Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini

Trabajo Práctico, Derivada.

1) Calcula, mediante la definición, la derivada de las funciones

en los puntos que se indican.

2f(x) = x 2 + x en x = 1.

3f(x) = x 2 − 2x + 3 en x = −1, x = 3 y x = 1.

5 f(x)=x 3+x-4 en x = 1.

Algunas soluciones

2) Calcular la der ivada de la función f (x ) = x 2 + 4x − 5 en x = 1 .

3) Calcular der ivada de f (x ) = x 2 − x + 1 en x = −1, x = o y x = 1 .

1

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5) Calcular der ivada de en x = 1 .

Ejercicio 2

Considera la función:

f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1

a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.

b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Solución:

a) f '(x) = 6x2 + 18x + 12

f '(x) = 0 6 (x2 + 3x + 2) = 0

2

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2

1

2

13

2

893

x

xx

Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (-, -2) (-1, +); es decreciente en (-2, -1). Tiene un máximo en (-2, -3) y un mínimo en (-1, -4).

b) f ''(x) = 12x +18

2

3

12

18018120''

xxxf

Signo de f ''(x):

de punto un Tiene.,2

3 en cóncava es;

2

3, en convexa es

xf

.2

7,

2

3 en inflexión

Ejercicio nº 3

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x) = (x -2)2 (x + 1)

Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Solución:

Derivada:

f '(x) = 2 (x - 2) (x + 1) + (x - 2)2 = (x - 2) [2 (x + 1) + x - 2] =

= (x - 2) (2x + 2 + x - 2) = 3x (x - 2) = 3x2 - 6x

2

00230'

x

xxxxf

Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (-, 0) (2, +); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

Segunda derivada:

f ''(x) = 6x - 6

3

Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzinif ''(x) = 0 6x - 6 = 0 x = 1

Signo de f ''(x):

f (x) es convexa en (-, 1); es cócava en (1, +). Tiene un punto de inflexión en (1, 2).

Ejercicio nº 9.-

.2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuación la Halla 02 xxxy

Solución:

Ordenada en el punto:

4162 y

Pendiente de la recta:

632

3232·

632

1'

22

xx

xx

xxy

8

72'

y

Ecuación de la recta:

4

9

8

72

8

74

xyxy

Ejercicio nº 10.-

Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función:

1

222

x

xxxf

Solución:

Dominio R {1}

Derivada:

2

2

2

22

2

2

1

2

1

222222

1

22122'

x

xx

x

xxxxx

x

xxxxxf

2

002020' 2

x

xxxxxxf

Signo de f' (x).

4

Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini

f (x) es creciente en (, 0) (2, ); es decreciente en (0, 1) (1, 2). Tiene un máximo en (0, 2) y un mínimo en (2, 2).

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