1 Movimiento Oscilatorio

1.1 El Resorte

Ley de Hooke:

F =¡kx

k: constante del resorte, se mide en N/m.

1.2 Movimiento Oscilatorio

La solución de la ecuación de movimiento:

ma=¡kx

1

es:

x(t)=A cos(!t+�); !=km

r

v(t)=¡A! sen(!t+�); a(t)=¡A!2 cos(!t+�)

A: amplitud. m!: frecuencia angular. radianes/segundo�: ángulo de fase. radianesT: período del movimiento, se mide en segundos: !T =2�, T = 2�

!

f: frecuencia del movimiento:f =1

T, se mide en ciclos por segundo. 1 ciclo/s=1

hertz(h)

2

1.3 MOVIMIENTOS OSCILATORIO Y CIRCULAR UNI-FORME

3

1.4 El péndulo simple

� =¡mgl sen �=ml2�

�=¡glsen ��¡g

l�; �� 1

�(t)=� cos(!t+�); !=gl

qMIDIENDO EL PERIODO DEL PENDULO PODEMOS DETERMINAR LAACELERACION DE GRAVEDAD

4

1.5 Energía en un resorte

Energía potencial:

U =12kx2

Se conserva la energía mecánica:

E=12mv2+

12kx2

5

1.6 MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO

F =¡kx¡ bv=ma

b: Efecto de roce.

!=k

m¡ ( b

2m)2

r= !0

2¡ ( b

2m)2

r; !0=

k

m

r

6

1.7 MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO�RESO-NANCIA

F =¡kx¡ bv+Fext(t)=ma;Fext(t)=F0cos(!t)

x=A cos(!t+ �); A=F0/mp

(!2¡!02)2+(b!

m)2

Ver video sobre el Puente de Tacoma

7

2 ELASTICIDAD�MÓDULO DE YOUNG

F =Y (�LLo

)A

3 ELASTICIDAD �MÓDULO DE CORTE

F =S(�XL0

)A

8

3.1 ELASTICIDAD �MÓDULO DE VOLUMEN

�P =¡B(�VV0)

9

4 Péndulo Físico

Un péndulo físico es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en elcampo gravitatorio alrededor de un eje horizontal �jo, que no pasa por su centro

10

de masa.

� =¡mg sen �dcm=(Icm+mdcm2 )�

�=¡ mgdcmIcm+mdcm

2 sen ��¡ mgdcmIcm+mdcm

2 �

�(t)=� cos(!t+�); !=mgdcm

Icm+mdcm2

r

Ejercicios

1.- Un bloque de masa M se encuentra sobre un carro al cual se le comunicaun movimiento armónico simple de frecuencia 0.5 Hz , como muestra la �gura.Si el coe�ciente de roce estático entre el bloque y la super�cie del carro es0.5, ¾Cuál es la máxima amplitud de oscilación posible, tal que el bloque semueve conjuntamente con el carro, sin deslizar sobre éste?

Cuerpo1:

Fr=Ma

a=FrM

<�g

Como los dos cuerpos se mueven al unísono:

a=¡!2A cos(!t+�)

!2A< �g; A<�g!2

= 0.5m

Resp.: 0.5 m12

2.- Una plataforma de 10 kg está sostenida por un resorte de constante k =40 N/m y se encuentra sometida a una fuerza periódica de magnitud máxima5 N . Al oscilar, la masa desliza a lo largo de dos barras, de modo que el coe-�ciente de amortiguamiento es 5 N s/m. Encuentre: a) La frecuencianatural de oscilación de la plataforma para el caso en que no hay amortigua-miento. b) la frecuencia de la fuerza periódica que hace máxima la amplitudde oscilación. c) la máxima amplitud de oscilación de la plataforma. d) el Qdel sistema. e) el ancho de la curva de resonancia del sistema.

Resp.: a) 2 rad/s, b) 1.969 rad/s, c) 25.75 cm, d) 4, e) 0.5 rad/s.

13

3.- Al soltar libremente una esfera de 3 kg , ésta cae en el aire con una velocidadterminal de 25 m/s (suponga que la fuerza de rozamiento es -bv). Luego laesfera es unida a un resorte de constante de fuerza k= 400 N/m, y oscila conuna amplitud inicial de 20 cm. a) ¾Cuánto tiempo demora la amplitud en dis-minuir a 10 cm? b) ¾Cuánta energía se habrá perdido cuando la amplitud sea10 cm?Resp.: a) 3.5 s, b) 6 J .

14

4.- Un oscilador amortiguado tiene una frecuencia w' que es un 10% menor quesu frecuencia sin amortiguamiento. a) ¾En qué factor disminuye su amplituden cada oscilación? b) ¾En qué factor se reduce su energía durante cada oscila-ción?Resp.: a) 0.065, b) 0.004.

5.- Un objeto de 2 kg oscila sobre un resorte de constante elástica k = 400N/m. La constante de amortiguamiento es b =2 N s/m. Este oscilador esaccionado por una fuerza sinusoidal de amplitud 10 N y frecuencia angular w= 10 rad/s. a) ¾Cuál es la amplitud de las oscilaciones? b) Si se varía la fre-cuencia de la fuerza impulsora, ¾a qué frecuencia se producirá la resonancia?c) Encuentre la amplitud de las oscilaciones en resonancia. d) ¾Cuál es elancho de la curva de resonancia?Resp.: a) 5 cm, b) 200 rad/s, c) 50 cm, d) 1 rad/s.

6.- Una araña de 0.36 gramos de masa está en medio de su tela, que se hunde 3mm bajo su peso. Estime la frecuencia de la vibración vertical de este sistema.Resp.: 9.1 Hz .

15

7.- Encuentre el período de pequeñas oscilaciones de un cilindro deradio r que se rueda sin resbalar en el interior de una super�cie curvade radio R.

Resp.: T =2�3

2

R¡ rg

qSol:= velocidad angular en torno al centro de la super�cie curva:

I =12Mr2

vc=!r; !=vcr

E=12Mvc

2+12I!2+Mg (R¡ r) (1¡ cos�)=

12Mvc

2+12Ir2vc2+Mg (R¡ r) (1¡ cos�)�1232Mvc

2+12Mg(R¡ r)�2

vc=(R¡ r);

E=1232M(R¡ r)22 +

12Mg(R¡ r)�2

T =2�3M(R¡ r)22Mg(R¡ r)

s=2�

3(R¡ r)2g

r16

8.- Un cilindro delgado de radio R y masa M está suspendido por unacuerda que da vuelta alrededor de él, como indica la �gura. Unextremo de la cuerda está unido a un soporte rígido y el otro a unresorte de constante k . Determine la frecuencia de oscilación delcilindro, suponiendo que la cuerda no resbala sobre éste.Resp.:

9.- Un cilindro sólido de radio r y masa m cuelga de un resorte deconstante k , parcialmente sumergido en agua, como muestra la�gura. Calcule el período para pequeñas oscilaciones del cilindro a lolargo de la vertical.

Resp.:T =2�m

k+�g�r2

q, con � la densidad del agua

17

10.- Encuentre el período de pequeñas oscilaciones de un péndulo simple delargo l y masa m, que se encuentra en el interior de un ascensor, que se muevea lo largo de la vertical con aceleración a. Discuta el caso en que a = g , endirección hacia abajo.

Resp.: T =2�l

g� a

q11.- Una partícula de masa m se mueve en la región x > 0 bajo la acción de lafuerza F = -kx + c/x , donde k y c son constantes positivas. a) Encuentre laenergía potencial de la masa. b) Determine sus posiciones de equilibrio. c)Encuentre la frecuencia angular para pequeñas oscilaciones en torno a lospuntos de equilibrio.

Resp.: a)V (x)= 1

2kx2+ c ln (x), b)� c

k

q, c)!= 2k

m

q

18

12. La energía potencial de una partícula de masa m está dada por la expre-sión V (x) =

cx

x2+ a2, donde a y c son constantes positivas. a) Encuentre la

posición de equilibrio estable para la masa m. b) Encuentre el período depequeñas oscilaciones en torno al punto de equilibrio.

Resp.: a) x = -a, b)T =2�2ma3

c

q

14.- (Control #1, Sem01/2000) Considere un cilindro sólido homogéneo de masaM y radio R, que está unido en su centro a un resorte horizontal de masa despre-ciable y constante elástica k, de modo tal que puede rodar sin resbalar sobre unasuper�cie horizontal y sin roce en el punto de contacto con el resorte, comomuestra la �gura. Suponiendo que en estado de equilibrio el resorte no está com-primido ni estirado, encuentre la frecuencia con que oscila el centro de masa delcilindro luego de desplazarlo de su posición de equilibrio y dejarlo oscilar libre-mente.

Puede ser útil: momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto de sueje:I = 1

2MR2

19

Resp:!0=2k

3M

qSol:

¡kx+Fr=Mac

¡FrR= I�; ac=�R(al rodar); Fr=¡12Mac

¡kx= 32Mac; !=

2k3M

r15.- (Control #2, Sem01/2000) Considere un péndulo formado por una masa munida a una cuerda de largo L y masa despreciable, como muestra la �gura. Lamasa es desplazada respecto de la posición de equilibrio (�=0) en un ángulopequeño �0 y liberada desde el reposo, en t=0. En estas condiciones la masaexperimenta roce con el aire, proporcional a su velocidad y realiza un movi-miento que corresponde a una oscilación críticamente amortiguada.a) Encuentre la función �(t) que representa el movimiento de la masa a partir delas condiciones inicialesb) Encuentre el tiempo al cual la masa se mueve con velocidad máxima.

20

c) Encuentre la amplitud de oscilación a la cual la velocidad de la masa esmáxima.d) Encuentre la máxima velocidad con que se mueve la masa durante la oscila-ción. Exprese todos sus resultados en función de m;L; g y �0.

Resp: a) �(t) = �0(1 +g

L

qt)e¡ g

L

qtb) tmax =

L

g

qc)�(tmax) = 2

�0e

d)�max = ¡�0e

gLp

21