Objetos en equilibrio - Ejemplo

Una escalera de 5 m que pesa 60 N esta apoyadasobre una pared sin roce. El extremo de laescalera que apoya en el piso esta a 3 m de lapared, ver figura. ¿Cual es el mınimo coeficientede roce estatico necesario entre la escalera y elpiso para que la escalera no resbale?

Rta.: µe ≥ 0.375FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 1 / 9

Objetos en equilibrio - Tarea para la casaUna tabla de longitud L = 3 m y masa M = 2 kg esta soportadapor dos pesas, una en cada extremo. Un bloque de m = 6 kgreposa sobre la tabla a una distancia x1 = 2.5 m del extremoizquierdo. Determinar la lectura en cada pesa.

Rta.: 19.6 N y 58.9 NFIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 2 / 9

Objetos en equilibrio - Musculos humanos

Un peso de 60 N es mantenido en la mano con elbrazo formando 90o. El biceps ejerce una fuerza ~Fm

que actua a 3.4 cm del codo. Encontrar la magnitudde ~Fm y la fuerza ejercida sobre el codo por la partesuperior del brazo, despreciando el peso de la manoy del brazo. La distancia del peso al codo es 30 cm.

La masa promedio del brazo de una mujer es ≈ 5 %de la masa de todo su cuerpo. Cuando se levanta elbrazo como en la figura, la distancia entre el centrode masa del brazo y el centro de rotacion del hombroes ≈ 0.15 m. Considerando que el musculo deltoidesimpulsa horizontalmente con un brazo de palanca de3 cm. ¿Que fuerza debe impulsar dicho musculo paramantener la posicion?

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 3 / 9

Objetos en equilibrio - Musculos humanos

Un peso de 60 N es mantenido en la mano con elbrazo formando 90o. El biceps ejerce una fuerza ~Fm

que actua a 3.4 cm del codo. Encontrar la magnitudde ~Fm y la fuerza ejercida sobre el codo por la partesuperior del brazo, despreciando el peso de la manoy del brazo. La distancia del peso al codo es 30 cm.

La masa promedio del brazo de una mujer es ≈ 5 %de la masa de todo su cuerpo. Cuando se levanta elbrazo como en la figura, la distancia entre el centrode masa del brazo y el centro de rotacion del hombroes ≈ 0.15 m. Considerando que el musculo deltoidesimpulsa horizontalmente con un brazo de palanca de3 cm. ¿Que fuerza debe impulsar dicho musculo paramantener la posicion?

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Momento de inerciaConsideremos una partıcula de masa m que se mueve en unatrayectoria circular de radio constante.

~v = ~vt ~a = ~ar + ~at

Ft = m at Fr = m ac = mv2

r

v = vt = r ω at = r α

Ft r = m r α r = m r2 α =⇒ τ = m r2 α = I α

I = m r2 es el momento de inercia

El momento de inercia depende de la masa, de la geometrıa oforma del objeto y del eje de rotacion.

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 4 / 9

Momento de inerciaConsideremos una partıcula de masa m que se mueve en unatrayectoria circular de radio constante.

~v = ~vt ~a = ~ar + ~at

Ft = m at Fr = m ac = mv2

r

v = vt = r ω at = r α

Ft r = m r α r = m r2 α =⇒ τ = m r2 α = I α

I = m r2 es el momento de inercia

El momento de inercia depende de la masa, de la geometrıa oforma del objeto y del eje de rotacion.

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Momento de inerciaConsideremos una partıcula de masa m que se mueve en unatrayectoria circular de radio constante.

~v = ~vt ~a = ~ar + ~at

Ft = m at Fr = m ac = mv2

r

v = vt = r ω at = r α

Ft r = m r α r = m r2 α =⇒ τ = m r2 α = I α

I = m r2 es el momento de inercia

El momento de inercia depende de la masa, de la geometrıa oforma del objeto y del eje de rotacion.

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Momento de inerciaConsideremos una partıcula de masa m que se mueve en unatrayectoria circular de radio constante.

~v = ~vt ~a = ~ar + ~at

Ft = m at Fr = m ac = mv2

r

v = vt = r ω at = r α

Ft r = m r α r = m r2 α =⇒ τ = m r2 α = I α

I = m r2 es el momento de inercia

El momento de inercia depende de la masa, de la geometrıa oforma del objeto y del eje de rotacion.

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Calculo del momento de inercia - EjemploCuatro partıculas de masa m estan unidas por barras sin masaformando un rectangulo de lados 2a y 2b. Encontrar el momentode inercia en las dos situaciones planteadas.

I =n∑

i=1

mi r2i = m1 r2

1 + m2 r22 + m3 r2

3 + m4 r24

m1 = m2 = m3 = m4 = m

r1 = r2 = r3 = r4 = aI = 4 m a2

r1 = r3 = 0 r2 = r4 = 2aI = 8 m a2

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 5 / 9

Calculo del momento de inercia - EjemploCuatro partıculas de masa m estan unidas por barras sin masaformando un rectangulo de lados 2a y 2b. Encontrar el momentode inercia en las dos situaciones planteadas.

I =n∑

i=1

mi r2i = m1 r2

1 + m2 r22 + m3 r2

3 + m4 r24

m1 = m2 = m3 = m4 = m

r1 = r2 = r3 = r4 = aI = 4 m a2

r1 = r3 = 0 r2 = r4 = 2aI = 8 m a2

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 5 / 9

Calculo del momento de inercia - EjemploCuatro partıculas de masa m estan unidas por barras sin masaformando un rectangulo de lados 2a y 2b. Encontrar el momentode inercia en las dos situaciones planteadas.

I =n∑

i=1

mi r2i = m1 r2

1 + m2 r22 + m3 r2

3 + m4 r24

m1 = m2 = m3 = m4 = m

r1 = r2 = r3 = r4 = aI = 4 m a2

r1 = r3 = 0 r2 = r4 = 2aI = 8 m a2

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 5 / 9

Calculo del momento de inercia - EjemploCuatro partıculas de masa m estan unidas por barras sin masaformando un rectangulo de lados 2a y 2b. Encontrar el momentode inercia en las dos situaciones planteadas.

I =n∑

i=1

mi r2i = m1 r2

1 + m2 r22 + m3 r2

3 + m4 r24

m1 = m2 = m3 = m4 = m

r1 = r2 = r3 = r4 = aI = 4 m a2

r1 = r3 = 0 r2 = r4 = 2aI = 8 m a2

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Momento de inercia de diferentes objetos solidos

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 6 / 9

Dinamica rotacional - Ejercicio 1Considerar el sistema de la figura, en el cual el balde pesa 15 N yla polea tiene 4 kg de masa y un radio de 33.0 cm. Asumiendoque el torque de la fuerza de friccion es 1.10 m N y que la cuerdatiene masa despreciable y que no se estira, calcular la aceleracionangular de la polea y la aceleracion del balde.

Ipolea α = R FT − τfriccion

mbalde g− FT = mbalde a FT = mbalde (g− a)

a = Rα condicion de no deslizamiento

α =mbalde g R− τfriccion

Ipolea + mbalde R2

Rta.: 6.98 rad/s2 y 2.30 m/s2.

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 7 / 9

Dinamica rotacional - Ejercicio 1Considerar el sistema de la figura, en el cual el balde pesa 15 N yla polea tiene 4 kg de masa y un radio de 33.0 cm. Asumiendoque el torque de la fuerza de friccion es 1.10 m N y que la cuerdatiene masa despreciable y que no se estira, calcular la aceleracionangular de la polea y la aceleracion del balde.

Ipolea α = R FT − τfriccion

mbalde g− FT = mbalde a FT = mbalde (g− a)

a = Rα condicion de no deslizamiento

α =mbalde g R− τfriccion

Ipolea + mbalde R2

Rta.: 6.98 rad/s2 y 2.30 m/s2.

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Dinamica rotacional - Ejercicio 1Considerar el sistema de la figura, en el cual el balde pesa 15 N yla polea tiene 4 kg de masa y un radio de 33.0 cm. Asumiendoque el torque de la fuerza de friccion es 1.10 m N y que la cuerdatiene masa despreciable y que no se estira, calcular la aceleracionangular de la polea y la aceleracion del balde.

Ipolea α = R FT − τfriccion

mbalde g− FT = mbalde a FT = mbalde (g− a)

a = Rα condicion de no deslizamiento

α =mbalde g R− τfriccion

Ipolea + mbalde R2

Rta.: 6.98 rad/s2 y 2.30 m/s2.

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 7 / 9

Dinamica rotacional - Ejercicio 1Considerar el sistema de la figura, en el cual el balde pesa 15 N yla polea tiene 4 kg de masa y un radio de 33.0 cm. Asumiendoque el torque de la fuerza de friccion es 1.10 m N y que la cuerdatiene masa despreciable y que no se estira, calcular la aceleracionangular de la polea y la aceleracion del balde.

Ipolea α = R FT − τfriccion

mbalde g− FT = mbalde a FT = mbalde (g− a)

a = Rα condicion de no deslizamiento

α =mbalde g R− τfriccion

Ipolea + mbalde R2

Rta.: 6.98 rad/s2 y 2.30 m/s2.

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Dinamica rotacional - Ejercicio 1Considerar el sistema de la figura, en el cual el balde pesa 15 N yla polea tiene 4 kg de masa y un radio de 33.0 cm. Asumiendoque el torque de la fuerza de friccion es 1.10 m N y que la cuerdatiene masa despreciable y que no se estira, calcular la aceleracionangular de la polea y la aceleracion del balde.

Ipolea α = R FT − τfriccion

mbalde g− FT = mbalde a FT = mbalde (g− a)

a = Rα condicion de no deslizamiento

α =mbalde g R− τfriccion

Ipolea + mbalde R2

Rta.: 6.98 rad/s2 y 2.30 m/s2.

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Dinamica rotacional - Ejercicio 1Considerar el sistema de la figura, en el cual el balde pesa 15 N yla polea tiene 4 kg de masa y un radio de 33.0 cm. Asumiendoque el torque de la fuerza de friccion es 1.10 m N y que la cuerdatiene masa despreciable y que no se estira, calcular la aceleracionangular de la polea y la aceleracion del balde.

Ipolea α = R FT − τfriccion

mbalde g− FT = mbalde a FT = mbalde (g− a)

a = Rα condicion de no deslizamiento

α =mbalde g R− τfriccion

Ipolea + mbalde R2

Rta.: 6.98 rad/s2 y 2.30 m/s2.FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 7 / 9

Dinamica rotacional - Ejercicio 2Una pelota solida de masa m y radio R rueda sin deslizar haciaabajo por un plano inclinado en un angulo θ. Encontrar laaceleracion del centro de masa.

m g sin θ − f = m aCM

τ = f R = ICM α ICM =25

m R2

vCM = Rω aCM = Rα

f R = ICMaCM

R−→ m g sin θ − ICM

R2 aCM = m aCM

aCM =1

1 + ICM/m R2 g sin θ =57

g sin θ

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 8 / 9

Dinamica rotacional - Ejercicio 2Una pelota solida de masa m y radio R rueda sin deslizar haciaabajo por un plano inclinado en un angulo θ. Encontrar laaceleracion del centro de masa.

m g sin θ − f = m aCM

τ = f R = ICM α ICM =25

m R2

vCM = Rω aCM = Rα

f R = ICMaCM

R−→ m g sin θ − ICM

R2 aCM = m aCM

aCM =1

1 + ICM/m R2 g sin θ =57

g sin θ

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Dinamica rotacional - Ejercicio 2Una pelota solida de masa m y radio R rueda sin deslizar haciaabajo por un plano inclinado en un angulo θ. Encontrar laaceleracion del centro de masa.

m g sin θ − f = m aCM

τ = f R = ICM α ICM =25

m R2

vCM = Rω aCM = Rα

f R = ICMaCM

R−→ m g sin θ − ICM

R2 aCM = m aCM

aCM =1

1 + ICM/m R2 g sin θ =57

g sin θ

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Dinamica rotacional - Ejercicio 2Una pelota solida de masa m y radio R rueda sin deslizar haciaabajo por un plano inclinado en un angulo θ. Encontrar laaceleracion del centro de masa.

m g sin θ − f = m aCM

τ = f R = ICM α ICM =25

m R2

vCM = Rω aCM = Rα

f R = ICMaCM

R−→ m g sin θ − ICM

R2 aCM = m aCM

aCM =1

1 + ICM/m R2 g sin θ =57

g sin θ

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Dinamica rotacional - Ejercicio 2Una pelota solida de masa m y radio R rueda sin deslizar haciaabajo por un plano inclinado en un angulo θ. Encontrar laaceleracion del centro de masa.

m g sin θ − f = m aCM

τ = f R = ICM α ICM =25

m R2

vCM = Rω aCM = Rα

f R = ICMaCM

R−→ m g sin θ − ICM

R2 aCM = m aCM

aCM =1

1 + ICM/m R2 g sin θ =57

g sin θ

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Dinamica rotacional - Ejercicio 2Una pelota solida de masa m y radio R rueda sin deslizar haciaabajo por un plano inclinado en un angulo θ. Encontrar laaceleracion del centro de masa.

m g sin θ − f = m aCM

τ = f R = ICM α ICM =25

m R2

vCM = Rω aCM = Rα

f R = ICMaCM

R−→ m g sin θ − ICM

R2 aCM = m aCM

aCM =1

1 + ICM/m R2 g sin θ =57

g sin θ

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Dinamica rotacional - Tarea para la casa

Una esfera, un cilindro y una anillo parten del reposo en lo altode un plano inclinado. ¿Cual llega primero al final del planoinclinado?, ¿por que?.

FIS1503 - Griselda Garcia - 1er. Semestre 2009 9 / 9