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1
773･･････････････････････Repaso (1)
Valores aproximados -Vamos al Zoológico- ･･20
Pensemos cómo calcular ･･････････23
Pensemos cómo calcular ･･････････75
Números grandes(millón, billón,trillón)
Decimales
4º grado
4º grado
4º grado
111
112
115
Números y sus operaciones
Figuras
117
División con números de un dígito
División con números de 2 dígitos
4º grado
3er grado
Números Redondeados
Números decimales y números enteros･････4 ¿Cómo expresamos este volumen con un número decimal? Sistema de números decimales y números enteros Números pares e impares Suma y resta con números decimales Juguemos con tarjetas numéricas
･･･10
･････17 ･････19
12
4 Perpendicular y paralela ･･････････45 Perpendicular 446･････････････････ Paralela 550･･･････････････････････ Tracemos un Laberinto 556･････････････
12
6 División con números decimales ･･･78 ･･････78
･･････82
･･････90
Problemas donde usamos divisiones División con números decimales
1234
Ángulos
Triángulos
3er grado
Figuras
3 Multiplicación con números decimales ･･26 Multiplicación de (número decimal) x (número entero)
･･･33 ･･･････38 ･･･41 ･････43
Multiplicación de (número entero) x (número decimal) Propiedades de las operaciones Multiplicación con números decimales Calculemos con tarjetas numéricas
1234
5 Varios tipos de cuadriláteros･･･････58 Trapecios ･･･････････････････60 Paralelogramos 16 ････････････････ Rombos 46･･････････････････････ Diagonales de un cuadrilátero ････66 Figuras hechas con patrones ･･･68 ･･････72
12345
113
110
114
96･････････Comparemos alturas
7 ････････････99 Figuras y sus ángulos Los ángulos de un triángulo ･････100 Los ángulos de un cuadrilátero ･･102 Los ángulos de un polígono ･･････104 Ángulos que se forman al juntar 2 triángulos･･･108
123
3
¡Estudiemos temas que te interesarán!
2
El área de una figura
Fracciones
Círculos
8
9
10
Razones y gráficas
Resumen del Quinto Grado
11
125 grado Vol.1 Estructura del Contenido
Multiplicación en forma vertical
Multiplicación con números de 2 dígitos
5 grado Vol.2o
o
･･5
･･･････････15
･･･26･･･29
Multiplicación de (número decimal) x (número decimal)
¿Qué tipos de figuras puedes trazar?
Cálculo de (número decimal) (número entero)Cálculo de (número entero) (número decimal)Cálculo de (número decimal) (número decimal) ･････86
･････････93
････････････
32
149600000000
m
1.4C
La distancia que hay entre la Tierra y el Sol es de
149,600,000,000 metros
① Lee este número.
② ¿Cuántos grupos de 100 millones hay
en este número?
③ ¿En que posición se encuentra el número 9?
Hiroshi mide 1.4 m de alto.
① Lee este número.
② ¿Cuántas veces debemos tomar 0.1 para
completar 1.4?
③ ¿En que posición se encuentra el número 4?
Haz las siguientes operaciones.
① 2.8＋0.3 ② 3 . 6−0 . 7
3
Juguemos con fichas
⑴ Coloquen 15 fichas sobre una mesa como se muestra abajo.
⑵ Decidan cuál de los dos jugadores comienza.
Los jugadores deben tomar las fichas por turnos. Un jugador puede tomar tantas
fichas como desee si se encuentran alineadas horizontalmente, no es válido tomar
fichas que se encuentren acomodadas en diagonal o verticalmente.
⑷ El jugador que tome la última ficha será el perdedor.
Organícense en parejas para jugar
Reglas
1
¿Habrá una manera de
asegurar que siempre
ganes?
En cuarto grado,
aprendiste sobre la
posición que ocupan
los cientos de millones
y la posición de
los trillones
¿Cómo expre-
samos números
menores que 1?
Las operaciones de suma y resta con
números decimales pueden realizarse
en la forma vertical si los números
están alineados.
2
1
1.4 m
O
O
54
Trata de verter un litro de agua en una tetera que no esté graduada.
¿Quién estará más cerca de 1 l ? Registra los datos.
Yasushi e Hiroko vertieron mucha agua. ¿Cuántos litros vertió cada uno?
El volumen de agua que tiene Yasushi es un litros.
¿Cómo expresamos este volumen con un número decimal?
Escribe el volumen de agua que tiene Hiroko utilizando el litro
como unidad.
1
Veamos cómo expresar una cantidad más pequeña que 0.1.
O O O O
．
O
O
Las partes que exceden 1 l son 7 de 0.1 l, …
Yasushi Hiroko
Números decimales y números enteros
El volumen del agua que
tiene Hiroko es 1 l y un poco
más también.
El volumen del agua de
Yasushi es 1 l y un poco más.
Hay una cantidad más
pequeña que 0.1 l .
¿Cómo puedo expresar
este volumen?
Toma la porción que
corresponde a un litro
y divídela en 10 partes
iguales, cada una de
ellas representa 0.1 l .
1
1l 1l 1l 1l
1l
1l
0.1l
0.1l
1l
1l
0.1l
76
① Para expresar la porción que es menor que 0.1l lo dividiremos en 10
partes iguales.
El volumen de agua que tiene Hiroko es 1.36 l y se lee uno punto
treinta y seis litros.
② Ahora puedes expresar el volumen
de agua que tiene Hiroko.
③ ¿Cuántos litros es el volumen utilizando una escala más pequeña?
Maseru logró una distancia de
2 m 83 cm en salto de longitud.
Escribe esta longitud utilizando
el metro como unidad.
2
① ②¿A cuántos litros corresponden los siguientes volúmenes de agua ?
2 m 83 cm
2 tramos de 1 metro es
8 tramos de 0.1 metro es
3 tramos de 0.01 metro es
Total
m
m
m
1 porción de 1 litro es 1l
3 porción de 0.1 litro es 0.3l
6 porción de 0.01 litro es 0.06l
Lee los valores que señalan las en la escala.
O
O
El volumen de agua que obtenemos al dividir 0.1 en 10
partes iguales se escribe “0.01 l ” y se lee cero punto cero
un litros o un centilitro.
C C
C C
CC
C
2
1
O
O O
.Número
de l
Total 1.36l
m
O
�
C
C
C
Número de0.1 l
Número de la escalamás pequeña
.Número de
l
l
Número de0.1 l
Número de la escalamás pequeña
Ya que 10 cm = 0.1 m,
1 cm = 0.01 m, ¿verdad?
¿Cuántosmetros salté?
l
0.1 l0.1 l
0 m 1 m
m
(m)
2 m 3 m
2.8 m
2.8 m
2.9 m
2.9 m
0.1 l 0.1 l
1 l
0.1l
0.1l
l
98
Escribe el total que se obtiene al sumar 4 veces 1, 5 veces 0.1,
8 veces 0.01 y 7 veces 0.001.
Utiliza el litro como unidad para expresar el
volumen de agua que Maseru vertió en la tetera.
3
Expresa 1 Kg 264 g utilizando el kilogramo como unidad.4
Observemos la relación entre 1, 0.1, 0.01, 0.001.5
Analicemos el número 2.386.6
7
Mide el volumen que es menor a 0.01 l dividien-
do 0.01 l en 10 partes iguales.
grupos de 0.1 8 grupos de 0.01 grupos de 0.001
① 1435 mm（m） ② 95421 m（Km） ③ 875g（Kg）Expresa las siguientes cantidades usando la unidad que se muestra en（ ）.
El volumen que se obtiene dividiendo 0.01 l en 10
partes iguales se escribe como “0.001 l ” y se lee cero
punto cero cero un litros o un mililitro.
Valor de los decimales de acuerdo con su posición
Desde el primer lugar a la derecha del punto decimal,
los valores son como sigue:
Lugar de los décimos
Lugar de los centésimos
Lugar de los milésimos
O
O
O
0.1 0.01 110
110
110
1100
1
11000
0.00110 veces 10 veces 10 veces
.
1
10
1
100
1
1000
（ ）））
（（
2 . 3 8 6…M
ilésimos
…Centésimos
…Décimos
…Punto decimal
…Unidades
O
l
2 grupos de 1
1 0.1 0.01 0.001
100 g es de 1Kg →0.1Kg
10 g es de 0.1Kg →0.01Kg
1 g es de 0.01Kg →0.001Kg
1
101
101
10
Número del
Número de0.1 l
Número de0.01 l
Número de la escalamás pequeña
1 l
0.1 l0.01 l
0.01 l
1110
Sistema de números decimales y números enteros
Observa los números 3776, 42.195 y 0.026.
① Escribe el valor que corresponde a cada posición.
1
Analicemos el sistema de numeración.2
Veamos si los números decimales y los números enteros tienen el
mismo sistema.
① Para los números enteros, ¿cuántas unidades deben
reunirse para trasladar un número a la siguiente posición?
¿Y en cuántas partes iguales debe dividirse un número para
trasladarse a la posición inmediata inferior (o de la derecha)?
② Para los números decimales, ¿cuántas unidades se necesitan para trasladar un
número a la posición inmediata superior (la de la izquierda)?
¿En cuántas partes iguales debe dividirse un número para trasladarse a la
posición inmediata inferior (la de la derecha)?
3 grupos de
4 grupos de
0.1 0.01 0.001
Maratón
Diametro del pólende un árbol
m
Km
mm
UnidadesDecenasCentenasMillares
Monte Fuji
2 grupos de 1 grupo de 9 grupos de 5 grupos de
2 grupos de 6 grupos de
7 grupos de 7 grupos de 6 grupos de
La distancia de la maratón es 42.195 Km.
El diámetro del polen de un árbol
es 0.026 mm.
② Escribe cada número en la tabla de abajo.
La altura del Monte Fuji es 3 776 m.
10 de 100 es
1000, ¿correcto?
Si 0.01 está dividido en 10 partes
iguales, cada parte será 0.001
2
1312
Encuentra las similitudes entre los cálculos con números enteros
y con números decimales.
3
Construye números usando el punto decimal y los dígitos del 0 al 9 sin
repetirlos.
① Escribe el más pequeño.
② Escribe el número que sea el más cercano a 1 pero menor que 1.
1635
＋3 5
＋ 1 6..
Veamos cómo multiplicar números por 10 y por 100.4
② ¿Qué reglas observas para la posición de los números?
③ ¿En dónde escribes el punto decimal en los números que obtienes
cuando multiplicas 2.54 por 10 y por 100?
① ¿Cuánto es 2.54 multiplicado por 10 y por 100?
① Multiplica 23.47 por 10 y por 100 .② ¿Cuántas veces debes tomar 8.72 para obtener 87.2 y 872?
Si un número se multiplica por 10, el punto decimal se
mueve 1 lugar a la derecha. Si un número se multiplica por
100 , el punto decimal se mueve 2 lugares a la derecha.
Centenas Decenas Unidades
2 5 410 veces
10 veces
10 veces100 veces
0.1 0.01
2.54 por 10
2.54 por 100
10 veces
10 veces
10 veces100 veces
2 5 4.
2 5 4
2 5 4
Responde las preguntas siguientes.
Ambos tienen alineados
los mismos lugares.
Si hay 10 de éstos
Si un número está dividido en 10 partes iguales
Con los números enteros y los números decimales, un número se lleva al
valor posicional superior siguiente si se reúnen 10 unidades en una posición.
Si descomponemos un número en 10 unidades, ese número se coloca
en el valor posicional inferior próximo. Esta es la idea básica del sistema
numérico de valor posicional. Usando el sistema de valor posicional, los
números enteros grandes y los números decimales pequeños pueden
escribirse usando los dígitos 0, 1, 2, …, 9 y el punto decimal.
10 veces y 100 veces un número
10 veces100 veces
1514
② ¿Qué reglas observas en la posición de los números?
Analicemos cómo calcular y de un número.5
① Calcula y de 296.
① Escribe los números que son y de 30.84.
② ¿Cuántas veces debes tomar 6.32 y 0.632 para obtener 63.2?
de un número mueve el punto decimal 1 lugar a la izquierda.
de un número mueve el punto decimal 2 lugares a la izquierda.
③ Escribe el punto decimal de los números que son y de 296 en
el de abajo.
y de un número
2110
9 6
0.1 0.01
110 1
100110
Centenas DecenasUnidades
2 9 6
2 9 6
1
10
1
100
1
10
1
100
1
10
1
100
1
10
1
100
1
10
1
100
1
10
1
100
de 296
de 296
Responde las siguientes preguntas.
2 9 6
1
10
1
100
Organiza los números del 0 al 20 en dos grupos escribiéndolos alter-
nadamente en las dos filas de abajo. Comienza con el 0 en primera fila,
el 1 en la segunda fila y así sucesivamente.
① ¿Qué tipos de números hay en las dos filas?
Observa cómo están organizados estos números en dos grupos.2
¿Dónde se usan los números pares y los impares?3
1
Los números enteros que pueden dividirse entre 2 y dejan residuo
cero se llaman números pares . Si los números que al dividirse entre 2
dejan un residuo distinto de cero se llaman números impares.
② Divide entre 2 los números de cada fila.
① ¿A qué grupo pertenece el 23? ¿Y el 98?
② ¿Cuál es la regla para decidir a qué grupo pertenece cada número entero?
0，18，36，176，212，…
1，19，37，177，213，…
Números pares e impares
Número parNúmero impar
Los números de los vuelos que salen desde
Tokio son impares y los números de los
vuelos que llegan a Tokio son pares.
3
1716
2 5 6
＋ 2 4 2
Lee los siguientes volúmenes, longitudes y pesos.
¿A cuántos litros corresponden los siguientes volúmenes?
Lee en la escala los valores que están marcados con una .
Escribe el total que obtienes al tomar 6 veces 1.4 veces 0.1, 9 veces 0.1 y 3
veces 0.001.
¿Cuánto es 10 y 100 veces 36.05?
¿Cuánto es y de 36.05?
Koichi practicó el salto
de longitud con sus amigos.
La tabla de la derecha
muestra la longitud de cada
uno de sus saltos.
① ¿Cuántas veces debes tomar 0.01 para obtener
el resultado de 2.56＋2.42?
② Las operaciones con números decimales pueden hacerse en forma
vertical si los acomodas correctamente. ¡Inténtalo!
① ¿Cuántas veces debes tomar 0.01 para obtener
2 . 64−2 . 53?
② Calcula la respuesta usando la forma vertical.
¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menor longitud?
¿Cuál es la suma de las longitudes del primero y el segundo
saltos? Piensa cómo hacer el cálculo.
Calcula los totales en la tabla de arriba.
¿Cuál es la diferencia de las longitudes entre el primer salto de Akira
y el primer salto de Yuki?
② 5 . 17 m① 3 . 92 l
①
①
③ 0 . 05 l ④ 8 . 004 Kg
5
página 6
página 7
página 9
páginas 13-14
②
②
Nombre
2.56
2.53
2.64
2.51
2.42
2.5
2.56
2.49
Koichi
Yuki
Akira
Sanae
Primera vez Segunda vez Total
1
2
3
4
1l 1l
0.1l 0.1l 0.1l
0.1l
1l 1l 1l
1
10
1
100
páginas 6-8
.
.
2 6 4
− 2 5 3
.
.
（C）
4
3
2
1
Suma y resta con números decimales
( m )
“ a ”“ a ”
★ Lo que has aprendido
★ Lo que te interesa
★ Lo que pienses que es difícil
★ Las buenas ideas de tus compañeros
★ Lo que deseas hacer después.
Escribe en tu cuaderno un resumen
de lo que has aprendido sobre los
números decimales y números enteros.
1918
Repasemos las características que comparten los números decimales y los enteros.
① Si hay en el lugar de las unidades, se forma 1 . Si en el lugar de
las unidades un 1 se divide en partes iguales, se forma un 1 en la
siguiente posición de menor valor.
② Cualquier número entero y cualquier número decimal pueden escribirse usando
los dígitos y el punto decimal.
Escribe los números que faltan en los .
① 86.1 es el total de 8 grupos de , 6 grupos de y 1 grupo de .
② 0.072 es el total de 7 grupos de y 2 grupos de .
③ 19.003 es el total de 1 grupo de , 9 grupos de y 3 grupos de .
Encuentra los números correctos para los siguientes problemas.
① El número que se multiplica por 10 y luego por 100 para obtener 307.4
② El número que se multiplica por 100 y luego por para obtener 20.5
③ El número que se multiplica por 10 y luego por 100 para obtener 0.175
• Construye varios números decimales utilizando las siguientes tarjetas numéricas.
① Construye un número entero agregando un dígito en la parte decimal.
② Construye 2 números decimales cuya suma sea la menor posible.
③ Construye 2 números decimales cuya suma sea la mayor posible.
① Construye el menor número decimal posible.
② Construye el mayor número decimal posible.
Encuentra los siguientes números.
① 10 veces 0.825 ② 100 veces 5 . 67
③ de 72 . 3 ④ de 45 . 2
■ Ir a la página 110
0 1 2 3 4 5 6 .
. ＋
1
10
1
10
1
100
・Comprender las similitudes entre los números decimales y los enteros.
Expresa las siguientes cantidades usando las unidades de medida que se indican.
① 8695 gramos en kilogramos ② 320 mililitros en litros
③ 3.67 kilómetros en metros ④ 67.2 metros en centímetros
3
・Comprender el sistema de los números decimales y los números enteros.
・Cambiar unidades usando números decimales.
・Comprender los conceptos de “10 veces”, “100 veces”, y1
10
1
100
“ a ”“ a ”1
10
1
100・Comprender las relaciones entre los números decimales y los conceptos “10 veces”, “100 veces”, y
.
• Haz los siguientes cálculos utilizando estas tarjetas.
No usar tarjetas
como estas.
6…01 .
06…1 .
I Los números decimales y los enteros
4 20 Viernes1) Lo que aprendí.
2) Lo que me interesó
3) Lo que quisiera hacer la próxima vez
• Para los números enteros y los decimales,
en ambos casos, un número se lleva al valor
posicional superior siguiente si se reúnen
10 unidades en una posición.• Si movemos el punto decimal, podemos
hacer que un número sea 10 veces más
grande o 1/10 de su valor.
• Quiero resolver varios ejercicios con una
calculadora.
Juguemos con
tarjetas numéricas.
4
5
2
1
■ Ir a la página 19 ■ Ir a la página 113
2120
La tabla de la derecha muestra el número de
personas que visitan el zoológico en un día.
① ¿Cuántos miles de personas visitan el
zoológico?
1
Mañana Tarde
27843428
Visitantes al Zoológico
La idea de Hiroshi ▼
Yo uso una calculadora para
sumar el número de visitantes en la
mañana y en la tarde.
2784 + 3428 ＝ 6212
Luego redondeo el número a la
unidad de millar más cercana y
obtengo 6000 visitantes.
La idea de Yoshiko▼
Yo redondeo los números de la
mañana y de la tarde a la unidad de
millar más cercana.
2784 3000
3428 3000
Luego, sumo estos números.
3000 + 3000 = 6000（ visitantes）
Una cantidad que se calcula usando números redondeados
se llama estimación o aproximación.
② ¿Cuántos cientos de personas visitaron
el zoológico en todo el día?
¿En qué
unidades
podríamos
redondear?
Una familia quiere visitar el zoológico.
Los gastos que deben considerar se muestran
a la derecha.
¿Cuánto dinero deberían llevar?
2
Item Costo(yenes）Boletos de tren
Entrada al Zoológico
Comida
2960
2250
3800
Gastos
En el zoológico compraron
algunas cosas.
Si gastan más de 1500 yenes en esas
compras recibirán una entrada gratis.
La tabla de la derecha muestra las
compras que hicieron.
¿Les darán una entrada gratis?
3
Artículo
Chocolates
Papas fritas
Cámara desechable
128
150
1320
Costo(yenes）Lista de Compras
(visitantes)
Valores aproximados -Vamos al Zoológico-
¡Deberíamos redondear
estos números!
¿Cómo deberían redondear estos
números para saber si pueden
recibir una
entrada gratis?
Hay 3 botellas que contienen l
cada una. ¿Cuántos litros hay en total?
③ Piensa cómo calcular la respuesta usando lo que has aprendido.
① Trata de poner diferentes números en el recuadro .
② Escribe una expresión matemática pensando que hay 1.2 l en cada botella.
0
0
1
12
2 3 （botellas）
O
1
•「分（bu）」y 「厘（rin）」se usan en algunas expresiones hoy en día.
• Hemos estudiado el significado de los décimos, centésimos y milésimos en la
lección “Números decimales y números enteros”. Hay símbolos para el sistema
decimal que han sido utilizados desde hace mucho tiempo en la antigua China.
•「分（bu）」es de 1, 「厘（rin）」es de 「分（bu）」, y
así.
1埃（ai）es igual a 0 . 0000000001 como número decimal.
El florecimiento de los
cerezos está a 3 分 (bu)
(tres décimos).
Mi estómago está 8 分 (bu)
(ocho décimos) lleno.
Son 9 分 (bu) 9 厘 (rin)
(nueve décimos y nueve
centésimos).
分（bu）, 厘（rin）, 毛（mou）, 糸（shi）, 忽（kotsu）,
微（bi）, 繊（sen）, 沙（sha）, 塵（jin）, 埃（ai）
1
101
10
Lugares decimales
塵劫記（Jinkoki）
Estos símbolos aparecen en el libro “Jinkouki” que fue
escrito por Mitsuyoshi Yoshida en 1627.
Pensemos cómo calcular
2322
Construí una expresión matemática
usando el volumen de una botella x
el número de botellas.
Si escribí 2 l, entonces 2×3 = 6 (l)
Si escribí 3 l, entonces 3×3 = 9 (l)
Puedo calcular fácilmente la respuesta
si escribí un número entero en el
Es fácil encontrar la respuesta si
medimos el volumen. Pero ¿cómo
podemos calcular la respuesta?
( l )
( l )
2524
La idea de Shinobu ▼
Si usamos 0.1 como unidad,
1.2 es igual a 12 veces 0.1
12×3＝36
36 de 0.1 es .
La idea de Yoshio ▼
Yo usaré los números
decimales y las reglas de
la multiplicación.
Veamos cómo calcular 25×6.
Veamos cómo calcular 25 × 12.
Repasemos cómo calcular 38×73 en la forma vertical.3
25×6＝65
20 6
×× ＝
25 ×12＝225
25 10
×× ＝
1.2×3＝
×3＝ 3612
3 8
× 7 3
Total
Total
0
0
1
12
2 3 （botellas）
Si cambiamos l a dl , obtenemos 1.2 l= 12 dl
12×3＝ 36
36 dl ＝ l l
La idea de Kenishi ▼
3
Estos tres cálculos con números
decimales se hicieron cambiando
a números enteros.
Si el multiplicador o el
multiplicando se multiplican
por 10, el producto también
se multiplica por 10.
25×6 puede calcularse
separando 25 en
5 y 20.
El cálculo de 25×12
puede hacerse separando
12 en 2 y 10.
10 veces 1
10
2
1
(dl)
2726
① Escribe una expresión matemática para resolver este problema.
② ¿Cuántos gramos pesa aproximadamente?
③ Ahora piensa cómo calcular la respuesta usando operaciones.
④ Piensa cómo calcular la respuesta
en la forma vertical.
Multiplicación con números decimales
Podemos calcular cambiando
los números decimales por
números enteros.
0
PesoLongitud
0
1
2.3
2 3 4
Un alambre que mide 1 metro de largo pesa 2.3 gramos.
¿Cuántos gramos pesan 4 m de ese alambre?
1
Multiplicación con (número decimal) x (número entero)1
① Escribe la operación que usaste
para resolver el problema
¿Cuántas veces debemos
tomar 0.1 para obtener 2.3?
Podemos usar
las reglas de la
multiplicación
2 3
× 4
.
3 2
× 6
. 0 8
× 7
.¿Podemos hacer los cálculos
con números decimales
como lo hacemos con
números enteros?
Piensa cómo multiplicar números decimales
Calculemos 2.3 x 4 en la forma vertical
2 3
× 4
. 2 3
× 4
2
. 2 3
× 4
9 2
. 2
× 4
9
.
.
… Hay un número a la derecha
del punto decimal.
… Hay un número a la derecha
del punto decimal.
Escribe 3
y 4 verti-
calmente.
Calcula como lo
has hecho con la
multiplicación
de números enteros.
Escribe el punto decimal
del producto en la misma
posición que en el decimal
del multiplicando.
¿Cuál es el área en m2 de un invernadero que mide 2.6 m de ancho y
3 m de largo?
2
Piensa cómo obtener la respuesta calculando en la forma vertical.3
② Calcula en la forma vertical
2.62
1
1 2 3
0.6×
2×
6 de 1 m2 es m2
6 de 0.1 m2 es m2
Total m2
① 3.2×3
⑤ 2.4×4
② 3.3×3
⑤ 4.3×6
③ 1.8×2
⑦ 0.7×6
Resuelve estas operaciones en la forma vertical.
① 3.2×6
④ 1.4×3
⑧ 0.8 ×4
② 0.8×7
3
2
2928
Una cinta de 1 m de largo cuesta 80 yenes.
¿Cuál es el costo de m de esta cinta?
1
Haz estas operaciones usando la forma vertical.4
Hay 13 botellas con 1.2 l de jugo de naranja. ¿Cuántos litros
hay en total?
5
Piensa qué debes hacer para usar la forma vertical.6
① 1 . 5×6
⑤ 0 . 6×5
② 3 . 6×5
⑥ 0 . 8×5
③ 4 . 5×4
⑦ 0 . 5×6
④ 2 . 5×8
⑧ 0 . 2×15
⑨ 2 . 2×12 ⑩ 1 . 2×31 ⑪ 1 . 9×14 ⑫ 1 . 7×15
⑬ 3 . 4×12 ⑭ 4 . 8×21 ⑮ 3 . 5×18 ⑯ 2 . 9×30
② Escribe una expresión matemática para calcular el costo de 2.4m de cinta.
① Resuelve este problema escribiendo números diferentes en el .
③ Piensa cómo calcular la respuesta.
Si el multiplicador es un número decimal, la forma del
cálculo es la misma que la de los números enteros.
Multiplicación de (número entero) x (número decimal)
① 2 . 5×4 ② 0 . 4×5
① 1 . 6 ×14 ② 1 . 5 × 18
（yenes）
（yenes）
0
Costo
Longitud
0
1
80
2 3 （C）
（yenes）
0
0
1
80 160 240
2 2.4 3 （C）
（yenes）Costo
Longitud
80×80×
yenes corresponden a 2 m, es decir,
yenes corresponden a 3 m, es decir,
＝
＝
2 5
× 4
. 0 4
× 5
.
1 2
× 1 3
.
1 6
× 1 4
. 1 5
× 1 8
.
Haz estas operaciones en la forma vertical.
② Piensa cómo obtener la respuesta usando la forma vertical.
① Escribe la expresión matemática.
Yo puedo escribir una expresión
matemática usando el costo de
1 m x la longitud.
Aproximadamente,
¿cuánto cuesta?
2
(m)
(m)
3130
La idea de Makoto ▼
0
0 80 10
0.1 1
80
224
2.4
8 24 （yenes）Costo（yenes）Longitud 1 0.1 2.4
80 8
110
110
El costo de 0.1 m es 80÷10＝8 (yenes)
2.4 m es 24 veces 0.1 m
Entonces el costo de 2.4 m es 8× ＝ （yenes）.
⑤ Explica cómo calcular 80×2.4 en la forma vertical.
④ Analicemos las ideas de estos dos alumnos.
La idea de Keiko ▼
Yo voy a usar el sistema de
numeración decimal y las reglas de la
multiplicación.
8 0
× 2 4
2 0
0
3
2 091
61
.
.
8 0
×2 4
3 2 0
1 6 0 0
1 9 2 0
¿Cuál es el área, en m2 de un invernadero que mide 3 m de ancho
y 2.5 m de largo?
2
① Escribe la expresión matemática
② Di aproximadamente
cuál es el área en m2.
③ Calcula la respuesta usando
la forma vertical.
① 60×4 . 7
④ 6×2 . 7
③ 7×1 . 6
⑥ 13×2 . 8⑤ 24×3 . 3
② 50×3 . 9
3
2
1
1 2 2.5
80× 2.4 ＝
24 ＝192080×
1
1
6 de 1 m2 es
15 de 0.1 m2 e s
Total
m2
m2
m2
Haz estas operaciones en la forma vertical.
(1) Ignoremos el punto decimal y calculemos
como si fueran números enteros.
(2) Pongamos el punto decimal del
producto en la misma posición que el
punto decimal del multiplicador.
10 veces
¿Cuál de las ideas en④
es la misma que ésta?
Los números marcados con
un ● están a la derecha del
punto decimal.
Calculemos 80 x 2.4 en la forma vertical
1
10
10 veces 1
10
8 0
× 2 4
2 0
0
3
2 091
61
.
.
…Un número a la derecha
de el punto decimal.
…Un número a la derecha
del punto decimal.
3332
Haz estas operaciones en la forma vertical.
Tenemos 40 libros y cada uno pesa 0.3 Kg. ¿Cuál es el peso total en Kg?
1 Para pintar una pared de 2.3 m2 se necesita un litro de pintura ¿Cuántos metros
cuadrados se pueden pintar con 5 litros?
Un alambre mide 1 metro de largo y pesa 9 gramos. ¿Cuál es el peso en
gramos de 3.4 metros de ese alambre?
Del recuadro de abajo elige un número entero y un número decimal. Inventa
un problema que involucre una multiplicación. Intercambia tu problema con
tus compañeros y luego encuentra las respuestas.
① 1 . 6×3
⑤ 6×1 . 8
② 2 . 8×12
⑥ 26×3 . 2
③ 0 . 2×5
④ 50×4 . 3
3 Multiplicación de (número decimal) x (número decimal)
Cada metro de esta barra de hierro pesa 2.1 Kg.
¿Cuál es el peso en kilos de m de esta barra?
① Resuelve este problema colocando diferentes
números en el .
1
② ¿Cuál es el peso en Kg de la barra si su longitud es 3.2 m?
Escribe la expresión matemática
Piensa cómo calcular la respuesta.
1 . 5 7 0 . 8 30 2 . 3 5
5
página 28
página 27
página 31
páginas 26, 29
PesoLongitud 10
0 2.1
2 3 3.2 （C）
páginas 27-28, 31
Yo estoy pensando en
hacer un problema
acerca del volumen.
Estoy pensando en
hacer un problema
acerca del peso.
Puedo calcular las repuestas cuando la
longitud de la barra es 3m o 4m.
Yo puedo calcular la
repuesta cuando la
longitud de la barra es
un número entero.
¿Puedo calcular la repuesta
cuando la longitud de la barra
es un número decimal?
2.1 Kg es alrededor de 2 Kg y 3.2
m es alrededor de 3 m, entonces…
Aproximadamente,
¿cuál es el peso
en Kg?
¿Podemos usar los cálculos de
(número entero)×(número
decimal) y (número
decimal)×(número entero)?
¿Podemos hacer este
cálculo como si los números
decimales fueran números
enteros?
4
3
2
1
( Kg )
( m )
3534
La idea de Hiromi
Sabemos cómo calcular (número decimal) x (número entero), así primero
encontramos el peso de 32 m.
2.1×32 = 67.2 (Kg)
Como el peso de 3.2 m es
del peso de 32 m, podemos encontrar el peso
real moviendo el punto decimal un lugar a la
izquierda.
Así, la respuesta es Kg.
La idea de Makoto
Si multiplicamos el multiplicando y el multiplicador
por 10, el producto se multiplica por 100.
21×32 = 672
El peso de 3.2m es de 672 , de modo que podemos encontrar el peso real
moviendo el punto decimal 2 lugares a la izquierda.
Así, la respuesta es Kg.
③ Cómo calcular
2.1×3.2 en la forma
vertical.
Multiplicación con números decimales
⑴ Ignoramos el punto decimal y
multiplicamos como si fueran
números enteros.
⑵ Lo siguiente es contar cuántos dígitos
están a la derecha del punto decimal en
el multiplicando y en el multiplicador.
Luego, escribir el punto decimal del producto, de manera que a la derecha del
punto decimal queden tantos dígitos como los que contaste en el paso anterior.
¿Cuál es el área, en m2, de un invernadero de flores que mide 2.4 m de
ancho y 3.1 m de largo?
2
① Escribe una expresión
matemática para este problema.
② Calcula en forma vertical.
2.12.1×32
0 1 3.2 32
0 (Kg)
2.4
3.1
2
2
1
1 3
2 1
× 3 2
4 2
3
7 26
6
.
.
.
21
× 32
42
630
672
1 de
1 de
2 de
6 de 1 m2 son
14 de 0.1 m2 son
4 de 0.001 m2 son
Total
m2
m2
m2
m2
1
100
2.1 ＝
＝
3.2
3 2
×
× 6722 1
10 veces10 veces1
100
El área de un rectángulo puede calcularse usando
la fórmula que ya conoces, no importa que ahora las
longitudes se expresen con números decimales.
10 veces
10 veces
×32
×32 110
Peso(Kg)
Longitud(m)
2.1 67.2 ？
1 32 3.2
110
2 1
× 3 2
4 2
3
7 26
6
.
.
.
Un número a la derecha
.... del punto decimal
…Un número a la derecha del
punto decimal.
…Escribir el punto decimal dos
lugares desde la derecha.
（1＋1＝2）
1
10
1
100
3736
Explica qué indican los pasos que se muestran en los siguientes incisos.
Cada metro de esta barra de hierro pesa 3.1 Kg.
¿Cuánto pesan 1.2 m y 0.8 m de esta barra?
4
Piensa cómo hacer las siguientes multiplicaciones en la forma
vertical.
3
5
① Calcula el peso de una barra de 1.2 m.
② Calcula el peso de una barra de 0.8 m.
3.1×0.8
③ Compara el producto con el multiplicando.
① 2.5×1.4 ② 0.8×7.5
① 1.2×2.4
⑤ 6.4×3.5
② 8.6×1.3
⑥ 2.5×2.8
③ 3. 6×6 . 7
⑦ 0.2×1.6 ⑨ 0.8×2.5
④ 9.3×1.9
⑧ 0.3×3.4
① 2.3×1.4
⑤ 4.5×4.2
② 3.2×2.7
⑥ 5.3×4.9
③ 4.1×2.4
⑦ 0.3×6.5 ⑨ 0.9×8.2
④ 4.2×3.3
⑧ 0.4×7.5
① 7.8×0.4
④ 0.6×0.2
② 8.2×0.7
⑤ 0.1×0.9
③ 3.2×0.3
⑥ 0.8×0.5
Haz estas multiplicaciones en la forma vertical.
Cada metro de cierto alambre pesa 9.2 gramos. ¿Cuánto pesan 3.5 m de ese
alambre?
¿Cuántos m2 mide el
área de este cuadrado?
Cuando multiplicamos por un número menor que uno, el
producto es menor que el multiplicando.
página 35
Operaciones con números menores que uno
PesoLongitud
1
3.1
0.80
0
1.2
(Kg)
①
②
0 3
× 0 4
1 2
.
.
0 4
× 0 2
8
.
.
0 4
× 0 2
0 80
.
.
0 4
× 0 2
8
.
.
0 3
× 0 4
1 2
.
.
0 3
× 0 4
1 20
.
.
.
.
2 5
× 1 4
.
.
0 8
× 7 5
.
.
Haz estas multiplicaciones en la forma vertical.
páginas 35-36
páginas 33-35
3 1
× 0 8
.
.
Resuelve estas multiplicaciones en la forma vertical.3
2
1
3938
Observa cómo calculamos 1.4 x 3 para obtener el área de este rectángulo.
El siguiente diagrama muestra el método que usamos.Hiroshi y Yumiko calcularon
el área de este rectángulo.
Compara sus respuestas.
1
Abajo se muestran diferentes métodos para calcular y .Verifica si obtienes el mismo resultado en las dos operaciones.
2
3
Observa cómo calculamos 1.8 x 3.
El siguiente diagrama muestra el método que usamos.
4
Cálculo de Hiroshi ▼
3.6×2.4＝ （m2）
Cálculo de Yumiko ▼
2.4×3.6＝ （m2）
3.8＋2.3＋2.7 3.8＋（2.3＋2.7）
1.8×2.5×4 1.8×(2.5×4)
1 . 4×3＝（1＋0 . 4）×3
1 . 4×3＝1×3＋0 . 4×3
1.8×3＝（2－0.2）×3
1.8× 3＝2×3－0.2×3
Propiedades de las operaciones
Propiedades de las operaciones (1)
• Cuando sumas 2 números, obtienes el mismo resultado si inviertes
el orden de los números que se suman.
■＋▲＝▲＋■• Cuando sumas 3 números, obtienes el mismo resultado si cambias
el orden en que los sumas.
（■＋▲）＋●＝■＋（▲＋●）• Cuando multiplicas 2 números, obtienes el mismo resultado si
inviertes el multiplicando y el multiplicador.
■×▲＝▲×■• Cuando multiplicas 3 números, obtienes el mismo resultado si
cambias el orden en que los multiplicas.
（■×▲）×●＝■×（▲×●）
Propiedades de las operaciones (2)
（■＋▲）×●＝■×●＋▲×●（■－▲）×●＝■×●－▲×●
Su
ma
Multiplicación
4 3.6 m
2.4 m
4140
Haz estas operaciones en la forma vertical.
Calcula las áreas de las siguientes figuras.
¿Cuánto pesan 8.6 m y 0.8 m de alambre si cada metro de alambre pesa 4.5
gramos?
¿En cuáles de las siguientes operaciones el producto es menor que 3.5?
Escribe en los los números que faltan.
① 2.3 ×7
⑤ 31 ×5.2
② 0.8 ×9
⑥ 62 ×0.7
③ 4.7 ×18
⑦ 0.6 ×0.8 ⑨ 1.5 ×3.4
④ 3 ×1.4
⑧ 3.5 ×0.9
Resolvamos este problema: Una barra de hierro pesa Kg por metro.
¿Cuántos Kg pesan m de este alambre?
Haz estas operaciones en la forma vertical.
Piensa cómo obtener la respuesta cuando los valores son 2.14 y 3.2.2
Escribe diferentes números en y en y piensa cómo calcular para
obtener una respuesta.
1
3
② Veamos cómo obtener
la respuesta usando la
forma vertical.
① Un rectángulo que tiene 0.6 m de ancho
y 1.7 de largo.
② Un cuadrado con lados de 2.5 m.
① 3.5×3.5 ② 3.5×0.1
③ 3.5×0.9 ④ 3.5×1
① 0.5×2.7×4
＝2.7×（ × ）＝2.7×＝
② 2.8×1.7＋7.2×1.7
＝（ ＋ ）×1.7
＝ ×1.7
＝
5
página 35
página 37
página 37
páginas 26-37
páginas 38-39
Multiplicación con números decimales
① 3.14×1.1 ② 1.48×3.5
Cuenta el número de dígitos que hay en la parte decimal del multiplicando
y el multiplicador. Luego escribe
el punto decimal del producto de
manera que su parte decimal
tenga el número de dígitos
que contaste.
1.7 m0.6 m
2.5 m
2.5 m
32
2 1 4
× 3 2
4 2 8
4 2
8 4 86
6
.
.
.
214
×428
6420
6848
100 veces
10 veces
2 de
1 de
3 de
1
1000
2 1 4
× 3 2
4 2 8
4 2
8 4 86
6
.
.
.
….Dos dígitos a la derecha
del punto decimal.
…Un dígito a la derecha del
punto decimal.
…Escribe el punto decimal
para que haya tres dígitos a la
derecha. ( 2＋1＝3 )
¿Cómo podemos calcular si
1 metro de la barra pesa 2
kilos 140 gramos?
Podemos expresar 2 Kg
140 g como 2.14 Kg
Yo intenté con 2.1 y 3.2
para y y calculé
la respuesta.
① Escribe una expresión matemática
4
3
2
1
Resumamos cómo calcular con números decimales.
Para calcular 2.3×1.6, primero multiplicamos 2.3 por y luego 2.3
por . Luego calculamos + y obtenemos 368.
Finalmente, para obtener la respuesta correcta debemos multiplicar 368 por .
2.3×1.6＝
Haz estas multiplicaciones en la forma vertical.
① 2 . 9×3
⑤ 19×1 . 2
② 2.7×24
⑥ 3 . 2×1 . 8
③ 0 . 5×8
⑦ 0 . 4×0 . 6
④ 2 8×1. 3
⑧ 3 . 5×0 . 7 ⑨ 7 . 6×0 . 5
Piensa diferentes formas para hacer estas operaciones. Escribe cómo hiciste
esos cálculos.
�Construye varias multiplicaciones del tipo (número decimal) x (número decimal)
usando estas 6 tarjetas como se muestra abajo.
Construye multiplicaciones
donde el producto sea un número entero.
Escribe la multiplicación que arroje el mayor producto.
Escribe la multiplicación cuyo producto sea el más cercano a 18.
① 0 . 5 × 5 . 2 × 8 ② 2 . 8 ×15
En lugar de multiplicar 2.5 por un número, un alumno sumó 2.5 a ese número y
obtuvo 12.3. ¿Cuál es la respuesta al problema original?
■Ir a la página 114
2 3 5 6
. .×
. .×
. .×
. .×
. .×
. .×
. .×
. .×
. .×
. .×
. .×
7 8
1
2
3
・Comprender cómo calcular con números decimales.
・Multiplicar dos números decimales.
・Pensar mediante el uso inverso de los cálculos.
・Usar las reglas de las operaciones.
¿Cuántos metros cuadrados mide el área de la
figura de la derecha?
・ Calcular un área usando números decimales.
3 Un metro de cinta cuesta 90 yenes.
① ¿Cuál es el costo de 3.2 metros de cinta?
② ¿Cuál es el costo de 0.6 metros de cinta?
・Calcular usando estimaciones.
2 .5m
1.2 m180c m
50c m
4342
¿El producto siempre tiene
centésimos?
Construye
multiplicaciones
distintas.
Piensa en pares de números
que tengan un 5 y un número
par en el lugar de los
décimos.
Ya conocemos
multiplicaciones
cuyo producto es
17 y 19.
Calculemos con
tarjetas numéricas
2
1
4
5
6
■ Ir a la página 43
4544
Mide los siguientes ángulos.
Construye ángulos con las siguientes medidas.
Hay muchas carreteras en las fotografías de las ciudades que mostramos arriba. Los puntos en
el mapa señalan la estación de trenes, el palacio municipal y otros lugares. Dibuja 2 carreteras
utilizando líneas rectas, toma en cuenta que la estación de trenes está en el centro de la ciudad.① 30 ° ② 150 °
③ 280 °
① ② ③
2
Ciudad de Hachinohe, Provincia de Aomori. Ciudad de Niigata, Provincia de Niigata.
Ciudad de Hiroshima, Provincia de Hiroshima. Ciudad de Kagoshima, Provincia de Kagoshima.
PalacioMunicipal
Banco
Escuela secundaria
Supermercado
Estación de trenes
Escuela primaria
Pista de Atletismo
Perpendicular y paralela 4
Para construir un ángulo colocamos
el centro del transportador sobre el
vérticedel ángulo. Luego alineamos
un lado del ángulo con la marca
de cero grados.
La medida de los ángulos se
obtiene usando un transportador.
¿Recuerdas cómo hacerlo?
Me gustaría trazar una
carretera sobre el punto
de la estación.
1
4746
1 Perpendicular
Yoshio y Mari dibujaron las siguientes carreteras. Observa los ángulos que se
forman donde se cruzan 2 carreteras.
3
¿En cuáles de las siguientes figuras hay rectas perpendiculares? 2
Dobla una hoja de papel para construir dos rectas perpendiculares.4
1
① ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las 2 rectas en (1)?
¿Cuánto miden los ángulos , , y ?
② ¿Cuántos grados mide el ángulo en el que se cruzan las 2 rectas en (2)?
¿Cuánto miden los ángulos , , y ?
⑵ Mari⑴ Yoshio
Observemos cómo se cruzan 2 líneas rectas.
Si 2 líneas rectas se cruzan
formando un ángulo recto se llaman
rectas perpendiculares.
① ¿Son perpendiculares las rectas
y ?
② Si extendemos la recta , ¿crees que
corte perpendicularmente a la recta ?
¿Por qué?
Si aparentemente 2 rectas no se cruzan, decimos que esas rectas son
perpendiculares si al extender una de ellas forma un ángulo recto al cortar
a la otra.
Las líneas rectas en ⑵ son perpendiculares.
① ② ③ ④
Signo de un ángulo recto
La figura de la derecha muestra el
símbolo para localizar en el mapa la
oficina de correos.
4948
Traza las siguientes rectas.6Veamos cómo trazar rectas perpendiculares.5
La idea de Hiroshi ▼ La idea de Yasuko ▼
Usando papel cuadriculado▼
Palabras
垂 significa
“colgar”
Perpendicular es 垂直(suichoku)
en japonés.
直 significa
“recto”
① La recta que pasa por el punto A y que es perpendicular a la recta .
② La recta que pasa por el punto B y que es perpendicular a la recta .
Usa el papel doblado que hiciste en o una escuadra para mostrar que las
líneas son perpendiculares.
Lugares donde hay perpendiculares
A
B
4
5150
Paralela
El grupo de Mariko decidió hacer una bandera como la de la figura B.1
Traza una recta que sea perpendicular a la recta . Corrobora
midiendo los ángulos b y c.
2
Si dos rectas son cortadas por otra
recta y se forman ángulos iguales
como en la figura, esas dos rectas
son paralelas.
¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas?
A B
Hagamos una
bandera para
nuestro grupo
Ya trazamos una recta, piensa
cómo trazar otras dos.
b
c
Podemos trazar rectas
que estén a la misma
distancia.
Sí, ¡esa es la mejor
idea!
Podemos trazar rectas
con la misma dirección.
Pero será difícil.
Podemos trazar rectas
conectando puntos sobre el
lado derecho tomando en
cuenta la longitud del lado
izquierdo.
¡No! ¡Eso esta mal!
2
5 Bo 2 Ao
5352
Las rectas y son paralelas. Analiza lo que se indica a continuación.3 Imagina cómo debes trazar una recta para que sea paralela a la recta .4
① Las longitudes de los segmentos PQ y RS.
② Si extendiéramos las rectas y , ¿crees que se intersectarán en
algún punto? Discute tu respuesta con tus compañeros.
La distancia entre dos líneas paralelas es la misma en
cada punto, por eso nunca se cruzan por mucho que
se extiendan.
Las rectas y son
paralelas.
① ¿Cuánto miden los ángulos
c, d, e y f?
② ¿Cuántos centímetros mide
el segmento RS?
Realiza los siguientes trazos.
① La recta que pasa por el punto A y es paralela a la recta .
② Dos rectas y que estén a 2 cm de la recta y que sean paralelas
a la recta .
La idea de Kenji ▼
La idea de Yasuko ▼
P R
Q S
P
Q S
R
2
110°
cd
e
f
cm
3 3cm cm
¿Por qué son
paralelas?
5554
En la figura de la derecha, ¿cuáles rectas
son perpendiculares?
Realiza los siguientes trazos.
① La recta que pasa por el punto A y que
es perpendicular a la recta .
② La recta que pasa por el punto B y
que es perpendicular a la recta .
Realiza los siguientes trazos.
① La recta que pasa por el punto A y que es paralela a la recta .
② Las rectas y que están a 1 cm de la recta y son paralelas a ésta.
4 página 53
páginas 46〜47
página 51
páginas 48〜49
En la figura de la derecha, ¿cuáles
rectas son perpendiculares y cuáles
son paralelas?
Justifica tu respuesta.
Traza dos rectas que pasen por el punto B,
una que sea perpendicular a la recta y otra
paralela a ésta.
Las rectas , y son
paralelas.
¿Cuánto miden los ángulos
d, e, f y g?
El cuadrilátero ABCD es un rectángulo.
Responde las siguientes preguntas acerca de
esta figura.
① ¿Cuales lados son paralelos?
② ¿Cuales lados son perpendiculares?
4A
B
D
C
・Identificar rectas paralelas y rectas perpendiculares.
・Dibujar líneas perpendiculares y líneas
paralelas.
d f
eg
・Entender las propiedades de las rectas paralelas.
・Un rectángulo puede describirse con base en las
propiedades de las rectas paralelas y perpendiculares.
■ Ir a la página 56
En la figura de la derecha, ¿cuáles
rectas son paralelas?
3
2
1
3
2
1
A
A
B
B
Escribe las palabras correctas en los . Luego selecciona de las figuras
a las que satisfacen ①, ③, ④, ⑤ y ⑥.Escribe tus respuestas en los（ ）.
① Un cuadrilátero en el que todos sus ángulos son es un rectángulo.
② Las longitudes de los lados opuestos de un rectángulo son.
③ Un cuadrilátero cuyos ángulos rectos y la longitud de sus lados es la misma
se llama .
④ Un triángulo con un ángulo recto se llama .
⑤ Un triángulo con 2 lados de igual longitud se llama .
⑥ Un triángulo cuyos lados tienen la misma longitud se llama .
1
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
Entrada
Salida
Entrada
Salida
¡ Construyamos un laberinto usando rectas paralelas y perpendiculares.
5
5756
Hemos estudiado los triángulos
isósceles, equiláteros y
rectángulos; también los
cuadrados y los rectángulos.
Tracemos un laberinto
Observa las rectas paralelas que resultaron de los trazos que hiciste. Después
ordena los cuadriláteros en grupos de acuerdo a su forma.
5958
Haz una figura como la de la
derecha para construir distintos
tipos de cuadriláteros.
De las rectas que trazaste, encuentra cuáles son paralelas y distínguelas
utilizando un mismo color.
Pongamos atención en los nombres, los trazos y las características
de los cuadriláteros.
Varios tipos de cuadriláteros
¿A qué grupo
pertenece ?
6160
Trapecios Paralelogramos
Busca cosas con forma de trapecio.
De los cuadriláteros que vimos en la página 59, ¿cuál tiene solamente
un par de lados paralelos?
1
Traza varios trapecios utilizando dos rectas paralelas. 3
2
Un cuadrilátero que tiene
solamente un par de lados
paralelos se llama trapecio.
Busca cosas cuya forma sea un
paralelogramo.
De los cuadriláteros de la página 59, ¿cuales tienen dos pares de
lados paralelos?
1
2
Un cuadrilátero que tiene
dos pares de lados paralelos
se llama paralelogramo.
Traza un paralelogramo en el siguiente espacio cuadriculado.
1 2
6362
Verifica las características de los
siguientes paralelogramos.
Traza varios paralelogramos en tu cuaderno utilizando una escuadra.3
4
① Las longitudes de los lados
opuestos.
② Las medidas de los ángulos
diagonalmente opuestos.
③ ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos adyacentes en un
paralelogramo?
① Constrúyelo con 80 en el
ángulo , después hazlo con
120 en el ángulo .
② Si el ángulo midiera 90 ,
¿qué tipo de cuadrilátero resulta?
Traza un paralelogramo cuyos lados midan 4 cm y 6 cm respectivamente.
¿Cómo puedes trazar un
paralelogramo como el que se
muestra a la derecha?
5
6
La idea de Yoko ▼
Yo uso el compás para trazar los
lados opuestos, así estoy segura
que tienen la misma longitud.
La idea de Takeshi ▼
Yo uso un transportador para trazar
los lados opuestos. Cuando mido los
ángulos me aseguro que son paralelos.
En un paralelogramo, los lados opuestos tienen la misma
longitud y los ángulos diagonalmente opuestos tienen la
misma medida.
A
B C
4 cm
6 cm
70°
A
B
D
C
3 cm
cm4
70°
A
B C
3 cm
4 cm
DA
B C
DA
B C
010
203040
5060
70 80 90100 80
100110 70
110
120 60120
13050130
140
40140
150
30150
160
20160
170
10 170
180
0 180Observa 2 paralelogramos
con el mismo tamaño
y forma.
Examina otros
paralelogramos.
¿Cómo determinamos la
ubicación del punto D?
o
o
o
6 cm
4 cm
6564
3 Rombos
La figura de abajo muestra 2 circunferencias con centro en A y C
respectivamente. Las circunferencias tienen el mismo radio y se intersectan
en los puntos B y D.
Compara la longitud de los 4 lados del
cuadrilátero .
1
Traza un rombo en el que cada
uno de sus lados mida 5 cm.
4
Analicemos las características de la figura que trazaste en la
página anterior.
3
2
Se le llama rombo a los
cuadriláteros cuyos 4 lados
tienen la misma longitud.
Las principales características de un rombo son:
• Sus 4 lados tienen la misma longitud.
• Los lados opuestos son paralelos.
• Los ángulos diagonalmente opuestos son iguales.
① Traza un cuadrilátero
uniendo los puntos
A➝B➝C➝D➝A con
líneas.
② Revisa las longitudes y
mide los ángulos para
determinar qué tipo de
cuadrilátero es.
① ¿Los ángulos diagonalmente
opuestos tienen la misma medida?
② ¿Los lados opuestos son paralelos?
① En el cual el ángulo
mida 60 .
② En el que el ángulo mida 120 .
③ ¿Qué tipo de cuadrilátero obtenemos si el
ángulo midiera 90 .
A
B
C
D
A
B
C
D
A
CD
B5 cm
¿Cuántos grados mide
cada uno de los
ángulos?
o
o
o
5 cm
6766
Diagonales de un cuadriláteroConsidera las figuras de la página anterior y relaciónalas con las siguientes
características.Une con líneas rectas los vértices opuestos de estos cuadriláteros.1
Traza los siguientes cuadriláteros teniendo en cuenta las
características que se mencionan en .
3
2
2
① Los cuadriláteros cuyas diagonales se intersectan perpendicularmente.
② Los cuadriláteros cuyas diagonales tienen igual longitud.
③ Los cuadriláteros cuyas diagonales tienen la misma longitud y se cortan
perpendicularmente.
④ Los cuadriláteros donde las diagonales se cortan a la mitad.
② Un cuadrado cuyas
diagonales midan 4 cm.
① Un rombo cuyas diagonales
midan 4 cm y 3 cm.
Un cuadrilátero tiene 2 diagonales
Cada una de las rectas que trazaste para unir los vértices se
le llama diagonal.
1 cm1 cm
4
1 cm1 cm
A
D
CB
A D
CBA
D
C
B
A D
CB
A D
CB
A D
CB Paralelogramo
Trapecio
Rombo
CuadradoRectángulo
6968
Figuras hechas con patrones
Traza una figura como la de abajo. Utiliza paralelogramos,
rombos y trapecios y colorea.
1
Busca lugares donde se utilicen patrones que se
repiten y son continuos.
2
• Inventa una imagen como ésta, usa figuras que se repitan.
¡Verás que resulta algo interesante!
Haz un dibujo interesante
Estación Zinbocho (Chiyoda-ku, Tokio) Himesamadochu (Ciudad de Inasa en la Prefectura de Shizuoka)
5
3
3
cm
cm
cm
cm
3
450°
140°
7170
Observa las figuras de la derecha y escribe la palabra correcta en el .
Traza los paralelogramos que se muestran abajo.
Traza un rombo cuyas diagonales midan
5 cm y 3 cm respectivamente.
① Un cuadrilátero que tiene sólo un par
de opuestos se llama un .
② Un cuadrilátero en el que sus 2
pares de lados opuestos son
se llama .
③ Un cuadrilátero en el que sus 4 lados
tienen longitud se
llama .
Di los nombres y características de los siguientes cuadriláteros.
① Escribe los valores correctos en el .
② Traza un paralelogramo igual al de la derecha.
¿Cuáles de estos cuadriláteros tienen las siguientes
características?
① 2 pares de lados paralelos ② Todos sus ángulos miden lo mismo
③ Ambas diagonales con igual longitud ④ Lados opuestos con igual longitud
⑤ Ángulos diagonalmente opuestos de igual medida
⑥ Lados no paralelos
Estas figuras muestran sólo las diagonales de ciertos cuadriláteros.
Di los nombres de los cuadriláteros que tienen estas diagonales. Ayúdate
midiendo longitudes y ángulos.
Analiza el paralelogramo de la derecha.
3
páginas 66-67
4
■Ir a la página 72 Ir a la página 115
① ② ③
1cm
1cm
①
página 63
páginas 60, 61, 64
②
• Identificar cuadriláteros por sus nombres.
• Trazar un paralelogramo y entender sus características geométricas.
• Identificar cuadriláteros por sus características.
5 cm
cm
cm
cm6
°
°
115°
65°
① ② ③
• Identificar el tipo de cuadriláteros por sus diagonales.
2
1
3
2
1
① 8.27 es el total de 8 grupos de , 2 grupos de y 7 grupos de .
② 0.206 es el total de grupos de 0.1 y 6 grupos de .
Construye los siguientes números.
Haz estas operaciones en la forma vertical.
① 10 veces 7.26 ② 100 veces 7.26
③ de 7.26 ④ de 7.26
El peso de 1 metro de tubo de hierro es 3.6 kilos.
¿Cuál es el peso en Kg de ese tubo si mide 7.5 m de largo?
¿Cuál es el peso en Kg de 0.8 metros de ese tubo?
① 2.8 × 7⑤ 2.6 × 0.4② 0.6 × 15
⑥ 3.6 × 0.5③ 19 × 1.9
⑦ 2.8 × 1.5④ 5.4 × 1.2
⑧ 0.5 × 0.6 ⑨ 2.5 × 0.8⑩ 3.4 × 1.8 ⑪ 1.6 × 7.3 ⑫ 7.5 × 4.5
A
B
C
D
E
F
GH
I
JK
L
A
B
C
D
E
F
GH
I
JK
L
A
B
C
D
E
F
GH
I
JK
L
A
B
C
D
E
F
GH
I
JK
L
A
B
C
D
E
F
GH
I
JK
L
①
③
②
④ • ¿Son pares o impares los siguientes números?
① 3,951,172 ② 2,860,043
Podemos comprobar si un número es par o impar sin hacer una división.
¡Piensa cómo hacerlo!
Números pares y números impares
7372
• Observa cuidadosamente la figura de la derecha.
¿Qué cuadriláteros puedes construir uniendo
los 4 puntos en el orden que se indica?
Usa las figuras de abajo para hacer los trazos.
① B, C, E, F
② G, I, J, L
③ G, C, J, F
④ A, H, D, K
¿Por qué
pasa esto?
Deberías probar si el
número es divisible
entre 2.
Nunca hemos resuelto
una división con un
número tan grande.
¿Qué tipos de figuras
puedes trazar?
1
10
1
100
4
3
2
1
3
3
1
1Escribe los números que faltan en el
7574
La figura de la derecha muestra
5 líneas.
① ¿Cuáles son paralelas y cuáles
son perpendiculares?
② ¿De qué tipo es el triángulo ABC?
Escribe los números que faltan en los .
Traza los siguientes cuadriláteros.
① Un paralelogramo cuyos lados adyacentes midan 5 cm y 6 cm y que estos lados
formen un ángulo de 40 .
① Escribe números diferentes en el y piensa cómo obtener la respuesta.
② Construye una expresión
matemática para el caso de 5.4 l.
③ Utiliza lo que has aprendido para hacer este cálculo.
5
① Paralelogramo ② Rombo
Cantidad de jugo Número derecipientes 0 1 2 3 （recipientes）
（O）0
A
B C
50°
40°
C
A F
G H
ID
B4
4
7
°
°
50°
110°
cm
cm
cm
cm
cmcm
cm
Queremos repartir el jugo de naranja en partes iguales usando
3 recipientes graduados. ¿Cuántos litros debemos poner en cada uno?
1
O
Pensemos cómo calcular
② Un rombo que tenga un lado que mida 4 cm y un ángulo de 110.
Si escribimos 9 l y lo dividimos en
3 recipientes, habrá 9÷3=3 (l)
de jugo. ¿Cómo podemos calcular
la respuesta si usamos un número
decimal como 5.4 l ?
Si escribimos 6 l y lo
dividimos en 3 recipientes,
habrá 6÷3=2 (l) de jugo.
¿Cómo cambiar de
l a dl?
¿Podremos hacer esta
división como lo hacemos
con los números enteros?
Podemos encontrar la cantidad
para un recipiente usando la
expresión “cantidad total de jugo
÷ número de recipientes”.
o
o
7
6
5
5
4
( l )
( l )
7776
La idea de Yoko▼
5.4 l = 54dl54÷3 = 18
18 dl = dl
La idea de Mitsuo▼
5.4 es 54 de 0.1.
54÷3 = 1818 de 0.1 es .
La idea de Masako▼
Yo apliqué las propiedades
de la división y las del
sistema de numeración
decimal.
Recordemos cómo calcular 536÷4 en la forma vertical
① El cociente comienza en el lugar de las .
② El residuo 1 en el lugar de las centenas
significa 1 grupo de .
③ El cociente de ÷ 4 está en el lugar
de las decenas.
④ El residuo 1 en el lugar de las decenas
significa 1 grupo de las .
⑤ El cálculo en el lugar de las unidades es
÷ 4.
0 1 2 3 (recipientes）
0
5.4 ÷3
54÷3
5.4 ÷3 =
÷3 = 1854Recordemos cómo calcular 851÷37 en la forma vertical
① El cociente comienza en el lugar de las .
② El cociente en el lugar de las decenas es
÷ .
③ El cociente en el lugar de las unidades es
÷ .
2
10 veces1
10
Si el dividendo se multiplica
por 10, la respuesta también se
multiplica por 10.
Podemos dividir convirtiendo
los números decimales a
números enteros, justo
como lo hicimos para la
multiplicación.
¿Puedes explicar las
ideas de los 3 estudi-
antes?
4 5 3 6
73 8 5 1
El residuo en el
lugar de las decenas
representa 10.
El residuo 1 en el
lugar de las centenas
representa 100.
6
1
7978
1 Cálculo de (número decimal)÷(número entero)
Encuentra el ancho del rectángulo cuya área
mide 38.4 m2 y 12 cm de largo.
Repartimos equitativamente 5.7 m de cinta entre 3 alumnos.
¿Cuántos metros recibió cada uno?
1
2
① Construye una expresión matemática para este problema
② ¿Cuántos metros son aproximadamente?
③ Piensa cómo calcular la respuesta.
① Escribe una expresión matemática para
resolver este problema
② Piensa cómo calcular la respuesta en la
forma vertical.
④ Veamos cómo calcular la respuesta en
la forma vertical.
Piensa cómo dividir con números decimales
Cómo calcular 5.7÷3 en la forma vertical
① 7.5 ÷ 5④ 52.9 ÷ 23
② 6.4 ÷ 4⑤ 61.2 ÷ 18
③ 6.8 ÷ 2⑥ 58.8 ÷ 42
0 1 2 3 (partes）
0Longitud
Número de partes
5.7 （m）
El punto decimal
del cociente se
escribe en el
mismo lugar
que ocupa en el
dividendo.
Como 5 se divide
entre 3, el cociente
se escribe en el
lugar de las
unidades. Luego calcula como si fuera una
división con números enteros.
5 7.
1 .
35 7.
.
3
3
5 7
2 7
2 7
0
.
1 9.
3
12�
0.1
5 . 73
21 3 8 . 4
Haz estas operaciones en la forma vertical.
División con números decimales
¡Podemos usar las
propiedades de división!
Pensemos cuántas veces
debemos tomar 0.1
Podemos calcular
convirtiendo a
números enteros.
¿Podemos calcular la respuesta en
la forma que lo hicimos para la
división de números enteros?
¿Dónde deberíamos poner el punto
decimal del cociente?
¿Qué significa
este 27?
Aproximemos
5.7 m con 6 m…
8180
Extendamos la división El cero en el lugar de las unidades del cociente
Piensa cómo calcular 9÷8 en la
forma vertical.
Queremos dividir equitativamente una cinta de 7.3 m
entre 5 niños. ¿Cuántos metros recibirá cada uno?
3 Queremos dividir equitativamente una cinta de 4.5 m entre 9 niños.
¿Cuántos metros recibirá cada uno?
4.5 ÷9
5
Piensa cómo calcular 6÷8 en la
forma vertical.
6
4
⑴ Escribimos el punto decimal del cociente en el
mismo lugar que ocupa en el dividendo.
Escribimos 0 en el lugar de las unidades del
cociente, porque 4 es más pequeño que 9.
⑵ Como 4.5 corresponde a 45 grupos de 0.1,
podemos hacer este cálculo utilizando el mismo
método que usamos para números enteros.Algunas veces podemos continuar dividiendo hasta que el residuo es cero.
① 9.4 ÷ 4 ② 8.6 ÷ 5 ③ 7 ÷ 5 ④ 11 ÷ 8
Haz estas operaciones hasta que el residuo
sea cero.
① 3.5 ÷ 5 ② 4.8 ÷ 6 ③ 5.4 ÷ 9 ④ 5 ÷ 8Haz estas operaciones en la forma vertical.
5
7 3
2 3
2 0
3
.
1 4.
5
5
7 3
2 3
2 0
.
1 4.
5
3
3
0
6
0
0
0
4 5.9
4 5.
0.
9
4
4 5
5
0
.
0 5.
9
⑴
⑵
1 . 1
98
8
1 0
8
2
8 6 . 0
5 6
4
0 . 7
Podemos convertir
este 3 en 30 grupos
de 0.01
El residuo 2 significa que hay 2
grupos de 0.1 y 2 grupos de 0.1
son 20 grupos de 0.01. Por esto
podemos continuar dividiendo.¡Podemos continuar
dividiendo!
3 significa 3
grupos de 0.1
8382
Cálculo de (número entero) ÷ (número decimal)
Mayumi y Kenta fueron de compras al supermercado.1
② Encontremos el costo de 1l para el envase de 1.6l.
Escribe una expresión matemática
para este problema
¿Aproximadamente cuánto cuesta?
Piensa cómo hacer el cálculo para obtener la respuesta.
320÷1 . 6
① Encontremos el costo de 1l a partir del envase de 2l.
390 ÷ 2= (yenes)
Si el divisor es un número decimal, como la cantidad de
jugo, podemos hacer el cálculo para encontrar el precio
por litro del mismo modo que cuando trabajamos con
números enteros.
0 1
0 390 （yenes）CostoCantidad de jugo 2（O）
0 1 1.6
0CostoCantidad de jugo
320 （yenes）
2 （O）
Las mismas cosas se venden en
diferentes tamaños.
El jugo de naranja se
vende en envases de
1.6 l y 2 l.
¿Cuál me
conviene
comprar?
Podemos decidir cuál comprar si
averiguamos el costo de un litro.
Podemos utilizar las
propiedades de la división.
Si conocemos el costo de
0.1 l, podemos calcular
el precio de 1 l.
Podemos encontrar el costo de 1 l
usando la expresión
costo ÷ cantidad de jugo (l).
2
2 ( l )
2 ( l )
8584
La idea de Keiko ▼
La idea de Makoto ▼
Si compro 16 litros de jugo de naranja, el costo
será 10 veces el de 1.6 litros y el costo por litro
será el mismo.
Tenemos una parcela rectangular donde sembramos flores. Su área es de
48 m2 y uno de sus lados mide 2.4 m. ¿Cuánto mide el otro lado en metros?
2
① Escribe tu razonamiento usando una
expresión matemática.
② Piensa cómo calcular la respuesta.
③ Piensa cómo resolver este problema
usando la forma vertical.
① 6 ÷1.5 ② 42 ÷ 3.5 ③ 91 ÷ 2.6
0 10.1
0320 16
320 （yenes）Costo（yenes）320 20
1.6 0.1
16 10
1
16
320 (yenes)
(yenes)=
1.6
16
÷
÷ 2003200
10 veces10 veces
10 veces 10 veces
El costo de 1 l cuando compro 1.6 l es
El costo de 1 l cuando compro 16 l es
011.6
Costo（yenes） 320 3200
1.6 16
10 16
1
10
0 320 3200 （yenes）
Como 1.6 litros es 16 veces 0.1 litros, podemos calcu-
lar el costo de 0.1 litro calculando 320÷16=20 (yenes).
Y como 10 veces el costo de 0.1 litro es el costo de 1
litro, podemos calcular el costo de 1 litro con
20 × = (yenes). 482.4 m
m
m2
En la división, la respuesta no cambia si el dividendo y
el divisor se multiplican por el mismo número. Cuando
dividimos un número entre un número decimal, podemos
expresar el dividendo y el divisor como números enteros
aplicando esta propiedad de la división.
482.4
48024
Haz estas divisiones en la forma vertical
Yo pensé en
encontrar el costo
de 0.1 l.
Yo apliqué
las propiedades
de la división.
Para la división con números
decimales, es necesario que
apliquemos las propiedades
de la división.
¿Aproximadamente
cuántos metros
serán?
=
8786
Cálculo de (número decimal) x (número decimal)Una parcela de forma rectangular tiene un área de 7.2metros cuadrados y uno
de sus lados mide 3.6metros ¿Cuál es la longitud en metros del otro lado?Una barra de hierro tiene 3.6 m de largo y pesa 7.2 Kg.
¿Cuánto pesa en kilogramos 1 metro de esta barra?
1
2
① Escribe tu razonamiento con una
expresión matemática.
② Piensa cómo calcular la respuesta.
① Escribe tu razonamiento con una expresión
matemática.
② Piensa cómo calcular la respuesta.
③ Piensa cómo resolver esta división
en la forma vertical.
Cómo dividir con números decimales en la forma vertical
⑴ Multiplica el divisor por 10 para tener un número
entero, con esto “mueves” el punto decimal un lugar
a la derecha.
⑵ Luego multiplicas el dividendo por 10 para obtener
un número entero, así “mueves” el punto decimal un lugar a la derecha.
⑶ Finalmente, calculas la respuesta utilizando el mismo método para dividir
que aplicamos con los números enteros.
① 6.8 ÷ 1.7 ② 6 . 5÷1 . 3 ③ 9.2 ÷ 2.3
0 1 2 3
0Peso
Longitud
7.2 (Kg)
3.6 （m）
3.6m
7.2mm 2
La idea de Keiko ▼
El peso de 0.1 metro es
por lo tanto el peso de 1m, 0.2×10＝ (Kg)
00.1
0
110 ÷36
10 ÷36
3.6
7.2 (Kg)
(m)
La idea de Makoto▼
Puedo expresar el divisor como
un número entero aplicando las
propiedades de la división.
7.2 ＝
＝
3.6
36
÷
÷72
7 . 23 . 6
Haz estas divisiones usando la forma vertical.
10 veces 10 veces
7 2
0
7 2
2
. .
.
3 6.
¿Aproximadamente
cuál es el peso en Kg?
7.2 ÷ 3.6 ＝ 0.2 (Kg)
3
8988
Un cable azul mide 1.2 metros de largo y pesa 9.6 gramos. Un cable
rojo mide 0.8 metros de largo y pesa 9.6 gramos. ¿Cuál es el peso de un
metro de cada tipo de cable?
Una barra de hierro tiene 1.5 metros de largo y pesa 4.8 kilos.
¿Cuánto pesa en Kg un metro de esta barra?
3
Explica cómo calcular 2.8÷3.5 en la forma vertical.4
5
① Escribe tu razonamiento con una expresión
matemática
② Piensa cómo calcular la respuesta en la
forma vertical.
⑴ ¿Por cuál número debemos multiplicar el
dividendo y el divisor?
⑵ Cuando hacemos una división recuerda que
48 es igual a 48.0
Pensemos cómo calcular 0.9 ÷ 0.6 en la
forma vertical.
6
① ¿Cuál es el peso en gramos de 1 metro de cable azul?
② ¿Cuál es el peso en gramos de 1 metro de cable rojo?
9.6÷0.8=
③ Compara el cociente y el dividendo.
① 5.4 ÷ 0.6Haz estas operaciones en la forma vertical.
④ 0.7 ÷ 0.5② 3.2 ÷ 0.4⑤ 0.4 ÷ 0.5
③ 1.5 ÷ 0.6⑥ 0.2 ÷ 0.8
① 8.5 ÷ 2.5 ② 2.1 ÷3.5 ③ 2.4 ÷4.8
Tenemos una parcela de forma rectangular cuya área es de 36.1m2. Uno de sus
lados mide 3.8metros. ¿cuál es la longitud del otro lado?
Cuando dividimos un número entre otro que es menor que 1,
el cociente es más grande que el dividendo.
División con números menores que uno
0 1
0Peso
Longitud
4.8 (Kg)
1.5 (m)
2
1
0 1
0Cable azul
9.6 (g)
1.2 (m)
4 5
3
4 8
3
0
0. .
.
1 5.
2 8
2 8
0
0
0
0
8
. .
.
3 5.
0 9 .
.
0
9 6.0 8.
Resolvamos estas operaciones en la forma vertical.
0 0.8
0Cable rojo
9.6 (g)
1(m)
6. .
¿Por qué el
cociente es cero
en el lugar de
las unidades?
9190
4 Problemas donde usamos divisiones
División con residuo
Repartimos 2.5 litros de jugo de
naranja en unos frascos cuya capaci-
dad es 0.8 litros. ¿Cuántos frascos
llenamos y qué cantidad de jugo
nos quedó?
1
① Escribe tu razonamiento con una
expresión matemática.
② El cálculo se muestra a la derecha.
¿Cuántos litros quedaron?
③ ¿Qué posición debería tener el punto
decimal en el residuo?
Tenemos una barra de hierro que mide 2.4 metros y pesa 3.1 kilos.
¿Cuántos kilos pesa 1 metro de esta barra?
2
① Escribe tu razonamiento con una
expresión matemática
② El procedimiento se muestra a
la derecha. ¿Cómo leemos la
respuesta?
③ Calcula el cociente redondeándolo
al centésimo más cercano.
Dividendo = divisor
=××
cociente residuo++2.5 0.8 3
Es conveniente redondear el cociente cuando tiene muchos
dígitos en su parte decimal.
Cuando resolvemos una división
con residuo, el punto decimal del
residuo está en el mismo lugar que
en el dividendo original. ① 2.8÷ 1.7 ② 5 ÷ 2.1 ③ 9.2 ÷ 3
Encuentra el cociente redondeando al centésimo más cercano.
Tenemos 8 Kg de arroz. Si ponemos 1.5 Kg en varias bolsas, ¿cuántas bolsas
con 1.5 Kg de arroz tenemos y cuántos Kg de arroz quedan?
Tenemos un cable que mide 0.3 metros de largo y pesa 1.6 gramos.
¿Cuánto pesa 1 m de este cable? Calcula el cociente redondeándolo al
centésimo más cercano.
2
2.5
1
0
0.8
0.8
0.8
2 4
1
2 5
3
. .
.
0 8.
2
0
4
1
2 5
3
.
.
.
.
0 8.
23 14
74
. ..
1 2.
42
22
9 1 6
21
08
06
4204
116404
1 6
¿Cuál es el
residuo?
2
1
9392
Haz estas operaciones en la forma vertical.
Resuelve estas operaciones, continúa dividiendo hasta
que el residuo sea cero.
Resuelve estas operaciones en la forma vertical.
Un cable mide 0.7 metros de largo y pesa 5.7 gramos. ¿Cuántos gramos pesa 1
metro de ese cable? Calcula el cociente y redondéalo al centésimo más cercano.
Si dividimos una cinta de 3.4 m en trozos de 0.7 m, ¿cuántos niños pueden
recibir uno de esos trozos y cuántos metros sobran?
① 9.6÷6⑤ 62.1÷23
② 8.4÷7
⑥ 92.8÷58
③ 9.5 ÷5
④ 32 . 2÷14
① 8.7 ÷ 6
⑤ 5 ÷ 4② 7.8 ÷ 4
⑥ 15 ÷ 8③ 12.3 ÷ 5
⑦ 4.5 ÷ 6
④ 8 ÷ 5
⑧ 1 ÷ 8 ⑨ 0.9 ÷ 6
① 36 ÷ 1.8⑤ 7.2 ÷ 2.4
② 12 ÷ 1.5⑥ 8.1 ÷ 2.7
③ 40 ÷ 1.6
⑦ 3.6 ÷ 2.4④ 6.4 ÷ 1.6
⑧ 9.1 ÷ 3.5 ⑨ 5.4 ÷1.2
⑬ 7.2 ÷ 0.8⑩ 2.8 ÷ 5.6
⑭ 8.4 ÷ 0.6
⑪ 2.3 ÷ 4.6
⑮ 0.3 ÷ 0.8
⑫ 2.2 ÷ 5.5
Cortamos una cinta que mide 9 m 45 cm de largo en trozos de 2 m 10 cm.
¿Cuántos niños pueden recibir uno de esos trozos y cuántos metros sobran?
La idea de Takafumi ▼
Como 9 m 45 cm ＝ cm
2 m 10 cm ＝ …… cm
De lo anterior obtenemos la expresión
Para calcular en la forma vertical la escribimos así:
① Piensa en el método que utilizó Yoko.
5
página 90
página 91
páginas 80~81
División con números decimales
YokoTakafumi
El residuo es cm ＝ cm.
Respuesta: La cinta puede repartirse entre niños
y el residuo es … cm
C B
C B C B
páginas 78~79
páginas 85~89
2 1 0 9 4 5
Voy a cambiar la
unidad a centímetros.
Yo voy a cambiar la
unidad a metros.
4
3
2
1
9 m 45 cm
2 m 10 cm 2 m 10 cm
9594
② Piensa cómo hacer estas divisiones en la forma vertical.
7.68 ÷3.2 3.23 ÷3.8
Escribe en el los números o palabras que faltan.
① Para calcular 10.8÷3.6 podemos multiplicar el dividendo y el divisor por 10,
así aplicamos la propiedad que nos dice que el cociente no cambia si el dividendo
y divisor se multiplican por el mismo número.
② Cuando hay residuo en una división, ponemos el punto decimal del residuo en el
mismo lugar que ocupa en el .
Haz estas operaciones en la forma vertical.
Una parcela de forma rectangular tiene un área de 17.1 m2 y uno de sus lados
mide 3.8 m. ¿Cuál es la longitud del otro lado?
Vertimos 20 litros de aceite en varios envases de 2.4 litros. ¿Cuántos envases
con 2.4 litros de aceite tenemos? ¿Cuántos litros sobran?
¿En cuál de estas divisiones el cociente será más grande que el dividendo?
① 39.1÷1.7 ② 6.5÷2.6
① 123÷0.8 ② 123÷1.2
③ 29.7÷0.3
La idea deYoko ▼
9 m 45 cm = ………. m
2 m 10 cm = …….. m
Con base en lo anterior podemos escribir la expresión
Resuelvo esta división en la forma vertical como sigue:
Respuesta: La cinta puede repartirse entre niños
y sobran m
■ Ir a las páginas 111,112
4
12 .
.
9 . 44 . 5
8
1 . 0 5
4
3 . 2 7 . 66 8 3 . 8 3 . 2 3
• Entender cómo se divide entre un número decimal.
• Dividir un número decimal entre otro número decimal.
• Calcular la longitud de un lado a partir del área
• Calcular una división entre un número decimal con residuo distinto de cero.
•Entender la relación entre el divisor y el cociente.
A un alumno se le preguntó cómo calcular el producto de cierto número por
1.5. Él cometió un error y dividió ese número entre 1.5, obtuvo 3 como cociente
y un residuo de 0.7. ¿Cuál es el número inicial?
¿Cuál es la respuesta correcta?
• Entender la relación entre el divisor, el cociente y el residuo.
Multiplico por 10 para convertir el divisor en
un número entero, para esto muevo el punto
decimal un lugar a la derecha.
Ponemos el punto
decimal del residuo en
el mismo lugar que
ocupa en el dividendo.
Podemos continuar
dividiendo porque que hay
ceros a la derecha del
punto decimal.
Ponemos el punto decimal
del cociente en el mismo
lugar del nuevo punto
decimal del dividendo.
5
4
3
2
1
6
96 97
Observa estas 4 muñecas japonesas de madera.1
Dibujemos muñecas como la muñeca de la página anterior.2
② ¿Cuántos centímetros mide la altura de una
muñeca que es 1.5 veces la altura de ?
③ ¿Cuántos centímetros mide la altura de una
muñeca que es 0.6 veces la altura de ?
① Si dibujamos una muñeca que tiene dos
veces la altura de , ¿cuántos centímetros
de alto tendrá?
③ ¿Cuántas veces la altura de es la altura
de ? Como es menor que , el
número de veces debe ser menor que 1.
① ¿Cuántas veces la altura de a es la altura
de ?
50 ÷ 25 =
Altura del dibujo
Altura de Altura de Múltiplo
Si el número de veces es menor que 1, la
altura de la segunda muñeca debe ser menor
que la altura de la primera.
Para encontrar 1.5 veces la altura dividimos la
distancia de 1 a 2 en 10 partes iguales.
Comparemos alturas
2
1
0
（Veces）
2
1
0
（Veces）
1
0
（Veces）
40 × 2 =
Altura de Múltiplo
1
0.6
0
（Veces）
Dibujo
2
1.5
1
0
（Veces）
Dibujo
2
1
0
（Veces）
Dibujo
B
BB
B
÷ =
× =
× =
Cálculo de múltiplos
② ¿Cuántas veces la altura de (a) es la altura de
(c)? Si medimos con hay una diferencia
menor que 1, por esto necesitamos dividir la
distancia entre 1 y 2 en 10 partes iguales.
÷ =
25cm
50cm40cm
20cm
9998
Escribe las medidas de los ángulos de estos triángulos.
Encuentra las medidas de los ángulos , , y .
Calcula la suma de los dos ángulos
que no son rectos en estas escuadras.
En el triángulo rectángulo de abajo, moveremos
el vértice B hacia C sobre el lado BC.
① ¿Cómo cambia la medida del ángulo B?
② ¿Cómo cambia la medida del ángulo A?
③ ¿Hay alguna relación entre la forma en que
cambian el ángulo B y el ángulo A?
La suma de los dos ángulos es:
En la figura grados
En la figura grados
④ Analiza en esta tabla el cambio que se presenta en la suma de los
ángulos A y B.
Ángulo A（grados）Ángulo B（grados）Suma
（grados）
60 50
A
B C
Triángulo equilátero
Triángulo isósceles
Figuras y sus ángulos7
La suma de los ángulos
internos de un triángulo
es una cantidad fija.
1
Recuerda qué ocurre cuando se forman 4
ángulos con la intersección de 2 rectas.
Recuerda las características
de los triángulos equiláteros
e isósceles.
Escribe la medida en grados de los ángulos , , , , y en los
triángulos de abajo.
2
3
55°
A
B C
5030
85
70
AA
A
BB BC CCTriángulo Isósceles
°
101100
CB
A
A
B C
E A
F B C
D
A
B C
AB
A
B CC
Los ángulos de un triángulo
Analiza el triángulo de abajo.
Encuentra las medidas que faltan y escríbelas en los 2
Observa las diferentes formas de la suma de los 3 ángulos de un triángulo.1
3
① Calcula la suma de los
ángulos y
② ¿Cuál es la medida del
ángulo ?
③ ¿Qué relación hay entre los
ángulos , y ?
Traza un triángulo y mide sus ángulos con un
transportador.
La suma de los 3 ángulos es
grados.
Recorta los 3 ángulos y colócalos juntos como se muestra abajo.
Agrupa los triángulos como se muestra abajo para hacer una figura sin ningún hueco.
Observa que los 3 ángulos en los puntos A y B forman una línea recta. Por esto la suma de estos ángulos es grados
Dobla un triángulo como se muestra abajo para medir sus 3 ángulos.
Nota que al hacer esto los 3 ángulos del triángulo forman una línea recta, por lo tanto la suma de estos ángulos es grados
Escribe la medida correcta en el .
①
①
②
②
Observa que los 3 ángulos juntos forman una línea recta, por esto la suma de estos ángulos es grados
A
B C
La suma de los 3 ángulos de cualquier triángulo es
180 grados.
③
Ya que + + 55 = 180, …
1
AA
B BC C
DD
80
80
60
100
60
45o
oo
o
o
o
103102
2 Los ángulos de un cuadrilátero
Utiliza varios métodos para
saber cuánto suman los 4
ángulos del cuadrilátero ABCD.
1
① Mide los ángulos con un transportador.
② Podemos dividir el cuadrilátero en 2 triángulos.
③ Agrupa los
cuadriláteros como
se muestra en la figura.
• Junta las figuras para construir
un modelo continuo.
¿Cuál es la suma de las medidas
de los 4 ángulos de esta figura?
¿Puedes construir un modelo como éste?
Marca un punto en el centro y
divídelo en 4 partes.
Divídelo en 2 partes
trazando una diagonal.
A
B C
D
A
B C
DA
B C
D
360°
Escribe las medidas correctas en los . 2
① ② ③
La suma de los 4 ángulos de cualquier cuadrilátero es
360 grados.
La suma de los 3
ángulos de un trián-
gulo es …
105104
3 Los ángulos de un polígono¿Cuánto suman las medidas de los 6 ángulos de un hexágono?2
Traza un pentágono.1
3
① ¿Podemos calcular la suma de los 5 ángulos de un pentágono?
② Comenta tus resultados con tus compañeros
Las figuras que se forman uniendo líneas rectas, como
los triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos,
se llaman polígonos. En un polígono, las líneas rectas que
unen 2 vértices no contiguos se llaman diagonales.
¿Qué fue lo que encontraste?
La suma de los 5 ángulos de cualquier pentágono es grados.
Número de triángulos que se forman dividiendo el polígono con diagonales desde un vértice
Suma de los ángulos
Triángulo
180
Cuadrilátero Pentágono Hexágono
Analiza los ángulos
de un pentágono.
Cualquier figura cerrada
que tenga 5 lados formados
por líneas rectas se llama
“pentágono”.
¿Podemos utilizar el
método que usamos para
el pentágono?
¿Puedes encontrar cuánto suman las
medidas de los ángulos de un decágono?
40
30
50
70
55
50
50
80120
100110
130
Triángulo isósceles Triángulo isósceles Paralelogramo
107106
Escribe en los las medidas que faltan.
Un hexágono puede construirse poniendo
juntos 6 triángulos equiláteros.
La figura de la derecha es un octágono.
① ¿En cuántos triángulos se divide un octágono al trazar
todas sus diagonales desde un vértice?
② ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos de un octágono?
1
2
■Ir a la página 117
Escribe en los las medidas que faltan.
① ② ③ ① ② ③
páginas 101, 102, 105
⑥ ⑦
⑦
④ ⑤ ⑥
• Calcular la suma de los ángulos internos de los polígonos.
④ ⑤
• Entender cómo se obtiene la suma de los ángulos internos de los polígonos.
■ Ir a la página 108
1
• Colocamos dos triángulos como se muestra en la figura de abajo. Observa que se
forman varios ángulos. Encuentra las medidas de los ángulos que se indican.
109108
¿Cuántos ángulos
se forman?
Escribe cómo
razonaste para
encontrar la
respuesta.
Ahora gira el ángulo sobre el
punto donde los triángulos son
perpendiculares.
Ángulos que se forman al juntar dos triángulos
¿Quién llega a la meta?
¿Cuál es el número clave?
¿Qué está escondido?
Hagamos cálculos con
¿Cuál es la longitud de un
números egipcios
lado de un cuadrado?
Tracemos cuadriláteroscon igual forma y tamaño.
Suma de los ángulos de polígonoscon muchos lados
7
6
6
1
1
3
5
¿Cuál es el número clave?
• Colorea las operaciones aritméticas que estén correctamente hechas.
42×2.5＝105
45×1.8＝80
26×2.3＝59.8
50×4.7＝235
82×1.9＝
40×2.9＝
57×2.9＝
42×2.4＝
42×2.8＝117.6
8×1.6＝12.8
9×1.5＝13.5
60×2.4＝144
50×2.9＝135
7×1.8＝12.6
9×1.6＝15.4
7×1.8＝11.6
39×1.4＝54.6
30×2.4＝72
32×1.8＝56.5
3×1.7＝5.1
80×2.4＝192
54÷1.8＝29
9÷1.5＝6
108÷2.4＝45
175÷3.5＝51
65÷2.6＝25
98÷2.8＝35
144÷2.4＝55
58÷2.9＝21
96÷3.2＝29
49÷1.4＝35
55÷2.5＝22
68÷3.4＝21
64÷1.6＝42
72÷1.5＝46
81÷1.8＝45
8÷1.6＝5
175÷2.5＝70
156÷2.4＝65
54÷2.7＝21
121÷1.1＝111
144÷3.6＝40
154.8
121.6
165.3
100.8
Para abrir la puerta debes encontrar los números
de 3 dígitos que son las 2 llaves para abrir la puerta.
Así podrás resolver el juego que a continuación te
proponemos.
¿Quién llega a la meta?
29+ 18
36.
. 62− 14
24.
. 22+ 25
79.
. 60− 11
87.
.
16+ 31
62.
. 71− 22
48.
. 69− 21
78.
. 10+ 39
92.
.
19+ 28
81.
. 24+ 25
46.
. 90− 41 3.
62− 14
46.
.
71− 23
45.
. 32+ 15
53.
. 92− 43
59.
. 14+ 34
92.
.
• Resuelve las diferentes operaciones e identifica las que tengan el mismo resultado.
Observa cuál de los animales llega a la meta.
111110
¿Qué está escondido?
• Haz los siguientes cálculos y colorea los espacios del diagrama que contengan las
respuestas que obtuviste. ¿Qué letras se formaron con los espacios que coloreaste?
① 2.6 ×3.4
⑤ 6.8 ×0.4
② 6.8 ÷3.4
⑥ 7.2 ÷0.9
③ 4.8 ×2.2
⑦ 4.5 ×4.4
④ 4.5 ÷2.5
⑧ 8.4 ×1.3
⑨ 8.5 ÷1.7 ⑩ 6.5 ×4.5
⑪ 4.3 ×7.5 ⑫ 2.4 ÷7.5
① Compara el método de escritura de números egipcios con el sistema
de numeración que hemos aprendido.
② Trata de calcular utilizando
los números egipcios.
176
＋ 244
176 se escribe de la siguiente manera usando los símbolos de la numeración egipcia.
Inventa unas operaciones con números egipcios y resuélvelas.
Luego pídele a tu compañero que las haga.
Hagamos cálculos con números egipcios
113112
Con los números egipcios
se utiliza un sólo tipo de
símbolo en cada posición.
¡No existe el cero
en la numeración
egipcia!
¿Qué número es este?
Traza un cuadrilátero WXYZ que tenga la
misma forma y tamaño que el cuadrilátero
ABCD que se muestra a la derecha.
② Traza un cuadrilátero con la misma forma y tamaño que el cuadrilátero
WXYZ. Observa que necesitas construir lados y ángulos iguales a los de
WXYZ. Piensa cómo puedes hacer esto.
① Hiroyuki trazó el siguiente cuadrilátero midiendo los 4 lados. ¿Tendrán
la misma forma y tamaño su cuadrilátero y éste?
¿Cuál es la longitud de un lado de un cuadrado? Tracemos cuadriláteros con igual forma y tamaño
X Y
El cuadrado ABCD que está a
la derecha se trazó sobre papel
cuadriculado.
① Calcula el área del cuadrado ABCD
② ¿Cuántos centímetros mide cada uno de los lados del cuadrado ABCD?
× ＝
③ Escribe las respuesta correctas en el .
( es el mismo número)
Como 1×1 = 1, 2×2 ＝ 4, se trata de un número que está
entre 1 y 2. Podemos aproximarnos:
1.5 × 1.5 = 2.25
1.4 × 1.4 = 1.96
1.44 × 1.44 = 2.0736
1.42 × 1.42 = 2.0164
1.41 × 1.41 = 1.9881
× ＝2
④ Continúa aproximándote al número que buscamos, usa una calculadora para
encontrar la mejor aproximación a centésimos, milésimos y diezmilésimos. .
A
B
C
D
1cm1cm
A
B C
D
X Y
Z
W
La longitud de un lado × La longitud de un lado ＝ Área del cuadrado
…… es un número entre 1.42 y 1.41
115114
Ya sólo es un poco
más pequeño.
Aún es más grande que 2.
Ahora es más grande que 2, de nuevo.
Ahora es más pequeño que 2.
Ahora es más grande que 2.
El área es el producto de un número
por sí mismo. ¿Podemos encontrar
ese número en la tabla de
multiplicar? Es como 9 o 36…
Hay 4 lados y 4 ángulos en
un cuadrilátero. ¿Cuál de
ellos deberíamos medir?
Las longitudes de los lados
son iguales a las del
cuadrilátero ABCD. ¡Pero
las medidas de los ángulos
son diferentes!
Suma de los ángulos de polígonos con muchos lados
La idea de Sayuri
La idea de Yukio
Ya hemos calculado la suma de los ángulos de un hexágono. Ahora
encontraremos cuánto suman los ángulos del heptágono, octágono y nonágono
para completar la tabla de abajo.
① El número de lados de un triángulo, cuadrilátero, pentágono,
hexágono, heptágono, octágono y nonágono son 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9,
respectivamente. ¿Qué relación hay entre el número de triángulos que
se forman al trazar las diagonales y el número de lados del polígono?
representa el número de lados del polígono.
Heptágono
Cuando trazamos
diagonales desde un
vértice, se forman
triángulos.
Octágono
Cuando trazamos
diagonales desde un
vértice, se forman
triángulos.
Nonágono
Cuando trazamos
diagonales desde un
vértice, se forman
triángulos.
③ Analicemos cómo trazaron sus
cuadriláteros Sayuri y Yukio.
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono
Número de triángulos
Suma de ángulos
1
180
2
360
3
540
4
720
Número de triángulos = −2
4
3.1
80°65°
75°
140°
2.9
cm
cm
cm
cm
117116
Tracé una diagonal para dividir
el cuadrilátero en 2 triángulos.
④ Traza un cuadrilátero con la
misma forma y tamaño que el que
se muestra abajo.
¿Cuántos lados y
ángulos usaron?
X Y
Z
W
X Y
W
A
B C
D
Misma longitudque el lado AD
Misma longitud que el lado DC
Misma longitudque el lado AB
Misma longitudque el lado BC
Misma longitudque el lado AC
X Y
Z
W
X Y
W
Misma longitudque el lado AB Misma medida
que el ángulo BMisma medidaque el ángulo C
Misma medidaque el ángulo A
Misma longitudque el lado BC
④ Encuentra la suma de las medidas de los ángulos de un polígono
con 12 lados. Comprueba tu respuesta dividiendo la siguiente figura
en triángulos, como lo has hecho antes.
⑤ Encuentra la suma de las medidas de los ángulos de otros polígonos uti-
lizando la expresión que construiste en el inciso 3.
La suma de los ángulos de un polígono con 12 lados es
grados.
② ¿Cómo podemos expresar la suma de los ángulos con palabras?
③ Combina la expresión en palabras del inciso ① con la expresión en
palabras del inciso ②, para escribir la expresión matemática que te permita
calcular la suma de los ángulos de los polígonos con lados.
Suma de las medidas de los ángulos = 180 grados ×
Suma de los ángulos = 180 ゜× ( − )
Respuestas
Página 3
Página 16
① ciento cuarenta y nueve billones
seiscientos mil millones de metros.
② 1496
① 14
③ lugar de los billones
② lugar de los décimos
① 3.1 ② 2.9
①①②
2.24O ② 3.07O
6.493
30, 120, 150
50, 250, 300
12 kg
11.5 m2
30.6 g
32.2 g
27.04 cm2
360.5, 3605, 3.605, 0.3605
Página 25
Página 36
Pagína 40
① ② ③3.22 8.64 9.84
④ ⑤ ⑥13.86 18.9 25.97
⑦ ⑧ ⑨1.95 3 7.38
8.02 8.16
4.99 5.04
8.23
5.07
Página 32
El peso de 8.6 m es 38.7 g.
El peso de 0.8 m es 3.6 g.
②, ③
① ② ③16.1 7.2 84.6
④ ⑤ ⑥4.2 161.2 43.4
⑦ ⑧ ⑨0.48 3.15 5.1
① ② ③4.8 33.6 1
④ ⑤ ⑥215 10.8 83.2
① 1.02 m2 ② 6.25 m2
① 0.5, 4, 2, 5.4
y , y , y
② 2.8, 7.2, 10, 17
Página 44
① ② ③40° 90° 235°
Página 54
y , y , y
y
Página 57
① ángulo recto,
① paralelo, trapecio
② paralelo, paralelogramo
③ igual, rombo
② el mismo (igual)
③ cuadrado,
⑤ triángulo isósceles,
⑥ triángulo equilátero,
④ triángulo rectángulo,
Página 70
Páginas 73-74
6
① 1, 0.1, 0.01 ② 2, 0.001
① 72.6 ② 726
③ 0.726 ④ 0.0726
① ② ③19.6 9
④ ⑤ ⑥6.48 1.04
1.8
⑦ ⑧ ⑨4.2 0.3
2
⑩ ⑪ ⑫6.12
①
②①②
paralelo ••• y
perpendicular••• y ,
y , y
triángulo recto
A 110° , BC 7cm, CD 4 cm
FI 4 cm, IH 4 cm, H 50°
27Kg, 2.88Kg
11.68
33.75
119118
2
3
4
5
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
4
5
1
3
1
1
2
3
1
2
1
1
5
4
3
2
1
121120
Respuestas
Página 92
① ② ③1.6 1.2 1.9
④ ⑤ ⑥2.3 2.7 1.6
60° 30° 90°
45° 45° 90°
① ② ③1.45 1.95 2.46
④ ⑤ ⑥1.6 1.25 1.875
⑦ ⑧ ⑨0.75 0.125 0.15
① 20 ② 8 ③ 25 ④ 4
60° 60° 60° 75°
⑤ 3 ⑥ 3 ⑦ 1.5 ⑧ 2.6
⑨ 4.5 ⑩ 0.5 ⑪ 0.5 ⑫ 0.4
⑬ 9
Pueden recibir 4 niños y quedan 0,6 m
Alrededor de 8.1g
⑭ 14 ⑮ 0.375
Página 98
Página 106
120° 60°
40° 140°
1 ① 70 ② 35 ③ 25 ④ 120
⑤ ⑥ ⑦110 95 120
Página 3
2
① ② ③centena 100 13
① ② ③decena 85, 37 111, 37
④ ⑤10 16
1 1
2
3
5
4
3
2
1