pau andalucia 05-12 resueltos

I.E.S. Al-Ándalus. Arahal. Sevilla. Dpto. Física y Química. Selectividad Andalucía. Física. Junio 2005 - 1 –

Resuelto por José Antonio Navarro Domínguez [email protected]

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA: PRUEBA DE SELECTIVIDAD. FÍSICA. JUNIO 2005

OPCIÓN A

1. Dos partículas con cargas eléctricas, del mismo valor absoluto y diferente signo, se mueven con la misma velocidad, dirigida hacia la derecha y en el plano del folio. Ambas partículas penetran en un campo magnético de dirección perpendicular al folio y dirigido hacia abajo. a) Analice con ayuda de un gráfico las trayectorias seguidas por las dos partículas. b) Si la masa de una de ellas es doble que la de la otra (m1 = 2 m2) ¿Cuál gira más rápidamente?

2. a) Señale los aspectos básicos de las teorías corpuscular y ondulatoria de la luz e indique algunas limitaciones

de dichas teorías. b) Indique al menos tres regiones del espectro electromagnético y ordénelas en orden creciente de longitudes de onda.

3. a) Razone cuáles son la masa y el peso en la Luna de una persona de 70 kg.

b) Calcule la altura que recorre en 3 s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial, en un punto próximo a la superficie de la Luna y explique las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento. G = 6,67 ·10-11 N m2 kg-2 ; ML = 7,2 ·1022 kg ; RL = 1,7 ·106 m

4. El Ra226

88 se desintegra radiactivamente para dar Rn22286 .

a) Indique el tipo de emisión radiactiva y escriba la correspondiente ecuación. b) Calcule la energía liberada en el proceso. c = 3 ·108 m s-1 ; m Ra = 225,9771 u ; m Rn = 221,9703 u ; m He = 4,0026 u . 1 u = 1,67 ·10-27 kg OPCIÓN B

1. Dibuje en un esquema las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fuerza del campo, siendo B el punto más cercano a M. a) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Por qué? b) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma distancia de M que A, pero en otra línea de fuerza, ¿aumenta o disminuye la energía potencial? Razone su respuesta.

2. a) Enuncie la hipótesis de De Broglie. Comente el significado físico y las implicaciones de la dualidad onda-

corpúsculo. b) Un mesón π tiene una masa 275 veces mayor que un electrón. ¿Tendrían la misma longitud de onda si viajasen a la misma velocidad? Razone la respuesta.

3. Una espira de 10 cm de radio se coloca en un campo magnético uniforme de 0,4 T y se la hace girar con una

frecuencia de 20 Hz. En el instante inicial el plano de la espira es perpendicular al campo. a) Escriba la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo y determine el valor máximo de la f.e.m. inducida. b) Explique cómo cambiarían los valores máximos del flujo magnético y de la f.e.m. inducida si se duplicase el radio de la espira. ¿Y si se duplicara la frecuencia de giro?

4. La ecuación de una onda en una cuerda es: y(x, t) = 0,4 sen12πx cos 40πt (S.I.)

a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero.



SOLUCIÓN AL EXAMEN. OPCIÓN A: 1. Dos partículas con cargas eléctricas, del mismo valor absoluto y diferente signo, se mueven con la misma

velocidad, dirigida hacia la derecha y en el plano del folio. Ambas partículas penetran en un campo magnético de dirección perpendicular al folio y dirigido hacia abajo. a) Analice con ayuda de un gráfico las trayectorias seguidas por las dos partículas. b) Si la masa de una de ellas es doble que la de la otra (m1 = 2 m2) ¿Cuál gira más rápidamente?

a) El movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético viene determinado por la fuerza magnética que el campo ejerce sobre la partícula. El valor de esta fuerza viene dado por la ley de Lorentz.

BvqF ∧⋅= En módulo: αsenBvqF ⋅⋅⋅=

Dirección: perpendicular a vr y a Br

Sentido: dado por la regla de la mano derecha al girar vr

sobre Br

, invirtiéndose si q es negativa. En este caso, el ángulo que forma la velocidad de ambas partículas con el campo B

r es de 90º , por lo que, teniendo

ambas igual valor absoluto de q e igual velocidad, la fuerza que ejercerá el campo sobre ambas será igual en valor absoluto, pero con sentidos opuestos, dado el diferente signo de cada carga. Las dirección y sentido de cada fuerza queda indicada en el dibujo. La fuerza magnética ejercida es siempre perpendicular a la velocidad, por lo que la aceleración producida será de tipo normal. El movimiento resultante será un movimiento circular uniforme, cuyo radio se calcula aplicando la 2ª

ley de Newton: amF rr⋅=Σ

BqvmR

RvmamBvq

2

n ⋅⋅

=⇒⋅=⋅=⋅⋅

(En el dibujo, para que ambos radios sean iguales, las partículas también deben poseer la misma masa. Si asumimos ya la suposición del apartado b, uno de los radios será el doble del otro). b) Esta pregunta puede prestarse a cierta confusión. La fuerza magnética hace variar la dirección de la velocidad, pero no su módulo. La rapidez con la que se mueve cada partícula (que en principio era la misma para ambas) se mantiene constante. Pero la cuestión se refiere a la velocidad angular. Está relacionada con la velocidad lineal mediante

mBq

Rv ⋅

==ω Aquí vemos que aquella partícula con mayor masa (el doble) tendrá una menor velocidad

angular (la mitad). Girará más lentamente, tardará más tiempo en dar una vuelta completa.

También puede razonarse con el periodo de revolución Bqm22T

⋅⋅

==π

ωπ

O también con el valor del radio. La partícula con doble masa describirá órbitas con doble radio y la misma velocidad lineal que la otra partícula. Tardará, por tanto, el doble de tiempo en dar una vuelta (gira más lento) Consecuencia. Girará más rápidamente la partícula 2, la de menor masa. 2. a) Señale los aspectos básicos de las teorías corpuscular y ondulatoria de la luz e indique algunas

limitaciones de dichas teorías. b) Indique al menos tres regiones del espectro electromagnético y ordénelas en orden creciente de longitudes de onda.

a) Esta cuestión es muy ambigua, ya que puede referirse a la controversia Newton-Huygens (ver cualquier libro de texto), tal y como aparece en las recomendaciones de cara a Selectividad; o bien (y esto sería más completo) puede referirse a la teoría corpuscular cuántica (Planck-Einstein-Bohr), frente a la teoría ondulatoria electromagnética (Maxwell). Explicaremos la cuestión atendiendo a esto último: Teoría corpuscular (Planck-Einstein-Bohr): Ciertos experimentos (radiación térmica, efecto fotoeléctrico, espectros atómicos) pueden explicarse suponiendo que la luz está constituida por pequeñas partículas o cuantos de luz, denominadas fotones. La masa en reposo de los fotones se considera nula, y su energía viene dada por



υ⋅= hE , donde υ es la frecuencia de la fuente luminosa y h la constante de Planck. La energía se transmite de forma discreta. Limitaciones: El carácter corpuscular no puede explicar satisfactoriamente fenómenos ondulatorios tales como interferencias, difracción, ondas estacionarias. Teoría ondulatoria (Maxwell): Supone que la luz consiste en la propagación por el espacio de una onda electromagnética transversal, cuyas perturbaciones son campos eléctricos y magnéticos oscilantes. Explica la propagación, reflexión, refracción, interferencias, resonancia, difracción. La transmisión de energía en este caso es continua. Limitaciones: La teoría ondulatoria de la luz no explica satisfactoriamente la interacción entre materia y radiación (radiación térmica, efecto fotoeléctrico, espectros atómicos) Actualmente se habla de que la luz posee carácter dual. El carácter corpuscular u ondulatorio se pone de manifiesto dependiendo del experimento que realicemos.

b) Para una onda electromagnética, la relación entre frecuencia y longitud de onda viene dada por λ

υ c= .

A mayor longitud de onda, menor frecuencia, y viceversa. Un orden creciente de longitud de onda corresponde a un orden decreciente de frecuencia. Por ejemplo, tres regiones del espectro electromagnético en este orden serían Rayos γ ; Rayos X ; Rayos UV. O también Rayos UV ; luz visible ; rayos infrarrojos O también Microondas ; ondas de radio FM ; ondas de radio largas Hay muchas posibilidades. Las regiones establecidas por convenio son las siguientes, en el orden ya dicho: Rayos γ ; Rayos X ; Rayos UV ; luz visible ; Rayos infrarrojos ; microondas ; ondas de radio cortas; ondas de radio largas ; ruido eléctrico. 3. a) Razone cuáles son la masa y el peso en la Luna de una persona de 70 kg.

b) Calcule la altura que recorre en 3 s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial, en un punto próximo a la superficie de la Luna y explique las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento. G = 6,67 ·10-11 N m2 kg-2 ; ML = 7,2 ·1022 kg ; RL = 1,7 ·106 m

Nos encontramos ante un problema de interacción gravitatoria. a) El concepto de masa corresponde a la cantidad de materia que posee el cuerpo. De hecho, es el dato que nos dan (70 kg), y esto es independiente (al menos en física clásica) del planeta en el que nos encontremos. El peso de un objeto se define como la fuerza gravitatoria que sufre ese objeto por parte del planeta. Esta magnitud sí será diferente en la Tierra o en la Luna. El peso en la superficie de un planeta podemos calcularlo con la

expresión, en módulo 0g gmF ⋅= , donde g0 es el valor de la gravedad superficial del planeta 20 RGMg = , siendo

M y R los valores de masa y radio del planeta respectivamente.

Así, la gravedad superficial en la Luna será kgN

26

222211

20 662,1)m107,1(

kg102,7kgNm1067,6R

GMg =⋅

⋅⋅⋅==

−−

El peso de la persona en la Luna será N34,116662,1kg70gmF kgN

0g =⋅=⋅= Resultados: Masa: 70 kg Peso: 116,34 N



b) En un punto próximo a la superficie lunar (a una altura sobre la superficie mucho menor que el radio lunar), podemos considerar que la gravedad se mantiene constante durante el recorrido, con lo que la partícula describirá un movimiento uniformemente acelerado, rectilíneo en este caso, al partir con velocidad inicial nula. Podremos aplicar entonces las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado.

221

00 tatvrr ⋅+⋅+=rrrr Sólo se desplaza en el eje vertical

221

00 tatvyy ⋅+⋅+= Escogemos el sistema de referencia y el criterio de signos que indica el dibujo. Datos: y0 = 0 m v0 = 0 m/s a = g0 = 1,662 m·s-2. Sustituyendo, la distancia vertical (altura) recorrida en t = 3 segundos será de m5,7m479,73662,1y 2

21 ≈=⋅=

Podemos comprobar que la aproximación realizada (altura mucho menor que el radio lunar) es correcta. Variaciones de energía en el desplazamiento: Debido a la atracción gravitatoria (fuerza conservativa), la partícula posee asociada una energía potencial gravitatoria. Considerando constante la fuerza gravitatoria, podemos usar la expresión hgmEp 0g ⋅⋅= , con origen establecido en la superficie terrestre. Esta energía disminuye al caer la partícula (disminuye h), La variación de energía potencial se corresponde con el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (con signo puesto). Debido a su movimiento respecto al sistema de referencia, posee energía cinética 2

21 vmEc ⋅= . Al acelerar, la

energía cinética aumenta. La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial ( gM EpEcE += ). La energía mecánica de la partícula se mantiene constante durante el desplazamiento, ya que la única fuerza que actúa sobre el sistema es conservativa. En consecuencia, se produce una transformación de energía potencial gravitatoria en energía cinética.

gEpEc ΔΔ −= 4. El Ra226

88 se desintegra radiactivamente para dar Rn22286 .

a) Indique el tipo de emisión radiactiva y escriba la correspondiente ecuación. b) Calcule la energía liberada en el proceso. c = 3 108 m s-1 ; m Ra = 225,9771 u ; m Rn = 221,9703 u ; m He = 4,0026 u . 1 u = 1,6710-27 kg

a) La radiactividad natural consiste en la emisión espontánea de partículas por parte de núcleos inestables, transformándose en otros núclidos distintos. En este caso se trata de una emisión α, ya que el núclido inicial se transforma en otro con 2 unidades menos de número atómico y 4 unidades menos de número másico. El núcleo de radio ha desprendido una particula α ( He4

2 ).

La reacción que tiene lugar es: Ra22688 Rn222

86 + He42

b) En el proceso de emisión radiactiva se libera energía debido a la pérdida de masa (defecto másico) que tiene lugar en la reacción. La masa total de los productos es menor que la masa del núcleo inicial. La cantidad de masa que se transforma en energía (energía liberada) se calcula mediante la relación de Einstein 2cmE ⋅= , donde c es la velocidad de la luz en el vacío. En este caso la expresión queda 2

r cmE ⋅= Δ El defecto másico se calcula

∑∑ −⋅−=−=−+=−= kg10014,7u0042,0)Ra(m)He(m)Rn(mmmm 30REACTIVOSPRODUCTOSΔ

Y la energía liberada MeV95,3J1031,6)ms103(kg10014,7cmEr 13218302 −=⋅−=⋅⋅⋅−=⋅= −−−Δ Obtenemos una energía negativa, ya que es energía desprendida. (Nota: hemos usado en los cálculos el valor que nos dan de u, aunque es incorrecto, es un fallo del enunciado. El valor correcto es 1 u = 1,66 ·10-27 kg)

y

xO

+

+__

a=g0

v =0 m/s0

Fgy =0 m0

superficie



OPCIÓN B

1. Dibuje en un esquema las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fuerza del campo, siendo B el punto más cercano a M. a) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Por

qué? b) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma distancia de M que A, pero en otra línea de fuerza, ¿aumenta o disminuye la energía potencial? Razone su respuesta.

Las líneas de fuerza de un campo indican la dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo en cada punto del espacio. En el caso del campo gravitatorio, las masas son sumideros de campo, y las líneas tienen simetría radial como indica el dibujo. La masa M que crea el campo se encuentra en el centro. a) La energía potencial almacenada por una partícula puntual de masa m en el interior del

campo gravitatorio creado por M, viene dada por la expresión r

GMmEpg −= escogiendo el

origen de energía potencial a una distancia infinita de M. En la gráfica del margen observamos cómo, al acercarnos a M, la energía potencial disminuye. Esto es lo que ocurre en el caso que nos ocupa, ya que el punto B está más cerca de M que el A. La energía potencial, por tanto, disminuye. b) Basándonos en las mismas expresiones y gráficas del apartado anterior, vemos que, si ambos puntos están a la misma distancia r de la masa M, la energía potencial almacenada por la partícula m será la misma. El incremento de energía será cero. La energía almacenada no aumenta ni disminuye (considerando sólo los instantes inicial y final). Explicado de otro modo: si ambos puntos está a la misma distancia, es que se encuentran en la misma superficie equipotencial. No habrá variación de Epg al hacer el traslado. 2. a) Enuncie la hipótesis de De Broglie. Comente el significado físico y las implicaciones de la dualidad

onda-corpúsculo. b) Un mesón π tiene una masa 275 veces mayor que un electrón. ¿Tendrían la misma longitud de onda si viajasen a la misma velocidad? Razone la respuesta.

a) El científico francés Louis de Broglie, basándose en los resultados de Planck, Einstein y otros (referentes al carácter dual de la luz), supuso en 1924 que cualquier partícula puede comportarse como una onda en algunas situaciones. Es decir, supuso que toda la materia tiene un comportamiento dual onda-partícula.

Dicho comportamiento ondulatorio vendrá caracterizado por una λ, llamada longitud de onda asociada a

la partícula que estemos considerando. Esta λ viene dada por la expresión ph

=λ , donde h es la cte de Planck y

vmp ⋅= es la cantidad de movimiento de la partícula . Así vm

h⋅

=λ

La onda asociada a una partícula recibe el nombre de onda de materia. Implicaciones: Es posible (y se ha comprobado) observar fenómenos característicos de las ondas, como interferencias, difracción, ondas estacionarias, en partículas como los electrones. Por ejemplo, el estudio cuántico del electrón en el átomo se realiza mediante la función de onda de Schrödinger. En otros experimentos, sin embargo, es necesario considerar sólo el carácter corpuscular (rayos catódicos, efecto fotoeléctrico).

b) A partir de la ecuación ya expuesta en el apartado a), vm

h⋅

=λ , vemos que el mesón π (o pión), no va a tener

la misma longitud de onda asociada que el electrón, si sus velocidades son idénticas. En este caso, al ser la masa del mesón π 275 veces mayor, su longitud de onda asociada será 275 veces menor que la del electrón.



3. Una espira de 10 cm de radio se coloca en un campo magnético uniforme de 0,4 T y se la hace girar con

una frecuencia de 20 Hz. En el instante inicial el plano de la espira es perpendicular al campo. a) Escriba la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo y determine el valor máximo de la f.e.m. inducida. b) Explique cómo cambiarían los valores máximos del flujo magnético y de la f.e.m. inducida si se duplicase el radio de la espira. ¿Y si se duplicara la frecuencia de giro?

a) Estamos ante una cuestión de inducción electromagnética (generación de corriente eléctrica en un circuito por la acción de un campo magnético). Se inducirá corriente eléctrica en el circuito si varía respecto al tiempo el flujo magnético mφ que atraviesa la superficie encerrada por el circuito. El flujo magnético nos indica el nº de líneas de campo (considerando una línea por cada m2) que atraviesan la superficie del circuito. Se calcula con la expresión:

αφ cosSB...sdBm ⋅⋅==⋅= ∫rr

considerando el campo B uniforme y el circuito

plano. α es el ángulo que forma el vector superficie S

r (perpendicular al plano de la espira)

con el campo Br

. Inicialmente es cero (dibujo), pero cambia con el tiempo, ya que la espira describe un movimiento circular uniforme.

)rad(t2t20t0 ⋅=⋅+=⋅+= ππυωαα El flujo magnético que atraviesa la espira será )t2cos(R4BcosSB 2

m ⋅⋅⋅=⋅⋅= πυπαφ La fuerza electromotriz inducida (f.e.m.) ( ε ), energía que se suministra a cada culombio de carga eléctrica, se obtiene aplicando la ley de Faraday-Lenz "La corriente inducida en un circuito es originada por la variación del flujo magnético que atraviesa dicho circuito. Su sentido es tal que se opone a dicha variación."

La expresión de esta ley queda tdd mΦε −=

Así, [ ] )t2(senRB8

dt)t2cos(R4Bd

tdd 22

2m ⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅−=−= πυυππυπΦ

ε

Sustituyendo valores: R = 0,1 m, B = 0,4 T , υ = 20 Hz

Wb)t40cos(05,0)t2cos(R4BcosSB 2m ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ππυπαφ

V)t40(sen3,6 ⋅⋅−= πε V3,6Máx =ε b) Al duplicar el radio de la espira, la superficie de la misma se cuadruplica, con lo que el valor máximo del flujo magnético y de la f.e.m. también se cuadruplicará. 2

mMáx2

m RB4)t2cos(R4B ⋅⋅=→⋅⋅⋅= πφπυπφ

22Máx

22 RB8)t2(senRB8 ⋅⋅=→⋅⋅⋅⋅−= υπεπυυπε Al duplicar la frecuencia de giro, el valor máximo del flujo magnético no se ve afectado, no depende de υ . Lo único que cambia es el ritmo de variación del flujo magnético. Según la ley de Faraday-Lenz, la f.e.m. debe cambiar. Y el valor máximo cambia (se duplica), ya que depende de υ . (Nota: habrás observado que en el apartado a) no hemos sustituido los valores hasta el final. Esto ha sido muy útil para poder razonar luego el apartado b) con más facilidad)

B

S

υ



4. La ecuación de una onda en una cuerda es: y(x, t) = 0,4 sen12πx cos 40πt (S.I.)

a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero.

a) Nos encontramos ante la ecuación de una onda estacionaria (O.E.) con extremo fijo (las partes espacial y temporal están separadas en dos funciones trigonométricas multiplicadas). Se origina por la superposición de dos ondas viajeras (O.V.) idénticas que se propagan en la misma dirección pero en sentido contrario. La expresión general para una O.E. de este tipo es y(x, t) = 2A sen kx cos ωt (S.I.) donde A, k y ω son magnitudes correspondientes a las ondas viajeras cuya superposición da lugar a la onda estacionaria. La amplitud de la onda depende del punto x A(x) = 2A · sen kx Para x = 0 tendremos amplitud nula (de ahí el nombre de “extremo fijo”) Existen puntos con amplitud máxima (vientres), punto con amplitud nula (nodos) y puntos con amplitud intermedia, como se observa en el dibujo. Todos los puntos vibran en fase, con un periodo de vibración que coincide con el de las ondas viajeras. Así

s05,02Tsrad40 1 ==→⋅= −

ωππω

La longitud de onda también coincide con la de las O.V. m167,0mrad12

rad2k

21 =

⋅== −π

ππλ

La velocidad de propagación de una onda estacionaria es nula, ya que no hay una propagación neta de energía. Las O.V. que se superponen tienen velocidades de propagación idéntica, en sentido contrario.

La velocidad de propagación de las ondas viajeras puede calcularse 11

1

OV sm333,3mrad12srad40

kv −

−

−

⋅=⋅⋅

==ππω

b) Los puntos con amplitud nula (nodos) están separados por media longitud de onda (0,0835 m). Este cálculo se realiza:

0)kx(senA2)x(A =⋅= Νλπλππ ∈⋅=→=→=→= n;

2nxnx2nkx0)kx(sen

Dos nodos consecutivos ( n y n+1), están separados media longitud de onda, como queríamos probar.




OPCIÓN A

1. Sean dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrientes eléctricas de igual intensidad y sentido.. a) Explique qué fuerzas ejercen entre sí ambos conductores. b) Represente gráficamente la situación en la que las fuerzas son repulsivas, dibujando el campo magnético y la

fuerza sobre cada conductor. 2. a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz con ayuda de un esquema.

b) Un haz de luz pasa del aire al agua. Razone cómo cambian su frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación.

3. Un bloque de 2 kg está situado en el extremo de un muelle, de constante elástica 500 N m-1, comprimido 20 cm.

Al liberar el muelle el bloque se desplaza por un plano horizontal y, tras recorrer una distancia de 1 m, asciende por un plano inclinado 30° con la horizontal. Calcule la distancia recorrida por el bloque sobre el plano inclinado. a) Supuesto nulo el rozamiento b) Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y los planos es 0,1. g = 10 m s-2

4. El período de semidesintegración del 226Ra es de 1620 años. a) Explique qué es la actividad y determine su valor para 1 g de 226Ra. b) Calcule el tiempo necesario para que la actividad de una muestra de 226Ra quede reducida a un dieciseisavo

de su valor original. NA = 6,02.1023 mol-1

OPCIÓN B

1. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Según la ley de la gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente proporcional a la

masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente.

b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos.

2. a) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de

sentido contrario. b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por la

posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima la aceleración. 3. Una partícula con carga 2 ·10-6 C se encuentra en reposo en el punto (0,0). Se aplica un campo eléctrico uniforme

de 500 N C-1 en el sentido positivo del eje OY. a) Describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que tiene lugar a lo largo del

mismo. b) Calcule la diferencia de potencial entre los puntos (0,0) y (0,2) m y el trabajo realizado para desplazar la

partícula entre dichos puntos. 4. Al iluminar la superficie de un metal con luz de longitud de onda 280 nm, la emisión de fotoelectrones cesa para

un potencial de frenado de 1,3 V. a) Determine la función trabajo del metal y la frecuencia umbral de emisión fotoeléctrica. b) Cuando la superficie del metal se ha oxidado, el potencial de frenado para la misma luz incidente es de 0,7 V.

Razone cómo cambian, debido a la oxidación del metal: i) la energía cinética máxima de los fotoelectrones; ii) la frecuencia umbral de emisión; iii) la función trabajo.

( c = 3 ·108 m s-1 ; h = 6,6 ·10-34 J s ; e = 1,6 ·10-19 C )



SOLUCIÓN AL EXAMEN. OPCIÓN A: 1. Sean dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrientes eléctricas de igual intensidad y

sentido.. a) Explique qué fuerzas ejercen entre sí ambos conductores. b) Represente gráficamente la situación en la que las fuerzas son repulsivas, dibujando el campo

magnético y la fuerza sobre cada conductor. a) Un conductor rectilíneo por el que circula corriente eléctrica crea a su alrededor un campo magnético debido al movimiento de las cargas eléctricas. Dicho campo B

r tiene como características:

Su módulo viene dado por r2IB⋅

⋅=

πμ

Dirección: Perpendicular al movimiento de las cargas eléctricas (corriente) Perpendicular al vector rr (distancia desde la corriente al punto considerado) Sentido: Dado por la regla del sacacorchos al girar el sentido de la corriente sobre el vector rr . Los dos conductores situados paralelamente y con las corrientes en idéntico sentido ejercen entre sí fuerzas magnéticas de atracción dadas por la ley de Laplace. La corriente I1 crea un campo B12 en la zona donde está el conductor 2 La corriente I2 crea un campo B21 en la zona donde está el conductor 1. La fuerza que ejerce el conductor 1 sobre el 2 122212 BLIF ∧⋅= La fuerza que ejerce el conductor 2 sobre el 1 211121 BLIF ∧⋅= Las direcciones y sentidos vienen dadas por la regla de la mano derecha.

2112 FF −= 2121010

2122212 Fd2IIL

d2ILIBLIF =

⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅=π

μπ

μ

Calculando fuerza por unidad de longitud 2121012

12 fd2II

LFf =

⋅⋅⋅

==π

μ

b) Las fuerzas serán repulsivas en el caso de que las corrientes circulen en sentidos

contrarios, como indica el dibujo. Se explica análogamente a lo hecho en el apartado anterior. El módulo de las fuerzas es el mismo en ambos casos.

2. a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz con ayuda de un esquema.

b) Un haz de luz pasa del aire al agua. Razone cómo cambian su frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación.

a) La luz visible es un tipo particular de onda electromagnética. Como toda onda, puede sufrirReflexión y refracción son dos fenómenos ondulatorios que ocurren cuando una onda (luz, en este caso) que se propaga por un medio incide sobre la forntera con otro medio distinto.



Reflexión: Al llegar la onda incidente a la frontera con el medio 2, los puntos de la frontera generan una nueva onda que se propaga por el medio 1. La onda reflejada tiene igual υ , λ , y velocidad de propagación que la onda incidente. El ángulo que forma la dirección con la normal a la frontera es igual al de la onda incidente. Refracción: Se forma una onda luminosa que se transmite por el nuevo medio. Los puntos de la frontera se contagian de la vibración de la onda incidente y dan lugar a lo que se denomina onda refractada. La frecuencia de la onda sigue siendo la misma (dependía sólo del foco emisor), pero como ahora el medio es diferente, la velocidad de propagación también lo será y, por tanto también variarán λ , k. La amplitud de la onda refractada será menor que la de la onda incidente, ya que la energía de la onda incidente debe repartirse entre los tres procesos que pueden ocurrir (reflexión, refracción, absorción) La dirección en la que se propaga la nueva onda refractada también es diferente. Existe una relación entre los ángulos que forman los rayos incidente y refractado con la normal a la superficie. Esta relación se conoce como ley de Snell. Donde n es el índice de refracción de cada medio, que indica el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y

en el medio. Siempre n ≥ 1 vcn =

b) Al pasar la luz de un medio a otro, se produce el fenómeno de refracción. - La frecuencia υ (que nos indica el color de la luz, caso de que fuera visible) depende únicamente del foco emisor de ondas, y no del medio por el que se propaga la onda, por lo que se mantiene constante al pasar de un medio a otro. - La velocidad de propagación v, en un medio ideal, depende exclusivamente del medio por el que se propague la onda. Esta magnitud cambia (en este caso disminuye) al pasar del aire al agua. - La ongitud de onda λ depende tanto del foco emisor de la onda como del medio por el que ésta se propague.

υλ v

= Por lo tanto, al variar v, también cambia la longitud de onda. En este caso, la longitud de onda disminuye,

ya que v disminuye. 3. Un bloque de 2 kg está situado en el extremo de un muelle, de constante elástica 500 N m-1, comprimido

20 cm. Al liberar el muelle el bloque se desplaza por un plano horizontal y, tras recorrer una distancia de 1 m, asciende por un plano inclinado 30° con la horizontal. Calcule la distancia recorrida por el bloque sobre el plano inclinado. a) Supuesto nulo el rozamiento b) Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y los planos es 0,1. g = 10 m s-2

Resolvemos este problema aplicando conceptos energéticos. Concretamente, el principio de conservación de la energía mecánica: Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas no conservativas, o éstas no realizan trabajo, la energía mecánica del cuerpo se mantendrá constante cteE0E0WsiWE MMFNCFM NC

=→=→=→= ΔΔ .

refri sennsenn αα ⋅=⋅ 21



La energía mecánica es la suma de las energías cinética (debido al movimiento) y potencial (debida a la acción de las fuerzas conservativas que actúen sobre el sistema, en este caso las fuerzas gravitatoria y elástica).

EpelEpgEcEpEcEM ++=+= 2

21 mvEc =

mghEpg = (origen en h = 0 m, sistema de referencia) 2

21 xKEc Δ= (origen en la posición de equilibrio del muelle)

Variaciones de energía:

221 vmEc ⋅= : Inicialmente es cero. Aumenta

al descomprimirse el muelle, se mantiene constante durante el tramo horizontal y va disminuyendo durante la subida por la pendiente hasta hacerse cero.

Epg = m·g·h (origen: Epg=0 en el tramo horizontal h=0) se mantendrá constante (e igual a 0) durante el tramo horizontal, y aumentará hasta su valor máximo durante la subida por la pendiente.

( )221 xKEpel Δ= (origen: Epel=0 en la posición

de equilibrio del muelle) Inicialmente el muelle almacena energía elástica. Ésta va disminuyendo conforme el muelle se descomprime.

EM = Ec + Epg + Epel : Se mantiene constante en el apartado a), ya que no existen fuerzas no conservativas que realicen trabajo. En el apartado b), el trabajo de la fuerza de rozamiento (fuerza disipativa) en la pendiente hace que no se conserve la energía mecánica. Se cumplirá que 1M2MFRFNC EEWEMW −=→Δ=

a) Aplicamos la conservación de la energía mecánica entre las situaciones inicial y final.

Situación inicial: 212

11111M xKEpgEpelEcE Δ⋅=++=

Situación final: 22222M mghEpgEpelEcE =++=

Igualando ambas energías mecánicas: m5,0mg2

xKhmghxK

21

222

121 =

Δ⋅=→=Δ⋅

La distancia recorrida: m1º30sen

hrr

hº30sen 22 ==Δ→Δ

=

b) Ahora la energía mecánica no se conserva, ya que existe una fuerza no conservativa (el rozamiento) que realiza trabajo durante la pendiente.

Situación inicial: 212

11111M xKEpgEpelEcE Δ⋅=++=

Situación final: 22222M mghEpgEpelEcE =++= Calculamos el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento durante la subida por la pendiente:

N732,1º30cosmgNFR =⋅⋅=⋅= μμ r732,1º180cosrFW RFR Δ⋅−=⋅Δ⋅=

2rº30senrh

rhº30sen 2

2 Δ=⋅Δ=→

Δ=

Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica (en este caso, no se conserva):

m85,0rr732,110r10WxKmghEEW FR2

121

21M2MFR =Δ→Δ⋅−=−Δ⋅→=Δ⋅−→−=

αFg

N

FR

FgX

FgYh2

Δr

30º

h2

Δr

30º

α

v =01

Δx =0,2m1

h =01

αh2Δx =02

v =02

Inicial

Final



4. El período de semidesintegración del 226Ra es de 1620 años.

a) Explique qué es la actividad y determine su valor para 1 g de 226Ra. b) Calcule el tiempo necesario para que la actividad de una muestra de 226Ra quede reducida a un

dieciseisavo de su valor original. NA = 6,02.1023 mol-1

Nos encontramos ante una cuestión de radiactividad, emisión de partículas por parte de núcleos inestables, que

se transforman en otros núcleos distintos. a) Por actividad de una muestra radiactiva entendemos el número de desintegraciones que tienen lugar en la unidad

de tiempo. Mide el ritmo de desintegración de la sustancia. En el S.I. se mide en Becquerel (Bq). 1 Bq = 1 desitegración por segundo.

La actividad depende del tipo de sustancia y de la cantidad (el nº de átomos) que tengamos en un instante

determinado. Se calcula con la expresión: NdtdN

⋅−= λ

Calculamos λ, la constante radiactiva del radio, a partir del periodo de semidesintegración T½ = 1620 años = 5,1· 1010 s.

λ y T½ están realcionados a través de la vida media τ. λ

τ 1= 2lnT

21 ⋅=τ

Por tanto 111 s1036,1T

2ln

21

−−⋅==λ

Calculamos ahora N, el nº de átomos de Ra contenidos en 1 g La masa atómica del 226Ra es de 226 u aproximadamente, con lo que 1 mol de 226Ra tiene 226 g de masa. Así:

Raátomos1066,2Ramol1

Raátomos1002,6Rag226Ramol1Rag1 22621

226

22623

226

226226 ⋅=

⋅⋅⋅

Sustituyendo en la expresión de la actividad Bq1062,3NdtdN 10⋅−=⋅−= λ

Es decir, la cantidad de 226Ra presente en la muestra se reduce actualmente a un ritmo de 3,62 ·1010 desintegraciones por segundo.

b) El periodo de semidesintegración, T½ , indica el tiempo que tarda una

cierta cantidad de sustancia radiactiva en reducirse a la mitad, es decir, el tiempo que transcurre hasta la desintagración de la mitad de núcleos que teniamos inicialmente. De este modo, al cabo de un periodo de semidesintegración, quedará la mitad de la muestra original, al cabo de dos veces el T½ , quedará la cuarta parte, al cabo de tres T½ , la octava parte, y quedará un dieciseisavo de la cantidad original transcurrido un tiempo igual a cuatro veces el periodo de semidesintegración.

Por lo tanto, el tiempo necesario que nos piden es de 4 · 1620 años = 6480 años = 2,04 ·1011 s



OPCIÓN B

1. Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Según la ley de la gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente

proporcional a la masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente.

b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos.

a) Esta afirmación es correcta, siempre y cuando despreciemos el efecto del rozamiento con el aire. Según la lay de

Gravitación universal de Newton, la fuerza gravitatoria que ejercen dos cuerpos entre sí es proporcional a la masa de los mismos. Se calcula con la expresión gmFg

rr⋅= , donde m es la masa del cuerpo y g el campo

gravitatorio creado por la Tierra. Ahora bien, el tiempo que tarda en caer un cuerpo en caída libre, depende de la aceleración que sufre, y ésta se

calcula a partir de la segunda ley de la dinámica de Newton. gm

gmmF

aamF g rrr

rrr=

⋅==→⋅=Σ

Independientemente de la masa, todos los cuerpos sufren la misma aceleración. Así, dejándolos caer en caída libre desde la misma altura, tardarán el mismo tiempo en caer.

b) Una fuerza conservativa se caracteriza porque el trabajo que realiza durante un desplazamiento entre dos puntos,

es independiente de la trayectoria seguida, su valor sólo depende de los puntos inicial y final. Así, vemos que la afirmación es falsa, ya que el trabajo realizado por la fuerza entre los dos puntos siempre

tendrá el mismo valor. 2. a) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento pero

de sentido contrario. b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por

la posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima la aceleración.

a) Un movimiento armónico simple (m.a.s.) es un movimiento oscilatorio periódico, cuya elongación

(desplazamiento) respecto a la posición de equilibrio ( y ) viene dada por una función sinusoidal )( 0ϕω +⋅⋅= tsenAy , donde A es la amplitud del movimiento, ω la frecuencia angular y 0ϕ la fase inicial

del movimiento.

La velocidad la obtenemos derivando la posición respecto al tiempo. )cos( 0ϕωω +⋅⋅⋅== tAdtdyvy

Y la aceleración, derivando la velocidad respecto al tiempo )( 02 ϕωω +⋅⋅⋅−== tsenA

dtdv

a yy

Comparando las expresiones de posición y aceleración, comprobamos que se cumple que ya y ⋅−= 2ω , es decir, la aceleración es proporcional al desplazamiento, y va en sentido contrario.

b) Como hemos visto en el apartado anterior, la expresión general de un m.a.s. viene dada por )( 0ϕω +⋅⋅= tsenAy , donde “y” representa el desplazamiento desde la posición de equilibrio,

independientemente de la coordenada espacial en que se produzca el m.a.s. La fase inicial 0ϕ depende del estado inicial del movimiento. La cuestión nos dice que para t = 0 s, pasa por la

posición de equilibrio, es decir, y = 0. Sustituyendo en la ecuación 000)0(0 0000 =→=→=⋅→+⋅⋅= ϕϕϕϕω sensenAsenA La expresión del movimiento será )( tsenAy ⋅⋅= ω



Aplicando la relación demostrada en el apartado anterior, la aceleración es proporcional al desplazamiento. Así, la aceleración será máxima cuando el desplazamiento sea máximo, es decir, cuando la elongación sea igual a la amplitud (en valor absoluto). (y = ± A).

3. Una partícula con carga 2 ·10-6 C se encuentra en reposo en el punto (0,0). Se aplica un campo eléctrico

uniforme de 500 N C-1 en el sentido positivo del eje OY. a) Describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que tiene lugar a lo

largo del mismo. b) Calcule la diferencia de potencial entre los puntos (0,0) y (0,2) m y el trabajo realizado para desplazar

la partícula entre dichos puntos. a) El campo electrostático E

r indica la fuerza por unidad de carga que se ejerce

sobre una partícula cargada situada en el interior del campo. La fuerza que se ejerce sobre la partícula, ya esté en reposo o en movimiento, viene dada por

EqFe

rr⋅= . Al tratarse de un campo eléctrico constante y uniforme, la fuerza

ejercida también será constante y, por tanto, por la 2ª Ley de Newton,

también la aceleración ctem

EqmF

a e =⋅

==rr

. La partícula describirá un

movimiento uniformemente acelerado. Además, como parte del reposo, el vector velocidad irá en todo momento en la misma dirección y sentido que la aceleración. Será, por consiguiente, un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).

Su ecuación de movimiento será: 2212

21

00 tatatvrr ⋅=⋅+⋅+=rrrrr

La trayectoria será paralela al vector aceleración, y al vector campo, y el sentido del movimiento coincide con el de E

r, al ser la carga positiva.

Estudio energético: Al ser la fuerza electrostática una fuerza conservativa, la partícula q almacena energía potencial electrostática

(Epe) al actuar sobre ella la fuerza electrostática. Inicialmente, la partícula está en reposo, por lo que su energía cinética ( 2

21 mvEc = ) es nula.

Al comenzar el movimiento, debido a la aceleración, se produce una transformación de energía potencial en energía cinética (aumenta Ec a costa de la disminución de Epe, se cumple ΔEc = - ΔEp). La energía mecánica (EM = Ec + Ep) permanece constante en todo momento, ya que la única fuerza que actúa es conservativa.

b) El potencial electrostático (V) indica la energía que almacena por unidad de carga una partícula colocada en el

interior del campo electrostático. Su valor depende del punto que hayamos tomado como origen, por tanto, lo que realmente tiene utilidad física es la diferencia de potencial entre dos puntos ( ΔV ).

Para un camo eléctrico constante como el del problema, la diferencia de potencial está relacionada con el campo mediante la expresión rEV rr

ΔΔ ⋅−= , donde rrΔ es el vector desplazamiento. Así: mj2m)2,0()0,0()2,0(r

rr==−=Δ ; 1NCj500E −=

rr

V1000rEVVV OA −=⋅−=−=rr

ΔΔ La diferencia de potencial es de 1000 V, estando el punto origen O a mayor potencial que el punto A: (0,2). Se

cumple que el sentido del campo es aquel en el que el potencial disminuye.

Como cteEqFe =⋅=rr

, El trabajo realizado puede calcularse con la expresión

J102mj2NCj500C102rEqrFW 316ee

−−− ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=rrrrrr

ΔΔ (También podemos usar el hecho de que la fuerza es conservativa, así:

J102)V1000(C102VqEpW 36ee

−− ⋅=−⋅⋅−=⋅−=−= ΔΔ

E

q>0

O: (0,0)

A: (0,2)

+x

+y

Δr

a Fe



4. Al iluminar la superficie de un metal con luz de longitud de onda 280 nm, la emisión de fotoelectrones cesa para un potencial de frenado de 1,3 V. a) Determine la función trabajo del metal y la frecuencia umbral de emisión fotoeléctrica. b) Cuando la superficie del metal se ha oxidado, el potencial de frenado para la misma luz incidente es de

0,7 V. Razone cómo cambian, debido a la oxidación del metal: i) la energía cinética máxima de los fotoelectrones; ii) la frecuencia umbral de emisión; iii) la función trabajo.

( c = 3 ·108 m s-1 ; h = 6,6 ·10-34 J s ; e = 1,6 ·10-19 C ) a) Nos encontramos ante un problema de efecto fotoeléctrico (emisión de electrones por parte de un metal al

incidir sobre él radiación electromagnética). Este fenómeno, que las teorías clásicas no podían explicar suponiendo un carácter ondulatorio para la luz, fue explicado por Einstein en 1905 suponiendo que en la interacción entre radiación y materia la luz adopta carácter de partícula, es decir, la energía de la luz incidente se transmite de forma discreta, concentrada en partículas o “cuantos” de luz, los fotones. La energía de un fotón depende de su frecuencia y viene dada por la expresión υ⋅= hE f , donde h es la constante de Planck (h = 6,6·10 –34 J s).

Al incidir sobre los electrones externos del metal, el fotón cede su energía íntegramente al electrón. Para poder

extraerlo del metal, esta energía debe ser superior a la necesaria para vencer la atracción del núcleo (trabajo de extracción o función trabajo) 0extr hW υ⋅= , donde 0υ es la frecuencia umbral característica del metal.

La energía sobrante se invierte en aportar energía cinética a los electrones. El balance energético queda eextrf EcWE += La energía cinética de los fotoelectrones puede calcularse a partir del potencial de frenado Vfr (diferencia de

potencial necesaria para frenar los electrones emitidos, reduciendo a cero su energía cinética)

J1008,2V3,1C106,1VeEce

EcV 1919

free

fr−− ⋅=⋅⋅=⋅=→=

La energía del fotón: J1007,7m10280

sm103sJ106,6chhE 199

1836

f−

−

−−

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅=

λυ

Por lo tanto la función trabajo (trabajo de extracción) del metal se calcula J1099,4J1008,2J1007,7EcEW 191919

efextr−−− ⋅=⋅−⋅=−= (aprox. 2 eV)

Y la frecuencia umbral del metal Hz1056,7sJ106,6

J1099,4h

WhW 14

34

19extr

00extr ⋅=⋅⋅

⋅==→⋅= −

−

υυ

b) Usando el balance energético eextrf EcWE += i) La energía cinética máxima de los fotoelectrones disminuye, ya que está relacionada directamente con el

potencial de frenado, y este disminuye. J1012,1V7,0C106,1VeEc 1919fre

−− ⋅=⋅⋅=⋅= iii) La energía de los fotones no cambia, ya que la luz incidente es la misma. Por tanto, si disminuye la Ec de los

electrones arrancados (ya que disminuye el potencial de frenado) es porque la función trabajo del metal ha aumentado. Es necesaria una mayor energía para vencer la atracción por parte del núcleo.

J1005,6J1012,1J1007,7EcEW 191919efextr

−−− ⋅=⋅−⋅=−= ii) La frecuencia umbral de fotoemisión aumenta. Son necesarios fotones más energéticos para arrancar los

electrones. A partir del trabajo de extracción

Hz1017,9sJ106,6

J1005,6h

WhW 14

34

19extr

00extr ⋅=⋅⋅

⋅==→⋅= −

−

υυ

Explicación química: La oxidación del metal (pérdida de electrones) debido a la luz incidente origina que los

átomos de la superficie del metal se ionicen (se convierten en cationes, de carga positiva). Esto explica el hecho de que se necesite más energía para continuar arrancando electrones al metal ya oxidado.




OPCIÓN A:

1. Por dos conductores rectilíneos y de gran longitud, dispuestos paralelamente, circulan corrientes eléctricas de la misma intensidad y sentido.

a) Dibuje un esquema, indicando la dirección y el sentido del campo magnético debido a cada corriente y del campo magnético total en el punto medio de un segmento que una a los dos conductores y coméntelo.

b) Razone cómo cambiaría la situación al duplicar una de las intensidades y cambiar su sentido. 2. a) Explique, en términos de energía, el proceso de emisión de fotones por los átomos en un estado excitado.

b) Explique por qué un átomo sólo absorbe y emite fotones de ciertas frecuencias. 3. Suponga que la masa de la Tierra se duplicara.

a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante.

b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, ¿Cuál sería el valor de g en la superficie terrestre?

G = 6,67 ·10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6 ·1024 kg ; RT = 6370 km ; Rorbital Luna = 1,74 ·106 m 4. Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple.

a) Escriba la ecuación de movimiento si la aceleración máxima es 5π2 cm s-2, el periodo de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2,5 cm.

b) Represente gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo y comente la gráfica.

OPCIÓN B: 1. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede asociarse una energía potencial a una fuerza de rozamiento?. b) ¿Qué tiene más sentido físico, la energía potencial en un punto o la variación de energía potencial entre dos

puntos? 2. a) La masa de un núcleo atómico no coincide con la suma de las masas de las partículas que os constituyen. ¿Es

mayor o menor? ¿Cómo justifica esa diferencia?. b) ¿Qué se entiende por estabilidad nuclear? Explique, cualitativamente, la dependencia de la estabilidad

nuclear con el número másico. 3. Una partícula de masa m y carga –10-6 C se encuentra en reposo al estar sometida al campo gravitatorio

terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N C-1 de la misma dirección. a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa. b) analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N C-1 y determine su aceleración. g = 10 m s-2

4. Un haz de luz de 5·104 Hz viaja por el interior de un diamante. a) Determine la velocidad de propagación y la longitud de onda de esa luz en el diamante. b) Si la luz emerge del diamante al aire con un ángulo de refracción de 10º, dibuje la trayectoria del haz y

determine el ángulo de incidencia. c = 3·108 m s-1 ; ndiamante = 2,42



SOLUCIÓN AL EXAMEN. OPCIÓN A: 1. Por dos conductores rectilíneos y de gran longitud, dispuestos paralelamente, circulan corrientes

eléctricas de la misma intensidad y sentido. a) Dibuje un esquema, indicando la dirección y el sentido del campo magnético debido a cada corriente y

del campo magnético total en el punto medio de un segmento que una a los dos conductores y coméntelo.

b) Razone cómo cambiaría la situación al duplicar una de las intensidades y cambiar su sentido.

Un conductor rectilíneo por el que circula corriente eléctrica crea a su alrededor un campo magnético debido al movimiento de las cargas eléctricas. Dicho campo B

r tiene como características:

Su módulo viene dado por r2IB⋅⋅

=πμ

Dirección: Perpendicular al movimiento de las cargas eléctricas (corriente) Perpendicular al vector rr (distancia desde la corriente al punto considerado)

Sentido: Dado por la regla del sacacorchos al girar el sentido de la corriente sobre el vector rr .

a) En la situación que nos propone la cuestión, la disposición es

la que nos indica el esquema. En la zona entre ambos conductores, los campos producidos por cada una de las corrientes van en igual dirección (eje z), pero en sentidos opuestos. el punto medio del segmento que une ambos conductores se encuentra a la misma distancia r = d/2 de cada cable, por lo que el módulo de ambos campos será el mismo, al ser también iguales las intensidades de

corriente I1 e I2. )T(kdIB1

rr

⋅⋅

−=πμ )T(k

dIB2

rr

⋅⋅

=πμ

Aplicando el principio de superposición 21 BBBrrr

+= , con lo que el campo total será nulo en ese punto.

b) Al duplicar I1 y cambiar su sentido, la situación queda ahora

como indica el esquema. Ambos campos van en igual dirección y sentido, con lo que el campo total ya no se anulará.

Como ahora I1 = 2· I2 , también 21 B2Brr

⋅= . Como consecuencia,

)T(kdI3B3BBB 221tot

rrrrr

⋅⋅

=⋅=+=πμ

2. a) Explique, en términos de energía, el proceso de emisión de fotones por los átomos en un estado

excitado. b) Explique por qué un átomo sólo absorbe y emite fotones de ciertas frecuencias.

Respondemos a ambos apartados conjuntamente: La emisión y absorción de fotones por parte de los átomos fue explicada por Niels Bohr en 1913, a partir de sus

postulados, y completada por la Teoría Cuántica. Resumiendo brevemente: - Los estados permitidos para el electrón en el átomo están cuantizados. Sólo están permitidos ciertos estados

(orbitales) a los que corresponde una energía concreta. - Mientras un electrón permanece en un estado permitido, su energía permanece constante. - El estado de mínima energía de un átomo, en el que los electrones ocupan los estados con menor energía

posible, se denomina estado fundamental.

2I×1B

r

2Br

1I

d

x+

y+

2I

1Br

2Br

1I

d

x+

y+

totBr



- Cuando uno o más electrones están ocupando estados con mayor energía que el estado fundamental, dejando vacíos niveles inferiores, se habla de que el átomo está en un estado excitado.

Emisión de fotones: Un electrón que se encuentra en un estado excitado, volverá al cabo de cierto tiempo a ocupar un nivel vacío

inferior. Para ello realiza una transición electrónica desde un orbital de mayor energía hasta otro orbital de menor energía. La diferencia de energía se desprende en forma de radiación, emitiéndose un fotón cuya energía es igual a la diferencia entre ambos niveles. Por lo tanto, sólo se emitirán fotones con energías muy concretas, a los que corresponden frecuencias muy concretas ( υ⋅= hE fotón )

Absorción de fotones: La absorción de fotones es el proceso inverso a la emisión. Al interaccionar un fotón con un electrón, le

transmite su energía. Sólo si la energía del fotón se corresponde con la diferencia de energía entre dos niveles del átomo, el electrón saltará (realizará una transición) a un estado superior. En caso contrario, el fotón será nuevamente emitido, con lo que el átomo no lo absorberá. Como consecuencia, sólo serán absorbidos fotones con energías muy concretas, lo que implica que sus frecuencias también serán muy concretas ( υ⋅= hE fotón )

(Consecuencia: Esto explica la discontinuidad de los espectros atómicos de absorción y emisión, así como el

hecho de que cada elemento químico tenga su espectro característico) 3. Suponga que la masa de la Tierra se duplicara.

a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante.

b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, ¿Cuál sería el valor de g en la superficie terrestre?

G = 6,67 ·10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6 ·1024 kg ; RT = 6370 km ; Rorbital Luna = 1,74 ·106 m (Este último dato está mal: el radio orbital de la Luna es de aproximadamente 384400 km = 3,844 · 108 m. Han puesto el radio de la Luna, no el de su órbita. Si se sustituyera ese valor, los resultados del apartado a) serían completamente absurdos. Sin embargo, esto no afecta al apartado b) )

a) La relación entre el periodo orbital y el radio de la órbita de un satélite que describe órbitas en torno a un astro

central viene dada por la tercera Ley de Kepler: MG

4rT 2

3

2

⋅=

π

donde T es el periodo orbital del satélite, r es el radio de la órbita, y M la masa del cuerpo central (en este caso la Tierra). Suponemos en esta cuestión que la masa de la Tierra es M = 2· 6 ·1024 kg = 1,2 ·1025 kg

Despejando el periodo orbital: días4,19h465s1067,1MG

4rT 62

32 ≈≈⋅=⋅

⋅=π

El periodo de revolución disminuiría (en la realidad es de unos 28 días) b) La gravedad superficial es el valor del campo gravitatorio creado por el planeta en su superficie. Admitiendo

que la Tierra es una esfera, el campo gravitatorio que crea en su superficie viene dado por 20 RMGg ⋅

= , donde

M y R son la masa y el radio del planeta, respectivamente. Al duplicar ambas magnitudes, la gravedad superficial será

2g

R4MG2

)R2(M2G'g 0

220 =⋅⋅

=⋅

= La gravedad superficial se reduciría a la mitad del valor actual.

Suponiendo un valor aproximado de g0T = 9,8 m/s2, la nueva gravedad superficial sería de 4,9 m/s2.



4. Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple.

a) Escriba la ecuación de movimiento si la aceleración máxima es 5π2 cm s-2, el periodo de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2,5 cm.

b) Represente gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo y comente la gráfica. a) Un movimiento armónico simple (m.a.s.) es un movimiento oscilatorio periódico, cuya elongación

(desplazamiento) respecto a la posición de equilibrio ( y ) viene dada por una función sinusoidal )( 0ϕω +⋅⋅= tsenAy , donde A es la amplitud del movimiento (valor máximo de la elongación), ω la

frecuencia angular y 0ϕ la fase inicial del movimiento. Calculamos las magnitudes implicadas a partir de los datos del problema:

s/rads2rad2

T2 πππω ===

Aceleración máxima: m05,0cm5s

s/cm5aAAa 22

22

2ymáx2

ymáx ====→⋅= −ππ

ωω

Fase inicial: Para t = 0 s, y = 2,5 cm = 0,025 m. sustituyendo en la ecuación. rad52,0rad)5,0(arcsen)(sen05,0025,0)t(senAy 6000 ===→⋅=→+⋅⋅= πϕϕϕω (También es válido πϕ 6

50 = )

La ecuación de movimiento queda: m)t(sen05,0)t(y 6

ππ +⋅⋅= b) La velocidad de vibración se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo.

s/m)tcos(05,0dtdyv 6y

πππ +⋅⋅⋅==

La velocidad es máxima (en valor absoluto) en aquellos instantes en que el móvil pasa por la posición de equilibrio, y nula cuando el móvil se encuentra en sus punto de elongación máxima.

La velocidad máxima es 0,05π m/s. Ambas funciones (seno y coseno) están desfasadas π/2. Para t = 0 s, el movimiento comienza con una elongación igual a 0,025 m (la mitad de la amplitud) y con una

velocidad de 0,136 m/s (la velocidad máxima es de 0,157 m/s) Como todo m.a.s, la gráfica representa un movimiento periódico.

t

y

T

A

-A

y0

t

vy

T

-Aω

Aω



OPCIÓN B: 1. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede asociarse una energía potencial a una fuerza de rozamiento?. b) ¿Qué tiene más sentido físico, la energía potencial en un punto o la variación de energía potencial entre

dos puntos? a) No puede hacerse, ya que sólo tiene sentido asociar una energía potencial a una fuerza conservativa (como las

fuerzas gravitatoria, elástica y eléctrica), y la fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa. La razón de esto está en la relación entre energía potencial y fuerza. La energía potencial se define a partir de la

expresión FCWEp −=Δ , que permite calcular el trabajo realizado por la fuerza mediante la diferencia de energía potencial entre los puntos inicial y final del desplazamiento. Y esto sólo tiene sentido si el trabajo realizado por la fuerza es independiente del camino seguido, es decir, si sólo depende de los puntos inicial y final. Y para que esto ocurra la fuerza debe ser conservativa.

La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa, y el trabajo que realiza entre dos puntos depende del camino seguido, por lo que sería imposible aplicar la expresión anterior.

b) Como hemos expresado anteriormente, el sentido físico (y su utilidad como magnitud física) de la energía

potencial radica en la relación FCWEp −=Δ que permite calcular el trabajo realizado por la fuerza mediante la diferencia de energía potencial entre los puntos inicial y final del desplazamiento. Es la diferencia de energía potencial lo que nos va a indicar el trabajo realizado, la transferencia de energía.

Además, ya que la energía potencial se define a partir de la expresión anterior, no podemos conocer el valor exacto de la energía potencial en un punto, sólo diferencias entre puntos. Se hace necesario entonces establecer una referencia, un origen de energía potencial a partir del cual medir.

Como hemos argumentado, tiene más sentido físico la diferencia de energía potencial entre dos puntos. 2. a) La masa de un núcleo atómico no coincide con la suma de las masas de las partículas que lo

constituyen. ¿Es mayor o menor? ¿Cómo justifica esa diferencia?. b) ¿Qué se entiende por estabilidad nuclear? Explique, cualitativamente, la dependencia de la estabilidad

nuclear con el número másico.

a) La masa de un núcleo atómico es menor que la suma de las masas de las partículas que lo componen. Esto se conoce como defecto másico, y se debe a la transformación de masa en energía al formarse el núcleo a partir de sus partículas. Este fenómeno se explica a partir de la teoría de la relatividad de Einstein. Una de sus consecuencias es la de la equivalencia masa-energía, 2cmE ⋅= . La energía desprendida de este modo al formarse el núcleo a partir de sus partículas se conoce como energía de enlace (Ee) y es la responsable, en términos energéticos, de la estabilidad nuclear, ya que para volver a separar las partículas habría que suministrar al núcleo esa energía que ha desprendido.

2e cmE ⋅= Δ , siendo el defecto másico PartículasNúcleo mmm ΣΔ −=

b) La estabilidad nuclear es la tendencia que tiene un núcleo atómico a

mantenerse inalterado. Es decir, un núcleo es estable si no se descompone, si no se transforma en otro núcleo mediante desintegraciones radiactivas. La mayor o menor estabilidad de un núcleo depende de la energía desprendida en su formación. Concretamente, del promedio de energía desprendido por cada partícula. Esto se conoce como energía de enlace por nucleón.

AEE e

n = , siendo Ee la energía de enlace (ver apartado anterior) y A el

número másico. Representando la energía de enlace por nucleón en función del número

másico, se obtiene una gráfica como la de la figura, en la que se observa que la En (y, por tanto, la estabilidad nuclear) aumenta con A para los elementos más ligeros y tiene un máximo para el elemento Hierro (A = 56), decreciendo suavemente para elementos más

nE

AFe



pesados. Los elementos más ligeros que el hierro desprenden energía al fusionarse, mientras que para los elementos pesados es la fisión lo que produce desprendimiento de energía.

3. Una partícula de masa m y carga –10-6 C se encuentra en reposo al estar sometida al campo gravitatorio

terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N C-1 de la misma dirección. a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa. b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N C-1 y determine su

aceleración. g = 10 m s-2

a) La partícula se encuentra sometida únicamente a dos campos

constantes, uno gravitatorio y otro electrostático. Por tanto, las dos únicas fuerzas que sufrirá la partícula serán la gravitatoria

gmFgrr⋅= y la electrostática EqFe

rr⋅= , cuyas direcciones y

sentidos aparecen en el esquema. Al estar la partícula en reposo, se cumple para ella la primera ley

de Newton, por lo que la resultante de las fuerzas sobre la misma es nula. egeg FF0FF0F

rrrrr−=→=+→=Σ , por lo que

ambas fuerzas serán iguales en módulo y dirección, y en sentido contrario.

Así: kg10kgN10

CN100C10g

EqmEqgm 5

1

16−

−

−−

=⋅

=⋅

=→⋅=⋅

b) Si el módulo del campo eléctrico aumenta, también lo hace el valor de la fuerza eléctrica, con lo que la partícula

dejará de estar en equilibrio, y sufrirá una aceleración que viene dada por la segunda ley de Newton:

25

kgN5

CN6

smj2kg10

)j10(kg10)j120(C10m

gmEqmFaamF −

−

−−

=−⋅+−⋅−

=⋅+⋅

==→⋅=r

rrrrrrrr ΣΣ

Al ser la aceleración constante, el movimiento de la partícula será uniformemente acelerado, y su trayectoria será rectilínea, al partir del reposo.

El esquema de las fuerzas es el mismo que el del apartado anterior, sólo cambia el módulo de las mismas. 4. Un haz de luz de 5·104 Hz viaja por el interior de un diamante.

a) Determine la velocidad de propagación y la longitud de onda de esa luz en el diamante. b) Si la luz emerge del diamante al aire con un ángulo de refracción de 10º, dibuje la trayectoria del haz y

determine el ángulo de incidencia. c = 3·108 m s-1 ; ndiamante = 2,42

a) Nos encontramos ante un haz de luz (una onda electromagnética) que se propaga por un medio transparente. La velocidad de la luz en el diamante la calculamos a partir de su índice de refracción, que es el cociente entre la

velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio:

1818

sm1024,142,2

sm103ncv

vcn −

−

⋅=⋅

==→=

Y a partir de ahí calculamos la longitud de onda de la luz en el diamante, a partir de la velocidad de propagación y la frecuencia (que se mantiene constante)

m2480s105

sm1024,1v14

18

=⋅⋅

== −

−

υλ

x+

y+

Er

eFr

gFr gr



b) El rayo de luz sufre refracción al pasar a propagarse por un medio con diferente índice de refracción (la luz se propaga a diferente velocidad).

Al propagarse por un medio diferente, cambian las características de la onda que dependen del medio, como la velocidad de propagación y la longitud de onda. La frecuencia (el tipo de radiación, el “color” de la luz) depende exclusivamente del foco emisor, y no cambia al pasar de un medio a otro. En la refracción, debido a la diferencia de velocidad experimentada por la onda, el frente de onda se desvía. La relación entre el ángulo que forman con la normal a la frontera los rayos incidentes y refractados viene dada por la ley de Snell:

2211 sennsenn αα ⋅=⋅ donde n1 y α1 corresponden a la onda incidente y n2 , α2 al rayo

refractado (emergente), como se ve en el esquema. n1 = 2,42 ; α2 = 10º n2 ~1 (consideramos que el índice de refracción del

aire es aproximadamente igual al del vacío) Aplicando la ley de Snell: º11,4)072,0(arcsenº10sen1sen42,2 11 ==→⋅=⋅ αα El ángulo de incidencia es de 4,11º. (Se observa que, al pasar de un medio a otro con menor índice de

refracción, el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia)

1α

2α

Diamante.1

Aire.2

IES Al-Ándalus. Dpto de Física y Química. Curso 2007/08 - 1 -

Examen resuelto por José Antonio Navarro Domínguez. [email protected]

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA SELECTIVIDAD. FÍSICA. JUNIO 08

OPCIÓN A 1. Comente razonadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) La fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos e indefinidos por los que circulan corrientes de

diferente sentido es repulsiva. b) Si una partícula cargada en movimiento penetra en una región en la que existe un campo magnético

siempre actúa sobre ella una fuerza. 2. a) Explique la formación de imágenes y sus características en una lente divergente. b) ¿Pueden formarse imágenes virtuales con lentes convergentes? Razone la respuesta. 3. Un satélite del sistema de posicionamiento GPS, de 1200 kg, se encuentra en una órbita circular de

radio 3 RT. a) Calcule la variación que ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la superficie

terrestre. b) Determine la velocidad orbital del satélite y razone si la órbita descrita es geoestacionaria. G = 6,67 ·10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6,0 ·1024 kg ; RT = 6400 km 4. La masa atómica del isótopo N14

7 es 14,0001089 u. a) Indique los nucleones de este isótopo y calcule su defecto de masa. b) Calcule su energía de enlace. c = 3,0 ·108 m·s-1 ; 1 u = 1,67 ·10-27 kg ; mp = 1,007276 u ; mn = 1,008665 u OPCIÓN B 1. a) Conservación de la energía mecánica. b) Un cuerpo desliza hacia arriba por un plano inclinado que forma un ángulo con la horizontal.

Razone qué trabajo realiza la fuerza peso del cuerpo al desplazarse éste una distancia d sobre el plano.

2. a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características cinemáticas y dinámicas. b) Una masa oscila verticalmente suspendida de un muelle. Describa los tipos de energía que

intervienen y sus respectivas transformaciones. 3. Una bolita de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de longitud y, al aplicar un

campo eléctrico uniforme y horizontal de 1000 N C-1, el hilo forma un ángulo de 15° con la vertical. a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la esfera y determine

su carga eléctrica. b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo eléctrico. g = 10 m·s-2 4. a) Un haz de electrones se acelera bajo la acción de un campo eléctrico hasta una velocidad de 6 ·105

m·s-1. Haciendo uso de la hipótesis de De Broglie calcule la longitud de onda asociada a los electrones.

b) La masa del protón es aproximadamente 1800 veces la del electrón. Calcule la relación entre las longitudes de onda de De Broglie de protones y electrones suponiendo que se mueven con la misma energía cinética.

h = 6,63 ·10-34 J·s ; me = 9,1 ·10-31 kg.



SELECTIVIDAD. FÍSICA. JUNIO 08 SOLUCIÓN.

OPCIÓN A

1. Comente razonadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) La fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos e indefinidos por los que circulan

corrientes de diferente sentido es repulsiva. b) Si una partícula cargada en movimiento penetra en una región en la que existe un campo

magnético siempre actúa sobre ella una fuerza.

a) La afirmación es cierta. Podemos calcular la fuerza que un conductor ejerce

sobre el otro calculando en primer lugar el campo magnético que crea el primer

conductor en la zona en la que está el segundo

d2

IB 1

12 con dirección perpendicular a al conductor y a la distancia,

y sentido dado por la regla de la mano derecha,

y posteriormente aplicar la ley de Laplace para obtener la fuerza que sufre

el conductor 2.

122212 BLIF

El sentido de esta fuerza hace que el conductor 2 tienda a alejarse del 1, como puede verse en el esquema.

Del mismo modo puede calcularse la fuerza que ejerce el conductor 2 sobre el 1. Cumpliendo la 3º ley de

Newton, va en sentido contrario. Estas fuerzas hacen que ambos conductores sufran repulsión.

b) La fuerza magnética que sufre una partícula cargada q en el interior de un campo magnético viene dada

por la ley de Lorentz BvqFm

, donde v

es la velocidad de la partícula y B

el campo magnético.

Si la partícula se mueve en dirección paralela al campo magnético, entonces el producto vectorial será nulo,

y no actuará fuerza magnética sobre la partícula.

Por lo tanto, la afirmación es falsa. No siempre actuará una fuerza.

2. a) Explique la formación de imágenes y sus características en una lente divergente. b) ¿Pueden formarse imágenes virtuales con lentes convergentes? Razone la respuesta.

a) Una lente divergente es un sistema óptico (normalmente

de vidrio) que, mediante refracción, rayos que inciden paralelos al eje óptico, a la salida diverjan de un punto

denominado foco. La posición de los focos objeto (F) e

imagen (F’) está indicada en el esquema.

La imagen que produce una lente divergente es siempre

virtual (los rayos no convergen en un punto, sino que

parecen divergir de él), derecha y más pequeña que el

objeto, como puede verse en el esquema de rayos.

b) Una lente convergente puede producir una imagen

virtual si el objeto está situado entre el foco objeto y la lente. Es el caso de una lupa, que produce imágenes

virtuales, derechas y de mayor tamaño que el objeto. En el

siguiente esquema vemos cómo se forman las imágenes en este caso.

Objeto Imagen

Objeto

Imagen



3. Un satélite del sistema de posicionamiento GPS, de 1200 kg, se encuentra en una órbita circular

de radio 3 RT. a) Calcule la variación que ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la

superficie terrestre. b) Determine la velocidad orbital del satélite y razone si la órbita descrita es geoestacionaria. G = 6,67 ·10

-11 N m

2 kg

-2 ; MT = 6,0 ·10

24 kg ; RT = 6400 km

a) En su órbita alrededor de la Tierra, el satélite está sometido únicamente a la acción de

la fuerza gravitatotia que la Tierra ejerce sobre el mismo. Esta fuerza (el peso del satélite)

viene dada por la ley de Gravitación de Newton.

9

F

R9

mMG

)R3(

mMG

r

mMGF

supg

2

T

T

2

T

T

2órbitag

Vemos que el peso del satélite se reduce a la novena parte del peso en la superficie terrestre.

Datos: r = 3 RT = 19200 km = 1,92 ·10

7 m

m = 1200 kg.

(También puede entenderse la variación como la diferencia numérica entre los pesos. Basta entonces con sustituir los valores para el caso de la superficie terrestre (r = RT), dando un peso de 11724,6 N, y para el

caso de la órbita (r =3 RT), siendo el peso entonces de 1302,7 N. El peso disminuye en 10421,9 N.)

b) La velocidad del satélite en su órbita se calcula con la expresión

1

6

2411

orb sm5,4565104,63

100,61067,6

r

MGv

Un satélite geoestacionario se encuentra siempre sobre la vertical del mismo punto de la superficie

terrestre. Para que esto ocurra, la órbita debe ser ecuatorial y su periodo de revolución debe ser

igual al terrestre, es decir, de 1 día (86400 s). Esto hace que sólo exista una posible órbita para este

tipo de satélites, con un radio de unos 42.000 km. No es este el caso del problema.

Calcularemos el periodo de revolución del satélite. Dado que se trata de un movimiento uniforme,

podemos calcular este tiempo dividiendo la distancia recorrida (una vuelta = 2 · · r) entre la velocidad que

lleva (vorb). Así

)h3,7(s6,26423v

r2

v

dT

orborb

Por tanto, no puede ser geoestacionario.

Otra forma de calcularlo, es a partir de la aplicación de la 3ª ley de Kepler al movimiento del

satélite.

s6,26423GM

r4T

GM

4

r

T 322

3

2

TM

m

r



4. La masa atómica del isótopo N14

7 es 14,0001089 u.

a) Indique los nucleones de este isótopo y calcule su defecto de masa. b) Calcule su energía de enlace. c = 3,0 ·10

8 m·s

-1 ; 1 u = 1,67 ·10

-27 kg ; mp = 1,007276 u ; mn = 1,008665 u

a) El número de nucleones (protones o neutrones) de un determinado isótopo vienen determinados por su número atómico (Z = nº de protones = 7 en este caso) y su número másico (A = nº de protones + nº de

neutrones). Así

A = Z + N 14 = 7 + N N = 7

Este isótopo posee en su núcleo 7 protones y 7 neutrones.

El defecto másico de un núcleo es la diferencia entre la masa del núcleo y la suma de las masas de sus

partículas por separado.

u110498.0)u008665,17u007276,17(u001089,14mmmPARTÍCULASNÚCLEO

En unidades del S.I. m = -1,845·10-28

kg (el signo – corresponde a masa perdida)

b) Cuando se forma un núcleo mediante la unión de los protones y neutrones que lo componen, se observa

que la masa nuclear es menor que la suma de las masas de las partículas por separado. Es decir, se ha

perdido masa en el proceso de formación (sin embargo, las partículas siguen siendo las mismas). A esa masa

perdida se le denomina defecto másico ( m) . Se calcula con la expresión

PARTÍCULASNÚCLEO

mmm .

¿Que ha ocurrido con esta masa? Pues se ha transformado en energía, la cual es desprendida en forma de radiación. La cantidad de energía desprendida al formarse el núcleo a partir de sus partículas se denomina

energía de enlace (Ee), y se calcula mediante 2

e cmE

Si bien es una energía desprendida (correspondería que fuera negativa), se toma en valor absoluto.

También puede entenderse la energía de enlace como la energía que hay que suministrar al núcleo para descomponerlo en sus partículas. (entonces cobra sentido el signo positivo)

Para el N14

7 , la energía de enlace queda

J1066,1)103(10845,1cmE 1128282

e



OPCIÓN B:

1. a) Conservación de la energía mecánica.

b) Un cuerpo desliza hacia arriba por un plano inclinado que forma un ángulo con la horizontal. Razone qué trabajo realiza la fuerza peso del cuerpo al desplazarse éste una distancia d sobre el plano.

a) Entendemos por energía mecánica la suma de las energías debidas al movimiento (energía cinética,

2

21 vmEc ) y a la acción de fuerzas conservativas sobre el cuerpo (energía potencial). Dado que existen

tres tipos de fuerzas conservativas (gravitatoria, elástica y electrostática), tendremos también tres tipos de

energía potencial que puede almacenar el cuerpo estudiado. Así, la energía mecánica queda

)( elegM EpEpEpEcEpEcE

Variación y conservación de la energía mecánica:

El trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre el sistema producen variación en los tipos de energía del

mismo Así, sabemos, por el teorema trabajo-energía cinética, que el trabajo total realizado varía la energía

cinética TOTWEc

Y que el trabajo de las fuerzas conservativas varía la energía potencial FCWEp

La variación total de energía mecánica será EpEcEM

Con lo cual, sustituyendo, nos queda FNCFCTOTM WWWE

Es decir, son las fuerzas no conservativas aplicadas al cuerpo las que hacen que cambie su energía

mecánica. Dicho de otra forma: Si sobre un cuerpo actúan fuerzas no conservativas y éstas realizan trabajo, la

energía mecánica del cuerpo variará. Esas fuerzas no conservativas pueden hacer que la EM aumente o

disminuya. En ese último caso se dice que la fuerza es disipativa (por ejemplo el rozamiento)

Principio de conservación de la energía mecánica:

De lo anterior podemos extraer una nueva lectura, que se conoce como “principio de conservación de la energía mecánica”.

Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas no conservativas, o éstas no realizan trabajo, la energía

mecánica del cuerpo se mantendrá constante cteEEWsi MMFNC 00 .

b) Podemos calcular el trabajo del peso teniendo en cuenta que la fuerza gravitatoria es conservativa, de

manera que gFg EpW

Considerando que estamos en la superficie terrestre y que la altura alcanzada es mucho menor que el radio de

la Tierra, podemos suponer que la gravedad se mantiene constante durante el desplazamiento y que la

energía potencial tiene la expresión mghEpg , con el nivel cero de energía potencial en el suelo (h = 0 m)

Así, sendmgmghmgh0EpEpEpW 2g1ggFg

Vemos que el peso realiza un trabajo negativo, ya que se opone al desplazamiento. Esto hace que aumente la

energía potencial gravitatoria almacenada.

(También puede calcularse a partir de la consideración de que el peso es una fuerza constante. El trabajo

realizado será sendmg)90cos(dmgrFW gFg



2. a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características cinemáticas y

dinámicas. b) Una masa oscila verticalmente suspendida de un muelle. Describa los tipos de energía que

intervienen y sus respectivas transformaciones. a) Un movimiento armónico simple (m.a.s.) es un movimiento oscilatorio periódico, cuya elongación

(desplazamiento) respecto a la posición de equilibrio ( y ) viene dada por una función sinusoidal

)( 0tsenAy , donde A es la amplitud del movimiento, la frecuencia angular y 0 la fase

inicial del movimiento. La velocidad la obtenemos derivando la posición respecto al tiempo.

)cos( 0tAdt

dyv y

Y la aceleración, derivando la velocidad respecto al tiempo )( 0

2 tsenAdt

dva

y

y

Comparando las expresiones de posición y aceleración, comprobamos que se cumple que

yay

2 , es decir, la aceleración es proporcional al desplazamiento, y va en sentido

contrario.

Dinámicamente, un sistema físico describe un m.a.s. cuando está sometido a una fuerza que es

proporcional al deslazamiento respecto a una determinada posición (posición de equilibrio) y se

opone a dicho desplazamiento. La ley de Hooke de los cuerpos elásticos es un ejemplo

característico. Por ejemplo, para una partícula unida a un resorte, aplicando la 2º ley de Newton,

obtenemos la expresión de la frecuencia característica de oscilación a partir de la masa de la

partícula y de la constante elástica del resorte.

m

KmK

ymamF

yKFel

y

2

2

b) En la oscilación vertical, y despreciando el rozamiento, la partícula sólo está sometida a dos fuerzas

conservativas, el peso y la fuerza elástica. Por consiguiente, la energía mecánica del sistema se mantendrá

constante. Las energías presentes (cinética, potencial elástica y potencial gravitatoria) varían de la siguiente

forma durante una oscilación completa:

mghEpg;yKEp;vmEc 2

21

el

2

y21

En el punto más alto de la oscilación, la energía potencial gravitatoria es máxima, así como la elástica, ya que el muelle sufre su máxima compresión. En este punto la velocidad de la partícula es nula, por lo que la

energía cinética también lo es.

Al descender, disminuyen las energías gravitatoria y cinética, al tiempo que aumenta la energía cinética,

hasta pasar por la posición de equilibrio, donde la Ec es máxima y la Ep elástica es nula (estiramiento cero). A partir de este momento, con el estiramiento del muelle, vuelve a aumentar la energía potencial elástica, a

costa de la disminución de la cinética, que llega a anularse en el punto de máximo estiramiento (el más bajo

de la trayectoria), siendo otra vez máxima la energía elástica. La energía gravitatoria alcanza su valor más bajo.

A partir de aquí, el proceso se repite a la inversa. Durante la subida disminuye la energía elástica almacenada, transformándose en energía cinética y energía gravitatoria. Al pasar por la posición de

equilibrio, nuevamente la Ec es máxima y la elástica se anula. Finalmente, al seguir ascendiendo se

comprime el muelle, con lo que la Ec disminuye hasta anularse en el punto más alto, al tiempo que la energía

elástica vuelve a aumentar hasta su valor máximo.



3. Una bolita de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de longitud y, al aplicar un campo eléctrico uniforme y horizontal de 1000 N C

-1, el hilo forma un ángulo de 15°

con la vertical. Considere g = 10 m·s-2

a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la esfera y determine su carga eléctrica.

b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo eléctrico.

a) Nos encontramos ante una partícula cargada dentro de un campo electrostático.

La bolita cargada se desvía por acción de la fuerza electrostática EqFe

. No nos dicen

si la carga es positiva o negativa (esto es un fallo del enunciado), así que la supondremos positiva, para poder hacer un esquema de fuerzas.

Las fuerzas que actúan sobre la bolita son la gravitatoria, la electrostática y la tensión del

hilo (descompuesta en el esquema en Tx y Ty)

Aplicando la primera ley de Newton a la bolita en equilibrio, 0F

, llegamos a

E

tggmqtg

gm

Eq

cosTgm0FgTy:y

senTEq0TxFe:x

Sustituyendo valores, obtenemos que C1036,5q 6.

b) Esta pregunta puede llevar a confusión, ya que no especifica si se refiere sólo a energía potencial electrostática o a todas las energías potenciales, lo que incluiría la gravitatoria. Resolveremos el problema de

la forma más general posible, calculando ambas.

A partir de la figura:

L = 0,2 m = 15º d = L · sen = 0,05176 m

h = L – L · cos = 0,2 – 0,19319 = 0,00681 m

La variación de energía potencial gravitatoria

J10362,10mghEpEpEp 4

1g2gg

Y la de energía potencial electrostática, la calculamos sabiendo que la fuerza electrostática es conservativa,

con lo que Fee WEp

A su vez el trabajo eléctrico lo obtenemos teniendo en cuenta que la fuerza eléctrica es constante en todo

momento, y podemos usar la expresión cosrFrFW eeFe

Así, J10774,2dEqcosrEqcosrFrFWEp 4

eeFee

Y la variación total de energía potencial es de J10412,1EpEpEp 4

ge

(A partir de aquí ya no lo pide el problema, pero creo que enriquece la resolución)

Teniendo en cuenta que la energía mecánica se mantiene constante (la única fuerza no conservativa que actúa, la tensión del hilo, es en cada momento perpendicular al desplazamiento - es una fuerza centrípeta -

por lo que no realizará trabajo) habrá un aumento neto en la energía cinética de la bola

J10412,1EpEccteE 4

eM

Conclusión: El trabajo positivo realizado por la fuerza electrostática hace que la energía potencial electrostática

disminuya. Esta energía se transforma en energía cinética y además, conforme la bolita asciende, en energía

potencial gravitatoria, hasta llegar a la situación de equilibrio. Pero cuando llega a esta posición, todavía posee energía cinética, por lo que la bolita pasará de largo para

frenar y detenerse un poco más allá (a partir de los 15º, Tx se hace mayor que la fuerza eléctrica y Ty menor

que la gravitatoria, y la resultante frena el movimiento) y volver, realizando oscilaciones en torno a la posición de equilibrio de 15º.

(Algo parecido a lo que sucede con un muelle oscilante o un péndulo ordinario)

E

Fe Tx

mg

Ty

T

0h

h

L

d

r

eF



4. a) Un haz de electrones se acelera bajo la acción de un campo eléctrico hasta una velocidad de 6

·105 m·s

-1. Haciendo uso de la hipótesis de De Broglie calcule la longitud de onda asociada a

los electrones. b) La masa del protón es aproximadamente 1800 veces la del electrón. Calcule la relación entre

las longitudes de onda de De Broglie de protones y electrones suponiendo que se mueven con la misma energía cinética.

h = 6,63 ·10-34

J·s ; me = 9,1 ·10-31

kg.

a) El científico francés Louis de Broglie, basándose en los resultados de Planck, Einstein y otros (Compton),

supuso en 1924 que cualquier partícula puede comportarse como una onda en determinados experimentos. A cada partícula corresponde una onda asociada. Es decir, supuso que toda la materia tiene un

comportamiento dual.

Dicho comportamiento ondulatorio vendrá caracterizado por una , llamada longitud de onda

asociada a la partícula que estemos considerando. Esta viene dada por la expresión p

h , donde h es

la cte de Planck y vmp es la cantidad de movimiento de la partícula. Así vm

h

La onda asociada a una partícula recibe el nombre de onda de materia.

Para los electrones del problema m1021,1ms106kg101,9

sJ1063,6

vm

h 9

1531

34

b) La energía cinética de una partícula viene dada por 2

21 vmEc . Si ambas partículas poseen la misma

energía cinética, su velocidad será diferente. Así

e

eep

p v0236,0m

Ec20236,0

m1800

Ec2

m

Ec2v

Sustituyendo en la expresión de De Broglie

e

eeeepp

p 0235,0vm

h0235,0

v0236,0m1800

h

vm

h




OPCIÓN A 1. a) Defina velocidad de escape de un planeta y deduzca su expresión. b) Se desea colocar un satélite en una órbita circular a una altura h sobre la Tierra. Deduzca las

expresiones de la energía cinética del satélite en la órbita y de la variación de su energía potencial respecto de la superficie de la Tierra.

2. a) Razone qué características deben tener dos ondas, que se propagan por una cuerda tensa con sus

dos extremos fijos, para que su superposición origine una onda estacionaria. b) Explique qué valores de la longitud de onda pueden darse si la longitud de la cuerda es L. 3. Un electrón con una velocidad v = 105 j m s-1 penetra en una región del espacio en la que existen un

campo eléctrico E = 104 i N C-1 y un campo magnético B = - 0,1 k T. a) Analice, con ayuda de un esquema, el movimiento que sigue el electrón. b) En un instante dado se suprime el campo eléctrico. Razone cómo cambia el movimiento del electrón

y calcule las características de su trayectoria. e = 1,6 ·10-19 C ; me = 9,1 ·10-31 kg. 4. Una antena emite una onda de radio de 6 ·107 Hz. a) Explique las diferencias entre esa onda y una onda sonora de la misma longitud de onda y determine

la frecuencia de esta última. b) La onda de radio penetra en un medio y su velocidad se reduce a 0,75 c. Determine su frecuencia y

su longitud de onda en ese medio. c = 3,0 ·108 m s-1 ; vs = 340 m s-1 OPCIÓN B 1. a) Enuncie la ley de Coulomb y aplique el principio de superposición para determinar la fuerza que

actúa sobre una carga en presencia de otras dos. b) Dos cargas +q1 y –q2 están situadas en dos puntos de un plano. Explique, con ayuda de una gráfica,

en que posición habría que colocar una tercera carga, +q3, para que estuviera en equilibrio. 2. a) Explique el origen de la energía liberada en una reacción nuclear basándose en el balance masa-

energía. b) Dibuje aproximadamente la gráfica que relaciona la energía de enlace por nucleón con el número

másico y, a partir de ella, justifique por qué en una reacción de fisión se desprende energía. 3. En un instante t1 la energía cinética de una partícula es 30 J y su energía potencial 12 J. En un instante

posterior, t2, la energía cinética de la partícula es de 18 J. a) Si únicamente actúan fuerzas conservativas sobre la partícula, ¿cuál es su energía potencial en el

instante t2 ? b) Si la energía potencial en el instante t2 fuese 6 J, ¿actuarían fuerzas no conservativas sobre la

partícula? 4. Una onda armónica se propaga de derecha a izquierda por una cuerda con una velocidad de 8 m s-1.

Su periodo es de 0,5 s y su amplitud es de 0,3 m. a) Escriba la ecuación de la onda, razonando cómo obtiene el valor de cada una de las variables que

intervienen en ella. b) Calcule la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 2 m, en el instante t = 1 s.



SELECTIVIDAD. FÍSICA. JUNIO 09 SOLUCIÓN. OPCIÓN A 1. a) Defina velocidad de escape de un planeta y deduzca su expresión. b) Se desea colocar un satélite en una órbita circular a una altura h sobre la Tierra. Deduzca las

expresiones de la energía cinética del satélite en la órbita y de la variación de su energía potencial respecto de la superficie de la Tierra.

a) La velocidad de escape para un planeta se define como la velocidad a la que habría que lanzar un cuerpo desde la superficie del planeta para que escapara de su atracción gravitatoria, alejándose indefinidamente.

En este cálculo se desprecia el rozamiento con la atmósfera. Resolvemos el problema empleando conceptos energéticos:

En primer lugar tenemos en cuenta que, al no tener en cuenta el rozamiento, la única fuerza que va a actuar sobre el movimiento del cohete será la gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica del cohete se mantendrá constante.

Datos: M, R: masa y radio del planeta m: masa del proyectil Sistemas de referencia: mediremos las distancias desde el centro del planeta. El origen de energía potencial gravitatoria lo colocamos a una distancia infinita

del centro planetario, por lo que la expresión usada para la Epg será

R

mMGEpg⋅⋅

−=

Consideraremos dos situaciones:

Inicial: Lanzamiento del cohete desde la superficie terrestre con velocidad ev .

221

1 emvEc = R

mMGEpg⋅⋅

−=1

R

mMGmvEpEcE egM⋅⋅

−=+= 221

1

Final: el cohete se aleja indefinidamente. En el límite cuando la distancia r tiende a infinito, la velocidad (y la Ec) tiende a cero, al igual que la energía potencial, ya que el origen de Ep está colocado en el infinito.

02 =+== ∞→∞→ )EpEc(EE glim

rMlim

rM Aplicando la conservación de la energía mecánica:

RGMv

RmMGvm

RmMGmvEE eeeMM

20 2212

21

11 =⇒/⋅⋅=/⇒=

⋅⋅−⇒=

b) En una órbita circular, el satélite tiene un movimiento circular uniforme, con velocidad de módulo constante denominada velocidad orbital, y que se obtiene con la expresión

hRGM

rGMv

+== donde M y R son la masa y el radio de la Tierra,

respectivamente. La energía cinética se calcula

v = ve r = R

v 0 r ∞

r

R h



)(2

2

212

21

hRGMm

hRGMmmvEc

+=

+==

Al alejarse desde la superficie de la Tierra, la energía potencial del satélite aumenta debido a que la fuerza gravitatoria realiza un trabajo negativo sobre él. ( 0>∆→−=∆ EpgWEpg Fg ). Suponiendo el nivel cero de energía potencial gravitatoria a una distancia infinita de la Tierra, la expresión de la energía potencial

queda r

GMmEpg −= , donde r es la distancia al centro de la Tierra. Así

RGMmEpg −=1

hRGMmEpg

+−=2

( ) ( )hRRGMmh

hRRRhRGMm

hRRGMm

RGMm

hRGMmEpgEpgEpg

+⋅=

+⋅−+

=

+−=+

+−=−=∆

1112

2. a) Razone qué características deben tener dos ondas, que se propagan por una cuerda tensa con

sus dos extremos fijos, para que su superposición origine una onda estacionaria. b) Explique qué valores de la longitud de onda pueden darse si la longitud de la cuerda es L. a) Una onda estacionaria se produce cuando en un mismo medio se propagan dos ondas de la misma naturaleza y con los mismos valores de amplitud y frecuencia (lógicamente también la velocidad de propagación y longitud de onda serán las mismas), en la misma dirección y con sentidos contrarios. La superposición de ambas ondas da lugar a un caso particular de interferencia denominado onda estacionaria, donde existen puntos con interferencia destructiva (nodos) que no vibran (amplitud = A-A=0) intercalados con puntos con interferencia constructiva (vientres) que vibran con amplitud máxima (amplitud = A+A = 2A) En una cuerda tensa con los extremos fijos, la ecuación de vibración de los puntos de la cuerda tiene la forma

tsensenkxAtxy ω⋅⋅= 2),( o tsenkxAtxy ωcos2),( ⋅⋅= La forma más común de producir una onda estacionaria en una cuerda tensa es pulsarla (una guitarra, por ejemplo). Las ondas que se superponen son la que hemos introducido y la onda reflejada en los extremos. En este reflejo se produce un cambio de fase de π radianes. b) En una cuerda con extremos fijos, la posición de los nodos viene dada por la condición

20)( λππ ⋅=→=→=→= nx

knxnkxkxsen con n = 0,1,2...

Al ser el extremo x = L un punto fijo, será también un nodo. Esto obliga a que el valor de λ no puede ser cualquiera. Es decir, está cuantizado. De esta manera

nLnLnxnodos

222

=→⋅=→⋅= λλλ n = 1,2,3… (n=0 corresponde al nodo en el origen x=0)

Con esto obtenemos los diferentes armónicos posibles para esa cuerda. Los cuatro primeros valores posibles de longitud de onda serán. n = 1 λ = 2L (armónico fundamental) n = 2 λ = L n = 3 λ = 2/3 L n = 4 λ = L/2



3. Un electrón con una velocidad vr = 105 jr

m s-1 penetra en una región del espacio en la que existen

un campo eléctrico Er

= 104 ir

N C-1 y un campo magnético Br

= - 0,1 kr

T. a) Analice, con ayuda de un esquema, el movimiento que sigue el electrón. b) En un instante dado se suprime el campo eléctrico. Razone cómo cambia el movimiento del

electrón y calcule las características de su trayectoria. e = 1,6 ·10-19 C ; me = 9,1 ·10-31 kg. a) El electrón, al ser una partícula cargada, al entrar en una región del espacio en la que existen camos eléctrico y magnético, sufrirá dos fuerzas, una eléctrica y otra magnética, dadas por las expresiones Fuerza eléctrica: EqFe

rr⋅= Fuerza magnética: )( BvqFm

rrr∧⋅=

La fuerza total que sufre viene dada por la ley general de Lorentz ( )BvEqBvqEqFFF me ∧+⋅=∧⋅+⋅=+=Σ

Hacemos los cálculos en el caso que nos proponen. NiNCiCEqFe

rrrr151419 106,110106,1 −−− ⋅−=⋅⋅−=⋅=

NiNiNkji

BvqFm

rr

rrr

rrr15419519 106,1)10()106,1(

1,0000100)106,1()( −−− ⋅=−⋅⋅−=

−⋅⋅−=∧⋅=

Vemos que ambas fuerzas son iguales en módulo y dirección pero en sentido contrario, por lo que la resultante, la fuerza total que actúa sobre el electrón, es nula ( 0=ΣF

r)

Aplicando la primera ley de Newton, deducimos que el electrón continuará en su estado de movimiento, es decir, continuará con movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Su trayectoria será rectilínea. b) Al suprimir el campo eléctrico, sobre el electrón sólo actúa la fuerza magnética, que es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. La aceleración que sufrirá el electrón será entonces sólo aceleración normal (centrípeta), con lo que el módulo de la velocidad no cambiará y el movimiento será circular uniforme (MCU). El módulo de la velocidad será de 105 m/s El radio de la curva viene dado por la expresión

mBqvmR 6

19

531

1069,51,0106,1

10101,9 −−

−

⋅=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=

También podemos calcular la velocidad angular de giro sradm

BqRv /1076,1 10⋅=

⋅==ω

Y el periodo de revolución sT 101057,32 −⋅==ωπ

El sentido de giro será horario, como indica el esquema. 4. Una antena emite una onda de radio de 6 ·107 Hz. a) Explique las diferencias entre esa onda y una onda sonora de la misma longitud de onda y

determine la frecuencia de esta última. b) La onda de radio penetra en un medio y su velocidad se reduce a 0,75 c. Determine su

frecuencia y su longitud de onda en ese medio c = 3,0 ·108 m s-1 ; vs = 340 m s-1 a) Las ondas de radio son un tipo de ondas electromagnéticas de baja frecuencia. Encontramos varias diferencias entre la onda de radio y la onda sonora.

x+

y+

vrEr

eFr

mFr

× × × ×

× × × ×

× × × ×× ×

Br

x+

y+

vr

mFr

× × × ×

× × × ×

× × × ×× ×B

r × R



- La primera está en su naturaleza. La onda de radio es electromagnética, está originada por campos eléctricos y magnéticos oscilantes. La onda sonora es originada por vibraciones de las partículas y se transmite como oscilaciones en la presión del medio. - Una onda electromagnética es transversal (las direcciones de perturbación y de propagación son perpendiculares) mientras que la onda sonora es longitudinal (ambas direcciones coinciden). Esto hace que una onda de radio pueda ser polarizada, no así una onda sonora. - Una onda de radio puede transmitirse por el vacío, mientras que la onda sonora es mecánica, necesita un medio material para propagarse. En un mismo medio, las velocidades de propagación son distintas, mucho mayor la de la onda de radio. - Una onda sonora de la misma longitud de onda que la de radio tendrá una frecuencia diferente, ya que la velocidad de propagación es diferente. Calculamos a continuación la frecuencia de la onda sonora (suponemos que ambas se propagan en el aire) En primer lugar calculamos la longitud de onda de la onda de radio (R).

mssmcv

RR

RR 5

106103

17

18

=⋅

⋅=== −

−

υυλ

Calculamos ahora la frecuencia correspondiente a una onda sonora (S) con una longitud de onda de 5 m.

Hzm

smv

S

SS 68

5340 1

===−

λυ

b) Al pasar a propagarse por un medio diferente (refracción), cambian aquellas características de la onda que dependen del medio, como la velocidad de propagación (que nos dicen que se reduce a 0,75 c) y la longitud de onda. La frecuencia sólo depende del foco emisor, por lo que se mantiene constante e igual a 6 ·107 Hz.

La longitud de onda en el nuevo medio será ms

smcv 75,31061025,275,0

17

18

=⋅⋅

=⋅

== −

−

υυλ

En el nuevo medio: frecuencia = 6 ·107 Hz. Longitud de onda = 3,75 m



OPCIÓN B 1. a) Enuncie la ley de Coulomb y aplique el principio de superposición para determinar la fuerza

que actúa sobre una carga en presencia de otras dos. b) Dos cargas +q1 y –q2 están situadas en dos puntos de un plano. Explique, con ayuda de una

gráfica, en que posición habría que colocar una tercera carga, +q3, para que estuviera en equilibrio.

a) La ley de Coulomb describe la interacción electrostática entre dos partículas cargadas eléctricamente: “Dos partículas cargadas eléctricamente q1 y q2, separadas una distancia r, se atraen o se repelen con fuerzas que son proporcionales al producto de las cargas e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que las separa. Si ambas cargas son del mismo signo, la interacción es repulsiva. Si ambas cargas son de signo contrario, la interacción es atractiva.

El valor de la fuerza se calcula con la expresión re ur

qqKF rr⋅

⋅⋅= 2

21

Donde K es la constante eléctrica, que depende del medio.” El principio de superposición, aplicado a la interacción electrostática, nos dice que el efecto que varias cargas puntuales producen sobre una partícula cargada, puede calcularse como la suma de los efectos individuales de cada carga. Es aplicable a fuerza, energía potencial, potencial, intensidad del campo… En este caso, la fuerza que actúa sobre una carga (q3) en presencia de otras dos (q1 y q2) vendrá dada por

222

3212

1

3121 rreee u

rqqKu

rqqKFFF rrrrr

⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅=+= 1

11 r

rur

rr

= 2

22 r

rur

rr

=

b) Basándonos en la primera ley de Newton, para que la carga 3 esté en equilibrio la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella debe ser nula, por lo que las fuerzas que ejercen sobre ella las cargas 1 y 2 deben ser iguales en módulo, de igual dirección y de sentido contrario. Es decir:

22

322

1

31212121 0

rqqK

rqqK

FFMóduloFFFFF eeeeeee

⋅⋅=

⋅⋅→=→−=→=+=

rrrrr

Con lo que vemos que el punto en que ambos módulos sean iguales debe estar más cerca de la carga (1 ó 2) de menor valor absoluto (si por ejemplo, q2 es menor, también r2 debe serlo). Para que ambas fuerzas tengan la misma dirección, el punto debe estar en la línea que une a las cargas 1 y 2. Dado que ambas cargas son de distinto signo, el punto en que ambas fuerzas tienen sentido contrario se encuentra en la parte exterior al segmento que une a las cargas 1 y 2, y como ya hemos comentado, más cerca de la carga de menor valor absoluto (supongamos que sea la 2), como puede observarse en el esquema. Es posible razonar este apartado mediante representaciones gráficas de los campos eléctricos generados por las cargas 1 y 2 (se representa el módulo y el signo correspondiente al sentido del vector). Por el principio de superposición, al sumar estas gráficas tendremos los valores del campo eléctrico total. El punto en el que este campo eléctrico se haga cero, será el punto en el que cualquier carga eléctrica que situemos se mantendrá en equilibrio ( 0=⋅= EqFe

rr).

1q+ 2q− 3q+

2eFr

1eFr

2eFr

1eFr

2eFr

1eFr

0≠ΣFr

0≠ΣFr

0=ΣFr

1q+ 2q− 1q+ 2q−

totalE

0

0

=Σ

=

F

Etotr

r

1E

2E

1q 2q

3q

1rr

2rr



2. a) Explique el origen de la energía liberada en una reacción nuclear basándose en el balance

masa-energía. b) Dibuje aproximadamente la gráfica que relaciona la energía de enlace por nucleón con el

número másico y, a partir de ella, justifique por qué en una reacción de fisión se desprende energía.

a) En una reacción nuclear, núcleos de un determinado elemento químico se transforman en núclidos diferentes (uno o varios), normalmente al chocar con otros núcleos o partículas subatómicas, pudiéndose desprender más partículas. En estas reacciones, se observa que no se cumple la conservación de la masa. La masa total de los productos (núcleos y partículas finales) es distinta de la masa total de los reactivos (núcleos y partículas iniciales). La teoría de la relatividad de Einstein explica este hecho razonando que masa y energía pueden transformarse una en la otra. La cantidad de energía equivalente a una masa m viene dada por la expresión 2cmE ⋅= , donde la constante c es la velocidad de la luz en el vacío. Así, en una reacción nuclear, la Energía absorbida o desprendida en la reacción se calcula como.

22 )( creactivosmasaproductosmasacmEreacc ⋅Σ−Σ=⋅∆= Si se pierde masa en la reacción (∆m negativo), se libera energía, que es el caso que nos planteaban. b) La energía de enlace por nucleón (En) indica el promedio de energía desprendido por cada partícula (protón o neutrón) en la formación de un núcleo a partir de sus nucleones. También puede entenderse como la energía que es necesario suministrar a cada partícula para descomponer el núcleo. Es un buen indicador de la estabilidad del núcleo. Se calcula

con la AEE e

n = , siendo Ee la energía de enlace y A el número másico.

Representando la energía de enlace por nucleón en función del número másico, se obtiene una gráfica como la de la figura, en la que se observa que la En (y, por tanto, la estabilidad nuclear) aumenta con A para los elementos más ligeros y tiene un máximo para el elemento Hierro (A = 56), decreciendo suavemente para elementos más pesados. La variación de energía en un proceso nuclear puede calcularse mediante un mecanismo sencillo: en primer lugar tendremos que suministrar energía (En) a las partículas de los núcleos iniciales para descomponerlos, y luego, al formarse los núcleos finales, cada partícula desprenderá una energía igual a su En correspondiente. Para que este proceso desprenda energía, la En de los productos debe ser mayor que la de los núcleos iniciales. En una reacción de fisión, un núcleo se descompone en dos o más núcleos más pequeños (menor A) que el original, al ser bombardeado con partículas, normalmente neutrones. Vemos en la gráfica que este proceso desprenderá energía sólo para núcleos pesados, de A elevado, ya que los núcleos resultantes estarán más arriba enJ la gráfica (tendrán mayor En). Es el caso del uranio, o el plutonio, usados en las centrales nucleares. La fisión de elementos más ligeros no producirá desprendimiento de energía, ya que los núcleos resultantes tienen menor En que el núcleo inicial. 3. En un instante t1 la energía cinética de una partícula es 30 J y su energía potencial 12 J. En un

instante posterior, t2, la energía cinética de la partícula es de 18 J. a) Si únicamente actúan fuerzas conservativas sobre la partícula, ¿cuál es su energía potencial en

el instante t2 ? b) Si la energía potencial en el instante t2 fuese 6 J, ¿actuarían fuerzas no conservativas sobre la

partícula? La energía mecánica de una partícula viene dada por la suma de sus energías cinética (debida al movimiento)

y potencial (debida a la acción de fuerzas conservativas sobre la partícula).

nE

AFe



EpEcEM += a) El principio de conservación de la energía mecánica establece que si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas

conservativas, la energía mecánica de éste permanece constante, produciéndose transformaciones de energía cinética a potencial, o viceversa.

Por lo tanto, en este caso, la energía mecánica permanece constante. Así: JJJEpEcEM 421230111 =+=+= JJJEpJEpJEpEcEM 2418424218 22222 =−=→=+=+= La energía de potencial en el instante t2 es de 24 J. b) Si sobre una partícula actúan fuerzas no conservativas que realicen trabajo no nulo, su energía mecánica

variará en una cantidad igual al trabajo realizado por dichas fuerzas. FNCM WE =∆ . Con lo cual, si la energía mecánica final (en t2) es distinta de la inicial (en t1), es porque han actuado fuerzas no conservativas que ha realizado trabajo. Y este es el caso, ya que

JJJEpEcEM 421230111 =+=+= JJJEpEcEM 24618222 =+=+= JJJEW MFNC 184224 −=−=∆=

Podemos concluir que han actuado fuerzas no conservativas sobre la partícula y que han realizado un trabajo de -16 J. (Pudiera tratarse, por ejemplo, de una fuerza disipativa como la de rozamiento.)

4. Una onda armónica se propaga de derecha a izquierda por una cuerda con una velocidad de 8 m

s-1. Su periodo es de 0,5 s y su amplitud es de 0,3 m. a) Escriba la ecuación de la onda, razonando cómo obtiene el valor de cada una de las variables

que intervienen en ella. b) Calcule la velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 2 m, en el instante t = 1 s. a) Una onda armónica (u onda viajera) consiste en la propagación de una perturbación (descrita por un m.a.s)

a través de un medio. La ecuación general de la elongación (y) de un punto del medio respecto a la posición de equilibrio viene dada por )(),( 0ϕω +⋅±⋅⋅= xktsenAtxy , donde

A: Amplitud. Valor máximo de la elongación. A = 0,3 m. ω : Frecuencia angular. Indica la rapidez de las oscilaciones. La calculamos a partir del periodo

11 566,1245,0

22 −− ==== sradsrads

radT

πππω

k: Número de onda. Es una magnitud inversa a la longitud de onda (salvo un factor 2π). Podemos calcularla de varias formas.

11

1

571,18

566,12 −−

−

=== mradsm

sradv

k ω

11 571,1

5,08222 −

− =⋅

=⋅

== mradssm

radTv

k ππλπ

0ϕ : Fase inicial. Indica el estado de perturbación del foco generador de la onda en el instante inicial. Suponemos su valor igual a cero, ya que el enunciado no nos ofrece datos sobre esta característica.

Como nos dicen que el movimiento es de derecha a izquierda, vemos que se mueve en el sentido negativo

del eje x (suponiendo el criterio de signos positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda). En ese caso, las partes espacial y temporal de la fase aparecen sumadas.

La expresión queda: mxtsentxy )571,1566,12(3,0),( ⋅+⋅⋅= b) La velocidad de vibración nos indica cómo varía la elongación de los puntos de la cuerda respecto al

tiempo.



11 )571,1566,12cos(77,3)571,1566,12cos(566,123,0),( −− ⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅== smxtsmxtdtdytxvy

Sustituyendo los valores x = 2 m y t = 1 s, obtenemos vy = -3,77 m s-1 (Este no es el único resultado válido. Si hubiéramos escogido el criterio de signos al contrario (positivo a la

izquierda y negativo a la derecha, la ecuación cambiaría mxtsentxy )571,1566,12(3,0),( ⋅−⋅⋅= . Y si hubiéramos escogido usar la función coseno en lugar de la función seno, la ecuación sería

mxttxy )571,1566,12cos(3,0),( ⋅+⋅⋅= y la velocidad de la partícula hubiera sido prácticamente de 0 m/s en ese instante

Y, por último, podríamos haber escogido cualquier valor de fase inicial, en lugar de cero, con lo que el resultado también cambiaría)




OPCIÓN A 1. a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) Razone qué energía habría que comunicar a un objeto de masa m, situado a una altura h sobre la

superficie de la Tierra, para que se alejara indefinidamente de ella. 2. a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz. b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación la luz incidente, reflejada y

refractada? Razone sus respuestas. 3. Una espira circular de 5 cm de radio, inicialmente horizontal, gira a 60 rpm en torno a uno de sus

diámetros en un campo magnético vertical de 0,2 T. a) Dibuje en una gráfica el flujo magnético a través de la espira en función del tiempo entre los

instantes t = 0 s y t = 2 s e indique el valor máximo de dicho flujo. b) Escriba la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo e indique

su valor en el instante t = 1 s. 4. Al iluminar potasio con luz amarilla de sodio de λ = 5890 ·10-10 m, se liberan electrones con una

energía cinética máxima de 0,577 ·10-19 J y al iluminarlo con luz ultravioleta de una lámpara de mercurio de λ = 2537 ·10-10 m, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es 5,036 ·10-19 J.

a) Explique el fenómeno descrito en términos energéticos y determine el valor de la constante de Planck.

b) Calcule el valor del trabajo de extracción del potasio. c = 3 ·108 m·s-1 OPCIÓN B 1. a) Explique la relación entere campo y potencial electrostáticos. b) Una partícula cargada se mueve espontáneamente hacia puntos en los que el potencial

electrostático es mayor. Razone si, de ese comportamiento, puede deducirse el signo de la carga. 2. a) Estabilidad nuclear. b) Explique el origen de la energía liberada en los procesos de fisión y fusión nucleares. 3. Por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal se lanza hacia arriba un bloque de

10 kg con una velocidad inicial de 5 m·s-1. Tras su ascenso por el plano inclinado, el bloque desciende y regresa al punto de partida con cierta velocidad. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1.

a) Dibuje en dos esquemas distintos las fuerzas que actúan sobre el bloque durante el ascenso y durante el descenso e indique sus respectivos valores. Razone si se verifica el principio de conservación de la energía en este proceso.

b) Calcule el trabajo de la fuerza de rozamiento en el ascenso y en el descenso del bloque. Cmente el signo del resultado obtenido.

g = 10 m·s-2 4. En una cuerda tensa se genera una onda viajera de 10 cm de amplitud mediante un oscilador de 20 Hz.

La onda se propaga a 2 m·s-1. a) Escriba la ecuación de la onda suponiendo que se propaga de derecha a izquierda y que en el

instante inicial la elongación en el foco es nula.. b) Determine la velocidad de una partícula de la cuerda situada a 1 m del foco emisor en el instante 3 s.



SELECTIVIDAD. FÍSICA. JUNIO 09 SOLUCIÓN. OPCIÓN A 1. a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) Razone qué energía habría que comunicar a un objeto de masa m, situado a una altura h

sobre la superficie de la Tierra, para que se alejara indefinidamente de ella. a) La velocidad de escape para un planeta se define como la velocidad a la que habría que lanzar un cuerpo desde la superficie del planeta para que escapara de su atracción gravitatoria, alejándose indefinidamente.

En este cálculo se desprecia el rozamiento con la atmósfera. Resolvemos el problema empleando conceptos energéticos:

En primer lugar tenemos en cuenta que, al no tener en cuenta el rozamiento, la única fuerza que va a actuar sobre el movimiento del cohete será la gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica del cohete se mantendrá constante.

Datos: M, R: masa y radio del planeta m: masa del proyectil Sistemas de referencia: mediremos las distancias desde el centro del planeta. El origen de energía potencial gravitatoria lo colocamos a una distancia infinita

del centro planetario, por lo que la expresión usada para la Epg será

R

mMGEpg⋅⋅

−=

Consideraremos dos situaciones: Inicial: Lanzamiento del cohete desde la superficie terrestre con velocidad ev .

221

1 emvEc = R

mMGEpg⋅⋅

−=1

R

mMGmvEpEcE egM⋅⋅

−=+= 221

1

Final: el cohete se aleja indefinidamente. En el límite cuando la distancia r tiende a infinito, la velocidad (y la Ec) tiende a cero, al igual que la energía potencial, ya que el origen de Ep está colocado en el infinito.

02 =+== ∞→∞→ )EpEc(EE glim

rMlim

rM Aplicando la conservación de la energía mecánica:

RGMv

RmMGvm

RmMGmvEE eeeMM

20 2212

21

11 =⇒/⋅⋅=/⇒=

⋅⋅−⇒=

Si el lanzamiento se realiza desde una altura h sobre la superficie del planeta, la expresión queda

hRGMve +

=2

b) Suponiendo que la energía es suministrada en un solo impulso inicial en forma de energía cinética, la calculamos a partir de la expresión

)()(222

2

212

21

hRGMm

hRGMm

hRGMmmvEc e +

=+

=

+==

Que coincide con el valor de energía potencial gravitatoria en ese punto, pero con signo positivo. Debe ser así, ya que, conforme se aleja, la Ec disminuye, transformándose en Epg, ambas tendiendo a cero. Como la energía mecánica se conserva, se cumple que ∆Ec = - ∆Epg

v = ve r = R

v 0 r ∞



2. a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz. b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación la luz incidente,

reflejada y refractada? Razone sus respuestas. a) La luz visible es un tipo particular de onda electromagnética. Como toda onda, puede sufrir reflexión y refracción. Son dos fenómenos ondulatorios que ocurren cuando una onda (luz, en este caso) que se propaga por un medio incide sobre la frontera con otro medio distinto. Además, puede que parte de la energía de la onda incidente sea absorbida por las partículas del nuevo medio. Reflexión: Al llegar la onda incidente a la frontera con el medio 2, los puntos de la frontera generan una nueva onda que se propaga por el medio 1. La onda reflejada tiene igual υ , λ , y velocidad de propagación que la onda incidente. El ángulo que forma la dirección con la normal a la frontera es igual al de la onda incidente. Refracción: Se forma una onda luminosa que se transmite por el nuevo medio. Los puntos de la frontera se contagian de la vibración de la onda incidente y dan lugar a lo que se denomina onda refractada. La frecuencia de la onda sigue siendo la misma (dependía sólo del foco emisor), pero como ahora el medio es diferente, la velocidad de propagación también lo será y, por tanto también variarán λ , k. La amplitud de la onda refractada será menor que la de la onda incidente, ya que la energía de la onda incidente debe repartirse entre los tres procesos que pueden ocurrir (reflexión, refracción, absorción) La dirección en la que se propaga la nueva onda refractada también es diferente. Existe una relación entre los ángulos que forman los rayos incidente y refractado con la normal a la superficie. Esta relación se conoce como ley de Snell. Donde n es el índice de refracción de cada medio, que indica el cociente entre la velocidad de la luz en el

vacío y en el medio. Siempre n ≥ 1 vcn =

b) Al pasar la luz de un medio a otro, se produce el fenómeno de refracción. - La frecuencia υ (que nos indica el color de la luz, caso de que fuera visible) depende únicamente del foco emisor de ondas, y no del medio por el que se propaga la onda, por lo que se mantiene constante, tanto en la onda reflejada, como en la refractada. - La velocidad de propagación v, en un medio ideal, depende exclusivamente del medio por el que se propague la onda. La onda reflejada se propaga a la misma velocidad que la incidente, al estar en el mismo medio. Sin embargo, la onda refractada se propaga a una velocidad distinta, al ser un medio diferente. - La longitud de onda λ (distancia entre dos puntos en fase) depende tanto del foco emisor de la onda como

del medio por el que ésta se propague. υ

λ v= En la onda reflejada, tanto la velocidad de propagación como

la frecuencia son idénticas a las de la onda incidente, por lo que la longitud de onda también lo será. No ocurre lo mismo en la onda refractada. Al ser distinta la velocidad de propagación, la longitud de onda también será diferente.

refri sennsenn αα ⋅=⋅ 21



3. Una espira circular de 5 cm de radio, inicialmente horizontal, gira a 60 rpm en torno a uno de sus diámetros en un campo magnético vertical de 0,2 T.

a) Dibuje en una gráfica el flujo magnético a través de la espira en función del tiempo entre los instantes t = 0 s y t = 2 s e indique el valor máximo de dicho flujo.

b) Escriba la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo e indique su valor en el instante t = 1 s.

a) Estamos ante una cuestión de inducción electromagnética (generación de corriente eléctrica en un circuito por la acción de un campo magnético). Se inducirá corriente eléctrica en el circuito si varía respecto al tiempo el flujo magnético mφ que atraviesa la superficie encerrada por el circuito. El flujo magnético nos indica el nº de líneas de campo (considerando una línea por cada m2) que atraviesan la superficie del circuito. Se calcula con la expresión:

αφ cosSB...sdBm ⋅⋅==⋅= ∫rr

considerando el campo B uniforme y el

circuito plano. α es el ángulo que forma el vector superficie S

r (perpendicular al plano de la espira) con el campo B

r.

Inicialmente es cero (dibujo), pero cambia con el tiempo, ya que la espira describe un movimiento circular uniforme, con una velocidad angular

1260

26060 −⋅=⋅== srads

radrpm ππω De este modo )(2200 radttt ⋅=⋅+=⋅+= ππωαα

El flujo magnético que atraviesa la espira será WbttRBSBm )2cos(1028,6)2cos(4cos 32 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= − πππαφ

(datos: B = 0,2 T, R = 0,05 m) El valor máximo del flujo será de 6,28 ·10-3 Wb. Representación gráfica b) La fuerza electromotriz inducida (f.e.m.) ( ε ), energía que se suministra a cada culombio de carga eléctrica, se obtiene aplicando la ley de Faraday-Lenz "La corriente inducida en un circuito es originada por la variación del flujo magnético que atraviesa dicho circuito. Su sentido es tal que se opone a dicha variación."

La expresión de esta ley queda tdd mΦε −=

Así, [ ] Vtsen

dttd

tdd m )2(0395,0)2cos(1028,6 3

⋅⋅−=⋅⋅⋅

−=Φ

−=−

ππε

Para t = 1 s, el valor de la fem inducida será de VVsenst 0)2(0395,0)1( =⋅−== πε

B S

ω

)Wb(mφ

)s(t1 2

31028,6 −⋅

31028,6 −⋅−

s12T ==ωπ



4. Al iluminar potasio con luz amarilla de sodio de λ = 5890 ·10-10 m, se liberan electrones con una

energía cinética máxima de 0,577 ·10-19 J y al iluminarlo con luz ultravioleta de una lámpara de mercurio de λ = 2537 ·10-10 m, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es 5,036 ·10-

19 J. a) Explique el fenómeno descrito en términos energéticos y determine el valor de la constante

de Planck. b) Calcule el valor del trabajo de extracción del potasio. c = 3 ·108 m·s-1 Nos encontramos ante un problema de efecto fotoeléctrico (emisión de electrones por parte de un metal al incidir sobre él radiación electromagnética). Este fenómeno, que las teorías clásicas no podían explicar suponiendo un carácter ondulatorio para la luz, fue explicado por Einstein en 1905 suponiendo que en la interacción entre radiación y materia la luz adopta carácter de partícula, es decir, la energía de la luz incidente se transmite de forma discreta, concentrada en partículas o “cuantos” de luz, los fotones. La energía de un fotón depende de su frecuencia y viene dada por la expresión υ⋅= hE f , donde h es la constante de Planck. En este problema, debemos calcular el valor de dicha constante a partir de dos experiencias de las que nos dan los datos. Al incidir sobre los electrones externos del metal, el fotón cede su energía íntegramente al electrón. Para poder extraerlo del metal, esta energía debe ser superior a la necesaria para vencer la atracción del núcleo (trabajo de extracción 0extr hW υ⋅= , donde 0υ es la frecuencia umbral característica del metal). La energía sobrante se invierte en aportar energía cinética a los electrones. El balance energético queda eextreextrf EcWhEcWE +=→+= υ En la primera experiencia

fotón: Hzcm 1410 10093,5105890 ⋅==→⋅= −

λυλ

electrones: Ece = 0,577 ·10-19 J h ·5,093·1014 = Wextr + 0,577·10-19 En la segunda experiencia

fotón: Hzcm 1510 10182,1102537 ⋅==→⋅= −

λυλ

electrones: Ece = 5,036 ·10-19 J h ·1,182·1015 = Wextr + 5,036·10-19 Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos la resolución de los dos apartados del problema

a) h = 6,629 ·10-34 J·s b) Wextr = 2,799 ·10-19 J



OPCIÓN B: 1. a) Explique la relación entre campo y potencial electrostáticos. b) Una partícula cargada se mueve espontáneamente hacia puntos en los que el potencial

electrostático es mayor. Razone si, de ese comportamiento, puede deducirse el signo de la carga.

a) La intensidad de campo electrostático o campo electrostático E

rse define como la fuerza por unidad de

carga que sufre un cuerpo cargado que se coloque en un punto del interior del campo electrostático. Al ser el campo electrostático conservativo, posee una función potencial asociada, el potencial

electrostático (energía electrostática almacenada por unidad de carga).

Ambas magnitudes están relacionadas matemáticamente por la expresión ∫ ⋅−=∆B

ArdEV rr

, que es

análoga a la existente entre fuerza electrostática y energía potencial electrostática,

Fe

B

A ee WrdFEp −=⋅−=∆ ∫rr

De esto, se pueden extraer otras relaciones: - Las líneas de campo electrostático son perpendiculares a las superficies equipotenciales. - El vector campo E

rnos indica la dirección y sentido en que el potencial electrostático disminuye más

rápidamente. - VE ∇−=

rr (esta operación en tres dimensiones, llamada gradiente, no se ha visto en el curso, pero sí su

forma en una sola dimensión, rudrdVE rr

−= )

b) Si la partícula cargada q se mueve espontáneamente, sin necesidad

de aplicar una fuerza externa, es debido a que es la fuerza electrostática la responsable de ese movimiento. Por lo tanto, la fuerza electrostática va en la dirección y sentido en que el potencial aumenta (ver esquema).

Por otro lado, el campo electrostático nos indica aquella dirección y

sentido en que el potencial disminuye, por lo que el campo Er

va en sentido contrario al de la fuerza eF

r, y al del movimiento de la partícula (ver esquema).

La relación entre el campo y la fuerza electrostática que sufre una partícula es EqFe

rr⋅= . Por lo tanto,

si el campo y la fuerza van en sentidos contrarios, es porque la carga q de la partícula es negativa. (Este apartado también puede razonarse con un balance energético. Si la fuerza electrostática es la que mueve espontáneamente la partícula, el trabajo que realiza es positivo (la fuerza va a favor del desplazamiento). Como la fuerza electrostática es conservativa, 0EpWEp eFee <→−= ∆∆ Sabemos que VqEpe ∆∆ ⋅= Como el potencial aumenta 0V >∆ Y llegamos a la misma conclusión de que la carga q debe ser negativa, para que se cumpla la relación anterior.

x+

y+

rr∆

Er

eFr

VmayorVmenor



2. a) Estabilidad nuclear. b) Explique el origen de la energía liberada en los procesos de fisión y fusión nucleares. a) La estabilidad nuclear es la tendencia que tiene un núcleo atómico a

mantenerse inalterado. Es decir, un núcleo es estable si no se descompone, si no se transforma en otro núcleo mediante desintegraciones radiactivas. De hecho, se considera que un núcleo es estable si su vida media es mayor que la edad del universo.

Es la interacción nuclear fuerte (varios órdenes de magnitud más intensa que la repulsión electrostática) la responsable de mantener unidas las partículas que componen el núcleo. Es una interacción de muy corto alcance, lo que hace que núcleos que muchas partículas (más de 200) tiendan a ser inestables. En otras ocasiones es la interacción nuclear débil la que produce inestabilidad en el núcleo, produciendo desintegraciones radiactivas.

La mayor o menor estabilidad de un núcleo depende de la energía

desprendida en su formación. Concretamente, del promedio de energía desprendido por cada partícula.

Esto se conoce como energía de enlace por nucleón. AEE e

n = , siendo Ee la energía de enlace

( 2e cmE ⋅= ∆ ) y A el número másico. Las partículas del núcleo se mantendrán unidas mientras no se les

suministre esa energía. Representando la energía de enlace por nucleón en función del número másico, se obtiene una gráfica

como la de la figura, en la que se observa que la En (y, por tanto, la estabilidad nuclear) aumenta con A para los elementos más ligeros y tiene un máximo para el elemento Hierro (A = 56), decreciendo suavemente para elementos más pesados. Los elementos más ligeros que el hierro desprenden energía al fusionarse, mientras que para los elementos pesados es la fisión, o rotura, lo que produce desprendimiento de energía.

Para elementos ligeros, la estabilidad se da para isótopos con aproximadamente el mismo número de

protones que neutrones. Sin embargo, en los elementos muy pesados, la proporción entre neutrones y protones es de aproximadamente 1,5.

b) El origen de la energía desprendida en los procesos de fusión y fisión nucleares, así como en cualquier

otro tipo de reacción nuclear, está en la trasformación de masa en energía. En un proceso nuclear que libere energía, la masa total de los productos (núcleos y partículas resultantes) es menor que la suma de las masas de los reactivos (núcleos y partículas iniciales). Esto se conoce como defecto másico, y se explica a partir de la teoría de la relatividad de Einstein. Una de sus consecuencias es la de la equivalencia masa-energía, 2cmE ⋅= .

La energía desprendida de este modo se conoce como energía de reacción (Er). 2cmEr ⋅∆= , siendo el defecto másico reactivosproductos mmm Σ−=∆ (Recordemos: Fusión nuclear: Unión de dos núcleos ligeros para dar lugar a un núcleo más pesado, normalmente acompañado de desprendimiento de neutrones y energía. Ejemplo: nHeHH 1

042

31

21 +→+

Fisión nuclear: Rotura de un núcleo pesado al ser bombardeado con neutrones. Esta reacción da lugar a dos núcleos más ligeros, varios neutrones y el desprendimiento de energía. Ejemplo: nKrBanU 1

08936

14456

10

23592 3++→+ )

nE

AFe



3. Por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal se lanza hacia arriba un

bloque de 10 kg con una velocidad inicial de 5 m·s-1. Tras su ascenso por el plano inclinado, el bloque desciende y regresa al punto de partida con cierta velocidad. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1.

a) Dibuje en dos esquemas distintos las fuerzas que actúan sobre el bloque durante el ascenso y durante el descenso e indique sus respectivos valores. Razone si se verifica el principio de conservación de la energía en este proceso.

b) Calcule el trabajo de la fuerza de rozamiento en el ascenso y en el descenso del bloque. Comente el signo del resultado obtenido.

g = 10 m·s-2 a) Durante los movimientos de subida y bajada del bloque por la pendiente, éste sufre las fuerzas: · Gravitatoria (peso): Fg = m·g = 100 N. Dirección vertial, sentido hacia abajo. · Normal: Debida al contacto con la pendiente. Es perpendicular al plano y con sentido hacia fuera.

Compensa las fuerzas perpendiculares al plano, de forma que la resultante en esa dirección es nula. N6,86º30cosmgFN0F

ygy ===→=Σ

· Fuerza de rozamiento dinámica . FR = µ ·N = 0,1 ·86,6 = 8,66 N. Debida a la rugosidad de las superficies de contacto. Se opone al deslizamiento.

El principio de conservación de la energía es un principio universal, que se cumple en todo proceso de la

naturaleza. La energía total se mantiene constante, pero sufre transformaciones entre diversas formas y distintos cuerpos. Así, en este proceso, la energía cinética inicial del bloque va disminuyendo, transformándose en energía potencial gravitatoria al ascender por la pendiente. Parte de la energía inicial pasa al medio mediante calor, debido al rozamiento.

Al descender, la energía potencial gravitatoria disminuye, volviendo a aumentar la energía cinética del bloque. Nuevamente, al existir rozamiento, se transfiere calor al medio, aumentando su energía térmica, y haciendo que la velocidad final de bajada del bloque sea menor que la de partida.

Lo que no se conserva es la energía mecánica del bloque, ya que actúa una fuerza no conservativa, la fuerza de rozamiento, que realiza trabajo. WFR = ∆EM.

b) Dado que la fuerza de rozamiento que actúa durante la subida tiene

valor constante, podemos calcular el trabajo que realiza mediante rFº180cosrFrFW RRFR ∆∆∆ ⋅−=⋅⋅=⋅=

rr

El desplazamiento se calcula a partir de la variación de energía mecánica. WFR = ∆EM.

Situación inicial: J1250vmEpgEcE 212

1111M =+⋅=+=

Situación final: r50º30senrmgmgh0EpgEcE 2222M ∆∆ ⋅=⋅⋅=+=+= Por tanto m13,2r125r50r66,8EEEW 1M2MMFR =→−⋅=⋅−→−== ∆∆∆∆ Así, la energía disipada por rozamiento en la subida será J45,18m13,2N66,8rFW RFR −=⋅−=⋅−= ∆ En la bajada, la cantidad de energía disipada por rozamiento será la misma que en la subida, ya que la fuerza de rozamiento sigue siendo de 8,66 N, y vuelve a formar 180º con el desplazamiento, de 2,53 m. El signo negativo obtenido significa que la fuerza de rozamiento disipa energía, que se transfiere al medio mediante calor. La energía mecánica del bloque disminuye.

αFg

N

FgX

FgY

F R bajada

αFg

N F R

FgX

FgY

subida

h2

∆r

30ºv1

v2=0

Epg = 0



4. En una cuerda tensa se genera una onda viajera de 10 cm de amplitud mediante un oscilador de

20 Hz. La onda se propaga a 2 m·s-1. a) Escriba la ecuación de la onda suponiendo que se propaga de derecha a izquierda y que en el

instante inicial la elongación en el foco es nula. b) Determine la velocidad de una partícula de la cuerda situada a 1 m del foco emisor en el

instante 3 s. a) Una onda armónica (u onda viajera) consiste en la propagación de una perturbación (descrita por un

movimiento armónico simple) a través de un medio. La ecuación general de la elongación (y) de un punto del medio respecto a la posición de equilibrio viene dada por )(),( 0ϕω +⋅±⋅⋅= xktsenAtxy , donde

A: Amplitud. Valor máximo de la elongación. A = 10 cm = 0,1 m. υ : Frecuencia. Número de oscilaciones por segundo que realiza un punto del medio. υ = 20 Hz ω : Frecuencia angular. Indica la rapidez de las oscilaciones. La calculamos a partir del periodo 1srad66,1252 −== πυω k: Número de onda. Es una magnitud inversa a la longitud de onda (salvo un factor 2π).

11

1

mrad83,62sm2

srad66,125v

k −−

−

===ω

0ϕ : Fase inicial. Indica el estado de perturbación del foco generador de la onda en el instante inicial. La calculamos a partir de la elongación inicial del foco.

rad0)1,0

0(arsen)Ay(arsen)(senAyy 0

000)0t,0x( ===→⋅==== ϕϕ

Como nos dicen que el movimiento es de derecha a izquierda, vemos que se mueve en el sentido negativo

del eje x (suponiendo el criterio de signos positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda). En ese caso, las partes espacial y temporal de la fase aparecen sumadas.

La expresión queda: m)x83,62t66,125(sen1,0)t,x(y ⋅+⋅⋅= b) La velocidad de vibración nos indica cómo varía la elongación de las partículas que componen la cuerda

respecto al tiempo. 11

y sm)x83,62t66,125cos(566,12sm)x83,62t66,125cos(66,1251,0dtdy)t,x(v −− ⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅==

Sustituyendo los valores x = 1 m y t = 3 s, obtenemos vy = 12,56 m s-1 (Este no es el único resultado válido. Si hubiéramos escogido el criterio de signos al contrario (positivo a la izquierda y negativo a la derecha), la ecuación cambiaría m)x83,62t66,125(sen1,0)t,x(y ⋅−⋅⋅= . Y si hubiéramos escogido usar la función coseno en lugar de la función seno, la ecuación sería

m)x83,62t66,125cos(3,0)t,x(y ⋅+⋅⋅= , y la velocidad de la partícula sería diferente )




OPCIÓN A 1. a) Campo eléctrico de una carga puntual. b) Dos cargas eléctricas puntuales positivas están situadas en dos puntos A y B de una recta. ¿Puede

ser nulo el campo eléctrico en algún punto de esa recta? ¿Y si las dos cargas fueran negativas? Razone las respuestas.

2. a) Movimiento armónico simple; características cinemáticas y dinámicas. b) Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: En un movimiento armónico simple la

amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la energía mecánica. 3. Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular a una altura h sobre la superficie terrestre. El

valor de la gravedad a dicha altura es la tercera parte de su peso en la superficie de la Tierra. a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en esa órbita y calcule el valor de h. b) determine el periodo de la órbita y la energía mecánica del satélite. g = 9,8 m·s-2 ; RT = 6,4 ·106 m 4. La fisión de un átomo de U235

92 se produce por captura de un neutrón, siendo los productos principales

de este proceso Ba14456 y U90

36 . a) Escriba y ajuste la reacción nuclear correspondiente y calcule la energía desprendida por cada

átomo que se fisiona. b) En una determinada central nuclear se liberan mediante fisión 45 ·108 W. Determine la masa del

material fisionable que se consume cada día. c = 3 ·108 m·s-1 ; mU = 235,12 u ; mBa = 143,92 u ; mKr = 89,94 u ; mn = 1,008665 u ; 1 u = 1,7 ·10-27 kg. OPCIÓN B 1. a) Conservación de la energía mecánica. b) Se lanza hacia arriba por un plano inclinado un bloque con una velocidad v0. Razone cómo varían su

energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica cuando el cuerpo sube y, después, baja hasta la posición de partida. Considere los casos: i) que no haya rozamiento; ii) que lo haya.

2. a) Explique la teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico. b) Razone si es posible extraer electrones de un metal al iluminarlo con luz amarilla, sabiendo que al

iluminarlo con luz violeta de cierta intensidad no se produce el efecto fotoeléctrico. ¿Y si aumentáramos la intensidad de la luz?

3. Una espira conductora de 40 cm2 se sitúa en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme

de 0,3 T. a) Calcule el flujo magnético a través de la espira y explique cuál sería el valor del flujo si se girara la

espira un ángulo de 60º en torno a un eje perpendicular al campo. b) Si el tiempo invertido en ese giro es de 3 ·10-2 s, ¿cuánto vale la fuerza electromotriz media inducida

en la espira? Explique qué habría ocurrido si la espira se hubiese girado en sentido contrario. 4. Una onda electromagnética tiene en el vacío una longitud de onda de 5 ·10-7 m. a) Explique qué es una onda electromagnética y determine la frecuencia y el número de onda de la

onda indicada. b) Al entrar la onda en un medio material su velocidad se reduce a 3c/4. Determine el índice de

refracción del medio y la frecuencia y la longitud de onda en ese medio. c = 3 ·108 m s-1



SELECTIVIDAD. FÍSICA. JUNIO 2011 SOLUCIÓN. OPCIÓN A 1. a) Campo eléctrico de una carga puntual. b) Dos cargas eléctricas puntuales positivas están situadas en dos puntos A y B de una recta. ¿Puede ser

nulo el campo eléctrico en algún punto de esa recta? ¿Y si las dos cargas fueran negativas? Razone las respuestas.

a) (Esta pregunta corresponde a un apartado completo del tema de campo electrostático, y es bastante ambiguo. No

queda claro si se refiere al campo eléctrico en general, con todas sus características (intensidad de campo, potencial, energía almacenada), o sólo al vector intensidad de campo eléctrico E

r , también llamada “campo

eléctrico” Entendiendo la pregunta en el sentido más amplio, habría que hablar sobre: - Concepto de campo eléctrico. - Intensidad de campo eléctrico creado por una carga puntual. Fórmula, módulo, dirección, sentido y unidades. - Líneas de campo. Distinción entre cargas positivas y negativas - Fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre una partícula cargada. - Potencial electrostático. Definición, unidades. Relación con el campo eléctrico - Expresión del potencial eléctrico generado por una carga puntual. Superficies equipotenciales - Energía almacenada por una partícula cargada dentro del campo electrostático. En mi opinión, muy largo para ser sólo un apartado de una pregunta) b) Para estudiar el campo electrostático producido por varias cargas puntuales aplicamos el principio de

superposición. El campo total en un punto del espacio será igual a la suma de los campos producidos por cada una de las cargas. BA EEE

rrr+=

Para que el campo total sea nulo, tiene que cumplirse que BABA EE0EErrrr

−=→=+ Es decir, ambos campos deben:

- Tener el mismo módulo 2B

B2

A

A

rQK

rQK

= De aquí obtenemos la relación entre las distancias a las

cargas A y B. El punto se encontrará más cerca de la carga de menor valor absoluto. - Ir en la misma dirección. Esto significa que el punto debe estar en la misma recta que une A y B. - Ir en sentidos contrarios. Si las cargas son del mismo signo (ya sean positivas como negativas) este punto se

encuentra en la zona entre las dos cargas, como puede observarse en los esquemas. Como ya hemos comentado, el punto será el mismo en los dos casos, tanto si las cargas son positivas o si son

negativas. Sólo cambia el sentido de cada campo, pero tendrán el mismo módulo, y se anularán igualmente.

AQ+ BQ+

AEr

BEr

AQ− BQ−

BEr

AEr



2. a) Movimiento armónico simple; características cinemáticas y dinámicas. b) Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: En un movimiento armónico simple la amplitud y

la frecuencia aumentan si aumenta la energía mecánica. a) (Esta pregunta corresponde a todo un apartado de un tema (o incluso a un tema completo), en el que normalmente

se invierten de dos a tres días de clase en su tratamiento. No sé exactamente qué aspectos considerará más importantes la ponencia de selectividad. Creo que al menos había que hablar sobre:

- Definición de movimiento armónico simple (m.a.s.) - Ecuación de movimiento )t(senA)t(y 0ϕω +⋅= - Magnitudes cinemáticas del m.a.s: Periodo, frecuencia, fase, fase inicial, velocidad de vibración, aceleración de

vibración. Definición, fórmula y unidades - Relación entre elongación y aceleración (ecuación fundamental del m.a.s) ya 2

y ⋅−= ω - Magnitudes dinámicas: fuerzas presentes en un m.a.s. (por ejemplo, un muelle horizontal unido a una masa).

Relación frecuencia angular – constante elástica – masa. - Energías presentes en un m.a.s. Energías cinética y potencial elástica. Variaciones de energía durante un periodo.

Energía mecánica del m.a.s. Con todo, me parece larguísimo, para ser un apartado de una pregunta. Y muy poco especificado) b) (Esta pregunta es bastante ambigua, sobre todo porque no nos dicen cómo se está aumentando la energía

mecánica, ni de qué tipo de m.a.s. se trata.) Suponiendo el movimiento armónico simple descrito por una masa unida a un resorte, en el que no variamos ni la

masa ni la constante elástica, la frecuencia angular de oscilación es una característica propia del sistema (llamada

frecuencia de oscilación natural) y viene dada por mK

=ω mK

21

2 ππωυ ==

Por lo tanto, la frecuencia de oscilación no variará si aumentamos la energía mecánica del sistema. La energía mecánica del m.a.s. se mantiene constante durante todo el movimiento, ya que sólo actúan fuerzas

conservativas. Coincide con la energía potencial máxima

2M AK

21E ⋅=

Vemos que un aumento de la energía mecánica se traduce en un aumento de la amplitud A del movimiento, ya que la constante elástica no cambiará.



3. Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular a una altura h sobre la superficie terrestre. El

valor de la gravedad a dicha altura es la tercera parte de su valor en la superficie de la Tierra. a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en esa órbita y calcule el valor de h. b) Determine el periodo de la órbita y la energía mecánica del satélite. g = 9,8 m·s-2 ; RT = 6,4 ·106 m a) Un satélite es un objeto que describe órbitas en torno a un astro, y cuyo movimiento está sometido únicamente a la fuerza gravitatoria. El satélite está constantemente en caída libre, solo que su trayectoria no choca con la Tierra. Una vez puesto en órbita, y suponiendo que no existe rozamiento, no es necesario realizar ningún gasto de energía (no hay que aportar energía mediante trabajo) para mantenerla. Ya que la única fuerza que actúa, la gravitatoria, es conservativa, la energía mecánica del satélite se mantendrá constante (∆EM = WFNC = 0 EM = cte). Si la órbita es elíptica, se producirá una transformación de energía potencial gravitatoria en cinética conforme se acerca a la Tierra, y de cinética en potencial gravitatoria conforme se aleja. Y si es circular, todas las energías del satélite se mantendrán constantes. No es necesario, por tanto, realizar ningún trabajo para mantener la órbita (como tampoco es necesario hacerlo con la Luna, por ejemplo). En el caso que nos ocupa, el de una órbita circular, la aceleración gravitatoria (en módulo) que sufre el satélite se

mantiene constante, y es igual a 2T

rGMg = , donde MT es la masa de la Tierra, G es la constante de gravitación

universal, y r es el radio de la órbita, medido desde el centro de la Tierra.

(Nota: Existe un error, o al menos una imprecisión, en uno de los datos que nos proporcionan. Aparece g = 9,8 ms-2. Siendo tan conocido el dato de la gravedad superficial terrestre, se entiende que nos quieren decir el valor de g0, o gSup, o g(r=RT), pero tal y como nos lo dicen, no significa eso. La magnitud g se usa para indicar el módulo del campo gravitatorio en cualquier punto)

Ya que nos dicen que la gravedad g en la órbita es la tercera parte que en la superficie (g0)

m101085,1R3rR3

GMr

GM3gg 7

T2T

T2

T0 ⋅=⋅=→=→=

Y la altura h sobre la superficie será h = r – RT = 4,985 · 106 m b) El periodo de revolución del satélite podemos calcularlo aplicando la tercera ley de Kepler al movimiento del

mismo. “La relación entre el cuadrado del periodo de revolución y el cubo del radio medio de la órbita, es una constante para todo satélite que describa órbitas en torno a un astro central.”

La constante depende de la masa del astro central (La Tierra en este caso) como demostró Newton. La masa de la Tierra la calculamos a partir del dato de la gravedad superficial y del radio terrestre.

Sustituyendo h22,3s29,11574GM

r4TT

32

≈==π

La energía mecánica del satélite es igual a la suma de sus energías cinética y potencial gravitatoria

rmGMvm

21EpEcE T2

orbgM −⋅=+= como la velocidad orbital es r

GMv Torb =

r2mGM

rmGM

rmGM

21

rmGM

rGMm

21EpEcE TTTT

2

TgM −=−=−

=+=

Sustituyendo, obtenemos EM = -1,448 ·1010 J

T

32

T

2

3

2

GMr4T

GM4

rT ππ

=→=

kg10018,6GRgM

RGMg 24

2T0

T2T

T0 ⋅=

⋅=→=

Rh

hRr +=



4. La fisión de un átomo de U23592 se produce por captura de un neutrón, siendo los productos principales de

este proceso Ba14456 y Kr90

36 . a) Escriba y ajuste la reacción nuclear correspondiente y calcule la energía desprendida por cada átomo

que se fisiona. b) En una determinada central nuclear se liberan mediante fisión 45 ·108 W. Determine la masa del

material fisionable que se consume cada día. c = 3 ·108 m·s-1 ; mU = 235,12 u ; mBa = 143,92 u ; mKr = 89,94 u ; mn = 1,008665 u ; 1 u = 1,7 ·10-27 kg. a) La fisión nuclear consiste en la ruptura de un núcleo de un

elemento pesado (por número másico por encima del hierro) en otros más ligeros, normalmente al ser bombardeado con neutrones. Al captar el neutrón, el núcleo se vuelve inestable y se descompone en dos núcleos, desprendiéndose además uno o varios neutrones. En los núcleos pesados, como es el caso del uranio, este proceso desprende energía.

La reacción nuclear correspondiente, teniendo en cuenta que debe cumplirse la conservación de la suma de los números atómicos (Z) y másicos (A) al principio y al final de la reacción, queda.

n2KrBanU 10

9036

14456

10

23592 ++→+ En este caso, se desprenden dos neutrones.

La energía liberada en este proceso se debe a la transformación de masa en energía. En una reacción nuclear, la energía total se conserva, pero no así la masa. Parte de la masa se transforma en energía (o viceversa), de acuerdo con la teoría de la Relatividad de Einstein (1905). La energía absorbida o desprendida en la reacción viene dada por la expresión 2

r cmE ⋅= ∆

donde ∆m es el defecto másico ∑∑ −= REACTIVOSPRODUCTOS mmm∆ y c es la velocidad de la luz en el vacío. Así, para esta reacción

u251335,0u12867,236u87733,235)mm()m2mm(m nUnKrBa −=−=+−⋅++=∆ El signo negativo nos indica que se ha producido una pérdida de masa, lo que se traduce en un desprendimiento de energía (en este caso energía cinética de los núcleos y partículas resultantes). Pasamos a kg el defecto másico: kg10272695,4u251335,0 28−⋅−=− Y la energía desprendida J108454255,3)ms103(kg10272695,4cmE 11218282

r−−− ⋅−=⋅⋅⋅−=⋅= ∆

Por cada núcleo de uranio fisionado se desprenden (redondeando) 3,845 · 10-11 J. b) Si en la central se liberan 45 ·108 W, significa que se desprenden 45 ·108 J por segundo. En un día se desprenderán

díaporJ10888,3día1

s86400s1

J1045 148

⋅=⋅⋅

Por lo tanto, sabiendo que: La fisión de un núcleo de uranio desprende 3,845 · 10-11 J Masa de un núcleo de U-235 = 235,12 u 1 u = 1,7 ·10-27 kg. Usando factores de conversión:

kg0417,4u1

kg107,1Unúcleo1u12,235

J10845,3Unúcleo1J10888,3

27

1114 =

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

−

− de U-235 se consumen cada día.

(También podemos usar la conversión mediante el nº de Avogadro: Mat(U-235) = 235,12 1 mol U-235 = 235,12 g U-235 = 0,23512 kg U-235 1 mol U-235 = 6,022 ·1023 núcleos U-235

235Ukg4948,3Umol1

Ukg23512,0Unúcleos10022,6

Umol1J10845,3

Unúcleo1J10888,3 231114 ≈=⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅ −

El núcleo capta elneutrón

Núcleo inestable Fisión



OPCIÓN B: 1. a) Conservación de la energía mecánica. b) Se lanza hacia arriba por un plano inclinado un bloque con una velocidad v0. Razone cómo varían su

energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica cuando el cuerpo sube y, después, baja hasta la posición de partida. Considere los casos: i) que no haya rozamiento; ii) que lo haya.

a) La energía mecánica de un cuerpo se definía como la suma de las energías cinética y potencial que posee dicho

cuerpo. )( elegM EpEpEpEcEpEcE +++=+= En el S.I. se mide en julios (J)

Cuando se produce un cambio en la energía mecánica de un cuerpo, esto será debido a que cambia alguna de las energías que la componen (energía cinética, potencial). Así: EpEcEM ∆+∆=∆ Según el teorema trabajo-energía cinética, la variación de energía cinética es igual al trabajo total realizado sobre el cuerpo. TOTWEc =∆ Y el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es igual a la variación (con signo cambiado) de la energía potencial.

FCWEp −=∆

Con lo cual, nos queda FNCFCTOTM WWWE =−=∆ Es decir, son las fuerzas no conservativas aplicadas al cuerpo las que hacen que cambie su energía mecánica. Dicho de otra forma: Si sobre un cuerpo actúan fuerzas no conservativas y éstas realizan trabajo, la energía mecánica del cuerpo variará. Esas fuerzas no conservativas pueden hacer que la EM aumente o disminuya. En ese último caso se dice que la fuerza es disipativa (p.e. el rozamiento) Principio de conservación de la energía mecánica: De lo anterior podemos extraer una nueva lectura, que se conoce como “principio de conservación de la energía mecánica”. Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas no conservativas, o éstas no realizan trabajo, la energía mecánica del cuerpo se mantendrá constante. b) Si consideramos el nivel cero de energía potencial gravitatoria al principio del plano inclinado, vemos que

inicialmente la energía mecánica del bloque es únicamente cinética. Consideramos los dos casos que nos indica la cuestión:

i) Plano sin rozamiento. Sólo actúan sobre el bloque la fuerza gravitatoria, que es conservativa, y la fuerza normal, que es no conservativa, pero no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento en todo momento. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, como no existen fuerzas no conservativas que realicen trabajo sobre el bloque, la energía mecánica se mantiene constante.

EcEpcteE0WE MFNCM ∆∆∆ −=→=→== Por lo tanto, en la subida por la rampa aumenta la energía potencial gravitatoria (Epg = mgh), al tiempo que disminuye la energía cinética. Cuando llega a su punto más alto, su energía cinética es nula, y la energía potencial gravitatoria es máxima, coincidiendo con la energía cinética inicial. Durante el movimiento de caída, vuelve a producirse una transformación de energía potencial gravitatoria, que disminuye, en energía cinética, que aumenta hasta hacerse igual a la energía cinética que tenía al principio, antes de la subida.

αFg

N

αFg

N

0Epg = 0Epg =

subida bajada



ii) Plano con rozamiento. Ahora, junto a las fuerzas antes indicadas, actúa la fuerza de rozamiento, que se opone al desplazamiento tanto en la subida como en la bajada. Se trata de una fuerza no conservativa, que hace disminuir la energía mecánica, disipándose parte de ésta mediante calor al medio ambiente. De este modo, en la subida, la energía cinética disminuye mientras aumenta la energía gravitatoria, pero debido a la disipación energía por el rozamiento, la altura que alcanza es inferior a la que alcanzaría sin rozamiento. Durante la bajada, se vuelve a producir una transformación de energía potencial en energía cinética. Nuevamente, la disipación de energía al medio ambiente hace que la energía cinética (y por lo tanto la velocidad) con la que vuelve a llegar abajo sea inferior a la de partida.

2. a) Explique la teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico. b) Razone si es posible extraer electrones de un metal al iluminarlo con luz amarilla, sabiendo que al

iluminarlo con luz violeta de cierta intensidad no se produce el efecto fotoeléctrico. ¿Y si aumentáramos la intensidad de la luz?

a) El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por parte de un metal al incidir sobre él radiación

electromagnética. La teoría ondulatoria clásica de Maxwell sobre la luz no podía explicar las características de este fenómeno, como la existencia de una frecuencia umbral, al suponer una transmisión continua de la energía. Einstein aplicó las hipótesis cuánticas de Planck para explicar el efecto fotoeléctrico. Pero llegó aún más allá

en su ruptura con las teorías clásicas. Supuso que no sólo los intercambios de energía están cuantizados, sino que la propia radiación está constituida por "partículas” (posteriormente llamadas fotones) que transportan la energía de forma discreta, concentrada en cuantos de energía. Es decir, supuso un comportamiento corpuscular para la luz, al

menos en este fenómeno. La energía de un fotón viene dada por la expresión de Planck υ⋅= hE f Suponiendo que la luz se comporta como una partícula, al chocar ésta con un electrón, le transmite instantáneamente toda su energía. Evidentemente, esta energía que cede al electrón dependerá de la frecuencia de la radiación.

Así, la energía de un fotón se emplea, en primer lugar, en arrancar al electrón del metal. Esta energía necesaria, que depende del tipo de metal, se denomina trabajo de extracción o función trabajo (Wextr, o Φo). También puede definirse como la energía mínima que debe tener el fotón para extraer un electrón del metal. Así, tendremos que

0υ⋅= hWextr , donde 0υ es la frecuencia umbral característica del metal. Si el fotón no posee energía (frecuencia) suficiente, no podrá arrancar al electrón, y el fotón será emitido de

nuevo. Esto explica la existencia de la frecuencia umbral. Si la energía es superior al trabajo de extracción, la energía sobrante se emplea en darle energía cinética

(velocidad) a los electrones emitidos. De este modo, llegamos a la expresión: 2

21

0 vmhhEcWE eextrf ⋅+υ⋅=υ⋅→+= Así, una mayor frecuencia de la radiación significará una mayor energía cinética de los electrones, pero no un mayor nº de electrones emitidos. Y una mayor intensidad de la radiación (mayor nº de fotones) significará un mayor nº de electrones emitidos, pero no una mayor energía cinética. b) El color (o tipo) de la radiación viene dado por su frecuencia. Una luz violeta tiene mayor frecuencia que la

amarilla y, por lo tanto, cada fotón de luz azul tiene mayor energía que un fotón de luz amarilla. El enunciado nos dice que al incidir la luz azul no se emiten electrones, es decir, que los fotones no tienen energía suficiente (es menor que el trabajo de extracción). Por consiguiente, los fotones de la luz amarilla, de menor energía, tampoco podrán extraerlos. Si aumentamos la intensidad de la luz amarilla, lo único que haremos es aumentar el número de fotones que inciden sobre el metal, pero no la energía de cada fotón, que depende exclusivamente de la frecuencia. Por lo tanto, tampoco se producirá emisión de electrones.

αFg

NFR

αFg

N FR

0Epg = 0Epg =

subida bajada



3. Una espira conductora de 40 cm2 se sitúa en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme de 0,3

T. a) Calcule el flujo magnético a través de la espira y explique cuál sería el valor del flujo si se girara la espira

un ángulo de 60º en torno a un eje perpendicular al campo. b) Si el tiempo invertido en ese giro es de 3 ·10-2 s, ¿cuánto vale la fuerza electromotriz media inducida en la

espira? Explique qué habría ocurrido si la espira se hubiese girado en sentido contrario. a) Nos encontramos ante una espira (un circuito plano cerrado) dentro de un

campo magnético. Las líneas de campo magnético atraviesan la superficie encerrada por el circuito.

El flujo magnético (Φ) mide la intensidad de líneas de campo magnético que atraviesan la superficie encerrada por la espira. Se calcula con la expresión

∫ ⋅= dsBmΦ . En el caso que nos ocupa, campo magnético uniforme y

superficie plana, el flujo nos queda ∫ ⋅⋅=⋅=⋅= αΦ cosSBSBdsBm

Donde B es el módulo del campo, S el área encerrada por el circuito y α es el ángulo que forma el vector superficie con el vector campo. En este caso, como nos muestra el esquema 1, si la espira es perpendicular al campo, su vector superficie será paralelo al mismo, con lo que α = 0º. El flujo entonces será Wb012,00cosm004,0T3cosSB 2

1m =⋅⋅=⋅⋅= αΦ Si giramos la espira un ángulo de 60º en torno a un eje perpendicular al campo, el vector superficie formará ahora 60º con el vector campo. Las otras dos magnitudes quedan igual. El flujo ahora será Wb006,060cosm004,0T3cosSB 2

2m =⋅⋅=⋅⋅= oαΦ b) Al girar la espira, se produce una variación del flujo magnético que atraviesa la misma. Estaremos ante un caso de inducción electromagnética, generación de corriente en un circuito por acción de un campo magnético. Aplicando la ley de Faraday-Lenz, se genera corriente inducida en el circuito debido a la variación de flujo magnético que atraviesa el mismo. El sentido de la corriente inducida es tal que genera un campo magnético inducido que se opone a la variación del flujo.

La fuerza electromotriz ( ε ) generada se calcula con la expresión tdd mΦε −=

En este caso nos piden la fuerza electromotriz media, que podemos calcularla directamente calculando la variación de flujo y el tiempo transcurrido

V2,0s103

Wb012,0Wb006,0tt 2

1m2mm =⋅−

−=−

−=−= −∆ΦΦ

∆∆Φ

ε

Si el giro hubiera sido en sentido contrario, pudiera parecer que la corriente inducida tendría sentido contrario a la anterior, pero no es así. En ambos casos partimos de una situación en la que el flujo es máximo (espira perpendicular al campo). Tanto si giramos 60º o -60º, se producirá una disminución del flujo, y el nuevo flujo será de 0,006 Wb [tengamos en cuenta que cos(-60º) = cos60º = 0,5 ]. La fuerza electromotriz media será en ambos casos de 0,2 V y la corriente irá en el mismo sentido.

B S

ω1Esquema



4. Una onda electromagnética tiene en el vacío una longitud de onda de 5 ·10-7 m. a) Explique qué es una onda electromagnética y determine la frecuencia y el número de onda de la onda

indicada. b) Al entrar la onda en un medio material su velocidad se reduce a 3c/4. Determine el índice de refracción

del medio y la frecuencia y la longitud de onda en ese medio. c = 3 ·108 m s-1 a) Se entiende por onda electromagnética a la propagación de una perturbación electromagnética a través de un

medio, que puede ser el vacío. A diferencia de las ondas mecánicas, en el caso de las ondas electromagnéticas la perturbación que se propaga consiste en un campo eléctrico y un campo magnético oscilantes, perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación. Las ecuaciones de onda serán entonces

)(0 kxtsenEE ±⋅= ωrr

)(0 kxtsenBB ±⋅= ωrr

Donde y son las amplitudes de los campos eléctrico y magnético, ω es la frecuencia angular de oscilación y k es el número de onda La longitud de onda λ es la distancia más corta entre dos puntos en fase. Está relacionada con la frecuencia (υ : nº de oscilaciones por segundo) y la velocidad de propagación v

mediante la expresión υ

λ v=

En el vacío todas las ondas electromagnéticas se propagan a la misma velocidad. v = c = 3 ·108 m s-1

Así, la frecuencia se calcula Hz106m105

ms103v 147

18

⋅=⋅⋅

== −

−

λυ

El número de onda lo obtenemos a partir de la longitud de onda m/rad10257,1m105

22k 77 ⋅=

⋅== −

πλπ

b) Al pasar de un medio a otro, la onda electromagnética se refracta. La velocidad de propagación cambia, ya que esta

magnitud depende exclusivamente del medio. En cualquier medio transparente la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas será menor que en el vacío.

El índice de refracción del medio ( n ) se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío ( c ) y la velocidad de propagación en dicho medio ( v ). Así

333,134

cc

vcn

43

====

La frecuencia de la onda electromagnética es una magnitud que depende exclusivamente del foco emisor, por lo que no cambia en el fenómeno de refracción, cuando pasa a transmitirse por otro medio. Así, la frecuencia en el nuevo medio será la misma que en el vacío υ = 6 ·1014 Hz La longitud de onda depende tanto del foco como del medio, por lo que sí se ve modificada a pasar a propagarse por el nuevo medio. La nueva longitud de onda será

m1075,3s106ms1025,2cv 7

114

1843

−−

−

⋅=⋅⋅

=⋅

==υυ

λ

Resuelto por: José Antonio Navarro Domínguez ( [email protected] )

OPCION A 1. a) Explique las características del campo gravitatorio terrestre. b) Dos satélites idénticos están en órbita circular alrededor de la Tierra, siendo r1 y r2 los respectivos radios

de sus Orbitas (r1 > r2). ¿Cuál de los dos satélites tiene mayor velocidad? ¿Cuál de los dos tiene mayor energía mecánica? Razone las respuestas.

2. a) Explique la teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico y el concepto de fotón. b) Razone por qua la teoría ondulatoria de la luz no permite explicar el efecto fotoeléctrico. 3. Una onda en una cuerda viene descrita por: y (x, t) = 0,5 cos x · sen (30 t) (S. I.) a) Explique qué tipo de movimiento describen los puntos de la cuerda y calcule la máxima velocidad del punto

situado en x = 3,5 m. b) Determine la velocidad de propagación y la amplitud de Ias ondas cuya superposición darían origen a la

onda indicada. 4. Un electrón se mueve con una velocidad de 2.106 m s-1 y penetra en un campo eléctrico uniforme de 400

N·C-1, de igual dirección y sentido que su velocidad. a) Explique cómo cambia la energía del electrón y calcule la distancia que recorre antes de detenerse. b) ¿Qué ocurriría si la partícula fuese un positrón? Razone la respuesta. e= 1,6·10-19C; m= 9,1 ·10-31 kg OPCION B 1. a) Explique la formación de imágenes por un espejo convexo y, como ejemplo, considere un objeto situado

entre el centro de curvatura y el foco. b) Explique las diferencias entre imagen virtual e imagen real. Razone si puede formarse una imagen real

con un espejo convexo. 2. a) Explique las características del campo magnético creado por una corriente rectilínea e indefinida. b) Por dos conductores rectilíneos e indefinidos, dispuestos paralelamente, circulan corrientes eléctricas de

la misma intensidad y sentido. Dibuje en un esquema la dirección y sentido de la fuerza sobre cada uno de los conductores.

3. Un cuerpo de 5 kg, inicialmente en reposo, se desliza por un plano inclinado de superficie rugosa que forma

un ángulo de 30° con la horizontal, desde una altura de 0,4 m. Al llegar a la base del plano inclinado, el cuerpo continúa deslizándose por una superficie horizontal rugosa del mismo material que el plano inclinado. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y las superficies es de 0.3.

a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en su descenso por el plano inclinado y durante su movimiento a lo largo de la superficie horizontal. ¿A qué distancia de la base del piano se detiene el cuerpo?

b) Calcule el trabajo que realizan todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo durante su descenso por el piano inclinado.

g = 10 m s-2 4. Entre unos restos arqueológicos de edad desconocida se encuentra una muestra de carbono en la que sólo

queda una octava parte del carbono 14C que contenía originalmente. El periodo de semidesintegración del 14C es de 5730 años.

a) Calcule la edad de dichos restos. b) Si en la actualidad hay 1012 átomos de 14C en la muestra, ¿cuál es su actividad?


OPCIÓN A: 1. a) Explique las características del campo gravitatorio terrestre. b) Dos satélites idénticos están en órbita circular alrededor de la Tierra, siendo r1 y r2 los respectivos

radios de sus Orbitas (r1 > r2). ¿Cuál de los dos satélites tiene mayor velocidad? ¿Cuál de los dos tiene mayor energía mecánica? Razone las respuestas.

a) Esta pregunta puede ser bastante larga, ya que corresponde a un apartado entero del tema de gravitación. En este

texto nos limitaremos a enumerar los puntos que se podrían desarrollar, ya que no está claro qué preguntan concretamente.

- Características generales de la interacción gravitatoria, que evidentemente se cumplen para la Tierra, considerada como una esfera de masa 5,98·1024 kg: atractiva, conservativa, central, líneas de campo y superficies equipotenciales, ley de gravitación de Newton…

- Magnitudes vectoriales (fuerza, gravedad) y escalares (potencial, energía potencial). Definición y expresiones para el exterior de la Tierra. Variación de la gravedad con la altura. Gravedad superficial. ¿Variación de la gravedad con la latitud, al no ser la Tierra una esfera perfecta?

- Aproximación de gravedad constante para una altura muy inferior al radio terrestre. La fórmula Epg = mgh frente a la fórmula general. Rango de validez.

- Velocidad de escape de la Tierra. - Campo en el interior de la Tierra. Aplicación del teorema de Gauss. (¿?) b) La velocidad de un objeto (satélite) que describe orbitas circulares en torno a un astro

central (la Tierra en este caso) debido únicamente a la atracción gravitatoria, se

denomina velocidad orbital, y se calcula con la expresión rMGvorb⋅

= donde M es

la masa de la Tierra, r la distancia desde el centro de masas del satélite hasta el centro de la Tierra y G la constante de gravitación universal.

Vemos que, como el primer satélite está a mayor distancia (r1 > r2), su velocidad orbital será menor, ya que G y M son las mismas en los dos casos.

Conclusión: La velocidad orbital es mayor en el segundo satélite. La energía mecánica de un satélite es la suma de sus energías cinética y potencial gravitatoria:

rGMmmv

21EpEcE 2

gM −=+= donde m es la masa del satélite

Sabemos que para una órbita circular, la velocidad es constante (velocidad orbital). Así.

r2GMm

rGMm

rGMm

21

rGMm

rGMm

21EpEcE

2

gM −=−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

Considerando la expresión obtenida, vemos que a mayor distancia ( r ), mayor energía mecánica (menor en valor absoluto, peo hay que tener en cuenta el signo - )

Así, el primer satélite poseerá mayor energía mecánica, ya que se encuentra a mayor distancia de la Tierra.

1

2


2. a) Explique la teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico y el concepto de fotón. b) Razone por qua la teoría ondulatoria de la luz no permite explicar el efecto fotoeléctrico.

a) Einstein aplicó las hipótesis de Planck sobre la cuantización de la energía para explicar el efecto fotoeléctrico, es decir, la emisión de electrones por parte de un metal al incidir sobre él radiación electromagnética de una determinada frecuencia (frecuencia umbral) o superior. Pero llegó aún más allá en su ruptura con las teorías clásicas. Supuso que no sólo los intercambios de energía están cuantizados, sino que la propia radiación está constituida por "partículas", llamadas fotones, que transportan la energía de forma discreta, concentrada en cuantos de energía. Es decir, supuso un comportamiento corpuscular para la luz, al menos en este fenómeno. El fotón sería, pues, la partícula asociada a la onda electromagnética. Su masa en reposo es nula y su velocidad en el vacío es c = 3 ·108 ms-1 La energía de un fotón viene dada por la expresión de Planck υ⋅= hE f

Su cantidad de movimiento (a partir de la hipótesis de De Broglie) c

Ep f=

Suponiendo que la luz se comporta como una partícula, al chocar ésta con un electrón, le transmite instantáneamente toda su energía. Evidentemente, esta energía que cede al electrón dependerá de la frecuencia de la radiación. Así, la energía de un fotón se emplea, en primer lugar, en arrancar al electrón del metal. Esta energía necesaria, que depende del tipo de metal, se denomina trabajo de extracción o función trabajo (Wextr, o Φo). También puede definirse como la energía mínima que debe tener el fotón para extraer un electrón del metal. Así, tendremos que

0υ⋅= hWextr , donde 0υ es la frecuencia umbral característica del metal. (También existe la longitud de onda

umbral 0

0 υ=λ

c ).

La energía sobrante se emplea en darle energía cinética (velocidad) a los electrones emitidos. De este modo, llegamos a la expresión: 2

21

0 vmhhEcWE eextrf ⋅+υ⋅=υ⋅→+= También se usa en la forma )(hEce 0υ−υ⋅= La gráfica de la figura se corresponde con esta última fórmula. La pendiente de las rectas obtenidas (una distinta para cada metal) es igual a la constante de Planck. b) La teoría clásica (u ondulatoria) de la luz supone que la luz (las o.e.m, en general) consiste en la trasmisión de una vibración de campos eléctricos y magnéticos a través de un medio que puede ser el vacío. La energía transmitida por esta onda electromagnética se realiza, pues, de forma continua (las partículas, por el contrario, transmiten energía de forma discreta, transportada por la propia partícula). Suponiendo una transmisión continua de energía, al incidir la radiación sobre el metal, los electrones superficiales del mismo irían absorbiendo continuamente energía, independientemente de la frecuencia de la radiación. Así, más tarde o más temprano el electrón adquiriría energía suficiente para vencerla atracción del núcleo, produciéndose siempre la emisión de electrones. Sin embargo, lo observado en las experiencias es que existe una frecuencia umbral, una frecuencia mínima por debajo de la cual la radiación no puede provocar la emisión de electrones, por mucho tiempo que esté incidiendo sobre el metal. Este hecho sólo puede explicarse suponiendo que en la interacción radiación-materia, la luz se comporta como partículas (ver el apartado anterior). Otro aspecto experimental que no puede explicar la teoría ondulatoria de la luz es el hecho de que al suministrar más energía aumentando la intensidad de la luz pero sin variar su frecuencia, consigamos extraer un mayor número de electrones, pero no aumentar la energía cinética de los que se extraen.


3. Una onda en una cuerda viene descrita por: y (x, t) = 0,5 cos x · sen (30 t) (S. I.) a) Explique qué tipo de movimiento describen los puntos de la cuerda y calcule la máxima velocidad del

punto situado en x = 3,5 m. b) Determine la velocidad de propagación y la amplitud de Ias ondas cuya superposición darían origen

a la onda indicada. a) La expresión que nos da el problema corresponde a una onda estacionaria (O.E.), ya que las partes espacial

(k·x) y temporal (ω·t) aparecen en dos funciones trigonométricas separadas. En este caso, se trata de una O.E. de extremo libre (punto de amplitud máxima en x = 0).

Una O.E. se produce por la superposición (interferencia) de dos ondas viajeras de iguales características

(amplitud, periodo, frecuencia, velocidad de propagación…) que se propagan por el mismo medio, en la misma dirección pero en sentidos contrarios. Como consecuencia de esta interferencia obtenemos:

- Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple, una vibración cuya amplitud no es única, sino que depende del punto del medio (del desfase entre las ondas que interfieren). Tendremos así puntos con interferencia constructiva y amplitud máxima (2A) o vientres, puntos con interferencia destructiva y amplitud cero (nodos), y puntos con amplitud intermedia. La expresión para la amplitud en este caso es A (x) = 0,5 cos x (m)

Para x = 0 m, cosx = 1, con lo que la amplitud es máxima = 0,5 m (extremo libre). - La expresión general sería y (x, t) = 2A cos kx · sen (ωt) (S. I.) donde A = 0,25 m, k = 1 rad/m y ω = 30 rad/s,

son la amplitud, número de onda y frecuencia angular de las ondas superpuestas. - La propagación neta de energía es nula, ya que tenemos dos ondas transmitiendo la misma cantidad de

energía por segundo en sentidos puestos. La velocidad de propagación de la O.E. es, por tanto, cero. La velocidad de un punto de la cuerda (velocidad de vibración), depende del punto x y del instante t, y viene

dada por la expresión

)s/m()t30cos(xcos15)t30cos(30xcos5,0dt

dyv )t,x(

y ⋅⋅=⋅⋅⋅==

La velocidad es máxima (en valor absoluto) cuando cos(30t) = ±1 , es decir vymax = |15 · cos x| (m/s) Sustituyendo x = 3,5 m (y poniendo la calculadora en radianes) obtenemos vymax = 14,05 m/s b) Como se ha explicado arriba, la O.E. se origina por la superposición de dos ondas viajeras de iguales

características. En este caso, la expresión general sería y (x, t) = 2A cos kx · sen (ωt) (S. I.), donde A = 0,25 m, k = 1 rad/m y ω = 30 rad/s, son la amplitud, número de onda y frecuencia angular de las ondas

superpuestas. La velocidad de propagación de las ondas viajeras puede calcularse con la expresión

s/m30m/rad1s/rad30

kv ===

ω

Solución: Amplitud de las ondas viajeras: A = 0,25 m. Velocidad de propagación de las ondas viajeras: 30 m/s


4. Un electrón se mueve con una velocidad de 2 .106 m s-1 y penetra en un campo eléctrico uniforme de 400 N·C-1, de igual dirección y sentido que su velocidad.

a) Explique cómo cambia la energía del electrón y calcule la distancia que recorre antes de detenerse. b) ¿Qué ocurriría si la partícula fuese un positrón? Razone la respuesta. e= 1,6·10-19C; m= 9,1 ·10-31 kg a) Un electrón es una partícula cargada negativamente. Por lo tanto, al estar dentro de un campo eléctrico uniforme, sufrirá una fuerza eléctrica dada por la expresión EeEqFe

rrr⋅−=⋅=

La fuerza tendrá, entonces, la misma dirección que el campo, pero en sentido contrario. De esta forma, como el problema nos dice que el sentido de la velocidad es el mismo que el del campo, la fuerza (y por tanto la aceleración sufrida por el electrón) irá en sentido contrario a la velocidad. Como consecuencia, el movimiento del electrón irá frenando hasta detenerse. Posteriormente volverá a acelerar en sentido contrario al que traía. Durante este movimiento de frenado las energías asociadas al electrón son: Energía cinética: 2

21 mvEc = . Debida al movimiento. Disminuye hasta hacerse cero durante el frenado, al

disminuir la velocidad Energía potencial eléctrica: VqEpe ⋅= . Debida a la acción de la fuerza eléctrica. Aumenta, debido a que la fuerza

eléctrica realiza un trabajo negativo (va en contra del desplazamiento). rFWEp eFe e

rrΔΔ ⋅−=−=

Energía mecánica: eM EpEcE += Se mantiene constante, ya que no hay fuerzas no conservativas aplicadas. En resumen, se produce una transformación de energía cinética en energía potencial eléctrica, manteniéndose constante la energía mecánica. Podemos calcular la distancia recorrida hasta detenerse de varias formas. La más corta, a nuestro entender, consiste en aplicar el teorema trabajo-energía cinética:

12eFeTOT EcEcrEe)1(rEqº180cosrFerFWWEc −=⋅⋅−=−⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=== ΔΔΔΔΔ rr

Así, m028,0Ee2

mvrmv0rEe2

221 =

⋅⋅=→−=⋅⋅− ΔΔ recorre hasta detenerse.

Otras formas de calcular la distancia: - Aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. Ya que EM = cte, Fee WEpEc =−= ΔΔ , y tendríamos la misma situación anterior. - Aplicar la conservación de la energía mecánica, usando la fórmula de la energía potencial Epe = q·V, con lo que

rEemv0)rE()e()VV(qEpEc 221

12e ΔΔΔΔ ⋅⋅−=−→⋅−⋅−−=−−=−= llegando al mismo resultado

- Calcular la aceleración que sufre el electrón aplicando la 2º ley de Newton (mFar

r Σ= ) y posteriormente resolver el

movimiento uniformemente acelerado, con velocidad inicial 160 ms102v −⋅= y velocidad final nula.

b) Un positrón (e+) es la antipartícula del electrón. Posee la misma masa que el electrón, pero carga positiva (de igual valor absoluto). Por lo tanto, un positrón sufriría una fuerza (y una aceleración) de igual módulo que en el caso del electrón, y en este caso en la misma dirección y sentido que la velocidad, por lo que el movimiento del positrón sería cada vez más rápido, la energía cinética aumentaría a costa de una disminución de la energía potencial eléctrica (ahora la fuerza eléctrica realizaría un trabajo positivo), mientras que la energía mecánica, como en el caso anterior, se mantendría constante ya que la única fuerza presente, la eléctrica, es conservativa. En este caso, el positrón no se detendría.

+y

+x

Er

eFr vr

rrΔ−

21

0v =


OPCIÓN B: 1. a) Explique la formación de imágenes por un espejo convexo y, como ejemplo, considere un objeto

situado entre el centro de curvatura y el foco. b) Explique las diferencias entre imagen virtual e imagen real. Razone si puede formarse una imagen

real con un espejo convexo. Un espejo convexo (como el espejo retrovisor exterior de un coche, o los que encontramos en las esquinas de las calles o en los supermercados) posee su centro de curvatura hacia la parte “interior” del espejo, y el foco F en el punto medio entre la superficie del espejo y el centro C (ver la figura). Aplicando las reglas de trazado de rayos: - Un rayo paralelo al eje óptico que incida sobre el espejo, se refleja de forma que su prolongación pasa por el foco F (rayo rojo) - Un rayo que incida sobre el espejo apuntando hacia el foco F, se refleja paralelo al eje óptico (rayo azul). Estos rayos divergen, no convergen en ningún punto, por lo que la imagen no será real, sino virtual. Ambos rayos “parecen venir” de un punto situado dentro del espejo. Prolongando los rayos llegamos al punto donde se sitúa la imagen. Con el resto de los puntos que componen el objeto se procedería de la misma forma, hasta conseguir la imagen. Como vemos, un espejo convexo siempre producirá una imagen virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto, se coloque éste donde se coloque. Donde no puede colocarse de ninguna forma es donde nos dice la cuestión, entre el centro de curvatura y el foco, ya que el objeto estaría literalmente dentro del espejo, lo cual es imposible (a menos, claro, que seamos uno de los personajes de “Alicia a través del espejo” de Lewis Carroll, y estemos buscando al caradehuevo Humpty Dumpty, pero no creo que vayan por ahí los tiros…) (AHORA EN SERIO. NO ES DE RECIBO QUE UN EXAMEN QUE SE SUPONE HA SIDO PROPUESTO POR UNA COMISIÓN DE VARIOS MIEMBROS Y APROBADO POR NOSECUÁNTAS COMISIONES MÁS, TENGA UN ERROR DE ESTAS CARACTERÍSTICAS, QUE PRODUCE CONFUSIÓN Y NERVIOSISMO EN UNOS ALUMNOS QUE LLEVAN YA DOS DÍAS DE ESTRÉS EN EXÁMENES CRUCIALES PARA SU FUTURO. Alguno me comentaba al final del examen que, como veía que no podía ser, pensó que se habría liado y estaba confundiendo cóncavo con convexo, con lo que hizo la cuestión (mal) con un espejo en realidad cóncavo. ¿Tendrán esto en cuenta al corregir? Puede que tiren por la calle de en medio y no tengan en cuenta la opción a), o que la puntúen correcta mientras no se haya puesto una barbaridad, pero lo que está claro es que el tiempo perdido y la inseguridad creada de cara al resto de las cuestiones (esa era la más fácil) no hay forma de tenerlos en cuenta. Pero seguro que no PASSSSSA nada) b) Como se ha comentado en el apartado anterior, la imagen es real si los rayos que provienen de un punto del objeto, al salir del sistema óptico (lentes, espejos…) convergen en un punto. Si colocamos una pantalla en ese punto, veremos la imagen, si colocamos una película fotográfica, obtendremos una fotografía enfocada.(Ejemplos: proyector de video o diapositivas, cámara de fotos, ojo…) Po el contrario, una imagen virtual se produce cuando los rayos que salen del sistema óptico no convergen, sino que divergen de un punto. “Parece” que vienen de un punto, prolongando los rayos, que es donde se sitúa la imagen.(Ejemplos: una lupa con el objeto entre el foco y la lente, un espejo convexo, una lente divergente…) Para hacer converger esos rayos es necesario otro sistema óptico (el ojo, una cámara) En un espejo convexo, los rayos reflejados siempre divergen, con lo que la imagen siempre será virtual. Es imposible producir una imagen real con un espejo convexo (no hay más que ir por la calle y mirarse en el retrovisor de un coche aparcado.)

Objeto

Imagen


2. a) Explique las características del campo magnético creado por una corriente rectilínea e indefinida. b) Por dos conductores rectilíneos e indefinidos, dispuestos paralelamente, circulan corrientes

eléctricas de la misma intensidad y sentido. Dibuje en un esquema la dirección y sentido de la fuerza sobre cada uno de los conductores.

a) Un conductor rectilíneo por el que circula corriente eléctrica de intensidad I crea a su alrededor un campo magnético debido al movimiento de las cargas eléctricas. Dicho campo B

r tiene como

características:

Su módulo viene dado por r2IB⋅⋅

=πμ

(obtenido aplicando la ley de Ampère o la de Biot-Savart)

Dirección: Perpendicular al movimiento de las cargas eléctricas (corriente) Perpendicular al vector rr (distancia desde la corriente al punto considerado) Sentido: Dado por la regla del sacacorchos (o de la mano derecha) al girar el sentido de la corriente sobre el vector

rr . b) Los dos conductores situados paralelamente y con las corrientes en idéntico sentido ejercen entre sí fuerzas magnéticas de atracción dadas por la ley de Laplace. Explicación: La corriente I1 crea un campo B12 en la zona donde está el conductor 2 La corriente I2 crea un campo B21 en la zona donde está el conductor 1. La fuerza que ejerce el conductor 1 sobre el 2 122212 BLIF ∧⋅=

La fuerza que ejerce el conductor 2 sobre el 1 211121 BLIF ∧⋅= Las direcciones y sentidos vienen dadas por la regla de la mano derecha.

2112 FF −= 2121010

2122212 Fd2IIL

d2ILIBLIF =

⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅=π

μπμ

Calculando fuerza por unidad de longitud 2121012

12 fd2II

LFf =

⋅⋅⋅

==π

μ

Como las dos corrientes son de igual intensidad 21

2012

12 fd2I

LFf =

⋅⋅

==π

μ


3. Un cuerpo de 5 kg, inicialmente en reposo, se desliza por un plano inclinado de superficie rugosa que forma un ángulo de 30° con la horizontal, desde una altura de 0,4 m. Al llegar a la base del plano inclinado, el cuerpo continúa deslizándose por una superficie horizontal rugosa del mismo material que el plano inclinado. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y las superficies es de 0.3. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en su descenso por el plano

inclinado y durante su movimiento a lo largo de la superficie horizontal. ¿A qué distancia de la base del plano se detiene el cuerpo?

b) Calcule el trabajo que realizan todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo durante su descenso por el plano inclinado. g = 10 m s-2

a) Sobre el bloque actuarán, durante todo

el movimiento, las siguientes fuerzas, dibujadas en el esquema:

- Fuerza gravitatoria (peso): Fg = m·g = 5 kg · 10 N/kg = 50 N. - Normal: Debida al contacto con la

superficie. Compensa las componentes perpendiculares al plano de las fuerzas aplicadas.

· En el plano inclinado N = Fgy = m·g·cosα = 43,3 N · En la superficie horizontal: N = Fg = 50 N - Fuerza de rozamiento dinámica: Debida a la rugosidad de la superficie. En este

ejercicio se opone al desplazamiento. FR = μ · N · En el plano inclinado: FR = 0,3 · 43,3 N = 12,99 N · En la superficie horizontal: FR = 0,3 · 50 N = 15 N Para calcular la distancia que recorre por la superficie horizontal hasta detenerse, aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica, teniendo en cuenta que actúa una fuerza no conservativa, el rozamiento, que realiza trabajo (la normal es no conservativa también, pero no realiza trabajo al ser perpendicular al desplazamiento). Por lo tanto, la energía mecánica cambiará y su variación será igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. ΔEM = EM2 - EM1 = WFNC = WFR+WN EM2 - EM1 = WFR EM = Ec + Epg consideramos el origen de Epg en la parte baja del plano (h = 0 m) La situación inicial será aquella en que el bloque está en reposo en la parte alta del plano inclinado (h = 0,4 m). La energía mecánica en esta situación 1 es: EM1 = Ec1 + Epg1 = 0 + m·g·h1 = 20 J La situación final es aquella en la que el bloque ya se ha detenido, después de haber recorrido una distancia x por la superficie horizontal (h = 0 m). La energía mecánica será entonces EM2 = Ec2 + Epg2 = 0 + m·g·h2 = 0 J El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento: lo calculamos en dos partes: Plano inclinado (A): J39,10º180cosm8,0N99,12cosrFW RAFR −=⋅⋅=⋅⋅= αΔ Tramo horizontal (B): )J(x15º180cosxN15cosrFW RBFR ⋅−=⋅⋅=⋅⋅= αΔ En total: EM2 - EM1 = WFR 0 J – 20 J = – 10,39 J – 15 · x x = 0,64 m recorre por la superficie horizontal hasta detenerse

gF

gF

Nr

Nr

RFr

RFr

º30

m4,0ArrΔ

BrrΔ

gF

Nr

RFr

º30

gxF

gyF º30

2

1

º30

m4,0h1 =

m8,0º30sen/m4,0rA ==Δ

xrB =Δ 0v2 =

0v1 =

0Epg =


b) Dividimos el desplazamiento en dos tramos: el inclinado y el horizontal. Vemos que, en cada tramo, las fuerzas aplicadas se mantienen constantes durante ese desplazamiento. Por lo tanto, podemos aplicar la expresión

αΔΔ cosrFrFW ⋅⋅=⋅=rr

Así : En el tramo inclinado : Δr = h/sen30º = 0,8 m J20º60cosm8,0N50cosrFgWFg =⋅⋅=⋅⋅= αΔ

J0º90cosm8,0N3,43cosrNWN =⋅⋅=⋅⋅= αΔ J39,10º180cosm8,0N99,12cosrFW RFR −=⋅⋅=⋅⋅= αΔ Trabajo total: WFg + WN + WFR = 20 J – 10,39 J = 9,61 J 4. Entre unos restos arqueológicos de edad desconocida se encuentra una muestra de carbono en la que sólo queda una octava parte del carbono 14C que contenía originalmente. El periodo de semidesintegración del 14C es de 5730 años. a) Calcule la edad de dichos restos. b) Si en la actualidad hay 1012 átomos de 14C en la muestra, ¿cuál es su actividad? Nos encontramos ante una cuestión de radiactividad, emisión de partículas por parte de núcleos inestables, que

se transforman en otros núcleos distintos. (Nota, no necesaria pero sí útil: El 14C es un isótopo radiactivo del carbono presente en la naturaleza en una

proporción muy pequeña, aunque medible. En los restos arqueológicos, normalmente este 14C proviene de restos de seres vivos. Durante su vida, el ser vivo intercambia carbono con el medio, con lo que la proporción de 14C se mantiene constante. Al morir, ya no incorpora más carbono, con lo que esta cantidad disminuye con el tiempo. Sufre desintegración beta, transformándose en 14N y desprendiendo un electrón y un antineutrino)

a) El periodo de semidesintegración, T½ , indica el tiempo que tarda una

cierta cantidad de sustancia radiactiva en reducirse a la mitad, es decir, el tiempo que transcurre hasta la desintegración (transmutación) de la mitad de núcleos que teniamos inicialmente. De este modo, al cabo de un periodo de semidesintegración, quedará la mitad de la muestra original, al cabo de dos veces el T½ , quedará la cuarta parte, al cabo de tres T½ , la octava parte, que es la situación que nos dice el problema.

Por lo tanto, el tiempo transcurrido para que quede la octava parte de

los núcleos iniciales (y por tanto, la edad de los restos) es de 3 · 5730 años = 17190 años = 5,42 ·1011 s b) Por actividad de una muestra radiactiva entendemos el número de desintegraciones que tienen lugar en la unidad

de tiempo. Mide el ritmo de desintegración de la sustancia. En el S.I. se mide en Becquerel (Bq). 1 Bq = 1 desintegración por segundo.

La actividad depende del tipo de sustancia y de la cantidad (el nº de átomos) que tengamos en un instante

determinado. Se calcula con la expresión: NdtdN

⋅−= λ

Calculamos λ, la constante radiactiva del radio, a partir del periodo de semidesintegración T½ = 5730 años = 1,807· 1011 s.

λ y T½ están relacionados a través de la vida media τ. λ

τ 1= 2lnT

21 ⋅=τ

Por tanto 112 s10836,3T

2ln

21

−−⋅==λ

Como el número de átomos es de 1012, sustituyendo en la expresión de la actividad

Bq836,3NdtdN

−=⋅−= λ

Es decir, la cantidad de 14C presente en la muestra se reduce actualmente a un ritmo de 3,836 desintegraciones por segundo.

gF

Nr

RFr

º30

rrΔº60

pau andalucia 05-12 resueltos

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