derivada del cociente

75

CAPTULO 5

FRMULAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE

5.1 FRMULA DE LA RAZ CUADRADA

Antes de practicar las frmulas (7) y (8) del producto y del cociente, conviene deduciruna frmula para la raz cuadrada, en virtud de que en muchas funciones aparece la necesidad dederivarlas.

Si , para derivarla debe hacerse primero y entonces emplear la fr-y u= 1 2/y u=mula de la potencia un. Hacindolo se llega a que

1 2/y u=

NNN

N

1 121

2dy duudx dx

=

n - 1

n ududx

Frmulas del producto y del cociente

76

La derivada de una raz cuadrada es la derivada del subradical (loque est adentro del radical) entre dos veces el radical original.

121

2dy duudx dx

=

12

1

2

dy dudx dxu

=

2

dudy dxdx u

=

Por ejemplo, si , su derivada se puede obtener rpidamente emplean-2 3 7y x x= +do la frmula anterior, colocando en el numerador la derivada de x2 - 3x + 7 (la derivada del sub-radical), o sea 2x - 3, y en el denominador dos veces el radical original, esto es

2

2 32 3 7

dy xdx x x

= +

Debe tenerse cuidado de que esta frmula solamente puede emplearse para races cuadra-das, no para races cbicas o de otro orden.


77

5.2 FRMULA DEL PRODUCTO

(7) frmula del productod dv duuv u vdx dx dx

= +

en donde u representa a uno de los factores y v representa al otro factor.

Ejemplo 1: Hallar la derivada de ( )( )2 3 25 11 7 9y x x x x= + Solucin: Empleando la frmula (7) del producto, en donde u representa el primer factor y v repre-

senta el segundo factor, o sea

u = x2 + 5x ! 11v = x3 ! 7x2 ! 9

entonces empleando dicha frmula:

dy dv duu vdx dx dx

= +

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 25 11 7 9 7 9 5 11dy d dx x x x x x x xdx dx dx= + + +

u v dvdx

dudx

( )( ) ( )( )2 2 3 25 11 3 14 7 9 2 5dy x x x x x x xdx = + + +


78

Ejemplo 2: Calcular la derivada de ( )2 5 9 5 4y x x x= +Solucin: En este caso los dos factores son

u = x 2 - 5x - 9

( )1/ 25 4 5 4v x x= + = +Empleando la frmula (7), pgina 77, del producto, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 22 25 9 5 4 5 4 5 9dy d dx x x x x xdx dx dx= + + +

u vdvdx

dudx

Para derivar (5x + 4)1/2 debe emplearse la frmula (6) de un de la potencia, pgina 69:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1/ 22 215 9 5 4 5 4 5 4 2 52

dy dx x x x x xdx dx

= + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 22 15 9 5 4 5 5 4 2 52

dy x x x x xdx

= + + + ( )( ) ( ) ( )

21/ 2

1/ 2

5 5 95 4 2 5

2 5 4

x xdy x xdx x

= + + +

o bien


79

( ) ( )25 5 9 2 5 5 42 5 4

x xdy x xdx x

= + ++

Ejemplo 3: Hallar la derivada de ( ) ( )8 527 3 9 3y x x= Solucin: En este caso los dos factores son

u = (7x2 - 3)8

v = (9 - 3x)5

Empleando la frmula (7), pgina 77, del producto, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )8 85 52 27 3 9 3 9 3 7 3dy d dx x x xdx dx dx= +

u vdvdx

dudx

Para calcular las derivadas de (9 - 3x)5 y de (7x2 - 3)8 debe emplearse en ambas la frmula(6) de un de la potencia de la pgina 69:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 74 52 2 27 3 5 9 3 9 3 9 3 8 7 3 7 3dy d dx x x x x xdx dx dx = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 74 52 27 3 5 9 3 3 9 3 8 7 3 14dy x x x x xdx = +


80

( ) ( ) ( ) ( )8 74 52 215 7 3 9 3 112 9 3 7 3dy x x x x xdx = +

5.3 FRMULA DEL COCIENTE

(8) frmula del cociente2

du dvv ud u dx dxdx v v

=

en donde u representa al numerador y v representa al denominador.

Ejemplo 4: Hallar la derivada de 6 78 9

xyx+=

Solucin: Cuando la funcin a derivar es una fraccin, debe emplearse la frmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:

u = 6x + 7v = 8x - 9

Recordando la frmula (8) del cociente y sustituyendo despus:

2


=

( ) ( ) ( ) ( )

( )28 9 6 7 6 7 8 9

8 9

d dx x x xdy dx dxdx x

+ + =


81

( )( ) ( )( )( )2

8 9 6 6 7 8

8 9

x xdydx x

+=

En este caso, aunque no es indispensable, conviene realizar las multiplicaciones indicadas enel numerador, pues as habr reduccin de trminos:

( )248 54 48 56

8 9dy x xdx x

=

( )2110

8 9dydx x

=

Ejemplo 5: Derivar ( )425 7 9

9 1

x xy

x =

Solucin: Cuando la funcin a derivar es una fraccin, debe emplearse la frmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:

u = (5x2 - 7x - 9)4

v = 9x - 1

Recordando la frmula (8) del cociente y sustituyendo despus:

2


=


82

( ) ( ) ( ) ( )( )

4 42 2

2

9 1 5 7 9 5 7 9 9 1

9 1

d dx x x x x xdy dx dxdx x

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

3 42 2 2

2

9 1 4 5 7 9 5 7 9 5 7 9 9

9 1

dx x x x x x xdy dxdx x

=

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 42 2

2

9 1 4 5 7 9 20 7 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdydx x

=

Y ordenando conforme a las reglas de escritura para cada trmino: Primero se escribe el sig-no; despus el coeficiente numrico; a continuacin los factores monomios (letras solas) enorden alfabtico; luego los factores polinomios y en seguida los radicales:

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 42 2

2

4 9 1 5 7 9 20 7 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdydx x

=

Ejemplo 6: Calcular la derivada del ejemplo anterior utilizando la frmula del producto.

Solucin: La funcin original que tiene la forma de un cociente puede escri-( )445 7 9

9 1

x xy

x =

birse como para que adquiera la forma de un producto. De( ) ( )4 145 7 9 9 1y x x x = esta forma, u = (5x4 - 7x - 9)4 y v = (9x - 1)- 1


83

Entonces, recordando la frmula del producto:

d dv duuv u vdx dx dx

= +

Sustituyendo:

( ) ( ) ( ) ( )4 41 14 45 7 9 9 1 9 1 5 7 9dy d dx x x x x xdx dx dx = +

u + vdvdx

dudx

( ) ( ) ( )4 245 7 9 1 9 1 9 1dy dx x x xdx dx = + ( ) ( ) ( )31 4 49 1 4 5 7 9 5 7 9dx x x x xdx +

( ) ( ) ( )4 245 7 9 1 9 1 9dy x x xdx = + ( ) ( ) ( )31 4 39 1 4 5 7 9 20 7x x x x +

Finalmente ordenando de acuerdo con las reglas de escritura:

( )( )

( ) ( )4 34 4 32

9 5 7 9 4 5 7 9 20 7

9 19 1

x x x x xdydx xx

= +


84

Para verificar que es el mismo resultado que el obtenido en el ejemplo anterior cuando sederiv con la frmula del cociente, debe efectuarse la suma de fracciones de este ltimoresultado sacando comn denominador:

( ) ( ) ( ) ( )( )

4 34 4 3

2

9 5 7 9 9 1 4 5 7 9 20 7

9 1

x x x x x xdydx x

+ =

( ) ( )( ) ( )

( )3 44 3 4

2

4 5 7 9 20 7 9 1 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdydx x

=


85

EJERCICIO 11 (reas 1, 2 y 3)

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1) 2)( )( )2 26 11 9 5 13 21y x x x x= + + ( )( )3 4 27 3 5 11y x x x x= + +3) 4)( )( )5 4 27 7 4 4 17y x x x x= + + ( )( )6 3 36 2 8 9 7y x x x x x= + +5) 6)( )( )2 26 18 19 5y x x x x= + 7 5 33 2 2 9

8 7 11 19x x x xy

= +

7) 8)( )7 23 6 6 4 11y x x x= + ( )52 24 2 7y x x x= + 9) 10)5 4 7y x x= + ( )72 3 233 2 3 6 9y x x x x= + 11) 12)( ) ( )116 5 5 8y x x= ( ) ( )5 42 271 1y x x= +13) 14)( )87 595 5 3y x x= ( ) ( )75 24 7 5 8y x x x= + +15) 16)5

7 11xyx x

+= 5 115 11

xyx= +

17) 18)2

3

95

xyx x= + 57 6

xyx

=

19) 20)43 7x xy

x+ = 2 11

xyx

+= +

21) 22)( )86

6 7xy

x=

( )42

2 35x

yx+=


86

23) 24)( )53 2

3

7

11

x xy

x= ( )

2

7

62 9

x xyx

+= +

25) 26)1

xyx

= 22xy

x x= +

27) 28)7

3 2 1xyx

= +( )( )

42

32

7 9

7 9

x xy

x x

+=+

derivada del cociente

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