Control estadístico de ProcesoControl estadístico de Proceso

Gráficas de ControlGráficas de Control Muestreo de aceptaciónMuestreo de aceptación

TerminologíaTerminología CalidadCalidad es “la totalidad de características de un es “la totalidad de características de un

producto o servicio que hace que cumpla con las producto o servicio que hace que cumpla con las especificaciones de diseño.”especificaciones de diseño.”

Aseguramiento de la calidad Aseguramiento de la calidad se refiere al conjunto se refiere al conjunto de políticas, procedimientos y guías establecidas de políticas, procedimientos y guías establecidas por la organización para alcanzar y mantener la por la organización para alcanzar y mantener la calidad.calidad.

El objetivo de El objetivo de la ingeniería en calidadla ingeniería en calidad es incluir es incluir calidad en el diseño de los productos y procesos, calidad en el diseño de los productos y procesos, así como identificar problemas potenciales de así como identificar problemas potenciales de calidad antes de la producción.calidad antes de la producción.

Control de calidad Control de calidad consiste en una serie de consiste en una serie de inspecciónes y medidas para determinar si los inspecciónes y medidas para determinar si los estándares de calidad se cumplen.estándares de calidad se cumplen.

Control Estadístico de Proceso (CEP)Control Estadístico de Proceso (CEP)

El objetivo del CEP es determinar si el proceso El objetivo del CEP es determinar si el proceso debe continuar o si debe ser ajustado para que debe continuar o si debe ser ajustado para que alcance el nivel de calidad deseado.alcance el nivel de calidad deseado.

Si la variación en el resultado de la producción se Si la variación en el resultado de la producción se debe a debe a causas asignablescausas asignables (errores del operador, (errores del operador, descompostura de una máquina,materia prima descompostura de una máquina,materia prima defectuosa, . . . ) el proceso debe ajustarse o defectuosa, . . . ) el proceso debe ajustarse o corregirse lo más rápido posible.corregirse lo más rápido posible.

Si la variación en el proceso se debe a Si la variación en el proceso se debe a causas causas comunescomunes (variación en materiales, humedad, (variación en materiales, humedad, temperatura, . . . ) las cuales no pueden temperatura, . . . ) las cuales no pueden modificarse el proceso no requiere ser ajustado.modificarse el proceso no requiere ser ajustado.

CEP Pruebas de HipótesisCEP Pruebas de Hipótesis

El CEP se basa en pruebas de hipótesis.El CEP se basa en pruebas de hipótesis. La La hipótesis nulahipótesis nula HH00 se formula en términos de se formula en términos de

un proceso de producción en control un proceso de producción en control La La hipótesis alternativahipótesis alternativa HHaa se formula en se formula en

términos de un proceso que no está en términos de un proceso que no está en control.control.

Como en cualquier prueba de hipótesis, es Como en cualquier prueba de hipótesis, es posible observar el posible observar el error de Tipo I error de Tipo I (ajustar un (ajustar un proceso cuando está en control) y el proceso cuando está en control) y el error de error de tipo IItipo II (permitir que un proceso fuera de (permitir que un proceso fuera de control continúe.control continúe.

Los resultados en CEPLos resultados en CEP

Error de Tipo I y de Tipo IIError de Tipo I y de Tipo II

Estado del procesoEstado del proceso

HH0 0 CiertoCierto HHa a CiertoCierto

DecisionDecision En Control En Control Fuera de Fuera de Control Control

AceptarAceptar HH00 CorregirCorregir Error Error

Continuar con Continuar con DecisiónDecisiónTipo IITipo II

el Procesoel Proceso

RechazarRechazar HH00 Error Error Corregir Corregir

Ajustar el ProcesoAjustar el ProcesoTipo ITipo I Decisión Decisión

Gráficas de ControlGráficas de Control En CEP se usan gráficas llamadas En CEP se usan gráficas llamadas gráficas de controlgráficas de control para para

monitorear los procesos.monitorear los procesos. Una gráfica de control proporciona una base para decidir Una gráfica de control proporciona una base para decidir

si la variación en los resultados se debe a causas si la variación en los resultados se debe a causas comunes(en control) o a causas asignables (fuera de comunes(en control) o a causas asignables (fuera de control) control)

Una gráfica de control tiene tres líneas importantes: una Una gráfica de control tiene tres líneas importantes: una línea central (CE), un línea central (CE), un límite de control superiorlímite de control superior (UCL)(UCL) y y un un límite de control inferiorlímite de control inferior (LCL)(LCL)..

Estas líneas se escogen de manera que cuando el proceso Estas líneas se escogen de manera que cuando el proceso está en control hay una alta probabilidad de que la está en control hay una alta probabilidad de que la medida observada en la muestra esté entre los límites medida observada en la muestra esté entre los límites superior e inferior. Los valores fuera de estos límites dan superior e inferior. Los valores fuera de estos límites dan evidencia de que el proceso está fuera de control.evidencia de que el proceso está fuera de control.

GráficaGráfica-x-x

Una Una Gráfica-XGráfica-X se usa cuando la calidad del se usa cuando la calidad del resultado se mide en función de una variable resultado se mide en función de una variable contínua tal como longitud, peso, volumen…..contínua tal como longitud, peso, volumen…..

xx representa la media del resultado en la representa la media del resultado en la muestra.muestra.

La línea central (CL) de la gráfica corresponde La línea central (CL) de la gráfica corresponde a la media del proceso cuando este se a la media del proceso cuando este se encuentra encuentra en controlen control..

El eje vertical de la gráfica muestra la escala El eje vertical de la gráfica muestra la escala de medida de la variable de interés.de medida de la variable de interés.

Se toma una muestra, se calcula la media de Se toma una muestra, se calcula la media de la muestra x y esta se coloca en la gráfica.la muestra x y esta se coloca en la gráfica.

Gráfica-Gráfica- x x

Se toman muestras en el tiempo y la media se Se toman muestras en el tiempo y la media se agregan a la gráfica de izquierda a derecha.agregan a la gráfica de izquierda a derecha.

Cada vez que se pone un punto en la gráfica Cada vez que se pone un punto en la gráfica se realiza una prueba de hipótesis para se realiza una prueba de hipótesis para determinar si el proceso está o no en control.determinar si el proceso está o no en control.

Se usa la Distribución Muestral de Se usa la Distribución Muestral de xx para para determinar que valores de determinar que valores de xx son razonables si son razonables si el proceso está en control.el proceso está en control.

En la práctica se define un número suficiente En la práctica se define un número suficiente de valores razonables de de valores razonables de xx que estén dentro que estén dentro de 3 desviaciones estándar por de la línea de 3 desviaciones estándar por de la línea central.central.

Estructura de la Gráfica -Estructura de la Gráfica - x x

UCLUCL

LCLLCL

Media del proceso en controlMedia del proceso en controlCLCL

Tiempo Tiempo

Límites de control para una Gráfica- Límites de control para una Gráfica- xx

Media del proceso y desviación conocidasMedia del proceso y desviación conocidas

donde:donde:

UCL = 3 xUCL = 3 x

LCL = 3 xLCL = 3 x

n xn

x

Límites de control para una Gráfica - Límites de control para una Gráfica - xx

Media del rproceso y desviación desconocidaMedia del rproceso y desviación desconocida

wherewhere

xx = media total de las muestras = media total de las muestras

RR = rango promedio = rango promedio

AA22 = constante que depende de n; (se = constante que depende de n; (se encuentra en Tablas)encuentra en Tablas)

RAx 2 = UCL RAx 2 = UCL

RAx 2 = LCL RAx 2 = LCL

==

==

==

__

Factores para la Gráfica-Factores para la Gráfica-xx y la Gráfica - y la Gráfica - RR

nn dd22 AA22 dd33 DD33 DD44

22 1.1281.128 1.8801.880 0.8530.853 0 0 3.2673.267

33 1.6931.693 1.0231.023 0.8880.888 0 0 2.5742.574

44 2.0592.059 0.7290.729 0.8800.880 0 0 2.2822.282

55 2.3262.326 0.5770.577 0.8640.864 0 0 2.1142.114

66 2.5342.534 0.4830.483 0.8480.848 0 0 2.0042.004

77 2.7042.704 0.4190.419 0.8330.833 0.0760.076 1.9241.924

88 2.8472.847 0.3730.373 0.8200.820 0.1360.136 1.8641.864

99 2.9702.970 0.3370.337 0.8080.808 0.1840.184 1.8161.816

1010 3.0783.078 0.3080.308 0.7970.797 0.2230.223 1.7771.777

:: : : : : : : : : : :

Interpretación de la Gráficas de ControlInterpretación de la Gráficas de Control La localización y el patrón de los puntos en una gráfica La localización y el patrón de los puntos en una gráfica

de control permite determinar, con una pequeña de control permite determinar, con una pequeña probabilidad de error, si el proceso está bajo control probabilidad de error, si el proceso está bajo control estadístico.estadístico.

Un dato fuera de los límites de control puede ser un Un dato fuera de los límites de control puede ser un indicio de un proceso fuera de control.indicio de un proceso fuera de control.

Ciertos patrones de los puntos dentro de los límites de Ciertos patrones de los puntos dentro de los límites de controlpueden ser una señal de problemas de calidad.controlpueden ser una señal de problemas de calidad.• Un gran número de puntos a un lado de la línea Un gran número de puntos a un lado de la línea

central.central.• Seis o siete puntos en un solo lado de la línea central Seis o siete puntos en un solo lado de la línea central

que indican una tendencia de crecimiento o que indican una tendencia de crecimiento o decrecimiento.decrecimiento.

• . . . Otros patrones.. . . Otros patrones.

Otras gráficas de controlOtras gráficas de control

GráficaGráfica-R-R Usada para monitorear la variabilidad en Usada para monitorear la variabilidad en

la muestra.la muestra. GráficaGráfica-p-p

Usada para monitorear la proporción de Usada para monitorear la proporción de piezas defectuosas en una muestra.piezas defectuosas en una muestra.

GráficaGráfica-np-np

Usada para monitoreara el número de Usada para monitoreara el número de artículos defectuosos en una muestra.artículos defectuosos en una muestra.

Límites de Control para una Gráfivca - Límites de Control para una Gráfivca - RR

UCL = UCL = RDRD44

LCL = LCL = RDRD33

dondedonde

R = rango promedioR = rango promedio

D3, D4 = constantes que dependen de D3, D4 = constantes que dependen de n n ; ; ( en la tabla)( en la tabla)

__

__

__

Límites de Control para una Gráfica- Límites de Control para una Gráfica- pp

dondedonde

suponiendosuponiendo

npnp >> 5 5

n n (1-(1-pp) ) >> 5 5

UCL = p p 3UCL = p p 3LCL = p p 3LCL = p p 3

pp p

n

( )1 p

p p

n

( )1

Límites de Contro para una Gráfica - Límites de Contro para una Gráfica - npnp

suponiendosuponiendo

npnp >> 5 5

n n (1-(1-pp) ) >> 5 5

Nota: Si el LCL es negativo, entonces Nota: Si el LCL es negativo, entonces LCL = 0LCL = 0

UCL = np np p 3 1( )UCL = np np p 3 1( )

LCL = np np p 3 1( )LCL = np np p 3 1( )

Muestreo de AceptaciónMuestreo de Aceptación

Muestreo de aceptaciónMuestreo de aceptación es un método estadístico es un método estadístico que permite decidir si se acepta o rechaza un lote que permite decidir si se acepta o rechaza un lote de producción a partir de la inspección de una de producción a partir de la inspección de una muestra de este lote (grupo de artículo). muestra de este lote (grupo de artículo).

El muestreo de aceptación se realiza después de El muestreo de aceptación se realiza después de que el producto ha sido manufacturado.que el producto ha sido manufacturado.

No siempre es posible inspeccionar el 100% del No siempre es posible inspeccionar el 100% del lote: es muy caro y poco práctico (línea continua), lote: es muy caro y poco práctico (línea continua), implica destrucción.implica destrucción.

Se basa es preubas de hipótesis.Se basa es preubas de hipótesis. Las hipótesis son:Las hipótesis son:

• HH00: lote de buena calidad: lote de buena calidad

• HHaa: lote de mala calidad: lote de mala calidad

Resultados en un Muestreo de AceptaciónResultados en un Muestreo de Aceptación

Errores de Tipo I y de Tipo IIErrores de Tipo I y de Tipo II

Estado del LoteEstado del Lote

HH0 0 CiertoCierto HHa a CiertoCierto

DecisiónDecisión Lote de calidad Lote de calidad Lote Lote sin calidad sin calidad

AceptarAceptar HH00 CorregirCorregir Error de Error de Tipo IITipo II

Aceptar el LoteAceptar el LoteDecisiónDecisión Riesgo del Riesgo del

ConsumidorConsumidor

RechazarRechazar HH0 0 Error de Tipo I Error de Tipo I CorregirCorregir

Rechazar el Rechazar el Riesgo del Riesgo del DecisiónDecisión

Lote ProductorLote Productor

Probabilidad de aceptar un loteProbabilidad de aceptar un lote Función de probabilidad Binomial para Muestreo Función de probabilidad Binomial para Muestreo

de Aceptaciónde Aceptación

dondedonde

n n = tamaño de la muestra = tamaño de la muestra

pp = proporción de artículos defectuosos en el lote = proporción de artículos defectuosos en el lote

xx = número de artpiculos defectuosos en la = número de artpiculos defectuosos en la muestramuestra

f f ((x x ) = probabilidad de tener ) = probabilidad de tener x x artículos artículos defectuosos en la muestradefectuosos en la muestra

f xn

x n xp px n x( )

!!( )!

( )( )

1f xn

x n xp px n x( )

!!( )!

( )( )

1

Ejemplo: Muestreo de aceptación Ejemplo: Muestreo de aceptación

Se toma una muestra de 20 artículos en el lote.Se toma una muestra de 20 artículos en el lote.

La política es aceptar el lote si no hay más de 2 La política es aceptar el lote si no hay más de 2 artículos defectuosos en la muestraartículos defectuosos en la muestra

Suponiendo que el 5% de un lote son artículos Suponiendo que el 5% de un lote son artículos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que se defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte el lote o que se rechace?acepte el lote o que se rechace?

n n = 20, = 20, cc = 2, y = 2, y pp = .05 = .05

P P (Aceptar el Lote) = (Aceptar el Lote) = f f (0) + (0) + f f (1) + (1) + f f (2)(2)

= .3585 + .3774 + .1887= .3585 + .3774 + .1887

= .9246= .9246

P P (Rechazar el lote) = 1 - .9246 (Rechazar el lote) = 1 - .9246 = .0754 = .0754

Seleccionar un plan para Muestreo de Seleccionar un plan para Muestreo de AceptaciónAceptación

= riesgo del productor= riesgo del productor

= probabilidad de cometer un error de Tipo I= probabilidad de cometer un error de Tipo I

= probabilidad de que un lote con = probabilidad de que un lote con pp00 artículos artículos defectuosos sea rechazadodefectuosos sea rechazado

= riesgo del consumidor= riesgo del consumidor

= probabilidad de cometer un error de Tipo II= probabilidad de cometer un error de Tipo II

= probabilidad de que un lote con = probabilidad de que un lote con pp11 artículos defectuosos artículos defectuosos sea aceptadosea aceptado

donde: donde: pp00 se usa para controlar el riesgo del productor se usa para controlar el riesgo del productor

pp11 se usa para controlar el riesgo del consumidor se usa para controlar el riesgo del consumidor

Curva de OperaciónCurva de Operación

55 1010 1515 2020 252500

.2.2

.4.4

.6.6

.8.8

1.01.0

pp00% de defectuosos en el lote% de defectuosos en el lote

Prob. de Aceptar el LoteProb. de Aceptar el Lote

CO Curva paraCO Curva para nn = 15, = 15, cc = 0 = 0

pp00 = .03, = .03, pp11 = .15 = .15

pp11

Tipos de Muestreo de AceptaciónTipos de Muestreo de Aceptación Muestreo SimpleMuestreo Simple: dado el tamaño del lote (N), se : dado el tamaño del lote (N), se

determina el tamaño de la muestra (determina el tamaño de la muestra (nn) y el nivel de ) y el nivel de rechazo ( c ). “ Si hay más de c artículos defectuosos en la rechazo ( c ). “ Si hay más de c artículos defectuosos en la muestra el lote se rechaza, en caso contrario se acepta”muestra el lote se rechaza, en caso contrario se acepta”

Si X>c se rechazaSi X>c se rechaza Si X< o = c se aceptaSi X< o = c se acepta

0 n Nc

Se acepta

Se rechaza

Sea X el número de piezas defectuosas (v.a.)

Tipos de Muestreo de AceptaciónTipos de Muestreo de Aceptación Muestreo DobleMuestreo Doble: dado el tamaño del lote (N), se determina el : dado el tamaño del lote (N), se determina el

tamaño de dos muestras (tamaño de dos muestras (n1n1)y ()y (nn2) y tres niveles de rechazo 2) y tres niveles de rechazo ( c1, c2, c3 ). (c2=c3)( c1, c2, c3 ). (c2=c3)

1. Con la primera muestra (n1) “ Si hay más de c2 artículos 1. Con la primera muestra (n1) “ Si hay más de c2 artículos defectuosos (r1) en la muestra el lote se rechaza, si hay menos defectuosos (r1) en la muestra el lote se rechaza, si hay menos de c1 se acepta, en caso contrario se toma la segunda muestra”de c1 se acepta, en caso contrario se toma la segunda muestra”

2. Con la segunda “Si el número de piezas defectuosas de las 2. Con la segunda “Si el número de piezas defectuosas de las dos muestras (r1+r2) es mayor a c3 se rechaza el lote en caso dos muestras (r1+r2) es mayor a c3 se rechaza el lote en caso contrario se aceptacontrario se acepta

MUESTREO DOBLEMUESTREO DOBLE

Con la primera muestraCon la primera muestra

Si X1> c2 se rechazaSi X1> c2 se rechaza

Si X1Si X1 c1 se acepta c1 se acepta

En caso contrario c1En caso contrario c1X1 X1 c2 se toma una c2 se toma una segunda muestrasegunda muestra

X2 X2 c3-X1 se acepta el lote c3-X1 se acepta el lote

X2 > c3-X1 se rechaza el lote X2 > c3-X1 se rechaza el lote

0 n1 Nc2

Se acepta

Se rechazac1

Otra muestra

0 n Nc3

Se acepta

Se rechaza

Tipos de Muestreo de AceptaciónTipos de Muestreo de Aceptación Muestreo SimpleMuestreo Simple: dado el tamaño del lote (N), se : dado el tamaño del lote (N), se

determina el tamaño de la muestra (determina el tamaño de la muestra (nn) y el nivel de ) y el nivel de rechazo ( c ). “ Si hay más de c artículos defectuosos en la rechazo ( c ). “ Si hay más de c artículos defectuosos en la muestra el lote se rechaza, en caso contrario se acepta”muestra el lote se rechaza, en caso contrario se acepta”

Si X>c se rechazaSi X>c se rechaza Si X< o = c se aceptaSi X< o = c se acepta

0 n Nc

Se acepta

Se rechaza

Sea X el número de piezas defectuosas (v.a.)

Muestreo MúltipleMuestreo Múltiple

Un Un plan de muestreo múltipleplan de muestreo múltiple usa usa dos o usa usa dos o más etapas de muestreo.más etapas de muestreo.

En cada etapa ls posibilidades son:En cada etapa ls posibilidades son:• detener el muestreo y aceptar el lote,detener el muestreo y aceptar el lote,• detener el muestreo y rechazar el lote.detener el muestreo y rechazar el lote.

Un plan de muestreo múltiple resulta en Un plan de muestreo múltiple resulta en tamaños totales de muestra más pequeños tamaños totales de muestra más pequeños con el la misma probabilidad de cometer error con el la misma probabilidad de cometer error de Tipo I o de Tipo II.de Tipo I o de Tipo II.

MUESTREO SIMPLEMUESTREO SIMPLE

NOTACIÓNNOTACIÓN