Prof. Jenner Huamán Callirgos

Introducción

En todo sistema de numeración, cualquier número se puede representar dentro del límite comprendido por dos potencias consecutivas de la base, donde el exponente del límite superior es igual a la cantidad de cifras que tiene el número propuesto.

EjemploEn el sistema decimal:

Número de una cifra a: 100 ≤ 𝑎𝑎 < 101

Número de dos cifras 𝑎𝑎𝑎𝑎: 101 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 102

Número de tres cifras 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎: 102 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 < 103

Número de n cifras 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎… … . . 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥: 10𝑛𝑛−1 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎… 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 < 10𝑛𝑛

“n” cifras“n” cifras

Representar lo números: 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(3); 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(3) ; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ; 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(12) dentro del limiteCorrespondiente a dos potencias consecutivas de sus bases.

Resolución

Hallar en qué límites está comprendido el número de cifras de un producto de “n” factores.

Consideremos el producto: 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 … … … . . 𝑥𝑥𝑥𝑥"n" 𝑓𝑓 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑓𝑓 𝑟𝑟 𝑓𝑓 𝑟𝑟

Además consideremos que:

Número de cifras de A es “a” 10𝑎𝑎−1 ≤ 𝐴𝐴 < 10𝑎𝑎

Número de cifras de B es “b” 10𝑏𝑏−1 ≤ 𝐴𝐴 < 10𝑏𝑏

Número de cifras de C es “c” 10𝑐𝑐−1 ≤ 𝐴𝐴 < 10𝑐𝑐

Número de cifras de Z es “z” 10𝑧𝑧−1 ≤ 𝑥𝑥 < 10𝑧𝑧

Mul

tiplic

ando

10𝑎𝑎−1+𝑏𝑏−1+𝑐𝑐−1+⋯+𝑧𝑧−1 ≤ 𝐴𝐴𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 … 𝑥𝑥𝑥𝑥 < 10𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐+⋯+𝑧𝑧

10𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐+⋯+𝑧𝑧−𝑛𝑛 ≤ 𝐴𝐴𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥 … 𝑥𝑥𝑥𝑥 < 10𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐+⋯+𝑧𝑧

𝑆𝑆𝑖𝑖: 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + ⋯+ 𝑥𝑥 = 𝑀𝑀

→ 𝑇𝑇𝑓𝑓𝑚𝑚𝑎𝑎𝑟𝑟𝑇𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑟𝑟𝑚𝑚𝑎𝑎: 10𝑀𝑀−𝑛𝑛 ≤ 𝑃𝑃 < 10𝑀𝑀

Por lo tanto el producto P tendrá comomínimo (M – n + 1) cifras y como máximo Mcifras.

Corolario(1).- “El número de cifras de un producto de dos números enteros es a lo más igual a la suma de los números de cifras de los dos factores y al menos igual a esta suma disminuida en 1.

• Si el número: N tiene “n” cifras y M tiene “m” cifras, el producto N x M tendrá (n+m) cifras ó (n + m – 1) cifras.

Corolario(2).- “El cuadrado de un número que tiene “m” cifras tendrá 2m ó (2m – 1) cifras.

NÚMERO DE CIFRAS DE UN COCIENTE: TEOREMA

Si el dividendo “D” tiene “m” cifras y el divisor “d” tiene “n” cifras y la primera cifra del dividendo es mayor que la primera del divisor; el cociente tendrá [(m – n) + 1] cifras.

Si la primera cifra del dividendo es menor que la primera del divisor, el cociente tendrá (m – n) cifras.

Si las primeras cifras del dividendo y divisor son iguales, se comparan las segundas cifras.

Si la segunda cifra del dividendo es mayor que la segunda del divisor, el cociente tiene [(m – n) +1] cifras y si fuese menor de la del dividendo que la del divisor tendrá el cociente (m – n) cifras.

En conclusión el cociente tendrá como mínimo (n – m) cifras y como máximo [(m – n) + 1] cifras.

1. Si:A tiene 3 cifrasB tiene 5 cifrasC tiene 2 cifras

Calcule cuántas cifras puede tener:

I. A4 II. A4 x B3 III. 𝐴𝐴4 𝑥𝑥 𝐵𝐵3

𝐶𝐶2

Resolución

2. ¿Cuántas cifras puede tener P, si P = A2 x B3 . Además, A y B tienen 5 y 6 cifras respectivamente?

Resolución

Respuesta.- P puede tener de 24 a 28 cifras.

3. Hallar la mínima y máxima cantidad de cifras que puede tener N, si:

N = 𝐴𝐴4 𝑥𝑥 𝑇𝑇2

𝑌𝑌3

Además A, T e Y tienen 8, 7 y 4 cifras respectivamente.

Resolución

Respuesta.- Cantidad mínima de cifras: 29Cantidad máxima de cifras: 37

4. Sabiendo que E = An x B7, tiene (9n + 1) cifras como mínimo y que A y B tienen 8 y 5 cifras. Halle “n”.a) 2 b) 14 c) 6 d) 8 e) 10

Resolución

5. Sean cuatro números enteros, escritos en el sistema decimal como A, B, C, D y tales que admiten 8; 4; 5 y 6 cifras respectivamente. ¿Cuántas cifras admitirá como máximo E?

E = 𝐴𝐴3 𝑥𝑥 𝐵𝐵4

𝐶𝐶2𝑥𝑥 𝐷𝐷1

a) 22 b) 18 c) 27 d) 19 e) 25

Resolución