguntas que siguen. ¿Cuánto mide un ángulo interior del hexágono regular? ¿Cuál es el área del hexágono que trazaste? Consideraciones previas: Los alumnos saben que al triangular un hexágono regular se forman triángulos equiláteros. Con esta información podrán saber la medida de un ángulo interno del hexágono y trazarlo, sabiendo que un lado mide 5 cm. En caso de que se atoren se dibujará en el pizarrón un hexágono para ayudarles a analizar sus propiedades.

PROCEDIMIENTO: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cuánto se necesita? (1/4)

Escuela: _______________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F.E. Y M. Contenido 7.3.5: Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan relaciones entre los datos que ofrece el problema y de los elementos de las fórmulas para calcular perímetros y áreas de cuadriláteros. Consigna 1: De forma individual resuelvan el siguiente problema: Las aristas de una caja como las de la figura se van a reforzar con cinta plástica adhesiva. ¿Cuánta cinta se necesita?* Consigna 2: Ahora, calculen cuánto papel se necesitará para forrar la caja solamente por fuera. Consideraciones previas: Tomando en cuenta que en el Apartado 2.6 (Conocimientos y habilidades) ya se trató la justificación de fórmulas de perímetros y áreas no es necesario tratarlas de nuevo. En caso de que algunos alumnos no recuerden dichas fórmulas, puede realizarse una lluvia de ideas. Se deberán exponer algunos de los resultados obtenidos por los alumnos y se revisarán los procedimientos utilizados. En caso de que los alumnos tarden más del tiempo estimado, el profesor intervendrá con sugerencias que los ayuden a completar la actividad. Es probable que surjan pequeñas diferencias en los resultados debido a que algunos consideren mayor cantidad de papel por las pestañas, en cuyo caso es necesario que comenten con sus compañeros sus consideraciones. Si queda tiempo el profesor puede plantear el siguiente problema: El área de un triángulo es 35 cm² y su base mide 7 cm, ¿cuánto mide la altura?

* Libro para el Maestro pag 253

40 cm

12 cm

60 cm



2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso

para usted.


Usando fórmulas (2/4)

Escuela: _______________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F. E. Y M. Contenido 7.3.5: Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan relaciones entre los elementos de las fórmulas para calcular perímetros y áreas de cuadriláteros Consigna 1: Organizados en binas resuelvan el siguiente problema. Un campesino sembró trigo en un terreno de forma triangular. Al recoger la cosecha obtuvo 6 toneladas de trigo por cada hectárea y vendió a $900.00 cada tonelada. Considera la figura que representa el terreno y contesta las siguientes preguntas.

Nota: Recuerda que una hectárea equivale a 10,000 m².

Consideraciones previas: Aquí es importante que la cartulina usada en el plan anterior siga al frente del grupo, para que tengan dónde apoyarse en las equivalencias de unidades de medida. Nota: Recuerda que una hectárea equivale a 10,000 m². Consigna 2: Organizados en binas resuelvan el siguiente problema. Los campesinos del ejido Cuauhtémoc sembraron arroz en un terreno que tiene la forma de un trapecio rectangular. Al recoger la cosecha obtuvo 6 toneladas de arroz por cada hectárea y se vendió a $900.00 cada tonelada. Considera la figura que representa el terreno y contesta las siguientes preguntas.

2 850 m

5 700 m

a) ¿Cuántas hectáreas tiene el terreno?

b) ¿Cuántas toneladas de trigo se cosecharon?

c) ¿Cuánto se obtendrá de la venta de la cosecha de

trigo?

Consigna 3: Organizados en binas resuelvan el siguiente problema. Una compañía constructora va a fraccionar un predio en terrenos rectangulares cuya área sea de 600 m2. Elabora una tabla donde se expresen las medidas (en números enteros) que podrían tener de frente y de fondo los terrenos y cuánto mediría el perímetro en cada caso. Consideraciones previas: Es probable que los alumnos no relacionen el lenguaje de frente y fondo del terreno con la base y la altura del rectángulo, así que el maestro podría ayudarles con eso y, a partir de ahí, dejar que los alumnos decidan cómo diseñar la tabla que contenga los datos solicitados. Observaciones posteriores:




para usted.


a) ¿Cuántas hectáreas tiene el

terreno?

b) ¿Cuántas toneladas de trigo

se cosecharon?

c) ¿Cuánto se obtendrá de la

venta de la cosecha de trigo?

Perímetros y áreas (3/4) Escuela: _______________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F. E. Y M. Contenido 7.3.5: Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el aéreas y perímetro de polígonos regulares Consigna 1: En equipos resuelvan los siguientes problemas: 1.- El parque que se encuentra en el centro una colonia tiene la forma de un hexágono regular como se muestra en el dibujo.

2.- Antonio le pidió a un carpintero 6 tablas para unas sillas de la forma que se representa en el dibujo.

a) ¿Cuántos metros camina una persona que le da una vuelta completa al parque?______________________ ______________________________________________________________ b) ¿Cuál es el área de terreno que se empleó para el parque?____________ ______________________________________________________________

Consideraciones previas: En el inciso a) del problema 1, se espera que el alumno deduzca que el dar la vuelta completa al parque hace referencia al perímetro de la figura. En el inciso b) se pretende que el alumno utilice el perímetro calculado en el inciso a) para poder obtener el área del parque (entendiéndose que la figura representa el parque). Este será un buen momento para recordarle al alumno que 52 m es la apotema de la figura. En el problema 2, es probable que los alumnos se imaginen que la silla tiene la forma de las figuras por lo cual será necesario aclararles que la figura representa el asiento o el respaldo de la silla. El profesor deberá estar atento a que el alumno resuelva lo que se pide en cada inciso, ya que en el inciso a) se pide el área de las 6 tablas mientras que en el inciso b) se pide únicamente el perímetro de cada tabla (una). Observaciones posteriores:




para usted.


a) Cuánto miden en total de área las 6 tablas?_____________________ b) Cuál es el perímetro de cada tabla?_______________________

¿A cuánto equivale? (4/4) Escuela: _______________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F. E. Y M. Contenido 7.3.5: Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen los recursos de cambio y conversión de sistemas medición diferentes al resolver problemas de cálculo de perímetros y áreas. Consigna 1: En equipo, resuelvan el siguiente problema. De una revista inglesa se obtuvo el diseño de un jardín que se va a construir aquí. La forma que tendrá se muestra en el modelo. Con base en los datos que ahí aparecen, contesten las preguntas, convirtiendo las medidas al Sistema Internacional. a) ¿Cuántos metros cuadrados mide cada parte triangular? b) ¿Cuál es el área que ocupará la fuente? c) ¿Qué superficie ocupan los jardines con la fuente? d) ¿Qué área ocupa todo el jardín? (Considera el cuadrado que se forma con los

vértices exteriores de cada triángulo.) Consideraciones previas: Como cada triángulo (jardín) representa la mitad del área que ocupa la fuente (véase fig. 2), no es necesario conocer la altura del triángulo para calcular su área, pues ésta se puede obtener al dividir el área de la fuente entre dos. Para conocer el área que ocupan el jardín y la fuente tomando como referencia el cuadrado que los contiene, se puede obtener la longitud de las diagonales, sabiendo que la altura del triángulo es 50 pies, la distancia entre el jardín y la fuente es 3 pies, el lado del cuadrado mide 50 pies. Por tanto, como el cuadrado también es un rombo, se puede calcular con la fórmula

para el área del rombo: 2

DdA

Lado de la fuente = 50 pies Distancia de la fuente a cada área con jardín = 3 pies

fuente

Es probable que los alumnos no descubran fácilmente que cada triángulo equivale a la mitad del cuadrado del centro. Por tanto, el profesor puede orientarlos para que recorten el dibujo y encuentren esa relación. También se podría optar por la opción siguiente, donde los triángulos son equiláteros y se agrega el dato de su altura. a) ¿Cuántos metros cuadrados mide cada parte triangular? b) ¿Cuál es el área que ocupará la fuente? c) ¿Qué superficie ocupan los jardines con la fuente? c) ¿Qué área ocupa todo el jardín? (Considera el cuadrado que se forma con los vértices exteriores de cada triángulo.) Además, es necesario contar con una cartulina que contenga las equivalencias del sistema métrico decimal y del sistema inglés de medida, para colocarla frente al grupo, a fin de que los alumnos consulten los datos que consideren necesarios. En caso de que sobre tiempo después de analizar las respuestas al problema anterior, se podrán plantear conversiones directas entre las unidades del sistema métrico decimal, o del sistema inglés al decimal y viceversa. 2 km2 = _____________ m2 2460 m2 = ______________ cm2 10 yardas = __________ m 5 pulg. = _______________ cm 3 hectáreas = _________ m2 2.5 m = _________________ pulg.

Fig. 1 Fig. 2

Lado de la fuente = 50 pies Lado del triángulo = 50 pies Distancia de la fuente a cada área con jardín = 3 pies Altura de cada triángulo = 43.3 pies

fuente





para usted.


¿Y la proporción? (1/2) Escuela:________________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido 7.3.6: Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Intenciones didácticas Que los alumnos interpreten el factor constante fraccionario como dos operadores enteros y lo apliquen para resolver diversos problemas. Consigna: En binas, resuelvan el siguiente problema: Al fotocopiar una credencial, primero se amplia al triple y posteriormente la copia resultante se reduce a la mitad. ¿Cuál es el efecto final respecto a la credencial original? Si la credencial es un rectángulo de 10 por 6 cm, ¿qué área tendrá en la primera fotocopia? ¿Y en la segunda? Si necesitan calculadora, pueden utilizarla. Consideraciones previas: En esta sesión los operadores son enteros, “por 3” y “entre 2”, que al combinarlos resulta el factor 3/2. Ampliar al triple es equivalente a utilizar una escala de 3 a 1 y reducir a la mitad es equivalente a utilizar una escala de 1 a 2, así, el efecto final puede expresarse mediante la escala 3 es a 2 o 3/2. Conviene resaltar que 3/2 también puede interpretarse como “entre 2” “por 3”. Los efectos en la segunda fotocopia serán los mismos si primero se reduce a la mitad y luego se amplia al triple. Tanto para calcular el área de la primera fotocopia como para la segunda, los alumnos tienen que pasar por la medida de los lados, conviene resaltar que cuando ambos lados del rectángulo aumentan al triple el área aumenta nueve veces, mientras que cuando ambos lados se reducen a la mitad, el área se reduce cuatro veces. Vale la pena preguntar por qué sucede esto. Un error muy frecuente es pensar que el área aumenta o disminuye en la misma proporción que los lados. Habrá que ver si los alumnos incurren en él. Observaciones posteriores:




para usted.

¿Ampliando o reduciendo? (2/2) Escuela:________________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido 7.3.6: Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Intenciones didácticas Que los alumnos interpreten el efecto de la aplicación sucesiva de dos factores fraccionarios al resolver diversos problemas. Consigna 1: En equipos resuelvan el siguiente problema. El triangulo ABC, que aparece abajo, se reprodujo a una escala de 3/2, posteriormente, a partir de esta reproducción se hizo una más con una escala de 1/3 ¿Cuál es la escala de la segunda reproducción respecto al triángulo original? Consigna 2: En equipos, resuelvan el siguiente problema: Una fotografía se reduce a una escala de 1/3 y enseguida se reduce nuevamente con una escala de 1/4. ¿Cuál es la reducción total que sufre la fotografía original? Consideraciones previas: Si el problema de la consigna 1 resulta complicado, algunas preguntas que pueden orientar a los alumnos son:

a) ¿Cuánto miden los lados de la primera reproducción? ¿Qué factor fraccionario permite obtener estos valores?

b) ¿Cuánto miden los lados de la segunda reproducción? ¿Qué factor fraccionario permite obtener estos valores, considerando los valores de la primera reproducción?

c) ¿Qué factor fraccionario permite obtener directamente las medidas de los lados de la segunda reproducción, a partir de las medidas del triángulo original?

d) ¿Qué relación encuentran entre los factores mencionados en los incisos a) y b) y el mencionado en c)?

A

B

C

5 cm 4 cm

3 cm

Al trabajar con dos factores consecutivos fraccionarios conviene regresar a la descomposición de cada uno. Por ejemplo, por tres medios equivale a por tres entre dos y por un tercio equivale a por uno entre tres. Agrupando las operaciones queda por tres por uno, entre dos entre tres, es decir, por tres entre seis o por 3/6, que es el resultado de multiplicar 3/2 por 1/3. Es conveniente sugerir variantes del problema de la consigna 2, por ejemplo, cuando la fotografía se amplía dos veces consecutivas o cuando se amplía y posteriormente se reduce o viceversa, poniendo énfasis en el caso especial cuando las escalas son inversas, por ejemplo 3:1 y 1:3. Dada la complejidad de este apartado de conocimientos y habilidades es muy probable que haya necesidad de dedicar otras sesiones para consolidar, planteando otros problemas similares. En tal caso habrá que elaborar otros planes de clase. Observaciones posteriores:




para usted.


Jugando con dados y monedas Plan de clase (1/4)

Escuela:_________________________________________________ Fecha: _____________

Profr.(a): _____________________________________________ Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido.- 7.3.7: Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el conteo para determinar todos los resultados posibles de un evento aleatorio. Consigna 1: De manera individual contesten lo siguiente: ¿Cuáles son todos los posibles resultados al lanzar una moneda? ¿Cuáles son todos los posibles resultados al lanzar un dado? ¿Cuáles son todos los resultados posibles al hacer girar un disco circular dividido en 15 partes? Consideraciones previas: Si las preguntas planteadas resultan muy sencillas para los alumnos, proponga algunas más complejas como las siguientes:

a) Lanzar simultáneamente dos monedas. b) Lanzar simultáneamente dos dados.

c) Lanzar simultáneamente una moneda y un dado. d) Lanzar simultáneamente dos monedas y un dado, etcétera.

Un recurso muy útil para conocer todos los posibles resultados de un experimento aleatorio son los diagramas de árbol. Una vez que los alumnos hayan calculado los resultados posibles de varios experimentos, llámele “Espacio muestral” a cada uno de dichos conjuntos y pida a los alumnos que ellos escriban su definición con sus propias palabras. Si fuera necesario consolidar la noción de experimentos aleatorios y la descripción del espacio muestral, se les puede pedir a los alumnos que ellos inventen experimentos aleatorios y determinen el espacio muestral. Pueden intercambiar experimentos para determinar los espacios muestrales.

Plan de clase (2/4) Escuela:_________________________________________________ Fecha: _____________

Profr.(a): _____________________________________________ Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido.- 7.3.7: Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen la noción de probabilidad clásica en la resolución de problemas y comparen la probabilidad de dos o más eventos. Consigna 2: En equipo resuelvan el siguiente problema. Al realizar el experimento de lanzar un dado:

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener el 4? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 3? d) ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o un múltiplo de 3? ¿Por qué?

e) ¿Qué es más probable, que se obtenga un número impar o un múltiplo de 2? ¿Por qué?

Consideraciones previas: Aunque en la primaria los alumnos ya han resuelto ejercicios semejantes, es posible que algunos tengan dificultades para abordarlos, si esto ocurre, hay que promover una discusión para recordar que la probabilidad de obtener un resultado puede expresarse con la razón del número de casos favorables entre el número total de resultados posibles. Algunos problemas un poco más complejos podrían ser los siguientes: Se tiene un disco giratorio dividido en 10 sectores circulares iguales, tres de los cuales están

marcados con 1, dos con 2 y cinco con 3. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 1? ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 2? ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con un número

diferente a 1? ¿Qué es más probable, que el dardo se clave en un sector marcado con 1 o en uno

marcado con 3? Al realizar el experimento de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntos obtenidos:

¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 puntos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3 y menor que 6? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o uno impar? ¿Por qué?

¿Qué es más probable, que se obtenga un número múltiplo de 2, un número múltiplo de 3 o un múltiplo de 4? ¿Por qué?





para usted.


Plan de clase (3/4) Escuela:_________________________________________________ Fecha: _____________


Contenido.- 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la escala de valores de la probabilidad y que utilicen diferentes formas de expresarlos. Consigna 3: Organizados en equipos contesten las siguientes preguntas:

1. Al realizar el experimento de lanzar un dado. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener el 4? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 10? ¿Por qué? e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 7? ¿Por qué?

Consideraciones previas: La intención de las preguntas es que los alumnos descubran que la escala de la probabilidad va desde 0, es decir desde que el evento es imposible que ocurra, hasta el 1 cuando es seguro que el evento suceda. Algunas preguntas adicionales que permiten este análisis son las siguientes: ¿Se podría dar el caso en que el número de resultados favorables sea mayor que el número de resultados posibles? ¿Cuál es el mayor valor que puede tener la medida de la probabilidad? ¿Y el menor? ¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir? ¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad uno de ocurrir? Cuando se ha terminado el análisis de las preguntas puede pedírseles que intenten representar las probabilidades encontradas con otras expresiones equivalentes. Concluir que la probabilidad puede expresarse con una fracción, con un decimal o con un porcentaje. Así la respuesta a la pregunta c) es ½, 0.5 o 50%. Observaciones posteriores:




para usted.


Plan de clase (4/4)

Escuela:_________________________________________________ Fecha: _____________


Contenido.- 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. Intenciones didácticas: Que los alumnos realicen experimentos para conocer la tendencia de la probabilidad frecuencial en la medida que aumenta el número de repeticiones. Consigna 4: En equipo realicen el siguiente experimento y después contesten lo que se pide. Hagan cinco series de volados y registren sus resultados en la tabla.

Serie Número de volados

Número de águilas

Número de soles

Probabilidad frecuencial de obtener águila: número de águilas entre el número de volados.

Probabilidad frecuencial de obtener sol: número de soles entre el número de volados.

1 5 2 10 3 20 4 40 5 50

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila sin realizar el experimento? Compara esta probabilidad con los resultados que obtuvieron en la columna de probabilidad frecuencial de obtener águila, ¿con cuál se aproxima más? Escriban sus conclusiones.

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener sol sin realizar el experimento? Compara esta probabilidad con los resultados que obtuvieron en la columna de probabilidad frecuencial de obtener sol, ¿con cuál se aproxima más? Escriban sus conclusiones.

Consideraciones previas: Es posible que los alumnos tomen en cuenta los resultados de una serie para la siguiente, cuidar que esto no suceda, cada serie de volados es independiente a las demás. Si hubiera dificultades para llenar las columnas 5 y 6, comentar que a diferencia de la probabilidad clásica aquí se considera el número de resultados favorables obtenidos en el experimento. Si quedará alguna duda respecto a la aproximación de la probabilidad frecuencial a la clásica conforme se aumenta el número de volados, se podría realizar el experimento con 100 volados, en equipos o a nivel grupal. Observaciones posteriores

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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para usted.


1

¿Cuál es la más grande? (1/3) Escuela:________________________________________ Fecha: _____________

Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido 7.3.8: Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten información contenida en tablas de frecuencia absoluta y relativa. Consigna 1: En forma individual, analicen la información de la siguiente tabla y respondan a las preguntas que se hacen enseguida.

LAS CIUDADES MÁS GRANDES DEL MUNDO CIUDAD NÚM. DE

HABITANTES (EN MILLONES)

PAÍS CONTINENTE

Tokio 23.4 Japón Asia México 22.9 México América Nueva York 21.8 EU América Sao Paulo 19.9 Brasil América Shangai 17.7 China Asia Beijing 15.3 China Asia Río de Janeiro 14.7 Brasil América Los Ángeles 13.3 EU América Bombay 12 India Asia Calcuta 11.9 India Asia Seúl 11.8 Corea del Sur Asia Buenos Aires 11.4 Argentina América Yakarta 11.4 Indonesia Oceanía París 10.9 Francia Europa Osaka-Kobe 10.7 Japón Asia El Cairo 10 Egipto África Londres 10 Inglaterra Europa Fuente: Libro para el maestro, Matemáticas, S. E. P., 2001. 1. ¿Cuáles son las dos ciudades más grandes del mundo y en qué país y continente se encuentran? 2. ¿Cuántos millones de habitantes suman las ciudades más grandes que pertenecen al continente americano? 3. ¿En qué continente se concentra la mayor cantidad de ciudades con más habitantes?

2

Consigna 2. Siguiendo el trabajo en equipo, analicen la siguiente tabla y contesten las preguntas con base a la información que se presenta en ella. CUADRO COMPARATIVO DE LOS CONTINENTES CONTINENTE SUPERFICIE

(MILES DE KM2) % NÚM.

HABITANTES (EN MILLONES)

%

África 30 310 20 694 12.6 América 42 500 28 743 13.5 Asia 44 900 30 3 331 60.7 Europa 9 900 7 695 12.7

Oceanía 8 500 6 27 0.5 Antártida 14 000 9 - - Total mundial 150 000 100 5 490 100 Fuente: Libro para el maestro, Matemáticas, S. E. P., 2001. * Se incluye la parte europea de Rusia (286 millones) 1. ¿Qué continente tiene la mayor extensión territorial? 2. Mencionen 3 continentes que juntos no rebasen al continente Americano en superficie. 3. ¿Cuál es el motivo de que la Antártida tiene vacíos los casilleros de Número Habitantes y %? 4. ¿En qué continente viven más personas por kilómetro cuadrado? 5. ¿Cuál continente tiene más habitantes por kilómetro cuadrado, América o Europa? ¿Cómo puedes saberlo? 6. ¿Cómo se obtienen los porcentajes de superficie y de núm. de habitantes? Consideraciones previas: La actividad de la consigna 1 se deberá realizar y comentar en los primeros 15 ó 20 minutos de la clase. Si existiera dificultad para contestar la pregunta 3 de la actividad 2, aprovechar la ocasión para que los alumnos investiguen la ubicación y condiciones climáticas de este lugar. La respuesta 6 de la actividad 2, pudiera causar ciertos problemas a los estudiantes; si esto sucede, recordar y si es necesario volver a revisar la solución de algún problema del plan 2/4 del Conocimientos y habilidades 6, en el cual se estudia cómo determinar qué tanto por ciento representa una cantidad respecto a otra. Observaciones posteriores:



3


para usted.


4

¿Absoluta o relativa? (2/3) Escuela:_______________________________________ Fecha: _____________


Contenido 7.3.8: Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten la información contenida en tablas incompletas de frecuencia absoluta y relativa y obtengan los datos faltantes. Consigna: Trabajen en binas para completar las siguientes tablas sobre las calificaciones obtenidas por los alumnos de dos grupos de primer grado. Posteriormente contesten las preguntas que se hacen. Pueden utilizar calculadora.

GRUPO 1º “Á” Calificación Frecuencia

absoluta Frecuencia relativa %

10 3 15 9 5 8 6 7 15 6 2 5 5 25 Total 20 100

1. ¿Cuál es el grupo con mejor índice de aprobación? y ¿Por qué? 2. ¿Cuántos alumnos reprobaron en cada grupo? ¿Cuál es el índice de

reprobación en cada grupo? 3. ¿Por qué a frecuencias absolutas iguales en ambas tablas, les corresponde

frecuencias relativas diferentes? Consideraciones previas: Si los alumnos tuvieran dificultades para obtener los valores faltantes de las tablas, vincular con el subtema de porcentaje trabajado en el Conocimientos y habilidades 6. Es posible que los alumnos identifiquen que en la tabla del 1º “B” las frecuencias relativas no suman exactamente 100%, aprovechar la oportunidad para practicar el redondeo y encontrar la razón por la que no se obtiene exactamente 100%. Si el tiempo lo permite, con la intención de distinguir la información que proporciona una frecuencia absoluta y una relativa, podría plantearse la siguiente situación: si en un grupo cualesquiera de secundaria hay 5 reprobados en matemáticas, ¿son muchos o pocos? ¿de qué depende la respuesta?

GRUPO 1º “B” Calificación Frecuencia

absoluta Frecuencia relativa %

10 3 12.5 9 4 8 21 7 16.67 6 2 8.33 5 6 Total 24 100

5





para usted.


6

¿Quién es más alto? (3/3) Escuela:________________________________________ Fecha: _____________


Contenido 7.3.8: Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. Intenciones didácticas: Que los alumnos organicen los datos de una muestra y construyan una tabla con frecuencias absolutas y relativas. Consigna. En equipos resuelvan el siguiente problema: El profesor de Educación Física recopiló las estaturas (en metros) de los alumnos de un grupo de nuestra escuela. Analicen y organicen los datos para presentar la información en la tabla de la derecha. Pueden utilizar su calculadora. 1.57, 1.53, 1.55, 1.56, 1.52, 1.54, 1.55, 1.58, 1.57, 1.56, 1.55, 1.53, 1.57, 1.54, 1.52, 1.55, 1.58, 1.56, 1.55, 1.55, 1.54, 1.58, 1.53, 1.56, 1.54, 1.56, 1.55, 1.54, 1.55, 1.53, 1.56 Consideraciones previas: Si los alumnos preguntan cuantas líneas debe llevar su tabla, se les responderá que es un acuerdo del equipo, sin embargo hay que tener en cuenta que en este son 7 datos distintos, de 1.52 a 1.58 y que no hay forma de determinar rangos con la misma amplitud; por lo que lo más pertinente es utilizar 7 líneas, una para cada estatura. Observaciones posteriores:



Estatura F. absoluta F. relativa

7



¿Ya te ubicaste? Pues ubícate (1/4) Escuela_____________________________________ Fecha: _________ Profesor(a):____________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos Intenciones didácticas: Que los alumnos ubiquen números positivos y negativos auxiliados de un termómetro y una línea del tiempo. Consigna 1: De manera individual resuelve los siguientes problemas:

Ubica las siguientes temperaturas en el termómetro.

Durante el día, en Cd. Juárez se registró una temperatura mínima de 15.5º C sobre cero. En el mismo día la temperatura máxima fue de 25.3º C sobre cero En la ciudad de Moscú, en invierno, la temperatura máxima es de 3.5º C sobre cero, pero durante la noche esta temperatura desciende hasta los 20 ½ º C bajo cero

Consigna 2: Lee las siguientes citas históricas; luego realicen lo que se pide y al terminar las actividades dar a conocer al grupo los resultados.

A) En el año 340 antes de Cristo surge la figura de Alejandro Magno e implanta la época helenística, periodo que duró hasta el inicio del imperio romano.

B) En el año 2 800 antes de Cristo se da la unificación de Egipto, atribuida al faraón Menes. C) En el año 630 después de Cristo un profeta árabe llamado Mahoma, se convirtió en la figura

más importante de la edad media. Es fundador de una de las religiones más importantes. D) En el año 1 600 antes de Cristo surge el poder de los hititas, quienes se instalaron en Asia

Menor. Su imperio se extendió hasta Siria. E) Los españoles logran conquistar la ciudad de Tenochtitlan en el año 1 521 después de Cristo

e inician la conquista de México. F) La revolución rusa se inicia en el año 1917 después de Cristo. G) En el año 30 antes de Cristo se inicia la época de los emperadores romanos. H) En el año 620 antes de Cristo nace Tales de Mileto, filósofo griego que murió a la edad de 89

años. 1. Ubica en la línea del tiempo que a continuación se te presenta los años correspondientes a las citas históricas.

2. Ordena las citas históricas de lo más antiguo a lo más reciente. 3. Si Tales de Mileto vivió 89 años, ¿en qué periodo murió, antes o después de Cristo? ¿Por qué? Consideraciones previas: Es necesario tener dibujados el termómetro y la línea del tiempo en el pizarrón para que cuando se haga la puesta en común de los resultados, los alumnos puedan pasar a ubicar las citas históricas. En caso necesario, orientar a los alumnos planteando preguntas como: En el termómetro, ¿Qué significa “sobre cero” y “bajo cero”? En la línea del tiempo, ¿dónde inicia el antes y el después de Cristo? ¿Con qué número se marca ese punto de inicio? ¿En qué dirección se cuenta los años transcurridos antes de Cristo? ¿Y después de Cristo? Al comparar dos fechas distintas representadas en la recta numérica, ¿Cuál es más reciente? La puesta en común de las respuestas a los cuestionamientos debe llevar a establecer el convencionalismo de “llamar negativos a los números que se ubican a la izquierda del cero y positivos a los que se localizan a la derecha de cero”. Observaciones posteriores:




¿Y ahora donde estoy? (2/4) Escuela:__________________________________________ Fecha: _____ Profesor(a): _______________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos Intenciones didácticas: Que los alumnos hagan uso de la recta numérica para representar situaciones con números positivos y negativos. Consigna. En binas, leer la siguiente información, luego realizar lo que se pide y al terminar las actividades dar a conocer al grupo los resultados. Al terminar la temporada de fútbol mexicano, la tabla de resultados se encontraba muy apretada para definir cuáles eran los ocho equipos que pasaban a la liguilla; por lo que se acordó tomar en cuenta el resultado de sumar los goles a favor y en contra de cada equipo; luego ordenar los equipos para elegir a los ocho que resultaran con mejor posición; es decir, con mayor número de goles a favor o con menor número de goles en contra. Los resultados de sumar los goles a favor y en contra son los siguientes: Morelia 8 goles a favor, Monterrey 5 goles en contra, Toluca 3 goles a favor, América 7 goles en contra, Jaguares 4 goles en contra, Pumas 5 goles en contra, Cruz Azul 7 goles en contra, Tigres 6 goles a favor, Chivas 5 goles a favor, Santos 3 goles a favor, Atlante 2 goles en contra, Querétaro 4 goles a favor. 1. Ubica en la recta numérica los equipos en función del número de goles a favor o en contra.

2. Anota en la siguiente tabla los ocho equipos que pasan a la liguilla de acuerdo con la actividad anterior.

POSICIÓN EQUIPO Primer lugar Segundo lugar Tercer lugar Cuarto lugar Quinto lugar Sexto lugar Séptimo lugar

a) Anota los nombres de dos equipos que están a la misma distancia de cero.

b) Si un equipo acumuló durante el torneo 15 goles a favor y 15 en contra, ¿cuál es su resultado?

c) El resultado final del equipo Morelia fue 8 goles en contra. ¿Cuántos goles a favor y cuántos

en contra pudo haber acumulado?

Consideraciones previas: Es necesario tener dibujada la recta numérica en el pizarrón para que cuando se haga la puesta en común de los resultados, los alumnos puedan pasar a ubicar a los equipos en función del número de goles a favor o en contra.

Es muy importante aprovechar la puesta en común, en particular las respuestas de los incisos a y b para introducir el concepto de números simétricos, como dos números cualesquiera que están a la misma distancia de cero. Decir además y hacer que los alumnos verifiquen con varios ejemplos, que la suma de dos números simétricos es cero.

Al hablar de distancia entre dos números o de la distancia entre un número cualquiera y cero hay que decir que la distancia siempre es un número positivo y a partir de aquí hay que introducir el concepto de valor absoluto, como la distancia de un número al cero. Así, la distancia de -5 a cero es 5 y la distancia de 5 a cero también es 5, de manera que el valor absoluto de -5 es igual a 5 y el valor absoluto de 5 es igual a 5. Esto se denota así: I-5I = 5; I5I = 5.

Si queda tiempo, se sugiere la siguiente actividad: Completa la tabla anotando el simétrico y valor absoluto de cada número que se

encuentra en la parte superior de la misma.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Como hace frio ¿a qué temperatura estamos? (3/4) Escuela:___________________________________________ Fecha: ________ Profesor(a): _________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que impliquen el uso de números con signo. Consigna. Con base en la siguiente información, en equipos, indiquen las variaciones entre las temperaturas máximas y mínimas. Traten de justificar sus respuestas.

Ciudades Temperatura máxima Temperatura mínima Variación

A 24 °C 7 °C

B 11 °C -2 °C

C 4.2 °C -1 °C

D -2.5 °C -15.5 °C

Consideraciones previas: Es probable que algunos alumnos se apoyen de una recta numérica para justificar sus resultados; sin embargo, en caso de que no suceda, sería conveniente sugerir que utilicen la recta numérica, ya que es un recurso muy útil para dar sentido a los números con signo. La ubicación de los números con signo en la recta numérica y la exposición por parte de los alumnos de los procedimientos empleados, puede ser enriquecida para analizar que la variación entre dos temperaturas equivale a encontrar la distancia entre dos números representados en la recta numérica y, como se dijo antes, la distancia siempre es un número positivo. Después de analizar el problema anterior se puede plantear el siguiente: En una ciudad X, la temperatura al anochecer era -7 °C, por la mañana bajó otros 3 grados y a mediodía subió 7 grados. ¿Cuál era la temperatura a mediodía? A diferencia del problema anterior, en éste interviene la suma de números con signo. También puede utilizarse como apoyo la recta numérica. Observaciones posteriores:




Los Matemáticos Griegos (4/4) Escuela:___________________________________________ Fecha: ________ Profesor(a): ________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido: 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que impliquen el uso de números con signo. Consigna. En binas, resuelvan el siguiente problema. Traten de justificar sus respuestas. En la siguiente línea del tiempo se ubican las fechas en las que el matemático griego Arquímedes nació y murió. a) ¿Cuántos años vivió? b) ¿Cuántos años han transcurridos desde que murió? Consideraciones previas: Para la pregunta del inciso b, es probable que algunos alumnos resten el año actual menos 212, cuando en realidad, para obtener la respuesta correcta es sumar 212 más los años transcurridos después de Cristo. En caso de que esto suceda, es importante plantear algunas preguntas de reflexión como por ejemplo, ¿Cuántos años transcurrieron desde que murió hasta el nacimiento de Cristo? ¿Cuántos años han transcurrido desde el nacimiento de Cristo? Observaciones posteriores:




-287 -212 0

Nació Murió

Antes de Cristo

Después de Cristo

Quiero trazar un Círculo ¿cómo le haré? (1/3) Escuela: _________________________________________Fecha: __________ Profesor(a): _______________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son: circunferencia(s) que pasen por un punto dado. Consigna 1. Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por el punto A, marquen el centro y desígnenlo con la letra O. Al terminar, respondan las preguntas que aparecen abajo. A . a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por el mismo punto A?___________ Si se puede, trácenla. b) ¿Cuántas circunferencias se pueden trazar?_____________________ c) ¿Qué relación hay entre el punto A, el punto O y la circunferencia? _____________ __________________________________________________________ d) ¿Cómo se llama el segmento que une el punto A con el centro de cada círculo?________________________________ e) ¿Tienen igual medida todos los segmentos que unen el centro de los círculos trazados con el punto A?______________ Consideraciones previas: Es importante que los alumnos se den cuenta de que se puede trazar un número infinito de circunferencias que pasen por el punto A; además, también es conveniente que reflexionen en que los círculos pueden ser iguales o diferentes, esto es, cuyo radio tenga la misma medida o bien que sea de longitud diferente. Asimismo, si ningún equipo recuerda el nombre del segmento AO, el profesor deberá mencionarlo y señalar que el tamaño de éste varía de acuerdo con el tamaño de la circunferencia. En el caso de que la escuela cuente con el software de Geometría Dinámica Cabri, Geometr SketchPad, u otro, es conveniente que el maestro lo use en todo el apartado.

En caso de que haya tiempo, se puede plantear la siguiente actividad: Consigna 2: Individualmente, en una hoja blanca marca un punto e identifícalo con la letra T. Después, haz un diseño con círculos cuyo radio sea el mismo y que todos pasen por el punto T. Al finalizar, compara tu diseño con los de tus compañeros. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Compas o Compás ¿Cómo está eso? (2/3) Escuela:_______________________________________ Fecha: ___________ Profesor(a):____________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son: círculo(s) que pasen por dos puntos. Consigna. En binas, tracen con el compás una circunferencia que pase por los puntos A y B dados a continuación, y marquen el centro del círculo. Al terminar contesten las preguntas.

A . . B

a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por estos mismos puntos? ____________ Si se puede, trácenla.

b) ¿Cuántas circunferencias que cumplan esta condición se pueden trazar? ¿Por qué?___________________________________________________

c) Unan con una recta los puntos A y B. d) Unan con una recta los centros de los círculos que trazaron. e) ¿Cómo son las dos rectas anteriores entre sí? f) ¿Qué relación tiene el segmento AB con todos los círculos que trazaron? g) ¿Existe algún círculo donde el segmento AB sea diámetro?

Consideraciones previas: Aquí se debe rescatar el concepto de cuerda y que el diámetro es la mayor de las cuerdas que tiene el círculo. También es importante que establezcan que si el segmento dado es cuerda del círculo, éste no es único, salvo en el caso en que se trate de la máxima cuerda (diámetro). Asimismo, se deberá recuperar el concepto de mediatriz y concluir que los centros de estos círculos quedan sobre la mediatriz del segmento AB, por lo tanto se pueden hacer tantos círculos como puntos contenga la mediatriz de la cuerda.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Hay que pintar la cancha (3/3) Escuela: _______________________________________ Fecha: __________ Profesor(a):______________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son: círculo(s) que pasen por tres puntos. Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema. El círculo central de una cancha de básquetbol se borró por el uso, por la proximidad de un campeonato se necesita repintarlo y sólo quedaron tres marcas como se muestra abajo. ¿Cómo sugerirías a los pintores que trazaran el círculo?

Consideraciones previas: Si los alumnos no logran percibir la necesidad de encontrar el punto de intersección de las mediatrices de dos de los segmentos que resulten de unir los puntos, el profesor puede recordar cómo realizaron la actividad del plan anterior, donde trazaron la mediatriz del segmento para ubicar el centro del círculo. Observaciones posteriores:




¿Pues quien tiene la razón? (1/3) Escuela: _________________________________________________Fecha: _____________ Profesor(a):_____________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan que π es la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro y con base en esto justifiquen la fórmula para calcular el perímetro del círculo (longitud de la circunferencia). Consigna 1. De manera Individual, midan el diámetro y la longitud de la circunferencia de los círculos que se dieron, completen la tabla. Círculo Medida del

diámetro Longitud de la circunferencia

Longitud de la circunferencia entre el diámetro

1 2 3 4 5 Consigna 2. Organizados en binas, trace cada uno un círculo de la medida que desee, pero que sea diferente a la de sus compañeros de equipo y continúen la tabla anterior, agreguen las filas que les sean necesarias. Al terminar contesten las preguntas.

a) ¿A qué valor se parece el resultado obtenido en la última columna? b) Con base en la actividad realizada, escriban por qué el perímetro del círculo se calcula con la

fórmula: C = πd Consideraciones previas: Es necesario entregar a cada equipo un juego de 5 círculos (cuyos radios midan 5, 8, 10, 15, 20 cm, respectivamente y numerados del 1 al 5). Asimismo, los alumnos podrán usar regla o cordones para medir la longitud de las circunferencias. Aunque es probable que ya hayan realizado en la primaria una actividad semejante, es conveniente hacerla nuevamente para que profundicen en la reflexión y puedan justificar la fórmula para calcular el perímetro del círculo. Tomar el valor de π = 3.14

La Circunferencia o el Diámetro (2/3) Escuela:_____________________________________ Fecha: ___________ Profesor(a): ____________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre la medida del diámetro y la longitud de la circunferencia. Consigna 1. En equipo, revisen la tabla que elaboraron en la clase anterior. Dividan el diámetro uno entre el diámetro dos y hagan lo mismo con las circunferencias correspondientes. Continúen para completar los datos de la siguiente tabla. Al terminar escriban alguna conclusión que obtengan de lo que ahí se observa.

Razón entre los diámetros

Razón entre las circunferencias

d1/d2 = C1/C2 = d2/d3 = C2/C3 = d3/d4 = C3/C4 = d4/d5 = C4/C5 = d3/d5 = C3/C5 =

Consigna 2. En equipo, determinen la relación que hay entre las longitudes de dos circunferencias que miden 12 y 24 m, respectivamente. Encuentren también la relación entre las medidas de sus diámetros. Consideraciones previas: Es importante que los alumnos encuentren que al duplicar, triplicar, etc., la medida del diámetro de un círculo, su circunferencia aumenta en la misma proporción y viceversa. En este caso, se tiene una relación de proporcionalidad directa y ésta se puede representar gráficamente. Nota: Presentar los círculos previamente elaborados para la próxima clase y Tomar el valor de π = 3.14 Observaciones posteriores:


2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?___________________________________________________________________________________

Mejor prendo el radio (3/3)

Escuela: ____________________________________ Fecha: _______________ Profesor(a): ____________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F E y M Contenido 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan la relación que existe entre r2 y el área del círculo y con base en esto justifiquen la fórmula para calcular el área del círculo. Consigna 1. En equipo realicen la actividad descrita:

a) Para cada uno de los círculos utilizados en la primera sesión de este apartado, (cuyos radios miden 3, 5, 8, 11 y 13 cm) construyan en cartulina 4 cuadrados con la medida de cada uno de los radios. (Cada equipo realiza el ejercicio con un círculo diferente).

Ejemplo: 10 r = 10 10

b) Intenten con los 4 cuadrados “llenar” el área del círculo respectivo. Pueden hacer recortes de

los cuadrados para que el área esté cubierta lo mejor posible.

c) Contesten las preguntas:

¿Cuántos cuadrados fueron necesarios para cubrir el área del círculo? ¿Obtuvieron los otros equipos similitud en el resultado anterior? ¿Por qué piensas que ocurre esto? ¿Qué tiene que ver la actividad anterior con la fórmula para encontrar el área del círculo?

(Recuérdala). Consideraciones previas: Es necesario que el maestro prevea que el material (círculos, tijeras y cartulinas) esté en el aula antes de comenzar la actividad. Tomar el valor de π = 3.14 El maestro debe supervisar la actividad y aclarar las dudas que tengan los alumnos y dar las sugerencias para que realicen el ejercicio lo mejor posible. Debe dar la indicación de que en cuanto termine cada equipo anote su resultado en una tabla que él escribirá en el pizarrón:

Medida del radio Número de cuadrados que

fueron necesarios para cubrir el área del círculo.

5 8

10 15 20

El maestro deberá privilegiar en la confrontación de las respuestas la justificación de la fórmula del círculo; en caso de que los alumnos no encuentren la relación de la actividad con la fórmula, él deberá iniciar la reflexión y hacer las conclusiones que considere pertinentes. Observaciones posteriores:





Arréglense los tres (1/3) Escuela:___________________________________ Fecha: _____________ Profesor(a): _________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido: 7.4.4. Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. Intención didáctica: Que los alumnos utilicen la regla de tres, para resolver problemas de proporción directa, utilizando valores enteros. Consigna 1: De forma individual, resolver los siguientes problemas:

a) Un trabajador descansa dos de cada siete días. En 35 días, ¿cuantos días habrá descansado?

b) Una caja con 16 libros iguales, pesa 28 kg. ¿Cuál será el peso de 7 cajas, con la misma cantidad de libros?

Consideraciones previas: En ejercicios anteriores, el alumno ya resolvió problemas de reparto proporcional con métodos personales y tablas de valor faltante, ahora se planteara el uso de la regla de tres, enfatizando la importancia del acomodo de las razones correctas. En el caso del problema a), la razón es de: 2 días descanso -------------7 días trabajados x días descanso ------------35 días trabajados = (35) (2) / 7 = 10 A lo cual, el alumno debe realizar las operaciones correctas, multiplicando cruzado y dividiendo directo. En el caso del inciso b), puede ser que el alumno lo razone de dos maneras: Encontrando primero el total de libros de las 7 cajas, y después se realiza el mismo procedimiento: 16 libros * 7 cajas = 112 libros 16 libros ------------ 28 kg 112 libros ------------ x kg (112) (28) / 16 = 196 kg Otra manera seria directamente aplicando la regla de tres: 1 caja ----------------------28 kg 7 cajas -------------------- x kg (7) (28) / 1 = 196 Observaciones posteriores:




Donde come uno comen dos (2/3) Escuela: ______________________________________________ Fecha: _________ Profesor(a): ___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido: 7.4.4. Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. Intención didáctica: Que los alumnos utilicen la regla de tres, para resolver problemas de proporción directa, utilizando valores fraccionarios. Consigna 2: En binas, resolver los siguientes problemas:

a) En un grupo de primer año de secundaria, 3 de cada 8 alumnos tienen menos de 13 años de edad. Si el grupo tiene 40 alumnos, ¿Cuántos de ellos son menores a 13 años?

b) En un convivio de alumnos del primer grado de secundaria, se compraron 6 pizzas para todos

los alumnos, si a cada alumno le toco de a 2/12 de pizza, ¿Cuántos alumnos asistieron al convivio ese día?

Consideraciones previas: Es necesario que se analicen con profundidad los procedimientos empleados por los alumnos y que al recapitular a todos les quede claro que lo que está en juego en este tipo de problemas es averiguar qué parte es una cantidad de otra, estableciendo correctamente la proporción para cada caso. En el inciso a) la respuesta correcta 3 ---------------- 8 X ---------------- 40 x= 15 alumnos O bien, con la razón de proporción 3 de cada 8 < de 13 años, por lo tanto cuántos de 40 alumnos 3 < 13 entonces x x = (3x40) = 120 = 15 8 40 8 8 En el inciso b) 6 pizzas ---------------- x (alumnos) 2/ 12 ---------------- 1 alumno x= 36 alumnos Es posible que el alumno compruebe su procedimiento de la siguiente manera: (6x12) = 72 ÷ 2 = 36 Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ______________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________



¿La regla de quién? (3/3)

Escuela: ____________________________________________ Fecha: ________________ Profesor(a): ________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido: 7.4.4. Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. Intención didáctica: Que los alumnos utilicen la regla de tres, para resolver problemas de proporción directa y reparto proporcional, donde el resultado es un número entero y/o decimal. Consigna 2: En equipos, resolver los siguientes problemas:

a) Si una vela de 25 cm dura encendida 50 hrs. ¿Cuánto tiempo durara encendida otra vela del mismo grosor, de 12, 18, 20, y 30 cm de altura?

b) El ingreso mensual de una pareja es de $48 300; Javier gana $28 500 y Andrea $19 800. Para fin de año quieren comprarse una pantalla que cuesta $17 950, la pareja acuerda poner la parte que les corresponde según el ingreso mensual de cada uno. ¿Cuánto le corresponde aportar de manera individual a cada uno?

Consideraciones previas: En el inciso a), las respuestas son:

25 cm 50 hrs 12 cm 24hrs 18 cm 36hrs 20 cm 40hrs 30 cm 60hrs

En el inciso b), el resultado es: $48 300.00 ingreso ---------------------- $17 950.00 pantalla $28 500.00 Javier ---------------------- $ x entonces x= $10 591.61 $48 300.00 ingreso ---------------------- $17 950.00 pantalla $19 800.00 Andrea ---------------------- $ x entonces x= $ 7 358.38 Si el maestro considera, y el tiempo lo permite, puede encargar de tarea un ejercicio extra, como el siguiente: La sal de mesa contiene 4/10 g de sodio. Si una persona consume 75/100 g de sal al día. ¿Cuánto sodio ingiere con esa cantidad de sal?


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________



La foto del recuerdo (1/3) Escuela: _________________________________ Fecha: ____________ Profesor(a): _____________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido 7.4.5: Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. Intención didáctica: Que los alumnos resuelvan problemas diversos, donde tengan que aplicar dos o más factores de proporcionalidad, siendo uno de ellos inverso. Consigna: De manera individual, analizar y contestar las siguientes preguntas. “Un niño de preescolar realizó el siguiente dibujo, el cual mide de largo 36cm, y le dijo a su mamá que le quería regalar uno a su papá, otro a su tía y uno más a su madrina. Para lo cual su mamá fue a una copiadora y pidió unas reducciones del dibujo del hijo.” a).- Si la copia que le entregaron al papá mide de largo 18cm, ¿cuál es el factor de proporcionalidad que le aplicaron a la copia?________________________________ b) La copia que recibió la tía mide de largo 12cm. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad aplicado en la copia?_____________________________

c) La copia que se le regaló a la madrina del niño se redujo con un factor de proporcionalidad de �

� y

mide de ancho 6cm, ¿cuánto mide de ancho el dibujo original? _________________________________ Consideraciones previas: En el inciso a) se espera que el alumno deduzca que el dibujo fue reducido a la mitad por lo tanto el

factor de proporcionalidad es �

�.

Por lo tanto en el inciso b) se espera que lleguen a la conclusión que el dibujo sufre una reducción

con un factor de proporcionalidad de �

�.

En el inciso c) el alumno tendrá que relacionar el factor de proporcionalidad con el ancho de 6cm, teniendo como resultado que la figurar original tiene un ancho de 24 cm de ancho.

La foto de la foto (2/3) Escuela: _________________________________ Fecha: _____________

Profesor(a): ________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido 7.4.5: Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen el factor inverso al resolver problemas de proporcionalidad. 1.-Consigna: Reunidos en binas, analizar y resolver el siguiente problema: Martín fue a una copiadora para reducir la fotografía que aparece enseguida y que tiene un ancho de 8cm.

Al recibir la copia, se dio cuenta que ésta medía 6 cm de ancho.

1- ¿Cuál fue el factor de reducción que aplicó el encargado de las copias? 2- ¿Cuánto mide el largo de la fotografía original, si en la copia es de 15 cm?

Consideraciones previas: Posiblemente sea necesaria una breve explicación sobre el funcionamiento de una fotocopiadora para ampliar o reducir, aclarando que el factor de ampliación o reducción está relacionado con el factor de proporcionalidad. En el caso de la primera pregunta, es importante verificar que los alumnos comprendan que tienen que determinar el factor que multiplicado por 8 resulte 6, que en

este caso es �

� .

Es oportuno comentar la equivalencia entre multiplicar por una fracción y dividir entre la fracción

reciproca; por ejemplo, 8 x �

� = 8 ÷

�

� (factor inverso). Podemos considerar que la reproducción se

hace de 8 a 6, que es igual a 8/6. Y que al simplificar se obtiene 4/3. ( 8 x 3 / 4 = 6)

8 cm

Para la pregunta número 2, tomar en cuenta que para encontrar el largo de la fotografía original debe

multiplicar 15cm por �

� , o bien, dividir 15cm entre

�

� para determinar que el largo es 20cm. (15 x 4 /

3 = 20) Para abundar en el tema, se podrá proponer la variante siguiente: Queremos que la fotografía original se amplíe al tamaño de un cartel que debe medir 45 cm de largo y 18 cm de ancho ¿Cuál es su factor de proporcionalidad? Para obtener la relación de proporcionalidad debemos hacer el comparativo de la primera figura respecto a la segunda y simplificar el resultado. Para obtener algún dato faltante, se divide el dato que se tenga entre la relación de proporcionalidad o bien, se multiplica por su inverso. (18/8 = 9/4. 45/20= 9/4) (8 x 9/4 =18 factor de proporcionalidad)

En el caso de este último ejercicio, el factor de proporcionalidad es �

� .

Al término de la resolución de los problemas es conveniente que se planteen a los alumnos las siguientes preguntas: ¿Qué característica debe tener el factor de proporcionalidad cuando sirve para ampliar una figura?, ¿y para reducirla? Se espera que los alumnos hayan visualizado que para toda ampliación, el factor de proporcionalidad es un entero mayor que 1 o una fracción impropia. En cambio, para una reducción, siempre tendremos como factor de proporcionalidad una fracción propia. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________________________________________________________



¿Por cuánto la multiplico? (3/3) Escuela: _________________________________ Fecha: __________

Profesor(a): _____________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido 7.4.5: Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen el factor inverso al resolver problemas de relaciones de proporcionalidad.

Consigna: En equipos, resuelvan el siguiente problema: Dadas las siguientes figuras (Barco 1 y Barco 2) que están a escala y con las medidas indicadas, encuentren las medidas que se piden, sin hacer mediciones. AH = ______ G’H’ = _______ DE = ______ E’F’ = _______ CD = ______ BG = ______


En caso de que los alumnos tengan dificultad para identificar el factor inverso, pueden reflexionar en aspectos como: ¿Por qué número multiplico la medida de A´B´ que es 3, para que me dé la medida de AB, que en este caso es 2? Al realizarse la puesta en común, es importante orientar la discusión hacia el uso del factor inverso, con preguntas como las siguientes: ¿Por cual número es necesario multiplicar la longitud del segmento D’E’ para obtener la medida del segmento DE? Es importante llevar a los alumnos a concluir la relación que existe entre los dos factores, el de ida y el de regreso y que verifiquen que su producto da uno. Pueden comprobar que el factor de ida que

es �

� , multiplicado por su recíproco que es

�

� es igual a 1

G’

3 2

0.9

BARCO 1

H

G

A

B

D E

C F

3

H’ A’

B’

D’ E’

F’ C’

BARCO 2

1.5

1.5

5.25

B’G’=7.5

¿Sabes contar? (1/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: ______________

Profesor(a):_______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan por procedimientos personales los siguientes problemas. Consigna 1: Mará tiene dos blusas y tres faldas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir?

Consigna 2: En un restaurante ofrecen platillos en los que puedes elegir 3 tipos de guisado, 2 tipos de sopa y 3 tipos de postres. ¿Cuántas combinaciones puedes hacer? ______________________ Guisados

Sopas Postres

Chile colorado Arroz Pastel de Coco Estofado Spaghetti Choco flan Mole Pay de queso

Consideraciones previas: Es importante que el alumno busque diferentes maneras de calcular las combinaciones y en la puesta en común aprovechar si alguno de los alumnos utiliza un arreglo rectangular o un diagrama de árbol para resaltar su utilidad. Si ninguno lo hace dejar por esta clase que lo hagan con procedimientos informales. La repuesta a la consigna 1 es 6 y para la número 2 es 18. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________



¿Sabes contar? pues cuenta conmigo (2/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: ______________


Contenido 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el arreglo rectangular para resolver problemas de conteo. Consigna 1: En una escuela los alumnos tienen que elegir un deporte y un taller para cursarlos. Los deportes que se ofrecen son a) futbol, b) basquetbol, c) volibol y d) atletismo. Los talleres son: 1) carpintería, 2) electricidad y 3) mecanografía. ¿De cuántas formas distintas puede el alumno combinar estas opciones? _____________ Descúbrelo terminando de llenar la siguiente tabla. Deportes Taller

Basquetbol

Futbol

Volibol

Atletismo

Carpintería

Basquetbol y carpintería

Electricidad

Mecanografía

Volibol y mecanografía

Consigna 2: Contesta las siguientes preguntas.

1. ¿Es posible resolver los dos problemas de la clase anterior utilizando una tabla (arreglo rectangular) como el de arriba? _________________

2. ¿Por qué? _____________________________________________________________ Consideraciones previas: El maestro debe aprovechar para concluir que esta forma de resolver un problema de conteo se llama “arreglo rectangular” y que solo se puede utilizar cuando el problema involucra dos grupos de datos, es decir el problema de las faldas y blusas si se puede resolver por arreglo rectangular pero el de los platillos no. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _______________________________________________________________________________________________________________________

Contemos juntos (3/3) Escuela: _________________________________________ Fecha: ______________


Contenido 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren el diagrama de árbol, arreglo rectangular o regla del producto para resolver problemas de conteo. Consigna 1: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Considerando las cifras 1,3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar? Si es valido formar números con cifra repetida como el 11. Consigna 2: Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si en cada número que se forme ambas cifras deben ser distintas? Consideraciones previas: En el primer problema se trata de encontrar todas las variaciones posibles. También es probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es decir, los alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros. Quizá algunos empiecen a probar con menos cifras planteándose la pregunta: ¿Qué pasaría si sólo fuera una cifra? Sólo se podría formar un número, el 11. ¿Y si fueran dos cifras? ¡Entonces serían cuatro números! ¿Y si fueran tres cifras? De esta manera encontrarán que hay una regularidad y les dará mucho gusto saber que con una simple operación pueden resolver el problema para cualquier cantidad de cifras. Pero atención: no hay que quitarles ese gusto, hay que dejar que ellos resuelvan el problema. Una vez que los alumnos hayan resuelto el problema y que se discutan con profundidad los procedimientos utilizados, se plantea la segunda consigna: Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si en cada número que se forme ambas cifras deben ser distintas? Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _______________________________________________________________________________________________________________________



Interprétame (1/4) Escuela: __________________________________ Fecha: _____________

Profesor(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información presentada en gráficas de barras de frecuencia absoluta y relativa. Consigna 1: De manera Individual, analicen la siguiente gráfica de barras que muestra los resultados de una encuesta a un grupo de alumnos, respecto a su deporte favorito. Posteriormente contesten las preguntas. 1. ¿Cuál es el deporte de mayor preferencia? 2. ¿Cuál es el de menor preferencia? 3. ¿Cuántos alumnos prefieren el básquetbol? 4. ¿Cuál es el número total de alumnos encuestados? 5. ¿Cuántos alumnos no eligieron el básquetbol? 6. ¿Qué % de alumnos prefieren el fútbol? Consigna 2. En binas, analicen la gráfica que muestra las tallas de los alumnos de un grupo, representadas en porcentajes (%) y contesten las preguntas:

0

5

10

15

20

Voleibol Fútbol Básquetbol Béisbol Tenis

No

. A

lum

no

s

1. Si son 40 los alumnos del grupo, ¿cuántos son de cada talla?

Talla Grande______ Talla Mediana______ Talla Chica______ 2. Suponiendo que en la escuela se quieren hacer chamarras para 160 alumnos, ¿cuántas

chamarras de cada talla se deberán confeccionar atendiendo la misma proporción? Talla Grande______ Talla Mediana______ Talla Chica______ Consideraciones previas: Es probable que los alumnos tengan problemas para determinar el número más aproximado de las preferencias de cada deporte o el porcentaje de cada talla, ante esto debe sugerirse la división de cada rango del eje vertical en el número más conveniente y por supuesto, emplear la perpendicular del eje vertical que coincida con la altura de cada barra. Es posible que confundan la frecuencia absoluta con la relativa, al identificar los elementos de cada gráfica hay que enfatizar el tipo de frecuencia empleada. Observaciones posteriores:


2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________



0

10

20

30

40

50

60

Grande Mediana Chica

Tallas

¿Qué hay mas? (2/4) Escuela: __________________________________ Fecha: _____________

Profesor(a):_____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. Intenciones didácticas: Que los alumnos recopilen información, la organicen y la presenten en gráficas de barras de frecuencia absoluta y relativa. Consigna 1. En equipos investiguen las edades de sus compañeros del grupo, completen la tabla con los datos que obtengan y construyan la gráfica de barras correspondiente. Consigna 2. Con las edades de sus compañeros del grupo, ahora construyan la tabla y gráfica empleando frecuencias relativas (%).

EDAD 11 años o menos

12 años 13 años o más

Total

% 100 %

EDAD 11 años o menos

12 años 13 años o más

Total

NO. ALUMNOS

EDADES (años)

No.

Alu

mn

os

12 13 ó más

11 ó menos

Consideraciones previas. Es frecuente que los alumnos tengan dificultad al representar las escalas en los ejes verticales, dar tiempo suficiente para discutir las más adecuadas y no olvidar que a divisiones de la misma longitud les corresponde los mismos valores. Observaciones posteriores:


2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________________________________________________________________________



EDADES (años)

(%)

12 13 ó más

11 ó menos

13 años _____%

12 años _____%

11 años _____%

Lo mas frecuente (3/4) Escuela: ___________________________________ Fecha: _____________


Contenido 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información presentada en gráficas circulares de frecuencia absoluta y relativa. Consigna 1. En equipo, analicen la siguiente gráfica que muestra las edades de los alumnos de un grupo de secundaria. Posteriormente contesten las preguntas que se indican. Si el grupo tiene 40 alumnos: 1. ¿Cuántos alumnos tienen 13 años? _________ 2. ¿Cuántos alumnos tienen 11 años? _________ 3. ¿Cuántos alumnos tienen 12 años? _________ Consigna 2. Con el mismo equipo ahora analicen la gráfica que corresponde a otro grupo y anoten el porcentaje que corresponde a cada edad.

11 años

13 años

12 años

Consideraciones previas. Una primera regla en este tipo de gráficas es que hay una relación de proporcionalidad entre las superficies de los sectores circulares y las frecuencias absolutas o relativas que representan. Esta idea puede ser explorada con preguntas como ¿Qué edad es más frecuente en el grupo? ¿Qué edad se repite más en el grupo, 12 años ó 13 y 11 años?, etcétera. Dos aspectos hay que tener presentes y que pueden ser obstáculos para interpretar adecuadamente una gráfica circular, uno, la medición de los ángulos y el otro, establecer y resolver una relación de proporcionalidad entre los grados y las frecuencias, y aunque estos aspectos ya se estudiaron vale la pena cerciorarse que los alumnos los dominan y si no promover actividades para consolidarlos. Observaciones posteriores:





Para contar hay que construir (4/4) Escuela: ___________________________________ Fecha: _____________


Contenido 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan gráficas circulares de frecuencias absolutas y frecuencia relativas. Consigna 1. En equipo resuelvan el problema siguiente: Un dado fue lanzado varias veces. En la siguiente tabla se concentran los resultados, complétenla y con esta información construyan una gráfica circular.

Cara del dado Veces que salió 1 4 2 6 3 1 4 2 5 4 6 3

Total

Consigna 2. Con el mismo equipo realicen lo que se pide. Previo a las elecciones para presidente municipal de una comunidad se realizó una encuesta vía telefónica, los resultados fueron los siguientes: candidato A con 240 preferencias, candidato B con 720, candidato C con 128 y el candidato D con 512. Con esta información completen la siguiente tabla y construyan una gráfica circular.

Candidato Preferencias (%) A B C D

Total 100%

Consideraciones previas: En la construcción de las gráficas circulares, dos posibles obstáculos son la obtención de las medidas de los ángulos centrales de los diferentes sectores circulares y por otro lado el uso adecuado del transportador para el trazo de la gráfica. Respecto al primero es importante tener presente varias cosas:

a) Que el resultado de los conteos puede darse mediante una frecuencia absoluta o una relativa. En la primera gráfica se utiliza la frecuencia absoluta y en la segunda la frecuencia relativa.

b) Identificar claramente el conteo total, al cual corresponde los 360° de la gráfica. En el problema del dado, el conteo final son las 20 veces que se lanzó el dado; en el segundo son las 1600 preferencias.

c) Que establecer y resolver una relación de proporcionalidad es una herramienta muy útil para obtener las medidas de los ángulos centrales, por ejemplo: “20 es a 360° como 4 es a x” para el primer renglón del primer problema y “100% es a 360° como 15% es a x” para el primer renglón del segundo ejercicio.






Números con signo (1/5) Escuela: _______________________________________ Fecha: ____________ Profr.(a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido 7.5.1. Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen procedimientos informales en la adición de números con signo para resolver problemas. Consigna: De manera individual, resuelvan los siguientes problemas. 1. En la primera oportunidad el equipo de fútbol americano de la UNAM avanzó 6 yardas, en la segunda pierde 14 yardas, en la tercera avanzó 16 yardas. Si perdió 13 yardas en la cuarta oportunidad. ¿Cuál es el total de yardas ganadas o perdidas? 2. Un elevador subió 6 pisos, bajo 9, bajo 12 más, subió 8, bajo otros 4 y se detuvo en el piso 43. ¿De qué piso partió? Consideraciones previas: Una vez que se analicen los resultados de los dos problemas es conveniente que el profesor sugiera el uso de la recta numérica para verificar los resultados, en el entendido de que los sumandos positivos se cuentan hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda. En el número 1 el resultado es 5 yardas y en el 2 es el piso 54. Observaciones posteriores:





El número perdido (2/5) Escuela: _______________________________________ Fecha: ___________ Prof. (a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido 7.5.1. Contenido 7.5.1. Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen un algoritmo para resolver sumas o restas de números con signo. Consigna: En forma individual resuelvan los siguientes problemas:

¿Cuál es el número que sumado con 5 es igual a 2?

+ 5 = 2

¿Cuál es el número que sumado con -3 es igual a -7? + (-3) = -7

¿Cuál es el resultado de la siguiente resta? (+8) - (-5) =

¿Cuál es el resultado de la siguiente resta? (-3) - (+8) = Consideraciones previas: Es probable que los alumnos no tengan dificultad para resolver los dos primeros casos que son de suma. Sin embargo, si es necesario, se sugerirá el uso de la recta numérica. Primero hay que situarse en el sumando que se conoce y contar hacia la derecha o a la izquierda para llegar al resultado, que en el primer caso es +2. La dificultad mayor se presenta en la resta, por lo que es necesario sugerir a los alumnos un recurso para resolver cualquier caso. Este recurso puede ser la propiedad, según la cual, “la suma de la diferencia más el sustraendo es igual al minuendo” de esta manera, la resta (+8)-(-5)= se convierte en una suma en la que se desconoce un sumando: + (-5) = +8. Es muy importante que los alumnos usen esta técnica resolviendo un número suficiente de restas, hasta que adquieran cierta familiaridad con dicha técnica, para lograr esto conviene dedicar un tiempo breve en cada sesión para resolver uno o dos casos. Observaciones posteriores:


2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para

usted.

Alturas y temperaturas (3/5) Escuela: __________________________________________ Fecha: __________ Prof. (a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido 7.5.1. Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen un algoritmo de adición o sustracción de números con signo en la solución de problemas. Consigna: En binas resuelvan los siguientes problemas:

1. En una región del estado de Tamaulipas, la mínima temperatura registrada en un año fue de -5 grados centígrados y la máxima fue de 42 grados centígrados. ¿Cuál es la diferencia entre ambas temperaturas?

2. Después de alcanzar una altura de 3 795 metros sobre el nivel del mar, un cohete suelta

una de sus turbinas y ésta cae en el océano a una profundidad de -792 metros. ¿Qué distancia recorre la turbina? ¿Por qué se emplean números negativos para representar la distancia que se sumerge la turbina en el océano?

Consideraciones previas: Aunque se espera que los alumnos utilicen un algoritmo para resolver los problemas anteriores, lo importante es que encuentren el resultado y puedan mostrar por qué es correcto. Resaltar que al calcular la diferencia de temperatura no se aplican las reglas de la suma y resta de números negativos porque lo que se calcula es una distancia y no hay distancias negativas. Se sugiere utilizar la recta numérica si es necesario demostrar. Observaciones posteriores:





Cuadros mágicos (4/5) Escuela: ________________________________________ Fecha: __________ Prof. (a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido 7.5.1. Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen procedimientos personales en la adición y sustracción de números con signo. Consigna: En binas resuelvan las siguientes cuestiones:

1. En un cuadrado mágico, la suma de los números en cada fila, columna y diagonal es la misma.

3 -4 1

-2 0 2

-1 4 -3

Comprueba si el cuadrado es mágico: Sumas horizontales Sumas verticales Sumas diagonales 3 - 4 + 1 = 3 - 2 - 1 = 3 + 0 -3 =

-2 + 0 +2 = -4 + 0 +4 = 1 + 0 -1 =

-1 + 4 -3 = 1 +2 -3 =

2. Completen los siguientes cuadrados mágicos. Los números dados en el primero deben sumar

(vertical, horizontal y diagonal) 3.75 y en el segundo, 4

18 ó

424

a) 2, 1.5, 1.25, 2.25, 0.5 b) 2,43,

45,

42,

410

Consideraciones previas: Es conveniente no dar a los alumnos una regla para resolver cuadrados mágicos mientras los resuelven. Es probable que algunos alumnos tengan dificultades en poder completar el segundo cuadrado

mágico, debido a que no reconozcan que por ejemplo, 4

82 y

4

41 . Si esto sucede, es

importante que en la socialización de los resultados, se aclare dicha situación y se aproveche para recordar como es la suma y resta de fracciones con el mismo denominador.

0.25

0.75 1.75

1

4

9

4

7

1

4

6

Cuadros y decimales (5/5) Escuela: ________________________________________ Fecha: __________ Prof. (a): _____________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA Contenido 7.5.1. Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen algoritmos en la adición y sustracción de números con signo. Consigna: En equipos completen los siguientes cuadrados mágicos con las series de números que se dan en cada inciso. La suma (vertical, horizontal y diagonal) en el primer caso debe ser de

5

3 y en el segundo caso, -0.9:

a) 5

3 ,

5

2,

5

1,0,

5

1,

5

2,

5

3,

5

4,1 b) -1.5, -1.2, -0.9, -0.6, -0.3, 0, 0.3, 0.6, 0.9

Consideraciones previas: Es conveniente no dar a los alumnos una regla para resolver cuadrados mágicos mientras los resuelven. Si queda tiempo se les puede pedir que ellos inventen un cuadrado mágico, a partir de la siguiente información: Primero deben pensar en una sucesión de nueve números, de manera que la diferencia entre dos números seguidos sea la misma. Segundo, el número que va enmedio de la sucesión debe colocarse en el centro del cuadrado. Tercero, la suma es el triple del número que va en el centro. Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________


0.6

-0.3

-0.6

-1

5

1

5

2

Exponentes y potencias (1/4) Escuela: __________________________________________ Fecha: _____________

Profr(a). _____________________________________________________________


Contenido 7.5.2: Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Intenciones didácticas: Rescatar los conocimientos previos para que los alumnos recuerden el efecto de multiplicar por una potencia de diez y el uso de los exponentes. Consigna: De manera individual resuelve las siguientes operaciones y contrasta tus respuestas en forma grupal.

a) 475 x 10 000 = _________________

b) 1 000 x 135.745 = _________________

c) 932.7 x 100 = _________________

d) ¿Como le haces para resolver las anteriores operaciones sin tener que multiplicar? ________________________________________________________________________________

e) 63 = (6) (6) (6) = __________

f) 25 = _________________ = __________

g) 105= _________________ = __________

h) ¿Qué indica el exponente? _______________________________________________________________________________ i) 1.7 x 103 = ___________________

j) 97.49 x 107 = ___________________

k) 653.2 x 104 = ___________________

¿Cómo podemos encontrar el resultado sin tener que multiplicar? _______________________________________________________________________________ Consideraciones previas. Es importante que el docente esté muy cercano al desarrollo de las operaciones, que establezca tiempos breves para cada una de las tres partes para que se haga puesta en común de cada una y se contesten correctamente las preguntas. Para la primera parte la respuesta es recorrer el punto decimal a la derecha tantos ceros o lugares como ceros tenga el factor o cantidad (recordarles que las cantidades enteras también tienen un punto a la derecha que no se escribe cuando no hay decimales).

En la segunda parte es importante que la respuesta sea que el exponente indica el número de veces que se multiplica la base por si misma. En la tercera parte es importante establecer la similitud con la primera para que lleguen a la respuesta de que el exponente indica el número de lugares que se debe recorrer el punto hacia la derecha. Las respuestas correctas a las preguntas se pueden considerar conclusiones. Observaciones posteriores:





Notación científica (2/4) Escuela: __________________________________________ Fecha: _____________

Profr(a). _____________________________________________________________


Contenido 7.5.2: Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de casos particulares, encuentren la regla para expresar una cantidad muy grande en notación científica y reflexionen sobre las ventajas de su aplicación. Consigna: Organizados en binas lean la siguiente información y contesten las preguntas. “En las diversas ramas de las ciencias se hacen cálculos con cantidades extremadamente grandes o muy pequeñas y se utiliza un tipo de escritura llamado notación científica”. A continuación se presentan unos ejemplos:

Velocidad de la luz = 300 000 000 m/s = 3 x 100 000 000 = 3 x 108 m/s Un año luz = 9 460 000 000 000 000 = 946 x 1013 = 9.46 x 1015 m Masa de la tierra = 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg = 5.98 x 1024 kg

1.-¿En la velocidad de la luz que relación encuentras entre el exponente 8 y la cantidad de ceros que tiene 300 000 000? ______________________________________________________________ 2.- Observa el ejemplo de un año luz. ¿Por qué primero utilizaron el exponente 13 y luego el exponente 15? __________________________________________________________________ 3.- ¿Por qué en la masa de la tierra utilizan el exponente 24 si la cantidad tiene 22 ceros? ______________________________________________________________________________ Explica con tus palabras como se usa la notación científica para cantidades muy grandes. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Consideraciones previas: La notación científica para cifras enteras muy grandes se elabora estableciendo dos factores, el primer factor es un número comprendido entre el 1 y 10 (de una cifra) y el segundo factor como una potencia de diez de acuerdo al desplazamiento del punto decimal. Ejemplo Número Desplazamiento del punto decimal Notación científica

87 500 000 Como tenemos que dejar una cifra entera

entonces el punto se recorre 7 lugares a la izquierda

8.75 x 10 7

Ejercicios de reforzamiento: Expresa la equivalencia de los números escritos en notación científica o expresa las magnitudes en notación científica.

a) 4.58 x 10 5 = _________________________________________ b) 6.2 x 10 3 = _________________________________________

c) El sol tiene 10 000 000 000 años de existencia __________________________________ d) La estrella 61 Cisne se encuentra a 105 000 000 000 000 km de la tierra ________________






Cantidades microscópicas (3/4) Escuela: __________________________________________ Fecha: _____________

Profr(a). _____________________________________________________________


Contenido 7.5.2: Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de casos particulares, encuentren la regla para expresar cantidades muy pequeñas en notación científica y reflexionen sobre las ventajas de su aplicación. Consigna: Organizados en binas lean la siguiente información y contesten las preguntas. “En las diversas ramas de las ciencias se hacen cálculos con cantidades extremadamente pequeñas y también se utiliza la notación científica”. A continuación se presentan unos ejemplos:

Radio aprox. de las células vegetales 0.000003 = 3 x 10-6

Masa de un protón 0.000 000 000 000 000 000 000 000 169 kg = 1.69 x 10-25

Radio de los virus más pequeños 0.000 000 018 = 1.8 x 10-8

a) Observa el primer ejemplo y determina que relación tiene el exponente negativo -6 con la

ubicación del punto _________________________________________________________

b) Si la respuesta de la pregunta anterior es correcta, se debe cumplir en todos los ejemplos. Observa los exponentes. ¿Cuál es la regla para la notación científica en cantidades pequeñas? _________________________________________________________________________

Expresa en notación científica las siguientes cantidades

A) Átomo del Carbón 0.000 000 000 000 1 = ___________________ B) Átomo de Hidrógeno 0.000 000 000 000 000 000 000 001 7 = __________________

Consideraciones previas Se espera que con la experiencia previa de la notación científica los alumnos tengan menor dificultad en encontrar la regla que en realidad es igual que en el caso anterior. La notación científica para cifras decimales muy pequeñas se elabora estableciendo dos factores, el primer factor es un numero comprendido entre el 1 y 10 (de una cifra) y el segundo factor como una potencia de diez de acuerdo al desplazamiento del punto decimal. Ejemplo Número Desplazamiento del punto decimal Notación científica

0.000 036 Como tenemos que dejar una cifra entera

entonces el punto se recorre 5 lugares a la derecha.

3.6 x 10-5

Para reforzar completen la siguiente tabla.

Cantidad en notación decimal Cantidad en notación científica

El tiempo entre dos latidos del corazón es 0.8

segundos

El año luz es la distancia que recorre la luz en un año y equivale aproximadamente a 9 500 000 000 000 km

9.5 x 1012 km

Una célula mide 0.0003 milímetros El radio del Sol es 690 000 000 km La era Terciaria o Cenozoica tuvo una duración de 60 000 000 de años






Cálculos de notación científica (4/4) Escuela: __________________________________________ Fecha: _____________

Profr(a). _____________________________________________________________


Contenido 7.5.2: Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Intenciones didácticas: Que los alumnos aprendan a efectuar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Consigna: Organizados en equipos (con al menos una calculadora científica) lean el siguiente texto y contesten las preguntas. Según la leyenda, cuando el rey de Persia dijo al inventor del ajedrez que le pidiera lo que quisiera, el inventor pidió la siguiente cantidad de granos de trigo 264

a) Utilicen la calculadora científica y resuelvan la operación utilizando las teclas siguientes.

Es muy probable que la calculadora te de el siguiente resultado 1.844674407 19 si el resultado correcto es 18 446 744 073 709 551 616

b) ¿Por qué creen que la calculadora utiliza esta forma para expresar una cantidad que tiene 20

cifras? __________________________________________________________________

c) Que relación tiene la expresión anterior con la siguiente1.844674407 x 1019 Esto nos indica que podemos hacer operaciones de multiplicación y división de cantidades muy grandes utilizando la calculadora siguiendo el procedimiento siguiente. Por ejemplo para multiplicar 250 000 000 000 000 por 325 000 000 000 000 000 Primero: escribe ambos números en notación científica: 2.5 x 10 14 y 3.25 x 10 17

Segundo: Introduce el 2.5 x 10 14 en tu calculadora con las siguientes teclas: Tercero: Oprime la tecla de la multiplicación Cuarto: Para el segundo número 3.5 x 10 17 oprime: Y para obtener el resultado la tecla 8.12531 Observa el resultado y observa las operaciones. ¿Existe una manera de resolver las operaciones de notación científica sin utilizar calculadora? ________ Explícala ______________________________

2 xy 6 =

X

2 . 4 1 EXP 5

=

3 . 2 7 1 EXP 5

4

El mismo procedimiento aplica para la división utilizando la tecla Para ejercitar resuelve las siguientes operaciones siguiendo los pasos del ejemplo

a) Multiplica 52 000 000 000 y 486 000 000 000 000 000 000 Notación científica ________________ y __________________

b) Divide 238 000 000 000 000 000 000 000 entre 3 000 000 000 000 000 Notación científica _________________ y __________________

Consideraciones previas: Si se dispone de una o más calculadoras, es importante que los alumnos hagan el cálculo, ayudados por el maestro para no perder demasiado tiempo, elevando el dos a la sexagésima cuarta potencia o haciendo la multiplicación que consta de sesenta y cuatro factores iguales a dos, lo importante es que los alumnos vean cómo la calculadora muestra el resultado, mediante una multiplicación entre un número y una potencia de diez y que esto es así porque la calculadora no tiene suficientes espacios para mostrar el resultado mediante la notación decimal. Debe quedar claro para los alumnos que la notación científica es una forma alternativa de representar cantidades muy grandes o muy pequeñas de manera simplificada. Lo que muestra la calculadora así: 1.844674407 19, es equivalente a 1.844674407x1019. El exponente 19 indica que 1.844674407 se multiplica por diez, diecinueve veces, lo que es aproximadamente igual a 18 446 744 073 709 551 616. Lo importante en cuanto a las operaciones es que sepan su utilización por lo cual se recomienda solo hacer operaciones con exponentes positivos. El resultado del ejemplo es 8.12531 para la respuesta de la pregunta deben concluir que se puede resolver multiplicando 2.5 x 3.25 = 8.125 y luego el exponente se calcula sumando los exponentes de los dos 14 + 17 = 31 por lo tanto el resultado es 8.12531 Observar el tipo de calculadora que traen los estudiantes debido a las teclas diferentes para los exponentes. Para cerrar el tema se puede proponer la siguiente tabla y extraer de ella una multiplicación y una división.

Notación decimal Notación científica 0.0005

830 000 175 000

7.85 x 108 9.6 x 10-8

6.034 x 107

Para el tipo de calculadora científica que no tiene la tecla EXP Por ejemplo para multiplicar 250 000 000 000 000 por 325 000 000 000 000 000 Primero: escribe ambos números en notación científica: 2.5 x 10 14 y 3.25 x 10 17

Segundo: Introduce el 2.5 x 10 14 en tu calculadora con las siguientes teclas:

÷

2 . 4 1 LOG 2nd 5

Tercero: Oprime la tecla de la multiplicación Cuarto: Para el segundo número 3.5 x 10 17 oprime: Y para obtener el resultado la tecla 8.12531 El mismo procedimiento aplica para la división utilizando la tecla Observaciones posteriores:





3

X

. 2

÷

=

7 1 LOG 2nd 5

de 5

La Raíz Cuadrada (1/3)

Escuela: _________________________________________________Fecha: ____________________

Profr(a). __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje: temático: SN y PA

Contenido 7.5.3: Solución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes

métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales

Intención didáctica: Que los alumnos expresen de manera exponencial multiplicaciones de

factores iguales al resolver problemas.

Consigna 1: Individualmente encuentre las medidas y áreas de los siguientes cuadrados, de

preferencia sin calculadora:

a) ¿Cuál es el área de un cuadrado que tiene lados que miden 2 cm?

b) ¿Cuál es el área de un cuadrado que tiene lados que miden 3 cm?

c) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene 16 cm2 de área?

d) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene 25 cm2 de área?

e) ¿Creen que exista algún cuadrado de 18 cm2 de área? ¿Cuánto medirían sus lados?

Consigna 2: Organizados en binas, analicen la siguiente sucesión de figuras y completen la tabla

que aparece enseguida (no pueden utilizar calculadora).

Núm. de figura TOTAL DE PUNTOS PUNTOS POR LADO 1 1 2 2 3 4 5 6

25 625

Escriban la relación que existe entre los puntos por lado y el total de puntos de cada figura.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

de 5


Consigna 1: Propósitos de la sesión. Explorar la segunda potencia o el cuadrado de un número a

partir de la obtención de la medida del lado de un cuadrado que mide un área determinada.

Identificar la raíz cuadrada de un número A como el número que multiplicado por sí mismo da A.

Identificar el cuadrado de un número y la raíz cuadrada como operaciones inversas.

Respecto al inciso e), algunos alumnos podrían afirmar que no existe un cuadrado con esa área,

pues con 4 cm obtienen 16 cm2 y con 5 cm, obtienen 25 cm2. Invítelos a probar utilizando también

números decimales. Lo más probable es que prueben con varios números buscando aquel que más

se aproxime a 18 cm2. Durante la comparación de resultados pida a los alumnos que identifiquen

qué medida se acerca más al número buscado.

Respuestas:

a) 4 cm2 (lado por lado = 2 × 2). b) 9 cm2. c) 4 cm. d) 5 cm. e) Sí existe, y la medida de sus lados es de 4.2426 cm aproximadamente.

Los alumnos pueden comprobar con calculadora. Es probable que en el caso del 625 los

alumnos utilicen el ensayo y error para encontrar los puntos por lado. Conviene aclarar que el

resultado obtenido multiplicado por sí mismo da 625, en este momento el profesor puede decir que

este número es la raíz cuadrada de 625.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________


de 5

Encontrando la raíz (2/3)

Escuela: _________________________________________________Fecha: ____________________




Intención didáctica: Que los alumnos comprendan que la raíz cuadrada de un número que no es

cuadrado perfecto contribuye una aproximación.

Consigna1: En binas llenen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida del

lado del cuadrado o de su área según sea el caso.

a) ¿Cuál es el valor más aproximado que encontraron para la medida del lado del cuadrado?

b) ¿Podrían encontrar un valor más aproximado? (Si ó No) ¿Cuál? ____________

Consigna 2: ¿Creen que exista algún cuadrado de 32 cm2 de área? ¿Cuánto medirían sus lados?

a) Completen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida de sus lados.

Medida del lado (cm) Área ( Cm2) 5

5.5 5.6 5.7 6

b) La medida del lado de este cuadrado está entre 5.6 cm y 5.7 cm. ¿Con qué valor continuarían la

tabla para encontrar un valor que se aproxime más a la medida del lado de este cuadrado?

c) Hagan la comprobación. ¿Qué valor del área encontraron?

Consideraciones Previas:

Medida del lado (cm) Área (cm2) 1 2 3 16

5 36

4.5 4.2 4.3

4.25

de 5

Concluir con lo siguiente: para calcular el área de un cuadrado, conociendo la medida de su lado, se

multiplica la medida del lado por ella misma: L × L.

En general, cuando se multiplica un número por él mismo, por ejemplo y × y, se dice que se calcula

la segunda potencia o el cuadrado del número. Esto se escribe: y2

Por ejemplo, al calcular 5 × 5, se dice que se está calculando 5 a la segunda potencia o el cuadrado

de 5, y se escribe 52. O sea: 5 × 5 = 25

• Al calcular el lado de un cuadrado a partir de su área se dice que se calcula la raíz cuadrada del

área. En general, la raíz cuadrada de un número A es el número que multiplicado por él mismo da A.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, porque 4 × 4 = 16. La raíz cuadrada de 16 se escribe: Raíz

16


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________



de 5

Áreas y raíz cuadrada (3/3)

Escuela: _________________________________________________Fecha: ____________________




Intención didáctica: Que los alumnos comprendan que la raíz cuadrada de un número que no es

cuadrado perfecto contribuye una aproximación.

Consigna 1: De manera individual llenen la siguiente tabla

Áreas de cuadrados (L2) Raíz cuadrada (medida del lado)

7 12 9

100 11 16

64 169 196

15 240.25 132.25

A partir de la información de la tabla anterior, relacionen las dos columnas:

(a) ¿Cuál es el área del cuadrado cuyos lados miden 13 cm? ( ) 11.04cm

(b) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 240.25? ( ) 225 cm2

(c) ¿A cuánto es igual la raíz 122? ( ) 15.5 cm

(d) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 169? ( ) 15 cm

(e) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 15 cm? ( ) 169 cm2

(f) ¿A cuánto es igual la raíz cuadrada de 225? ( ) 13 cm2

Consideraciones previas: El cuadrado de un número y la raíz cuadrada son operaciones inversas.

Esto quiere decir que si a un número se le aplica una operación y después la otra, se obtendrá el

número original. Por ejemplo, el cuadrado del número 15 es: 125 = 15 × 15 = 225 Y la raíz cuadrada

del número 225 es: 225 = 15

Sucesiones (1/2) Escuela:_________________________________________Fecha:_________________ Profesor(a):_____________________________________________________________

Curso: Matemáticas I Eje temático: SN y PA

Contenido: 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico de una sucesión). Intenciones didácticas: Identifiquen el comportamiento de una sucesión y encuentren la regla general y expresión algebraica. Consigna 1: De acuerdo con el esquema, individualmente encuentra los números de la sucesión de acuerdo con la regla general.

Consigna 2: De acuerdo con el esquema, en binas encuentra la regla general de acuerdo a sucesión dada.

A) Según la regla anterior, ¿Cuál es el valor de la sucesión si la posición es 17?_______ B) ¿Cuál es el valor de la posición si la sucesión es 73?_________________

Consideraciones previas: Como ya se abordó en el bloque I en patrones y fórmulas, es conveniente recordarle al alumno que puede consultar previamente ese bloque. Este apartado es para darle continuidad, ya que este tipo de problemas se seguirán trabajando hasta tercer grado. Para la consigna número dos, en caso de que el alumno no llegue a la regla general; es conveniente que el maestro los guie recordando problemas que ya se vieron em el bloque pasado. Deben de llegar a la regla 3n-2. (donde n representa la posición).


Posición

, , , , ,...

Sucesión

1, 2, 3, 4, 5,...

Regla general El número de la posición se multiplica por 5 Expresión algebraica 5x


Posición

1 , 4, 7, 10 , 13 ,...

Sucesión

1, 2, 3, 4, 5,...

Regla general Expresión algebraica

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________




Obteniendo la regla (2/2) Escuela:_________________________________________Fecha:_________________ Profesor(a):_____________________________________________________________

Curso: Matemáticas I Eje temático: SN y PA

Contenido: 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico de una sucesión). Intenciones didácticas: Identifiquen el comportamiento de una sucesión y encuentren la regla general y expresión algebraica. Consigna 3: Organizados en equipos, escribir la regla general y la expresión algebraica que da solución a los siguientes problemas

a) 7, 12, 17, 22, 27 . . . Regla:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Expresión algebraica:___________________________________________

b) 8, 17, 26, 35, 44 . . .

Regla:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Expresión algebraica:___________________________________________

c) -4, -1, 2, 5, 8 . . .

Regla:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Expresión algebraica:___________________________________________

. Consideraciones previas: Para la consigna três las reglas son: 5n + 2 , 9n – 1 y 3n – 7. Es importante que los alumnos reconozcan la literal “n” cuando se trata de sucesiones porque representa la posición. Observaciones posteriores:




Perímetros y áreas (1/2) Escuela: ____________________________________ Fecha: _______________ Profr(a): ___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen las fórmulas de perímetro y área del círculo para resolver problemas. Consigna 1. En binas resuelvan el siguiente problema y contesten las preguntas. Pueden usar calculadora.

De una lámina de 40 cm por 60 cm se han recortado 6 discos metálicos iguales, como los de la figura:

1. Calcula la cantidad de lámina que sobró después de recortar los discos. 2. Si los discos se forran alrededor con un hule de protección, ¿cuántos metros son

necesarios para los seis discos?. Consideraciones previas: Es probable que algunos alumnos cometan errores como por ejemplo, emplear la medida del diámetro como medida del radio para calcular el área de la lámina que sobra después de recorta los discos. Para ello, es importante realizar una puesta en común de las diferentes estrategias de resolución con la idea de que ellos mismos se den cuenta de sus errores. La respuesta a la pregunta 1 es 516 cm2 y la respuesta dos es 3.768 m. Observaciones posteriores:




60 cm

40 cm

Problemas de áreas y perímetros (2/2) Escuela:_____________________________________ Fecha: _____________ Profr.(a): ____________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen las fórmulas de perímetro y área del círculo para resolver problemas. Consigna. En equipos, analicen y resuelvan el siguiente problema. Luis tiene un pastizal en forma cuadrada cuya superficie mide 3600m2 y no está cercado. En el centro del pastizal hay un árbol al cual ata a su caballo con una cuerda que llega exactamente a las esquinas del pastizal y le permite al caballo rodear el terreno.

a) ¿Cuál es la longitud del máximo recorrido que puede hacer el caballo al dar una vuelta al árbol si sabemos que del centro a la esquina del pastizal son 42.42 m?

b) ¿Qué área puede pisar el caballo fuera del pastizal?

Consideraciones previas: Es conveniente dejar el valor de π n 3.14 y pedirles que trabajen con dos cifras decimales. La respuesta al inciso a 266.39 m (el alumno debe distinguir que se le está dando la medida del radio, y en el inciso b 2050.29 m2

Si sobrara tiempo, después de la puesta en común se pueden plantear los siguientes problemas, o bien, se pueden dejar de tarea: 1) Calcula el área de la región sombreada en la figura:

2) ¿Cuál es el perímetro de una rueda de bicicleta cuyo diámetro es de 40 cm? ¿Cuál sería su perímetro si fuera el radio el que mide 40 cm?

3) Si el perímetro de una circunferencia es de 21.99 m, ¿cuál será la medida del diámetro? ¿Y la del radio?

2 cm

3 cm

Variaciones (1/3) Escuela: ____________________________________ Fecha: _________ Prof.(a): ______________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. Intenciones didácticas: Que los alumnos Identifiquen variaciones que sufren las cantidades que se involucran en problemas de proporcionalidad múltiple. Consigna: Organizados en parejas, anoten las cantidades que hacen falta en la tabla de abajo y contesten las preguntas que aparecen después. En una fábrica se elaboran cajas de cartón de diferentes tamaños. En la tabla se muestran las dimensiones de algunas de ellas; si lo desean pueden dibujarlas y/o construirlas con cubos.

Caja Largo Ancho Alto Volumen A 3 dm 2 dm 4 dm 24 dm3 B 6 dm 2 dm 4 dm C 6 dm 6 dm 4 dm D 6 dm 4 dm 8 dm E 9 dm 6 dm 12 dm

Después de obtener el volumen de todas las cajas, analicen lo siguiente:

¿Cómo crecen los volúmenes en relación con las medidas de largo, ancho y alto de las cajas?

¿De los cinco tipos de cajas hay tres que están a escala, ¿cuáles son? ¿Cómo lo saben? Consideraciones previas: Es necesario ayudar a los alumnos a analizar la primera pregunta, para que encuentren las relaciones entre el crecimiento de una o más dimensiones y el volumen de las cajas. Es posible que los alumnos encuentren cómo se obtuvo la variación proporcional de dos cajas que están a escala, por ejemplo, al comparar los volúmenes de las cajas D y A; debe quedar claro que, por ejemplo, si se duplican las tres dimensiones de la caja, el volumen incrementa 8 veces (2 X 2 X 2 = 8) y sólo si las tres dimensiones aumentan en la misma proporción la caja que resulta está a escala. Si no fuese encontrada esta relación por los propios alumnos, conviene que el profesor la ponga a consideración para que los alumnos la validen. Observaciones posteriores:





AB

C

D

E

F

Relaciones de proporcionalidad (2/3) Escuela: ____________________________________ Fecha: _________ Prof.(a): ______________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las relaciones de proporcionalidad múltiple en el caso de los prismas. Consigna: En equipos, lean la información que se proporciona y anoten las medidas que hacen falta en la tabla. Una cadena de tiendas que distribuye perfumes, maneja 3 diferentes tamaños de caja para envasar su producto. La forma de la caja es un prisma triangular como se muestra en la figura. Prisma Lado DF Lado EF

Altura de la base

Lado DE Altura AD Área Base Volumen

A 3 cm 4 cm 5 cm 8 cm 6 cm2 48 cm3

B 4 cm C 6 cm

Consideraciones previas: El profesor debe centrar el análisis en los procedimientos que usaron los alumnos y en la diferencia entre la variación proporcional respecto a unidades lineales, de área y de volumen que encontraron. Puntualizar que el ángulo DFE es recto por lo que se considera al lado EF como la altura. Recordar que el volumen del prisma se obtiene multiplicando el área de la base por la altura. El área de la base es (DF X EF) / 2 Observaciones posteriores:



8cm

3cm 4cm

5cm

F

E D

B

C

A

Proporcionalidad múltiple (3/3) Escuela: ____________________________________ Fecha: _________ Prof.(a): ______________________________________________ Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI Contenido 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de variación proporcional múltiple justificando los procedimientos utilizados. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas: Problema 1. Se calcula que se necesitan 20 litros de agua diarios para cada 15 niños que van a una excursión. ¿Cuántos litros se necesitan si 45 niños salen durante 7 días? Problema 2. Al organizar otra excursión el responsable llevó 60 niños y transportó 420 litros de agua ¿Cuántos días podrá durar la excursión, si se conserva el promedio de consumo de agua por cada niño? Consideraciones previas: El profesor deberá propiciar la explicación de cada uno de los diferentes procedimientos utilizados por los alumnos procurando que lleguen a generalizar reglas de correspondencia entre dos conjuntos de cantidades, mientras el tercer conjunto permanece constante. Por ejemplo, la regla de correspondencia entre agua y niños, si la cantidad de días permanece constante es N = ¾A, o bien, A = 4/3N. El profesor podrá plantearle al grupo problemas similares a los presentados, de tal manera que visualice hasta dónde sus alumnos han utilizado procedimientos adecuados para resolverlos. Observaciones posteriores:





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