DINÁMICA II

Joseph-Louis de Lagrange (Turín, 1736-París, 1813) Matemático francés de origenitaliano. Sus padres tuvieron 11 hijos de los cuales sólo el menor, Lagrange, llegó asobrevivir. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitudespecial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglésEdmund Halley despertó su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya unmatemático consumado. Lagrange era de mediana altura, complexión débil, con ojos azulclaro y un color de piel pálida. Era de un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia,y al evitarla de buena gana permitió a otros tener crédito por cosas que él había hecho.Su actividad mental durante unos veinte años que paso en Prusia fue asombrosa, no sólopor el hecho de producir su espléndida Mécanique analytique, sino por contribuir, condoscientos trabajos, a las Academias de Berlín, Turín, y París. Algunos de éstos realmenteson tratados, y todos, sin excepción, son de una extraordinaria calidad. Salvo un cortotiempo cuando él estaba enfermo en que produjo aproximadamente un artículo por términomedio al mes.Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones,sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números.Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y losmovimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica (1788).

C U R S O: FÍSICA COMÚN

MATERIAL: FC-12

2

Momentum

Para describir el comportamiento y ver las características de un cuerpo en movimiento, se

tienen algunas variables como velocidad, aceleración, etc. En esta unidad añadiremos otra

variable física como lo es el momentum.

Cuando se golpea una pelota de golf en el campo de juego, una gran fuerza F actúa sobre la

pelota durante un corto intervalo de tiempo t, haciendo que ésta se acelere desde el reposo

hasta una velocidad final. Es en extremo difícil medir tanto la fuerza como la duración de su

acción; pero el producto de ambas F · t puede calcularse en función del cambio de

velocidad resultante de la pelota de golf. A partir de la segunda ley de Newton, sabemos que

usando la definición de aceleración

Multiplicando por t se obtiene:

de donde se tiene

A partir de esta relación definiremos momentum lineal e impulso:

Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento se define mediante la siguiente expresión:

El momentum lineal p es una cantidad vectorial, de igual dirección y mismo sentido que el

vector velocidad v, como muestra la figura 1.

Por la definición en el SI la unidad de medida del momentum lineal es Kg m/s.

F = m · a

F = m ·vt

F · t = m · (vf – vi)

F · t = m · vf – m · vi

m

pv

fig. 1

p = m · v

3

I

I

F

Impulso se define mediante la expresión:

I = F · t

Observemos en la figura 2, que es un vector que tiene la misma dirección y el mismo

sentido que .

Por definición en el SI la unidad de medida del impulso es N · s.

RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y MOMENTUM LINEAL

En la figura 3, un cuerpo de masa m, se mueve con una velocidad v1. Si una fuerza F,

constante, actúa sobre el cuerpo durante un intervalo de tiempo t , observaremos que

su velocidad sufrirá una variación, pasando a ser v2 al final del intervalo.

A partir de las definiciones anteriores en la siguiente relación:

se observa:

F · t Representa el impulso I que recibió el cuerpo.

m · v2 Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, p2, al final del intervalo t.

m · v1 Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, p1, al inicio del intervalo t.

lo que implica

Esta es la relación que existe entre el impulso y el momentum, es decir, el impulso es el

responsable de la variación del momentum del cuerpo.

RESUMIENDO

2 1t = t t

1t 2t

I

F F

fig. 2

v1 v2

FFfig. 3

F · t = m · v2 – m · v1

I = p2 – p1

I = p

4

Si hay Fuerza Neta hay aceleración, si hay aceleración hay variación de velocidad, si

hay variación de velocidad hay variación de Momentum, si hay variación de

Momentum hay Impulso, si hay Impulso hay Fuerza y Viceversa.

FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS

Las fuerzas que actúan en un sistema de partículas se pueden clasificar en internas y

externas. Si una partícula del sistema ejerce una fuerza sobre otra que también pertenece al

sistema, aquella será una fuerza interna. Por otra parte, si la fuerza que actúa sobre una

partícula del sistema fuese ejercida por un agente que no pertenece al sistema, se tratará

entonces de una fuerza externa.

Las fuerzas internas pueden producir variaciones en las cantidades de movimiento de las

partículas de un sistema, pero no producen variación en la cantidad de movimiento del

sistema.

CHOQUES EN UNA DIMENSIÓN

Choques elásticos e inelásticos: una colisión es elástica cuando los cuerpos que chocan

no sufren deformaciones permanentes durante el impacto o cuando se conserva su energía

cinética. Dos bolas de billar, por ejemplo, experimentan choques que se pueden considerar

elásticos.

En caso contrario, si los cuerpos presentan deformaciones debido a la colisión estamos en

presencia de un choque inelástico y no se conserva la energía cinética del sistema. Por

ejemplo, si chocan dos automóviles y se mueven pegados después de la colisión, aunque en

el caso que los cuerpos continúan pegados, más bien se habla de choque totalmente

inelástico.

FN

a

I

v

p

fig. 4

5

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM LINEAL EN LOS CHOQUES

En los casos que no existen fuerzas externas que actúen sobre los cuerpos que chocan, la

cantidad de movimiento del sistema se conserva, si sobre él sólo actúan fuerzas internas.

Por lo tanto la cantidad de movimiento de un sistema de cuerpos que chocan,

inmediatamente antes de la colisión, es igual a la cantidad de movimiento, inmediatamente

después del choque.

En la figura 5 vemos un ejemplo de un choque elástico, para explicar la conservación de

momentum.

Consideremos una colisión directa entre las masas m1 y m2, como lo muestra la figura 5.

Suponga que las superficies están libres de fricción. Indicamos sus velocidades antes del

impacto v1A y v2A, y después del impacto como v1D y v2D. El impulso de la fuerza F12 que

actúa sobre la masa m2 es

(AN TES)

(D ESPU ES)

1m 2m

1m 2m

1m 2m

fig. 5

v1A v2A

F21 · tF12 · t

v1D v2D

(D U R AN TE)

F12 · t = m2 · v2D – m2 · v2A

6

En forma similar, el impulso de la fuerza F21 sobre la masa m1 es

Durante el intervalo de tiempo t, F12 = -F21, de modo que

O bien,

Y, finalmente, reagrupando los términos

F21 · t = m1 · v1D – m1 · v1A

F12 · t = -F21 · t

m2 · v2D – m2 · v2A = -(m1 · v1D – m1 · v1A)

PSISTEMA(ANTES)

m1 · v1A + m2 · v2A = m1 · v1D + m2 · v2D

PSISTEMA(DESPUÉS)

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EJEMPLOS

1. Un profesor de física hace algunas aseveraciones acerca de la conservación delmomentum de un sistema. Para ello dice que tendrá solo dos elementos: Una piedra yel planeta Tierra, incluyendo su atmósfera. Deja caer la piedra desde su mano y afirmaque mientras está cayendo

I) si solo la piedra pertenece al sistema, no se conserva el momentum delsistema.

II) si los dos elementos pertenecen al sistema, se conserva el momentum delsistema.

III) si los dos elementos pertenecen al sistema, se conserva el momentum de lapiedra.

Es (son) verdadera(s)

A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) I, II y III.

2. Es correcto asegurar que tiene momentum respecto al Sol

A) la Tierra.B) la Luna.C) un asteroide viajando lejos de cualquier otro objeto.D) un auto viajando hacia Chañaral.E) todos los casos anteriores.

3. La cantidad de movimiento siempre tendrá la misma dirección y sentido que

A) la aceleración.B) la distancia recorrida.C) la fuerza neta.D) el impulso.E) la velocidad.

4. La dimensión de momentum es

A) M · LB) M-1 · L2

C) M2 · L · TD) M · L-2 · TE) M · L · T-1

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PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. Un móvil de 4 kg se movió de tal forma que la ecuación itinerario que se obtuvo de sumovimiento es x(t) = 4 + 4t +4t2. Por lo tanto es correcto que la magnitud de sumomentum inicial, en kg · m/s, fue

A) 2.B) 4.C) 8.D) 16.E) 32.

2. Se suelta un cuerpo de 5 kg desde el reposo. El cuerpo inicialmente estaba a una alturade 20 m. Por lo tanto al transcurrir un segundo desde que fue soltado tendrá unacantidad de movimiento de magnitud

A) 5 kg·m/sB) 10 kg·m/sC) 25 kg·m/sD) 50 kg·m/sE) 100 kg·m/s

3. Dos pequeños autitos se mueven en el mismo sentido por una carretera rectilínea. Unode ellos; el autito A es de 5 kg y avanza a 5 m/s, el otro, el autito B es de 10 kg yavanza a 10 m/s. El momentum del sistema formado por ambos autitos, en kg·m/s, es

A) 225B) 125C) 100D) 75E) 25

4. Un ciclista avanza con velocidad de valor 10 m/s, por un camino de tierra. La masa delciclista y su bicicleta es de 120 kg en total. Al acercarse a un precipicio aplica los frenosde modo que su aceleración es de valor -2 m/s2. La cantidad de movimiento delsistema formado por ambas masas, a los tres segundos de comenzar a frenar, es devalor

A) 960 kg·m/sB) 720 kg·m/sC) 480 kg·m/sD) 240 kg·m/sE) -240 kg·m/s

9

5. Cuatro móviles K, L, M y N viajan en línea recta, dos de ellos verticalmente y los otrosdos en dirección horizontal, ver figura. Junto a los valores de rapidez indicados en lafigura, los cuerpos K, L, M y N tienen masas respectivas de 12 kg, 6 kg, 4 kg, y 3 kg.Con los datos dados es correcto decir que

A) todos los cuerpos tienen igual momentum.B) el momentum de K menos el momentum de L es igual al vector cero.C) K y M tienen igual momentum y es distinto a los momentum de L y N.D) La magnitud del momentum total del sistema formado por los 4 cuerpos es de 96

kg·m/sE) la suma de los momentum parciales es igual al vector cero.

6. Dos personas chocan frontalmente debido a que estaban distraídos. Una de ellas demayor masa estaba corriendo y la otra persona estaba caminando. Al respecto seafirma que

I) los impulsos que se ejercen mutuamente en el choque son de igualmagnitud.

II) el momentum del sistema, formado por las 2 personas, no cambia debido alchoque.

III) el momentum de la persona de mayor masa es el mismo antes y despuésde chocar.

Es (son) correcta(s)

A) solo IB) solo IIC) solo IIID) solo I y IIE) I, II, III

7. Una bala de 8 g se dispara horizontalmente sobre un bloque de madera de 22 g, que seencuentra en reposo. Sabiendo que la velocidad del bloque y de la bala después delchoque es de valor 0,4 m/s, entonces la velocidad inicial de la bala es de valor

A) -1,5 m/sB) -0,5 m/sC) 0,5 m/sD) 1,0 m/sE) 1,5 m/s

2 m/s

4 m/s

6 m/s

8 m/s

K

L

M

N

10

8. Los carritos B y C que están representados en la figura 6, tienen masas de 2 kg y 4 kgrespectivamente, ambos están quietos y tocándose. Otro carrito A de 9 kg se muevecon rapidez de 10 m/s, de tal forma que después de un instante termina chocandofrontalmente al carro B ¿Con qué valor de velocidad se moverán los carros, si debido alchoque quedaron enganchados los tres?

A) 10,0 m/sB) 8,2 m/sC) 6,0 m/sD) 5,0 m/sE) 3,3 m/s

9. Una pelota de fútbol avanza en línea recta sobre un piso horizontal. En cierto instanterebota contra un muro y sale con rapidez de 2 m/s. La masa de la pelota es de 420 g yel valor de la velocidad justo antes de chocar contra el muro era de -2 m/s. Por lo tantoes correcto que

A) no hubo variación de momentum en la pelota, debido al choque.B) solo hubo impulso sobre la pelota, pero no sobre el muro, debido al choque.C) la pelota si cambió su momentum y la variación es de valor 1,68 kg·m/sD) la pelota solo cambió de sentido por lo tanto - =iFp p 0

E) ninguna de las anteriores.

10. Para un móvil de 20 kg, que viajó en línea recta, se graficaron los valores de velocidadobtenidos, versus el tiempo. Respecto a este móvil y basándose en el gráfico escorrecto que

A) se ejerció sobre él una fuerza que aumentó uniformemente de valor.B) recibió un impulso de valor 100 N·s.C) la variación de momentum que experimentó fue de módulo 75 kg·m/sD) sobre él se ejerció un impulso de magnitud 200 N·s.E) inicialmente su momentum fue cero.

fig. 6

A B C

t(s)

20

v (m/s)

fig. 70

10

5

11

p

I

11. Dos bloques de masas m1 = 4 kg y m2 = 5 kg se mueven sobre una superficie

horizontal sin roce como lo muestra la figura 8, con velocidades de módulo 5 m/s

y 4 m/s, respectivamente. Después del choque se mueven con velocidades V1 y V2. De

los siguientes pares de valores, los que son posibles para V1 y V2, en m/s son,

respectivamente

A) -6 y 4

B) -3 y 2

C) 0 y 0

D) 2 y 3

E) 3 y -2

12. Desde un helicóptero se observa un automóvil como se muestra en la figura 9, queviaja por un camino recto a 15 m/s y luego gira en 90°, manteniendo siempre lamisma rapidez. El Impulso y la variación de momentum para la situación dada, tienenla dirección y sentido mostrado en

A)

B)

C)

D)

E)

13. Un hombre de 80 kg y un muchacho de 40 kg se encuentran inicialmente de pie juntosy en reposo sobre una superficie de hielo completamente lisa. Si luego de que seempujan mutuamente el hombre se mueve hacia la derecha con una rapidez de0,5 m/s respecto al hielo, ¿qué distancia los separa a los 10 s después del empujón?

A) 10 mB) 15 mC) 20 mD) 25 mE) No se puede determinar

fig. 9

15 m/s

15 m/s

fig. 8

m1

5 (m/s) 4 (m/s)

+

m2

12

14. La figura 10 representa a un cohete de 30 kg que se desplaza horizontalmente hacia laderecha con una velocidad de valor 12 m/s. Es fragmentado por una explosión, en lacual no existe pérdida de masa, en dos pedazos (1) y (2) de masas iguales. Siinmediatamente después de la explosión el fragmento 2 sale con dirección verticalhacia abajo, ¿cuál de las siguientes alternativas podría corresponder a la dirección ysentido en que salió el cuerpo 1?

A)

B)

C)

D)

E)

15. En el gráfico que muestra la figura 11 se observa como varía la fuerza versus el tiempode un cuerpo en movimiento, en base a él se puede afirmar que el impulso sobre elcuerpo, expresada en N · s, es

A) 3AB.B) 2AB.C) 3AB/2D) AB.E) AB/2.

CLAVES DE LOS EJEMPLOS

1 D 2 E 3 E 4 E

DMDOFC-12

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

fig. 10

(1)

(2)

V2

12 m/s

A

F (N)

t(s)2B

fig. 11

B 3B